Motores, generadores y transformadores

Principiante

Coloca una espira de cable entre los polos de un imán y haz circular una corriente por ella. Un lado de la espira recibe un empujón hacia arriba y el otro hacia abajo, así que la espira gira. Dejada sola, la espira gira hasta alinearse con el imán y se para. Para que siga girando, hay que invertir la corriente en la espira cada media vuelta; un anillo partido que gira con ella, rozando dos contactos fijos, hace justo eso. Ya tienes un motor eléctrico, el corazón de un taladro, un ventilador o un coche eléctrico.

Haz funcionar la máquina al revés y se convierte en un generador. En la animación, una bobina gira sin parar entre los polos norte y sur de un imán, como la movería una turbina en una central. Sus lados barren el magnetismo y empujan una corriente por el circuito. Fíjate en la flecha roja del cable: crece, se encoge y cambia de sentido cada media vuelta. Es la corriente alterna, la de los enchufes, y la lámpara parpadea dos veces por vuelta.

Después la corriente llega a un transformador: dos bobinas sobre un mismo anillo de hierro. La corriente variable de la primera bobina crea un magnetismo variable en el hierro, que impulsa una corriente en la segunda. Más espiras en la segunda dan más tensión, pero nunca más potencia: diez veces más tensión significa diez veces menos corriente. Por eso la electricidad viaja a muy alta tensión: una corriente pequeña en los cables desperdicia mucha menos energía en calor.

Ponte a prueba: un transformador tiene 50 espiras de entrada y 500 de salida. Si entran 12 V de alterna, ¿qué sale? (120 V, con diez veces menos corriente.)

Intermedio

Fuerza sobre un cable, momento sobre una bobina

Un campo magnético empuja de lado a las cargas en movimiento y, por tanto, a un cable que lleva corriente. Para un cable recto de longitud $L$ con una corriente $I$ en un campo uniforme $B$, la fuerza es
$F=BIL\mathrm{sen}\theta$
donde $\theta$ es el ángulo entre el cable y el campo: la fuerza es máxima cuando el cable cruza el campo en ángulo recto y nula a lo largo de las líneas de campo. Es perpendicular a ambos, y la regla de la mano izquierda de Fleming da su sentido: el índice a lo largo del campo, el corazón a lo largo de la corriente y el pulgar a lo largo de la fuerza. Así, un campo de 1 T empuja con 1 N cada metro de cable que lleva 1 A y cruza el campo en ángulo recto.

Dobla el cable hasta formar una bobina rectangular de $N$ espiras y área $A$, montada sobre un eje entre los polos del imán. Sus dos lados largos llevan corrientes opuestas y reciben empujes opuestos, así que sobre la bobina actúa un momento (o par)
$\tau =NBIA\mathrm{sen}\theta$
donde ahora $\theta$ es el ángulo entre el campo y la normal a la bobina. El momento es máximo cuando el plano de la bobina es paralelo al campo y nulo cuando la bobina está de cara al campo, posición en la que una bobina abandonada a sí misma acaba por detenerse. Un motor de corriente continua sigue girando gracias a un conmutador, un anillo partido en el eje que rozan dos escobillas y que invierte la corriente cada media vuelta, justo cuando el momento está a punto de invertirse.

El generador: un motor al revés

Quita la pila y haz girar la bobina con una velocidad angular constante $\omega$. Si el ángulo se mide desde la posición en que la bobina está de cara al campo, el flujo a través de cada espira es $\Phi =BA\cos \omega t$, y la ley de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, da la fem y su valor máximo:

• $\epsilon =NBA\omega \mathrm{sen}\omega t$
• ${\epsilon }_0=NBA\omega$

Esta fem alterna tiene una frecuencia $f=\omega /2\pi$. Es máxima cuando el plano de la bobina es paralelo al campo: los lados cortan entonces las líneas de campo perpendicularmente y el flujo, al pasar por cero, cambia más deprisa. Es nula cuando la bobina está de cara al campo, donde el flujo es máximo pero en ese instante no cambia. Los anillos rozantes sacan la fem sin retorcer los cables; un conmutador en su lugar daría corriente continua pulsante. Los medidores indican el valor eficaz (rms), el valor máximo dividido entre $\sqrt{2}$ en una onda senoidal: un enchufe de 230 V alcanza picos de unos 325 V.

Transformadores: dos bobinas, un solo flujo

Un transformador no tiene piezas móviles: una bobina primaria de $N_p$ espiras y una secundaria de $N_s$ espiras comparten un núcleo de hierro cerrado. Una corriente alterna en el primario crea un flujo alterno que el hierro guía a través del secundario. Cada espira de cualquiera de las dos bobinas abraza el mismo flujo variable y recibe la misma fem, así que las tensiones están en la proporción de las espiras y, sin pérdidas, la potencia que entra es igual a la que sale:

• $\frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p}$
• $V_p{I}_p=V_s{I}_s$

Un transformador elevador ($N_s>N_p$) sube la tensión y baja la corriente en el mismo factor, así que no se crea energía. Una corriente continua constante crea un flujo constante, que no induce nada, y por eso un transformador necesita corriente alterna. Los grandes transformadores superan el 99 % de rendimiento.

Ejemplo resuelto: la máquina de la animación

La bobina tiene $N=200$ espiras de área $A=0,020{\mathrm{m}}^2$ (20 cm por 10 cm) en un campo $B=0,50\mathrm{T}$, y da una vuelta cada 2 s, así que $\omega =2\pi /2=\pi \approx 3,14rad/s$. Entonces
${\Phi }_{\max }=BA=0,50\cdot 0,020=0,010\mathrm{Wb}$
${\epsilon }_0=NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{V}$

En $t=0$ la bobina está de cara al campo: el indicador de $\Phi$ marca 10,0 mWb y el de $\epsilon$, cero. Un octavo de vuelta después, en $t=0,25\mathrm{s}$, el flujo es $10\cos 45^{\circ }\approx 7,1\mathrm{mWb}$ y la fem, $6,28\mathrm{sen}45^{\circ }\approx 4,44\mathrm{V}$. En $t=0,5\mathrm{s}$ el plano de la bobina es paralelo al campo, $\Phi$ pasa por cero y $\epsilon$ alcanza su máximo de 6,28 V. En $t=1\mathrm{s}$ el flujo es −10,0 mWb y la fem vuelve a ser nula.

Con $N_p=100$ y $N_s=200$, el secundario da $V_s=2\epsilon$, con un máximo de 12,57 V (unos 12,6 V) en el indicador de $V_s$, en fase con $\epsilon$. La potencia de la lámpara crece como $V_s^2$, así que destella en los dos máximos, el positivo y el negativo: dos veces por vuelta.

Cómo leer las flechas: por qué el generador se resiste

Las flechas azules $v$ muestran cómo se mueven los lados largos sobre su circunferencia: en $t=0$ se deslizan a lo largo del campo $B$ y no cortan nada; en $t=0,5\mathrm{s}$ lo cruzan en ángulo recto. Solo el movimiento a través del campo empuja las cargas, de ahí el $\mathrm{sen}\omega t$. Las flechas moradas $F$ son el efecto motor dentro del generador: el campo empuja la corriente inducida con $F=BIL$, siempre en contra del movimiento. Es la ley de Lenz; si las fuerzas ayudaran, la bobina se aceleraría sola y produciría energía de la nada.

Trata la lámpara como una resistencia de 25 Ω. En el máximo circula por ella $12,57/25\approx 0,50\mathrm{A}$, así que, con un transformador ideal, la bobina debe llevar el doble, unos 1,0 A. El momento es entonces $\tau =NBIA=200\cdot 0,50\cdot 1,0\cdot 0,020=2,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, y girar contra él a $\pi rad/s$ cuesta $\tau \omega \approx 6,3\mathrm{W}$, exactamente la potencia máxima de la lámpara, $12,57\cdot 0,50\approx 6,3\mathrm{W}$. Desconecta la lámpara y la bobina gira libremente.

Ejemplo resuelto: líneas de alta tensión

Un parque eólico envía 20 MW por líneas con una resistencia total de 4,0 Ω. Estas se calientan a un ritmo $I^{2}R$ y, para una potencia dada, la corriente es $I=P/V$; por tanto,
$P_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{rd}}=I^{2}R={\left(\frac{P}{V}\right)}^{2}R$

A los 11 kV propios de los generadores, la corriente sería $20\times 10^6/(11\times 10^3)\approx 1818\mathrm{A}$ y la pérdida, $1818^2\cdot 4,0\approx 13,2\mathrm{MW}$: dos tercios de la potencia solo servirían para calentar los cables. Un transformador elevador con una relación de espiras de 1 : 12 sube la tensión a 132 kV. La corriente baja a 151,5 A y la pérdida a $151,5^2\cdot 4,0\approx 92\mathrm{kW}$, menos del 0,5 %: doce veces más tensión, $12^2=144$ veces menos pérdida. Después, transformadores reductores cerca de las casas la devuelven a 230 V.

Errores frecuentes

• Un transformador no funciona con corriente continua constante: una pila de 12 V da 0 V en el secundario, salvo un breve impulso al conectarla.
• La fem no es máxima cuando la bobina está de cara a los imanes: ahí el flujo, 10 mWb en la animación, es máximo pero en ese instante no cambia, así que $\epsilon =0$. La fem alcanza su máximo de 6,28 V cuando $\Phi =0$.
• Un transformador elevador no crea energía: la lámpara recibe el doble de tensión que la bobina, pero la mitad de corriente, 0,50 A frente a 1,0 A, así que ambos lados llevan 6,3 W.
• Los dos ángulos llamados $\theta$ son distintos: en $F=BIL\mathrm{sen}\theta$ es el ángulo entre el cable y el campo; en $\tau =NBIA\mathrm{sen}\theta$, el ángulo entre el campo y la normal, así que una bobina paralela al campo tiene el mayor momento.

Dónde aparece

Los motores eléctricos mueven ventiladores, ascensores, bombas y coches eléctricos, y consumen cerca de la mitad de la electricidad del mundo. El motor de un coche eléctrico incluso funciona como generador cuando frena. Un generador de central de dos polos que gira a 3000 rpm da los 50 Hz de la red europea, y hay transformadores en los dos extremos de cada línea eléctrica y dentro de los cargadores de los móviles. Los 230 V vistos en Potencia y energía eléctricas en casa son un valor eficaz, y los campos variables que hay detrás de todo transformador conducen a Ondas electromagnéticas.

Avanzado

Dos caminos hacia la misma fem

Un generador es una bobina de $N$ espiras que gira con velocidad angular constante $\omega$ en un campo magnético uniforme $\vec{B}$. La ley del flujo de Faraday da su fem en una línea, pero oculta lo que realmente empuja las cargas por el circuito. Por eso primero hallaremos la fem a partir de la fuerza magnética sobre las cargas del cable en movimiento, y después comprobaremos que la ley del flujo da la misma respuesta. Cada espira es un rectángulo con dos lados largos, de longitud $L$, paralelos al eje, y dos extremos cortos de longitud $w$, el ancho de la bobina, de modo que su área es $A=Lw$.

Leyenda

$\vec{B}$	Campo magnético, uniforme y horizontal en el plano de la figura.	$\mathrm{T}$
$\omega$	Velocidad angular de la bobina, que aquí gira en sentido horario.	$rad/s$
$\frac{w}{2}$	Radio de la circunferencia que recorre cada lado largo: la mitad del ancho $w$ de la bobina.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidad de un lado largo, tangente a su circunferencia, de módulo $\omega w/2$.	$m/s$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$, y también entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{A}$	Vector área de la bobina: módulo $A=Lw$, perpendicular a la bobina, por tanto paralelo a $\vec{v}$ del lado superior.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Fuerza magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$ sobre una carga positiva $q$ en un lado largo. Va a lo largo del cable: hacia fuera de la página en el lado superior (punto), hacia dentro en el inferior (cruz).	$\mathrm{N}$

La figura 1 mira a lo largo del eje, que apunta hacia dentro de la página. Cada lado largo aparece entonces como un pequeño disco, y la bobina como el segmento que une los dos discos. El campo $\vec{B}$ va en horizontal por la página, y la bobina gira en sentido horario con velocidad angular $\omega$.

Empecemos por el movimiento de un lado largo. Está a una distancia $w/2$ del eje, así que se mueve sobre la circunferencia discontinua de radio $w/2$ con rapidez $v=\omega w/2$. Su velocidad $\vec{v}$ es tangente a esa circunferencia. Contemos el tiempo desde el instante en que los lados se mueven a lo largo de las líneas de campo, con $\vec{v}$ paralela a $\vec{B}$. La velocidad gira con la bobina, así que en el instante $t$ ha girado el ángulo $\theta =\omega t$, marcado en la figura entre $\vec{v}$ y la línea horizontal discontinua del lado superior.

Pasemos a la fuerza. Una carga positiva $q$ arrastrada por el lado nota la fuerza magnética $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. Tanto $\vec{v}$ como $\vec{B}$ están en el plano de la página, así que su producto vectorial es perpendicular a la página, es decir, va a lo largo del cable. En el lado superior sale de la página (el punto); en el inferior, cuya velocidad es la contraria, entra en ella (la cruz). Como $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$, la fuerza vale $qvB\mathrm{sen}\theta =qvB\mathrm{sen}\omega t$.

Veamos ahora el trabajo. La fem es el trabajo realizado sobre una carga unidad que recorre una vez el circuito. A lo largo de un lado largo, la fuerza por unidad de carga, $vB\mathrm{sen}\omega t$, va a lo largo del cable en toda la longitud $L$, así que realiza el trabajo $BLv\mathrm{sen}\omega t$ por unidad de carga. Los extremos cortos están en el plano de la página; la fuerza sobre sus cargas sigue apuntando a lo largo del eje, es decir, transversal al cable, y no realiza trabajo a lo largo de ellos.

Demos por fin una vuelta a una espira. Por el lado superior avanzamos hacia fuera de la página, en el mismo sentido que la fuerza en ese punto. Por el lado inferior volvemos hacia dentro de la página, y la fuerza allí también apunta hacia dentro, así que de nuevo empuja en el sentido del recorrido. Los dos lados se suman, pues, en vez de anularse, y cada espira aporta $2BLv\mathrm{sen}\omega t$. Las $N$ espiras están conectadas en serie, así que sus fem también se suman:
$\epsilon =2NBL\frac{\omega w}{2}\mathrm{sen}\omega t=NBA\omega \mathrm{sen}\omega t$
donde el último paso usa $A=Lw$.

El camino del flujo es más corto. El vector área $\vec{A}$ tiene módulo $A$ y es perpendicular al plano de la bobina. En la figura 1 es paralelo a la velocidad del lado superior, porque esa velocidad también es perpendicular a la bobina. Así que $\vec{A}$ gira con $\vec{v}$ y forma con $\vec{B}$ el mismo ángulo $\theta =\omega t$. El flujo a través de una espira es, por tanto, $\Phi =BA\cos \omega t$, máximo en $t=0$, cuando la bobina está de cara al campo. La ley de Faraday da
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-NBA\frac{d}{dt}\cos \omega t=NBA\omega \mathrm{sen}\omega t$
el mismo resultado.

Pongamos los números de la animación. Su bobina mide $L=0,20\mathrm{m}$ a lo largo del eje y $w=0,10\mathrm{m}$ de ancho, así que $A=0,020{\mathrm{m}}^2$; tiene $N=200$ espiras en $B=0,50\mathrm{T}$ y gira a $\omega =\pi rad/s$ (una vuelta cada 2 s). Cada lado largo se mueve a $v=\pi \cdot 0,05\approx 0,157m/s$ y aporta como máximo $BLv=0,50\cdot 0,20\cdot 0,157\approx 15,7\mathrm{mV}$. Las 200 espiras tienen 400 lados largos, todos en serie, así que la fem máxima es $400\cdot 15,7\mathrm{mV}\approx 6,28\mathrm{V}$, igual que $NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi$.

Los dos caminos coinciden, pero describen una física distinta. En el generador el cable se mueve, y es la fuerza magnética sobre sus cargas en movimiento la que las empuja; la ley del flujo es un resumen compacto de esa fuerza. En un transformador no se mueve nada, así que no hay ninguna fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$. En su lugar, el flujo variable crea un campo eléctrico que circula alrededor del núcleo,
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$
y ese campo eléctrico impulsa las cargas de la bobina secundaria. Que una sola regla cubra dos mecanismos tan distintos sugiere que los campos eléctrico y magnético son dos aspectos de un único campo, algo que la relatividad precisa.

Leer la gráfica: el flujo adelanta a la fem

La gráfica de la animación muestra juntos el flujo y la fem. Leerla bien es ver la ley de Faraday como una afirmación sobre pendientes, que es la forma más rápida de esbozar cualquier fem inducida a partir de su flujo.

Leyenda

$\Phi$	Flujo magnético a través de una espira, $BA\cos \omega t$, dibujado a escala con la altura de ${\epsilon }_0$.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	Fem de la bobina, $-Nd\Phi /dt$.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_0$	Fem máxima de la bobina, $NBA\omega$.	$\mathrm{V}$
$V_s$	Tensión de la bobina secundaria del transformador; su máximo es $2{\epsilon }_0$ para $N_s/N_p=2$.	$\mathrm{V}$
$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Periodo: el tiempo de una vuelta de la bobina.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{4}$	Un cuarto de periodo: el tiempo en que el flujo adelanta a la fem, una fase de $90^{\circ }$.	$\mathrm{s}$

La figura 2 redibuja esa gráfica a lo largo de un periodo $T$, el tiempo de una vuelta: aquí $T=2\pi /\omega =2\mathrm{s}$. La curva verde es el flujo $\Phi (t)$ a través de una espira, escalado a la altura de la fem para compararlos con facilidad. La curva roja es la fem $\epsilon (t)$. La curva dorada, de la que hablamos más abajo, es la tensión de salida $V_s(t)$ de un transformador alimentado por el generador.

Comparemos primero dónde alcanzan su máximo las curvas. El flujo $\Phi =BA\cos \omega t$ tiene una cresta en $t=0$, y la fem tiene su primera cresta un cuarto de periodo después, en $T/4=0,5\mathrm{s}$. El flujo adelanta a la fem un cuarto de ciclo, una fase de $90^{\circ }$. El patrón se repite cada periodo, así que el flujo vuelve a tener una cresta a los 2 s, a los 4 s y así sucesivamente.

Veamos ahora por qué. La ley de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, dice que la fem es menos $N$ veces la pendiente de la curva verde. En una cresta o en un valle de $\Phi$ la curva es plana por un instante, así que allí $\epsilon =0$, aunque el flujo mismo esté en su valor extremo. Donde $\Phi$ baja cruzando el cero, en $T/4$, la pendiente es la más empinada; la tangente discontinua muestra esa pendiente, y allí $\epsilon$ alcanza su máximo $+{\epsilon }_0=+6,28\mathrm{V}$. Medio periodo después, $\Phi$ sube cruzando el cero con la misma pendiente, y $\epsilon =-6,28\mathrm{V}$.

Los números lo confirman. El flujo a través de una espira tiene una amplitud $BA=0,50\cdot 0,020=10\mathrm{mWb}$, así que el flujo concatenado $N\Phi$ tiene una amplitud $200\cdot 10\mathrm{mWb}=2,0\mathrm{Wb}$. Un coseno de amplitud $a$ y frecuencia angular $\omega$ tiene una pendiente máxima $a\omega$, aquí $2,0\cdot \pi \approx 6,28Wb/s$. Como $1Wb/s=1\mathrm{V}$, esa es la fem máxima ${\epsilon }_0$.

La curva dorada $V_s(t)$ tiene los mismos ceros y crestas que $\epsilon (t)$, pero es el doble de alta: su máximo es $2{\epsilon }_0$. Un transformador ideal copia la forma de la onda, la multiplica por su relación de espiras, aquí $N_s/N_p=2$, y no añade desfase; la figura 4 muestra por qué.

Por último, qué número único dar para una tensión así. Una resistencia $R$ alimentada con ${\epsilon }_0\mathrm{sen}\omega t$ recibe la potencia $({\epsilon }_0^2/R){\mathrm{sen}}^2\omega t$. A lo largo de un ciclo, ${\mathrm{sen}}^2\omega t$ promedia $\frac{1}{2}$, porque ${\mathrm{sen}}^2$ y ${\cos }^2$ tienen el mismo promedio y suman 1. Así que la potencia media es la mitad de la potencia máxima, la misma que daría una tensión constante ${\epsilon }_0/\sqrt{2}$. Es el valor eficaz, aquí $6,28/\sqrt{2}\approx 4,44\mathrm{V}$.

Balance de energía: el generador paga en momento

Un generador convierte trabajo mecánico en energía eléctrica, así que algo debe oponerse al giro; si no, la bobina entregaría potencia gratis. Ese algo es la fuerza magnética sobre la propia corriente que la bobina entrega.

Supongamos que la bobina entrega una corriente $I$ en fase con su fem, como hace sobre una resistencia. En cada espira, un lado largo lleva $I$ a lo largo de una longitud $L$ perpendicular a $\vec{B}$, así que sufre una fuerza $BIL$, perpendicular a $\vec{B}$ y contenida en el plano de la figura 1. Solo la parte de esta fuerza que va a lo largo de la velocidad $\vec{v}$ del lado hace girar la bobina. Como $\vec{v}$ forma el ángulo $\omega t$ con $\vec{B}$, esa parte vale $BIL\mathrm{sen}\omega t$, y por la ley de Lenz actúa contra $\vec{v}$, con un brazo de palanca $w/2$. Dos lados por espira y $N$ espiras dan el momento resistente
$\tau =2N(BIL\mathrm{sen}\omega t)\frac{w}{2}=NBIA\mathrm{sen}\omega t$
Para que la bobina gire con $\omega$ constante, quien la mueve debe aportar este momento, así que la potencia mecánica que se le entrega es
$\tau \omega =(NBIA\mathrm{sen}\omega t)\omega =(NBA\omega \mathrm{sen}\omega t)I=\epsilon I$
exactamente la potencia eléctrica entregada, en cada instante.

¿Qué fuerza realiza el trabajo? No la magnética: es siempre perpendicular a la velocidad total de cada carga, suma del movimiento de la bobina y de la deriva de la carga a lo largo del cable, así que no realiza ningún trabajo. Solo redirige trabajo. La parte de la fuerza debida al movimiento de la bobina empuja las cargas a lo largo del cable y mantiene la corriente; la parte debida a su deriva a lo largo del cable empuja el cable de lado y se opone al giro. Estos dos trabajos son iguales y opuestos, así que toda la energía eléctrica procede de quien hace girar el eje.

El motor: fcem y recta del momento

Haz funcionar la misma máquina como motor y el acoplamiento actúa al revés. La fuente impone una corriente, la fuerza sobre esa corriente hace girar la bobina, y la bobina en giro, que también es un generador, produce una fem que se opone a la fuente. Esta fuerza contraelectromotriz (fcem) fija la corriente y la velocidad del motor, y decide el momento que puede dar a cada velocidad.

Leyenda

$\omega$	Velocidad del eje del motor.	$rad/s$
$\tau$	Momento que entrega el motor; baja linealmente al subir $\omega$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\tau }_0$	Momento de arranque, $kV/R$: el momento con el eje bloqueado, $\omega =0$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\omega }_0$	Velocidad en vacío, $V/k$: la fcem iguala a la tensión de la fuente, no circula corriente y el momento es cero.	$rad/s$
$\frac{{\omega }_0}{2}$	La mitad de la velocidad en vacío, donde la potencia mecánica es máxima.	$rad/s$
$\frac{{\tau }_0}{2}$	La mitad del momento de arranque: el momento en ${\omega }_0/2$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Potencia mecánica $\tau \omega$, el área del rectángulo sombreado; en ${\omega }_0/2$ toma su valor máximo, $V^2/(4R)$.	$\mathrm{W}$

La figura 3 representa el momento $\tau$ que entrega un motor frente a la velocidad $\omega$ de su eje, para una tensión de alimentación $V$ fija aplicada a través de la resistencia $R$ de su devanado. Para ver por qué la gráfica es una recta, modelemos el motor. Con muchas bobinas en el rotor y un conmutador que conecta cada una en el momento justo, la fcem ${\epsilon }_b$ es casi constante y proporcional a la velocidad. Tres ecuaciones describen entonces el motor:
$V={\epsilon }_b+IR,{\epsilon }_b=k\omega ,\tau =kI$
La primera es la del circuito: la tensión de la fuente se reparte entre la fcem y la caída en el devanado. La segunda y la tercera contienen la misma constante $k$, y tiene que ser así: el balance de energía de antes, ${\epsilon }_{b}I=\tau \omega$, solo se cumple si la constante que une ${\epsilon }_b$ con $\omega$ es igual a la que une $\tau$ con $I$.

La primera ecuación da la corriente, $I=(V-k\omega )/R$, y la tercera la convierte en momento:
$\tau =\frac{k(V-k\omega )}{R}$
Esta es la recta descendente de la figura. En su extremo izquierdo el eje se mantiene quieto, $\omega =0$, así que no hay fcem y solo el devanado limita la corriente, a $V/R$; el momento es entonces el momento de arranque (con el rotor bloqueado) ${\tau }_0=kV/R$. Al subir la velocidad crece la fcem, así que la corriente baja, y con ella el momento. En el extremo derecho, la velocidad en vacío ${\omega }_0=V/k$, la fcem ha subido hasta la tensión de la fuente, ya no queda corriente y el momento es cero.

La potencia mecánica es $P=\tau \omega$. En la gráfica es el área de un rectángulo con un vértice en el origen y el vértice opuesto sobre la recta, como el sombreado. Escribiendo la recta como $\tau ={\tau }_0(1-\omega /{\omega }_0)$ se obtiene
$P={\tau }_0\omega \left(1-\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$
que vale cero en los dos extremos de la recta. Es una parábola en $\omega$, simétrica respecto al punto medio de sus dos ceros, así que es máxima en $\omega ={\omega }_0/2$, donde el momento es ${\tau }_0/2$. La potencia máxima es, por tanto, $({\tau }_0/2)({\omega }_0/2)=V^2/(4R)$.

¿Qué parte de la entrada se convierte en trabajo? El motor toma la potencia eléctrica $VI$ y convierte ${\epsilon }_{b}I$ de ella en potencia mecánica, así que su rendimiento, sin contar el rozamiento, es ${\epsilon }_b/V=\omega /{\omega }_0$. A la velocidad de potencia máxima, ${\epsilon }_b=V/2$: solo la mitad de la potencia absorbida se convierte en mecánica, y la otra mitad calienta el devanado. Cerca de la velocidad en vacío, donde el rectángulo es ancho pero bajo, el rendimiento es alto.

Tomemos un motor de 12 V con $R=0,50\Omega$. Al arrancar, $\omega =0$, así que no hay fcem e $I=12/0,50=24\mathrm{A}$. A 3000 rpm, es decir, $\omega =3000\cdot 2\pi /60\approx 314rad/s$, su fcem es ${\epsilon }_b=11\mathrm{V}$ y consume solo $(12-11)/0,50=2,0\mathrm{A}$. De los 24 W que absorbe, ${\epsilon }_{b}I=22\mathrm{W}$ se convierten en trabajo mecánico e $I^{2}R=2\mathrm{W}$ calientan el devanado, un rendimiento del 92 %.

El punto de funcionamiento da también la constante del motor, $k={\epsilon }_b/\omega =11/314\approx 0,035\mathrm{V}\cdot s/rad$, así que el momento es $\tau =kI=0,035\cdot 2,0=0,070\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$; como comprobación, $\tau \omega =0,070\cdot 314\approx 22\mathrm{W}$. Situemos ahora este motor en la figura 3. Su momento de arranque es ${\tau }_0=kV/R=0,035\cdot 12/0,50\approx 0,84\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ y su velocidad en vacío es ${\omega }_0=V/k\approx 343rad/s$, cerca de las 3270 rpm. Así que las 3000 rpm quedan cerca del extremo derecho de la recta, donde el momento es pequeño y el rendimiento $\omega /{\omega }_0$ es alto. El momento baja linealmente con la velocidad desde 0,84 N·m hasta cero, y la potencia mecánica es máxima a la mitad de la velocidad en vacío, unas 1640 rpm, con $V^2/(4R)=72\mathrm{W}$. Ahí el motor consume $(12-6)/0,50=12\mathrm{A}$, o sea 144 W, de los que solo un 50 % se convierte en trabajo.

Dentro del transformador

Un transformador cambia el valor de una tensión alterna sin piezas móviles, y por eso las redes eléctricas funcionan con alterna. Todo su comportamiento se deduce de un solo hecho: el núcleo de hierro hace que pase el mismo flujo por cada espira de las dos bobinas.

Leyenda

$V_p$	Tensión de la fuente en la bobina primaria.	$\mathrm{V}$
$I_p$	Corriente en la bobina primaria.	$\mathrm{A}$
$N_p$	Número de espiras de la bobina primaria.
$\Phi$	Flujo magnético en el núcleo de hierro, el mismo a través de cada espira de ambas bobinas.	$\mathrm{Wb}$
$N_s$	Número de espiras de la bobina secundaria.
$I_s$	Corriente en la bobina secundaria y en la carga.	$\mathrm{A}$
$V_s$	Tensión en la bobina secundaria y en la carga.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistencia de la carga conectada al secundario.	$\Omega$

La figura 4 muestra un transformador con carga. La fuente aplica la tensión $V_p$ a las $N_p$ espiras de la bobina primaria y hace circular por ellas la corriente $I_p$. El núcleo de hierro lleva el flujo $\Phi$ por su lazo cerrado, siguiendo las flechas verdes, de modo que el mismo $\Phi$ atraviesa las $N_s$ espiras de la bobina secundaria. El secundario aplica la tensión $V_s$ a la carga $R$ y hace circular por ella la corriente $I_s$.

Como cada espira de cualquiera de las bobinas abraza el mismo flujo, cada espira tiene la misma fem, de valor $d\Phi /dt$. Las espiras en serie se suman y, despreciando la resistencia de los devanados, la tensión en los bornes de cada bobina es igual a su fem, así que, en magnitud,
$V_p=N_p\frac{d\Phi }{dt},V_s=N_s\frac{d\Phi }{dt}$
Al dividir una entre otra, $d\Phi /dt$ se cancela y queda la relación de espiras, $V_s/V_p=N_s/N_p$. Las dos tensiones siguen la misma $d\Phi /dt$, así que también suben y bajan a la vez, sin desfase, como mostró la figura 2.

Lee ahora la primera ecuación al revés: la tensión del primario fija el flujo, sea cual sea la carga. Para una tensión senoidal de valor máximo $V_0$, el flujo también es senoidal, de valor máximo ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, porque derivar una senoide multiplica su amplitud por $\omega$. Un primario de 230 V y 50 Hz con 1000 espiras tiene $V_0\approx 325\mathrm{V}$ y $\omega \approx 314rad/s$, luego ${\Phi }_0\approx 1,04\mathrm{mWb}$. Para mantener el hierro por debajo de unos 1,2 T, el núcleo necesita entonces una sección de ${\Phi }_0/B\approx 8,6\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, unos 8,6 cm². El área necesaria disminuye como $1/\omega$: a los 400 Hz que se usan en los aviones bastaría la octava parte, y los cargadores que conmutan a decenas de kilohercios emplean núcleos diminutos de ferrita.

¿Por qué sube la corriente del primario cuando se conecta una carga? La corriente de carga $I_s$ recorre las espiras del secundario y, por sí sola, magnetizaría el núcleo en sentido opuesto a $I_p$; en la figura 4 las dos corrientes circulan en sentidos opuestos alrededor del núcleo. Pero el flujo lo fija $V_p$. Así que el primario debe tomar una corriente adicional cuyo efecto magnetizante, medido por la corriente multiplicada por el número de espiras, anule el del secundario: $N_p{I}_p=N_s{I}_s$, salvo la pequeña corriente magnetizante que crea el propio flujo. Al multiplicar por la relación de tensiones se obtiene $V_p{I}_p=V_s{I}_s$: la potencia de entrada es igual a la de salida.

Por tanto, un transformador también cambia resistencias. Vista desde el primario, la carga es $V_p/I_p$. Sustituyendo $V_p=(N_p/N_s)V_s$ e $I_p=(N_s/N_p)I_s$ se obtiene
$\frac{V_p}{I_p}={\left(\frac{N_p}{N_s}\right)}^{2}R$
que es como un transformador adapta un altavoz a un amplificador.

Dos casos límite completan el cuadro. Con el secundario abierto no circula corriente $I_s$, y la tensión del secundario la fija solo la corriente del primario: en magnitud, $V_s=Md{I}_p/dt$, donde $M$ es la inductancia mutua de las dos bobinas. En continua, $d\Phi /dt=0$: no se induce nada en ninguna bobina, nada pasa al secundario, y solo la pequeña resistencia del cobre limita la corriente del primario.

Problema resuelto: el generador bajo carga

Conecta una lámpara de 25 Ω, tratada como una simple resistencia, al secundario del transformador de la animación ($N_p=100$, $N_s=200$), cuyo primario alimenta el generador, y desprecia la resistencia de las bobinas. ¿Qué corriente lleva la bobina del generador, con cuánto momento hay que hacerla girar y qué cambiaría sin el transformador?

Primero, la carga tal como la ve la bobina. Desde el primario, la lámpara se ve como $(N_p/N_s{)}^{2}R=(100/200{)}^2\cdot 25=6,25\Omega$. La bobina entrega su fem, de valor máximo 6,28 V, a esta resistencia, así que su corriente es una onda senoidal en fase con la fem, de valor máximo $6,28/6,25\approx 1,01\mathrm{A}$. El secundario duplica la tensión y reduce la corriente a la mitad, así que la lámpara lleva una corriente de valor máximo de unos 0,50 A con una tensión máxima de 12,57 V.

Después, el momento. El balance de energía dio el momento resistente $NBAI\mathrm{sen}\omega t$, donde $I$ es ahora la corriente del primario $I_p$, que a su vez es proporcional a $\mathrm{sen}\omega t$. Con $NBA=200\cdot 0,50\cdot 0,020=2,0\mathrm{Wb}$ y $1\mathrm{Wb}\cdot \mathrm{A}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$,
$\tau =NBA{I}_p\mathrm{sen}\omega t\approx 2,0{\mathrm{sen}}^2\omega t\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Alcanza 2,0 N·m cuando el plano de la bobina es paralelo al campo, donde la fem y la corriente son máximas, y su promedio es la mitad, 1,0 N·m. Como comprobación, la potencia mecánica media, $\bar{\tau }\omega =1,005\cdot \pi \approx 3,16\mathrm{W}$, es igual a la potencia media de la lámpara, la mitad del producto de su tensión máxima por su corriente máxima: $\frac{1}{2}\cdot 12,57\cdot 0,503\approx 3,16\mathrm{W}$.

Sin el transformador, la lámpara estaría conectada directamente a los anillos rozantes, con una carga de 25 Ω en vez de 6,25 Ω. Tomaría solo ${\epsilon }_0^2/(2R)=6,28^2/50\approx 0,79\mathrm{W}$, una cuarta parte, y la bobina sería cuatro veces más fácil de girar. El transformador no crea energía: al hacer que la lámpara parezca tener una resistencia cuatro veces menor, permite que la bobina impulse una corriente cuatro veces mayor con la misma fem, y por tanto entregue cuatro veces más potencia, toda ella aportada por quien la hace girar.

Fíjate, por último, en que el momento varía como ${\mathrm{sen}}^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t)$: pulsa al doble de la frecuencia de giro, lo que sacude una máquina monofásica. Las centrales lo evitan con tres juegos de bobinas desfasados $120^{\circ }$. Las partes en $\cos 2\omega t$ de sus tres momentos quedan entonces separadas un tercio de ciclo y se anulan, ya que
${\mathrm{sen}}^2\theta +{\mathrm{sen}}^2(\theta -120^{\circ })+{\mathrm{sen}}^2(\theta +120^{\circ })=\frac{3}{2}$
así que un generador trifásico equilibrado da un momento y una potencia perfectamente constantes.

Límites de validez

El transformador ideal supone tres cosas: todo el flujo abraza ambas bobinas, los devanados no tienen resistencia y el hierro se magnetiza gratis y sin pérdidas. Los núcleos reales pierden energía de dos maneras. La histéresis cuesta una cantidad fija de energía cada vez que se invierte la magnetización del hierro, así que su pérdida de potencia crece aproximadamente en proporción a la frecuencia. Las corrientes de Foucault son corrientes inducidas en el propio hierro; crecen con el cuadrado tanto de la frecuencia como del espesor de las chapas, por lo que los núcleos se construyen con láminas aisladas de unos 0,3 mm de espesor. Los grandes transformadores alcanzan un rendimiento del 99,5 %, pero una unidad de 500 MVA desprende entonces 2,5 MW de calor, de ahí su depósito de aceite y sus radiadores. El acero al silicio se satura entre 1,5 y 2 T: más allá, más corriente casi no añade flujo. Como el flujo lo fija ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, un transformador que funcione por debajo de su frecuencia de diseño o por encima de su tensión de diseño se ve empujado a la saturación y toma corrientes enormes.

El tratamiento es además cuasiestático: se supone que los campos actúan en todas partes a la vez. A 50 Hz la longitud de onda es $c/f=6000\mathrm{km}$, y cualquier máquina es minúscula en comparación, pero una línea de 1000 km es una sexta parte de la longitud de onda y debe analizarse como línea de transmisión. La regla del flujo exige también cuidado cuando un material conductor se desliza junto a un contacto fijo, como en un generador de disco giratorio, donde no está claro a través de qué lazo hay que contar el flujo. La fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$ es entonces la guía fiable.

La corriente alterna no siempre es la mejor. Un cable largo tiene una gran capacidad eléctrica, que la alterna debe cargar y descargar sin cesar. A partir de unos 50 a 100 km de cable submarino, o de varios cientos de kilómetros de línea aérea, gana la corriente continua de alta tensión con convertidores electrónicos. El aislamiento y la descarga por efecto corona en el aire alrededor de los conductores limitan las tensiones de transporte más altas a alrededor de 1 MV.

Lo que viene después

La fuerza sobre las corrientes, de Fuerza magnética sobre cargas en movimiento, y la regla del flujo, de Inducción electromagnética, son toda la física que necesita una red eléctrica. El campo eléctrico inducido de cada transformador, junto con su pareja, un campo magnético creado por un campo eléctrico variable, da las ondas autosostenidas de Ondas electromagnéticas. En el sistema de referencia que se mueve con un lado de la bobina, el empuje magnético del generador se convierte en un campo eléctrico: un primer atisbo de Relatividad especial. Los valores eficaces y el factor de potencia de las redes de alterna se trataron en Potencia y energía eléctricas en casa, y los rectificadores e inversores de los motores sin escobillas y de los enlaces de continua de alta tensión parten de Semiconductores, diodos y LED.