Inducción electromagnética

Cómo un flujo magnético variable $Φ$ a través de una bobina induce una fem $ε = - N d Φ/ d t$ : la ley de Faraday, la ley de Lenz para su sentido y el generador.

Un imán de barra entra en una bobina y vuelve a salir; la aguja de un medidor se desvía hacia un lado, luego hacia el otro, y marca cero mientras el imán está quieto.

Antes de este tema: Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

Principiante

Ideas clave

Mete un imán en una bobina y circula corriente sin pila; sácalo y la corriente circula al revés.
Solo cuenta el cambio: un imán quieto dentro de la bobina, por fuerte que sea, no produce corriente.
Mover un cable por el campo de un imán también funciona: las cargas que viajan con él reciben un empujón a lo largo del cable.
La corriente inducida lucha contra el cambio, así que mover el imán cuesta trabajo: ese trabajo se convierte en energía eléctrica.
Más rapidez, un imán más fuerte o más espiras dan más corriente; generadores y dinamos de bicicleta lo aprovechan.

Conecta una bobina de cable a un amperímetro sensible. No hay ninguna pila, así que la aguja está en cero. Ahora mete un imán de barra en la bobina: la aguja se desvía hacia un lado. Mantén el imán quieto dentro y la aguja vuelve a cero. Sácalo y la aguja se desvía hacia el otro lado.

Esto es la inducción electromagnética, descubierta por Michael Faraday en 1831. La regla es breve: solo circula corriente mientras cambia el magnetismo que atraviesa la bobina. Un imán enorme quieto no hace nada; uno pequeño movido deprisa sí. La animación muestra las tres etapas: el imán entra, el imán reposa, el imán sale.

La razón ya la conoces. Un imán empuja de lado a las cargas en movimiento. Mueve un cable a través del campo de un imán: las cargas del cable viajan con él, así que reciben un empujón a lo largo del cable, y ese empujón es la corriente inducida. Da igual qué se mueva, el imán o el cable.

La corriente inducida siempre lucha contra el cambio que la produjo. Cuando el imán se acerca, la bobina se convierte en un pequeño imán que lo rechaza; cuando se aleja, intenta retenerlo. Por eso hay que hacer trabajo para mover el imán, y justo de ese trabajo sale la energía eléctrica.

Moverlo más deprisa, usar un imán más fuerte o enrollar más espiras da más corriente. Los generadores de las centrales, las dinamos de bicicleta y los cargadores inalámbricos se basan en esto.

Ponte a prueba: un imán reposa dentro de una bobina conectada a un amperímetro. ¿Qué marca el aparato? (Cero: nada cambia.)

Intermedio

Ideas clave

Flujo $Φ = B A cos θ$ ( $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ ): mide cuánto campo atraviesa una espira.
Ley de Faraday: $ε = - N ΔΦ/Δ t$ . Solo un flujo variable induce una fem, por grande que sea $Φ$ .
Cambiar $B$ , el área $A$ o el ángulo $θ$ modifica el flujo e induce una fem.
Ley de Lenz: la corriente inducida se opone al cambio de flujo, así que mover el imán cuesta trabajo, que se convierte en energía eléctrica.

Flujo magnético: cuánto campo atraviesa una espira

La inducción no la provoca un campo magnético como tal, sino un cambio en la cantidad de campo que atraviesa un circuito: el flujo magnético. Para una espira plana de área $A$ en un campo uniforme $B$ ,
$Φ = B A cos θ$
donde $θ$ es el ángulo entre el campo y la normal, la recta perpendicular al plano de la espira. Un campo que atraviesa la espira de frente da $θ = 0$ y $Φ = B A$ ; un campo contenido en el plano da $Φ = 0$ , porque ninguna línea de campo cruza la espira.

El flujo se mide en webers, $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ , y tiene signo: si inviertes el campo o das la vuelta a la espira, el flujo cambia de signo. Una bobina de $N$ espiras, como las 200 de la animación, responde al flujo concatenado $N Φ$ , ya que por cada espira pasa el mismo flujo.

Ley de Faraday: solo cuenta el cambio

La ley de Faraday establece que un flujo variable induce una fuerza electromotriz (fem) en una bobina de $N$ espiras:
$ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}$
La fem, que se mide en voltios, es la energía que recibe cada culombio que da una vuelta completa al circuito, y la fórmula da su valor medio en el intervalo $Δ t$ . En un circuito de resistencia $R$ impulsa una corriente $I = ε / R$ .

El flujo $Φ = B A cos θ$ puede cambiar de tres maneras, y cada una de ellas induce una fem:

Modifica el campo $B$ : mueve un imán, o conecta y desconecta un electroimán.
Modifica el área $A$ : estira la espira, o desliza una varilla sobre unos raíles.
Modifica el ángulo $θ$ : haz girar la bobina, que es como funciona un generador.

Lo grande que sea el flujo no importa. Mientras el imán reposa dentro de la bobina, de 2,6 s a 4,6 s, la lectura de $Φ$ se mantiene en 0,20 mWb y la de $ε$ marca 0 mV.

Ley de Lenz: el signo menos

El signo menos es la ley de Lenz: la corriente inducida se opone al cambio de flujo que la produce. Cuando se acerca el polo norte, el flujo crece, así que la corriente crea un campo de sentido contrario: el extremo de la bobina que mira al imán se convierte en un polo norte y lo repele. Cuando el imán se aleja, el flujo disminuye, la corriente se invierte y ese extremo pasa a ser un polo sur que tira del imán hacia atrás. La mano derecha te da el sentido: el pulgar, a lo largo del campo que debe crear la corriente; los dedos, curvados en el sentido en que esta circula.

La ley de Lenz es la conservación de la energía con otro disfraz. Como la bobina empuja en contra, tienes que hacer trabajo para mover el imán, y ese trabajo se convierte en la energía eléctrica del circuito. Si la bobina ayudara al movimiento, un leve empujón bastaría para que el imán se desbocara solo: energía salida de la nada.

Ejemplo resuelto: la bobina de la animación

Con el imán entero dentro, el campo $B = 0, 20 T$ recorre el eje de la bobina ( $θ = 0$ ) a través de un área $A = 10 c m^{2} = 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ :
$Φ = B A = 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0, 20 mWb$
La lectura de $Φ$ alcanza este valor a los 2,6 s. Empieza en 0,00 porque, a 125 mm de distancia, el imán solo hace pasar unos 0,0025 mWb por la bobina.

El empujón dura 2,0 s, de 0,6 s a 2,6 s, así que la fem media durante él es
$∣ ε ∣ = \frac{N ΔΦ}{Δ t} = \frac{200 \cdot 0 , 20 \times 1 0 ^{- 3}}{2 , 0} = 0, 020 V$
es decir, 20 mV. Sin embargo, la lectura de $ε$ baja hasta unos $- 89 mV$ en $t \approx 2, 2 s$ , porque el flujo no crece a ritmo constante. A los 1,7 s todavía es de solo unos 0,02 mWb; después, cuando el extremo norte entra en la bobina, sube hasta unos 0,18 mWb a los 2,3 s. En esa ventana de 0,6 s la media es $200 \cdot 0, 16 \times 1 0^{- 3} /0, 6 \approx 53 mV$ , y una media nunca puede superar el máximo.

El signo sigue la ley de Lenz: la lectura es negativa mientras el flujo aumenta y llega a $+ 89 mV$ mientras disminuye, cuando el imán se va.

Ejemplo resuelto: una varilla que se desliza sobre raíles

Dos raíles paralelos separados 25 cm se unen por un extremo a través de una resistencia de 0,50 Ω, y una varilla metálica está apoyada de un raíl al otro, dentro de un campo uniforme de 0,40 T perpendicular a su plano. Tiras de la varilla a lo largo de los raíles a 2,0 m/s constantes.

En un tiempo $Δ t$ la varilla, de longitud $L = 0, 25 m$ entre los raíles, añade al circuito un área $Lv Δ t$ , así que $ΔΦ = B Lv Δ t$ , y la ley de Faraday con $N = 1$ da
$ε = B Lv$
$ε = 0, 40 \cdot 0, 25 \cdot 2, 0 = 0, 20 V$
y una corriente $I = ε / R = 0, 20/0, 50 = 0, 40 A$ .

Al llevar corriente dentro de un campo, la varilla siente una fuerza $F = B I L = 0, 40 \cdot 0, 40 \cdot 0, 25 = 0, 040 N$ que, por la ley de Lenz, apunta hacia atrás, contra el movimiento. Mantener la varilla a 2,0 m/s exige una potencia $F v = 0, 080 W$ , justo los $I^{2} R = 0, 080 W$ que la resistencia convierte en calor: cada julio salió de tu esfuerzo al tirar.

Cómo leer el medidor, las flechas y las gráficas

La lectura verde de $Φ$ sube de 0,00 a 0,20 mWb en forma de S: despacio, luego deprisa y otra vez despacio, a medida que el imán se asienta. La lectura de $ε$ , el ángulo de la aguja del medidor y la longitud de la flecha morada $I$ siguen todos a la fem en proporción. La N o la S junto al extremo izquierdo de la bobina es el polo que crea la corriente inducida.

En una gráfica de $Φ$ frente a $t$ , la fem es $- N$ veces la pendiente: negativa en una subida, nula en cualquier tramo horizontal por alto que esté y positiva en una bajada. El punto más empinado de la subida, cerca de 2,2 s, tiene una pendiente de unos 0,45 mWb/s, y $200 \cdot 0, 45 \approx 89 mV$ es la lectura máxima.

Errores frecuentes

Un campo intenso no es una fem grande. Con el imán en reposo dentro, 0,20 mWb atraviesan cada espira y la fem es exactamente cero.
La corriente inducida se opone al cambio, no al campo. Cuando el imán se va, el campo inducido apunta en el mismo sentido que el propio campo del imán y sostiene el flujo que decrece.
El ángulo $θ$ se mide desde la normal, no desde el plano. Una bobina cuyo plano forma 30° con el campo tiene $θ = 6 0^{\circ}$ , así que con los números de la animación $Φ = B A cos 6 0^{\circ} = 0, 10 mWb$ , no 0,17 mWb.
Conserva el factor $N$ y convierte con $1 c m^{2} = 1 0^{- 4} m^{2}$ . Si olvidas $N$ , los 20 mV de media de la animación pasan a 0,1 mV; si tomas 10 cm² como $1 0^{- 2} m^{2}$ , pasan a 200 mV.
Una fem no es una corriente. Una bobina con los extremos abiertos tiene la fem completa entre ellos, pero no lleva corriente, así que no siente ningún frenado.

Dónde aparece

La mayor parte de la electricidad del mundo sale de generadores que hacen girar imanes junto a bobinas para producir corriente alterna a 50 o 60 Hz. Los transformadores cambian las tensiones por inducción, los cargadores inalámbricos de móvil transmiten energía a través de un hueco a unos 100–200 kHz, las placas de inducción calientan la sartén mediante corrientes de Foucault, y las pastillas de guitarra y los detectores de metales perciben metal que se mueve o que está oculto. Algunos trenes frenan con corrientes de Foucault, y los coches eléctricos recuperan energía haciendo funcionar sus motores como generadores.

Las máquinas son el tema de Motores, generadores y transformadores. La ley de Faraday es además la mitad del mecanismo de la luz: los campos magnético y eléctrico variables se engendran mutuamente y viajan juntos como Ondas electromagnéticas.

Avanzado

Ideas clave

$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ : un $B$ variable crea un $E$ rotacional, no conservativo, que mueve cargas en un circuito quieto.
El área del pulso $\int ε d t = - N ΔΦ$ la fija el cambio de flujo; la carga movida es $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ , sea cual sea la rapidez.
En un conductor en movimiento la fem es la fuerza magnética sobre sus cargas: $ε = \oint (v \times B) \cdot d l = B Lv$ para una varilla.
Con contactos deslizantes (disco de Faraday) la regla del flujo puede fallar; $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ vale siempre.
Una bobina que gira en un campo uniforme da $ε = NB A ω sen ω t$ : nula con el flujo máximo, máxima con el flujo nulo.

La fem y el flujo, definidos con precisión

La ley de Faraday relaciona dos magnitudes, la fem a lo largo de un circuito y el flujo magnético que lo atraviesa, así que ambas necesitan una definición exacta antes de poder enunciar la ley. Recorre una vez un camino cerrado $C$ en pequeños pasos $d l$ . La fem $ε$ del camino es el trabajo por unidad de carga, en ese único recorrido, de lo que empuja la carga a lo largo de él. Si una carga $q$ siente la fuerza $F$ , entonces
$ε = \oint (F / q) \cdot d l$
Una fem no es una diferencia de potencial. El campo eléctrico de cargas en reposo no realiza trabajo neto sobre una carga que da la vuelta a un lazo cerrado, porque la carga termina en el potencial del que partió: ese campo tiene circulación nula. Así que, siempre que un camino cerrado tiene una fem, actúa algún otro empuje, y esta lección trata de dónde sale ese empuje.

La figura 1 plantea la geometría. Las puntas de flecha sobre $C$ indican el sentido en que se recorre el camino, y se dibuja un paso $d l$ . Para medir el flujo necesitamos una superficie $S$ cuyo borde sea $C$ ; la figura usa la plana. Divide $S$ en pequeños parches y describe cada parche con un vector $d A$ : su longitud es el área del parche y es perpendicular a él. Un parche tiene dos caras, y la regla de la mano derecha elige una: curva los dedos de la mano derecha a lo largo de $d l$ , y el pulgar da la dirección de $d A$ . Esta regla une el signo del flujo con el sentido en que se cuenta la fem.

Fíjate ahora en el parche. El campo $B$ forma allí el ángulo $θ$ con $d A$ , así que solo su componente $B cos θ$ atraviesa el parche, y el parche aporta $B d A cos θ = B \cdot d A$ al flujo. Sumando todos los parches se obtiene el flujo a través de $C$ :
$Φ = \int B \cdot d A$
¿Por qué no importa la elección de la superficie? Porque $\nabla \cdot B = 0$ : las líneas de campo ni empiezan ni acaban, así que toda línea que cruza la superficie plana cruza también una cúpula apoyada en el mismo borde. Todas las superficies limitadas por $C$ llevan el mismo flujo, de modo que $Φ$ pertenece al propio camino.

Con las dos magnitudes definidas, la ley de Faraday dice que la fem es menos la rapidez de variación del flujo. Para un camino en reposo el único empuje es el campo eléctrico, y la ley se escribe
$\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A$
Una bobina de $N$ espiras son $N$ caminos así en serie, todos atravesados por el mismo flujo, así que su fem es
$ε = - N \frac{d Φ}{d t}$
El signo menos es la ley de Lenz. Una fem positiva impulsa corriente a lo largo de $d l$ , y por la regla de la mano derecha el campo de esa corriente atraviesa $S$ a lo largo de $d A$ , añadiendo flujo positivo. Un flujo creciente recibe por tanto una fem negativa, cuya corriente quita flujo y así se opone al aumento.

El teorema de Stokes convierte la circulación de $E$ a lo largo de $C$ en el flujo de $\nabla \times E$ a través de $S$ . Como la ley vale para todo lazo, por pequeño que sea, vale punto a punto:
$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$
Un campo magnético variable está rodeado por un campo eléctrico rotacional, haya o no un cable que lo sienta.

Fem de movimiento: un circuito móvil en un campo fijo

El flujo a través de un circuito puede cambiar por dos razones muy distintas: el circuito se mueve por un campo que se queda quieto, o el campo cambia mientras el circuito se queda quieto. La ley de Faraday cubre ambos casos con una sola fórmula, pero la física que hay detrás es distinta. Toma primero el circuito en movimiento, porque ahí la ley se deduce de una fuerza que ya conoces.

La figura 2 muestra el circuito móvil más sencillo. Una varilla de longitud $L$ descansa de través sobre dos raíles unidos por el extremo izquierdo, y se desliza hacia la derecha con velocidad $v$ . El campo $B$ apunta hacia dentro del papel en todas partes (las cruces). Las cargas de la varilla se mueven con ella, así que cada una siente la fuerza magnética $q v \times B$ ; para una carga positiva es la fuerza $F$ , que apunta hacia arriba a lo largo de la varilla. La fem es el trabajo por unidad de carga de esta fuerza a lo largo del circuito:
$ε = \oint (v \times B) \cdot d l$
Solo se mueve la varilla, así que solo ella contribuye. A lo largo de ella, $v \times B$ tiene módulo $v B$ y apunta a lo largo de la varilla, de modo que el valor de la fem es $B Lv$ .

Ahora conéctalo con el flujo. En el breve tiempo $d t$ , el elemento $d l$ se mueve $v d t$ y barre la franja sombreada, cuyo vector área es $d A = v d t \times d l$ ; la varilla entera barre el área $Lv d t$ . Como $\nabla \cdot B = 0$ , el flujo a través del circuito crece exactamente en el flujo a través de estas franjas barridas. Dividiendo entre $d t$ :
$\frac{d Φ}{d t} = \oint B \cdot (v \times d l) = - \oint (v \times B) \cdot d l$
El segundo paso usa la propiedad cíclica del producto mixto, $B \cdot (v \times d l) = d l \cdot (B \times v)$ , junto con $B \times v = - v \times B$ . El miembro de la derecha es menos la fem, así que $ε = - d Φ/ d t$ . Para un circuito que se mueve por un campo fijo, la regla del flujo no es una ley nueva: es una consecuencia de la fuerza magnética sobre las cargas en movimiento.

Los signos de la figura 2 lo confirman. El elemento $d l$ apunta hacia abajo por la varilla, en el sentido del recorrido del circuito, que es el horario. Por la regla de la mano derecha, $d A$ apunta entonces hacia dentro del papel, a lo largo de $B$ , así que el flujo es positivo y creciente. La fuerza $F$ apunta hacia arriba por la varilla, contra $d l$ , así que la fem es negativa: flujo creciente y fem negativa, como exige la ley de Lenz.

Un campo variable: el campo eléctrico inducido

Ahora mantén quieto el circuito y cambia el campo, por ejemplo moviendo el imán en vez de la bobina. Las cargas en reposo no sienten fuerza magnética, así que el empuje no puede ser la fuerza magnética. Viene de un campo eléctrico realmente nuevo, cuyo rotacional no es nulo: $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ . Nada en la ley de la fuerza magnética lo predice. Es una ley de la naturaleza distinta, hallada por experimento.

Sin embargo, los dos mecanismos dan siempre la misma fem, de modo que solo importa el movimiento relativo entre el imán y la bobina. El artículo de relatividad de Einstein de 1905 empieza precisamente con este ejemplo. En el sistema del imán, las cargas de la bobina se mueven y sienten la fuerza $q v \times B$ ; en el sistema de la bobina, están en reposo y sienten $q E$ . La relatividad muestra que se trata de un único campo visto desde dos sistemas: cómo se reparte en parte eléctrica y parte magnética depende del observador.

El pulso de fem: su altura y su área

Cuando se empuja el imán de la animación hacia dentro de la bobina, la fem llega como un único pulso. Dos rasgos del pulso encierran la física: su altura la fija la rapidez con que cambia el flujo, y su área, cuánto cambia el flujo en total.

La figura 3 está trazada con el mismo modelo que la animación. La gráfica de arriba es el flujo $Φ (t)$ a través de una espira mientras se empuja el imán: sube en $ΔΦ$ hasta $Φ_{m a x}$ y luego se mantiene constante. La gráfica de abajo es la fem $ε (t)$ , que según la ley de Faraday es $- N$ veces la pendiente de la de arriba. Mira el punto sobre la curva del flujo: ahí la tangente es la más empinada, y su triángulo de pendiente tiene los catetos $d t$ y $d Φ$ . Sigue la línea discontinua recta hacia abajo y la fem está en el fondo de su pulso, cuya profundidad es $ε_{m a x}$ . Donde $Φ$ es constante, antes de que llegue el imán y después de que quede quieto dentro, la fem es nula, por grande que sea el flujo.

Empecemos por la altura. En el modelo, el flujo a través de una espira depende de la distancia $s$ entre los centros del imán y de la bobina como
$Φ (s) = Φ_{m a x} [1 + (s / a)^{2}]^{- 3/2}$
con $Φ_{m a x} = 0, 20 mWb$ y $a = 30 mm$ . El flujo depende del tiempo solo a través de $s$ , así que la regla de la cadena separa la fem en un factor fijado por la forma del campo y otro fijado por la rapidez:
$ε = - N \frac{d Φ}{d s} \frac{d s}{d t}$
La pendiente $d Φ/ d s$ es proporcional a $(s / a) [1 + (s / a)^{2}]^{- 5/2}$ . Igualar a cero la derivada de esta expresión da $1 + (s / a)^{2} = 5 (s / a)^{2}$ , así que la pendiente es máxima en $s = \pm a /2$ , donde su valor es $0, 86 Φ_{m a x} / a$ . Al entrar, el imán se mueve a 78 mm/s constantes y pasa por $s = - 15 mm$ hacia $t \approx 2, 2 s$ . La profundidad del pulso es, por tanto,
$ε_{m a x} = 200 \cdot 0, 86 \cdot (0, 20 \times 1 0^{- 3} /0, 030) \cdot 0, 078 \approx 0, 089 V$
que es el valle de $- 89 mV$ de la gráfica. El pulso es agudo: es más hondo que la mitad de este valor durante solo 0,37 s de los 2 s del empujón.

Ahora el área. Integrar la ley de Faraday sobre todo el pulso da
$\int ε d t = - N \int d Φ = - N ΔΦ$
El área depende solo del cambio total del flujo, no de lo deprisa que ocurrió. Aquí el flujo sube desde 0,0025 mWb, con el imán a 125 mm, hasta 0,20 mWb, de modo que el área es $- 200 \cdot (0, 20 - 0, 0025) mWb \approx - 39, 5 mV \cdot s$ (un voltio-segundo es un weber). Sacar el imán da un pulso de la misma área y signo opuesto. Un empujón el doble de rápido da un pulso el doble de alto y la mitad de ancho, con la misma área.

El área tiene un uso práctico. Por un circuito de resistencia $R$ circula la carga $Q = \int ε d t / R$ , es decir, $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ : unos 2,0 mC por pulso con 20 Ω. Esto sigue siendo exacto incluso cuando importa la inductancia de la propia bobina, porque la corriente es nula antes y después del pulso, así que la fem inductiva se integra a cero. Una bobina exploradora conectada a un medidor de carga puede, por tanto, medir un campo sea cual sea la rapidez de la mano que la mueve.

La bobina giratoria: un generador

Un generador cambia el flujo por rotación: una bobina gira de forma constante en un campo fijo. Supón que gira con velocidad angular $ω$ en un campo uniforme $B$ , de modo que el ángulo $θ$ de la figura 1, entre $B$ y el vector área de la bobina, crece como $θ = ω t$ . Cada espira, de área $A$ , lleva entonces un flujo $Φ = B A cos ω t$ , y la ley de Faraday da
$ε = - N \frac{d Φ}{d t} = NB A ω sen ω t$
La fem es nula cuando la bobina mira de frente al campo y el flujo es máximo, porque el coseno es plano en su máximo. La fem es máxima un cuarto de vuelta después, cuando la bobina queda de canto respecto al campo y el flujo pasa por cero, cambiando lo más deprisa posible. Flujo y fem están desfasados un cuarto de ciclo, como la posición y la velocidad en un movimiento armónico simple.

Haz girar la bobina de la animación, con $N = 200$ y $A = 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ , en su campo de 0,20 T, 50 veces por segundo, de modo que $ω = 2 π \cdot 50 \approx 314 rad/s$ . La fem máxima es
$NB A ω = 200 \cdot 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12, 6 V$
La forma con valores medios lo comprueba. En cada media vuelta el flujo va de $+ 0, 20$ a $- 0, 20 mWb$ en 0,010 s, así que la fem media es $200 \cdot 0, 40 \times 1 0^{- 3} /0, 010 = 8, 0 V$ . Eso es $2/ π$ del máximo, el valor medio de un semiciclo de senoide, como debe ser. El máximo es 140 veces los 89 mV del imán empujado a mano, por dos razones: ahora el flujo se invierte por completo en lugar de limitarse a aparecer, y lo hace cien veces por segundo.

Las corrientes inducidas empujan en contra

Una vez que una fem inducida impulsa una corriente, esa corriente está en un campo magnético y siente una fuerza. Por la ley de Lenz, la fuerza se opone siempre al movimiento que la causó, así que la inducción actúa como un freno. La varilla sobre raíles permite cuantificarlo.

Da un empujón a la varilla y suéltala. A la rapidez $v$ , la fem $B Lv$ impulsa la corriente $I = B Lv / R$ por la resistencia $R$ del circuito, y el campo empuja la varilla hacia atrás con la fuerza $B I L = B^{2} L^{2} v / R$ . La segunda ley de Newton para una varilla de masa $m$ es entonces
$m \frac{d v}{d t} = - \frac{B ^{2} L ^{2}}{R} v$
El arrastre es proporcional a la rapidez, así que la rapidez decae exponencialmente, $v = v_{0} e^{- t / τ}$ , con la constante de tiempo $τ = m R / (B^{2} L^{2})$ . Toma los raíles del ejemplo del nivel intermedio, con $B = 0, 40 T$ , $L = 0, 25 m$ y $R = 0, 50 Ω$ , y una varilla de 20 g: $τ = 0, 020 \cdot 0, 50/ (0, 4 0^{2} \cdot 0, 2 5^{2}) = 1, 0 s$ . Lanzada a 2,0 m/s, la varilla avanza por inercia una distancia $v_{0} τ = 2, 0 m$ (la integral de $v$ en todo el tiempo), y sus 0,040 J de energía cinética acaban como calor en la resistencia.

En un metal macizo no hay cable que guíe la corriente: el campo eléctrico inducido impulsa corrientes de Foucault por lazos cerrados dentro del propio metal. Calientan la sartén en una placa de inducción, frenan los trenes sin desgaste y hacen que un imán descienda despacio por un tubo de cobre. Los núcleos de los transformadores se construyen con láminas finas aisladas, que rompen esos lazos y reducen las pérdidas. Una bobina también se opone a los cambios de su propia corriente, porque el flujo de esa corriente atraviesa la propia bobina. Esta autoinducción es la razón de que, al cortar la corriente en una bobina grande, pueda saltar una chispa.

Problema resuelto: un imán que cae a través de la bobina

Suelta el imán de la animación desde el reposo, con el eje vertical y su centro 20 cm por encima del centro de la bobina, para que caiga atravesándola. Primero deja la bobina abierta: no circula corriente, así que nada frena la caída. ¿Cómo se comparan los pulsos de entrada y de salida? Después cierra la bobina con 20 Ω: ¿cuánto frenado añade?

Alturas de los máximos. Cada pulso es más hondo donde la pendiente $d Φ/ d s$ es más empinada, en $s = \pm 15 mm$ , así que
$∣ ε_{m a x} ∣ \approx N \cdot 0, 86 (Φ_{m a x} / a) v = 200 \cdot 0, 86 \cdot (0, 20 \times 1 0^{- 3} /0, 030) v \approx 1, 15 v$
en voltios con $v$ en m/s. El centro del imán llega a $s = - 15 mm$ tras caer 0,185 m, con $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 185 \approx 1, 91 m/s$ , y a $s = + 15 mm$ tras 0,215 m, a unos 2,05 m/s. Así, el pulso de entrada alcanza su máximo cerca de $- 2, 2 V$ y el de salida cerca de $+ 2, 35 V$ , solo 15 ms después.

Anchuras. Cada pulso tiene el área $N Φ_{m a x} \approx 40 mV \cdot s$ , porque el flujo sube desde casi nada hasta $Φ_{m a x}$ y luego vuelve a bajar. Con áreas iguales, el pulso de salida, más alto, tiene que ser más estrecho: el área dividida entre la altura da unos 18 ms para el pulso de entrada y 17 ms para el de salida. Ambos pulsos son unas 25 veces más altos y 25 veces más estrechos que en la animación, la razón entre las rapideces.

Frenado. Ahora cierra la bobina con 20 Ω. La potencia convertida en calor es $ε^{2} / R$ , y su integral $\int ε^{2} d t / R$ , calculada numéricamente sobre los dos pulsos, es de unos 5,8 mJ. Un imán de 50 g llega con $m g h = 0, 050 \cdot 9, 81 \cdot 0, 20 \approx 0, 098 J$ de energía cinética, así que pierde cerca del 6 % de su energía. Su rapidez varía como la raíz cuadrada de la energía, de modo que baja solo un 3 % aproximadamente: era razonable ignorar el frenado en la primera parte. En un tubo de cobre la resistencia es diminuta, las corrientes son grandes y el frenado es lo bastante fuerte como para limitar el imán a una velocidad terminal baja.

Límites de validez: cuándo falla la regla del flujo

La regla del flujo funciona cuando el camino de la corriente se mueve con el material que la conduce, como la varilla sobre raíles. Un disco que gira muestra qué falla cuando no es así, y qué usar en su lugar.

La figura 4 muestra un disco de cobre de radio $r$ que gira con velocidad angular $ω$ en un campo $B$ a lo largo de su eje, saliendo del papel (los puntos). Una escobilla toca el eje y otra el borde, y de ambas parten cables hacia un medidor que lee la fem $ε$ . La corriente recorre los cables, el medidor y un radio del disco entre las escobillas. Ese camino se queda donde está mientras el disco gira, así que el flujo que lo atraviesa nunca cambia, y la regla del flujo no predice ninguna fem. Sin embargo, el medidor marca una.

La ley de fuerza explica la lectura. El metal del disco se mueve, así que las cargas que contiene sienten $q v \times B$ . A la distancia $ρ$ del eje el metal se mueve con rapidez $ω ρ$ , de modo que en la figura 4 las flechas $v$ a lo largo del radio crecen en proporción a $ρ$ , y sus puntas están sobre una recta discontinua que pasa por el centro. La fuerza $F$ sobre una carga positiva apunta a lo largo del radio, alejándose del eje (está dibujada en el radio de la izquierda). Un trozo corto $d ρ$ del radio aporta por tanto $B ω ρ d ρ$ a la fem, y la suma desde el eje hasta el borde es el área bajo esa recta, un triángulo:
$ε = \int_{0}^{r} B ω ρ d ρ = \frac{1}{2} B ω r^{2}$
Para un disco de 10 cm de radio que da 50 vueltas por segundo en 0,50 T, esto da 0,79 V. La regla que nunca falla es la propia ley de fuerza, con la fuerza por unidad de carga integrada a lo largo del camino real de las cargas:
$ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$

La imagen del circuito tiene sus propios límites. Supone que la fem aparece a la vez en todo el lazo, lo que exige un circuito mucho menor que la longitud de onda $c / f$ del campo variable: 6000 km a 50 Hz, pero solo 30 cm a 1 GHz, donde los cables empiezan a radiar como antenas. También hemos ignorado el campo propio de la bobina. Para la bobina de la animación, de longitud $ℓ = 60 mm$ , la estimación de solenoide largo de su inductancia, $μ_{0} N^{2} A / ℓ$ , da menos de 1 mH, y con 20 Ω una constante de tiempo cercana a 40 µs: despreciable frente al pulso de 0,4 s, pero dominante a frecuencias altas.

Cómo se reparte el empuje entre $E$ y $v \times B$ depende del sistema de referencia. A bajas velocidades, un sistema que se mueve con velocidad $v$ ve el campo eléctrico $E^{'} = E + v \times B$ ; a los 78 mm/s de la animación, esta regla falla solo en unos $(v / c)^{2} \approx 7 \times 1 0^{- 20}$ .

En el otro extremo está el anillo superconductor. A lo largo de un lazo de resistencia nula la fem total tiene que ser cero, o la corriente crecería sin límite, así que el flujo a través del anillo, incluido el flujo de su propia corriente, no puede cambiar en absoluto. Ese flujo además solo viene en múltiplos enteros del cuanto de flujo $h /2 e \approx 2, 07 \times 1 0^{- 15} Wb$ . Los 0,20 mWb de la bobina son unos $1 0^{11}$ cuantos; los SQUID, dispositivos superconductores de interferencia cuántica, resuelven una pequeña fracción de uno, suficiente para registrar los campos magnéticos del cerebro.

Lo que viene después

Fuerza magnética sobre cargas en movimiento aportó la mitad $v \times B$ de esta lección. Motores, generadores y transformadores pone la ley a trabajar: un transformador consiste en dos bobinas que comparten un mismo flujo variable, y un motor es un generador funcionando al revés, con la fuerza contraelectromotriz que predice la ley de Lenz. Potencia y energía eléctricas en casa sigue esa energía hasta el enchufe, y el freno de corrientes de Foucault reaparece como amortiguador lineal en Amortiguamiento y resonancia.

Añade la corrección de Maxwell, según la cual un campo eléctrico variable también crea un campo magnético, y los dos campos se regeneran mutuamente en el espacio vacío y viajan a $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ : el tema de Ondas electromagnéticas. Y como solo importa el movimiento relativo entre el imán y la bobina, el camino sigue hacia la Relatividad especial.

Fórmulas clave

Flujo magnético a través de una espira plana

Φ = B A cos θ

El flujo mide cuánto campo magnético atraviesa una espira: el campo por el área, reducido por $cos θ$ cuando el campo está inclinado. Solo la componente del campo a lo largo de la normal cruza la espira; la componente contenida en su plano pasa de largo. El signo depende de qué cara de la espira se tome como positiva, y cambia cuando el campo se invierte o se da la vuelta a la espira.

Símbolos
$Φ$	flujo a través de la espira	$Wb$
$B$	campo magnético, uniforme sobre la espira	$T$
$A$	área de la espira	$m^{2}$
$θ$	ángulo entre el campo y la normal a la espira	$rad$

Cuándo es válida: Para una espira plana en un campo uniforme. En otro caso hay que sumar el campo sobre la superficie, $Φ = \int B \cdot d A$ ; para una bobina de $N$ espiras, se multiplica por $N$ para obtener el flujo concatenado.

Ejemplo: La bobina de la animación, con $B = 0, 20 T$ a lo largo de su eje y $A = 10 c m^{2}$ : $Φ = 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0, 20 mWb$ .

Ley de Faraday: fem media

ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}

La fem inducida en una bobina es igual al número de espiras por el ritmo al que cambia el flujo a través de cada espira. En un intervalo finito, la fórmula da la fem media. El signo menos es la ley de Lenz: la fem impulsa una corriente cuyo propio campo se opone al cambio. Un flujo constante da cero, por grande que sea.

Símbolos
$ε$	fem inducida media	$V$
$N$	número de espiras
$ΔΦ$	variación del flujo a través de una espira	$Wb$
$Δ t$	duración del cambio	$s$

Cuándo es válida: Da la media en $Δ t$ ; la fem en un instante es $- N d Φ/ d t$ . Supone que todas las espiras tienen el mismo flujo y que el camino de la corriente se mueve con el material conductor, como en una varilla sobre raíles.

Ejemplo: El empujón de la animación: $200 \cdot 0, 20 \times 1 0^{- 3} /2, 0 = 0, 020 V$ , es decir, 20 mV de media, mientras la lectura llega cerca de 89 mV.

Ley de Faraday: fem en un instante

ε = - \frac{N d Φ}{d t}

Si se hace tender $Δ t$ a cero se obtiene la fem en cada instante: $- N$ veces la pendiente de la gráfica de $Φ (t)$ . Los tramos empinados dan fem grandes y los planos, ninguna. Integrada en el tiempo, el área bajo un pulso de fem es $- N ΔΦ$ , sea cual sea la rapidez del cambio.

Símbolos
$ε$	fem en el instante $t$	$V$
$N$	número de espiras
$Φ$	flujo a través de una espira	$Wb$
$t$	tiempo	$s$

Cuándo es válida: Vale siempre que el camino de la corriente se mueva con el material conductor, ya varíe el campo o se mueva el circuito. Cuando el material atraviesa un camino que no se mueve, como en un disco que gira con escobillas, hay que usar la ley de fuerza $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ .

Ejemplo: La pendiente máxima del flujo de la animación, unos 0,45 mWb/s, da $200 \cdot 0, 45 \approx 89 mV$ , la lectura máxima.

Fem de movimiento de una varilla que se desliza

ε = B Lv

Una varilla que se mueve a través de un campo arrastra consigo sus cargas, y la fuerza magnética $q v B$ las empuja a lo largo de la varilla. El trabajo por unidad de carga sobre la longitud $L$ es $B Lv$ . La ley de Faraday da el mismo resultado, porque la varilla barre área al ritmo $Lv$ .

Símbolos
$ε$	fem entre los extremos de la varilla	$V$
$B$	campo magnético	$T$
$L$	longitud de la varilla a través del campo	$m$
$v$	rapidez de la varilla	$m/s$

Cuándo es válida: Cuando la varilla, su velocidad y el campo son perpendiculares entre sí y el campo es uniforme. En otro caso solo cuentan las componentes perpendiculares: $ε = \int (v \times B) \cdot d l$ a lo largo de la varilla.

Ejemplo: Una varilla de 25 cm a 2,0 m/s en 0,40 T: $ε = 0, 40 \cdot 0, 25 \cdot 2, 0 = 0, 20 V$ .

Fem de una bobina que gira en un campo uniforme

ε = NB A ω sen ω t

Una bobina que gira con velocidad angular $ω$ tiene un flujo $B A cos ω t$ a través de cada espira, y $- N d Φ/ d t$ da una fem senoidal de amplitud $NB A ω$ . La fem es nula cuando la bobina mira de frente al campo, donde el flujo es máximo, y alcanza su máximo un cuarto de vuelta después, cuando el flujo pasa por cero. Girar el doble de deprisa duplica tanto la amplitud como la frecuencia.

Símbolos
$ε$	fem en el instante $t$	$V$
$N$	número de espiras
$B$	campo magnético, uniforme	$T$
$A$	área de una espira	$m^{2}$
$ω$	velocidad angular de la bobina	$rad/s$
$t$	tiempo transcurrido desde que la bobina miraba de frente al campo	$s$

Cuándo es válida: Para un campo uniforme y una velocidad angular constante, con $t = 0$ cuando la bobina mira de frente al campo. Los generadores reales dan forma al campo y usan varias bobinas, pero la amplitud sigue creciendo en proporción a $ω$ .

Ejemplo: La bobina de la animación girando 50 veces por segundo ( $ω \approx 314 rad/s$ ): $ε_{0} = 200 \cdot 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12, 6 V$ .

Ley de Faraday en forma integral

\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A

El campo eléctrico tangencial, sumado a lo largo de una vuelta a cualquier camino cerrado, es igual a menos la derivada respecto al tiempo del flujo magnético a través de cualquier superficie cuyo borde sea ese camino. Un campo magnético variable está, por tanto, rodeado por un campo eléctrico rotacional, incluso en el vacío, y este campo impulsa cargas por un circuito en reposo. Por el teorema de Stokes equivale a $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ .

Símbolos
$E$	campo eléctrico	$V/m$
$d l$	elemento del camino cerrado	$m$
$B$	campo magnético	$T$
$d A$	elemento de una superficie limitada por el camino, con la normal dada por la regla de la mano derecha	$m^{2}$
$t$	tiempo	$s$

Cuándo es válida: Exacta para un camino fijo en el espacio: es una de las ecuaciones de Maxwell. Para un circuito en movimiento, la fem incluye también $\oint (v \times B) \cdot d l$ .

Ejemplo: Dentro de un solenoide ancho cuyo campo crece a 0,50 T/s, una circunferencia coaxial de radio $r = 10 cm$ cumple $2 π r E = π r^{2} d B / d t$ , de modo que $E = (r /2) d B / d t = 0, 025 V/m$ .

Glosario

Inducción electromagnética: La producción de una fem, y con ella de una corriente en un circuito cerrado, por un flujo magnético variable. Un flujo constante, por grande que sea, no induce nada; Michael Faraday descubrió el efecto en 1831.
Flujo magnético: La cantidad de campo magnético que atraviesa una superficie, $Φ = \int B \cdot d A$ ; para una espira plana en un campo uniforme, $B A cos θ$ . No es el campo en sí: un campo débil sobre una espira grande puede dar más flujo que un campo intenso sobre una espira pequeña.
Flujo concatenado: El flujo a través de una espira multiplicado por el número de espiras, $N Φ$ , cuando todas las espiras son atravesadas por el mismo flujo. La fem es menos su ritmo de cambio; en la animación llega a $200 \cdot 0, 20 mWb = 40 mWb$ .
Fuerza electromotriz (fem): El trabajo por unidad de carga que se realiza sobre las cargas que dan una vuelta completa a un circuito, medido en voltios. A pesar de su nombre no es una fuerza y, a diferencia de una diferencia de potencial, puede ser distinta de cero a lo largo de un lazo cerrado.
Ley de inducción de Faraday: La fem a lo largo de un circuito es igual a menos la variación del flujo concatenado con el tiempo, $ε = - N d Φ/ d t$ . Vale igual cuando varía el campo que cuando el circuito se mueve o se deforma.
Ley de Lenz: La corriente inducida circula de modo que se opone al cambio de flujo que la causa; es el signo menos de la ley de Faraday. Se opone al cambio, no al campo, y expresa la conservación de la energía.
Fem de movimiento: La fem en un conductor que se mueve en un campo magnético, debida a la fuerza magnética $q v \times B$ sobre sus cargas. Para una varilla de longitud $L$ que se mueve con rapidez $v$ a través de un campo $B$ , $ε = B Lv$ .
Campo eléctrico inducido: El campo eléctrico que rodea a un campo magnético variable y cumple $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ . Sus líneas de campo se cierran sobre sí mismas, así que no es el gradiente de ningún potencial y puede impulsar cargas por un lazo.
Corrientes de Foucault: Corrientes inducidas por lazos cerrados dentro de un conductor macizo por un campo variable o en movimiento. Calientan el metal, como en las placas de inducción, y frenan su movimiento; las chapas finas aisladas las mantienen pequeñas en los núcleos de los transformadores.
Generador: Una máquina que convierte trabajo mecánico en energía eléctrica por inducción, normalmente haciendo girar bobinas e imanes uno respecto a otro. Una bobina que gira a $ω$ en un campo uniforme da la fem alterna $NB A ω sen ω t$ .
Autoinducción: La fem inducida en una bobina por los cambios de su propia corriente, que cambian su propio flujo. Por la ley de Lenz se opone al cambio de corriente; la inductancia de la bobina mide su intensidad.
Disco de Faraday: Un disco metálico que gira en un campo paralelo a su eje, con contactos deslizantes en el eje y en el borde. Da una fem constante $\frac{1}{2} B ω r^{2}$ aunque el flujo a través del camino de la corriente no cambie nunca: un caso en el que falla la regla del flujo y hay que usar la ley de fuerza.

Magnitudes
$Φ$	Flujo magnético	$Wb$	El flujo a través de una espira de la bobina, con $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ . En la animación sube desde casi cero hasta 0,20 mWb a medida que entra el imán.
$ΔΦ$	Variación del flujo	$Wb$	Flujo final menos inicial a través de una espira en el intervalo considerado. Fija por sí sola el área de un pulso de fem, $- N ΔΦ$ .
$B$	Campo magnético	$T$	La intensidad del campo magnético, también llamada densidad de flujo magnético: el flujo por metro cuadrado de una superficie perpendicular a él. El campo del imán dentro de la bobina es de 0,20 T.
$N$	Número de espiras		Cuántas veces da el hilo la vuelta a la bobina. Cada espira aporta la misma fem, así que el total es $N$ veces la de una espira; la bobina de la animación tiene 200.
$ε$	Fuerza electromotriz (fem)	$V$	La fem inducida a lo largo del circuito; su signo, respecto al sentido positivo elegido, indica hacia dónde impulsa la corriente. Alcanza unos 89 mV en la animación.
$Δ t$	Intervalo de tiempo	$s$	El tiempo durante el cual cambia el flujo; la ley de Faraday con un intervalo finito da la fem media en él.
$L$	Longitud de la varilla	$m$	La longitud del conductor móvil que atraviesa el campo, por ejemplo la parte de una varilla comprendida entre dos raíles.
$v$	Rapidez de la varilla	$m/s$	La rapidez del conductor a través del campo, en ángulo recto con la varilla y con el campo.
$ω$	Velocidad angular	$rad/s$	Lo deprisa que gira la bobina del generador, $ω = 2 π f$ : 50 vueltas por segundo son unos 314 rad/s.
$E$	Campo eléctrico inducido	$V/m$	El campo eléctrico alrededor de un campo magnético variable; su circulación a lo largo de un camino cerrado es la fem de ese camino.

Prueba

Principiante Un imán está quieto dentro de una bobina conectada a un amperímetro. ¿Qué marca el medidor?
1. Una corriente grande y constante
2. Corriente nula
3. Una corriente que no deja de crecer
4. Una corriente que cambia de sentido sin parar
Ver respuesta
Respuesta: B. Corriente nula
Solo se induce corriente mientras cambia el magnetismo a través de la bobina. Un imán quieto, por potente que sea, no induce nada.
Principiante ¿Cuál de estas acciones hace que la aguja se desvíe más?
1. Meter el imán más deprisa
2. Meter el imán más despacio
3. Dejar el imán quieto dentro de la bobina
4. Usar una bobina con menos espiras
Ver respuesta
Respuesta: A. Meter el imán más deprisa
Un cambio más rápido da una corriente inducida mayor. Más espiras y un imán más fuerte también ayudan; un imán quieto no da nada.
Principiante Al meter un imán en una bobina, la aguja se desvía a la izquierda. ¿Qué ocurre al sacarlo?
1. Se desvía otra vez a la izquierda
2. No se mueve
3. Se desvía a la derecha
4. Se desvía a la izquierda y se queda ahí
Ver respuesta
Respuesta: C. Se desvía a la derecha
Al sacar el imán, el magnetismo cambia en sentido contrario, así que la corriente, y con ella la aguja, se invierten.
Intermedio El flujo en una bobina de 100 espiras pasa de 0 a 2,0 mWb en 0,10 s. ¿Cuál es la fem inducida media?
1. 0,02 V
2. 0,2 V
3. 2,0 V
4. 20 V
Ver respuesta
Respuesta: C. 2,0 V
|ε| = N·ΔΦ/Δt = 100 × 2,0 × 10⁻³ / 0,10 = 2,0 V. Olvidar el factor N da 0,02 V.
Intermedio Se acerca el polo norte de un imán a una bobina. Según la ley de Lenz, el extremo de la bobina que mira al imán se convierte en:
1. Un polo norte, que repele el imán
2. Un polo sur, que atrae el imán
3. Algo no magnético
4. Un polo norte, que atrae el imán
Ver respuesta
Respuesta: A. Un polo norte, que repele el imán
La corriente inducida se opone al cambio: para frenar el polo norte que se acerca, la bobina crea un polo norte que lo repele.
Intermedio Una bobina plana de 0,02 m² de área es perpendicular a un campo de 0,5 T. ¿Qué flujo atraviesa cada espira?
1. 0,04 Wb
2. 0,01 Wb
3. 25 Wb
4. 0,1 Wb
Ver respuesta
Respuesta: B. 0,01 Wb
Φ = B·A = 0,5 × 0,02 = 0,01 Wb. Dividir en lugar de multiplicar da 25 Wb.
Avanzado La bobina de un generador gira en un campo uniforme. En el instante en que el flujo que la atraviesa es máximo, la fem inducida es:
1. También máxima
2. La mitad de su valor máximo
3. Máxima, pero de signo contrario
4. Nula
Ver respuesta
Respuesta: D. Nula
ε = −N·dΦ/dt depende de lo rápido que cambia Φ, no de su valor. Φ = B·A·cos ωt es máximo cuando el plano de la bobina es perpendicular al campo (ωt = 0), justo donde su pendiente, como sen ωt, es nula. La fem es máxima un cuarto de vuelta después, cuando el flujo a través de la bobina es nulo.
Avanzado Se mete un imán dos veces en la misma bobina, una despacio y otra deprisa. ¿Cómo se comparan las integrales ∫ε dt de los dos pulsos?
1. Son iguales, ambas −N·ΔΦ
2. Es mayor en el empujón rápido
3. Es mayor en el empujón lento
4. Es nula en ambos casos
Ver respuesta
Respuesta: A. Son iguales, ambas −N·ΔΦ
∫ε dt = −N·∫dΦ = −N·ΔΦ solo depende del flujo inicial y final. El empujón rápido da un pulso más alto y estrecho, con la misma área.

$C$	El camino cerrado, aquí el circuito, recorrido en pequeños pasos.
$S$	Una superficie cuyo borde es $C$ ; todas esas superficies llevan el mismo flujo.
$d l$	Un pequeño paso a lo largo de $C$ , en el sentido que muestran las puntas de flecha.	$m$
$d A$	Un pequeño parche de $S$ como vector: su longitud es el área del parche, es perpendicular al parche, y la regla de la mano derecha elige su cara.	$m^{2}$
$B$	Campo magnético en el parche.	$T$
$θ$	Ángulo entre $B$ y $d A$ .	$rad$

$B$	Campo magnético, que apunta hacia dentro del papel (las cruces).	$T$
$v$	Velocidad de la varilla, hacia la derecha.	$m/s$
$L$	Longitud de la varilla entre los raíles.	$m$
$v d t$	Lo que se mueve la varilla en el breve tiempo $d t$ .	$m$
$d l$	Un pequeño elemento de la varilla, orientado en el sentido del circuito: el horario, es decir, hacia abajo por la varilla.	$m$
$d A$	La franja que barre $d l$ en el tiempo $d t$ , como vector área $v d t \times d l$ ; apunta hacia dentro del papel.	$m^{2}$
$F$	Fuerza magnética $q v \times B$ sobre una carga positiva $q$ que se mueve con la varilla; apunta hacia arriba por la varilla.	$N$

$t$	Tiempo.	$s$
$Φ$	Flujo a través de una espira de la bobina.	$Wb$
$Φ_{m a x}$	El mayor flujo, que se alcanza cuando el imán está quieto dentro de la bobina.	$Wb$
$ΔΦ$	Subida total del flujo durante el empujón.	$Wb$
$d t$	Un breve intervalo de tiempo: el cateto horizontal del triángulo de pendiente.	$s$
$d Φ$	Cambio de $Φ$ a lo largo de la tangente durante $d t$ : el cateto vertical.	$Wb$
$ε$	Fem inducida en toda la bobina de $N$ espiras.	$V$
$ε_{m a x}$	Profundidad del pulso, bajo el punto más empinado de $Φ$ ; allí la fem es negativa.	$V$
$N ΔΦ$	Tamaño del área sombreada bajo el pulso: $N$ espiras por la subida $ΔΦ$ .	$V \cdot s$

$B$	Campo magnético a lo largo del eje, que sale del papel (los puntos).	$T$
$ω$	Velocidad angular del disco.	$rad/s$
$r$	Radio del disco: la distancia del eje al borde.	$m$
$d ρ$	Un trozo corto del radio, a la distancia $ρ$ del eje.	$m$
$v$	Velocidad del metal en un punto del radio, de módulo $ω ρ$ : crece en proporción a la distancia al eje.	$m/s$
$F$	Fuerza magnética $q v \times B$ sobre una carga positiva del metal: a lo largo del radio, alejándose del eje.	$N$
$ε$	Fem entre las escobillas, la que lee el medidor.	$V$