Gravitation und Umlaufbahnen

Einsteiger

Lass einen Bleistift fallen, und er fällt; schau nach oben, und der Mond hängt am Himmel. Newtons große Idee war, dass ein und dieselbe Anziehung beides erklärt.

Schritt 1. Jeder Körper mit Masse zieht jeden anderen Körper an, und zwar umso stärker, je größer die Massen sind: Du spürst die Anziehung der Erde, nicht aber die winzige Anziehung der Person neben dir.

Schritt 2. Die Anziehung wird mit dem Abstand schwächer, und zwar schnell. Der Abstand wird von Mittelpunkt zu Mittelpunkt gemessen: bei doppeltem Abstand sinkt die Anziehung auf ein Viertel, bei dreifachem auf ein Neuntel. Kurze Frage: Wenn man zwei Objekte zehnmal weiter auseinanderschiebt, was passiert mit ihrer Anziehung? (Antwort: Sie wird hundertmal schwächer.)

Schritt 3. Warum stürzt der Mond nicht auf die Erde? Er fällt, und zwar die ganze Zeit. Ohne Anziehung würde er geradeaus weiterfliegen; die Schwerkraft biegt seine Bahn zur Erde hin. Stell dir eine Kanone auf einem sehr hohen Berg vor, die seitwärts feuert. Eine langsame Kugel landet in der Nähe, eine schnellere weiter weg. Wird sie schnell genug abgefeuert, fällt sie genauso schnell, wie die gekrümmte Erdoberfläche unter ihr wegfällt, sodass sie nie aufkommt: Sie ist in einer Umlaufbahn. Astronauten schweben aus demselben Grund: Sie und ihr Raumschiff fallen gemeinsam, obwohl die Schwerkraft dort oben fast so stark ist wie am Boden.

Schritt 4. Die meisten Umlaufbahnen sind leicht gestreckte Kreise, sogenannte Ellipsen, bei denen der Stern nicht in der Mitte liegt. Ein Planet wird schneller, wenn er zum Stern hin fällt, und langsamer, wenn er sich wieder entfernt.

In der Animation ist der rote Pfeil die Anziehung des Sterns: Er zeigt immer auf den Stern und ist länger, wenn der Planet nah ist. Die blaue gestrichelte Linie zeigt, wohin der Planet flöge, wenn die Schwerkraft ausgeschaltet wäre. Die grauen Punkte, in gleichen Zeitabständen gesetzt, drängen sich weit vom Stern zusammen und liegen nah am Stern weiter auseinander.

Mittelstufe

Das Gravitationsgesetz und die Feldstärke

Jeder Körper mit Masse zieht jeden anderen Körper an. Für die Massen $m_1$ und $m_2$, deren Mittelpunkte den Abstand $r$ haben, gibt Newtons Gravitationsgesetz die Größe der Anziehung:
$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

Hier ist $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ die Gravitationskonstante, so klein, dass sich zwei 70 kg schwere Menschen im Abstand von 1 m mit nur $3,3\times 10^{-7}\mathrm{N}$ anziehen. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Mittelpunkte, und nach dem dritten newtonschen Gesetz zieht jeder Körper den anderen gleich stark: Du ziehst die Erde mit denselben 690 N nach oben, mit denen sie dich nach unten zieht. Bei einem Planeten oder einem Stern wird $r$ vom Mittelpunkt aus gemessen.

Teilt man die Kraft auf eine kleine Masse $m$ durch $m$, erhält man die Feldstärke eines Körpers der Masse $M$, also die Anziehung pro Kilogramm:
$g=\frac{GM}{r^2}$

Ihre Einheit, das Newton pro Kilogramm, ist dieselbe wie m/s²: $g$ ist die Fallbeschleunigung an diesem Ort. An der Erdoberfläche ($M=5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$, $R=6371\mathrm{km}$) beträgt sie 9,8 m/s². Bei $r=2R$, also einen Erdradius höher, ist sie ein Viertel davon, etwa 2,45 m/s², und in 400 km Höhe immer noch etwa 8,7 m/s².

Kreisbahnen

Wie bei der Kreisbewegung braucht ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit $v$ auf einem Kreis mit dem Radius $r$ bewegt, eine Nettokraft $m{v}^2/r$ zum Mittelpunkt. Bei einem Satelliten liefert allein die Gravitation diese Kraft:
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\text{(circular orbit)}$

Die Masse $m$ des Satelliten kürzt sich heraus: Eine Raumstation und ein Schraubenschlüssel, den die Besatzung fallen lässt, teilen sich dieselbe Umlaufbahn. Eine Runde mit der Länge $2\pi r$ dauert $T=2\pi r/v$, also $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$. Höhere Bahnen sind langsamer, $v\propto 1/\sqrt{r}$, und ihre Umläufe deutlich länger, $T\propto r^{3/2}$: Ein Satellit, der knapp über dem Boden kreist, bräuchte etwa 84 Minuten, während der Mond, 60 Erdradien entfernt, 27,3 Tage braucht.

Ellipsen und Keplers drei Gesetze

Ein Satellit, der seitwärts etwas schneller oder langsamer als $\sqrt{GM/r}$ gestartet wird, folgt stattdessen einer Ellipse. Johannes Kepler fand zwischen 1609 und 1619 drei Gesetze der Planetenbewegung, und Newtons Gesetz erklärt alle drei.

• Jeder Planet bewegt sich auf einer Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht, nicht im Mittelpunkt.
• Die Linie von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen; daher ist der Planet im Perihel, seinem nächsten Punkt, am schnellsten, und im Aphel, seinem fernsten, am langsamsten.
• Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der Bahngröße.

Die Größe wird durch die große Halbachse $a$ angegeben: die Hälfte des längsten Durchmessers, also der Mittelwert aus größtem und kleinstem Abstand. Die Exzentrizität $e$ sagt, wie stark gestreckt die Ellipse ist: Der nächste Abstand beträgt $a(1-e)$, der fernste $a(1+e)$, und ein Kreis hat $e=0$. In Newtons Form lautet das dritte Gesetz
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
das Kreisergebnis mit $r$ durch $a$ ersetzt, unabhängig von der Exzentrizität. Um die Sonne, mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten ($1\mathrm{AU}=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$), lautet es einfach $T^2=a^3$.

Energie im Gravitationsfeld

Das Auseinanderziehen zweier Massen kostet Arbeit, daher wächst ihre potentielle Energie mit dem Abstand. Setzt man sie bei unendlich großem Abstand gleich null, ergibt sich
$U=-\frac{GMm}{r}$

Das Minuszeichen bedeutet, dass ein Körper in einer Potentialmulde sitzt: Ihn aus der Ruhe bei $r$ bis ins Unendliche zu heben, kostet die Arbeit $GMm/r$. Auf einer Umlaufbahn bleibt die Gesamtenergie $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ konstant, sodass der Körper schneller wird, wenn er nach innen fällt. Bei $E\ge 0$ entkommt der Körper; von der Erdoberfläche aus braucht man dafür $\sqrt{2GM/R}\approx 11,2km/s$.

Auf einer Ellipse hängt die Energie nur von ihrer Größe ab, $E=-GMm/(2a)$. Setzt man beide Ausdrücke gleich, erhält man die Geschwindigkeit in jedem Abstand, die Vis-viva-Beziehung:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Für einen Kreis ist $r=a$, und sie vereinfacht sich zu $v^2=GM/r$.

Durchgerechnetes Beispiel: der Planet der Animation

Der Stern hat die Sonnenmasse, $GM=1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$, und die Ellipse hat $a=1\mathrm{AU}$ und $e=0,5$. Der Planet bewegt sich daher zwischen 0,5 AE und 1,5 AE und braucht, weil seine große Halbachse $a$ so groß ist wie die der Erde, ein Jahr pro Umlauf. Im Perihel, $7,48\times 10^{10}\mathrm{m}$ vom Stern entfernt,
$g=\frac{1,327\times 10^{20}}{(7,48\times 10^{10}{)}^2}\approx 0,0237m/{\mathrm{s}}^2=23,7mm/{\mathrm{s}}^2$
und dreimal weiter draußen ist es neunmal kleiner, 2,6 mm/s². Das sind die Extremwerte der $F/m$-Anzeige, und der rote $F$-Pfeil schrumpft um denselben Faktor.

Für die Geschwindigkeiten gilt: Die Kreisgeschwindigkeit bei 1 AE ist $\sqrt{GM/a}\approx 29,8km/s$, die Geschwindigkeit der Erde. Mit Abständen in AE ergibt die Vis-viva-Beziehung
$v=29,8\sqrt{2/0,5-1}=29,8\sqrt{3}\approx 51,6km/s$
$v=29,8\sqrt{2/1,5-1}=29,8/\sqrt{3}\approx 17,2km/s$
im Perihel bzw. Aphel, den beiden Enden der $v$-Anzeige.

Das Geschwindigkeitsverhältnis 3 ist der Kehrwert des Abstandsverhältnisses, wie es gleiche Flächen verlangen: An beiden Enden der großen Achse steht die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius; eine kurze Zeit $\Delta t$ überstreicht ein dünnes Dreieck der Fläche $\frac{1}{2}rv\Delta t$, und $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2$. Die Energie pro Kilogramm, $\frac{1}{2}{v}^2-GM/r$, ergibt $-4,4\times 10^{8}J/kg$ an beiden Punkten, also $-GM/(2a)$.

Achte auf den Winkel zwischen den Pfeilen. Auf dem Weg nach innen bildet der lila $v$-Pfeil mit dem roten $F$-Pfeil einen Winkel unter 90°; die Anziehung hat also einen Anteil in Bewegungsrichtung und beschleunigt den Planeten. Auf dem Weg nach außen übersteigt der Winkel 90°, und die Anziehung bremst ihn. Im Perihel und Aphel stehen die Pfeile senkrecht, und die Geschwindigkeit bleibt für einen Augenblick konstant.

Durchgerechnetes Beispiel: zwei Erdsatelliten

Die Internationale Raumstation fliegt etwa 400 km hoch, also $r=6371+400=6771\mathrm{km}$ vom Erdmittelpunkt entfernt. Mit $GM=3,986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ für die Erde
$v=\sqrt{\frac{3,986\times 10^{14}}{6,771\times 10^6}}\approx 7672m/s\approx 7,67km/s$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 6,771\times 10^6}{7672}\approx 5545\mathrm{s}$
etwa 92 Minuten. Dort oben ist $g=GM/r^2\approx 8,7m/{\mathrm{s}}^2$, 89 % des Werts am Boden.

Ein geostationärer Satellit muss einmal pro Erdumdrehung relativ zu den Sternen umlaufen, $T=86164\mathrm{s}$ (23 h 56 min), um über einem Punkt des Äquators zu stehen. Das dritte Gesetz liefert
$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4,216\times 10^7\mathrm{m}$
etwa 35 800 km über dem Äquator, mit $2\pi r/T\approx 3,07km/s$. Zur Kontrolle: Der Radius beträgt $42164/6771\approx 6,23$ mal den der Station, also sollte die Umlaufzeit $6,23^{3/2}\approx 15,5$ mal länger sein, und tatsächlich gilt $1436/92,4\approx 15,5$.

Häufige Fehler

• Zu glauben, in der Umlaufbahn gebe es keine Schwerkraft. In 400 km Höhe beträgt $g$ noch 8,7 m/s²; Astronauten schweben, weil sie und die Station gemeinsam fallen.
• Den Abstand $r$ von der Oberfläche aus zu messen. Mit 400 km statt 6771 km käme für die Station eine Geschwindigkeit von 31,6 km/s heraus statt 7,67 km/s.
• Zu glauben, schwerere Satelliten oder höhere Bahnen bräuchten mehr Geschwindigkeit. Die Formel $v=\sqrt{GM/r}$ enthält keine Satellitenmasse, und der geostationäre Satellit ist langsamer als die Station.
• Den fernsten Abstand in das dritte Gesetz einzusetzen. Halleys Komet bewegt sich zwischen 0,59 AE und 35,1 AE, also ist $a=17,8\mathrm{AU}$ und $T=17,8^{3/2}\approx 75$ Jahre, nicht 208 Jahre.
• Anzunehmen, der Planet werde schneller, weil die Anziehung stark ist. Im Perihel ist die Anziehung am größten, 23,7 mm/s² in der Animation, steht aber senkrecht zur Geschwindigkeit; die Geschwindigkeit hat daher gerade aufgehört zu steigen.

Wo man es antrifft

Navigationssatelliten in 20 200 km Höhe mit 12-Stunden-Umläufen, geostationäre Wetter- und Fernsehsatelliten, die Gezeiten sowie die Massen von Planeten und Sternen, die man an den Umlaufbahnen mit dem dritten Gesetz abliest: Alles beruht auf dieser Lektion.

Das Flächengesetz ist die Erhaltung des Drehimpulses, wie sie in „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“ vorkommt; $U=-GMm/r$ verallgemeinert das $mgh$ aus „Arbeit, Energie und Leistung“. Dasselbe Gesetz vom umgekehrten Quadrat regelt Ladungen in „Das coulombsche Gesetz“, und „Gravitation als gekrümmte Raumzeit“ geht von der Tatsache aus, dass alle Körper mit derselben Beschleunigung fallen.

Fortgeschritten

Vom Apfel zum Mond

Dieser Abschnitt legt das Kraftgesetz dar und die ersten Belege dafür, dass ein einziges Gesetz sowohl den Boden als auch den Himmel beherrscht. Zwei Massen $M$ und $m$ im Abstand $r$ ziehen sich mit einer Kraft der Größe $GMm/r^2$ an, wobei $G$ die Gravitationskonstante ist. In Vektorform, mit $M$ im Ursprung und $m$ an der Position $\vec{r}$,
$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$
wobei $\hat{r}$ der Einheitsvektor von $M$ nach $m$ ist. Das Minuszeichen dreht die Kraft zu $M$ zurück: Die Gravitation zieht an.

Newtons erster Test verglich den Mond mit einem fallenden Apfel. Nimmt die Anziehung mit $1/r^2$ ab, muss sie in 60 Erdradien Entfernung $60^2=3600$-mal schwächer sein als an der Oberfläche. Der Mond ist $r=3,844\times 10^8\mathrm{m}$ entfernt, also rund 60 Erdradien, und umkreist die Erde in 27,32 Tagen ($T=2,36\times 10^6\mathrm{s}$). Um auf seiner Kreisbahn zu bleiben, braucht er die Zentripetalbeschleunigung
$a_c=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
und das umgekehrte Quadratgesetz sagt $g/60^2=9,81/3600\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$ voraus. Beides stimmt überein: Apfel und Mond gehorchen demselben Gesetz.

Warum darf der Abstand vom Erdmittelpunkt aus gemessen werden? Wegen des Schalensatzes: Eine gleichmäßige Kugelschale zieht eine Masse außerhalb genauso an, als sei die ganze Masse der Schale in ihrem Mittelpunkt vereinigt, und übt auf eine Masse im Inneren überhaupt keine resultierende Kraft aus. Ein Planet besteht aus solchen ineinanderliegenden Schalen und wirkt daher von außen wie eine Punktmasse. Im Inneren eines gleichmäßigen Planeten ziehen nur die Schalen nahe dem Mittelpunkt. Ihre Masse wächst mit $r^3$, während ihre Anziehung pro Masseneinheit mit $1/r^2$ abnimmt; daher fällt $g$ proportional zu $r$ bis auf null im Mittelpunkt.

Ist $G$ bekannt, wiegt dasselbe Gesetz auch die Erde. Cavendish bestimmte $G$ 1798 mit einer Torsionswaage. An der Oberfläche gilt $g=GM/R^2$, mit $R$ dem Erdradius, also $M=g{R}^2/G\approx 5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$. Das ergibt eine mittlere Dichte von 5,5 g/cm³, also doppelt so viel wie die Gesteine an der Oberfläche; das Innere, vor allem der Kern, muss daher weit dichter sein.

Gleiche Flächen aus dem Drehimpuls

Kepler fand, dass die Linie vom Stern zu einem Planeten in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht; der Planet bewegt sich also nah am Stern schnell und fern von ihm langsam. Dieser Abschnitt zeigt, dass seine Regel in anderer Form die Erhaltung des Drehimpulses ist.

Legende

$M$	Der Stern mit der Masse $M$.	$\mathrm{kg}$
$r$	Abstand von Stern zu Planet.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Anziehung des Sterns auf den Planeten, längs des Radius zu $M$ hin.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}dt$	Der Schritt des Planeten in der kurzen Zeit $dt$: Geschwindigkeit mal Zeit.	$\mathrm{m}$
$dr$	Anteil des Schritts längs des Radius: die Änderung von $r$.	$\mathrm{m}$
$rd\theta$	Anteil des Schritts quer zum Radius: ein Bogen mit dem Radius $r$.	$\mathrm{m}$
$d\theta$	Winkel, um den sich der Radiusvektor während des Schritts dreht.	$\mathrm{rad}$
$dA$	Fläche des dünnen Dreiecks, das der Radiusvektor während des Schritts überstreicht.	${\mathrm{m}}^2$

Abbildung 1 vergrößert einen kurzen Schritt eines Planeten im Abstand $r$ von seinem Stern $M$. Die Richtung des Radiusvektors ist durch den Winkel $\theta$ gegeben. In einer kurzen Zeit $dt$ bewegt sich der Planet um $\vec{v}dt$, der blaue Pfeil. Zerlege diesen Schritt in zwei Teile. Der Anteil $dr$ längs des Radius ändert nur den Abstand; er überstreicht keine Fläche, weil er den Planeten auf der Linie verschiebt, auf der er ohnehin liegt. Der Anteil quer zum Radius ist der kurze Bogen $rd\theta$, der entsteht, wenn sich der Radiusvektor um den kleinen Winkel $d\theta$ dreht. Nur dieser Anteil überstreicht neue Fläche: das goldene Dreieck mit der Basis $r$ und der Höhe $rd\theta$, also $dA=\frac{1}{2}r\cdot rd\theta$.

Division durch $dt$ ergibt die Flächengeschwindigkeit, die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche: $dA/dt=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, wobei $\dot{\theta }=d\theta /dt$ die Winkelgeschwindigkeit des Radiusvektors ist. Die Geschwindigkeit des Planeten quer zum Radius ist $r\dot{\theta }$, also hat sein Drehimpuls um den Stern den Betrag $L=mr\cdot r\dot{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$. Daher
$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$

Sieh nun auf die Kraft $\vec{F}$ in Abbildung 1: Sie zeigt längs des Radius auf $M$. Das Drehmoment $\vec{r}\times \vec{F}$ ist daher null, denn das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren verschwindet, und ohne Drehmoment kann sich der Drehimpuls $\vec{L}$ nicht ändern. Sein Betrag $L$ legt die Flächengeschwindigkeit fest, das ist Keplers zweites Gesetz. Seine Richtung, senkrecht zu $\vec{r}$ und $\vec{v}$, ändert sich ebenfalls nie, sodass die Bahn in einer Ebene bleibt.

Hier wurde das $1/r^2$ nirgends benutzt. Gleiche Flächen gelten für jede Zentralkraft, also für jede Kraft, die längs der Linie zu einem festen Zentrum zeigt. Keplers zweites Gesetz prüft daher die Richtung der Kraft, nicht, wie ihre Stärke von der Entfernung abhängt.

Der Planet der Animation macht dies anschaulich. Er umkreist einen Stern von einer Sonnenmasse auf einer Ellipse mit der großen Halbachse $a=1\mathrm{AU}$ (der halbe längste Durchmesser) und der Exzentrizität $e=0,5$ (ein Maß dafür, wie stark die Ellipse abgeplattet ist: 0 für einen Kreis, nahe 1 für eine lange, dünne). Ihre kleine Halbachse, der halbe kürzeste Durchmesser, beträgt $b=a\sqrt{1-e^2}\approx 0,866\mathrm{AU}$, und ihre Umlaufzeit ist, wie das dritte Gesetz unten zeigt, ein Jahr. In der Expertenansicht wird jeder goldene Sektor in einem Achtel der Umlaufzeit überstrichen, etwa 45,7 Tage, sodass beide ein Achtel der Ellipsenfläche haben, $\pi ab/8\approx 0,34\mathrm{A}{\mathrm{U}}^2$. Der Sektor im Perihel, dem sternnächsten Punkt, ist kurz und breit; der im Aphel, dem fernsten Punkt, ist lang und schmal.

An den beiden Enden der großen Achse steht die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius; dort gilt also genau $L/m=rv$. Mit den Geschwindigkeiten aus der unten folgenden Vis-viva-Beziehung, 51,6 km/s bei 0,5 AE und 17,2 km/s bei 1,5 AE, ergibt sich $0,5\cdot 51,6=1,5\cdot 17,2\approx 25,8\mathrm{AU}\cdot km/s$ an beiden Enden, wie es sein muss.

Energie und radiale Bewegung

Der Drehimpuls allein sagt nicht, wie nah der Planet dem Stern kommt oder wie weit er sich entfernt. Die Energie sagt es, und sie reduziert die Bahn auf ein eindimensionales Problem im Abstand $r$.

Legende

$U_{eff}$	Effektive potentielle Energie der radialen Bewegung: $L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$.	$\mathrm{J}$
$E$	Gesamtenergie: entlang der Bahn konstant, bei einer gebundenen Bahn negativ; als waagerechtes Niveau gezeichnet.	$\mathrm{J}$
$r$	Abstand vom Stern.	$\mathrm{m}$
$r_{\min }$	Perihelabstand $a(1-e)$: der innere Umkehrpunkt, wo $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$r_{\max }$	Aphelabstand $a(1+e)$: der äußere Umkehrpunkt, wo $\dot{r}=0$.	$\mathrm{m}$
$K_r$	Radiale kinetische Energie $\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$: der Abstand zwischen $E$ und $U_{eff}$.	$\mathrm{J}$
$\frac{L^2}{2m{r}^2}$	Zentrifugalterm: die kinetische Energie der seitlichen Bewegung im Abstand $r$.	$\mathrm{J}$
$U$	Gravitationspotentielle Energie, $-GMm/r$.	$\mathrm{J}$

Beginnen wir mit der potentiellen Energie. Man setzt $U=0$, wenn die beiden Körper unendlich weit voneinander entfernt sind. Dann ist $U$ im Abstand $r$ die Arbeit, die die Gravitation an $m$ verrichtet, wenn sich diese Masse von $r$ bis ins Unendliche entfernt, ${\int }_r^{\infty }(-GMm/r^{\prime 2})d{r}^{\prime }$, was
$U=-\frac{GMm}{r}$
ergibt. Sie ist überall negativ und steigt in großer Entfernung gegen null: die untere gestrichelte Kurve $U$ in Abbildung 2.

Nun die kinetische Energie. Zerlege die Geschwindigkeit in einen radialen Anteil $\dot{r}$, die Änderungsrate des Abstands, und einen seitlichen Anteil $r\dot{\theta }$. Aus $L=m{r}^2\dot{\theta }$ folgt, dass der seitliche Anteil $L/(mr)$ ist, also hat er die kinetische Energie $L^2/(2m{r}^2)$. Die erhaltene Gesamtenergie ist dann
$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$

Da $L$ konstant ist, hängen die beiden letzten Terme nur von $r$ ab und lassen sich zusammen als eine einzige potentielle Energie für die radiale Bewegung auffassen: die effektive potentielle Energie $U_{eff}$, die lila Kurve in Abbildung 2. Sie ist die Summe der beiden gestrichelten Kurven. Die obere, der Zentrifugalterm $L^2/(2m{r}^2)$, steigt steil an, wenn $r$ abnimmt; er wirkt als Zentrifugalbarriere, die verhindert, dass der Planet in den Stern fällt. Die untere ist $U$. Nah dran gewinnt die Barriere, weit draußen gewinnt die Gravitation, und dazwischen bildet die Summe einen Topf.

Lies die Abbildung nun wie eine Kugel, die in einem Tal rollt. Die Energie $E$ ist das waagerechte gestrichelte Niveau, bei jedem $r$ gleich. Der Abstand zwischen diesem Niveau und der lila Kurve ist die radiale kinetische Energie $K_r=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$. Sie kann nicht negativ sein, daher kann sich der Planet nur dort aufhalten, wo die Kurve unterhalb des Niveaus liegt.

Für $E<0$, wie gezeichnet, schneidet das Niveau die Kurve in zwei Umkehrpunkten, $r_{\min }$ und $r_{\max }$. Dort ist $K_r=0$, also $\dot{r}=0$: Der Abstand hört auf zu schrumpfen oder zu wachsen und kehrt um. Der Abstand schwingt daher zwischen $r_{\min }$, dem Perihel, und $r_{\max }$, dem Aphel. Berührt das Niveau gerade den Boden des Topfes, fallen die beiden Umkehrpunkte zusammen, und die Bahn ist ein Kreis. Für $E\ge 0$ trifft das Niveau die Kurve nur einmal, an der Barriere, und der Planet entkommt ins Unendliche.

Die Form der Bahn

Abbildung 2 zeigt den Bereich der Abstände, aber nicht die Kurve, die der Planet durchläuft. Um die Kurve zu finden, schreibe die radiale Bewegungsgleichung statt mit der Zeit mit dem Winkel $\theta$.

In radialer Richtung lautet das zweite newtonsche Gesetz $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-GMm/r^2$; der Term $-r{\dot{\theta }}^2$ ist die Zentripetalbeschleunigung, die aus der Drehung des Radiusvektors kommt. Zwei Schritte machen die Gleichung lösbar. Erstens verwende $u=1/r$ als Variable. Zweitens tausche die Zeit gegen den Winkel: $\dot{\theta }=L/(m{r}^2)=(L/m)u^2$. Dann ist $\dot{r}=-(L/m)du/d\theta$ und $\ddot{r}=-(L/m{)}^2{u}^2{d}^{2}u/d{\theta }^2$, und nach Division durch $-m(L/m{)}^2{u}^2$ wird das Gesetz linear:
$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{GM{m}^2}{L^2}$

Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators, der von einer konstanten Kraft getrieben wird; ihre Lösung ist diese Konstante plus ein Kosinus: $u=(1+e\cos \theta )/p$, mit $p=L^2/(GM{m}^2)$ und $\theta$ vom Perihel aus gemessen. Als Funktion von $r$:
$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$
Das ist ein Kegelschnitt mit dem Stern in einem Brennpunkt: eine Ellipse für $e<1$ ($E<0$), eine Parabel für $e=1$ ($E=0$) und eine Hyperbel für $e>1$ ($E>0$). Für die Ellipse ergeben Perihel bei $\theta =0$ und Aphel bei $\theta =\pi$ $r_{\min }=p/(1+e)$ und $r_{\max }=p/(1-e)$. Ihre Summe ist die große Achse $2a$, also $p=a(1-e^2)=b^2/a$, $r_{\min }=a(1-e)$ und $r_{\max }=a(1+e)$.

Das umgekehrte Quadratgesetz ist etwas Besonderes. Nach dem Satz von Bertrand schließen sich gebundene Bahnen nur bei zwei Kräften immer: beim umgekehrten Quadratgesetz und bei der linearen Federkraft. Bei jedem anderen Potenzgesetz schließt sich eine gebundene Bahn nicht, und ihr Perihel wandert bei jedem Umlauf ein wenig weiter.

Die Energie legt die Größe der Ellipse fest. An jedem Umkehrpunkt gilt $\dot{r}=0$, also $E=L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$. Mit $r^2$ multipliziert ergibt sich eine quadratische Gleichung, $E{r}^2+GMmr-L^2/(2m)=0$, deren beide Wurzeln $r_{\min }$ und $r_{\max }$ sind. Die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist der negative mittlere Koeffizient geteilt durch den ersten, also $r_{\min }+r_{\max }=-GMm/E$. Diese Summe ist $2a$, daher
$E=-\frac{GMm}{2a}$
Die Energie legt die Größe $a$ fest; bei gegebenem $a$ bestimmt der Drehimpuls $p$ und damit die Form $e$.

Setzt man dies gleich der Energie an einem beliebigen Punkt der Bahn, $\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$, und teilt durch $m/2$, erhält man die Vis-viva-Beziehung, die die Animation für ihre Geschwindigkeitsanzeige verwendet:
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
Bei einem Kreis ist $r=a$ und $v^2=GM/r$; bei 1 AE von der Sonne ergibt das 29,8 km/s, die Bahngeschwindigkeit der Erde. Für den Planeten der Animation mit $a=1\mathrm{AU}$ ist die Geschwindigkeit $29,8\sqrt{2/r-1}km/s$ mit $r$ in AE: 51,6 km/s im Perihel und 17,2 km/s im Aphel.

Keplers drittes Gesetz

Das dritte Gesetz verknüpft die Umlaufzeit mit der Größe der Bahn und wiegt, rückwärts gelesen, den Zentralkörper.

In einer Umlaufzeit überstreicht der Radiusvektor die ganze Ellipse mit der Fläche $\pi ab$ mit der konstanten Rate $L/(2m)$, also $T=2\pi abm/L$. Quadrieren ergibt $T^2=4{\pi }^2{a}^2{b}^2{m}^2/L^2$. Aus der Bahngleichung folgt $L^2=GM{m}^{2}p$ mit $p=b^2/a$, also $L^2=GM{m}^2{b}^2/a$. Beim Einsetzen kürzen sich $b^2$ und $m^2$ heraus:
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
Die Umlaufzeit hängt nur von $a$ ab, nicht von der Form: Ein Kreis mit dem Radius 1 AE und die Ellipse der Animation mit $a=1\mathrm{AU}$ und $e=0,5$ brauchen beide ein Jahr.

Rückwärts gelesen wiegt das Gesetz die Sonne. Die Erdbahn mit $a=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$ und $T=3,156\times 10^7\mathrm{s}$ ergibt $GM=4{\pi }^2{a}^3/T^2\approx 1,327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ und damit eine Sonnenmasse von $1,99\times 10^{30}\mathrm{kg}$.

Die Zeit auf der Bahn: Keplergleichung

Die bisherigen Gesetze geben Form und Umlaufzeit, aber nicht die Position des Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dafür braucht man noch einen Winkel, die exzentrische Anomalie, und eine Gleichung dafür.

Legende

$O$	Mittelpunkt der Ellipse und des gestrichelten Kreises.
$M$	Der Stern, in einem Brennpunkt der Ellipse; seine Masse ist $M$.	$\mathrm{kg}$
$a$	Große Halbachse: vom Mittelpunkt bis zum Ende der langen Achse; zugleich der Radius des gestrichelten Kreises.	$\mathrm{m}$
$b$	Kleine Halbachse: vom Mittelpunkt bis zum Ende der kurzen Achse.	$\mathrm{m}$
$ae$	Abstand vom Mittelpunkt zum Stern: die Exzentrizität $e$ mal $a$.	$\mathrm{m}$
$r$	Abstand von Stern zu Planet.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Exzentrische Anomalie: der Winkel bei $O$, von der Achse in Richtung Perihel bis zum Kreispunkt genau über dem Planeten.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 zeigt die Ellipse mit ihrem Mittelpunkt $O$, der großen Halbachse $a$ und der kleinen Halbachse $b$. Der Stern $M$ sitzt in einem Brennpunkt im Abstand $ae$ von $O$; das Perihel ist das Ende der großen Achse auf der Seite des Sterns. Um $O$ zeichne den gestrichelten Kreis mit dem Radius $a$, der die Ellipse an beiden Enden der großen Achse berührt. Ziehe vom Planeten aus die dünne gestrichelte Linie senkrecht zur großen Achse, bis sie den Kreis trifft. Die Linie von $O$ zu diesem Kreispunkt bildet mit der Achse in Richtung Perihel den Winkel $\psi$: Dieser Winkel ist die exzentrische Anomalie.

Staucht man den Kreis mit dem Faktor $b/a$ zur Achse hin, wird er zur Ellipse. Von $O$ aus gemessen steht der Planet also bei $(a\cos \psi ,b\sin \psi )$, der Stern bei $(ae,0)$. Der Satz des Pythagoras liefert den Abstand zwischen beiden, und mit $b^2=a^2(1-e^2)$ fassen sich die Terme zu einem vollständigen Quadrat zusammen:
$r^2=a^2(\cos \psi -e{)}^2+b^2{\sin }^2\psi =a^2(1-e\cos \psi {)}^2$
Also $r=a(1-e\cos \psi )$: am kleinsten, $a(1-e)$, bei $\psi =0$, und am größten, $a(1+e)$, bei $\psi =\pi$.

Nun die Zeit. Nach dem Flächensatz ist die Zeit $t$ seit dem Perihel proportional zur seitdem überstrichenen Fläche, und $t/T$ ist diese Fläche geteilt durch die ganze Ellipsenfläche $\pi ab$. Die Fläche findet man am einfachsten am Kreis und staucht sie dann. Am Kreis ist die Fläche vom Perihel bis zum Punkt bei $\psi$, vom Stern aus gesehen, der Sektor bei $O$ mit dem Winkel $\psi$, mit der Fläche $\frac{1}{2}{a}^2\psi$, abzüglich des Dreiecks mit den Ecken $O$, dem Stern und diesem Punkt. Dieses Dreieck hat die Basis $ae$ und die Höhe $a\sin \psi$, also die Fläche $\frac{1}{2}{a}^{2}e\sin \psi$. Staucht man mit $b/a$, verkleinert sich jede Fläche um denselben Faktor, sodass die überstrichene Fläche auf der Ellipse $\frac{1}{2}ab(\psi -e\sin \psi )$ ist. Division durch $\pi ab$ und Multiplikation mit $2\pi$ ergibt die Keplergleichung:
$\frac{2\pi t}{T}=\psi -e\sin \psi$

Ist $\psi$ gegeben, folgt die Zeit sofort; ist die Zeit gegeben, gibt es für $\psi$ keine geschlossene Lösung. Die Animation findet $\psi$ bei jedem Zeitschritt durch das newtonsche Iterationsverfahren und berechnet dann die Position. Der Graph $r(t)$ der Expertenansicht zeigt das Ergebnis: einen breiten, flachen Kamm bei 1,5 AE und eine schmale, scharfe Mulde bei 0,5 AE. Der Planet kreuzt die kleine Achse bei $\psi =\pi /2$ und $\psi =3\pi /2$; setzt man diese in die Keplergleichung ein, zeigt sich, dass er einen Anteil $\frac{1}{2}+e/\pi \approx 0,66$ seines Jahres auf der fernen Seite der kleinen Achse verbringt, etwa 241 Tage, gegenüber 124 Tagen auf der nahen Seite.

Durchgerechnete Aufgabe: eine Transferbahn

Auch Raumsonden fliegen auf Keplerbahnen. Der günstigste Weg mit zwei Zündungen zwischen zwei Kreisbahnen um denselben Stern ist ein Hohmann-Transfer: eine halbe Ellipse, die beide Kreise berührt.

Legende

$M$	Der Stern, im Mittelpunkt beider Kreise; seine Masse ist $M$.	$\mathrm{kg}$
$r_1$	Radius der inneren Kreisbahn, auf der das Raumschiff startet.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Radius der äußeren Kreisbahn, das Ziel.	$\mathrm{m}$
$\Delta v_1$	Erste Zündung, vorwärts auf dem inneren Kreis: von der Kreisgeschwindigkeit auf die Perihelgeschwindigkeit der Ellipse.	$m/s$
$\Delta v_2$	Zweite Zündung, vorwärts im Aphel, dem fernen Ende der Ellipse: von der Aphelgeschwindigkeit auf die Kreisgeschwindigkeit.	$m/s$

Abbildung 4 zeigt ihn maßstabsgetreu für $r_1=0,5\mathrm{AU}$ und $r_2=1,5\mathrm{AU}$, sodass die Transferellipse die Ellipse der Animation ist. Die Sonde startet auf dem inneren Kreis. Eine Vorwärtszündung $\Delta v_1$ setzt sie auf die Ellipse, deren Perihel den inneren Kreis berührt und deren Aphel den äußeren berührt. Ihre große Achse ist daher $r_1+r_2$, also $a=(r_1+r_2)/2=1\mathrm{AU}$. Geflogen wird nur die durchgezogene Hälfte der Ellipse; am fernen Ende macht eine zweite Vorwärtszündung $\Delta v_2$ die Bahn kreisförmig.

Die erste Zündung. Auf einem Kreis liefert die Vis-viva-Beziehung $v=\sqrt{GM/r}$, also ist die Kreisgeschwindigkeit bei $r_1$ $29,8\sqrt{2}\approx 42,1km/s$. Die Transferellipse braucht die Perihelgeschwindigkeit von 51,6 km/s, also $\Delta v_1=9,5km/s$.

Die zweite Zündung. Eine halbe Umlaufbahn später, nach $T/2\approx 183$ Tagen, erreicht die Sonde das Aphel mit 17,2 km/s. Das liegt unter der dortigen Kreisgeschwindigkeit $29,8/\sqrt{1,5}\approx 24,3km/s$, also $\Delta v_2=7,1km/s$.

Beide Zündungen schoben nach vorn, zusammen 16,6 km/s, und doch ist die Sonde am Ende 17,8 km/s langsamer als am Anfang. Die Energie löst das Paradoxon auf. Pro Kilogramm hat eine Kreisbahn die Gesamtenergie $E=-GM/(2r)$, die kinetische Energie $GM/(2r)=-E$ und die potentielle Energie $-GM/r=2E$. Von $r_1$ bis $r_2$ steigt die Gesamtenergie von $-8,87\times 10^8$ auf $-2,96\times 10^{8}J/kg$, also liefert das Triebwerk $5,91\times 10^{8}J/kg$. Die potentielle Energie steigt um das Doppelte, $1,18\times 10^{9}J/kg$, und die kinetische Energie sinkt um $5,91\times 10^{8}J/kg$, um die Differenz auszugleichen. Höhere Bahnen sind langsamer, enthalten aber mehr Energie.

Dieselbe Route von der Erde zum Mars, von 1 AE auf 1,52 AE, hat $a\approx 1,26\mathrm{AU}$. Mit $T$ in Jahren und $a$ in AE lautet das dritte Gesetz $T=a^{3/2}$, also dauert die Reise $\frac{1}{2}\cdot 1,26^{3/2}\approx 0,707$ Jahre, etwa 258 Tage.

Jenseits zweier Punktmassen

Reale Systeme unterscheiden sich in drei Punkten von einer Punktmasse, die eine feste umkreist: Beide Körper bewegen sich, Körper haben eine Ausdehnung, und meist sind es mehr als zwei.

Zwei Körper umkreisen ihren gemeinsamen Schwerpunkt, und ihre Relativbahn gehorcht denselben Gesetzen, wobei $M$ durch $M+m$ ersetzt wird: $T^2=4{\pi }^2{a}^3/(G(M+m))$. Der Schwerpunkt von Erde und Mond liegt 4670 km vom Erdmittelpunkt entfernt, also im Inneren der Erde; der von Sonne und Jupiter liegt 1,07 Sonnenradien vom Sonnenmittelpunkt entfernt, knapp über ihrer Oberfläche. Das kleine Taumeln eines Sterns um einen solchen Punkt verrät Planeten bei anderen Sternen.

Ein Körper mit endlicher Ausdehnung spürt außerdem, wie sich das Feld über ihn hinweg ändert. Das Feld $GM/d^2$ eines Körpers der Masse $M$ im Abstand $d$ ändert sich über den Erdradius $R$ um etwa $R$ mal seine Änderungsrate mit dem Abstand, $2GMR/d^3$. Für den Mond ergibt das $1,1\times 10^{-6}m/{\mathrm{s}}^2$: die Gezeitenbeschleunigung, die die Ozeane zu zwei Wülsten auseinanderzieht, einem zum Mond hin und einem auf der abgewandten Seite. Das Feld der Sonne an der Erde ist etwa 180-mal so stark wie das des Mondes, doch ihre Gezeitenwirkung ist nur etwa halb so groß wie die des Mondes, weil die Differenz mit $1/d^3$ abnimmt und die Sonne etwa 390-mal weiter entfernt ist.

Andere Planeten stören jede Bahn; sie lassen das Perihel des Merkur um etwa 530″ pro Jahrhundert wandern. Die äquatoriale Abplattung der Erde dreht die Ebenen der Satellitenbahnen, um etwa 1° pro Tag bei den nahezu polaren Bahnen, die so gewählt werden, dass sie mit der Sonne Schritt halten. Für drei oder mehr Körper gibt es keine allgemeine Formel; Planetentafeln entstehen durch numerische Integration.

Gültigkeitsgrenzen

Das umgekehrte Quadratgesetz ist von Abständen unter einem Zehntel Millimeter bis zu planetaren Entfernungen bestätigt, und die Gleichheit von schwerer und träger Masse auf etwa einen Teil in $10^{15}$. Die newtonsche Gravitation ist der Grenzfall schwacher Felder und langsamer Bewegungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Größe der Korrekturen bestimmt die reine Zahl $GM/(r{c}^2)$, mit $c$ der Lichtgeschwindigkeit: etwa $7\times 10^{-10}$ an der Erdoberfläche und $1\times 10^{-8}$ bei 1 AE von der Sonne.

So klein sie sind, die Korrekturen werden gemessen. Merkurs Perihel wandert um zusätzliche 43″ pro Jahrhundert; der Planet der Animation mit $a=1\mathrm{AU}$ und $e=0,5$ würde sich um etwa 5″ pro Jahrhundert drehen. Uhren von Navigationssatelliten in 20 200 km Höhe gehen gegenüber Bodenuhren etwa 46 Mikrosekunden pro Tag vor, weil dort die Schwerkraft schwächer ist; ihre Bahngeschwindigkeit nimmt etwa 7 zurück, sodass ein Nettogewinn von etwa 38 bleibt. Nahe einem Neutronenstern, wo $GM/(r{c}^2)\approx 0,2$ ist, und am Horizont eines Schwarzen Lochs, wo sie 0,5 erreicht, versagt das newtonsche Gesetz vollständig.

Die Gravitation ist außerdem extrem schwach: Zwei Elektronen stoßen sich elektrisch etwa $4\times 10^{42}$-mal stärker ab, als sie sich gravitativ anziehen. Sie beherrscht den Himmel nur, weil Masse nur ein Vorzeichen kennt, sodass sie sich immer addiert, während sich die positiven und negativen Ladungen großer Körper aufheben. An der Planck-Länge, etwa $1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, wären Gravitation und Quantenmechanik beide wichtig, und keine geprüfte Theorie deckt diesen Bereich ab.

Wohin das führt

Das Flächengesetz ist die Erhaltung des Drehimpulses, wie sie in „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“ vorkommt, und $U=-GMm/r$ verallgemeinert das $mgh$ aus „Arbeit, Energie und Leistung“. Dasselbe umgekehrte Quadratgesetz regelt Ladungen in „Das coulombsche Gesetz“, sein Feldbild setzt sich in „Elektrisches Feld und Potential“ fort, und das Elektron bewegt sich im Bohr-Atom auf einer Keplerbahn mit gequanteltem Drehimpuls, siehe „Atommodelle: das bohrsche Atom“.

Im Inneren einer gleichmäßigen Erde gilt $g\propto r$, eine rückstellende Kraft, die mit dem Abstand vom Mittelpunkt wächst; das ist die Bedingung für „Harmonische Schwingung“: Ein Zug in einem reibungsfreien Tunnel durch den Mittelpunkt bräuchte für die Durchquerung etwa 42 Minuten, die Hälfte der 84-Minuten-Periode einer knapp über der Oberfläche verlaufenden Bahn. Schließlich ist die Gleichheit von schwerer und träger Masse der Ausgangspunkt für „Gravitation als gekrümmte Raumzeit“, wo Bahnen zu den geradesten Wegen durch die gekrümmte Raumzeit werden.