Temperatur und Wärme

Einsteiger

Schritt 1. Wie heiß ist etwas? Ein Thermometer antwortet mit einer Zahl: seiner Temperatur. In der Celsius-Skala gefriert Wasser bei 0 °C und siedet bei 100 °C. Auch Wissenschaftler verwenden die Kelvin-Skala, die beim absoluten Nullpunkt (etwa −273 °C) beginnt, der kältesten überhaupt möglichen Temperatur; ein Kelvin ist genauso groß wie ein Grad Celsius.

Schritt 2. Was misst das Thermometer wirklich? Alles besteht aus winzigen Teilchen, die nie aufhören zu zittern. Die Temperatur sagt, wie stark jedes Teilchen im Mittel zittert: Je heißer der Körper, desto schneller bewegen sich seine Teilchen.

Schritt 3. Temperatur ist nicht dasselbe wie die Energiemenge. Eine Badewanne mit warmem Wasser und ein Teelöffel desselben Wassers haben dieselbe Temperatur, aber die Badewanne enthält tausendmal mehr Zitterenergie, weil sie tausendmal mehr Teilchen hat.

Schritt 4. Wärme ist Energie in Bewegung. Berührt ein heißer Gegenstand einen kalten, stoßen seine schnellen Teilchen gegen die langsameren und geben einen Teil ihrer Bewegung ab. Energie fließt von selbst von heiß nach kalt, nie umgekehrt, bis beide dieselbe Temperatur haben: das thermische Gleichgewicht. In der Animation zittern die Teilchen des heißen Blocks zuerst stärker; der Wärmepfeil wird kürzer, wenn sich die Thermometer angleichen, und verschwindet, wenn beide Blöcke gleich warm sind.

Schritt 5. Manche Stoffe lassen sich viel schwerer erwärmen als andere. Ein Kilogramm Wasser braucht etwa 4200 Joule, um sich um ein Grad zu erwärmen; ein Kilogramm Eisen nur etwa 450. Deshalb kann Sand dir die Füße verbrennen, während das Meer kühl bleibt.

Teste dich selbst: Die Funken einer Wunderkerze sind heißer als 1000 °C, und doch tun sie kaum weh, wenn sie auf deiner Hand landen. Warum? (Jeder Funke ist winzig: sehr heiß, aber er trägt sehr wenig Energie.)

Mittelstufe

Temperatur, Wärme und ihre Einheiten

Temperatur ist das, was ein Thermometer anzeigt. In der Celsius-Skala gefriert Wasser bei 0 °C und siedet bei 100 °C. Die Kelvin-Skala (Einheit K) hat gleich große Schritte, beginnt aber beim absoluten Nullpunkt, −273,15 °C, der tiefstmöglichen Temperatur:
$T(\mathrm{K})=T({}^{\circ }\mathrm{C})+273,15$

Eine Temperaturänderung $\Delta T$ hat deshalb auf beiden Skalen denselben Wert: von 20 °C auf 30 °C ist eine Änderung um 10 K. Nur die Kelvin-Skala beginnt bei einem echten Nullpunkt; verwende daher Kelvin, wenn Temperaturen multipliziert, dividiert oder potenziert werden.

Wärme $Q$ ist Energie in Joule (J), die von einem Körper zum anderen übergeht, weil sich ihre Temperaturen unterscheiden. Ein Körper enthält keine Wärme: Er enthält innere Energie $U$, die Energie der ungeordneten Bewegung seiner Teilchen und der Kräfte zwischen ihnen. Wie Arbeit ist Wärme Energie im Übergang; sie ist positiv, wenn sie in einen Körper hineinfließt, und negativ, wenn sie herausfließt.

Spezifische Wärmekapazität

Solange nichts schmilzt, siedet oder reagiert, gelten für die Wärme, die nötig ist, um die Temperatur eines Körpers zu ändern, und für die Wärmekapazität des Körpers

• $Q=mc\Delta T$
• $C=mc$

Hier ist $m$ die Masse, $\Delta T$ die Endtemperatur minus die Anfangstemperatur und $c$ die spezifische Wärmekapazität: die Energie, die 1 kg des Stoffes um 1 K erwärmt, in J/(kg·K). Die Wärmekapazität $C=mc$ des ganzen Körpers hat die Einheit J/K. Kühlt ein Körper ab, sind $\Delta T$ und $Q$ beide negativ.

Typische Werte in J/(kg·K) sind 4180 für Wasser, 2100 für Eis, 900 für Aluminium, etwa 800 für trockenen Sand, 450 für Eisen, 385 für Kupfer und 130 für Blei. Kilogramm für Kilogramm braucht Wasser etwa neunmal so viel Energie wie Eisen für dieselbe Erwärmung. Deshalb erwärmt und kühlt sich das Meer nur langsam.

Wärmebilanz und Endtemperatur

Berühren sich ein heißer und ein kalter Körper in guter Isolierung, fließt Wärme, bis beide eine gemeinsame Temperatur $T$ erreichen; die vom heißen Körper abgegebene Wärme ist dann gleich der vom kalten aufgenommenen:
$m_1{c}_1(T_1-T)=m_2{c}_2(T-T_2)$
Auflösen nach $T$, der Gleichgewichtstemperatur, ergibt
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1{c}_1{T}_1+m_2{c}_2{T}_2}{m_1{c}_1+m_2{c}_2}$

Das ist ein Mittelwert der Anfangstemperaturen, gewichtet mit der Wärmekapazität: Er liegt zwischen ihnen, näher beim Körper mit dem größeren $mc$. Ein gewichteter Mittelwert hängt nicht davon ab, wo der Nullpunkt der Skala liegt, daher gilt die Formel in °C ebenso wie in Kelvin. Ein Körper mit doppelter Wärmekapazität ändert seine Temperatur nur halb so stark.

Durchgerechnetes Beispiel: die Blöcke der Animation

Ein 1 kg schwerer Eisenblock ($c_1=450J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, also $C_1=450J/K$) mit 327 °C berührt einen 1 kg schweren Aluminiumblock ($c_2=900J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, $C_2=900J/K$) mit 27 °C. Ohne Verluste ist die abgegebene Wärme gleich der aufgenommenen:
$450(327-T)=900(T-27)$
$1350T=147150+24300=171450,T=127{}^{\circ }\mathrm{C}$

Das Eisen kühlt um 200 K ab, während sich das Aluminium nur um 100 K erwärmt, weil seine Wärmekapazität doppelt so groß ist. Die Wärme, die über die Berührungsstelle übergeht, beträgt $Q=450\cdot 200=900\cdot 100=90000\mathrm{J}=90\mathrm{kJ}$. Das sind die Endwerte auf den Anzeigen: $T_1$ und $T_2$ treffen sich bei 127 °C, während $Q$ auf 90 kJ steigt.

Die Anzeigen machen auch sichtbar, dass sich der Austausch verlangsamt: Nach 1 s zeigen sie etwa 217 °C, 82 °C und 50 kJ, sodass mehr als die Hälfte der Wärme in der ersten Sekunde übergeht. Der orangerote Pfeil mit der Bezeichnung $dQ/dt$, die Wärmestromstärke in Watt, hat eine Länge proportional zu $T_1-T_2$. Er ist halb so lang, wenn die Anzeigen etwa 227 °C und 77 °C erreichen, und verblasst, wenn sich die Thermometer angleichen; die Anzeige des Eisens fällt dabei immer doppelt so schnell, wie die des Aluminiums steigt.

Durchgerechnetes Beispiel: ein Bad einlassen

Du willst 80 kg Badewasser von 38 °C herstellen, indem du heißes Wasser von 60 °C mit kaltem Wasser von 12 °C mischst. Wie viel heißes Wasser brauchst du, und wie viel Energie hat der Boiler für das Erwärmen aufgewendet? Vernachlässige Verluste.

Beides ist Wasser, also kürzt sich $c$ heraus: $m_h(60-38)=m_c(38-12)$. Mit $m_h+m_c=80\mathrm{kg}$ ergibt sich $m_h=80\cdot 26/48\approx 43,3\mathrm{kg}$ heißes Wasser und 36,7 kg kaltes, also mehr heißes als kaltes, weil 38 °C näher an 60 °C liegt. Der Boiler erwärmte das heiße Wasser von 12 °C auf 60 °C:
$Q=mc\Delta T=43,3\cdot 4180\cdot 48\approx 8,7\times 10^6\mathrm{J}$

Das sind 8,7 MJ, etwa 2,4 kWh (1 kWh sind 3,6 MJ), oder knapp 50 Minuten Betrieb eines 3-kW-Heizgeräts.

Wie schnell fließt Wärme: der schrumpfende Pfeil

Die Wärmebilanz liefert den Endpunkt, nicht die Zeit, die es dauert. In der Animation geht die Wärme über die Berührungsstelle mit $dQ/dt=k(T_1-T_2)$, mit einem Wärmeleitwert $k=240W/K$: zuerst 72 kW, dann immer weniger, wenn sich die Lücke schließt. Da der Fluss proportional zur Lücke ist, schrumpft die Lücke in gleichen Zeiten um denselben Anteil, halbiert sich etwa alle 0,87 s und erreicht nie ganz null.

Ein Körper, der in einem großen Raum mit der Temperatur $T_{\mathrm{env}}$ abkühlt, folgt derselben Regel, dem newtonschen Abkühlungsgesetz:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$
Die linke Seite ist die Änderungsrate der Temperatur, und die Zeitkonstante $\tau$ wächst mit der Wärmekapazität des Körpers. Der Überschuss klingt ab nach $T-T_{\mathrm{env}}=(T_0-T_{\mathrm{env}})e^{-t/\tau }$: Tee mit 80 °C in einem 20 °C warmen Raum, dessen Überschuss sich alle 12 Minuten halbiert, zeigt nach 12, 24 und 36 Minuten 50 °C, 35 °C und 27,5 °C.

Häufige Fehler

• Wärme wird nicht in einem Körper gespeichert, und Kälte fließt nicht: Die 90 kJ in der Animation sind Energie, die vom Eisen zum Aluminium übergegangen ist.
• Verwende die Temperaturänderung, nicht die Endtemperatur. Das Erwärmen einer 0,5 kg schweren Aluminiumpfanne von 20 °C auf 120 °C braucht $0,5\cdot 900\cdot 100=45\mathrm{kJ}$, nicht 54 kJ.
• Gleiche Wärme bedeutet keine gleiche Temperaturänderung. Dieselben 90 kJ kühlen das Eisen um 200 K ab, erwärmen das Aluminium aber nur um 100 K.
• Celsius-Temperaturen lassen sich nicht als Verhältnisse vergleichen: 54 °C sind nicht doppelt so heiß wie 27 °C, denn 327 K sind nur 9 % mehr als 300 K.
• Ein Metallgriff fühlt sich bei gleichen 20 °C nur deshalb kälter an als ein Holzgriff, weil Metall, das Wärme hundertmal besser leitet, deiner Haut viel schneller Wärme entzieht: Die Haut spürt den Wärmeverlust, nicht die Temperatur.

Wo dir das begegnet

Die große spezifische Wärme des Wassers sorgt dafür, dass Küstenorte mildere Winter und kühlere Sommer haben; die Ozeane haben etwa neun Zehntel der zusätzlichen Energie aufgenommen, die Treibhausgase festhalten. Motoren werden mit Wasser gekühlt, Nachtspeicheröfen halten die Wärme in dichten Steinen, und der Energiegehalt von Nahrung wird gemessen, indem man Lebensmittel in einem Kalorimeter verbrennt; eine Nahrungskalorie entspricht 4,18 kJ.

Wärme, die schmilzt oder siedet statt zu erwärmen, ist das Thema von „Phasenübergänge und latente Wärme“, und wie Wärme sich ausbreitet, das von „Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“. „Wärmeausdehnung“ zeigt, was Erwärmung mit der Größe macht, „Kinetische Gastheorie“ erklärt Temperatur als Teilchenbewegung, und „Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen“ verbindet Wärme und Arbeit in einer Energiebilanz.

Fortgeschritten

Temperatur als Gleichgewichtsbedingung

Bevor Temperatur gemessen werden kann, muss sie definiert werden, und die Definition kommt aus einem Experiment. Bringe zwei Körper in thermischen Kontakt, sodass sie Energie, aber keine Materie austauschen können, und warte. Eine Weile ändern sich ihre Eigenschaften: Längen, Drücke und elektrische Widerstände driften. Dann hören die Änderungen auf. Die Körper befinden sich nun im thermischen Gleichgewicht, und wir sagen per Definition, dass sie dieselbe Temperatur haben.

Der nullte Hauptsatz der Thermodynamik fügt eine Tatsache hinzu: Zwei Körper, die jeweils mit einem dritten im Gleichgewicht sind, sind auch miteinander im Gleichgewicht. Darauf beruht die Verlässlichkeit eines Thermometers. Das Thermometer ist der dritte Körper: Zeigt es in Kontakt mit A und in Kontakt mit B dieselbe Anzeige, würden sich A und B nicht ändern, wenn sie sich berührten. Damit das funktioniert, muss seine Wärmekapazität klein genug sein, um die zu messende Temperatur nicht zu stören.

Diese Definition sagt, wann zwei Temperaturen gleich sind, aber nicht, wie man ihnen Zahlen zuordnet. Quecksilber-, Widerstands- und Thermoelement-Thermometer stimmen an ihren Kalibrierpunkten überein, weichen dazwischen aber leicht ab, weil jedes auf einer Eigenschaft seines eigenen Materials beruht. Ein verdünntes Gas hebt diese Abhängigkeit auf: Bei konstantem Volumen ist sein Druck proportional zu einer Temperatur, die für jedes Gas bei genügend geringer Dichte dieselbe ist. Diese Temperatur ist die Kelvin-Skala. Seit 2019 ist das Kelvin dadurch festgelegt, dass der Boltzmann-Konstante ein exakter Wert zugewiesen wurde; dadurch ist jede Temperatur $T$ mit einer Energie $k_{B}T$ verknüpft:
$k_B=1,380649\times 10^{-23}J/K$

Was Stöße verteilen

Gleiche Temperatur hat auch eine Bedeutung auf der Ebene der Moleküle: Sie ist der Zustand, in dem Stöße im Mittel keine Energie mehr von einem Körper zum anderen übertragen. Ein Gedankenexperiment zeigt, warum.

Nimm zwei verschiedene Gase in einem Behälter, getrennt durch einen frei gleitenden Kolben. Der Kolben kommt bald dort zur Ruhe, wo sich die Drücke auf seinen beiden Seiten ausgleichen, aber er steht nie ganz still: Er zittert unter den einzelnen Molekülstößen. Durch dieses Zittern gibt die Seite, deren Moleküle im Mittel stärker stoßen, Energie an die andere Seite weiter. Der Austausch hört erst auf, wenn die mittlere kinetische Energie pro Molekül auf beiden Seiten gleich ist. In einem Gemisch übernehmen die Stöße dieselbe Aufgabe direkt, Molekül für Molekül. Im Gleichgewicht bewegen sich also schwere Moleküle langsamer als leichte, haben aber alle dieselbe mittlere Energie $\frac{1}{2}m{v}^2$.

Die klassische statistische Mechanik fasst dies im Äquipartitionstheorem zusammen. Im Gleichgewicht hat jeder Term der Energie eines Teilchens, der quadratisch in einer Geschwindigkeitskomponente oder einer Koordinate ist, etwa $\frac{1}{2}m{v}_x^2$, denselben Mittelwert, $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Ein Molekül eines einatomigen Gases hat drei solche Terme, einen kinetischen Term pro Richtung, sodass seine mittlere kinetische Energie $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ beträgt. Ein Atom in einem Festkörper hat drei kinetische und ebenso drei potentielle Terme, denn seine Bindungen ziehen es in jeder Richtung zu seiner Ruhelage zurück; seine mittlere Energie ist daher $3k_{B}T$.

Für ein Mol eines einfachen Festkörpers mit $N_A$ Atomen und $R=N_A{k}_B$ beträgt die Energie $3RT$, sodass die molare Wärmekapazität für jedes Element gleich ist:
$C_m=3R\approx 25J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$
Dies ist das Dulong-Petit-Gesetz, 1819 experimentell gefunden. Geteilt durch die molaren Massen von Eisen und Aluminium, 0,0558 und 0,0270 kg/mol, ergibt $3R$ spezifische Wärmekapazitäten von etwa 447 und 924 J/(kg·K), nahe den 450 und 900 der Animation. Der Wert von Aluminium ist etwa doppelt so groß wie der von Eisen, weil seine Atome etwa halb so schwer sind: Ein Kilogramm Aluminium enthält etwa doppelt so viele Atome, und jedes speichert dieselbe Energie.

Wie weit ein Atom zittert

Die Äquipartition sagt, wie viel Energie die Schwingung eines Atoms enthält. Abbildung 1 übersetzt diese Energie in eine Strecke, die Größe des Zitterns eines Atoms, und zeigt, wie sie mit der Temperatur wächst.

Legende

$U$	Elastische Energie eines Atoms in seinen Bindungen, $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$, wobei $k_s$ die Federkonstante der Bindungen ist.	$\mathrm{J}$
$x$	Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage, entlang einer Richtung.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$	Mittlere elastische Energie entlang einer Richtung bei der höheren Temperatur $T_1$, als Niveau gezeichnet.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$	Mittlere elastische Energie entlang einer Richtung bei der niedrigeren Temperatur $T_2$, als Niveau gezeichnet.	$\mathrm{J}$
$x_1$	Wo das Niveau $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ die Mulde trifft: die mittlere quadratische Auslenkung, also die typische Größe des Zitterns bei $T_1$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Dasselbe bei $T_2$; um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als $x_1$, wenn $T_1=2T_2$ gilt.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 verfolgt ein Atom eines Festkörpers, das sich entlang einer Richtung bewegt, mit der Auslenkung $x$ aus seiner Ruhelage. Für kleine Auslenkungen wirken seine Bindungen wie eine Feder mit der Federkonstante $k_s$, sodass seine elastische Energie $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ ist: die parabelförmige Mulde in der Abbildung. (Hier ist $U$ die Energie dieses einen Atoms in seinen Bindungen, nicht die innere Energie des Blocks.) Nach der Äquipartition ist der Mittelwert von $U$ gleich $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Jede waagerechte Linie ist für eine Temperatur bei diesem Mittelwert gezeichnet: die obere Linie bei $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ für den wärmeren Körper, die untere bei $\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$ für den kälteren, mit $T_1=2T_2$ wie in der Animation.

Nun sieh dir an, wo jede Linie die Mulde schneidet. Dort gilt $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, also schneidet die Linie die Mulde bei $x=\pm \sqrt{k_{B}T/k_s}$, je einem Punkt auf jeder Seite der Mitte. Die Klammern unter der Achse messen den Schnittpunkt von der Mitte aus: $x_1$ für $T_1$ und $x_2$ für $T_2$. Diese Strecken haben eine physikalische Bedeutung. Da der Mittelwert von $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ gleich $\frac{1}{2}{k}_{B}T$ ist, ist der Mittelwert von $x^2$ gleich $k_{B}T/k_s$; jeder Schnittpunkt ist also genau die mittlere quadratische Auslenkung: die typische Größe des Zitterns bei dieser Temperatur.

Die Form der Mulde bestimmt, wie diese Größe wächst. Da $U$ mit $x^2$ ansteigt, verschiebt eine doppelt so hohe Linie den Schnittpunkt nur um den Faktor $\sqrt{2}$: In der Abbildung ist $x_1=\sqrt{2}{x}_2$. Das Zittern wächst mit $\sqrt{T}$, nicht mit $T$. Die Animation zeichnet ihre Teilchen nach dieser Regel: Die des Eisens, bei 600 K, zittern $\sqrt{2}\approx 1,4$-mal so weit wie die des Aluminiums bei 300 K.

Wärme, Arbeit und der erste Hauptsatz

Die Temperatur sagt, in welche Richtung Energie fließen wird; Wärme ist der Name dieses Flusses. Wärme wurde einst als Flüssigkeit vorgestellt, als Wärmestoff (Caloricum), der in Körpern gespeichert ist. In den 1840er-Jahren zeigte James Joule, dass fallende Gewichte, die ein Schaufelrad im Wasser antreiben, es genauso erwärmen wie Erhitzen, bei einem festen Verhältnis von etwa 4,2 J Arbeit für jede Kalorie. Wärme ist daher kein Stoff, sondern Energie beim Übergang, und die Energieerhaltung, die sie einschließt, ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik:
$\Delta U=Q-W$

Hier ist $U$ die innere Energie des Systems, $Q$ die aufgenommene Wärme und $W$ die Arbeit, die es an seiner Umgebung verrichtet; das ist die Vorzeichenkonvention der Lektion „Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen“. Zählt $W$ stattdessen die Arbeit am System, lautet der Satz $\Delta U=Q+W$.

Die beiden Arten der Übertragung unterscheiden sich darin, wie sie ablaufen. Arbeit ist Energie, die durch eine makroskopische Kraft übertragen wird, die über eine Strecke wirkt, etwa ein Kolben, der auf ein Gas drückt. Wärme ist Energie, die durch mikroskopische Stöße oder durch Strahlung übertragen wird, angetrieben von einer Temperaturdifferenz. Nur $U$ ist eine Eigenschaft des Zustands eines Körpers. Ein warmer Block könnte durch eine Flamme erwärmt worden sein, also durch Wärme, oder durch Reiben, also durch Arbeit, und nichts im Block verzeichnet, welches; „die in einem Körper enthaltene Wärme“ ist daher bedeutungslos.

Bei Feststoffen und Flüssigkeiten ist die Arbeit gegen die Atmosphäre bei der Ausdehnung vernachlässigbar, daher ist die aufgenommene Wärme $Q=C\Delta T$ praktisch ihre Änderung der inneren Energie $\Delta U$. Gase verhalten sich anders: Ein ideales Gas, das bei konstantem Druck erwärmt wird, verrichtet bei der Ausdehnung auch Arbeit, daher übertrifft seine molare Wärmekapazität bei konstantem Druck die bei konstantem Volumen genau um $R$.

Zwei Blöcke im Kontakt: exponentielle Annäherung

Der erste Hauptsatz legt fest, wo der Austausch endet; um ihn in der Zeit zu verfolgen, brauchen wir ein Modell dafür, wie schnell Wärme die Berührungsstelle überquert. Wir behandeln jeden Block als homogen mit einer einzigen Temperatur: Der heiße Block hat die Wärmekapazität $C_1$ und die Temperatur $T_1(t)$, der kalte $C_2$ und $T_2(t)$. Die Berührungsstelle führe einen Wärmestrom proportional zur Temperaturdifferenz, $k(T_1-T_2)$, wobei $k$ der Wärmeleitwert der Berührungsstelle in W/K ist. Die Energie jedes Blocks ändert sich nur durch diesen Strom, also
$C_1\frac{d{T}_1}{dt}=-k(T_1-T_2),C_2\frac{d{T}_2}{dt}=k(T_1-T_2)$

Zwei Ergebnisse folgen. Erstens ergibt die Addition der Gleichungen $d(C_1{T}_1+C_2{T}_2)/dt=0$: Was der eine Block verliert, gewinnt der andere, also bleibt $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ bei seinem Anfangswert. Am Ende sind beide Temperaturen gleich, und das legt die Endtemperatur fest:
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1{T}_1(0)+C_2{T}_2(0)}{C_1+C_2}$

Zweitens ergibt das Teilen jeder Gleichung durch ihre Wärmekapazität und das Subtrahieren der zweiten von der ersten eine Gleichung nur für die Lücke $\Delta T=T_1-T_2$:
$\frac{d\Delta T}{dt}=-k\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\Delta T$
Die Lücke schrumpft mit einer Rate, die proportional zu ihrer eigenen Größe ist; das ist das Kennzeichen eines exponentiellen Zerfalls. Ausgehend von $\Delta T_0$ gilt
$\Delta T=\Delta T_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{C_1{C}_2}{k(C_1+C_2)}$
Die Zeitkonstante $\tau$ ist groß, wenn die Körper groß sind oder die Berührungsstelle schlecht leitet. Der Ausdruck $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$ ist stets kleiner als beide Wärmekapazitäten, daher bestimmt der kleinere Körper das Tempo.

Die Animation verwendet 1 kg Eisen bei 600 K (327 °C), also $C_1=450J/K$, und 1 kg Aluminium bei 300 K (27 °C), also $C_2=900J/K$. Dann ist $T_{\mathrm{eq}}=(450\cdot 600+900\cdot 300)/1350=400\mathrm{K}$, also 127 °C, und das Eisen gibt $450\cdot 200=90\mathrm{kJ}$ an das Aluminium ab. Mit $C_1{C}_2/(C_1+C_2)=300J/K$ und $k=240W/K$ beträgt die Zeitkonstante $\tau =300/240=1,25\mathrm{s}$ ($1/\tau =0,8{\mathrm{s}}^{-1}$). Der Fluss beginnt bei $k\Delta T_0=240\cdot 300=72\mathrm{kW}$, die Lücke halbiert sich alle $\tau \ln 2\approx 0,87\mathrm{s}$, und sie ist nach $\tau \ln 300\approx 7,1\mathrm{s}$ auf 1 K gesunken.

Die beiden Kurven lesen

Die Lösung lässt sich am leichtesten als Bild erfassen. Abbildung 2 zeigt, wo die beiden Temperaturen enden, wie schnell sie beginnen und was $\tau$ im Diagramm bedeutet.

Legende

$T$	Temperatur eines Blocks.	$\mathrm{K}$
$t$	Zeit seit dem Kontakt der Blöcke.	$\mathrm{s}$
$T_1$	Temperatur des heißen Blocks, des Eisens; sie fällt von ihrem Anfangswert.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Temperatur des kalten Blocks, des Aluminiums; sie steigt von ihrem Anfangswert.	$\mathrm{K}$
$T_{eq}$	Gemeinsame Endtemperatur, das Niveau, dem sich beide Kurven nähern.	$\mathrm{K}$
$\Delta T_0$	Anfängliche Temperaturdifferenz $T_1-T_2$; die Lücke schrumpft dann wie $e^{-t/\tau }$.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Zeitkonstante: die Zeit, bei der beide Anfangstangenten $T_{\mathrm{eq}}$ erreichen.	$\mathrm{s}$

Abbildung 2 zeigt die beiden Kurven des Experten-Diagramms der Animation mit ihren Zahlen. Die orangerote Kurve $T_1$ beginnt bei den 327 °C des Eisens und fällt; die blaue Kurve $T_2$ beginnt bei den 27 °C des Aluminiums und steigt. Die Klammer links umspannt die Anfangslücke $\Delta T_0$, 300 K.

Zuerst sieh, wohin die Kurven gehen. Beide biegen auf die grün gestrichelte Linie $T_{\mathrm{eq}}$ bei 127 °C ein. Diese Linie teilt die Klammer im Verhältnis 2 : 1, und sie teilt die schrumpfende Lücke immer im selben Verhältnis: Da $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ stets $(C_1+C_2)T_{\mathrm{eq}}$ ergibt, gilt $C_1(T_1-T_{\mathrm{eq}})=C_2(T_{\mathrm{eq}}-T_2)$, sodass das Eisen mit der halben Wärmekapazität immer doppelt so weit von $T_{\mathrm{eq}}$ entfernt ist. In jedem Moment gilt $T_1-T_{\mathrm{eq}}=\frac{2}{3}\Delta T$ und $T_{\mathrm{eq}}-T_2=\frac{1}{3}\Delta T$: Die Kurve des Eisens ist die des Aluminiums, an der gestrichelten Linie gespiegelt und auf die doppelte Höhe gestreckt.

Dann sieh, wie sie beginnen. Die beiden grauen gestrichelten Linien sind die Tangenten bei $t=0$, und ihre Steigungen sind die Anfangsraten: $-k\Delta T_0/C_1=-160K/s$ für das Eisen und $+k\Delta T_0/C_2=+80K/s$ für das Aluminium. Beide Tangenten erreichen die Linie $T_{\mathrm{eq}}$ im selben Augenblick, $t=\tau$, auf der Zeitachse markiert: Das Eisen würde in 1,25 s um 200 K fallen und das Aluminium um 100 K steigen. Das ist die Bedeutung von $\tau$: die Zeit, die eine Temperatur bräuchte, um $T_{\mathrm{eq}}$ zu erreichen, wenn sie ihre Anfangsrate beibehielte. In Wirklichkeit fällt die Rate proportional zur verbleibenden Lücke, sodass nach $\tau$ noch etwa 37 % der Lücke übrig sind und nach $4\tau$ nur noch etwa 2 %.

Ist der zweite Körper riesig ($C_2\to \infty$, ein Raum oder ein See), bewegt sich seine Temperatur kaum von $T_{\mathrm{env}}$ weg, $\tau$ wird zu $C_1/k$, und die erste Gleichung wird zum newtonschen Abkühlungsgesetz:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$

Warum Wärme von heiß nach kalt fließt

Nichts im ersten Hauptsatz legt die Richtung des Flusses fest: Die Energie bliebe genauso erhalten, wenn die 90 kJ vom Aluminium zurück ins Eisen gingen. Die Richtung ergibt sich aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik: Die Gesamtentropie eines abgeschlossenen Systems kann nicht abnehmen. Ein Körper mit gleichmäßiger Temperatur $T$, der eine kleine Wärme $\delta Q$ aufnimmt, gewinnt die Entropie $\delta Q/T$. Abbildung 3 wendet diese Regel auf eine kleine Übertragung zwischen den Blöcken an.

Legende

$T_1$	Temperatur des heißen Blocks.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Temperatur des kalten Blocks.	$\mathrm{K}$
$\delta Q$	Eine kleine Wärmemenge, die vom heißen zum kalten Block übergeht.	$\mathrm{J}$
$\delta Q/T_1$	Vom heißen Block verlorene Entropie.	$J/K$
$\delta Q/T_2$	Vom kalten Block gewonnene Entropie.	$J/K$
$dS$	Durch die Übertragung erzeugte Entropie: der Überhang des unteren Balkens, $\delta Q(1/T_2-1/T_1)$.	$J/K$

Abbildung 3 verfolgt eine kleine Menge Wärme $\delta Q$ vom heißen Block bei $T_1$ zum kalten bei $T_2$; sie ist so klein, dass sich keine der beiden Temperaturen während der Übertragung ändert. Der heiße Block verliert die Entropie $\delta Q/T_1$, der obere Balken; der kalte Block gewinnt $\delta Q/T_2$, der untere Balken. Die Wärme ist auf beiden Seiten dieselbe, aber auf der kalten Seite wird sie durch eine kleinere Temperatur geteilt, daher ist dieser Balken länger: hier doppelt so lang, wo $T_1=2T_2$ gilt. Der Teil des unteren Balkens, der über den oberen hinausragt, $dS$, ist die Entropie, die die Übertragung erzeugt:
$dS=\delta Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$

Für $\delta Q>0$ ist dies genau dann positiv, wenn $T_1>T_2$ gilt. Wärmefluss von heiß nach kalt erhöht daher die Gesamtentropie, und der umgekehrte Fluss würde sie senken, was der zweite Hauptsatz verbietet. Auf molekularer Ebene verletzt der umgekehrte Fluss kein Bewegungsgesetz; für Körper alltäglicher Größe ist er nur überwältigend unwahrscheinlich.

Für den gesamten Austausch in der Animation summiert man solche Schritte. Die Entropie jedes Blocks ändert sich um $dS=CdT/T$, mit $T$ in Kelvin, und Integration von den Anfangstemperaturen bis $T_{\mathrm{eq}}=400\mathrm{K}$ ergibt
$\Delta S=C_1\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1(0)}+C_2\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2(0)}=450\ln \frac{400}{600}+900\ln \frac{400}{300}\approx 76J/K$
Das Eisen verliert 182 J/K, aber das Aluminium gewinnt 259 J/K: Es erhält dieselben 90 kJ, aber bei niedrigeren Temperaturen, daher bringt jedes Joule ihm mehr Entropie.

Der zweite Hauptsatz gibt der Temperatur auch ihre tiefste Definition. Nimm eine reversible Maschine, die Wärme $Q_h$ aus einem Reservoir bei $T_h$ entnimmt und Wärme $Q_c$ an ein Reservoir bei $T_c$ abgibt. Unabhängig von ihrem Arbeitsstoff gilt $Q_h/Q_c=T_h/T_c$; dieses Verhältnis definiert also eine Temperaturskala, die von keinem Material abhängt, und sie fällt mit der Kelvin-Skala des idealen Gases zusammen. In der statistischen Physik lautet dieselbe Idee $1/T=\partial S/\partial U$ bei festem Volumen: Die inverse Temperatur ist die Entropie, die ein Körper pro aufgenommenem Joule gewinnt. Deshalb fließt Wärme zum kälteren Körper: Dort bringt jedes Joule mehr Entropie.

Aufgabe: eine Maschine zwischen den Blöcken

Direkter Kontakt verschenkt die Chance, aus dem Temperaturunterschied Arbeit zu gewinnen. Diese Aufgabe fragt, wie viel Arbeit sich zurückgewinnen ließe. Angenommen, statt sich zu berühren, treiben die beiden Blöcke eine reversible Maschine an, die Wärme vom Eisen entnimmt, an das Aluminium abgibt und Arbeit liefert, bis beide eine gemeinsame Temperatur $T_f$ erreichen. Das Eisen startet bei $T_1=600\mathrm{K}$ und das Aluminium bei $T_2=300\mathrm{K}$. Wie groß ist $T_f$, und wie viel Arbeit wird geliefert?

Legende

$T$	Temperatur eines Blocks.	$\mathrm{K}$
$s$	Entropie, die bisher das Eisen verlassen hat; dieselbe Menge ist ins Aluminium eingetreten.	$J/K$
$T_1$	Anfangstemperatur des Eisens, 600 K; das Eisen kühlt entlang der orangeroten Kurve ab.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Anfangstemperatur des Aluminiums, 300 K; es erwärmt sich entlang der blauen Kurve.	$\mathrm{K}$
$T_f$	Gemeinsame Endtemperatur, dort wo sich die beiden Kurven treffen.	$\mathrm{K}$
$W$	Von der Maschine gelieferte Arbeit: die Fläche zwischen den Kurven.	$\mathrm{J}$

Abbildung 4 verfolgt die Maschine in einem Temperatur-Entropie-Diagramm. Sei $s$ die Entropie, die bisher das Eisen verlassen hat; sie verläuft auf der waagerechten Achse. Eine reversible Maschine erzeugt keine Entropie, daher ist dieselbe Entropie $s$ ins Aluminium eingetreten. Da für jeden Block $dS=CdT/T$ gilt, kühlt das Eisen, das $s$ verliert, entlang $T_1{e}^{-s/C_1}$, der orangeroten Kurve, während sich das Aluminium, das $s$ gewinnt, entlang $T_2{e}^{s/C_2}$ erwärmt, der blauen. Die Kurven treffen sich auf der gestrichelten Höhe $T_f$; dort bleibt keine Temperaturdifferenz, und die Maschine stoppt.

Nun lies die Arbeit ab. In einem kleinen Schritt $ds$ gibt das Eisen eine Wärme ab, die gleich seiner eigenen Temperatur mal $ds$ ist, und das Aluminium nimmt seine eigene, niedrigere Temperatur mal $ds$ auf. Die Maschine verwandelt die Differenz in Arbeit, was im Diagramm ein dünner senkrechter Streifen zwischen den Kurven ist. Summiert man die Streifen, ist die Arbeit $W$ die schraffierte Fläche zwischen den Kurven, die sich zu einem Punkt verengt, wenn sich die Temperaturen einander nähern.

Die Kurven treffen sich, wenn sich die Entropieänderungen der beiden Blöcke aufheben, da die Gesamtentropie sich nicht ändert: $C_1\ln (T_f/T_1)+C_2\ln (T_f/T_2)=0$. Auflösen nach $\ln T_f$ ergibt
$T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}{T}_2^{C_2/(C_1+C_2)}=600^{1/3}\cdot 300^{2/3}=300\cdot 2^{1/3}\approx 378\mathrm{K}$
oder etwa 105 °C. Bis dahin sind $s=C_1\ln (T_1/T_f)\approx 208J/K$ von einem Block zum anderen geflossen. Das Paar gibt nur über die Maschine Wärme ab, also ist die Arbeit die innere Energie, die die Blöcke zusammen verlieren:
$W=C_1(T_1-T_f)-C_2(T_f-T_2)\approx 99,9-70,2=29,7\mathrm{kJ}$

Die Maschine entnimmt dem Eisen 99,9 kJ, mehr als die 90 kJ bei direktem Kontakt, und wandelt etwa 30 % davon in Arbeit um; ihr momentaner Wirkungsgrad $1-T_2/T_1$ für die aktuellen Temperaturen fällt von 50 % am Anfang auf null am Ende. Die Blöcke enden 22 K unter den 400 K des direkten Kontakts, weil der reversible Endpunkt das gewichtete geometrische Mittel der Anfangstemperaturen ist, während der Kontakt das gewichtete arithmetische Mittel liefert, das immer höher liegt. Jeder Temperaturunterschied kann Arbeit leisten; lässt man Wärme direkt hinüberfließen, geht diese Möglichkeit verloren, und es entstehen die oben gefundenen 76 J/K.

Echte Blöcke und die Grenzen des Modells

Das Zwei-Blöcke-Modell setzt voraus, dass jeder Block eine einheitliche Temperatur behält, was verlangt, dass sich Wärme im Inneren eines Blocks schneller ausbreitet, als sie über die Berührungsstelle fließt. Im Körper fließt Wärme das Temperaturgefälle hinab, nach dem fourierschen Wärmeleitungsgesetz:
$\vec{q}=-\kappa \nabla T$
Dabei ist $\vec{q}$ die Wärmestromdichte in W/m² und $\kappa$ die Wärmeleitfähigkeit, für Eisen etwa 80 W/(m·K). Zusammen mit der Energieerhaltung ergibt sich die Diffusionsgleichung $\partial T/\partial t=\alpha {\nabla }^{2}T$ mit der Temperaturleitfähigkeit $\alpha =\kappa /(\rho c)\approx 2,3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ für Eisen, wobei $\rho$ die Dichte ist. Wärme braucht eine Zeit der Größenordnung $L^2/\alpha$, um eine Strecke $L$ zu durchlaufen: etwa 110 s über einen 1 kg schweren Eisenwürfel mit der Kantenlänge $L\approx 5\mathrm{cm}$. Das ist weit länger als das $\tau$ von 1,25 s der Animation; echte Blöcke hätten also keine einheitliche Temperatur und bräuchten Minuten, um sich auszugleichen. Die Animation idealisiert sie.

Heiße Körper strahlen außerdem. Eine Oberfläche der Fläche $A$ mit Emissionsgrad $\epsilon$ gibt die Leistung
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
ab, mit $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$, und nimmt im Gegenzug aus ihrer Umgebung bei $T_0$ Strahlung auf, sodass ihr Nettoverlust $\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$ beträgt. Die freien Flächen des Eisens, 0,013 m² mit $\epsilon \approx 0,6$, verlieren bei 600 K gegenüber einer Umgebung von 300 K netto etwa 50 W; die Isolierung ist also nur näherungsweise. Für kleine Unterschiede gilt $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, und Strahlung folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz; zwischen 600 K und 300 K ist der Fluss aber fast viermal so groß wie diese lineare Schätzung.

Auch die Wärmekapazitäten sind nicht konstant: Die spezifische Wärme $c$ des Eisens steigt zwischen 300 K und 600 K um mehr als ein Viertel. Bei tiefen Temperaturen versagt die Äquipartition. Schwingungsenergien sind quantisiert, und sobald $k_{B}T$ klein ist gegenüber dem Abstand ihrer Niveaus, frieren die Schwingungen ein; ihre Wärmekapazität fällt dann nahe dem absoluten Nullpunkt mit $T^3$. Der steife Diamant zeigt dies schon bei Raumtemperatur, mit etwa 510 J/(kg·K) statt des Dulong-Petit-Werts von 2080. Schließlich braucht die Temperatur selbst viele Teilchen in der Nähe des Gleichgewichts: Ein einzelnes Molekül hat eine Energie, aber keine Temperatur.

Wohin das führt

Die „Kinetische Gastheorie“ macht aus $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ Druck und molekulare Geschwindigkeiten. „Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen“ baut Maschinen auf der Energiebilanz auf, und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie“ verallgemeinert die hier gefundenen 76 J/K. „Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“ entwickelt das fouriersche Gesetz und die Strahlung, „Phasenübergänge und latente Wärme“ behandelt Wärme, die den Zustand statt der Temperatur ändert, und „Wärmeausdehnung“ zeigt, was Erwärmung mit der Größe macht. Das Versagen der Äquipartition hat die Quantenära eröffnet, wie „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“ erklärt.