Schall und Doppler-Effekt

Einsteiger

Beobachte eine Ente, die über einen ruhigen Teich paddelt. Sie erzeugt ständig neue Wellenkreise, aber jeder breitet sich von dem Ort aus, an dem die Ente war, als sie ihn erzeugte. Vor der Ente liegen die Kreise dicht beisammen, hinter ihr weit auseinander. Schall einer bewegten Sirene verhält sich in Luft genauso, und genau das zeigen die blauen Ringe in der Animation.

Dein Ohr nimmt die Tonhöhe danach wahr, wie oft Wellenberge ankommen. Der Zuhörer vorn bekommt die Wellenberge dicht hintereinander und oft, daher klingt die Sirene höher. Der Zuhörer hinten bekommt sie auseinandergezogen und selten, daher klingt sie tiefer. Die Sirene selbst ändert ihren Ton nie: Der Fahrer hört ihn ständig normal. Diese durch Bewegung verursachte Änderung der Tonhöhe ist der Doppler-Effekt.

Es funktioniert auch umgekehrt. Läufst du auf eine ruhende Glocke zu, triffst du ihre Wellenberge früher, als wenn du stehen würdest, daher klingt der Ton etwas höher. Läufst du weg, wird er tiefer.

Zwei Irrtümer sind häufig. Die Tonhöhe steigt nicht weiter, je näher der Krankenwagen kommt: Sie bleibt hoch, solange er sich nähert, bleibt tief, solange er sich entfernt, und fällt im Moment des Vorbeifahrens. Näherkommen macht nur lauter, das ist ein anderer Effekt.

Und wenn die Quelle schneller ist als ihre eigenen Wellen? Dann lässt sie alle ihre Wellenberge zurück, und sie stauen sich entlang eines V, wie das Kielwasser eines Schnellboots. Für Schall in Luft ist dieser Stau ein Überschallknall. Er ist ständig zu hören, solange ein Flugzeug schneller als der Schall fliegt, nicht nur in dem Moment, in dem es diese Geschwindigkeit erreicht.

Prüfe dich selbst: Ein Auto hupt, während es sich von dir entfernt. Ist der Ton, den du hörst, höher oder tiefer als der, den der Fahrer hört? (Tiefer.)

Mittelstufe

Was wir messen und von wo aus

Schall in Luft ist ein fortschreitendes Muster aus Verdichtungen und Verdünnungen. Eine Quelle, die $f$-mal pro Sekunde schwingt (ihre Frequenz in Hertz, Hz), sendet in jeder Periode $T=1/f$ einen Wellenberg aus. Die Wellenberge laufen mit der Schallgeschwindigkeit $v$, die von der Luft bestimmt wird, nicht von der Quelle: etwa 343 m/s bei 20 °C. Benachbarte Wellenberge liegen eine Wellenlänge $\lambda =v/f$ auseinander, 0,85 m für einen 400-Hz-Ton in Luft mit 340 m/s.

Ein Zuhörer zählt etwas anderes: die Wellenberge, die pro Sekunde das Ohr erreichen. Diese empfangene Frequenz $f^{\prime }$ nimmt das Ohr als Tonhöhe wahr, und wenn sich nichts bewegt, gilt $f^{\prime }=f$. Der Doppler-Effekt ist der Unterschied, der durch Bewegung entsteht. Alle Geschwindigkeiten werden relativ zur Luft gemessen: $v_s$ für die Quelle und $v_o$ für den Beobachter, den Zuhörer, wobei sich beide entlang der Linie bewegen, die sie verbindet.

Eine bewegte Quelle verändert die Wellenlänge

Sobald ein Wellenberg die Quelle verlassen hat, breitet er sich mit $v$ vom Aussendepunkt aus, egal was die Quelle danach tut. Die Quelle bewegt sich mit $v_s$ auf einen Zuhörer zu. Während einer Periode läuft der letzte Wellenberg $vT$ voraus, während die Quelle selbst $v_{s}T$ zurücklegt. Vor der Quelle sind die Wellenberge daher dichter gepackt:
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(in front of the source)}$

Hinter der Quelle beträgt der Abstand $(v+v_s)/f$. Die Wellenberge laufen weiterhin mit $v$, daher erhält ein ruhender Zuhörer vorn $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ Wellenberge pro Sekunde, mehr als $f$, und einer hinten $fv/(v+v_s)$, weniger.

Ein bewegter Zuhörer ist eine andere Geschichte. Eine ruhende Quelle behält den gewöhnlichen Abstand $\lambda =v/f$. Ein Zuhörer, der mit $v_o$ auf sie zugeht, trifft ihre Wellenberge mit der Relativgeschwindigkeit $v+v_o$, also $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$. Die Bewegung der Quelle verändert die Wellenlänge in der Luft; die Bewegung des Zuhörers verändert nur, wie oft er auf die Wellenberge trifft.

Die Doppler-Formeln

Bei Bewegung entlang der Verbindungslinie von Quelle und Zuhörer, wobei alle Geschwindigkeiten relativ zur Luft gemessen werden, gibt es drei Grundfälle:

• $f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(source approaching)}$
• $f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(source receding)}$
• $f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(observer approaching)}$

Bewegen sich beide, multiplizieren sich die Effekte: $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$ für Annäherung. Eine Geschwindigkeit, die wegführt, wechselt ihr Vorzeichen. Prüfe jede Antwort: Annäherung erhöht die Frequenz, Entfernung senkt sie, und wenn sich relativ zur Luft nichts bewegt, gilt $f^{\prime }=f$. Ein Auto, das knapp vor einem Krankenwagen mit seiner Geschwindigkeit $u$ fährt, hört $f(v-u)/(v-u)=f$, genau wie der Fahrer des Krankenwagens.

Durchgerechnetes Beispiel: die Sirene aus der Animation

Die Animation übertreibt die Bewegung, damit die Verdichtung gut zu sehen ist. Die Sirene sendet $f=400\mathrm{Hz}$ und bewegt sich mit $v_s=170m/s$, der Hälfte von $v=340m/s$. In Ruhe wären ihre Wellenberge $\lambda =340/400=0,85\mathrm{m}$ voneinander entfernt. Vor ihr und hinter ihr gilt:
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0,425\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{0,425}=800\mathrm{Hz}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1,275\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{1,275}\approx 267\mathrm{Hz}$

Das sind die Zahlen auf dem Bildschirm. Die lila Anzeige nennt 800 Hz für den lila Zuhörer vorn, die grüne Anzeige 267 Hz für den grünen Zuhörer hinten. Die Beschriftungen in den unteren Ecken zeigen die Wellenlängen, gerundet auf 0,43 m und 1,28 m. Die blauen Ringe liegen vorn im halben Abstand der Lücke bei Ruhe und hinten im anderthalbfachen; der orangerote Pfeil $v_s$ zeigt die Geschwindigkeit der Sirene.

Jede Seite prüft sich selbst: $f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0,425=340m/s$. Die Wellenberge behalten ihre Geschwindigkeit, nur ihr Abstand ändert sich. Ein Zuhörer, an dem diese Sirene vorbeifährt, hört ihren Ton um den Faktor $(v+v_s)/(v-v_s)=3$ fallen, eine Oktave und eine Quinte.

Durchgerechnetes Beispiel: ein vorbeifahrender Krankenwagen

Ein Krankenwagen mit einer 700-Hz-Sirene fährt mit 25 m/s (90 km/h) an einem Tag, an dem $v=343m/s$ gilt. Wenn du nahe an der Straße stehst, hörst du
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Hz}$
vor und nach dem Vorbeifahren: ein Abfall von etwa 103 Hz, ein Verhältnis von $368/318\approx 1,16$, mehr als ein ganzer Ton (1,12).

Fahre nun selbst mit 20 m/s auf den Krankenwagen zu. Vor dem Begegnen nähern sich beide, danach entfernen sich beide:
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Hz}$
Der Abfall wächst auf etwa 185 Hz, weil jetzt beide Bewegungen beitragen.

Tausche schließlich die Rollen. Du fährst mit 25 m/s auf einen ruhenden 700-Hz-Alarm zu und hörst $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Hz}$, etwa 4 Hz weniger als der bewegte Krankenwagen. Bei Straßengeschwindigkeiten ist das klein, aber real, denn nur die Bewegung der Quelle verändert die Wellenlänge in der Luft.

Das Wellenfront-Bild lesen

Jeder blaue Ring in der Animation ist ein Wellenberg, zentriert auf den Punkt, an dem die Sirene ihn ausgesandt hat, nicht dort, wo sie jetzt ist. Die Mittelpunkte liegen in einer Reihe entlang der Straße, der jüngste und kleinste Ring am nächsten bei der Sirene. Der Abstand ist geradeaus vorn am kleinsten, hinten am größten und ändert sich dazwischen stetig.

Ein Zuhörer neben der Straße hört dieses Muster vorbeiziehen. Solange die Sirene weit oben auf der Straße ist, sind die Wellenberge, die sie erreichen, fast so gestaucht wie die geradeaus vorn. Ist sie weit unten, sind sie fast so gestreckt wie die hinten. Dazwischen gleitet die Tonhöhe nach unten, und zwar umso plötzlicher, je näher der Zuhörer an der Straße steht. Die Ringe zeigen die Tonhöhe, nicht die Lautstärke. Der Schall wird auch lauter, wenn sich die Sirene nähert, weil ihre Leistung auf kleinere Kugeln verteilt wird.

Häufige Fehler

• Die Tonhöhe steigt nicht, wenn die Quelle näher kommt. Eine Sirene, die mit konstant 25 m/s direkt auf dich zufährt, bleibt bei 755 Hz. Nur die Lautstärke wächst, um etwa 6 dB bei jeder Halbierung des Abstands.
• Bewegung der Quelle und Bewegung des Beobachters sind nicht austauschbar. In Luft mit 340 m/s wird eine 500-Hz-Sirene, die sich mit 30 m/s nähert, mit 548 Hz gehört. Ein Zuhörer, der sich mit 30 m/s einer ruhenden Sirene nähert, hört 544 Hz.
• Geschwindigkeiten werden relativ zur Luft gemessen. Ein Wind von 10 m/s verändert die Schallgeschwindigkeit in seiner Richtung auf 353 bzw. 333 m/s. Sind aber Quelle und Zuhörer beide in Ruhe, braucht jeder Wellenberg gleich lange, und die Tonhöhe bleibt bei $f$.
• Bewegung verändert die Quelle nicht: Der Krankenwagenfahrer, der mit der Sirene fährt, hört ihren wahren Ton, 400 Hz in der Animation und 700 Hz im Krankenwagen.
• Addiere die Geschwindigkeit nicht zur Frequenz: Eine 500-Hz-Quelle, die sich mit 30 m/s nähert, ergibt 548 Hz, nicht 530 Hz. Annäherung muss über $f$ liegen und Entfernung darunter, hier bei 459 Hz.

Wo du dem Effekt begegnest

Radarpistolen messen die Doppler-Verschiebung eines Mikrowellen-Echos. Doppler-Ultraschall zeigt das Blut, das in einer Arterie fließt. Wetterradar kartiert die Winde im Inneren von Gewittern, und Fledermäuse verfolgen Insekten an der Tonhöhe ihrer Echos. Astronomen lesen die Bewegung von Sternen an den Verschiebungen ihrer Spektrallinien ab, rot für sich entfernend und blau für sich nähernd. Planeten um andere Sterne finden sie an dem Taumeln, das diese verursachen.

Die nächste Lektion, Lautstärke, Intensität und Dezibel, behandelt die andere Veränderung, die du beim Nähern einer Sirene hörst: ihre wachsende Lautstärke. Interferenz und Superposition erklärt die Schwebungen, mit denen Instrumente kleine Verschiebungen messen. Spezielle Relativitätstheorie zeigt, wie der Doppler-Effekt für Licht funktioniert, das keine Luft hat, gegen deren Geschwindigkeit man messen könnte.

Fortgeschritten

Wellenberge zählen: eine bewegte Quelle

Eine Sirene mit der Frequenz $f$ fährt mit der Geschwindigkeit $v_s$ durch ruhende Luft, in der sich Schall mit der Geschwindigkeit $v$ ausbreitet. Ein Zuhörer $C$ steht still. Warum hört $C$ eine Tonhöhe $f^{\prime }$, die sich von $f$ unterscheidet? Die klarste Antwort liefert das Zählen von Wellenbergen. Eine Tonhöhe ist die Anzahl der Druckberge, die pro Sekunde ankommen, also brauchen wir nur die Zeit zwischen den Ankünften zweier benachbarter Wellenberge. Abbildung 1 stellt diese Zählung dar.

Legende

$C$	Zuhörer, ruhend in ruhender Luft.
$S_n$	Wo sich die Sirene befindet, wenn sie Wellenberg $n$ aussendet.
$S_{n+1}$	Wo sie sich befindet, wenn sie Wellenberg $n+1$ aussendet, eine Periode später.
$T$	Periode der Sirene, $T=1/f$.	$\mathrm{s}$
$v_{s}T$	Strecke, die sich die Sirene in einer Periode entlang ihrer Geschwindigkeit bewegt.	$\mathrm{m}$
$r_n$	Länge des Weges von Wellenberg $n$, von $S_n$ nach $C$.	$\mathrm{m}$
$r_{n+1}$	Länge des Weges von Wellenberg $n+1$, von $S_{n+1}$ nach $C$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Winkel zwischen der Geschwindigkeit der Sirene und der Linie zu $C$, zum Zeitpunkt der Aussendung.	$\mathrm{rad}$
$v_{s}T\cos \theta$	Komponente des Schritts $v_{s}T$ entlang der Linie zu $C$: um so viel ist der zweite Weg kürzer.	$\mathrm{m}$

Stell dir die Sirene als eine Uhr vor, die in jeder Periode $T=1/f$ einen Wellenberg aussendet. Wellenberg Nummer $n$ startet am Punkt $S_n$ zur Zeit $nT$. Wellenberg $n+1$ startet eine Periode später von $S_{n+1}$, denn in dieser Periode hat sich die Sirene um eine Strecke $v_{s}T$ entlang der Straße bewegt: der Pfeil von $S_n$ nach $S_{n+1}$ in Abbildung 1.

Sobald ein Wellenberg losgelaufen ist, spielt die Sirene für ihn keine Rolle mehr. Er läuft mit der Geschwindigkeit $v$ geradlinig durch die Luft zu $C$. Wellenberg $n$ legt den Weg $r_n$ zurück, Wellenberg $n+1$ den Weg $r_{n+1}$, also kommen sie an bei
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
Der Zeitabstand zwischen diesen Ankünften ist die Periode, die der Zuhörer hört:
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

Alles hängt also davon ab, wie sehr sich der zweite Weg vom ersten unterscheidet. Schau auf die gestrichelte Linie in Abbildung 1, die von $S_{n+1}$ senkrecht auf den ersten Weg gefällt wird. Der Schritt $v_{s}T$ ist winzig im Vergleich zur Entfernung bis $C$ (eine Periode dauert wenige Millisekunden), daher verlaufen die beiden Wege fast parallel. Der zweite Weg ist dann um das Stück des ersten Weges zwischen $S_n$ und dem Fußpunkt dieser gestrichelten Linie kürzer. Dieses Stück ist die Komponente des Schritts in Richtung der Linie zu $C$, nämlich $v_{s}T\cos \theta$, wobei $\theta$ der Winkel bei $S_n$ zwischen der Geschwindigkeit der Sirene und der Linie zu $C$ ist. Daher
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

Einsetzen in $T^{\prime }$ ergibt $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$. Die Frequenz ist der Kehrwert der Periode, also
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

Drei Richtungen zeigen, was die Formel aussagt. Geradeaus, $\theta =0$, ergibt sie $fv/(v-v_s)$: Die Wellenberge werden zusammengedrängt, und die Tonhöhe steigt. Dieser Fall ist in jeder Entfernung exakt, weil dann beide Wege auf derselben Geraden liegen. Geradeaus dahinter, $\theta =180^{\circ }$, ergibt sie $fv/(v+v_s)$: Die Wellenberge werden auseinandergezogen, und die Tonhöhe fällt. Seitlich, $\theta =90^{\circ }$, gibt es keine Verschiebung, weil ein Schritt senkrecht zur Blickrichtung die Entfernung zu $C$ in erster Ordnung nicht ändert.

Zwei Punkte werden leicht übersehen. Erstens zählt nur die radiale Komponente $v_s\cos \theta$, also der Anteil der Geschwindigkeit entlang der Linie zum Zuhörer; Bewegung quer zu dieser Linie bewirkt nichts. Zweitens ist $\theta$ der Winkel zum Zeitpunkt der Aussendung, nicht zum Zeitpunkt des Hörens. Der Wellenberg, den du jetzt hörst, wurde um eine Laufzeit $r/v$ früher ausgesandt, zur sogenannten retardierten Zeit, als die Sirene anderswo war. Das Straßenbeispiel unten zeigt, dass diese Verzögerung leicht zu hören ist.

Phase zählen: ein bewegter Beobachter

Vertauschen wir nun die Rollen: Die Sirene steht still, und der Zuhörer bewegt sich. Die Luft trägt dann dieselben gleichmäßig verteilten Wellenberge wie bei einem ruhenden Zuhörer; am Wellenbild ändert sich nichts. Was sich ändert, ist, wie oft der bewegte Zuhörer auf die Wellenberge trifft. Ein Raum-Zeit-Diagramm, Abbildung 2, macht diese Zählung sichtbar.

Legende

$x$	Position entlang der Linie von der Quelle zum Zuhörer; die Quelle liegt bei $x=0$.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$T$	Zeit zwischen zwei von der Quelle gesandten Wellenbergen: die Periode.	$\mathrm{s}$
$T^{\prime }$	Zeit zwischen zwei Wellenbergen, die der gehende Zuhörer trifft, hier $2T/3$.	$\mathrm{s}$
$\lambda$	Wellenlänge: Abstand benachbarter Wellenberge, $\lambda =vT$.	$\mathrm{m}$
$v_o$	Geschwindigkeit des Zuhörers, der auf die Sirene zugeht, hier $v/2$.	$m/s$

In Abbildung 2 verläuft die Position $x$ nach rechts und die Zeit $t$ nach oben. Die Quelle sitzt bei $x=0$ auf der senkrechten Achse. Sie sendet in jeder Periode $T$ einen Wellenberg aus. Jeder Wellenberg bewegt sich mit $v$ nach rechts, im Bild ist er also eine schräg ansteigende Gerade, die pro Periode um eine Wellenlänge $\lambda =vT$ vorrückt. Deshalb verlaufen die Wellenberglinien parallel und steigen um $T$ für jedes $\lambda$, das sie zurücklegen.

Ein ruhender Zuhörer ist im Bild eine senkrechte Linie, und sie kreuzt alle $T$ eine Wellenberglinie. Der Zuhörer aus Abbildung 2 geht mit $v_o=v/2$ auf die Quelle zu. Seine Bahn neigt sich zur Achse hin, in die Wellenberglinien hinein, und er durchquert sie häufiger. Er und die Wellenberge nähern sich mit $v+v_o$ an, und die Wellenberge liegen $\lambda$ auseinander. Die Zeit zwischen den Wellenbergen wird also $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$, in der Abbildung als $T^{\prime }$ markiert. In der Zeit $4T$, in der ein ruhender Zuhörer vier Wellenberge trifft, trifft sie sechs.

Dieselbe Zählung in Formeln verwendet die Phase der Welle. Schreibe die Welle als Funktion von $\omega t-kx$, mit der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ und der Wellenzahl $k=\omega /v=2\pi /\lambda$. Die Phase wächst von einem Wellenberg zum nächsten um $2\pi$, also ist das Zählen von Radiant an Phase dasselbe wie das Zählen von Wellenbergen. Ein Zuhörer, der bei $x_0$ startet und auf die Quelle zugeht, befindet sich bei $x=x_0-v_{o}t$. Also erlebt er die Phase
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
Sie wächst mit der Rate $\omega +k{v}_o$, daher
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
Die zusätzlichen $k{v}_{o}t$ Radiant in der Zeit $t$ sind die zusätzlichen Wellenberge, auf die er hineinläuft: die Neigung seiner Bahn in Abbildung 2. Läuft er weg, wechselt $v_o$ das Vorzeichen, und die Tonhöhe fällt.

Quelle oder Beobachter: nicht dieselbe Verschiebung

Die beiden Ergebnisse sehen ähnlich aus, sind aber nicht dasselbe. Gib beiden Fällen dieselbe Geschwindigkeit $u$ und schreibe $\beta =u/v$. Eine Quelle, die sich mit $u$ auf dich zubewegt, multipliziert die Frequenz mit
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
während deine Bewegung mit $u$ auf die Quelle zu sie mit $1+\beta$ multipliziert. Beide stimmen in erster Ordnung in $\beta$ überein und unterscheiden sich um ${\beta }^2/(1-\beta )$. Der Unterschied ist daher nur dann bedeutsam, wenn $u$ ein erheblicher Bruchteil von $v$ ist.

Bei Straßengeschwindigkeiten ist er klein, aber messbar. Bei 30 m/s, mit Schall bei 340 m/s, ist $\beta \approx 0,088$, und der Unterschied beträgt 0,85 % von $f$: Eine 500-Hz-Sirene wird mit 548,4 Hz gehört, wenn sie sich bewegt, und mit 544,1 Hz, wenn sich der Zuhörer bewegt. Die beiden liegen 4,3 Hz auseinander. Bei der Machzahl 0,5 der Animation, $u=v/2$, ist der Unterschied dramatisch: Ein Zuhörer, der mit 170 m/s auf eine ruhende 400-Hz-Sirene zurast, hört 600 Hz. Eine Sirene, die mit 170 m/s auf einen ruhenden Zuhörer zurast, wird mit 800 Hz gehört.

Warum die Luft ein Bezugssystem auszeichnet

Diese Asymmetrie ist kein Paradoxon. Die Luft ist ein reales, physikalisches Medium, und das Bezugssystem, in dem sie ruht, ist besonders: „Bewegt“ bedeutet in diesen Formeln immer „bewegt relativ zur Luft“.

Um zu sehen, wie sich eine Frequenz zwischen Bezugssystemen ändert, beschreibe dieselbe Welle aus einem System, das sich mit der Geschwindigkeit $u$ entlang $x$ bewegt. Seine Ortskoordinate ist $x^{\prime }$, mit $x=x^{\prime }+ut$, und es behält dieselbe Uhr. Die Phase wird
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
Die Wellenzahl bleibt $k$, daher ist die Wellenlänge für jeden Beobachter dieselbe. Nur die Frequenz ändert sich, zu $\omega -ku$. Ein Zuhörer, der auf die Quelle zugeht, hat $u=-v_o$, was $\omega +k{v}_o$ zurückgibt.

Eine bewegte Quelle folgt derselben Regel. Im eigenen Bezugssystem der Quelle strömt die Luft mit $v_s$ wie ein Wind rückwärts an ihr vorbei. Ihr Schall läuft relativ zu ihr daher nur mit $v-v_s$ vorwärts. Da sie $f$ Wellenberge pro Sekunde sendet, liegen sie um $\lambda =(v-v_s)/f$ auseinander, und diese Wellenlänge ist allen Bezugssystemen gemeinsam. In der Luft laufen die Wellenberge mit $v$, daher hört ein in der Luft ruhender Zuhörer $v/\lambda =fv/(v-v_s)$, genau wie es die Zählung der Wellenberge ergab.

Bewegen sich beide, unter beliebigen Winkeln, multiplizieren sich die beiden Faktoren:
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
Dabei ist $\theta$ der Winkel zum Zeitpunkt der Aussendung zwischen der Geschwindigkeit der Quelle und der Linie zum Beobachter, wie in Abbildung 1. $\phi$ ist der Winkel zwischen der Geschwindigkeit des Beobachters und der Richtung zur Quelle.

Die Tonhöhenkurve neben der Straße

Eine Sirene, die vorbeifährt, springt nicht von hoch nach tief: Ihre Tonhöhe gleitet entlang einer glatten Kurve. Diese Kurve zu berechnen, bringt beide Punkte des ersten Abschnitts zum Einsatz, den Aussendewinkel und die Laufzeitverzögerung. Abbildung 3 zeigt das Ergebnis.

Legende

$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$f^{\prime }$	Von $C$ gehörte Frequenz.	$\mathrm{Hz}$
$f$	Frequenz der Sirene (gestrichelte Linie).	$\mathrm{Hz}$
$t_1$	Zeitpunkt, an dem die Sirene auf gleicher Höhe mit $C$ ist.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Zeitpunkt, an dem $f^{\prime }$ gleich $f$ ist: Der seitlich zur Zeit $t_1$ ausgesandte Wellenberg kommt an.	$\mathrm{s}$
$d/v$	Zeit, die der Schall braucht, um die Lücke $d$ von der Straße zu $C$ zu überqueren.	$\mathrm{s}$
$d{f}^{\prime }/dt$	Steigung der Kurve bei $t_1$: wie schnell die gehörte Tonhöhe fällt.	$Hz/s$

Abbildung 3 zeigt die Tonhöhe $f^{\prime }$, die der Zuhörer $C$ hört, gegen die Zeit $t$. Die Zahlen stammen aus der Animation und sind für ein kleines Bild verkleinert: $C$ steht $d=50$ Längeneinheiten von der Straße entfernt, Schall legt 70 Einheiten pro Sekunde zurück und die Sirene 35. Also gilt $v_s/v=0,5$, wie bei den 170 und 340 m/s der Animation. Die eigene Frequenz der Sirene ist $f=400\mathrm{Hz}$, die gestrichelte Linie, und die Sirene ist zur Zeit $t_1=4\mathrm{s}$ auf gleicher Höhe mit $C$.

Jeder Punkt der Kurve erfordert zwei Schritte. Für eine Zeit des Hörens $t$ bestimme zuerst den Aussendezeitpunkt $t_e$ des Wellenbergs, der dann ankommt. Gesucht ist derjenige, für den der Abstand der Sirene zu $C$ zur Zeit $t_e$ gleich dem Weg ist, den der Wellenberg seither zurückgelegt hat: $v(t-t_e)$. Dann werte $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ mit dem Winkel $\theta$ zur Zeit $t_e$ aus. Die Kurve beginnt bei 788 Hz zu $t=0$, etwas unter den frontalen 800 Hz, weil dieser Wellenberg ausgesandt wurde, als die Linie zu $C$ bereits 10° von der Straße abwich. Sie fällt bis $t=8\mathrm{s}$ auf 279 Hz.

Schau dir nun die Mitte der Kurve an. Die Sirene ist zur Zeit $t_1$ auf gleicher Höhe mit $C$, dennoch kreuzt die Kurve die gestrichelte Linie $f^{\prime }=f$ erst später, bei $t_2$. Die gehörte Tonhöhe ist gleich $f$ für den seitlich ausgesandten Wellenberg, $\theta =90^{\circ }$. Dieser Wellenberg wurde zur Zeit $t_1$ ausgesandt und musste noch die Lücke $d$ bis zum Zuhörer überqueren. Daher
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4,71\mathrm{s}$
das ist die Klammer $d/v$ in Abbildung 3. Du hörst die Sirene vorbeifahren, einen Moment nachdem sie schon vorbei ist.

Wie schnell fällt die Tonhöhe? Die gehörte Tonhöhe hängt von $t$ nur über den Aussendezeitpunkt ab. Nach der Kettenregel gilt also $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$, und beide Faktoren sind einfach.

Für die Ankunftszeit gilt $t=t_e+r/v$, wobei $r$ der Abstand der Sirene zu $C$ bei der Aussendung ist. Dieser Abstand schrumpft mit der radialen Geschwindigkeit, $dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$, also $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$.

Für den Winkel sei $X=v_s(t_1-t_e)$ der Weg, den die Sirene noch zurücklegen muss, um auf gleicher Höhe mit $C$ zu sein. Dann gilt $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$. Dessen Ableitung nach $X$ ist $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$. Da $dX/d{t}_e=-v_s$ gilt, folgt $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$.

Differenziert man $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$, erhält man $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$. Die Division durch $dt/d{t}_e$ fügt eine weitere Potenz des Nenners hinzu:
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

Beim Kreuzen zur Zeit $t_2$, wo $\theta =90^{\circ }$ ist, beträgt dies $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0,5\cdot 35/50=-140Hz/s$. Die Tangente bei $t_1$, mit $d{f}^{\prime }/dt$ beschriftet, ist noch steiler: Sie ist die steilste Stelle der gesamten Kurve, wie das ausgearbeitete Beispiel unten zeigt. Die Formel sagt auch, wie das Gleiten mit dem Abstand skaliert. Die Steigung ist proportional zu $1/d$. Doppelt so weit von der Straße entfernt dauert derselbe Abfall also doppelt so lange. Direkt an der Straße, $d\to 0$, wird das Gleiten zu einem plötzlichen Sprung von 800 auf 267 Hz.

Beispiel: der Moment des Vorbeifahrens

Der eindrucksvollste Moment ist, wenn die Sirene auf gleicher Höhe mit dir ist. Welche Tonhöhe hörst du in diesem Augenblick, und fällt sie dann am schnellsten? Abbildung 4 zeigt die Geometrie dieses Augenblicks.

Legende

$C$	Zuhörer neben der Straße.
$S_e$	Wo die Sirene war, als sie den Wellenberg aussandte, der jetzt $C$ erreicht.
$S$	Wo die Sirene jetzt ist, auf gleicher Höhe mit $C$.
$d$	Abstand von der Straße zu $C$.	$\mathrm{m}$
$\tau$	Zeit, die der Wellenberg seit seinem Start bei $S_e$ unterwegs ist.	$\mathrm{s}$
$v\tau$	Strecke, die der Wellenberg von $S_e$ nach $C$ zurückgelegt hat.	$\mathrm{m}$
$v_s\tau$	Strecke, die sich die Sirene in dieser Zeit von $S_e$ nach $S$ bewegt hat.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Aussendewinkel: zwischen der Geschwindigkeit der Sirene und der Linie von $S_e$ nach $C$.	$\mathrm{rad}$

Zur Zeit $t_1=4\mathrm{s}$ ist die Sirene bei $S$, auf gleicher Höhe mit $C$. Der Wellenberg, der in diesem Augenblick bei $C$ ankommt, die gestrichelte Bogenlinie, verließ $S_e$ eine Zeit $\tau$ früher. In dieser Zeit legte der Wellenberg $v\tau$ von $S_e$ nach $C$ zurück, die Hypotenuse des Dreiecks. Während dessen bewegte sich die Sirene $v_s\tau$ entlang der Straße von $S_e$ nach $S$. Die dritte Seite ist der Abstand $d$ von der Straße zu $C$, rechtwinklig zur Straße, und der Winkel bei $S_e$ ist der Aussendewinkel $\theta$.

Schritt 1, die Tonhöhe. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist der Cosinus von $\theta$ die Seite entlang der Straße geteilt durch die Hypotenuse:
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
Die Zeit $\tau$ kürzt sich heraus, daher gilt dies unabhängig davon, wie weit $C$ von der Straße entfernt ist. Die Doppler-Formel ergibt dann
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
Das ergibt für $v_s/v=0,5$ etwa $400/0,75\approx 533\mathrm{Hz}$. Dieser Wert ist in Abbildung 3 bei $t_1$ markiert, und er stammt von einem Wellenberg, der unter $\theta =60^{\circ }$ ausgesandt wurde. Der Satz des Pythagoras sagt, wie lange er unterwegs war: $(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$, also $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0,82\mathrm{s}$.

Schritt 2, die steilste Stelle. In der Steigungsformel variiert nur der Winkel, und er geht als dritte Potenz des Verhältnisses $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$ ein. Die Steigung ist daher dort am steilsten, wo dieses Verhältnis am größten ist. Die Ableitung des Verhältnisses nach $\theta$ ist
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
die bei $\cos \theta =v_s/v$ verschwindet, genau dem Winkel aus Schritt 1. Also fällt die Tonhöhe am schnellsten in dem Moment, in dem die Sirene auf gleicher Höhe mit dir ist. Dort gilt $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$, und das Verhältnis beträgt $1/\sqrt{0,75}$, gegenüber 1 bei $\theta =90^{\circ }$. Die Steigung ist daher $140/0,75^{3/2}\approx 216Hz/s$: die Tangente in Abbildung 3.

Schritt 3, ein echter Krankenwagen. Für den Krankenwagen aus der Mittelstufe (700 Hz, 25 m/s, $v=343m/s$) gilt $v_s/v\approx 0,073$. Wenn er vorbeifährt, hörst du $700/(1-0,073^2)\approx 703,7\mathrm{Hz}$, kaum über seiner eigenen Tonhöhe. Seine Tonhöhe fällt von etwa 755 Hz beim Herannahen auf etwa 652 Hz beim Entfernen, ein Abfall von 103 Hz. Stehst du 10 m von seiner Bahn entfernt, beträgt die steilste Steigung etwa $700\cdot 0,073\cdot 25/10\approx 128Hz/s$. Der Faktor $(1-0,073^2{)}^{3/2}$ weicht um weniger als 1 % von 1 ab. Der Abfall dauert daher ungefähr 0,8 s. Das liegt in der Größenordnung von $2d/v_s$, der Zeit, die der Krankenwagen braucht, um die doppelte Entfernung von deiner Bahn zurückzulegen. In dieser Zeit schwenkt die Linie zu dir durch die meisten ihrer Winkel.

Schneller als die eigenen Wellen: der Machkegel

Was geschieht, wenn die Quelle ihren eigenen Schall einholt? Wenn $v_s\to v$ geht, drängen sich die nach vorn gesandten Wellenberge zu einer einzigen Front. Sobald $v_s>v$ gilt, überholt die Quelle jeden Wellenberg, den sie aussendet.

Stell dir die Wellenberge zu einem Zeitpunkt vor. Ein Wellenberg, der vor einer Zeit $\tau$ ausgesandt wurde, ist eine Kugel mit dem Radius $v\tau$. Ihr Mittelpunkt liegt dort, wo die Quelle damals war, eine Strecke $v_s\tau$ hinter ihrer jetzigen Position. Ältere Wellenberge sind größere Kugeln, deren Mittelpunkte weiter hinten liegen, und alle berühren einen einzigen Kegel, dessen Spitze auf der Quelle liegt. Eine Linie von der Spitze, die eine Kugel gerade berührt, steht senkrecht auf dem Radius zum Berührungspunkt. Das ergibt ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $v_s\tau$ und der Seite $v\tau$ gegenüber der Spitze. Der Halbwinkel $\alpha$ des Kegels gehorcht daher $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$:
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(Mach cone)}$

Das Verhältnis $v_s/v$ ist die Machzahl: Bei Mach 2 ist $\alpha =30^{\circ }$, bei Mach 1,5 etwa 42°. Je schneller die Quelle, desto schmaler der Kegel.

Der Kegel steckt auch in der Doppler-Formel. Ihr Nenner $1-(v_s/v)\cos \theta$ verschwindet, wenn $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$ gilt. Das ist die Richtung senkrecht zur Kegelfläche: Alle Wellenberge, die in diese Richtung gesandt werden, kommen im selben Moment an. Dieser Stau ist die Stoßwelle. Sie zieht als Überschallknall über den Boden, solange das Flugzeug Überschall fliegt, nicht nur in dem Moment, in dem es die Schallgeschwindigkeit erreicht. Für Richtungen näher an geradeaus wird der Nenner negativ, was bedeutet, dass später gesandte Wellenberge früher ankommen. Nachdem der Kegel vorbeigezogen ist, hört ein Zuhörer daher zwei Schallströme gleichzeitig, und einer davon läuft rückwärts.

Jedes Objekt, das schneller ist als die Wellen seines Mediums, zieht einen solchen Kegel nach sich, ob es nun selbst einen Ton erzeugt oder nicht: ein Geschoss; ein Boot auf flachem Wasser, wo lange Wellen alle mit $\sqrt{gh}$ für eine Tiefe $h$ laufen; oder ein geladenes Teilchen im Wasser, das sich schneller bewegt als das Licht dort, $c/n\approx 0,75c$. Dessen Tscherenkow-Strahlung lässt das Wasser von Reaktorbecken blau leuchten.

Licht, Echos und Radar

Licht braucht kein Medium, daher gibt es kein Bezugssystem, das man auszeichnen könnte. Nur die Relativgeschwindigkeit von Quelle und Beobachter kann eine Rolle spielen, und die beiden Arten des Zählens müssen dasselbe Ergebnis liefern. Das tun sie, sobald die Zeitdilatation einbezogen wird: Eine Uhr, die sich mit der Geschwindigkeit $\beta c$ bewegt, geht um den Faktor $\sqrt{1-{\beta }^2}$ langsamer, von dem Bezugssystem aus gesehen, durch das sie sich bewegt.

Zähle zuerst im System des Beobachters, wobei sich die Quelle mit $\beta =u/c$ nähert. Ihre verlangsamte Uhr sendet mit $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, und der Faktor $1/(1-\beta )$ für die bewegte Quelle kommt hinzu: $f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$. Nun zähle im System der Quelle, wo sich der Beobachter nähert. Sie trifft Wellenberge mit $f(1+\beta )$ pro Sekunde Quellzeit. Ihre eigene Uhr läuft aber langsam, daher zählt sie pro Sekunde ihrer Zeit $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$. Da $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$ gilt, vereinfachen sich beide zu
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

Hinter dieser Übereinstimmung steckt die Regel, die wir für Schall gefunden haben. Die Phase $\omega t-kx$ zählt Wellenberge, und alle Beobachter stimmen in einer Zählung überein. Daher ändern sich $\omega$ und $k$ zwischen Bezugssystemen gemeinsam, so wie $t$ und $x$: beim Schall durch die galileische Transformation, beim Licht durch die Lorentz-Transformation. Allein die Zeitdilatation verursacht außerdem eine Verschiebung ohne Gegenstück beim Schall, den transversalen Doppler-Effekt. Licht, das ausgesandt wird, wenn die Quelle auf gleicher Höhe mit dir ist, kommt mit $f\sqrt{1-{\beta }^2}$ an, also unterhalb von $f$. Für eine sich mit $\beta =0,1$ entfernende Quelle gilt $f^{\prime }/f=\sqrt{0,9/1,1}\approx 0,905$. Ihre rote Wasserstofflinie bei 656,3 nm wird daher als 725,6 nm gesehen.

Ein Echo von einem bewegten Ziel wird zweimal verschoben. Zuerst wirkt das Ziel als bewegter Beobachter und empfängt $f(v+u)/v$. Dann sendet es diesen Schall als bewegte Quelle zurück, was mit $v/(v-u)$ multipliziert. Für ein sich mit $u$ näherndes Ziel gilt
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
wobei die Näherung für $u$ viel kleiner als $v$ gilt. Dieselbe doppelte Verschiebung tritt auf, wenn die Quelle selbst auf eine feste Wand zufährt. Hätte das Sirenenauto der Animation mit 170 m/s direkt auf eine Wand zugefahren, hätte sein Fahrer das Echo bei $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Hz}$ gehört.

Radar und medizinischer Ultraschall verwenden die Näherung. Sie mischen das Echo mit dem ausgesandten Signal und messen die Schwebung zwischen beiden, $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$. Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit des Ziels. Ein 24,125-GHz-Verkehrsradar sieht ein Auto mit 30 m/s mit $\Delta f=2fu/c\approx 4,8\mathrm{kHz}$. Eine 5-MHz-Ultraschallsonde sieht Blut, das sich mit 0,5 m/s bewegt (Schall läuft mit 1540 m/s im Gewebe), mit etwa 3,2 kHz.

Grenzen der Gültigkeit

Die Formeln setzen ein gleichmäßiges, ruhendes Medium mit einer einzigen Wellengeschwindigkeit voraus. In Luft steigt $v$ mit der Temperatur und verschiebt sich mit dem Wind. Gradienten beider biegen Schall von der geraden Sichtlinie weg. Sie setzen außerdem voraus, dass sich Geschwindigkeit und Richtung der Quelle während einer Periode kaum ändern. Bei einer 400-Hz-Sirene sind das 2,5 ms.

Sie sind außerdem linear. Sie behandeln Schall als kleine Druckschwankungen, bei Sprache etwa 0,02 Pa auf 100 000 Pa Atmosphärendruck, die sich addieren, ohne die Schallgeschwindigkeit zu verändern. Nahe bei $v_s=v$ versagt dies. Die aufgestauten Wellenberge bilden eine starke Verdichtung, die sich schneller als gewöhnlicher Schall ausbreitet. Der unendliche Wert von $f^{\prime }$ in der Formel wird zu einer Stoßfront, vorn gekrümmt und weiter draußen in den Machkegel übergehend. Ein Überschallknall trägt einige zehn Pascal und wird meist als doppelter Knall von Nase und Heck gehört. Dispersion, eine Wellengeschwindigkeit, die von der Wellenlänge abhängt, verändert den Kegel ebenfalls. Auf tiefem Wasser, wo lange Wellen kurze überholen, behält das Kielwasser eines Schiffs über einen weiten Geschwindigkeitsbereich einen Halbwinkel von etwa 19,5°.

Für Schall sind relativistische Korrekturen von der Ordnung $(v_s/c{)}^2$, etwa $3\times 10^{-13}$ selbst bei 170 m/s. Die galileischen Formeln sind daher praktisch exakt, während die Asymmetrie zwischen Quelle und Beobachter, von der Ordnung $(v_s/v{)}^2$, real ist. Für Licht ist das Ergebnis erster Ordnung $\Delta f/f\approx 2u/c$ für Radar mehr als ausreichend, wo $\beta \approx 10^{-7}$ gilt. Bei $\beta =0,5$ ist der exakte Faktor für eine Richtung aber $\sqrt{3}\approx 1,73$, weder die 2 der Quellenformel noch die 1.5 der Beobachterformel.

Wohin das führt

Die Spezielle Relativitätstheorie macht aus dem Quelle-Beobachter-Rätsel die Lorentz-Transformation von Frequenz und Wellenlänge. Elektromagnetische Wellen behandelt die Radio- und Lichtwellen, die Radar und Astronomie nutzen. Schwebungen zwischen Echo und Signal gehören zu Interferenz und Superposition, die Lautstärke einer sich nähernden Sirene zu Lautstärke, Intensität und Dezibel. Die thermische Bewegung der Atome verbreitert Spektrallinien um wenige Teile pro Million und verbindet die Kinetische Gastheorie mit der Lektion Atommodelle: das bohrsche Atom. Die Gravitation als gekrümmte Raumzeit beschreibt eine andere Verschiebung, nämlich die von Uhren im Gravitationsfeld. Sie sollte nicht mit dem Doppler-Effekt verwechselt werden.