Lautstärke, Intensität und Dezibel

Einsteiger

Halte eine Sprühdose nah an eine Wand, und du bekommst einen kleinen, dicken Fleck. Tritt auf den doppelten Abstand zurück, bedeckt dieselbe Farbe einen Fleck, der doppelt so breit und doppelt so hoch ist, also die vierfache Fläche, und die Schicht ist viermal dünner. Schall aus einem Lautsprecher breitet sich auf die gleiche Weise aus, in alle Richtungen, wie eine wachsende Blase. Die blauen Ringe in der Animation sind diese Blase, und sie werden blasser, während sie wachsen.

Der Lautsprecher sendet jede Sekunde dieselbe Schallenergie aus. Die Intensität ist der Anteil, der jede Sekunde auf jeden Quadratmeter trifft, gemessen in Watt pro Quadratmeter. Schau dir die goldenen Quadrate an: Der Schall, der durch ein Quadrat nahe am Lautsprecher geht, teilt sich auf vier gleich große Quadrate auf, die doppelt so weit entfernt liegen, sodass jedes nur ein Viertel bekommt.

Unsere Ohren verkraften einen enormen Bereich, vom leisesten Geräusch, das sie wahrnehmen können, bis zu Lärm, der eine Billion Mal intensiver ist. Damit die Zahlen handlich bleiben, verwenden wir Dezibel (dB), die im Diagramm gezeigt werden: Jeder Schritt von 10 dB bedeutet die zehnfache Intensität. 60 dB sind also hundertmal so intensiv wie 40 dB. Doppelt so weit weg zu gehen kostet etwa 6 dB.

Unser Lautstärkeempfinden ist bescheidener als die Zahlen: Ein Schall muss etwa die zehnfache Intensität haben, also 10 dB mehr, um doppelt so laut zu wirken. Und Lautstärke ist nicht Tonhöhe: Hoch oder tief hängt von der Frequenz ab, deshalb kann ein leises Pfeifen hoch und eine laute Trommel tief sein.

Schütze dein Gehör: Stunden mit Schall über etwa 85 dB können es dauerhaft schädigen.

Prüfe dich selbst: Ein Radio spielt mit 70 dB, und ein anderer Schall erreicht 90 dB. Wie viel mal intensiver ist er? (100-mal: zwei Schritte zu je 10 dB.)

Mittelstufe

Intensität: Leistung durch jeden Quadratmeter

Die Schallleistung $P$ einer Quelle ist die Schallenergie, die sie jede Sekunde abgibt, in Watt. Schall trägt nur wenig Energie: Ein typischer Lautsprecher wandelt höchstens 1 % seiner elektrischen Leistung in Schall um, und der in der Animation strahlt nur $P=10\mathrm{mW}$ ab.

Dein Ohr sammelt nur den Anteil dieser Leistung, der auf seine eigene kleine Fläche trifft. Die Intensität ist die Leistung, die jeden Quadratmeter einer dem Schall zugewandten Fläche durchquert:
$I=\frac{P}{A}$

Sie wird in W/m² gemessen und beschreibt den Schall an einem Ort, nicht die Quelle. Halte sie getrennt von der Lautstärke, also davon, wie stark der Schall einem Zuhörer erscheint, und von der Tonhöhe, hoch oder tief, die vor allem durch die Frequenz bestimmt wird.

Das quadratische Abstandsgesetz

Stell dir eine kleine Quelle vor, die Schall gleichmäßig in alle Richtungen aussendet. In der Entfernung $r$ verteilt sich die Energie, die sie jede Sekunde abstrahlt, auf eine Kugel mit der Fläche $4\pi r^2$. Die Intensität einer Punktquelle ist also
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Verdoppelst du den Abstand, wird die Kugel viermal größer, die Intensität sinkt also auf ein Viertel; verdreifachst du ihn, teilt sich die Intensität durch 9. Beim Vergleich zweier Abstände kürzen sich $P$ und $4\pi$ heraus:
$\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$

Die goldene Pyramide in der Animation zeigt die Geometrie. Strahlen durch die Ecken eines Quadrats bei $r=2\mathrm{m}$ umschließen in 4 m ein Quadrat, das doppelt so breit und doppelt so hoch ist: vier gleich große Quadrate, beschriftet mit $I/4$. Die Energie, die durch ein Quadrat ging, verteilt sich auf vier: Nichts geht verloren, sie wird nur dünner verteilt.

Die Dezibel-Skala

Das Ohr verarbeitet einen enormen Bereich, von etwa $10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, dem leisesten 1-kHz-Ton, den ein junger Zuhörer hören kann, bis etwa 10 W/m², wo Schall schmerzt. Statt Zahlen über dreizehn Zehnerpotenzen zu verteilen, zählen wir die Zehnerpotenzen. Der Schallintensitätspegel ist
$\beta =10{\log }_{10}\frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$
in Dezibel (dB). Ein Faktor 10 in der Intensität ergibt 10 dB, ein Faktor 100 ergibt 20 dB; da ${\log }_{10}2=0,301$ gilt, ergibt eine Verdopplung 3,0 dB und eine Vervierfachung 6,0 dB.

Daraus folgen zwei Rechenregeln. Da $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$ gilt, macht der Logarithmus aus dem Quadrat einen Faktor 2, und $10\cdot 2=20$: Der Pegel sinkt um 20 dB pro zehnfachem Abstand und um 6 dB pro Verdopplung. Da unabhängige Quellen ihre Intensitäten addieren, erhöhen $N$ gleiche Quellen den Pegel um $10{\log }_{10}N$:

• ${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
• ${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ equal incoherent sources)}$

Rechenbeispiel: das Messgerät der Animation

Der Lautsprecher strahlt $P=10\mathrm{mW}=0,010\mathrm{W}$ ab. Für den nahen Zuhörer bei $r=2\mathrm{m}$:
$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=50,3{\mathrm{m}}^2$
$I=\frac{0,010\mathrm{W}}{50,3{\mathrm{m}}^2}=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$
also $I/I_0=1,99\times 10^8$ und
$\beta =10{\log }_{10}\left(1,99\times 10^8\right)=10\cdot 8,30=83,0\mathrm{dB}$

Der entfernte Zuhörer bei 4 m erhält ein Viertel dieser Intensität, $4,97\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, bei einem Pegel von $83,0-20{\log }_{10}2=77,0\mathrm{dB}$. Dies sind die Anzeigen von $I$ und $\beta$, wenn das rote Messgerät die Abstände der Zuhörer erreicht: etwa 199 µW/m² und 83,0 dB, dann 49,7 µW/m² und 77,0 dB.

Das Messgerät startet bei 1 m (795,8 µW/m², 89,0 dB) und endet bei 8 m (12,4 µW/m², 70,9 dB). Sein Abstand verdoppelt sich alle 2 s, daher teilt jeder Schritt die Intensität durch 4 und senkt den Pegel um die gleichen 6,0 dB, und der Zeiger gleitet in gleichen Schritten über die Skala. Auf dem ganzen Weg schrumpft die Intensität um den Faktor 64, der Pegel fällt aber nur um 18 dB.

Rechenbeispiel: ein sicherer Abstand zum Druckluftbohrer

Ein Messgerät 2 m von einem Druckluftbohrer zeigt 100 dB an. Wie weit musst du entfernt sein, damit der Pegel auf 85 dB sinkt, die Gefährdungsmarke im Diagramm? Bei 2 m gilt $I=I_0\cdot 10^{100/10}=0,01W/{\mathrm{m}}^2$; würde der Bohrer gleichmäßig in alle Richtungen abstrahlen, wäre seine Schallleistung $P=4\pi \cdot 2^2\cdot 0,01\approx 0,50\mathrm{W}$. Der Pegel muss um 15 dB sinken, also
$20{\log }_{10}\left(\frac{r}{2\mathrm{m}}\right)=15$
$r=2\mathrm{m}\cdot 10^{15/20}=2\mathrm{m}\cdot 10^{0,75}=11,2\mathrm{m}$

Ein zweiter, gleicher Bohrer hebt den Pegel bei 2 m auf $100+10{\log }_{10}2=103,0\mathrm{dB}$, und die 85-dB-Entfernung wächst auf $2\cdot 10^{18/20}=15,9\mathrm{m}$: $\sqrt{2}$-mal so weit, nicht doppelt so weit. Harter Boden fügt in jedem Abstand ungefähr dieselben 3 dB hinzu: Er halbiert die Leistungsschätzung, lässt diese Entfernungen aber unverändert.

Eine übliche Arbeitsschutzrichtlinie erlaubt 8 Stunden am Tag bei 85 dB und halbiert die Zeit für jede weiteren 3 dB. Ein Arbeiter 2 m von einem Bohrer liegt 15 dB darüber, also fünf Halbierungen, sodass die Grenze $8\mathrm{h}/2^5=15\min$ beträgt.

Das Dezibel-Diagramm lesen

Das Diagramm neben dem Lautsprecher ist ein Lineal in Dezibel, gleiche Abstände darauf sind also gleiche Intensitätsfaktoren: Von einem 30-dB-Flüstern zu einem 60-dB-Gespräch ist es ein Faktor 1000, und von 0 dB bis zur Schmerzschwelle bei 130 dB ein Faktor $10^{13}$. Sein farbiger Balken ist bis 70 dB grün, bis 85 dB goldgelb und darüber rot, wo langes Hören das Gehör schädigt. Der Zeiger beginnt im roten Bereich bei 89,0 dB, überschreitet 85 dB, wenn das Messgerät etwa 1,6 m vom Lautsprecher entfernt ist, und endet bei 70,9 dB, knapp über dem Grünen.

Die empfundene Lautstärke wächst weit sanfter als die Intensität. Ein Schall muss etwa 10 dB gewinnen, also die zehnfache Intensität, um doppelt so laut zu wirken. Ein 110-dB-Rockkonzert, 50 dB über einem Gespräch, hat daher $10^5$-mal so viel Intensität, klingt aber nur etwa $2^5=32$-mal so laut.

Häufige Fehler

• Dezibel addieren sich nicht. Zwei gleiche, unabhängige Maschinen mit je 80 dB ergeben 83 dB, nicht 160 dB: Die Intensitäten addieren sich, und die Verdopplung der Intensität ergibt 3 dB. Für 86 dB braucht man vier Maschinen.
• Verdoppelst du den Abstand, halbiert sich die Intensität nicht, sie viertelt sich, ein Abfall von 6 dB. Nur eine lange Reihe von Quellen, etwa eine belebte Straße, verliert pro Verdopplung nur 3 dB.
• 0 dB ist nicht Stille, sondern die Referenzintensität $I_0$, etwa der leiseste Schall, den ein junges Ohr wahrnehmen kann; leisere Geräusche haben negative Pegel, und $10^{-13}W/{\mathrm{m}}^2$ sind −10 dB.
• Die vierfache Intensität klingt nicht viermal so laut: Die 6 dB, die man durch Halbieren des Abstands gewinnt, klingen nur etwa 1,5-mal so laut, da sich die empfundene Lautstärke etwa alle 10 dB verdoppelt.
• Kleine Fehler kosten ganze Faktoren: Division durch $r^2$ statt $4\pi r^2$ macht eine Intensität 12,6-mal zu groß, und wenn man $I_0$ oder den Faktor 10 weglässt, werden aus 70 dB, dem Pegel von $10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, −50 dB oder 7 dB.

Wo dir das begegnet

Lärmgrenzwerte am Arbeitsplatz und in der Nähe von Flughäfen, die Dämmwerte von Gehörschutz (gute Kapselgehörschützer dämpfen 20 bis 30 dB, ein Faktor von 100 bis 1000 in der Intensität) und die Lärmkarten von Städten beruhen alle auf diesen Regeln. Das Dezibel dient überall dort, wo Verhältnisse viele Zehnerpotenzen umfassen: Verstärkungsfaktoren von Verstärkern, das Licht, das in Glasfasern verloren geht, die Stärke von Mobilfunksignalen.

Das quadratische Abstandsgesetz gilt nicht nur für Schall: Auch Licht, Gravitation und das elektrische Feld einer Punktladung verteilen sich über Kugeln, wie in „Gravitation und Umlaufbahnen“, „Das coulombsche Gesetz“ und „Elektromagnetische Wellen“ gezeigt wird. Kohärente Quellen, die Amplituden statt Intensitäten addieren, führen zu „Interferenz und Superposition“, und Schall, der zwischen Wänden gefangen ist, führt zu „Stehende Wellen“.

Fortgeschritten

Was die Intensität misst

Die Intensität sagt uns, wie viel Schallenergie durch eine Fläche strömt: die Leistung, die jeden Quadratmeter senkrecht zum Fluss durchquert, in Watt pro Quadratmeter. Auf sie reagieren ein Mikrofon oder ein Trommelfell, und allein der Energieerhaltungssatz legt fest, wie sie sich mit dem Abstand ändert.

Woher kommt der Fluss? In einer Schallwelle steigt und fällt der Luftdruck um einen kleinen Überdruck $p$ um seinen üblichen Wert, während sich die Luft selbst mit der Geschwindigkeit $u$ hin und her bewegt. Der Druck drückt auf die sich bewegende Luft vor ihm und verrichtet so Arbeit mit der Rate $pu$ pro Quadratmeter: Kraft pro Fläche mal Geschwindigkeit, die akustische Form von Kraft mal Geschwindigkeit. Dieses Produkt schwankt mit der Welle, daher wird die Intensität $\vec{I}$ als sein Mittelwert über eine Periode definiert. Sie ist ein Vektor, der in die Richtung zeigt, in die die Energie fließt.

Nun umgib eine Quelle mit einer beliebigen geschlossenen Fläche und zerlege die Fläche in kleine Stücke. Schreibe jedes Stück als Vektor $d\vec{A}$, dessen Länge die Fläche des Stücks ist und der nach außen zeigt. Nur der Teil des Flusses, der durch ein Stück tritt, transportiert Energie hindurch, die Leistung, die durch ein Stück austritt, ist also $\vec{I}\cdot d\vec{A}$. Wenn die Quelle stetig arbeitet und nichts Schall absorbiert, kann sich im Inneren keine Energie ansammeln, also muss die gesamte Leistung $P$ der Quelle durch die Fläche austreten (das Kreisintegralzeichen bedeutet eine Summe über die gesamte geschlossene Fläche):
$\oint \vec{I}\cdot d\vec{A}=P$

Ausbreitung im Kegel: das quadratische Abstandsgesetz

Am einfachsten sieht man, was diese Gleichung über den Abstand aussagt, wenn man ein schmales Bündel des Flusses verfolgt.

Legende

$\Delta P$	Vom Kegel getragene Leistung: der Anteil der Schallleistung der Quelle, der durch jede Fläche tritt.	$\mathrm{W}$
$r_1$	Abstand von der Quelle zur ersten Fläche.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Abstand von der Quelle zur zweiten Fläche, doppelt so groß wie $r_1$.	$\mathrm{m}$
$A_1$	Flächeninhalt der ersten Fläche, der Quelle zugewandt.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Flächeninhalt der zweiten Fläche: viermal $A_1$, mit einem Strahl in jeder ihrer vier Zellen.	${\mathrm{m}}^2$
$I_1$	Intensität an der ersten Fläche: die Leistung pro Quadratmeter dort, $\Delta P/A_1$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensität an der zweiten Fläche, $\Delta P/A_2$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Abbildung 1 verfolgt die Energie in einem schmalen Kegel, dessen Spitze an der Quelle liegt. Seine vier Strahlen stehen für die Leistung $\Delta P$, die der Kegel trägt. Sie durchqueren eine quadratische Fläche der Größe $A_1$ im Abstand $r_1$ und dann eine zweite Fläche der Größe $A_2$ bei $r_2=2r_1$; beide Flächen sind der Quelle zugewandt. Die Seiten des Kegels sind gerade Linien von seiner Spitze aus, daher wächst jede Seite des Quadrats proportional zum Abstand: Bei doppeltem Abstand ist die Fläche doppelt so breit und doppelt so hoch, und $A_2=4A_1$. Die Querlinien auf $A_2$ teilen sie in vier Zellen, jede so groß wie $A_1$.

Schau nun auf die Punkte, an denen sich die Strahlen kreuzen. Auf $A_1$ gehen alle vier Strahlen durch eine Zellenfläche; auf $A_2$ liegt in jeder Zelle ein Strahl. Dieselbe Leistung verteilt sich auf die vierfache Fläche, die Leistung pro Quadratmeter ist also auf ein Viertel gesunken, $I_2=I_1/4$. In Symbolen: Zwischen den Flächen geht nichts verloren, also $I_1{A}_1=I_2{A}_2=\Delta P$. Entlang eines Kegels wächst der Querschnitt mit $r^2$, daher sinkt die Intensität mit $1/r^2$, und der Kegel trägt in jeder Entfernung dieselbe Leistung.

Fülle alle Richtungen mit solchen Kegeln. Für eine Quelle, die gleichmäßig abstrahlt, zeigt auf einer Kugel mit dem Radius $r$ um sie herum $\vec{I}$ überall geradewegs nach außen und hat überall dieselbe Größe $I$. Jedes Stück lässt dann $IdA$ hindurch, und die Stücke ergeben zusammen die Fläche der Kugel, $4\pi r^2$. Die Gleichung für die geschlossene Fläche wird zu $4\pi r^{2}I=P$, dem quadratischen Abstandsgesetz:
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$
Die Live-Prüfung über dem ersten Expertendiagramm zeigt dies für den 10-mW-Lautsprecher der Animation: Von 1 m bis 8 m fällt $I$ von 796 auf 12,4 µW/m², dennoch bleibt $4\pi r^{2}I$ bei 10,0 mW.

Warum die Amplitude mit 1/r fällt

Das quadratische Abstandsgesetz betrifft die Energie. Was passiert mit der Welle selbst, der Druckschwankung, die ein Mikrofon aufzeichnet? Auch sie muss kleiner werden; die Frage ist, wie schnell.

Legende

$p$	Überdruck der Schallwelle zum gezeigten Zeitpunkt.	$\mathrm{Pa}$
$r$	Abstand von der Quelle entlang des Strahls.	$\mathrm{m}$
$p_1$	Höhe des Wellenbergs bei $r_1$: die Druckamplitude dort.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Höhe des Wellenbergs bei $r_2$: die Hälfte von $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$r_1$	Abstand von der Quelle zum ersten markierten Wellenberg.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Abstand zum zweiten markierten Wellenberg, doppelt so groß wie $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\lambda$	Wellenlänge: der Abstand zwischen benachbarten Wellenbergen, bei jedem $r$ gleich.	$\mathrm{m}$
$C/r$	Hüllkurve der Welle, mit $C$ einer durch die Quelle bestimmten Konstante: Wellenberge berühren $+C/r$, Wellentäler $-C/r$.	$\mathrm{Pa}$

Abbildung 2 ist eine Momentaufnahme des Überdrucks $p$ entlang eines Strahls, der bei $r=0$ von einem Lautsprecher ausgeht. Achte zuerst auf den Abstand: Benachbarte Wellenberge liegen immer eine Wellenlänge $\lambda$ auseinander, der Abstand ändert also die Tonhöhe nicht. Dann schau auf die Höhen. Der Wellenberg bei $r_1$ erreicht $p_1$; der Wellenberg bei $r_2=2r_1$ erreicht nur $p_2=p_1/2$. Jeder Wellenberg berührt die gestrichelte Kurve $+C/r$ und jedes Wellental die Kurve $-C/r$, wobei $C$ eine Konstante ist, die durch die Stärke der Quelle bestimmt wird. Doppelter Abstand, halbe Amplitude: Die Druckamplitude verhält sich wie $1/r$.

Die Wellengleichung bestätigt dies. Sei $c$ die Schallgeschwindigkeit. Wenn eine Punktquelle gleichmäßig in alle Richtungen Schall sendet, hängt $p$ nur vom Abstand $r$ und der Zeit $t$ ab. In diesem Fall lässt sich die dreidimensionale Wellengleichung exakt als eindimensionale Wellengleichung für das Produkt $rp$ schreiben:
$\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial t^2}$
Dies ist die Gleichung einer Welle auf einer Saite, deren Lösungen Formen sind, die sich mit der Geschwindigkeit $c$ ausbreiten, ohne sich zu verändern. Die auslaufende ist $rp=f(t-r/c)$ für jede Funktion $f$: Was die Quelle zu einem bestimmten Zeitpunkt tut, wiederholt sich im Abstand $r$ genau $r/c$ später. Division durch $r$ ergibt
$p(r,t)=\frac{f(t-r/c)}{r}$

Lies dies zusammen mit Abbildung 2: Die Funktion $f$ zeichnet die Schwingungen, und der Teiler $r$ zeichnet ihre Hüllkurve $\pm C/r$. Deshalb zeichnet die Animation die Wellenfronten dünner und blasser, während sie wachsen.

Warum bedeutet eine Amplitude, die mit $1/r$ fällt, eine Intensität, die mit $1/r^2$ fällt? Denk daran, was den Schall aufnimmt, ein Trommelfell oder die Membran eines Mikrofons. Ein solcher Empfänger ist linear: Bei einer gegebenen Frequenz angeregt, bewegt er sich mit einer Geschwindigkeit, die proportional zur Kraft auf ihn ist. Die Leistung, die er aufnimmt, ist Kraft mal Geschwindigkeit, also proportional zum Quadrat der Amplitude. Fällt die Amplitude wie $1/r$ und die Leistung wie das Quadrat der Amplitude, fällt die Intensität wie $1/r^2$. Energieerhaltung und Wellengleichung stimmen überein, und dieselben beiden Tatsachen gelten für das elektrische Feld des Lichts.

Druck und Intensität in einer ebenen Welle

Um eine Druckangabe in eine Intensität umzurechnen, brauchen wir die Luftgeschwindigkeit $u$, die zu einem gegebenen $p$ gehört. Weit von der Quelle entfernt ist ein kleines Stück der Kugelwelle praktisch eben: eine ebene Welle, die sich entlang $x$ ausbreitet. Das zweite newtonsche Gesetz für eine dünne Luftschicht der Dichte $\rho$ besagt, dass ihre Masse pro Volumen mal ihre Beschleunigung gleich der resultierenden Kraft ist, die vom höheren Druck auf der einen Seite gegenüber der anderen herrührt:
$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$
Für eine Welle, die sich in Richtung $+x$ bewegt, gilt $p=F(t-x/c)$ für eine Funktion $F$, die rechte Seite ist also $F^{\prime }/c$. Integration über die Zeit ergibt dann
$u=\frac{p}{\rho c}$
Die Luft bewegt sich genau im Takt des Drucks: Wo der Druck hoch ist, schießt die Luft nach vorn. Die Leistung pro Quadratmeter $pu$ ist dann $p^2/(\rho c)$. Für eine Sinuswelle mit der Amplitude $p_0$ ist der Mittelwert von $p^2$ über eine Periode $p_0^2/2$, also
$I=\frac{p_0^2}{2\rho c}$
Das Produkt $\rho c$ ist die akustische Impedanz des Mediums: Es sagt, wie viel Druck nötig ist, damit sich die Luft mit einer gegebenen Geschwindigkeit bewegt. Für Luft bei 20 °C gilt $\rho c\approx 413kg/({\mathrm{m}}^2\mathrm{s})$.

Wie groß sind diese Größen? Beim nahen Zuhörer der Animation, 2 m von der Quelle, gilt $I=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$. Dann ist $p_0=\sqrt{2\cdot 413\cdot 1,99\times 10^{-4}}\approx 0,41\mathrm{Pa}$, und die Geschwindigkeitsamplitude der Luft, $p_0/(\rho c)$, beträgt etwa 1 mm/s. Teilt man eine Geschwindigkeitsamplitude durch $2\pi$ mal die Frequenz, erhält man die Auslenkung: Bei 1 kHz bewegt sich die Luft nur 0,16 µm hin und her, an der Hörschwelle etwa $10^{-11}\mathrm{m}$, ein Zehntel des Durchmessers eines Atoms.

Zwei Dezibel-Skalen

Das Gehör umfasst in der Intensität etwa dreizehn Zehnerpotenzen, daher werden Pegel auf einer logarithmischen Skala angegeben. Der Schallintensitätspegel ist $\beta =10{\log }_{10}(I/I_0)$ mit $I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, ungefähr der leiseste 1-kHz-Schall, den ein junges Ohr hören kann. Jeder Faktor zehn in der Intensität ergibt 10 dB: Die $1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$ des nahen Zuhörers sind 83,0 dB.

Ein Messgerät misst jedoch den Druck, nicht die Intensität. Es zeigt den Schalldruckpegel $L_p=20{\log }_{10}(p_{\mathrm{rms}}/p_{\mathrm{ref}})$ an, wobei $p_{\mathrm{rms}}=p_0/\sqrt{2}$ der Effektivwert des Drucks und $p_{\mathrm{ref}}=20\mu \mathrm{Pa}$ ist. Der Faktor ist 20, nicht 10, weil die Intensität mit dem Quadrat des Drucks wächst und $20{\log }_{10}$ eines Verhältnisses gleich $10{\log }_{10}$ seines Quadrats ist. Da $I=p_{\mathrm{rms}}^2/(\rho c)$ gilt, unterscheiden sich die beiden Skalen nur um eine Konstante, $L_p-\beta =10{\log }_{10}(\rho c{I}_0/p_{\mathrm{ref}}^2)\approx 0,14\mathrm{dB}$ in Luft, sodass sie in der Praxis austauschbar sind: Die 83,0 dB des nahen Zuhörers zeigt ein Messgerät als 83,1 dB an.

Die beteiligten Drücke sind winzig. Ein 60-dB-Gespräch hat $p_{\mathrm{rms}}=0,02\mathrm{Pa}$, also zwei Zehnmillionstel eines Atmosphärendrucks, und ein schmerzhafter Pegel von 120 dB sind nur 20 Pa. Diese Kleinheit macht die Wellengleichung mit hervorragender Genauigkeit linear, und Linearität erlaubt es, dass sich die Wellen mehrerer Quellen einfach addieren, wie ein späterer Abschnitt es nutzt.

Geraden auf logarithmischen Achsen

Logarithmen leisten mehr, als einen großen Bereich zu stauchen: Sie verwandeln Potenzgesetze in Geraden. Zwischen zwei Abständen von einer Punktquelle gilt $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, und $10{\log }_{10}$ auf beide Seiten angewendet ergibt
${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
Gegen $\log r$ aufgetragen fällt der Pegel also entlang einer Geraden: 20 dB für jeden Faktor zehn im Abstand (eine Dekade), und $20{\log }_{10}2=6,02$ dB für jede Verdopplung.

Die beiden Expertendiagramme zeigen die Sache aus zwei Sichtweisen. Im ersten fällt $I(r)$ von 796 µW/m² bei 1 m auf 199 bei 2 m und kriecht dann auf 12,4 µW/m² bei 8 m zu, eine Kurve, auf der gleiche Verhältnisse schwer zu erkennen sind. Im zweiten, gegen $\log r$ aufgetragen, sind die Abstände 1, 2, 4 und 8 m gleichmäßig verteilt, und der Pegel verläuft auf einer Geraden durch 89,0, 83,0, 77,0 und 70,9 dB. Das Messgerät, dessen Abstand sich alle 2 s verdoppelt, bewegt sich in gleichmäßigem Tempo auf dieser Geraden.

Die Steigung misst den Exponenten. Jedes Potenzgesetz $I\propto r^{-n}$ ergibt auf diesen Achsen eine Gerade mit der Steigung $-10n$ dB pro Dekade: −20 für eine Punktquelle, −10 für eine lange Linienquelle (das Rechenbeispiel unten), 0 für eine ebene Welle oder für Schall, der in einem Rohr geführt wird. Reflexionsarme Räume, deren Wände fast allen Schall absorbieren, werden so geprüft: Überall dort, wo der gemessene Pegel von der Geraden mit −20 dB pro Dekade abweicht, kommen Reflexionen hinzu.

Quellen addieren: die Phase entscheidet

Wenn zwei Quellen zusammen klingen, addieren sich die Pegel in Dezibel nicht: Zwei Maschinen mit je 80 dB ergeben nicht 160 dB. Da die Wellen klein sind, überlagern sie sich, und zu jedem Zeitpunkt addieren sich ihre Drücke, $p=p_1+p_2$. Die Intensität folgt dem Mittelwert des Quadrats des Drucks; mit einem Balken für den zeitlichen Mittelwert,
$\overline{p^2}=\overline{p_1^2}+\overline{p_2^2}+2\overline{p_1{p}_2}$
Die ersten beiden Terme sind die eigenen Beiträge der beiden Quellen. Der letzte, der Kreuzterm, hängt davon ab, wie die beiden Wellen im Takt bleiben, und er entscheidet über das Ergebnis.

Legende

$p_1$	Druckamplitude der ersten Welle beim Zuhörer: die Länge ihres Pfeils.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Druckamplitude der zweiten Welle, hier gleich $p_1$; ihre Richtung zeigt ihre Phase relativ zur ersten.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Amplitude der kombinierten Welle: die Pfeilsumme $p_1+p_2$.	$\mathrm{Pa}$
$\phi$	Phasendifferenz: der Winkel, um den $p_2$ gegenüber der Richtung von $p_1$ gedreht ist; $0$ im Takt, $\pi$ um eine halbe Periode versetzt.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 berechnet die Summe beim Zuhörer für zwei Sinuswellen gleicher Frequenz. Ab hier bezeichnen $p_1$, $p_2$ und $p$ Amplituden. Jede Welle ist als Pfeil gezeichnet, dessen Länge ihre Druckamplitude und dessen Richtung ihre Phase ist, also der Punkt, den sie in ihrem Zyklus erreicht hat. Der Pfeil $p_1$ liegt auf der waagerechten Achse. Der Pfeil $p_2$ beginnt an dessen Spitze und ist um die Phasendifferenz $\phi$ gedreht, den Winkel, um den die zweite Welle der ersten vorauseilt. Die kombinierte Welle ist der Pfeil $p$ vom Anfang von $p_1$ zur Spitze von $p_2$, der das Dreieck schließt. Der Winkel des Dreiecks gegenüber von $p$ ist $\pi -\phi$, also liefert der Kosinussatz
$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2\cos \phi$
und der letzte Term ist der Kreuzterm des Mittelwerts des Quadrats, jetzt über die Phase geschrieben. In der Abbildung sind die beiden Quellen gleich stark, $p_1=p_2$, daher läuft die Spitze von $p$ bei Änderung von $\phi$ um den gestrichelten Kreis, dessen Mittelpunkt die Spitze von $p_1$ ist.

Unabhängige Quellen, etwa zwei Maschinen oder zwei Stimmen, haben keine feste Phasenbeziehung. Ihre Phasendifferenz driftet zufällig, die Spitze von $p$ wandert ganz um den Kreis herum, und $\cos \phi$ mittelt sich zu null. Der Kreuzterm verschwindet, und die Intensitäten addieren sich einfach, sodass $N$ gleiche Quellen die $N$-fache Intensität einer Quelle ergeben:
${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ equal incoherent sources)}$

Zwei Quellen addieren 3,0 dB, zehn addieren 10 dB. Ungleich starke Quellen werden von der lauteren dominiert: 80 dB und 70 dB entsprechen $10^8$ und $10^7$ mal $I_0$, zusammen ergeben sie also $10{\log }_{10}(10^8+10^7)=80,4\mathrm{dB}$. Rückwärts angewendet entfernt die Regel Hintergrundgeräusch aus einer Messung: Man subtrahiert Intensitäten, niemals Dezibel.

Kohärente Quellen, etwa zwei Lautsprecher, die denselben Ton erhalten, behalten eine feste Phasendifferenz, daher bleibt der Kreuzterm erhalten. Sein Wert hängt davon ab, wo der Zuhörer steht, denn $\phi$ hängt von der Differenz der beiden Weglängen ab. Wo die Wellen im Takt ankommen, ist $\phi =0$, und die Spitze von $p$ sitzt am rechten Punkt des Kreises: Die Pfeile liegen in einer Linie, $p=2p_1$, und die Intensität ist viermal so groß wie die einer Quelle, +6,0 dB. Wo sie um eine halbe Periode versetzt ankommen, ist $\phi =\pi$, und die Spitze von $p$ sitzt am linken Punkt, zurück am Anfang von $p_1$: Die Wellen löschen sich aus. Über das ganze Muster gemittelt ist die Intensität immer noch doppelt so groß wie die einer Quelle. Interferenz verteilt Energie um; sie erzeugt keine.

Rechenbeispiel: der Lärm einer geraden Straße

Alltagslärm stammt oft von vielen Quellen, die in einer Reihe liegen. Modelliere eine lange gerade Straße als Reihe unabhängiger Quellen, jede wie der Lautsprecher der Animation, $P=10\mathrm{mW}$, eine alle $d=20\mathrm{m}$. Was zeigt ein Messgerät bei $r=40\mathrm{m}$ von der Straße an, und wie schnell fällt der Pegel, wenn du dich entfernst?

Legende

$P$	Schallleistung jeder Quelle.	$\mathrm{W}$
$d$	Abstand benachbarter Quellen.	$\mathrm{m}$
$M$	Das Schallpegelmessgerät.
$r$	Abstand des Messgeräts zur Straße, der auch sein Abstand zur nächsten Quelle ist.	$\mathrm{m}$
$x$	Position einer Quelle entlang der Straße, gemessen vom Fußpunkt des Lots von $M$.	$\mathrm{m}$
$s$	Abstand dieser Quelle zum Messgerät, $\sqrt{r^2+x^2}$.	$\mathrm{m}$
$dx$	Länge eines dünnen Straßenstücks; es enthält $dx/d$ Quellen.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt die Straße von oben, gezeichnet mit $r=2d$ wie in den Zahlen. Das Messgerät $M$ steht im Abstand $r$ von der Straße, auf gleicher Höhe mit der nächsten Quelle. Eine andere Quelle sitzt im Abstand $x$ entlang der Straße, gemessen vom Fußpunkt des Lots von $M$. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt ihr Abstand zum Messgerät $s=\sqrt{r^2+x^2}$, sie allein ergäbe dort also $P/(4\pi s^2)$.

Die Quellen sind unabhängig, daher addiert das Messgerät laut dem vorigen Abschnitt ihre Intensitäten. Statt sie einzeln zu addieren, verteile sie gleichmäßig entlang der Straße: Ein Stück der Länge $dx$ enthält $dx/d$ Quellen. Das Aufsummieren der Stücke über die ganze Straße wird zu einem Integral. Im mittleren Schritt wird dabei
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{r^2+x^2}=\frac{\pi }{r}$
verwendet, und das Ergebnis ist
$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P}{4\pi (r^2+x^2)}\frac{dx}{d}=\frac{P}{4\pi d}\cdot \frac{\pi }{r}=\frac{P}{4dr}$

Bei 40 m gilt $I=0,010/(4\cdot 20\cdot 40)=3,1\times 10^{-6}W/{\mathrm{m}}^2$, also $\beta =64,9\mathrm{dB}$, wo die nächste Quelle allein 57,0 dB ergäbe. Bei 80 m beträgt der Pegel 61,9 dB und bei 160 m 58,9 dB: 3,0 dB pro Verdopplung, halb so viel Abfall wie bei einer Punktquelle, weil nun $I\propto 1/r$ gilt. Der Grund zeigt sich im Integral: Die Hälfte des Schalls kommt aus dem Straßenabschnitt innerhalb von $r$ vom nächsten Punkt auf beiden Seiten. Eine Verdopplung von $r$ viertelt den Anteil jeder Quelle, verdoppelt aber die Zahl der Quellen in diesem Abschnitt, sodass die Intensität sich nur halbiert.

Zwei Prüfungen des Modells. Das Integral stimmt mit der exakten Summe über einzelne Quellen auf 0,4 % überein, sobald $r\ge d$ gilt; näher heran dominiert die nächste Quelle, und die Straße wirkt nicht mehr wie ein Kontinuum. Und eine Straße endlicher Länge $L$ wirkt von weit jenseits von $L$ wieder wie eine Punktquelle, dort kehrt der Pegel zu 6 dB pro Verdopplung zurück.

Ein feinerer Punkt: Sind 64,9 dB tatsächlich die Energie, die am Messgerät vorbeifließt? Zeichne einen Zylinder mit dem Radius $r$ um die Straße. Wellen entfernter Quellen kreuzen ihn schräg, und nur der Teil ihres Flusses, der geradewegs nach außen zeigt, verlässt den Zylinder. Zählt man nur diesen Teil, ergibt sich $P/(2\pi dr)$ pro Quadratmeter; multipliziert mit der Zylinderfläche pro Meter Straße, $2\pi r$, erhält man das $P/d$, das jeder Meter Straße abstrahlt. Das ist $2/\pi$ des Messwerts, also etwa 2 dB weniger, weil das Messgerät die Intensitäten aller Wellen unabhängig von ihrer Richtung addiert. Also entspricht $p_0^2/(2\rho c)$ nur für eine Welle, die in eine Richtung läuft, dem Energiefluss.

Gültigkeitsgrenzen

Das quadratische Abstandsgesetz beruht auf vier Annahmen: einer kleinen Quelle, offenem Raum, ruhiger Luft, die nichts absorbiert, und kleinen Amplituden. Jede von ihnen versagt irgendwo.

Nahe an der Quelle: innerhalb etwa einer Wellenlänge einer realen Quelle (3,4 m bei 100 Hz) oder innerhalb weniger Quellengrößen sind Druck und Luftgeschwindigkeit noch nicht im Takt, wie in einer ebenen Welle, und der Druck einer ausgedehnten Quelle fällt noch nicht wie $1/r$. Reale Quellen bündeln auch: Ein Lautsprecher sendet Wellenlängen, die kürzer sind als seine Membran, überwiegend nach vorn. Ein Richtfaktor $Q$ in $I=QP/(4\pi r^2)$ beschreibt dies; eine Quelle auf hartem Boden strahlt nur in den halben Raum ab, also $Q=2$ (+3 dB). Solche Faktoren hängen nicht vom Abstand ab, daher bleiben die 6 dB pro Verdopplung erhalten.

Drinnen wird Schall von den Wänden reflektiert. Jenseits des Hallradius (der kritischen Entfernung), an dem der reflektierte Schall so stark wird wie der direkte (in einem Wohnzimmer oft etwa einen Meter), dominieren die Reflexionen, und Weggehen senkt den Pegel kaum noch. Im Freien absorbiert die Luft zusätzlich zur Ausbreitung eine feste Anzahl Dezibel pro Kilometer, und der Verlust steigt mit der Frequenz steil an: Bei 20 °C und 70 % Luftfeuchte sind es etwa 0,3 dB pro Kilometer bei 125 Hz, 5 dB bei 1 kHz und fast 80 dB bei 8 kHz, gegenüber den 60 dB, die die Ausbreitung von 1 m bis 1 km kostet. Hohe Töne verklingen zuerst, daher das tiefe Grollen ferner Donner.

Linearität versagt bei großer Amplitude. Bei 150 dB, nahe einem Strahltriebwerk, sind $p_{\mathrm{rms}}\approx 630\mathrm{Pa}$ nur 0,6 % eines Atmosphärendrucks, dennoch laufen Wellenberge etwas schneller als Wellentäler, und eine ebene Welle mit 1 kHz würde sich innerhalb von etwa 7 m zu einem Stoß aufsteilen. Keine unverzerrte Sinuswelle überschreitet auf Meereshöhe etwa 191 dB, denn dann wäre ihre Amplitude gleich dem Luftdruck und ihre Täler würden das Vakuum erreichen. Schließlich misst $\beta$ die Physik, nicht die empfundene Lautstärke: Das Ohr ist bei tiefen Frequenzen deutlich weniger empfindlich, daher wenden Messgeräte meist eine A-Bewertung an, einen Filter, der die Frequenzen abschwächt, die das Ohr schlecht hört, und geben das Ergebnis in dB(A) an.

Wohin das führt

Der Fluss durch geschlossene Flächen lässt auch die Gravitation und das Feld einer Punktladung wie $1/r^2$ abfallen, in „Gravitation und Umlaufbahnen“ und „Das coulombsche Gesetz“; es ist die Idee hinter dem gaußschen Gesetz. Licht folgt derselben Rechnung: In „Elektromagnetische Wellen“ ist seine Intensität $E_0^2/(2Z_0)$, wobei der Wellenwiderstand des Vakuums $Z_0\approx 377\Omega$ die Rolle von $\rho c$ übernimmt. Kohärente Quellen und ihr Kreuzterm führen zu „Interferenz und Superposition“, Schall, der zwischen Wänden eingeschlossen ist, zu „Stehenden Wellen“, und das Trommelfell als angeregter Empfänger zu „Dämpfung und Resonanz“. Absorption mit einer festen Zahl Dezibel pro Kilometer ist derselbe exponentielle Zerfall wie in „Radioaktivität und Halbwertszeit“.