Statisches Gleichgewicht und Hebel

Einsteiger

Eine Brücke, ein Regal und eine im Gleichgewicht stehende Wippe haben eines gemeinsam: Sie stehen völlig still. Physiker nennen das statisches Gleichgewicht. Hier siehst du Schritt für Schritt, was dafür nötig ist.

Schritt 1. Die Kräfte müssen sich aufheben. Ein Buch auf dem Tisch wird von seinem Gewicht nach unten gezogen und vom Tisch genauso stark nach oben gedrückt. Die Gesamtkraft ist null, deshalb beginnt es sich nicht zu bewegen.

Schritt 2. Dass sich die Kräfte aufheben, reicht aber nicht. Drückst du die beiden Enden eines auf einem Tisch liegenden Lineals gleich stark in entgegengesetzte Richtungen, dreht es sich auf der Stelle. Deshalb müssen sich auch die Drehwirkungen aufheben. Die Drehwirkung einer Kraft, ihr Drehmoment, wächst mit der Kraft und mit ihrem Abstand vom Drehpunkt.

Schritt 3. Auf einer Wippe gewinnt die schwerere Seite, es sei denn, sie sitzt näher an der Mitte. Wer doppelt so schwer ist, muss halb so weit außen sitzen, damit Gewicht mal Abstand auf beiden Seiten gleich ist. Das ist das Hebelgesetz, seit Archimedes bekannt; so bewegst du mit einer langen Brechstange einen Stein, den du nie hochheben könntest. In der Animation rutscht die schwere blaue Kiste zum Drehpunkt, und bei 2 Strichen gegen die 4 der leichten Kiste liegt der Balken waagerecht.

Schritt 4. Jeder Körper verhält sich so, als wirke sein ganzes Gewicht in einem einzigen Punkt, seinem Schwerpunkt. Ein Bücherregal oder eine Person, die sich vorbeugt, bleibt stehen, solange dieser Punkt über der Standfläche liegt; neigt sie sich weiter, beginnt das Gewicht, sie umzukippen.

Teste dich selbst: Ein 20 kg schweres Kind sitzt 3 m vom Drehpunkt einer Wippe entfernt. Wo muss ein 60 kg schwerer Erwachsener sitzen, damit es im Gleichgewicht ist? (1 m vom Drehpunkt auf der anderen Seite: dreimal so schwer, ein Drittel so weit.)

Mittelstufe

Zwei Bedingungen für das Gleichgewicht

Ein starrer Körper, also einer, der seine Form behält, befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn er in Ruhe bleibt: Er rutscht nicht los und beginnt sich nicht zu drehen. Die Kräfte müssen sich aufheben, sonst würde der Schwerpunkt beschleunigen, und ebenso ihre Drehwirkungen, die Drehmomente, sonst würde der Körper zu rotieren beginnen:
$\sum F=0,\sum \tau =0$

In der Ebene besteht die erste Bedingung aus zwei Gleichungen, eine für die waagerechte und eine für die senkrechte Komponente. Keine der beiden Bedingungen folgt aus der anderen: Zwei gleich große, entgegengesetzte Kräfte auf verschiedenen Wirkungslinien heben sich als Kräfte auf, bilden aber ein Kräftepaar, so wie deine Hände ein Lenkrad drehen. Beginne jede Aufgabe mit einem Freikörperbild: dem Körper allein, mit jeder äußeren Kraft dort eingezeichnet, wo sie angreift, jedem Gewicht im Schwerpunkt und jeder Stützkraft an ihrer Kontaktstelle.

Drehmoment: Kraft mal Hebelarm

Das Drehmoment misst, wie stark eine Kraft einen Körper um einen gewählten Punkt dreht. Nimm die Wirkungslinie der Kraft, die gerade Linie, auf der sie wirkt, und den senkrechten Abstand $r$ vom Punkt zu dieser Linie: den Hebelarm. Dann gilt
$\tau =rF\text{(}r\text{: lever arm, perpendicular to the line of action)}$

Die Einheit ist das Newtonmeter (N·m), die man nie als Joule schreibt, weil ein Drehmoment keine Energie ist. Gegen den Uhrzeigersinn wirkende Drehmomente zählen als positiv. Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch den Punkt verläuft, hat kein Drehmoment, egal wie groß sie ist: Wenn du eine Tür auf ihre Scharniere zu drückst, bewirkt das nichts. Wirkt die Kraft im Abstand $d$ vom Punkt, unter dem Winkel $\varphi$ zur Verbindungslinie, ist der Hebelarm $d\sin \varphi$.

Das Hebelgesetz

Lege eine Last $m_1$ im Abstand $r_1$ auf die eine Seite eines Drehpunkts und eine Last $m_2$ im Abstand $r_2$ auf die andere. Jede Gewichtskraft $mg$ wirkt senkrecht nach unten, daher ist ihr Hebelarm ihr waagerechter Abstand vom Drehpunkt. Die beiden Drehmomente haben entgegengesetzte Vorzeichen, und $\sum \tau =0$ ergibt
$m_{1}g{r}_1=m_{2}g{r}_2\text{(law of the lever)}$

Das $g$ kürzt sich, daher zählen nur Massen und Abstände: doppelte Masse braucht den halben Hebelarm. Die Stützkraft des Drehpunkts hat um den Drehpunkt kein Drehmoment und fällt heraus; $\sum F=0$ legt dann ihre Größe fest, das Gesamtgewicht, das sie trägt, einschließlich des Balkengewichts. Das Gesetz vervielfacht auch Kräfte: 300 N, mit denen man 1,2 m vom Drehpunkt auf eine Brechstange drückt, pressen mit 3600 N auf einen Stein, der 0,10 m vom Drehpunkt entfernt liegt.

Beispiel: die Waage aus der Animation

Die leichte Kiste, $m_2=1,0\mathrm{kg}$, sitzt $r_2=0,40\mathrm{m}$ rechts vom Stift; wenn der Balken waagerecht liegt, ist ihr Drehmoment im Uhrzeigersinn
${\tau }_2=r_2{m}_{2}g=0,40\cdot 1,0\cdot 9,81=3,92\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Die schwere Kiste, $m_1=2,0\mathrm{kg}$, hält ihr das Gleichgewicht bei
$r_1=\frac{m_2{r}_2}{m_1}=\frac{1,0\cdot 0,40}{2,0}=0,20\mathrm{m}$

Das sind 2 der 10-cm-Striche des Balkens gegen 4. Dort zeigen beide Anzeigen 3,92 N·m, und der Balken liegt waagerecht: Der Pfeil $F_1=19,6\mathrm{N}$ ist doppelt so lang wie $F_2=9,81\mathrm{N}$, und die unten entlang markierten Hebelarme $r_1$ und $r_2$ stehen im Verhältnis 1 : 2.

Am Anfang sitzt die schwere Kiste 0,42 m weit außen, und ihre 8,30 N·m übertreffen die 3,79 N·m der leichten Kiste. Der Balken dreht sich um etwa 10° gegen den Uhrzeigersinn, bis der gewichtete Zeiger unter dem Stift, zur leichten Seite geschwenkt, die fehlenden 4,51 N·m liefert. Während die Kiste hineinrutscht, sinkt ${\tau }_1$; näher als 0,20 m gewinnt die leichte Seite, und bei 0,10 m, mit ${\tau }_1\approx 1,87\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, neigt sich der Balken etwa 4,6° in die andere Richtung.

Beachte, dass ${\tau }_2$ zwischen 3,79 und 3,95 N·m schwankt, obwohl sich seine Kiste nie bewegt: Das Kippen des Balkens verändert den waagerechten Abstand vom Stift zur gestrichelten Linie seines Gewichts. Der Hebelarm wird senkrecht zur Wirkungslinie gemessen, nicht entlang des Balkens.

Beispiel: ein Maler auf einem Brett

Ein homogenes Brett, 3,0 m lang und 20 kg schwer, liegt mit seinen Enden auf zwei Stützböcken, und ein 70 kg schwerer Maler steht 1,0 m vom linken Ende. Das Gewicht des Bretts, $196,2\mathrm{N}$, wirkt in seiner Mitte, das des Malers, $686,7\mathrm{N}$, bei 1,0 m. Drehmomente um den linken Stützbock lassen dessen unbekannte Kraft herausfallen:
$F_R\cdot 3,0=686,7\cdot 1,0+196,2\cdot 1,5=981\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
also $F_R=327\mathrm{N}$, und $\sum F=0$ ergibt $F_L=686,7+196,2-327=556\mathrm{N}$: Der Bock, der dem Maler näher ist, trägt mehr.

Verschiebe nun den rechten Stützbock 1,0 m nach innen, sodass ein 1,0 m langer Überhang bleibt, und lass den Maler nach außen gehen. Das Brett kippt um diesen Bock, sobald die Stützkraft links auf null fällt, also wenn das Drehmoment des Malers um ihn dem des Bretts entspricht, dessen Schwerpunkt 0,50 m auf der anderen Seite liegt: $70d=20\cdot 0,50$, also $d=0,14\mathrm{m}$. Ein kleiner Schritt über den Bock hinaus kippt das Brett, deshalb werden Gerüstbretter befestigt.

Schwerpunkt, Stabilität und Kippen

Für Drehmomente wirkt das ganze Gewicht eines Körpers in einem Punkt, seinem Schwerpunkt, dem mit den Massen gewichteten Mittel der Orte:
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
Für die Kisten im Gleichgewicht gilt $x_{\mathrm{CM}}=(2,0\cdot (-0,20)+1,0\cdot 0,40)/3,0=0$: senkrecht über dem Stift, was nichts anderes heißt, als dass der Balken waagerecht liegt.

Ein Gleichgewicht ist stabil, wenn eine kleine Neigung den Schwerpunkt hebt, sodass das Gewicht den Körper zurückdreht, wie bei der Waage aus der Animation, deren schwerer Zeiger den Schwerpunkt unter dem Stift hält. Es ist instabil, wenn eine Neigung den Schwerpunkt senkt, wie bei einem Bleistift auf seiner Spitze oder einer Wippe mit zwei Reitern.

Ein Körper auf einer Standfläche kippt, sobald die Senkrechte durch seinen Schwerpunkt außerhalb der Standfläche liegt. Ein homogener Kühlschrank, 0,70 m breit und 1,80 m hoch, auf eine Kante gekippt, schwingt zurück, wenn man ihn vor Erreichen von 21,3° loslässt, wo $\tan \theta =0,70/1,80$ gilt; darüber hinaus kippt er um. Auf einer Rampe kippt eine homogene Kiste bei $\tan \theta =w/h$.

Häufige Fehler

• Glauben, Gleichgewicht verlange gleiche Gewichte. Es verlangt gleiche Drehmomente: 2,0 kg bei 0,20 m balancieren 1,0 kg bei 0,40 m.
• Den Hebelarm entlang des Balkens oder der Tür statt senkrecht zur Wirkungslinie messen. Ein Schub von 50 N unter 30° zur Tür, 0,80 m von den Scharnieren, ergibt $0,80\cdot 50\cdot \sin 30^{\circ }=20\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, nicht 40 N·m.
• Das Eigengewicht des Balkens vergessen. Ohne die 20 kg des Brettes würde der rechte Bock nur 229 N statt 327 N zu drücken scheinen.
• Glauben, Drehmomente müssten um den echten Drehpunkt genommen werden. $\sum \tau =0$ gilt um jeden Punkt, also wähle einen, an dem eine unbekannte Kraft angreift.
• Erwarten, dass ein schwererer Körper bei einem steileren Winkel kippt. Nur die Form zählt: Eine gleichmäßig beladene Kiste, 0,40 m breit und 1,00 m hoch, kippt bei 21,8°, ob sie 20 kg oder 200 kg enthält.

Wo es dir begegnet

Ingenieure dimensionieren Balken und Fundamente mit diesen beiden Gleichungen, und ein Turmdrehkran balanciert seine Last mit einem Betongegengewicht an seinem kurzen Arm. Dein Unterarm ist ein Hebel: Der Bizeps zieht etwa 5 cm vom Ellbogen entfernt, daher erfordert das Halten einer 5,0 kg schweren Hantel in 35 cm Abstand vom Ellbogen etwa $49\cdot 0,35/0,05\approx 343\mathrm{N}$, das Siebenfache ihres Gewichts. Diese Ideen führen weiter zu Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder, wo Hebel Kraft gegen Weg tauschen, und zu Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung, wo echte Balken unter den hier betrachteten Lasten durchbiegen.

Fortgeschritten

Gleichgewicht als null virtuelle Arbeit

Zwei Bedingungen halten einen starren Körper in Ruhe: Die Kräfte auf ihn addieren sich zu null, und dasselbe gilt für ihre Drehmomente. Beides folgt aus einer einzigen Aussage über Arbeit, und dieselbe Aussage entscheidet später, ob ein Gleichgewicht stabil ist. Es lohnt sich deshalb, beides einmal so herzuleiten.

Stell dir vor, du verschiebst einen ruhenden Körper um einen winzigen Betrag, den seine Auflagen zulassen: eine virtuelle Verschiebung, nur auf dem Papier ausgeführt. Addiere die Arbeit, die jede Kraft auf dem Körper dabei verrichten würde; die Summe ist die virtuelle Arbeit $\delta W$. Wäre $\delta W$ für eine erlaubte Bewegung positiv, würden die Kräfte selbst entlang dieser Bewegung kinetische Energie liefern, und der Körper würde von allein in diese Richtung losgehen. Eine kleine Verschiebung in die Gegenrichtung kehrt das Vorzeichen von $\delta W$ um, also kann die virtuelle Arbeit auch nicht negativ sein. Im Gleichgewicht verschwindet die virtuelle Arbeit daher, in erster Ordnung der Verschiebung, für jede Verschiebung, die die Auflagen zulassen.

Ein starrer Körper, der sich in einer Ebene bewegt, hat drei unabhängige kleine Bewegungen: eine Verschiebung in jeder der beiden Richtungen und eine Drehung. Bei einer Verschiebung $\delta \vec{s}$ bewegt sich jeder Punkt des Körpers um dasselbe $\delta \vec{s}$, also gilt $\delta W=(\sum \vec{F})\cdot \delta \vec{s}$. Das verschwindet für Verschiebungen in jede Richtung nur, wenn $\sum \vec{F}=0$ gilt. Bei einer kleinen Drehung $\delta \theta$ um einen beliebigen Punkt leistet eine Kraft, deren Drehmoment um diesen Punkt $\tau$ ist, die Arbeit $\tau \delta \theta$: Das Drehmoment ist genau die Arbeit pro Radiant Drehung. Also gilt $\delta W=(\sum \tau )\delta \theta$, und das verschwindet nur, wenn $\sum \tau =0$ ist.

Innere Kräfte, also die Druck- und Zugkräfte zwischen den Teilen des Körpers, gehen nie ein. Sie kommen in gleich großen, entgegengesetzten Paaren entlang der Verbindungslinie der beiden Teile vor, und ein starrer Körper hält diesen Abstand fest; deshalb leisten die beiden Kräfte jedes Paares gleich große, entgegengesetzte Arbeit.

Das Hebelgesetz aus der Arbeit allein

Der einfachste Test des Prinzips ist ein Hebel. Die virtuelle Arbeit liefert sein Gesetz direkt aus Gewichten und Höhen, ganz ohne das Drehmoment zu definieren.

Legende

$m_{1}g$	Gewicht der Last 1, deren Masse $m_1$ ist.	$\mathrm{N}$
$m_{2}g$	Gewicht der Last 2, deren Masse $m_2$ ist.	$\mathrm{N}$
$r_1$	Abstand vom Stift zur Last 1, entlang des Balkens.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Abstand vom Stift zur Last 2, entlang des Balkens; hier das Doppelte von $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	Kleine virtuelle Drehung des Balkens um den Stift, in der Zeichnung übertrieben.	$\mathrm{rad}$
$\delta h_1$	Absenkung der Last 1 während der Drehung: $r_1\delta \theta$.	$\mathrm{m}$
$\delta h_2$	Anhebung der Last 2 während der Drehung: $r_2\delta \theta$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 zeigt einen Balken auf einem Stift, mit Last 1, der Masse $m_1$, im Abstand $r_1$ auf der einen Seite und Last 2, der Masse $m_2$, im Abstand $r_2$ auf der anderen. Der Balken ist im Gleichgewicht, $m_1{r}_1=m_2{r}_2$, und wir geben ihm eine kleine virtuelle Drehung $\delta \theta$ um den Stift, die viel größer gezeichnet ist, als sie in Wirklichkeit ist. Sieh dir die beiden kurzen senkrechten Klammern an. Ein Punkt des Balkens im Abstand $r$ vom Stift bewegt sich auf einem Bogen der Länge $r\delta \theta$, und bei kleinem Winkel ist dieser Bogen praktisch senkrecht. Also sinkt Last 1 um $\delta h_1=r_1\delta \theta$, und Last 2 steigt um $\delta h_2=r_2\delta \theta$.

Nun addiere die Arbeit. Der Stift bewegt sich nicht, also leistet seine Kraft keine Arbeit. Die Schwerkraft leistet nur Arbeit bei senkrechter Bewegung: An Last 1, die fällt, leistet sie $+m_{1}g\delta h_1$; an Last 2, die steigt, leistet sie $-m_{2}g\delta h_2$. Setzt man die Summe gleich null, folgt $m_{1}g{r}_1\delta \theta =m_{2}g{r}_2\delta \theta$, und Division durch $g\delta \theta$ lässt $m_1{r}_1=m_2{r}_2$ übrig. Das ist das Hebelgesetz, allein aus einer Energiebilanz gewonnen.

In der Animation trägt der ausbalancierte Balken eine 2,0 kg schwere Kiste bei $r_1=0,20\mathrm{m}$ und eine 1,0 kg schwere Kiste bei $r_2=0,40\mathrm{m}$. Neigt man ihn um 0,01 rad, senkt sich die schwere Kiste um 2 mm und die leichte hebt sich um 4 mm, und $2,0\cdot 2=1,0\cdot 4$: Was die Schwerkraft auf der einen Seite gewinnt, zahlt sie auf der anderen zurück.

Warum konnte die Regel nichts anderes sein? Ein ausbalancierter, reibungsfreier Hebel lässt sich schon durch einen beliebig kleinen Schub langsam drehen. Wäre er bei einem anderen Verhältnis von Massen und Abständen im Gleichgewicht, würde jede Drehung in eine Richtung die potenzielle Energie der Lasten erhöhen, ohne dass etwas dafür aufgewendet wird, und der Trick ließe sich beliebig oft wiederholen: ein Perpetuum mobile. Das Hebelgesetz folgt also aus der Unmöglichkeit eines Perpetuum mobiles. Simon Stevin argumentierte 1586 so über die schiefe Ebene: Eine geschlossene Kette, die über einen Keil gehängt wird, beginnt nie von selbst zu kreisen.

Drei Gleichungen und jeder Punkt als Drehpunkt

In der Praxis schreibt man die Gleichgewichtsbedingungen als Gleichungen auf und wählt den Drehpunkt, der sie am einfachsten macht. Dieser Abschnitt zeigt, warum jeder Punkt als Drehpunkt zulässig ist, und wie viele Unbekannte die Gleichungen festlegen können.

In einer Ebene besteht das Gleichgewicht aus drei Gleichungen: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ und $\sum {\tau }_z=0$. Das Drehmoment um einen Punkt $B$ einer Kraft ${\vec{F}}_i$, die bei ${\vec{r}}_i$ angreift, ist $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_B)\times {\vec{F}}_i$. Zerlege den Hebelarm als $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_A)+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)$, wobei $A$ ein beliebiger anderer Punkt ist, und addiere über alle Kräfte:
${\vec{\tau }}_B={\vec{\tau }}_A+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)\times \sum \vec{F}$
Wenn die Gesamtkraft null ist, verschwindet der zweite Term, und das Drehmoment ist um jeden Punkt dasselbe. Der Drehpunkt kann also dorthin gelegt werden, wo es bequem ist, meist an eine Auflage: Die unbekannte Kraft dieser Auflage hat dort keinen Hebelarm und fällt aus der Drehmomentgleichung heraus.

Drei Gleichungen legen höchstens drei Unbekannte fest. Ein Balken auf zwei Stützen oder eine Leiter an einer glatten Wand hat nicht mehr und heißt statisch bestimmt. Ein vierbeiniger Tisch hat vier unbekannte Beinkräfte, aber immer noch nur drei brauchbare Gleichungen, also ist er statisch unbestimmt: Die Statik allein kann nicht sagen, wie sich die Last verteilt, und erst das geringe Nachgeben der Beine und des Bodens entscheidet es. Auf unebenem Boden trägt ein Bein nichts, und der Tisch wackelt.

Drei Kräfte treffen sich in einem Punkt

Wenn genau drei Kräfte einen Körper im Gleichgewicht halten, legt eine geometrische Regel die Richtung einer dieser Kräfte fest, bevor eine Gleichung aufgestellt wird. Eine an einer Wand lehnende Leiter ist das Standardbeispiel.

Legende

$W$	Gewicht der Leiter, das in ihrer Mitte angreift.	$\mathrm{N}$
$P$	Druck der Wand. Eine glatte Wand drückt nur senkrecht zu sich selbst, daher ist $P$ waagerecht.	$\mathrm{N}$
$R$	Reaktion des Bodens am Fuß der Leiter: Normalkraft und Reibung zusammengefasst. Ihre Wirkungslinie geht durch $T$.	$\mathrm{N}$
$T$	Punkt, in dem sich die Wirkungslinien von $W$ und $P$ schneiden.
$\theta$	Winkel zwischen Leiter und Boden.	$\mathrm{rad}$
$\phi$	Winkel zwischen $R$ und der Senkrechten; $\tan \phi =a/h$, die Reibung geteilt durch die Normalkraft.	$\mathrm{rad}$
$h$	Höhe der Leiterspitze, die zugleich die Höhe von $T$ ist.	$\mathrm{m}$
$a$	Waagerechter Abstand vom Leiterfuß zur Senkrechten durch ihren Mittelpunkt, die auch durch $T$ geht.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt eine homogene Leiter der Länge $L$ und des Gewichts $W$, die im Winkel $\theta$ auf dem Boden steht und an einer glatten Wand lehnt. Drei Kräfte wirken auf sie. Das Gewicht $W$ wirkt senkrecht nach unten durch den Mittelpunkt. Eine glatte Wand kann nur senkrecht zu sich selbst drücken, also ist ihr Druck $P$ oben waagerecht. Die Reaktionskraft $R$ des Bodens am Fuß hat zunächst eine unbekannte Richtung. Verfolge die gestrichelten Wirkungslinien von $W$ und $P$: Sie schneiden sich in $T$, auf der Höhe der Leiterspitze und senkrecht über dem Mittelpunkt.

Nimm Drehmomente um $T$. Weder $W$ noch $P$ hat dort ein Drehmoment, weil beide Linien durch $T$ gehen. Das Gesamtdrehmoment ist null, also darf auch $R$ um $T$ kein Drehmoment haben, und das ist nur möglich, wenn ihre Wirkungslinie ebenfalls durch $T$ geht. Damit ist die Richtung von $R$ festgelegt, bevor auch nur von Reibung die Rede war. Die Regel gilt allgemein: Wenn genau drei nicht parallele Kräfte einen Körper im Gleichgewicht halten, schneiden sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt.

Nun zerlege $R$ in die Normalkraft $N$, senkrecht nach oben, und die Reibung $f$ entlang des Bodens zur Wand hin. Das Gleichgewicht der senkrechten Kräfte ergibt $N=W$, das der waagerechten $f=P$. In Abbildung 2 weicht $R$ um den Winkel $\phi$ von der Senkrechten ab, also $\tan \phi =f/N$. Derselbe Winkel steckt im Fuß des rechtwinkligen Dreiecks, dessen senkrechte Seite die Höhe der Spitze (und von $T$) $h=L\sin \theta$ ist und dessen waagerechte Seite der Abstand vom Fuß zur Senkrechten durch den Mittelpunkt $a=\frac{1}{2}L\cos \theta$ ist. Daher gilt $\tan \phi =a/h$, und
$\frac{f}{N}=\frac{a}{h}=\frac{1}{2\tan \theta }$
Für eine homogene Leiter im Winkel von $60^{\circ }$ zum Boden ergibt das $1/(2\tan 60^{\circ })\approx 0,29$, unabhängig davon, wie schwer die Leiter ist und wie lang sie ist. Die Leiter steht also nur, wenn der Haftreibungskoeffizient am Boden mindestens 0,29 beträgt. Eine steilere Leiter braucht weniger.

Die Gewichtskraft greift im Schwerpunkt an

Fast jede Statikaufgabe ersetzt das Gewicht eines Körpers durch eine einzige Kraft im Schwerpunkt. Hier siehst du, warum das in einem homogenen Feld exakt ist, und was es für die Waage in der Animation vorhersagt.

Jeder Teil $i$ eines Körpers, mit der Masse $m_i$ an der Stelle ${\vec{r}}_i$ relativ zu einem Drehpunkt, spürt das Gewicht $m_i\vec{g}$. Da $\vec{g}$ für jeden Teil gleich ist, kann es aus der Summe herausgezogen werden: $\sum {\vec{r}}_i\times m_i\vec{g}=(\sum m_i{\vec{r}}_i)\times \vec{g}=M{\vec{r}}_{\mathrm{CM}}\times \vec{g}$, wobei $M$ die Gesamtmasse und ${\vec{r}}_{\mathrm{CM}}=\sum m_i{\vec{r}}_i/M$ ist. Das gesamte Gewicht wirkt im Schwerpunkt. Mit $x$ waagerecht vom Drehpunkt aus gemessen und Drehmomenten gegen den Uhrzeigersinn als positiv gilt
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
$\sum {\tau }_{\mathrm{gravity}}=-Mg{x}_{\mathrm{CM}}$
Das Minuszeichen besagt, dass ein Schwerpunkt rechts vom Drehpunkt den Körper im Uhrzeigersinn dreht. Daraus folgen zwei Konsequenzen. Ein an einem Stift aufgehängter Körper stellt sich so ein, dass sein Schwerpunkt senkrecht unter dem Stift liegt, wo die Schwerkraft kein Drehmoment hat. Und die Lote von zwei verschiedenen Aufhängepunkten schneiden sich im Schwerpunkt, so wird er in der Praxis bestimmt.

Wende das auf die beiden Kisten allein an. Sei ${\tau }_1$ das gegen den Uhrzeigersinn drehende Drehmoment der schweren Kiste, ${\tau }_2$ das im Uhrzeigersinn drehende der leichten und $x_{\mathrm{CM}}$ der Schwerpunkt der beiden Kisten; dann gilt ${\tau }_1-{\tau }_2=-(m_1+m_2)g{x}_{\mathrm{CM}}$. Das Diagramm der Animation trägt dies gegen die Position $x_1$ der schweren Kiste auf: 4,51 N·m bei $x_1=-0,42\mathrm{m}$, null bei $x_1=-m_2{r}_2/m_1=-0,20\mathrm{m}$ und $-2,07\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ bei $x_1=-0,10\mathrm{m}$. Die Linie ist nahezu gerade, mit einer Steigung nahe $-m_{1}g=-19,6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ pro Meter: Jeder Zentimeter, den die Kiste nach innen rutscht, nimmt etwa 0,20 N·m weg. Die gezeichnete Steigung ist etwa 5 % steiler. Die Schwerpunkte der Kisten liegen etwa 5 cm über der Stiftlinie, daher bewegt die Neigungsänderung, die jede Verschiebung der Kiste begleitet, sie auch etwas seitlich.

Das ist nicht das Gesamtdrehmoment am Balken. Das 14 kg schwere Gewicht am Zeiger liefert ein entgegengesetztes Drehmoment und hält die Summe bei null; deshalb neigt sich der Balken nur teilweise (unten ausgerechnet). Das goldene Lot in der Animation zeigt dasselbe geometrisch: Der Balken neigt sich zu der Seite, auf der der Schwerpunkt der Kisten liegt.

Stabilität und potenzielle Energie

Ein Gleichgewicht kann wie der Boden einer Schale sein, zu dem der Körper zurückkehrt, oder wie die Kuppe eines Hügels, von der er herunterfällt. Die potenzielle Energie unterscheidet beides.

Für einen Körper, der sich um einen Stift dreht, ist die potenzielle Energie $U(\theta )=Mg{y}_{\mathrm{CM}}$, wobei $y_{\mathrm{CM}}$ die Höhe des Schwerpunkts ist. Dreht sich der Körper um $d\theta$, leistet das Drehmoment der Schwerkraft die Arbeit $\tau d\theta$, die aus $U$ entnommen wird, also $dU=-\tau d\theta$. Gleichgewicht, also verschwindendes Drehmoment, bedeutet daher $dU/d\theta =0$. Es ist stabil, wenn $d^{2}U/d{\theta }^2>0$ gilt: Eine Neigung hebt dann den Schwerpunkt, und das entstehende Drehmoment drückt den Körper zurück. Es ist instabil, wenn $d^{2}U/d{\theta }^2<0$ gilt, und neutral, wenn $U$ konstant bleibt, wie bei einem homogenen Rad auf seiner Achse.

Lege den Schwerpunkt in den Abstand $\ell$ vom Stift, unter dem Winkel $\psi$ gegen die Senkrechte nach unten. Seine Höhe relativ zum Stift ist $-\ell \cos \psi$, also $U=-Mg\ell \cos \psi$ und $d^{2}U/d{\psi }^2=Mg\ell \cos \psi$. Das ist bei $\psi =0$ positiv, also ist das Hängen unter dem Stift stabil, und bei $\psi =180^{\circ }$ negativ, also ist das Balancieren über dem Stift instabil. Eine Wippe mit zwei Reitern hat ihren Schwerpunkt über dem Drehpunkt: Sie bleibt nicht waagerecht, sondern kommt auf einem Ende zur Ruhe, gehalten vom Boden. Die Waage in der Animation hängt ein 14 kg schweres Gewicht 0,19 m unter den Stift, gerade um das zu vermeiden.

Aufgabe: wie weit sich die Waage neigt

Wenn die Kiste außermittig steht, kippt die Waage in der Animation nicht einfach auf ein Ende: Sie stellt sich auf einen bestimmten Neigungswinkel ein. Dieser Abschnitt berechnet diesen Winkel, zuerst aus der Geometrie, dann aus der Energie.

Legende

$O$	Der Stift, um den sich der Balken dreht.
$G$	Schwerpunkt der gesamten Waage: Kisten, Balken, Zeiger und Gewicht.
$Mg$	Gewicht der gesamten Waage mit der Gesamtmasse $M$, das in $G$ angreift.	$\mathrm{N}$
$u_G$	Lage von $G$ entlang des Balkens, vom Stift aus gemessen und nach rechts positiv; hier negativ.	$\mathrm{m}$
$w_G$	Lage von $G$ quer zum Balken, nach oben positiv; hier negativ, weil $G$ unter dem Balken liegt.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Neigung des Balkens gegen die Waagerechte, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Derselbe Winkel steht bei $G$ im rechtwinkligen Dreieck.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 skizziert die Waage mit übertriebenen Proportionen. Verwende Koordinaten, die fest mit dem Balken verbunden sind und vom Stift $O$ aus gemessen werden: $u_i$ entlang des Balkens (positiv nach rechts) und $w_i$ quer dazu (positiv nach oben). Zusammen wiegen die Teile mit den Massen $m_i$ wie ein einziger Körper der Masse $M=\sum m_i$ im Schwerpunkt $G$, dessen Koordinaten $u_G=A/M$ und $w_G=B/M$ sind, mit
$A=\sum m_i{u}_i,B=\sum m_i{w}_i$
Die Neigung $\theta$ des Balkens gegenüber der Waagerechten wird gegen den Uhrzeigersinn gezählt.

Die Waage ruht, wenn $G$ senkrecht unter $O$ hängt, denn dann geht das Gewicht $Mg$ durch den Stift und hat kein Drehmoment. (Senkrecht über $O$ ist ebenfalls ein Gleichgewicht, aber ein instabiles.) In Abbildung 3 geht man von $O$ entlang des Balkens um $u_G$ und quer dazu um $w_G$ und erreicht $G$; das Lot von $G$ zurück zu $O$ schließt ein rechtwinkliges Dreieck, dessen rechter Winkel dort liegt, wo $u_G$ auf $w_G$ trifft. Der Winkel bei $G$ ist gleich der Neigung $\theta$. Zwei Geraden, die auf zwei anderen senkrecht stehen, schneiden sich unter demselben Winkel wie diese; Balken und Waagerechte schneiden sich unter $\theta$, also schneiden sich auch die Seite $w_G$, die senkrecht zum Balken steht, und das Lot, das senkrecht zur Waagerechten steht, unter $\theta$. Von $G$ aus gesehen ist $u_G$ die Gegenkathete und $w_G$ die Ankathete, also
$\tan \theta =\frac{u_G}{w_G}=\frac{A}{B}$
In der Abbildung sind sowohl $u_G$ als auch $w_G$ negativ, also ist $\tan \theta >0$: Der Balken hat sich gegen den Uhrzeigersinn gedreht, die linke Seite nach unten.

Die potenzielle Energie liefert dasselbe Ergebnis, und sie entscheidet auch über die Stabilität. Um $\theta$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht, liegt Teil $i$ auf der Höhe $u_i\sin \theta +w_i\cos \theta$ über dem Stift, also
$U(\theta )=g(A\sin \theta +B\cos \theta )$
Setzt man $dU/d\theta =g(A\cos \theta -B\sin \theta )$ gleich null, ergibt sich wieder $\tan \theta =A/B$.

Nun die Zahlen. Die Schwerpunkte der Kisten liegen 0,053 m und 0,043 m über der Stiftlinie, das Gewicht 0,19 m darunter, also $B=2,0\cdot 0,053+1,0\cdot 0,043-14\cdot 0,19\approx -2,51\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$; das Eigengewicht des Balkens wirkt im Stift und trägt nichts bei. Zu Beginn liegt die schwere Kiste bei $x_1=-0,42\mathrm{m}$ entlang des Balkens und die leichte bei 0,40 m, also $A=2,0\cdot (-0,42)+1,0\cdot 0,40=-0,44\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$. Dann ist $\tan \theta =0,175$ und $\theta =9,9^{\circ }$, die schwere Seite unten, wie in Abbildung 3. Bei $x_1=-0,10\mathrm{m}$ ist $A=+0,20\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$ und $\theta =-4,6^{\circ }$, die andere Seite unten; bei $x_1=-0,20\mathrm{m}$ ist $A=0$, und die Waage liegt waagerecht. Als Kontrolle: Das im Uhrzeigersinn wirkende Drehmoment des Gewichts am Anfang, $14\cdot 9,81\cdot 0,19\sin \theta \approx 4,51\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, hebt das Drehmoment der Kisten am Anfang des Diagramms auf.

Ist diese Ruhelage stabil? Die zweite Ableitung ist $d^{2}U/d{\theta }^2=-g(A\sin \theta +B\cos \theta )$, und im Gleichgewicht mit $G$ unterhalb von $O$ (hier ist $B<0$) ergibt sie $g\sqrt{A^2+B^2}$. Das ist nie kleiner als $g|B|=9,81\cdot 2,51=24,6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ pro Radiant, die Waage ist also stabil, egal wo die Kiste steht. In der Nähe der Waagerechten gilt $\theta \approx A/B$: Verschiebt man die Kiste um 1 cm, ändert sich $A$ um 0,020 kg·m, und der Balken neigt sich um $0,020/2,51\approx 0,008\mathrm{rad}$, etwa 0,46°. Das ist die Empfindlichkeit der Waage. Ein kleineres $|B|$, etwa durch ein leichteres Gewicht oder einen kürzeren Zeiger, würde sie erhöhen, allerdings auf Kosten eines schwächeren Rückstelldrehmoments, nämlich $g|B|$ pro Radiant nahe der Waagerechten. Ohne das Gewicht ist $B=+0,15\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$: $G$ liegt über dem Stift, die zweite Ableitung in der waagerechten Lage ist negativ, und schon das kleinste Ungleichgewicht würde den Balken ganz umkippen lassen, wie bei einer Wippe.

Kippen und Rutschen

Ein Körper auf einer schiefen Ebene kann auf zwei Arten versagen: Er rutscht hinunter oder er kippt über seine untere Kante. Was zuerst eintritt, hängt nur von seiner Form und von der Reibung ab.

Legende

$w$	Breite der Grundfläche der Kiste, entlang der Rampe.	$\mathrm{m}$
$h$	Höhe der Kiste.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Neigungswinkel der Rampe. Derselbe Winkel liegt zwischen $R$ und der Normalen zur Rampe.	$\mathrm{rad}$
$mg$	Gewicht der Kiste, das in ihrem Mittelpunkt angreift.	$\mathrm{N}$
$R$	Kontaktkraft der Rampe auf die Kiste (Normalkraft plus Reibung): gleich groß und entgegengesetzt zum Gewicht, also senkrecht.	$\mathrm{N}$
$d$	Abstand von der unteren Kante der Grundfläche bis zu dem Punkt, an dem $R$ angreift: $d=w/2-(h/2)\tan \theta$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt eine homogene Kiste mit Grundfläche $w$ und Höhe $h$ auf einer Rampe im Winkel $\theta$. Nur zwei Kräfte wirken auf sie: ihr Gewicht $mg$ im Mittelpunkt und die Kontaktkraft $R$ der Rampe, also Normalkraft und Reibung über die gesamte Grundfläche zu einer Kraft zusammengefasst. Zwei Kräfte halten sich nur im Gleichgewicht, wenn sie gleich groß, entgegengesetzt und auf einer Linie liegen; deshalb zeigt $R$ senkrecht nach oben entlang der Senkrechten durch den Schwerpunkt und wirkt dort, wo diese Senkrechte die Grundfläche trifft.

Um diesen Punkt zu finden, geht man vom Mittelpunkt aus, der $w/2$ entlang der Grundfläche von der unteren Kante entfernt und $h/2$ über der Grundfläche liegt. Die Senkrechte durch den Mittelpunkt weicht von der Normalen zur Rampe um $\theta$ ab, also driftet sie auf ihrem Weg hinab über die Höhe $h/2$ um $(h/2)\tan \theta$ hangabwärts. Sie trifft die Grundfläche daher $(h/2)\tan \theta$ hangabwärts von der Mitte der Grundfläche, im Abstand
$d=\frac{w}{2}-\frac{h}{2}\tan \theta$
von der unteren Kante, in Abbildung 4 mit $d$ markiert. Wenn die Rampe steiler wird, schrumpft $d$. Die Kontaktkraft kann nicht außerhalb der Grundfläche wirken; erreicht $d$ null, kann sie nicht mehr unter dem Schwerpunkt stehen, und die Kiste kippt um ihre untere Kante:
$\tan \theta =\frac{w}{h}\text{(tipping of a uniform crate on a ramp)}$

Das Rutschen liest man aus demselben Bild ab. $R$ ist senkrecht, und die Normale weicht um $\theta$ von der Senkrechten ab, also weicht $R$ um $\theta$ von der Normalen ab: der Winkel, der in Abbildung 4 zwischen $R$ und der gestrichelten Normalen markiert ist. Sein Reibungsanteil geteilt durch seinen Normalanteil ist daher $\tan \theta$, und die Haftreibung kann das nur leisten, solange $\mu \ge \tan \theta$ gilt, wobei $\mu$ der Haftreibungskoeffizient ist. Vergleicht man die beiden Grenzen, kippt die Kiste zuerst, wenn $w/h<\mu$ gilt, und rutscht zuerst, wenn $\mu <w/h$ gilt.

Ein Aktenschrank, 0,45 m breit und 1,30 m hoch, hat $w/h\approx 0,35$. Auf Gummi, mit $\mu \approx 0,8$, kippt er bei 19,1°; auf einer nassen Kunststofframpe mit $\mu =0,20$ rutscht er zuerst, bei 11,3°. Bei einem nicht homogenen Körper verwendet man statt $w/2$ und $h/2$ die tatsächlichen Abstände seines Schwerpunkts von der unteren Kante und von der Rampe. Ein tiefer Schwerpunkt lässt $d$ langsamer schrumpfen, deshalb wird schwere Fracht tief geladen.

Grenzen der Gültigkeit

Alles hier setzt starre Körper voraus. Echte Balken biegen sich, und bei einer statisch unbestimmten Konstruktion sind es die Verformungen über das hookesche Gesetz, die die Kräfte bestimmen. Haftreibung ist eine Ungleichung, $f\le \mu N$: Die Gleichungen geben die Reibung an, die ein Körper braucht, und die Ungleichung sagt nur, ob die Oberflächen sie liefern können.

Die Platzierung des Gewichts im Schwerpunkt setzt außerdem ein homogenes Feld voraus. Die Schwerkraft nimmt mit der Höhe $y$ um einen Bruchteil von etwa $2y/R_{\mathrm{E}}$ ab, wobei $R_{\mathrm{E}}$ der Erdradius ist. In einer homogenen Säule der Höhe $H=800\mathrm{m}$ liegt der Angriffspunkt der Gewichtskraft, also der Punkt, an dem das Gewicht praktisch wirkt, daher $H^2/(6R_{\mathrm{E}})\approx 1,7\mathrm{cm}$ unter dem Massenmittelpunkt: für Gebäude vernachlässigbar. Im Orbit dreht derselbe Gradient einen langen Satelliten so, dass er auf die Erde zeigt, und Gezeitendrehmomente haben den Mond so gedreht, dass er uns immer dieselbe Seite zuwendet.

Schließlich ist die Statik der Grenzfall langsamer Änderung. Bewegt man die Kiste plötzlich, schwingt der Balken über und pendelt; dann übernimmt $\tau =I\alpha$ aus Rotationsdynamik und Drehmoment.

Wohin das führt

Die virtuelle Arbeit bestimmt jede ideale Maschine in Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder, und durchhängende Balken führen zu Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung. Ein stabiles Gleichgewicht ist der Ausgangspunkt der Harmonischen Schwingung: Wird der Körper leicht ausgelenkt, schwingt er um dieses mit ${\omega }^2=(d^{2}U/d{\theta }^2)/I$, wobei $I$ sein Trägheitsmoment um den Stift ist. Auch Fluide gehorchen der Statik: In Auftrieb und archimedisches Prinzip bleibt ein Schiff aufrecht, weil sich beim Krängen sein Gewicht und die Auftriebskraft zu einem aufrichtenden Kräftepaar ergänzen. Wenn sich die Drehmomente nicht aufheben, beginnt der Körper sich zu drehen, das Thema von Drehimpuls und Drehimpulserhaltung. Ladungen haben eine eigene Statik, in Elektrisches Feld und Potential, mit einer Wendung: Elektrostatische Kräfte allein können eine Ladung nie stabil im Gleichgewicht halten (Earnshaw-Theorem).