Dämpfung und Resonanz

Einsteiger

Alles, was schwingen oder hüpfen kann, hat eine Eigenfrequenz: seinen eigenen Rhythmus, also die Anzahl der Hin- und Her-Bewegungen pro Sekunde, wenn man es sich selbst überlässt. Ein kurzes Pendel schwingt schneller als ein langes, und ein Block an einer steifen Feder hüpft schneller als an einer weichen.

Schritt 1: Dämpfung. Stoße eine Schaukel an und geh weg: Jeder Hingang ist ein bisschen kleiner als der vorherige. Luftwiderstand und Reibung nehmen bei jedem Hingang etwas Energie und wandeln sie in Wärme um, und sie bremsen umso stärker, je schneller sich das Objekt bewegt. Dieses allmähliche Abklingen heißt Dämpfung.

Schritt 2: Wie stark ist die Dämpfung? In der Animation hängen drei gleiche Blöcke an gleichen Federn, und alle drei werden nach unten gezogen und gleichzeitig losgelassen. Der linke bewegt sich in Luft (schwache Dämpfung) und hüpft viele Male, jedes Hüpfen kleiner. Der rechte steckt in dickem Sirup (starke Dämpfung): Er schießt nie über die Ruhelage hinaus, kriecht aber sehr langsam zurück. Der mittlere, in einer dünneren Flüssigkeit, hat gerade so viel Dämpfung, dass das Hüpfen aufhört. Das ist die kritische Dämpfung, und ihr Etikett „in Ruhe“ erscheint zuerst. Stoßdämpfer am Auto und Türschließer sind nahe daran eingestellt.

Schritt 3: Resonanz. Kleine Stöße im Takt der Eigenfrequenz addieren im richtigen Moment jeweils Energie, sodass die Bewegung wächst. Rechts wird das obere Ende einer Feder sanft im Rhythmus des Blocks geschüttelt, und bald hüpft der Block viel weiter als das Schütteln. Die Dämpfung ist es, die das Wachsen stoppt.

Teste dich selbst: Eine Waschmaschine schüttelt sich beim Schleudern oft für einige Sekunden stark, während die Trommel schneller wird, und beruhigt sich dann bei voller Drehzahl. Warum?
Antwort: Beim Hochdrehen durchläuft die Drehzahl der Trommel die Eigenfrequenz der Maschine, sodass sie für einen Moment im Takt geschüttelt wird: Resonanz.

Mittelstufe

Zwei Kräfte: die Feder und der Dämpfer

Ein Block an einer Feder, die gedehnt und losgelassen wird, spürt zwei Kräfte: die rücktreibende Federkraft $-kx$, die zurück zur Gleichgewichtslage zeigt, und eine Dämpfungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt, etwa den Widerstand einer Flüssigkeit oder des Öls im Stoßdämpfer. Bei langsamer Bewegung in einer Flüssigkeit ist die Dämpfungskraft nahezu proportional zur Geschwindigkeit, sodass die Nettokraft
$F=-kx-bv$
ist.

Die Dämpfungskonstante $b$ wird in Kilogramm pro Sekunde angegeben (kg/s, dasselbe wie N·s/m). Die beiden Kräfte erreichen ihre Maxima zu verschiedenen Zeitpunkten: die Federkraft an den Umkehrpunkten, wo der Block für einen Augenblick stillsteht, und die Dämpfungskraft, wenn sich der Block am schnellsten bewegt, was bei schwacher Dämpfung nahe der Gleichgewichtslage ist.

In der Animation zeigen die goldenen Pfeile $-bv$; sie kehren sich jedes Mal um, wenn ein Block umkehrt. Der rechte Block, in dickem Sirup mit $b=30kg/s$, hat den längsten Pfeil, obwohl er sich am langsamsten bewegt: Bei seiner Höchstgeschwindigkeit von 0,077 m/s hebt die Dämpfungskraft $30\cdot 0,077\approx 2,3\mathrm{N}$ genau die Zugkraft der Feder auf.

Schwache Dämpfung: ein exponentielles Abklingen

Bei schwacher Dämpfung behält der Block seinen Eigenrhythmus fast bei, doch jede Schwingung ist um denselben Bruchteil kleiner als die vorherige, weil eine mit der Geschwindigkeit wachsende Dämpfungskraft in jedem Zyklus einen festen Anteil der verbleibenden Energie entzieht. Das ist ein exponentielles Abklingen, $A=A_0{e}^{-\beta t}$, mit
$\beta =\frac{b}{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Die Abklingrate $\beta$ wird in s⁻¹ angegeben: Nach der Zeit $1/\beta$ ist die Amplitude auf $1/e$ gesunken, etwa 37 %, und sie halbiert sich alle $\ln 2/\beta$. Dabei ist ${\omega }_0$ die Eigenkreisfrequenz. Die vollständige Bewegung ist ein Kosinus innerhalb der schrumpfenden Hüllkurve:
$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi ),{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

Der Dämpfer hält den Block etwas zurück, deshalb liegt die gedämpfte Kreisfrequenz ${\omega }_d$ knapp unter ${\omega }_0$. Der Gütefaktor misst, wie schwach die Dämpfung ist:
$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }=\frac{m{\omega }_0}{b}$
Bei jedem Zyklus wird die Amplitude mit etwa $e^{-\pi /Q}$ multipliziert, sodass nach $Q$ Zyklen nur $e^{-\pi }$, also etwa 4 %, übrig bleiben. Eine Stimmgabel mit einem $Q$ in den Tausenden klingt nach einem einzigen Anschlag noch sekundenlang nach.

Schwache, kritische und starke Dämpfung

Mit wachsendem $b$ wird das Abklingen schneller, bis bei einem kritischen Wert der Block nicht mehr über die Ruhelage hinausschießt:
$b_c=2\sqrt{km}=2m{\omega }_0$
Dort ist $\beta ={\omega }_0$, und ${\omega }_d$ fällt auf null. Der Vergleich von $b$ mit $b_c$ ergibt drei Arten von Bewegung:

• $b<b_c$, schwache Dämpfung: Der Block schießt immer wieder über die Ruhelage hinaus, mit exponentiell abklingenden Schwingungen.
• $b=b_c$, kritische Dämpfung: die schnellstmögliche Rückkehr in die Gleichgewichtslage ohne jedes Überschwingen.
• $b>b_c$, starke Dämpfung: ebenfalls kein Überschwingen, aber der Dämpfer wirkt so stark, dass der Block nur kriecht.

Zu viel Dämpfung ist aus demselben Grund langsam wie ein Löffel im Honig: Die Dämpfungskraft wird bald so groß wie die Federkraft, was die Geschwindigkeit auf etwa $kx/b$ begrenzt. Verdreifacht man $b$, kriecht der Block dreimal so langsam zurück.

Beispiel: die drei Blöcke der Animation

Alle drei Blöcke haben $m=1\mathrm{kg}$ und $k=25N/m$, und jeder wird 10 cm nach unten gezogen und aus der Ruhe losgelassen:
${\omega }_0=\sqrt{25/1}=5rad/s,b_c=2\sqrt{25\cdot 1}=10kg/s$
Damit ist $f_0\approx 0,80\mathrm{Hz}$, eine Schwingung alle 1,26 s. Der mittlere Block ist genau kritisch; der rechte hat das Dreifache von $b_c$, der linke ein Zehntel davon. Für den linken Block gilt
$\beta =\frac{1}{2\cdot 1}=0,5{\mathrm{s}}^{-1},Q=\frac{5}{2\cdot 0,5}=5$

Nach 3 s beträgt seine Amplitude $10\mathrm{cm}\cdot e^{-0,5\cdot 3}\approx 2,2\mathrm{cm}$, also der Wert auf der blauen $A$-Anzeige, wenn die $t$-Anzeige, die mit dem Loslassen beginnt, 3 s zeigt. Die Amplitude halbiert sich alle $\ln 2/0,5\approx 1,4\mathrm{s}$, jeder Zyklus multipliziert sie mit $e^{-\pi /5}\approx 0,53$, und nach 5 Zyklen, etwa 6,3 s, ist nur noch 4 % übrig. Jeder Block bleibt nach etwa 1,0 s (kritisch), 3,8 s (stark) bzw. 6,4 s (schwach) innerhalb von 4 mm um seine gestrichelte Gleichgewichtslinie.

Resonanz: Stöße im Takt der Bewegung

Treibt man den Oszillator nun mit einer periodischen Kraft $F_0\cos \omega t$ an, so schwingt er nach dem Einschwingen stetig mit der Antriebsfrequenz, mit der Amplitude
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
Fern von ${\omega }_0$ ist die Antwort klein; in der Nähe steigt die Amplitude steil an: das ist Resonanz. Bei ${\omega }_0$ heben sich Federkraft und Trägheit auf, und der Antrieb muss nur die Dämpfung ausgleichen:
$A({\omega }_0)=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{Q{F}_0}{k}$
Eine konstante Kraft würde die Feder um $F_0/k$ dehnen; im Takt angelegt, bewegt sie den Block $Q$-mal so weit. In der Resonanz hinkt der Block um eine Viertelperiode hinter dem Stoß her, sodass er am schnellsten ist, wenn der Stoß am stärksten ist, und jeder Stoß verrichtet positive Arbeit.

Rechts in der Animation wird das obere Ende einer gleichen, schwach gedämpften Feder mit $Y=2\mathrm{cm}$ genau bei $f_0=0,80\mathrm{Hz}$ geschüttelt. Verschiebt man das obere Ende der Feder um $y$, ändert sich ihre Zugkraft um $ky$; das Schütteln wirkt daher wie eine Kraft $F_0=kY=25\cdot 0,02=0,5\mathrm{N}$, und
$A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}=\frac{0,5}{1\cdot 5}=0,10\mathrm{m}$
Das ist $QY=10\mathrm{cm}$. Die $A$-Anzeige des angetriebenen Blocks steigt dort langsam an, etwa wie $QY(1-e^{-\beta t})$: etwa 6 cm nach 2 s Schütteln, 9 cm nach 4,6 s und 9,9 cm am Ende der Schleife.

Beispiel: ein Auto mit verschlissenem Stoßdämpfer

Eine Ecke eines Autos trägt etwa 400 kg auf einer Federung mit $k=40000N/m$:
${\omega }_0=\sqrt{40000/400}=10rad/s,b_c=2\sqrt{40000\cdot 400}=8000kg/s$
Damit hüpft die Karosserie mit etwa 1,6 Hz. Ein intakter Stoßdämpfer, etwas unter $b_c$ eingestellt, lässt die Karosserie nach einer Bodenwelle einmal überschwingen. Ein verschlissener mit $b=800kg/s$ ergibt $\beta =800/(2\cdot 400)=1,0{\mathrm{s}}^{-1}$ und $Q=10/(2\cdot 1,0)=5$, wie der linke Block der Animation. Ein Hüpfer von 4 cm halbiert sich dann alle 0,7 s und ist nach 2 s noch $4\cdot e^{-2}\approx 0,5\mathrm{cm}$ groß, drei Hüpfer später.

Auch die Straße kann das Auto antreiben. Bodenwellen im Abstand $d=10\mathrm{m}$ lassen das Rad $v/d$-mal pro Sekunde wackeln, was bei $v\approx 16m/s$, etwa 57 km/h, zur Eigenfrequenz von 1,59 Hz passt. Bei dieser Geschwindigkeit hebt und senkt sich das verschlissene Auto etwa $Q=5$-mal so stark wie die Bodenwellen und scheint zu schweben.

Häufige Fehler

• Mehr Dämpfung ist nicht immer schneller: Der rechte Block, mit dem Dreifachen von $b_c$, braucht etwa 3,8 s, bis er zur Ruhe kommt, der kritische nur 1,0 s.
• Schwache Dämpfung ändert die Amplitude, nicht den Rhythmus: Bei $Q=5$ wächst die Periode nur von 1,257 s auf 1,263 s.
• Die Zeit $1/\beta$ ist keine Halbwertszeit: Mit $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ fällt die Amplitude in 2 s auf 37 % und halbiert sich in 1,4 s; die Energie, die proportional zu $A^2$ ist, halbiert sich in 0,7 s.
• Resonanz ist nicht unbegrenzt: Die Dämpfung begrenzt die Amplitude auf $Q{F}_0/k$, 10 cm bei der geschüttelten Feder, wo die Leistung des Antriebs von 0,125 W gleich den Verlusten des Dämpfers ist.
• Der kritische Wert ist $2\sqrt{km}$, nicht $\sqrt{km}$: Vergisst man die 2, erhält man für die Blöcke 5 kg/s statt 10 kg/s.

Wo man es antrifft

Nahezu kritische Dämpfung steckt in Türschließern, Messzeigern und Autofederungen; nahe der Spitze des Taipei-101-Turms schwingt ein Stahlpendel von etwa 660 Tonnen gegen das Schwanken des Gebäudes. Resonanz wird in Quarzuhren genutzt, deren Kristall mit 32 768 Hz schwingt, in Musikinstrumenten und beim Radioabstimmen. In Bauwerken muss man sie vermeiden: Die Millennium Bridge in London schwankte in ihren Eröffnungstagen im Jahr 2000 seitwärts, weil Fußgänger im Takt mit ihr zu gehen begannen. Dieselbe Gleichung beschreibt Schaltkreise aus den Bauteilen in Kondensatoren und Elektromagnetische Induktion und jede Schwingungsform in Stehende Wellen.

Fortgeschritten

Die Gleichung der freien Bewegung

Dämpfung ist jede Kraft, die die Energie einer Schwingung abzieht: Luft, Öl, ein Magnet, der eine Metallplatte bremst. Dieser Abschnitt ermittelt alle möglichen freien Bewegungen eines gedämpften Feder-Masse-Systems. Das ist aus zwei Gründen wichtig: Diese Bewegungen zeigen, wie sich ein gestörtes System beruhigt, und sie sind zugleich der Übergangsvorgang, den jeder angetriebene Oszillator abbauen muss, bevor er seinen stationären Zustand erreicht.

Betrachte einen Block der Masse $m$ an einer Feder mit der Federkonstante $k$, mit einem Dämpfer, der mit der Kraft $-b\dot{x}$ gegen die Geschwindigkeit wirkt. Dabei ist $x$ die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage und $b$ die Dämpfungskonstante. Das zweite newtonsche Gesetz liefert $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$. Teilt man durch $m$ und führt zwei Verhältnisse ein, die Abklingrate $\beta =b/(2m)$ und die Eigenkreisfrequenz ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$, nimmt die Gleichung ihre Standardform an
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$
Der Faktor 2 ist eine Konvention, die die Wurzeln unten frei von Brüchen hält.

Die Gleichung ist linear, und ihre Koeffizienten ändern sich nicht mit der Zeit. Eine Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung ein Vielfaches von ihr selbst ist; daher probiere $x=e^{st}$ mit einer konstanten $s$, die komplex sein darf. Jede zeitliche Ableitung multipliziert dann nur mit $s$. Jeder Term trägt den gleichen Faktor $e^{st}$, und Herausdividieren ergibt die charakteristische Gleichung $s^2+2\beta s+{\omega }_0^2=0$. Die quadratische Formel liefert ihre beiden Wurzeln:
$s_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2},s_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$
Da die Gleichung linear ist, ist jede Summe $c_1{e}^{s_{1}t}+c_2{e}^{s_{2}t}$ ebenfalls eine Lösung, und die beiden Konstanten werden durch Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit festgelegt. Alles an der freien Bewegung entscheidet sich also daran, wo die beiden Wurzeln liegen.

Die Animation verwendet $m=1\mathrm{kg}$ und $k=25N/m$, also ${\omega }_0=5rad/s$ (0,80 Hz), mit drei Dämpfern, $b=1$, 10 und $30kg/s$, das heißt $\beta =0,5$, 5 und $15{\mathrm{s}}^{-1}$.

Drei Arten freier Bewegung

Ob ein losgelassener Block hin und her schwingt oder nur zurückkriecht, hängt allein vom Vorzeichen von ${\beta }^2-{\omega }_0^2$ unter der Wurzel ab. Eine Karte der Wurzeln zeigt alle drei Fälle auf einmal und außerdem, welche Dämpfung den Block am schnellsten zurückbringt.

Legende

$s_1$	Wurzel mit dem Pluszeichen: der obere blaue Punkt, dann auf der reellen Achse, zurück in Richtung 0 wandernd.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$s_2$	Wurzel mit dem Minuszeichen: der untere blaue Punkt, dann auf der reellen Achse, sich von 0 entfernend.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$\beta$	Abklingrate $b/(2m)$: minus der Realteil des Paares, also sein Abstand links von der senkrechten Achse.	${\mathrm{s}}^{-1}$
${\omega }_d$	Gedämpfte Kreisfrequenz $\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$: der Imaginärteil von $s_1$, die Höhe des oberen Punkts.	$rad/s$
${\omega }_0$	Eigenkreisfrequenz $\sqrt{k/m}$: der Radius des Bogens; bei $-{\omega }_0$ treffen sich die beiden Wurzeln.	$rad/s$

Abbildung 1 ist die komplexe Ebene von $s$: Realteil waagerecht, Imaginärteil senkrecht. Eine einzige Zahl ordnet die Fälle, das Dämpfungsverhältnis $\zeta =\beta /{\omega }_0$. Es ist gleich $b/b_c$, wobei $b_c=2\sqrt{km}$ die kritische Dämpfungskonstante ist, der Wert von $b$, der $\beta ={\omega }_0$ macht. In der Animation ist $b_c=10kg/s$, daher haben die drei Blöcke $\zeta =0,1$, 1 und 3.

Schwache Dämpfung, $\zeta <1$. Die Zahl unter der Wurzel ist negativ, daher sind die Wurzeln das komplexe Paar $-\beta \pm i{\omega }_d$, die beiden blauen Punkte, mit der gedämpften Kreisfrequenz ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$. Da $e^{(-\beta \pm i{\omega }_d)t}=e^{-\beta t}{e}^{\pm i{\omega }_{d}t}$ gilt, legt der Realteil $-\beta$ das Abklingen fest und der Imaginärteil $\pm {\omega }_d$ die Schwingung. Fasst man die beiden Exponentialfunktionen so zusammen, dass $x$ reell wird, ergibt sich
$x=C{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\phi )$
eine Schwingung innerhalb einer Hüllkurve, die als $e^{-\beta t}$ schrumpft; die Konstanten $C$ und $\phi$ folgen aus Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit. Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck, gezeichnet für $\zeta =0,6$. Seine waagerechte Kathete ist $\beta$, seine senkrechte Kathete ${\omega }_d$, und seine Hypotenuse $\sqrt{{\beta }^2+{\omega }_d^2}={\omega }_0$. Eine komplexe Wurzel liegt also immer im Abstand ${\omega }_0$ vom Ursprung. Wenn $b$ wächst, wandert das Paar auf dem blauen Bogen mit dem Radius ${\omega }_0$, die obere Wurzel nach unten und die untere nach oben, auf die reelle Achse zu.

Kritische Dämpfung, $\zeta =1$. Die beiden Wurzeln treffen sich bei $-{\omega }_0$. Eine doppelte Wurzel liefert nur eine Exponentialfunktion, $e^{-{\omega }_{0}t}$; die zweite unabhängige Lösung ist $t{e}^{-{\omega }_{0}t}$, wie das Einsetzen in die Gleichung bestätigt.

Starke Dämpfung, $\zeta >1$. Die Quadratwurzel ist nun reell und kleiner als $\beta$, daher sind beide Wurzeln reell und negativ. Wenn $b$ wächst, wandert $s_1$ zurück auf 0 zu, und $s_2$ läuft nach links weg. Nichts schwingt: Der Block kriecht zurück.

Der Graph $x(t)$ der Animation im Expertenmodus verwendet das Blau, Grün und Violett aus Abbildung 1 und zeigt die drei Blöcke, die aus der Ruhe bei $-10\mathrm{cm}$ losgelassen werden; diese Auslenkung beim Loslassen nennen wir $A_0=10\mathrm{cm}$. Blau ($\zeta =0,1$, $s=-0,5\pm 4,97i{\mathrm{s}}^{-1}$) schießt eine halbe Periode nach dem Loslassen, bei 0,63 s, bis $+7,3\mathrm{cm}$ über die Ruhelage hinaus. Grün ($\zeta =1$) folgt $x=-A_0(1+{\omega }_{0}t)e^{-{\omega }_{0}t}$ und liegt nach etwa 1,0 s innerhalb von 4 mm um null. Violett ($\zeta =3$) hat die Wurzeln $-0,86$ und $-29,1{\mathrm{s}}^{-1}$. Sein schneller Term, $e^{-29,1t}$, ist innerhalb einer Zehntelsekunde verschwunden. Die langsame Wurzel liegt bei starker Dämpfung nahe $-{\omega }_0^2/(2\beta )$ und hinterlässt ein Kriechen mit einer Zeitkonstante von 1,2 s.

Welche Dämpfung bringt den Block am schnellsten zurück? Eine Summe von Exponentialfunktionen klingt nur so schnell ab wie ihr langsamster Term, also derjenige, dessen Wurzel in Abbildung 1 der senkrechten Achse am nächsten liegt. Unterhalb der kritischen Dämpfung ist dieser Abstand $\beta$; er wächst mit $b$, wenn sich das Paar auf dem Bogen nach links bewegt. Oberhalb der kritischen Dämpfung ist er $|s_1|$; er schrumpft, wenn $b$ wächst, weil $s_1$ zurück gegen 0 driftet. Die beiden Tendenzen treffen sich bei $\zeta =1$: Dort liegt die nächste Wurzel so weit links wie möglich, und die Abklingrate erreicht ihren größten Wert, ${\omega }_0$. Wenn ein kleines Überschwingen akzeptabel ist, geht es mit etwas weniger Dämpfung noch schneller. Bei $\zeta =0,75$ bleibt der Block nach 0,64 s innerhalb von 4 mm um null, weshalb Messzeiger oft etwas unter der kritischen Dämpfung abgestimmt werden.

Energie und die Bedeutung von Q

Die Wurzeln sagen, wie schnell die Bewegung abklingt; die Energie sagt, warum. Sie liefert außerdem die eine Zahl, die man für jeden Oszillator angibt: den Gütefaktor $Q$.

Legende

$x$	Auslenkung des Blocks aus der Gleichgewichtslage.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit seit dem Loslassen.	$\mathrm{s}$
$E$	Gespeicherte Energie, kinetisch plus Feder: $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Energie beim Loslassen, ganz in der Feder: $\frac{1}{2}k{A}_0^2$.	$\mathrm{J}$
$e^{-2\beta t}$	Abklingfaktor der gestrichelten Kurve $E_0{e}^{-2\beta t}$, die die Energie an jedem Umkehrpunkt berührt.
$dE/dt$	Änderungsrate der Energie, $-b{\dot{x}}^2$: am größten dort, wo der Block sich am schnellsten bewegt, und null an einem Umkehrpunkt.	$\mathrm{W}$
$T_d$	Gedämpfte Periode $2\pi /{\omega }_d$: ein voller Zyklus, die grüne Spanne.	$\mathrm{s}$

Abbildung 2 verfolgt den leichten Block der Animation ($\zeta =0,1$), losgelassen aus der Ruhe bei $x=-A_0$: seine Position $x(t)$ oben und seine gespeicherte Energie $E$ unten, auf einer gemeinsamen Zeitachse. Um das untere Feld zu lesen, ermittle zunächst, wie schnell sich $E$ ändert. Multipliziere die Bewegungsgleichung $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$ mit $\dot{x}$. Das Produkt $m\ddot{x}\dot{x}$ ist die zeitliche Ableitung von $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, und $kx\dot{x}$ ist die von $\frac{1}{2}k{x}^2$. Die Trägheits- und Federterme zusammen ergeben also die Ableitung von $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$, und was übrig bleibt, lautet
$\frac{dE}{dt}=-b{\dot{x}}^2$
Der Dämpfer entzieht Energie mit der Rate $b{\dot{x}}^2$. Diese Rate ist nie negativ und null, sobald der Block für einen Augenblick stillsteht.

Sieh dir nun das untere Feld an. Energie wird nur verloren, solange sich der Block bewegt, daher fällt $E$ stufenweise. Jeder Punkt markiert einen Umkehrpunkt, an dem $\dot{x}=0$ gilt und die gesamte Energie in der Feder steckt; dort ist die Steigung von $E$ null, und die Kurve ist flach. Die mit $dE/dt$ markierte Tangente berührt den steilsten Teil des ersten Abfalls, dort wo sich der Block am schnellsten bewegt, kurz bevor er die Gleichgewichtslage passiert. An einem Umkehrpunkt gilt $|x|=A_0{e}^{-\beta t}$, also ist die Energie dort $\frac{1}{2}k{A}_0^2{e}^{-2\beta t}$. Die flachen Stellen liegen daher genau auf der gestrichelten Kurve $E_0{e}^{-2\beta t}$, mit $E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,10^2=0,125\mathrm{J}$. Zwischen den Umkehrpunkten schwankt $E$ etwa 10 % über und unter dieser Kurve. Von einem Umkehrpunkt zum nächsten, eine halbe gedämpfte Periode $T_d/2$, wird die Energie mit $e^{-\beta T_d}\approx 0,53$ multipliziert.

Glättet man die Stufen, ergibt sich ein einfaches Gesetz. Über einen Zyklus bei schwacher Dämpfung ist die Bewegung nahezu $A\cos {\omega }_{0}t$ mit einer langsam schrumpfenden Amplitude $A$. Der Mittelwert von ${\dot{x}}^2$ über den Zyklus ist dann $\frac{1}{2}{\omega }_0^2{A}^2$, während $E=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2$ gilt. Der Mittelwert von $b{\dot{x}}^2$ ist also $(b/m)E=2\beta E$, und
$\frac{dE}{dt}=-2\beta E$
Die Energie klingt wie $e^{-2\beta t}$ ab. Die Energie ist proportional zum Quadrat der Amplitude, daher klingt die Amplitude halb so schnell ab, nämlich wie $e^{-\beta t}$, genau wie die Wurzeln es vorhergesagt haben.

Der Gütefaktor ist definiert als $Q={\omega }_0/(2\beta )$. Damit lautet das Gesetz $dE/dt=-{\omega }_{0}E/Q$. Der Block durchläuft einen Radiant Phase in der Zeit $1/{\omega }_0$ und verliert in dieser Zeit den Bruchteil $1/Q$ seiner Energie: $Q$ ist die gespeicherte Energie geteilt durch den Energieverlust pro Radiant. Ein Oszillator mit hohem $Q$ klingt über viele Zyklen nach; der leichte Block hat nur $Q=5$. Eine bekannte Faustregel besagt, dass pro Zyklus der Bruchteil $2\pi /Q$ verloren geht. Hier ergäbe das 126 %, was unmöglich ist: Die Regel ist nur das erste Glied des exakten Ausdrucks $1-e^{-2\pi /Q}$ und nur für großes $Q$ brauchbar. Das exponentielle Gesetz selbst gilt von einem Zyklus zum nächsten exakt. Über eine gedämpfte Periode $T_d=2\pi /{\omega }_d=1,263\mathrm{s}$, die grüne Spanne in Abbildung 2, behält die Energie den Anteil $e^{-2\beta T_d}\approx 0,28$, also gehen 72 % im ersten Zyklus verloren.

Der getriebene Oszillator

Treibe den Block nun mit einer periodischen Kraft $F_0\cos \omega t$ an. Das ist die Situation einer Lautsprechermembran, einer Brücke im böigen Wind oder eines Elektrons in einer Lichtwelle, und die Fragen lauten, wie groß die Antwort ist und wie weit sie hinterherhinkt. Die Bewegungsgleichung erhält eine rechte Seite:
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=(F_0/m)\cos \omega t$
Da die Gleichung linear ist, ist ihre allgemeine Lösung eine beliebige partikuläre Lösung plus die oben bestimmte freie Bewegung. Der freie Anteil klingt ab, bei schwacher Dämpfung wie $e^{-\beta t}$; er heißt Übergangsvorgang. Was übrig bleibt, ist der stationäre Zustand, der mit der Antriebsfrequenz $\omega$ schwingt, nicht mit ${\omega }_0$.

Komplexe Zahlen finden den stationären Zustand schnell. Schreibe die Kraft als Realteil von $F_0{e}^{i\omega t}$ und suche $x$ als Realteil von $\hat{x}{e}^{i\omega t}$, wobei die komplexe Amplitude $\hat{x}$ eine noch zu bestimmende Konstante ist. Die Bildung des Realteils vertauscht mit Addition, mit Ableiten und mit Multiplikation mit reellen Zahlen, daher kann man die komplexe Gleichung lösen und am Ende den Realteil nehmen. Jedes $d/dt$, das auf $e^{i\omega t}$ wirkt, wird zum Faktor $i\omega$. Multiplikation mit $i$ ist eine Vierteldrehung in der komplexen Ebene, daher eilt die Geschwindigkeit der Auslenkung um 90° voraus. Die Differentialgleichung wird zur Algebra:
$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega )\hat{x}=F_0/m$
Der Trick benötigt Linearität: Ein Term in $x^2$ würde Real- und Imaginärteil vermischen, und der Realteil der komplexen Lösung würde die reelle Gleichung nicht mehr erfüllen. Linearität liefert außerdem die Superposition, sodass eine Kraft aus vielen Frequenzen die Summe der einzelnen Antworten erzeugt.

Das Zeigerdreieck: Amplitude und Phasenverschiebung

Die komplexe Gleichung sagt, dass zwei Pfeile einen dritten ergeben. Zeichnet man sie, werden Amplitude und Phasenverschiebung zu einfacher Geometrie.

Legende

$F_0/m$	Der Antrieb, Kraft pro Masse, auf der reellen Achse.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\hat{x}$	Komplexe Amplitude der Auslenkung, im Winkel $-\delta$ zum Antrieb; im eigenen Maßstab gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$	Feder- und Trägheitsterm zusammen: ein reelles Vielfaches von $\hat{x}$, zeigt also in Richtung von $\hat{x}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$(2\beta \omega )i\hat{x}$	Dämpfungsterm: $\hat{x}$, um eine Vierteldrehung nach vorn gedreht durch den Faktor $i$ und mit $2\beta \omega$ skaliert.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\delta$	Verzögerung der Auslenkung hinter dem Antrieb: der Winkel zwischen $\hat{x}$ und $F_0/m$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 zeichnet die Gleichung in der komplexen Ebene für $\omega =0,75{\omega }_0$ und $\beta =0,25{\omega }_0$. Der Antrieb $F_0/m$ liegt auf der reellen Achse. Der goldene Pfeil ist $\hat{x}$, im eigenen Maßstab gezeichnet. Der Federterm ${\omega }_0^2\hat{x}$ und der Trägheitsterm $-{\omega }^2\hat{x}$ sind beide reelle Vielfache von $\hat{x}$, daher ergeben sie zusammen den grünen Pfeil $({\omega }_0^2-{\omega }^2)\hat{x}$, der entlang $\hat{x}$ zeigt. Der Dämpfungsterm $2\beta \omega i\hat{x}$ trägt den zusätzlichen Faktor $i$, daher steht der orangefarbene Pfeil im rechten Winkel zum grünen. Grün plus Orange muss den Antrieb ergeben. Der Antrieb ist also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und $\hat{x}$, das entlang der grünen Kathete liegt, hinkt dem Antrieb um den Winkel $\delta$ zwischen dieser Kathete und der Hypotenuse hinterher.

Die Gleichung nach $\hat{x}$ aufgelöst ergibt
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\beta \omega }$
Sein Betrag ist die Amplitude $A$, und sein Argument ist $-\delta$, wobei $\delta$ die Phasenverschiebung der Auslenkung hinter der Kraft ist. Das Dreieck liefert beides ohne weitere Rechnung. Seine Katheten haben die Längen $({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$ und $2\beta \omega A$, und seine Hypotenuse ist $F_0/m$. Pythagoras liefert die Amplitude und das Verhältnis der Katheten die Phasenverschiebung:
$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\beta \omega {)}^2}}$
$\tan \delta =\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$
Wenn $\omega$ über ${\omega }_0$ hinaus ansteigt, steigt $\delta$ von 0 auf $180^{\circ }$. Abbildung 3 ist unterhalb der Resonanz gezeichnet, wo die grüne Kathete positiv ist und $\delta$ unter $90^{\circ }$ liegt. Oberhalb von ${\omega }_0$ wird der Faktor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ negativ, der grüne Pfeil zeigt entgegen $\hat{x}$, und $\delta$ überschreitet $90^{\circ }$.

Die Resonanzkurve lesen

Die beiden Formeln oben enthalten die gesamte stationäre Antwort. Trägt man sie gegen die Antriebsfrequenz auf, sieht man, wo der Oszillator stark reagiert, wie scharf diese Reaktion ist und was die Phase auf dem Weg dorthin tut.

Legende

$A$	Stationäre Amplitude der Auslenkung.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Verzögerung der Auslenkung hinter dem Antrieb.	$\mathrm{rad}$
$\omega$	Kreisfrequenz des Antriebs.	$rad/s$
${\omega }_0$	Eigenkreisfrequenz: knapp rechts vom Amplitudenmaximum, wo $\delta =\pi /2$ gilt.	$rad/s$
${\omega }_1$	Untere Halbleistungsfrequenz, wo $\delta =\pi /4$ gilt.	$rad/s$
${\omega }_2$	Obere Halbleistungsfrequenz, wo $\delta =3\pi /4$ gilt.	$rad/s$
$\Delta \omega$	Volle Breite bei halber Leistung: ${\omega }_2-{\omega }_1=2\beta ={\omega }_0/Q$.	$rad/s$
$F_0/k$	Statische Dehnung: die Amplitude bei einem sich sehr langsam ändernden Antrieb.	$\mathrm{m}$
$Q{F}_0/k$	Amplitude bei ${\omega }_0$: $Q$-mal die statische Dehnung.	$\mathrm{m}$
$\pi /2$	Eine Vierteldrehung: die Verzögerung bei ${\omega }_0$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Eine halbe Drehung: die Verzögerung weit oberhalb von ${\omega }_0$, wo der Block sich gegen den Antrieb bewegt.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 4 skizziert die stationäre Antwort eines Blocks mit $Q=3$: die Amplitude $A(\omega )$ oben und die Phasenverschiebung $\delta (\omega )$ unten, auf derselben Frequenzachse. Das Resonanzfeld der Animation zeigt $A(\omega )$ für die geschüttelte Feder, mit $Q=5$ und $Q=1$. Dort wird das obere Ende der Feder um $Y=2\mathrm{cm}$ bewegt, was auf den Block wie eine Kraft mit $F_0/m={\omega }_0^{2}Y$ wirkt, also $F_0/k=Y$.

Lies die Kurven von links nach rechts. Weit unterhalb von ${\omega }_0$ dominiert der Federterm: $A\approx F_0/k$, die statische Dehnung (2 cm in der Animation), $\delta \approx 0$, und der Block folgt dem Schüttler. Weit oberhalb von ${\omega }_0$ dominiert die Trägheit: $A\approx F_0/(m{\omega }^2)$ schrumpft unter das gestrichelte Niveau $F_0/k$, $\delta$ nähert sich $\pi$, und der Block bewegt sich gegen den Antrieb. Bei ${\omega }_0$, knapp rechts vom Maximum, heben sich Feder und Trägheit auf, und nur die Dämpfung hält dem Antrieb das Gleichgewicht: $A=Q{F}_0/k$ und $\delta =\pi /2$. Die Geschwindigkeit ist dann in Phase mit der Kraft, daher verrichtet der Antrieb während des ganzen Zyklus positive Arbeit. In der Animation erreicht die hohe $Q=5$-Kurve 10 cm, während die niedrige graue $Q=1$-Kurve bei ${\omega }_0$ nur 2 cm ergibt.

Die Breite des Maximums misst man mit der Leistung. Im stationären Zustand ist die mittlere Leistung, die dem Antrieb entnommen wird, gleich der mittleren Leistung, die der Dämpfer umsetzt, $P=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$, was für $Q=5$ bei Resonanz 0,125 W beträgt. Schreibt man ${\omega }^2{A}^2=(F_0/m{)}^2/[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2/{\omega }^2+4{\beta }^2]$, sieht man, dass $P$ genau bei ${\omega }_0$ sein Maximum hat und auf die Hälfte fällt, wo $|{\omega }_0^2-{\omega }^2|=2\beta \omega$ gilt. Das sind die Frequenzen ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ der Abbildung; für $Q=5$ betragen sie 4,52 und 5,52 rad/s (0,72 und 0,88 Hz). Dort sind die beiden Katheten des Dreiecks aus Abbildung 3 gleich lang, daher gilt $\tan \delta =\pm 1$: Die Phasenkurve geht bei ${\omega }_1$ durch $\pi /4$ und bei ${\omega }_2$ durch $3\pi /4$. Die volle Breite ist
$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2\beta =\frac{{\omega }_0}{Q}$
sodass $Q$ auch die Schärfe des Maximums misst, ${\omega }_0/\Delta \omega$. Das Amplitudenmaximum selbst liegt etwas unter ${\omega }_0$, bei $\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}\approx 4,95rad/s$, wo es 10,05 cm statt 10 cm erreicht.

Der Punkt auf der Kurve der Animation zeigt den Einschwingvorgang. Der Schüttler beginnt in seiner Mitte und bewegt sich als $Y\sin {\omega }_{0}t$, während der Block aus der Ruhe startet. Die stationäre Auslenkung hinkt dem Antrieb um eine Vierteldrehung hinterher und ist damit $-QY\cos {\omega }_{0}t$; anfangs hebt der Übergangsvorgang sie teilweise auf, sodass $x\approx -QY(1-e^{-\beta t})\cos {\omega }_{0}t$ gilt. Die Amplitude wächst auf der Zeitskala $1/\beta =2\mathrm{s}$ und erreicht erst nach $\ln 10/\beta \approx 4,6\mathrm{s}$ 90 % des Maximums. Ein schmales Maximum und ein langes Ausklingen sind ein und dasselbe, zweimal betrachtet: Die Breite $2\beta$ mal die Abklingzeit $1/\beta$ ist immer 2, daher reagiert ein scharf abgestimmter Oszillator träge.

Durchgerechnete Aufgabe: Schütteln im falschen Takt

Schüttle dieselbe Feder ($F_0/m=0,5m/{\mathrm{s}}^2$, $\beta =0,5{\mathrm{s}}^{-1}$, ${\omega }_0^2=25{\mathrm{s}}^{-2}$, $b=1kg/s$) mit 0,50 Hz und mit 1,00 Hz, jeweils unterhalb und oberhalb ihrer Eigenfrequenz von 0,80 Hz. Bestimme die stationäre Amplitude, die Phasenverschiebung und die mittlere Leistung in jedem Fall.

Unterhalb der Resonanz, bei 0,50 Hz: $\omega =2\pi f=\pi \approx 3,14rad/s$, also ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-9,87=15,13{\mathrm{s}}^{-2}$ und $2\beta \omega =3,14{\mathrm{s}}^{-2}$. Dann
$A=\frac{0,5}{\sqrt{15,13^2+3,14^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{3,14}{15,13},\delta \approx 12^{\circ }$
Oberhalb der Resonanz, bei 1,00 Hz: $\omega =2\pi \approx 6,28rad/s$, also ${\omega }_0^2-{\omega }^2=25-39,48=-14,48{\mathrm{s}}^{-2}$ und $2\beta \omega =6,28{\mathrm{s}}^{-2}$. Der negative Nenner legt $\delta$ zwischen $90^{\circ }$ und $180^{\circ }$:
$A=\frac{0,5}{\sqrt{14,48^2+6,28^2}}=0,032\mathrm{m},\tan \delta =\frac{6,28}{-14,48},\delta \approx 157^{\circ }$

Beide Amplituden betragen etwa 3,2 cm, ein Drittel der Resonanzamplitude von 10 cm. Der Unterschied liegt in der Phase: Bei 0,50 Hz fährt der Block mit dem Schüttler mit, bei 1,00 Hz bewegt er sich fast gegen ihn. Auch die mittlere Leistung $\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$ unterscheidet sich: etwa 5 mW bei 0,50 Hz und 20 mW bei 1,00 Hz, gegenüber 125 mW bei Resonanz. Die Amplituden sind gleich, aber die Frequenz hat sich verdoppelt, daher ist die Geschwindigkeitsamplitude $\omega A$ bei 1,00 Hz doppelt so groß und die Leistung viermal so groß.

Auch der Start zählt. Aus der Ruhe gestartet, überlagert sich das freie Schwingen mit ${\omega }_d=4,97rad/s$ der stationären Bewegung und schwebt mit der Periode $2\pi /|\omega -{\omega }_d|$, hier 3,4 s und 4,8 s. Startet der Schüttler, wie in der Animation, aus seiner Mitte, so erreichen die frühen Schwingungen 4,1 bzw. 4,5 cm, mehr als die stationären 3,2 cm. Nach $3/\beta =6\mathrm{s}$ ist der Übergangsvorgang auf $e^{-3}$ gesunken, also etwa 5 %.

Über lineare Dämpfung hinaus

Bisher nahmen wir an, dass die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Reibung ist oft nicht so, und die Form des Abklingens verrät, welches Gesetz wirkt.

Trockene Reibung ist eine konstante Kraft $\mu N$ gegen die Bewegung, mit dem Reibungskoeffizienten $\mu$ und der Normalkraft $N$. Sie lässt die Periode $2\pi /{\omega }_0$ unverändert, verringert aber die Amplitude bei jeder halben Schwingung um denselben Betrag $2\mu N/k$. Der Grund: Über eine halbe Schwingung von $A_1$ nach $A_2$ ist die verlorene Federenergie, $\frac{1}{2}k(A_1^2-A_2^2)$, gleich der Arbeit $\mu N(A_1+A_2)$ gegen die Reibung. Die Hüllkurve ist eine Gerade, und der Block bleibt nach endlicher Zeit stehen, sobald die Federkraft die Reibung nicht mehr überwinden kann. Bei 0,1 N Reibung würde der Block der Animation bei jeder halben Schwingung 8 mm verlieren und nach 12 davon stehen bleiben, also nach etwa 7,5 s. Ein mit $v^2$ wachsender Widerstand dämpft große Schwingungen schnell und lässt kleine länger bestehen, sodass die Amplitude etwa wie $1/(1+t/t_1)$ abnimmt, mit einer Zeit $t_1$, die von der Anfangsamplitude abhängt. Ein praktischer Test: Trage den Logarithmus der Amplitude gegen die Zeit auf. Nur lineare Dämpfung ergibt eine Gerade.

Auch die Feder kann nichtlinear sein. Eine sich versteifende Feder schwingt bei großer Amplitude schneller, daher neigt sich ihre Resonanzkurve zu hohen Frequenzen, und beim Durchstimmen der Antriebsfrequenz kann die Amplitude zwischen zwei stationären Werten springen. Energie kann auch ohne periodische Kraft hineingelangen. Eine Schaukel anzutreiben, indem man pro Zyklus zweimal aufsteht und in die Hocke geht, verändert eine Eigenschaft des Oszillators, seine effektive Länge, statt ihn zu stoßen: Das ist parametrische Resonanz. Eine angestrichene Saite oder die Hemmung einer Uhr führt Energie im Takt der Bewegung selbst zu. Das wirkt wie negative Dämpfung, die die Schwingung anwachsen lässt, bis Nichtlinearität sie begrenzt. Die Tacoma-Narrows-Brücke, 1940 zerstört, versagte durch solches selbsterregtes Flattern bei stetigem Wind, nicht durch einfache Resonanz mit einer periodischen Kraft.

Grenzen der Gültigkeit

Der lineare Dämpfer ist exakt für einen elektrischen Widerstand, nahezu exakt für eine Wirbelstrombremse und gut für langsame Bewegung durch eine zähe Flüssigkeit (Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit). Eine echte Feder ist nur bei kleinen Dehnungen linear (Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung). Auch die Resonanzamplitude braucht Zeit zum Aufbau: Der Antrieb muss viele Male $1/\beta =2Q/{\omega }_0$ andauern, was bei einer Stimmgabel mit $Q\approx 2000$ bei 440 Hz 1,4 s sind.

Dämpfung kommt nie allein. Die Molekülstöße, die die Energie abziehen, stoßen den Block auch zufällig an, daher behält ein Oszillator im Gleichgewicht bei der Temperatur $T$ eine mittlere Energie $k_{B}T$, wobei $k_B$ die Boltzmann-Konstante ist. Die Hälfte davon steckt in der Feder, daher ist der Mittelwert von $\frac{1}{2}k{x}^2$ gleich $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, und der Block zittert um $\sqrt{k_{B}T/k}$ (quadratischer Mittelwert). Für die Feder mit 25 N/m bei 300 K sind das $1,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, weit unterhalb alles Sichtbaren. Für den Cantilever eines Rasterkraftmikroskops mit $k=0,1N/m$ sind es 0,2 nm, eine Untergrenze für das, was das Instrument messen kann. Dieser Zusammenhang zwischen Dissipation und zufälliger Kraft heißt Fluktuations-Dissipations-Theorem. Quanteneffekte treten in Stufen von $\hslash {\omega }_0\approx 5\times 10^{-34}\mathrm{J}$ auf; gegenüber den 0,125 J des Blocks sind sie völlig vernachlässigbar, und sie zählen nur für Moleküle, Atome und sehr kalte Mikroresonatoren.

Wohin das führt

Wenn man $q$ anstelle von $x$ setzt, beschreibt dieselbe Gleichung einen Reihenschwingkreis, $L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=V_0\cos \omega t$. Die Induktivität $L$, der Widerstand $R$ und $1/C$ übernehmen die Rollen von $m$, $b$ und $k$, daher ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ und $Q={\omega }_{0}L/R$. Ein Radio, das Mittelwellensender im Abstand von 10 kHz bei etwa 1 MHz trennt, braucht eine Breite ${\omega }_0/Q$, die nicht größer als der Abstand ist, also ein $Q$ in der Größenordnung von 100; siehe Kondensatoren, Elektromagnetische Induktion und Elektromagnetische Wellen.

Licht treibt die in Atomen gebundenen Elektronen auf dieselbe Weise an. Unterhalb ihrer ultravioletten Resonanzen wächst die Antwort mit der Frequenz, weshalb Glas Violett stärker bricht als Rot (Prismen, Dispersion und Farbe); bei einer Resonanz wird Energie absorbiert, wie von den Ionen eines Salzkristalls im Infraroten. Dieselbe Kurve, jedes Mal mit eigenem ${\omega }_0$ und $Q$, passt auf Gezeiten der Atmosphäre, die Schwingungsformen in Stehende Wellen und die Kerne in einem MRT-Gerät. In der Quantenphysik kehrt die Breite mal Abklingzeit als Zusammenhang zwischen der Breite einer Spektrallinie und der Lebensdauer des Zustands zurück, der sie aussendet.