Atommodelle: das bohrsche Atom

Elektronen auf festen Energieniveaus, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ beim Wasserstoff: Jeder Sprung zwischen zwei Niveaus sendet ein Photon aus oder nimmt eines auf, dessen Energie $h f$ dem Unterschied entspricht. Deshalb leuchtet jedes Atom in eigenen scharfen Farben, dem Fingerabdruck in seinem Spektrum.

Ein Wasserstoffatom mit Bohr-Bahnen n = 1 bis 4: Das Elektron fällt von n = 3 auf n = 2 und sendet ein rotes Photon aus, dann nimmt es ein identisches Photon auf und steigt wieder hoch.

Vor diesem Thema: Der photoelektrische Effekt

Einsteiger

Kernideen

Ein winziges Sonnensystem-Atom würde seine Energie abstrahlen und in Sekundenbruchteilen kollabieren, doch echte Atome sind stabil.
Ein Elektron kann nur auf bestimmten Energieniveaus sitzen, wie Sprossen einer Leiter, nie dazwischen.
Wärme, Flammen oder Stöße mit schnellen Elektronen heben Elektronen auf höhere Niveaus.
Fällt das Elektron auf ein tieferes Niveau, gibt das Atom genau ein Photon mit der verlorenen Energie ab: Wasserstoff von 3 auf 2 ergibt rotes Licht.
Jedes Element hat eigene Niveaus, seine Farben sind ein Fingerabdruck, mit dem Astronomen erkennen, woraus Sterne bestehen.

Ein Atom hat einen winzigen, schweren, positiven Kern mit leichten, negativen Elektronen darum herum. Stellt man es sich als Miniatur-Sonnensystem vor, wie man es um 1911 tat, stößt man auf ein Problem: Ein Elektron, das den Kern umkreist, müsste ständig Licht abgeben, Energie verlieren und in Sekundenbruchteilen nach innen spiralen. Doch Atome kollabieren nicht.

Schritt 1. 1913 schlug Niels Bohr vor, dass ein Elektron nur bestimmte erlaubte Bahnen nutzen darf, wie Sprossen einer Leiter, und solange es auf einer davon bleibt, kein Licht abgibt. Jede Sprosse hat ihre eigene Energie: Die unterste, dem Kern am nächsten, hat die geringste.

Schritt 2. Atome steigen auf höhere Sprossen, wenn ihnen etwas Energie gegeben wird: die Wärme einer Flamme oder Stöße mit schnellen Elektronen im leuchtenden Gas einer Neonröhre.

Schritt 3. Ein angeregtes Elektron fällt bald zurück. Die verlorene Energie verlässt das Atom als ein Lichtpaket, ein Photon. In der Animation fällt das Elektron vom dritten Ring auf den zweiten, und ein rotes Photon fliegt davon. Später kommt ein identisches rotes Photon an, das Elektron schluckt es und steigt wieder hoch; Licht einer etwas anderen Farbe würde unbeeinflusst vorbeiziehen.

Schritt 4. Die Abstände zwischen den Sprossen sind festgelegt, daher ergibt jeder Fall immer dieselbe Farbe. Wasserstoff leuchtet in wenigen scharfen Linien statt in einem Regenbogen, und jedes Element hat seine eigenen Sprossen, seine Linien sind also ein Fingerabdruck. Zerlegt man das Licht eines Sterns mit einem Prisma, kann man ablesen, woraus er besteht.

Die Ringe sind nur ein Bild: Das Elektron ist eigentlich eine verschwommene Wolke und kein winziger Planet, aber die festen Energieniveaus sind real.

Kontrollfrage: Ein Elektron sitzt auf Sprosse 4. Welcher einzelne Sprung erzeugt das Photon mit der größten Energie? (Direkt nach unten auf Sprosse 1.)

Mittelstufe

Kernideen

Bohrs Regel $m v r = n ℏ$ erlaubt nur Bahnen $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ( $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ ) mit Energien $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ .
Ein Sprung von Niveau $i$ nach unten auf $f$ sendet ein Photon aus: $h f = E_{i} - E_{f}$ , also $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ mit $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .
Beispiel: $3 \to 2$ setzt 1,89 eV frei, $λ \approx 656 nm$ (rotes Hα); nur ein Photon mit 1,89 eV hebt das Elektron von 2 zurück auf 3.
Das Photon trägt die Differenz zweier Niveaus, nicht den Wert eines der beiden; 13,6 eV lösen das Elektron von $n = 1$ .

Atome, Licht und das Elektronvolt

Streuversuche mit Alphateilchen zeigten 1911, dass ein Atom überwiegend leer ist: Ein Kern von nur $1 0^{- 15}$ bis $1 0^{- 14} m$ Durchmesser trägt die gesamte positive Ladung und fast die ganze Masse, während die Elektronen einen Bereich von etwa $1 0^{- 10} m$ Durchmesser füllen. Für Wasserstoff, ein Proton und ein Elektron, sind zwei Tatsachen zu erklären: Seine Atome sind stabil, und heißer Wasserstoff leuchtet nur bei wenigen scharfen Wellenlängen, etwa einer roten Linie bei 656 nm, und er absorbiert Licht genau bei diesen Wellenlängen.

Atomare Energien misst man in Elektronvolt, $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ , der Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer Spannung von einem Volt gewinnt. Der Nullpunkt ist ein ruhendes Elektron weit vom Proton entfernt, daher hat ein gebundenes Elektron eine negative Energie. Energie und Wellenlänge eines Photons hängen über $E = h c / λ$ zusammen, mit $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ .

Bohrs drei Regeln

Ein winziges Sonnensystem kann nicht funktionieren: Ein kreisendes Elektron wird beschleunigt, müsste also Strahlung abgeben, in etwa $1 0^{- 11} s$ in den Kern spiralen und eher ein verschmiertes Farbband als scharfe Linien aussenden. 1913 behielt Niels Bohr die Bahn bei, fügte aber Regeln hinzu, die die klassische Physik nicht kennt.

Die erste Regel ist klassisch: Das Elektron kreist um das Proton, gehalten von der Coulomb-Kraft. Die zweite wählt die Bahnen aus: Der Drehimpuls $m v r$ muss ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums $ℏ = h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ sein,
$m v r = n ℏ$
wobei $n = 1, 2, 3, \dots$ die Hauptquantenzahl ist.

Die dritte Regel ist die kühnste: Auf einer erlaubten Bahn befindet sich das Atom in einem stationären Zustand, und das Elektron strahlt überhaupt nicht ab. Licht wird nur bei einem Sprung zwischen erlaubten Bahnen emittiert oder absorbiert, als einzelnes Photon, das die Energiedifferenz trägt.

Radien, Energien und Photonen

Mit dem Kräftegleichgewicht legt die Drehimpulsregel Radius und Energie jeder Bahn fest, und ein Sprung von einem Niveau $i$ nach unten auf ein tieferes Niveau $f$ erzeugt ein Photon:

$r_{n} = n^{2} a_{0}$
$E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
$h f = E_{i} - E_{f}$
$λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}$

Hier ist $a_{0} \approx 0, 0529 nm$ der Bohr-Radius. Die Radien wachsen mit $n^{2}$ , im Verhältnis 1 : 4 : 9 : 16, während die Geschwindigkeit mit $v_{n} = v_{1} / n$ abnimmt, mit $v_{1} \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ . Das tiefgestellte $f$ kennzeichnet das Endniveau; $f$ ohne Index ist die Frequenz des Photons.

Die Energien sind negativ, weil das Elektron gebunden ist: Um es aus dem Grundzustand zu lösen, braucht man 13,6 eV, die Ionisierungsenergie von Wasserstoff. Die Niveaus $- 13, 6$ , $- 3, 40$ , $- 1, 51$ und $- 0, 85 eV$ drängen sich zusammen und nähern sich null, wenn $n \to \infty$ geht. Das Kräftegleichgewicht $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ macht außerdem die kinetische Energie $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ halb so groß wie die potentielle Energie $U = - k e^{2} / r$ , sodass $E = K + U = - K$ gilt.

Rechenbeispiel: die rote Linie der Animation

Das Elektron fällt von $n = 3$ auf $n = 2$ :
$E_{3} = - \frac{13 , 6}{9} = - 1, 51 eV, E_{2} = - \frac{13 , 6}{4} = - 3, 40 eV$
$h f = E_{3} - E_{2} = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$
$λ = \frac{h c}{E _{3} - E _{2}} = \frac{1240 eV \cdot nm}{1 , 89 eV} \approx 656 nm$
Das ist rotes Licht, die Hα-Linie, mit der Frequenz $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Das sind die Zahlen der Animation. Die Anzeige $n$ springt von 3 auf 2 und die Anzeige $E$ von $- 1, 51$ auf $- 3, 40 eV$ , genau wenn das rote, mit $h f$ beschriftete Photon das Atom verlässt; die Zeile darunter zeigt $h f = 1, 89 eV$ und $λ = 656 nm$ . Kommt ein identisches Photon an, nimmt das Elektron es auf, und die Anzeigen springen zurück auf 3 und $- 1, 51 eV$ .

Der Ring schrumpft von $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ auf $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ , und das Elektron wird um den Faktor 3/2 schneller. Seine kinetische Energie steigt um 1,89 eV, während seine potentielle Energie doppelt so stark fällt, um 3,78 eV; der Nettoverlust ist das Photon. Ein Umlauf dauert eine Zeit proportional zu $n^{3}$ : auf dem Bildschirm 3,0 s bei $n = 3$ gegenüber 0,9 s bei $n = 2$ , in Wirklichkeit $1, 2 \times 1 0^{- 15} s$ bei $n = 2$ .

Rechenbeispiel: eine Wasserstofflampe zum Leuchten bringen

In einer Entladungsröhre treffen schnelle Elektronen auf Wasserstoffatome im Grundzustand. Ein Stoß kann einen beliebigen Teil der Elektronenenergie abgeben, das Atom nimmt jedoch nur genau passende Energieabstände an. Welche Mindestenergie lässt die Röhre rot leuchten, und welche Linien erscheinen dann?

Die rote Linie beginnt bei $n = 3$ , also muss das Atom zuerst dorthin gehoben werden:
$E_{3} - E_{1} = - 1, 51 - (- 13, 6) = 12, 09 eV$
Ein Elektron mit 11 eV kann das Atom nur auf $n = 2$ (10,2 eV) heben, und das Atom fällt direkt zurück und sendet Ultraviolett bei $1240/10, 2 \approx 122 nm$ aus: nichts Sichtbares.

Von $n = 3$ gibt es zwei Wege nach unten: direkt auf $n = 1$ (12,09 eV, 103 nm) oder $3 \to 2$ (1,89 eV, 656 nm), gefolgt von $2 \to 1$ (10,20 eV, 122 nm). Beide Wege setzen $1, 89 + 10, 20 = 12, 09 eV$ frei, und von den drei Linien ist nur die rote sichtbar. Schnellere Elektronen erreichen höhere Niveaus: Ein auf Niveau $n$ angehobenes Atom kann $n (n - 1) /2$ verschiedene Linien aussenden, sechs von $n = 4$ , darunter die blaugrüne bei 486 nm.

Ein Energieniveau-Diagramm lesen

Ein Energieniveau-Diagramm zeichnet jedes Niveau als waagerechte Linie auf seiner Energie, von $n = 1$ bis zur Ionisationsgrenze $E = 0$ ; die Fortgeschritten-Ebene der Animation zeigt eines maßstabsgetreu. Ein nach unten zeigender Pfeil ist eine Emission, ein nach oben zeigender eine Absorption, und die Länge des Pfeils ist die Photonenenergie: Je länger der Pfeil, desto kürzer die Wellenlänge. Die Ringe des Atoms zeigen den umgekehrten Trend: Die Bahnen spreizen sich, während die Niveaus sich zusammendrängen.

Sprünge, die auf demselben Niveau enden, bilden eine Serie: Lyman (auf $n = 1$ , ultraviolett, 122 bis 91 nm), Balmer (auf $n = 2$ , sichtbare Linien bei 656, 486, 434 und 410 nm, die gegen 365 nm zusammenlaufen) und Paschen (auf $n = 3$ , infrarot). Eine Regel, die aus Messungen gefunden wurde, bevor Bohr sie erklärte, umfasst alle:
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})$
mit $R_{H} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Für Hα ergibt $R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ wieder 656 nm.

Typische Fehler

Das Photon trägt die Differenz zweier Niveaus: $3 \to 2$ ergibt 1,89 eV, nicht 1,51 oder 3,40 eV, auch nicht deren Summe, 4,91 eV.
Die Energie geht mit $1/ n^{2}$ , nicht mit $1/ n$ : Das Niveau $n = 2$ liegt bei $- 3, 40 eV$ , nicht bei $- 6, 8 eV$ .
Der Radius wächst mit $n^{2}$ : Die Bahn $n = 3$ ist 9-mal so breit wie die Bahn $n = 1$ , nicht 3-mal; 27 ist das Verhältnis ihrer Umlaufzeiten.
Eine höhere Bahn ist langsamer und hat trotzdem mehr Energie: Auf $n = 3$ ist die kinetische Energie 1,89 eV kleiner als auf $n = 2$ , die potentielle Energie aber 3,78 eV größer.
Ein Photon kann nicht teilweise absorbiert werden: Ein Photon mit 2,00 eV passiert ein Atom in $n = 2$ unbeeinflusst, weil kein Niveau 2,00 eV höher liegt. Nur oberhalb von 3,40 eV, wo das Elektron freigesetzt wird, kann ein Überschuss in seine kinetische Energie gehen; ein stoßendes Elektron kann nur einen Teil seiner Energie abgeben.

Wo es vorkommt

Jedes Element hat eigene Niveaus, daher sind seine Linien ein Fingerabdruck. Kühleres Gas in den äußeren Schichten der Sonne absorbiert seine eigenen Wellenlängen: Die Hα-Linie des Wasserstoffs ist die dunkle Linie, die Fraunhofer mit C bezeichnete, bei 656 nm, und Helium wurde 1868 im Sonnenlicht entdeckt, lange bevor man es auf der Erde fand. Nebel leuchten mit Hα rot, Natriumlampen leuchten bei 589 nm gelb, und Laser arbeiten mit Sprüngen zwischen Niveaus.

Die Photonenregel stammt aus „Der photoelektrische Effekt“; „Welle-Teilchen-Dualismus“ erklärt, warum nur manche Bahnen erlaubt sind, und „Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“ ersetzt Bahnen durch Wellen und behält diese Energien bei. In „Halbleiter, Dioden und LEDs“ verschmelzen die Niveaus vieler Atome zu Bändern, und „Radioaktivität und Halbwertszeit“ wendet sich dem Kern zu, dessen Niveaus tausend- bis millionenfach weiter auseinanderliegen.

Fortgeschritten

Kernideen

Klassisch ist kein Atom stabil: Ladungen haben kein stabiles statisches Gleichgewicht, und ein kreisendes Elektron strahlt ab und spiralt nach innen.
Minimierung von $ℏ^{2} / (2 m a^{2}) - k e^{2} / a$ liefert $a_{0} = ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 0, 053 nm$ und $E = - 13, 6 eV$ : Die Unschärfe legt die Größe der Atome fest.
$E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ in Bohrs wie in Schrödingers Theorie; die Quantenmechanik fügt pro Niveau $n^{2}$ Zustände hinzu und $L = 0$ im Grundzustand.
Lyman-Linien (auf $n = 1$ ) liegen im Ultravioletten, Balmer-Linien (auf $n = 2$ ) umfassen Hα bei 656 nm; alle folgen $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ .
Bohr versagt bei mehreren Elektronen, bei Linienstärke und Feinstruktur; aus Bahnen werden Wolken, deren Auffüllung das Periodensystem ergibt.

Warum ein klassisches Atom nicht existieren kann

Vor den Quantenideen versuchten Physiker, das Wasserstoffatom aus Teilen zu bauen, die sie verstanden: ein leichtes Elektron mit der Ladung $- e$ und der Masse $m$ , ein schweres Proton mit der Ladung $+ e$ und die Coulomb-Anziehung zwischen ihnen, die im Abstand $r$ die Größe $k e^{2} / r^{2}$ hat, mit $k = 1/ (4 π ε_{0})$ . Dieser Abschnitt zeigt, dass die klassische Physik aus diesen Teilen kein stabiles Atom bauen kann, und zwar aus drei getrennten Gründen. Jeder Fehlschlag weist auf etwas hin, das die neue Physik liefern muss.

Erstens können die Ladungen nicht ruhen. Wo keine Ladung ist, gehorcht das elektrostatische Potential $ϕ$ der Laplace-Gleichung $\nabla^{2} ϕ = 0$ . Eine Funktion, die dieser Gleichung gehorcht, hat in diesem Bereich weder Minimum noch Maximum: Wo sie in einer Richtung nach oben gekrümmt ist, ist sie in einer anderen nach unten gekrümmt. Ein Elektron, das zwischen festen Ladungen ruht, liegt also nie am Boden einer Potentialmulde, und es gibt immer eine Richtung, in der es wegrutschen kann. Das ist der Satz von Earnshaw, und er bedeutet, dass sich das Elektron bewegen muss.

Zweitens kann ein bewegtes Elektron seine Bahn nicht halten. Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung, und eine beschleunigte Ladung strahlt. Mit der Zentripetalbeschleunigung $v^{2} / r$ verliert das Elektron Energie mit der Rate (Larmor-Formel)
$P = \frac{2}{3} \frac{k e ^{2} ( v ^{2} / r ) ^{2}}{c ^{3}}$
wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Bei der beobachteten Größe des Atoms, 0,053 nm, beträgt die Beschleunigung $v^{2} / r$ etwa $9 \times 1 0^{22} m/ s^{2}$ . Bei diesem Energieverlust würde das Elektron in etwa $1, 6 \times 1 0^{- 11} s$ in das Proton spiralen. Auf dem Weg nach innen würde seine Umlauffrequenz stetig steigen, das Atom würde also Licht mit stetig steigender Frequenz aussenden, einen Chirp, statt der beobachteten scharfen Spektrallinien.

Drittens kann die klassische Physik nicht einmal sagen, wie groß ein Atom sein sollte. Eine Größe muss eine Länge sein, die aus den Konstanten des Problems gebildet wird. Aus $k e^{2}$ (in J m) und $m$ (in kg) lässt sich keine Länge bilden. Nimmt man $c$ hinzu, entsteht eine, $k e^{2} / (m c^{2}) \approx 2, 8 \times 1 0^{- 15} m$ , sie ist aber etwa 19 000-mal kleiner als ein Atom. Man braucht eine neue Konstante, und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $ℏ = h / (2 π)$ liefert sie.

Die Unschärfe legt die Größe des Atoms fest

Allein eine Quantenregel, die Unschärferelation, erklärt schon, warum ein Atom eine bestimmte Größe hat und wie groß sie ungefähr ist. Die Idee ist ein Wettstreit zweier Energien, und Abbildung 1 zeigt ihn.

Angenommen, das Elektron wird innerhalb eines Abstands $a$ vom Proton gehalten; $a$ verläuft auf der waagerechten Achse von Abbildung 1. Die Unschärferelation besagt, dass ein Teilchen, das auf einen Bereich der Größe $a$ beschränkt ist, eine Impulsbreite von mindestens etwa $ℏ/ a$ hat. Sein Impuls kann daher nicht null sein, und seine kinetische Energie $K$ beträgt mindestens etwa $(ℏ/ a)^{2} / (2 m) = ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ . Das ist die blaue Kurve: Sie steigt wie $1/ a^{2}$ , wenn $a$ kleiner wird.

Die potentielle Energie der Anziehung, $U$ , beträgt etwa $- k e^{2} / a$ : die rote Kurve. Auch sie wächst in ihrem Betrag, wenn $a$ kleiner wird, aber nur wie $1/ a$ , langsamer als $K$ .

Nun verfolge die lila Kurve, die Summe $K + U$ , von rechts nach links. Bei großem $a$ sind beide Terme klein, und die Summe liegt nahe null. Wenn $a$ kleiner wird, gewinnt zunächst die Anziehung, die Summe sinkt also. Bei kleinem $a$ überholt der Anstieg von $K$ wie $1/ a^{2}$ den Abfall von $U$ wie $1/ a$ , und die Summe steigt steil an. Dazwischen liegt ein tiefster Punkt bei $a = a_{0}$ , wo die Summe $E (a_{0})$ beträgt. Dort stellt sich das Elektron ein: Dieser tiefste Punkt ist der Grundzustand.

Um ihn zu finden, schreibe die Summe als
$E (a) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{a}$
Am tiefsten Punkt ist die Steigung null:
$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + \frac{k e ^{2}}{a ^{2}} = 0$
Multiplikation mit $a^{3}$ und Auflösen ergibt die Größe; in $E (a)$ eingesetzt ergibt sich die Energie:
$a_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} \approx 0, 0529 nm, E (a_{0}) = - \frac{k e ^{2}}{2 a _{0}} \approx - 13, 6 eV$
Bei $a_{0}$ ist der kinetische Term $ℏ^{2} / (2 m a_{0}^{2})$ gleich $k e^{2} / (2 a_{0})$ , der halben Größe des potentiellen Terms; deshalb ist die Summe $- k e^{2} / (2 a_{0})$ .

Ein Argument, das $ℏ/ a$ nur als Größenordnung verwendet, kann nicht exakt sein, und dass es sowohl die richtige Größe als auch die richtige Bindungsenergie trifft, ist teils Glück. Der physikalische Kern ist dennoch richtig. Ein Atom hat genau die Größe, die es hat, weil das Zusammenpressen des Elektrons auf weniger Raum mehr kinetische Energie kosten würde, als die zusätzliche Anziehung zurückzahlt. Aus demselben Grund widerstehen Festkörper und Flüssigkeiten der Kompression: Würde man Atome näher zusammendrücken, würde man ihre Elektronen enger einsperren.

Bohrs Bahnen und ihre Energien

1913 erreichte Niels Bohr dieselben Zahlen auf einem anderen Weg: Er behielt klassische Kreisbahnen bei, erlaubte aber nur einige davon. Dieser Abschnitt leitet seine Radien, Geschwindigkeiten und Energien ab, die das Spektrum des Wasserstoffs reproduzieren. Abbildung 2 zeigt eine erlaubte Bahn mit der Kraft und der Geschwindigkeit des Elektrons.

Abbildung 2 zeigt die Bahn $n = 3$ . Das Elektron mit der Ladung $- e$ kreist um den Kern mit der Ladung $+ e$ im Radius $r_{n}$ , und seine Geschwindigkeit $v$ liegt tangential zum Kreis. Die einzige Kraft auf das Elektron ist die Coulomb-Anziehung $F$ , die entlang des Radius zum Kern zeigt. Eine Kraft zum Mittelpunkt ist genau das, was Kreisbewegung verlangt, also liefert $F$ allein die Zentripetalkraft. Die Wellenlinie und $λ$ kommen weiter unten vor.

Bohr fügte eine Regel hinzu: Der Drehimpuls $m v r$ kann nur ein ganzzahliges Vielfaches von $ℏ$ sein. Die beiden Bedingungen lauten
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}, m v r = n ℏ, n = 1, 2, 3, \dots$
Die erste ist Newtons zweites Gesetz: Masse mal Zentripetalbeschleunigung ist gleich der Coulomb-Kraft. Multipliziert man mit $r$ , erhält man $m v^{2} r = k e^{2}$ . Teilt man dies durch die zweite Bedingung, bleibt die Geschwindigkeit, und die zweite Bedingung, $r = n ℏ/ (m v)$ , liefert dann den Radius:
$v_{n} = \frac{k e ^{2}}{n ℏ} = \frac{α c}{n}, r_{n} = \frac{n ^{2} ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} = n^{2} a_{0}$
Hier ist $α = k e^{2} / (ℏ c) \approx 1/137$ eine reine Zahl, die Feinstrukturkonstante. Die Radien wachsen mit $n^{2}$ , und der kleinste, $r_{1}$ , ist genau das $a_{0}$ , das aus dem Unschärfe-Argument folgte. Auf $n = 1$ bewegt sich das Elektron mit $c /137 \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ : schnell, aber weit unter der Lichtgeschwindigkeit.

Bohrs Drehimpulsregel schien willkürlich, bis de Broglie ihr 1924 eine Bedeutung gab; das ist die Wellenlinie in Abbildung 2. Ein Elektron mit dem Impuls $m v$ verhält sich wie eine Welle der Wellenlänge $λ = h / (m v)$ . Setzt man $m v = h / λ$ in $m v r = n ℏ = nh / (2 π)$ ein, kürzt sich $h$ heraus und es bleibt
$2 π r = nλ$
Der Umfang enthält eine ganze Zahl von Wellenlängen. Nur dann schließt sich die Welle nach einem Umlauf glatt an sich selbst an, wie eine stehende Welle auf einer geschlossenen Schleife. In Abbildung 2 ist $n = 3$ : Die Wellenlinie hat genau drei Wellenberge um den Kreis, und der mit $λ$ markierte Bogen umfasst eine Wellenlänge. Zahlenmäßig ist $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ , der Umfang also $2 π \cdot 0, 476 nm \approx 2, 99 nm$ , und die Wellenlänge des Elektrons auf dieser Bahn beträgt etwa 1,00 nm: Drei Wellenlängen füllen sie genau aus.

Als Nächstes die Energie. Das Kräftegleichgewicht, als $m v^{2} = k e^{2} / r$ geschrieben, ergibt die kinetische Energie $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k e^{2} / r$ . Die potentielle Energie ist $U = - k e^{2} / r$ , also $K = - \frac{1}{2} U$ ; das ist der Virialsatz für ein $1/ r$ -Potential. Die Summe ist daher $E = K + U = - \frac{1}{2} k e^{2} / r$ , und Einsetzen von $r_{n}$ ergibt
$E_{n} = - \frac{m ( k e ^{2} ) ^{2}}{2 ℏ ^{2} n ^{2}} = - \frac{α ^{2} m c ^{2}}{2 n ^{2}} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$
Die Energie ist negativ, weil das Elektron gebunden ist: $13, 6 eV / n^{2}$ müssen zugeführt werden, um es aus dem Niveau $n$ zu lösen. Die mittlere Form vergleicht sie mit der Ruheenergie des Elektrons, $m c^{2} = 511 keV$ : Die Bindungsenergie beträgt nur einen Bruchteil $α^{2} /2 \approx 2, 7 \times 1 0^{- 5}$ davon. Deshalb funktioniert die nichtrelativistische Mechanik hier so gut.

Springt das Elektron von einem Niveau $n_{i}$ auf ein tieferes Niveau $n_{f}$ , sendet es ein Photon aus, das die Energiedifferenz fortträgt, $h c / λ = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ . Mit $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ wird daraus
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}}), R_{H} = \frac{13 , 6 eV}{h c} \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$
Das ist die Rydberg-Formel. Balmer (1885) und Rydberg hatten sie durch Anpassen gemessener Linien gefunden, mit $R_{H}$ als Zahl aus den Daten. Bohr berechnete $R_{H}$ aus $m$ , $e$ , $h$ und $c$ , und es stimmte innerhalb der Genauigkeit dieser Konstanten mit dem gemessenen Wert überein. Diese Übereinstimmung machte es unmöglich, seine Regeln abzutun.

Das Niveaudiagramm und den Spektrumstreifen lesen

Die Energien $E_{n}$ begreift man am leichtesten als Leiter aus Niveaus, wobei jede Spektrallinie ein Sprung zwischen zwei Sprossen ist. Abbildung 3 zeichnet diese Leiter maßstabsgetreu und zeigt, welche Sprünge welche Linienserien erzeugen; die Fortgeschritten-Ebene der Animation nutzt dasselbe Layout.

In Abbildung 3 steigt die Energie $E$ nach oben, und jede waagerechte Linie ist ein Niveau, mit $n$ beschriftet. Die gestrichelte Linie oben ist $E = 0$ , die Ionisationsgrenze: Ein Elektron mit mehr Energie als dieser ist frei. Vom Grundzustand aus gemessen liegt das Niveau $n$ um $E_{n} + 13, 6 eV = 13, 6 eV (1 - 1/ n^{2})$ höher, also um den Bruchteil $1 - 1/ n^{2}$ des Weges zur Grenze: 0, 3/4, 8/9 und 15/16 für $n = 1$ bis 4. Drei Viertel der Bindungsenergie sind also schon bei $n = 2$ verschwunden, und die höheren Niveaus drängen sich dicht unter $E = 0$ zusammen.

Jeder senkrechte Pfeil ist ein Photon, das bei einem Sprung nach unten abgegeben wird, beschriftet mit den beiden Niveaus, die er verbindet, wie in $3 \to 2$ . Da die Niveaus maßstabsgetreu sind, ist die Länge eines Pfeils die Photonenenergie $E_{i} - E_{f}$ , wobei $E_{i}$ und $E_{f}$ die Energien des Anfangs- und des Endniveaus sind. Sprünge, die auf $n = 1$ enden, bilden die Lyman-Serie (lila): $2, 3, 4 \to 1$ ergeben 10,2, 12,09 und 12,75 eV, also 122, 103 und 97 nm, alle im Ultravioletten. Sprünge, die auf $n = 2$ enden, bilden die Balmer-Serie: $3 \to 2$ ergibt 1,89 eV (rot, 656 nm) und $4 \to 2$ ergibt 2,55 eV (blaugrün, 486 nm).

Vergleiche die Pfeile: Jeder Lyman-Pfeil ist weit länger als jeder Balmer-Pfeil. Selbst die größte Balmer-Energie, ein Sprung von der Ionisationsgrenze auf $n = 2$ , beträgt nur 3,40 eV, weit unter der kleinsten Lyman-Energie, 10,2 eV, sodass sich die beiden Serien nie überschneiden.

Im Diagramm der Animation folgt eine blaue Markierung dem Elektron von $n = 3$ nach $n = 2$ und zurück. Der Spektrumstreifen darüber deckt den sichtbaren Bereich von 380 bis 700 nm ab und zeigt die Balmer-Linien bei 410, 434, 486 und 656 nm. Sie drängen sich zum violetten Ende, weil sich $1/ λ$ mit steigendem Startniveau der Seriengrenze $R_{H} /4$ nähert, bei 365 nm, knapp außerhalb des Streifens. Die rote Linie, Hα genannt (der Sprung $3 \to 2$ ), leuchtet in dem Moment auf, in dem das Atom sie aussendet.

Was die Quantenmechanik bewahrt und was sie ändert

Bohrs Modell trifft die Energien richtig, aber sein Bild eines Elektrons auf einer scharfen Kreisbahn ist falsch. Die Quantenmechanik bewahrt die Energien und ersetzt die Bahn durch eine Wolke der Wahrscheinlichkeit. Abbildung 4 zeigt diese Wolke für den Grundzustand, geordnet nach dem Abstand vom Kern.

Die Kurve $P$ in Abbildung 4 ist die Wahrscheinlichkeit pro Abstandseinheit, das Elektron im Grundzustand im Abstand $r$ vom Kern zu finden: Die Chance, es zwischen $r$ und $r + d r$ zu finden, ist $P d r$ . Drei Merkmale fallen auf. $P$ ist bei $r = 0$ null, weil eine dünne Schale mit dem Radius $r$ ein Volumen hat, das für $r \to 0$ verschwindet. Es erreicht sein Maximum genau bei $a_{0}$ , dem Radius, den Bohr angab. Und nach rechts fällt es ab, ohne je null zu werden: Die Wolke hat keinen Rand.

Der mittlere Abstand $\overset{r}{ˉ} = 1, 5 a_{0}$ liegt rechts vom Maximum, weil der Schwanz rechts lang ist, während der Anstieg links kurz ist. Bohrs Radius bleibt erhalten, aber nur als wahrscheinlichster Abstand, nicht als Bahn.

Schrödingers Gleichung für das Coulomb-Potential (1926) liefert genau Bohrs Energien $E_{n}$ . Verändert wird die Beschreibung der Zustände. Das Elektron ist eine dreidimensionale stehende Welle, und das Niveau $n$ enthält $n^{2}$ verschiedene Zustände mit derselben Energie. Sie werden durch die Bahndrehimpuls-Quantenzahl $l = 0, 1, \dots, n - 1$ unterschieden, und jedes $l$ kommt in $2 l + 1$ Orientierungen vor; zusammengezählt ergibt sich $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ . Der Grundzustand hat $l = 0$ : überhaupt keinen Bahndrehimpuls, während Bohr ihm $ℏ$ zuschrieb.

Der Spin des Elektrons hat zwei mögliche Orientierungen, das verdoppelt die Anzahl auf $2 n^{2}$ : 2, 8 und 18 Zustände für $n = 1$ , 2 und 3. Zusammen mit dem Pauli-Prinzip, das höchstens ein Elektron in jedem Zustand erlaubt, bestimmen diese Zahlen den Aufbau des Periodensystems. Bei Atomen mit vielen Elektronen haben Zustände mit verschiedenem $l$ nicht mehr dieselbe Energie; sobald sie sich trennen, enthalten die Perioden des Periodensystems 2, 8, 8, 18, 18, 32 und 32 Elemente.

Dasselbe gilt für jedes Ion mit einem einzigen Elektron und der Kernladung $Z e$ . Ersetzt man $k e^{2}$ in den obigen Formeln durch $Z k e^{2}$ , erhält man $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ und $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . Für $He^{+}$ mit $Z = 2$ liegt der Grundzustand bei $- 54, 4 eV$ .

Eine Korrektur noch: Der Kern ist nicht unendlich schwer. Elektron und Kern umkreisen beide ihren gemeinsamen Schwerpunkt, und die Formeln bleiben gleich, wenn die Elektronenmasse $m$ durch die reduzierte Masse $μ = m M / (m + M)$ ersetzt wird, wobei $M$ die Masse des Kerns ist. Beim Wasserstoff senkt das die Bindungsenergien um 0,054 %; beim Deuterium, dessen Kern doppelt so schwer ist, nur um 0,027 %. Die Linien des Deuteriums tragen daher etwas mehr Energie, und seine Hα-Linie liegt 0,18 nm kürzer als die des Wasserstoffs: die kleine Verschiebung, mit der Anfang der 1930er-Jahre das Deuterium entdeckt wurde.

Rechenbeispiel: von der roten Linie zu Radiowellen

Bohr verlangte, dass seine Quantenregeln mit der klassischen Physik übereinstimmen, wo Quanteneffekte klein werden: das Korrespondenzprinzip. Klassisch strahlt eine kreisende Ladung mit ihrer Umlauffrequenz $f_{orb} = v / (2 π r)$ ab, der Zahl der Umläufe pro Sekunde. Diese Aufgabe vergleicht diese Frequenz mit der des Photons, zuerst weit unten auf der Leiter und dann weit oben.

Schritt 1, die Umlauffrequenz von Niveau $n$ . Mit $v_{n} = α c / n$ und $r_{n} = n^{2} a_{0}$ :
$f_{orb} = \frac{v _{n}}{2 π r _{n}} = \frac{α c}{2 π a _{0} n ^{3}} = \frac{6 , 58 \times 1 0 ^{15} Hz}{n ^{3}}$

Schritt 2, die rote Linie. Das Elektron umläuft den Kern auf $n = 3$ $2, 44 \times 1 0^{14}$ -mal pro Sekunde und auf $n = 2$ $8, 22 \times 1 0^{14}$ -mal. Das Hα-Photon des Sprungs $3 \to 2$ hat $f = c / λ = 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ : zwischen den beiden Umlauffrequenzen und keiner von beiden gleich. Weit unten auf der Leiter hat ein Quantensprung kein klassisches Gegenstück.

Schritt 3, ein Sprung weit oben, von $n = 110$ nach $n = 109$ . Die Photonenenergie beträgt
$h f = 13, 6 eV (\frac{1}{10 9 ^{2}} - \frac{1}{11 0 ^{2}}) = 2, 07 \times 1 0^{- 5} eV$
Division durch $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV s$ ergibt $f = 5, 01 \times 1 0^{9} Hz$ und $λ = c / f \approx 6, 0 cm$ : eine Radiowelle. Die Umlauffrequenzen betragen nun 5,08 GHz auf $n = 109$ und 4,94 GHz auf $n = 110$ , beide innerhalb von 1,5 % der Photonenfrequenz.

Schritt 4, warum sie verschmelzen. Bei einem Schritt $Δ n = 1$ bei großem $n$ liegt die Energiedifferenz nahe an der Steigung von $E_{n}$ nach $n$ :
$h f \approx \frac{d E _{n}}{d n} = \frac{2 \cdot 13 , 6 eV}{n ^{3}} = \frac{27 , 2 eV}{n ^{3}}$
Und $h f_{orb} = ℏ α c / (a_{0} n^{3})$ ist genau dasselbe, denn $ℏ/ a_{0} = α m c$ , also $ℏ α c / a_{0} = α^{2} m c^{2} = 27, 2 eV$ . Bei großem $n$ verschmelzen Quanten- und klassische Frequenz, wie es das Korrespondenzprinzip verlangt. Sprünge mit $Δ n = 2$ oder 3 ergeben ebenso $2 f_{orb}$ und $3 f_{orb}$ , die Obertöne, die eine klassische elliptische Bahn abstrahlt.

Solche Riesenatome gibt es wirklich. Die Bahn $n = 110$ hat einen Radius von $11 0^{2} a_{0} \approx 0, 64 μ m$ , so groß wie ein kleines Bakterium; daher überlebt das Atom nur in sehr dünnem Gas, wo Stöße selten sind. In den ionisierten Wolken um heiße junge Sterne fangen Protonen Elektronen wieder ein, die dann Stufe für Stufe die Leiter hinabfallen. Radioteleskope beobachten die daraus folgende 5,01-GHz-Linie, H109α genannt, aus Wolken, die auch in Hα rot leuchten.

Grenzen der Gültigkeit

Bohrs Modell ist selbst für Wasserstoff nur eine Näherung, und für Atome mit mehr als einem Elektron versagt es. Zu wissen, wo es aufhört, zeigt, wann die volle Theorie nötig ist.

Beim Wasserstoff verschieben Relativität und der Spin des Elektrons die Niveaus um relative Beträge in der Größenordnung von $α^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 5}$ ; das ist zu erwarten, denn das Elektron bewegt sich mit $v = α c$ , und relativistische Korrekturen wachsen wie $(v / c)^{2}$ . Diese Feinstruktur spaltet das Niveau $n = 2$ um $4, 5 \times 1 0^{- 5} eV$ auf und macht Hα zu Komponenten, die etwa 0,016 nm auseinanderliegen. Noch kleiner sind die Lamb-Verschiebung ( $4, 4 \times 1 0^{- 6} eV$ , aus der Quantenelektrodynamik) und die Hyperfeinaufspaltung des Grundzustands ( $5, 9 \times 1 0^{- 6} eV$ , aus der magnetischen Wechselwirkung der Spins von Elektron und Proton), deren 21-cm-Linie den Wasserstoff über die Galaxis kartiert.

In schweren Ionen mit einem Elektron ist die Geschwindigkeit auf der untersten Bahn, $Z α c$ , so groß, dass sie sich $c$ nähert, der Lichtgeschwindigkeit, und die Relativität dominiert. In $U^{91 +}$ ist $Z α \approx 0, 67$ , und der Grundzustand ist mit etwa 132 keV gebunden, gegenüber Bohrs $13, 6 eV \cdot 9 2^{2} \approx 115 keV$ .

Mit zwei oder mehr Elektronen versagt das Modell vollständig, wie die Anmerkung in der Animation warnt, weil jedes Elektron auch die anderen abstößt. Für Helium ergibt die Vernachlässigung dieser Abstoßung $2 \cdot (- 54, 4) = - 108, 8 eV$ für die Gesamtenergie, während die gemessene Gesamtenergie $- 79, 0 eV$ beträgt.

Bohrs Regeln sagen auch nichts darüber, wie hell eine Linie ist oder wie lange ein Niveau existiert, bevor es strahlt (der 2p-Zustand des Wasserstoffs, mit $n = 2$ und $l = 1$ , zerfällt in 1,6 ns). Und die Bahnen können keine echten Wege sein: Ein Elektron auf einem Kreis mit dem Radius $a_{0}$ zu platzieren heißt, seine Position nur auf etwa $a_{0}$ genau zu kennen, und das lässt seinen Impuls um etwa $ℏ/ a_{0} = m v_{1}$ unsicher, also seinen gesamten Impuls. Ein Effekt, den das Modell gefahrlos vernachlässigen kann, ist der Rückstoß: Ein Atom, das Hα aussendet, erfährt nur 0,60 m/s Rückstoß, was dem Photon nur $2 \times 1 0^{- 9} eV$ entzieht.

Wohin das führt

Das bohrsche Atom ist der Ort, an dem mehrere Lektionen zusammenkommen. Seine Photonenregel gilt für die Lichtquanten von „Der photoelektrische Effekt“ und von „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“. Seine Kraftbilanz ist das coulombsche Gesetz innerhalb von „Kreisbewegung“. Seine quantisierte Drehimpulsregel bringt „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“ auf die atomare Ebene. „Welle-Teilchen-Dualismus“ erklärt die erlaubten Bahnen als stehende Elektronenwellen, und „Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“ ersetzt Bahnen durch Wellenfunktionen und behält $E_{n}$ bei.

In „Halbleiter, Dioden und LEDs“ verschmelzen die Niveaus der Atome eines Kristalls zu Bändern, und die Farbe einer LED wird durch eine Bandlücke bestimmt, so wie die Farbe von Hα durch $E_{3} - E_{2}$ . „Radioaktivität und Halbwertszeit“ wendet sich dem Kern zu, dessen Niveaus tausend- bis millionenfach weiter auseinanderliegen. In „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ kehrt $α \approx 1/137$ als Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung selbst zurück.

Wichtige Formeln

Bohrs Quantisierung des Drehimpulses

m v r = n ℏ

Von allen Kreisbahnen, die die klassische Mechanik erlaubt, behielt Bohr nur jene, deren Drehimpuls $L = m v r$ ein ganzzahliges Vielfaches von $ℏ$ ist. Diese eine Regel legt Radien und Energien des Wasserstoffs fest. Zusammen mit der Wellenlänge des Elektrons $λ = h / (m v)$ gelesen, besagt sie $2 π r = nλ$ : Eine ganze Zahl von Wellenlängen passt um die Bahn.

Symbole
$m$	Masse des Elektrons	$kg$
$v$	Bahngeschwindigkeit des Elektrons	$m/s$
$r$	Radius der Bahn	$m$
$n$	Hauptquantenzahl, $1, 2, 3, \dots$
$ℏ$	reduziertes Plancksches Wirkungsquantum, $h /2 π$	$J \cdot s$

Gilt, wenn: Ein Postulat des Modells von 1913, richtig in seinen Folgen für die Energien des Wasserstoffs. Die Quantenmechanik ersetzt es: Der Bahndrehimpuls ist $l (l + 1) ℏ$ mit $l \leq n - 1$ , der Grundzustand hat also gar keinen.

Beispiel: Auf $n = 3$ , mit $r = 0, 476 nm$ und $v \approx 7, 3 \times 1 0^{5} m/s$ : $m v r = 3ℏ \approx 3, 16 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ .

Radius der n-ten Bohr-Bahn

r_{n} = n^{2} a_{0}

Die Coulomb-Kraft als Zentripetalkraft, $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ , mit $m v r = n ℏ$ kombiniert, ergibt $r = n^{2} ℏ^{2} / (mk e^{2})$ . Die Radien wachsen daher mit dem Quadrat von $n$ , im Verhältnis 1 : 4 : 9 : 16, ausgehend vom Bohr-Radius $a_{0}$ .

Symbole
$r_{n}$	Radius der Bahn $n$	$m$
$n$	Hauptquantenzahl
$a_{0}$	Bohr-Radius, etwa $0, 0529 nm$	$m$

Gilt, wenn: Wasserstoff im bohrschen Modell; für ein Ion mit einem Elektron und der Ladung $Z e$ gilt $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ . In der Quantenmechanik ist $n^{2} a_{0}$ nur der wahrscheinlichste Abstand für die Zustände mit $l = n - 1$ , keine scharfe Bahn.

Beispiel: Das Elektron der Animation fällt von $r_{3} = 9 a_{0} = 0, 476 nm$ auf $r_{2} = 4 a_{0} = 0, 212 nm$ .

Energieniveaus des Wasserstoffs

E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}

Die Energie auf der Bahn $n$ ist kinetische plus potentielle Energie; die kinetische Energie ist halb so groß wie die potentielle, also $E_{n} = - K$ . Sie ist negativ, weil der Nullpunkt ein freies, ruhendes Elektron ist, und 13,6 eV ist die Energie, die nötig ist, um das Atom von $n = 1$ aus zu ionisieren. Die Niveaus drängen sich zum Nullpunkt hin, je größer $n$ wird.

Symbole
$E_{n}$	Energie des Niveaus $n$	$eV$
$n$	Hauptquantenzahl

Gilt, wenn: Wasserstoff und, mit dem Faktor $Z^{2}$ , Ionen mit einem Elektron; die Schrödinger-Gleichung liefert dieselben Werte. Die Feinstruktur verschiebt sie um Teile in $1 0^{5}$ , und Atome mit mehreren Elektronen brauchen andere Methoden.

Beispiel: $E_{2} = - 13, 6/4 = - 3, 40 eV$ und $E_{3} = - 13, 6/9 = - 1, 51 eV$ , die beiden Werte der Anzeige in der Animation.

Photonenenergie bei einem Quantensprung

h f = E_{i} - E_{f}

Dies ist die Energieerhaltung für einen Sprung: Fällt das Elektron von Niveau $i$ auf ein tieferes Niveau $f$ , verliert das Atom $E_{i} - E_{f}$ , und ein einzelnes Photon der Energie $h f$ trägt sie davon. Rückwärts gelesen ist es die Bedingung für Absorption: Ein Photon wird nur absorbiert, wenn $h f$ genau einer Lücke entspricht. Das Photon trägt die Differenz zweier Niveaus, nie den Wert eines einzelnen; in Elektronvolt verwendet man $h = 4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ .

Symbole
$h$	Plancksches Wirkungsquantum	$J \cdot s$
$f$	Frequenz des Photons	$Hz$
$E_{i}$	Energie des oberen (Anfangs-) Niveaus	$J$
$E_{f}$	Energie des unteren (End-) Niveaus	$J$

Gilt, wenn: Gilt für jedes Atom, Molekül und jeden Kern, abgesehen von einem winzigen Anteil, den der Rückstoß des Atoms übernimmt ( $2 \times 1 0^{- 9} eV$ bei Hα). Das bohrsche Modell liefert die Niveaus selbst nur für Atome mit einem Elektron.

Beispiel: $3 \to 2$ : $h f = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 eV$ , also $f = 1, 89 eV / (4, 14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ .

Wellenlänge des emittierten Lichts

λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}

Licht der Frequenz $f$ hat die Wellenlänge $λ = c / f$ , daher wird die Photonenregel zu $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ . Eine große Energielücke bedeutet eine kurze Wellenlänge: Sprünge hinab auf $n = 1$ setzen mindestens 10,2 eV frei und sind ultraviolett, während die kleineren Sprünge hinab auf $n = 2$ sichtbares Licht ergeben. Mit Energien in Elektronvolt ergibt $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ $λ$ direkt in Nanometern.

Symbole
$λ$	Wellenlänge des Photons	$m$
$h$	Plancksches Wirkungsquantum	$J \cdot s$
$c$	Lichtgeschwindigkeit	$m/s$
$E_{i}$	Energie des oberen (Anfangs-) Niveaus	$J$
$E_{f}$	Energie des unteren (End-) Niveaus	$J$

Gilt, wenn: Liefert die Wellenlänge im Vakuum; in Luft ist sie etwa 0,03 % kürzer (Hα: 656,5 nm im Vakuum, 656,3 nm in Luft).

Beispiel: Hα-Linie: $λ = 1240 eV \cdot nm /1, 89 eV \approx 656 nm$ ; Lyman-α-Linie: $1240/10, 2 \approx 122 nm$ .

Rydberg-Formel für Wasserstofflinien

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})

Teilt man die Niveaudifferenz durch $h c$ , erhält man direkt den Kehrwert der Wellenlänge, mit $R_{H} = 13, 6 eV / (h c) \approx 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ . Die Formel wurde aus gemessenen Linien gefunden, bevor es das bohrsche Modell gab, und ordnet jede Wasserstofflinie anhand ihres Endniveaus $n_{f}$ einer Serie zu; lässt man $n_{i} \to \infty$ gehen, erhält man die Seriengrenze $1/ λ = R_{H} / n_{f}^{2}$ .

Symbole
$λ$	Wellenlänge der Linie	$m$
$R_{H}$	Rydberg-Konstante für Wasserstoff	$m^{- 1}$
$n_{f}$	Quantenzahl des Endniveaus (unteren)
$n_{i}$	Quantenzahl des Anfangsniveaus (oberen)

Gilt, wenn: Wasserstoff, mit $n_{i} > n_{f}$ bei Emission (bei Absorption steigt das Atom von $n_{f}$ auf $n_{i}$ ). Für Ionen mit einem Elektron mit $Z^{2}$ multiplizieren; die reduzierte Masse macht die Konstante für Deuterium etwas größer, wodurch seine Linien um etwa 0,03 % kürzer werden.

Beispiel: Hα: $1/ λ = R_{H} (1/4 - 1/9) = 1, 52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , also $λ \approx 656 nm$ ; die Balmer-Grenze ist $4/ R_{H} \approx 365 nm$ .

Glossar

Kernatom: Das Bild aus den Streuversuchen mit Alphateilchen von 1911: Alle positive Ladung und fast die ganze Masse sitzen in einem Kern von nur $1 0^{- 15}$ bis $1 0^{- 14} m$ Durchmesser, die Elektronen verteilen sich über einen Bereich von etwa $1 0^{- 10} m$ . Klassisch sollte ein solches Atom kollabieren.
Bohr-Modell: Niels Bohrs Modell des Wasserstoffs von 1913: kreisförmige Bahnen, gehalten von der Coulomb-Kraft, mit auf $m v r = n ℏ$ beschränktem Drehimpuls; Licht wird nur bei Sprüngen zwischen Bahnen emittiert oder absorbiert. Es liefert die Energieniveaus des Wasserstoffs richtig, versagt aber bei Atomen mit mehr als einem Elektron.
Stationärer Zustand: Ein Zustand des Atoms mit einer festen Energie, der sich nicht zeitlich ändert und in dem das Atom nicht strahlt. Die erlaubten Bahnen Bohrs waren das erste Beispiel; in der Quantenmechanik werden sie zu stehenden Wellen.
Energieniveau: Eine der erlaubten Energien eines gebundenen Systems, $E_{n} = - 13, 6 eV / n^{2}$ für Wasserstoff. Niveaus sind negativ, weil Energie zugeführt werden muss, um das Elektron zu lösen, und sie drängen sich zum Nullpunkt hin, je größer $n$ wird.
Grund- und angeregte Zustände: Der Grundzustand ist das tiefste Niveau ( $n = 1$ , $- 13, 6 eV$ ), in dem ein Atom unbegrenzt verweilen kann. Jedes höhere Niveau ist ein angeregter Zustand, erreicht durch Absorption eines Photons oder durch einen Stoß; er zerfällt zurück durch Emission von Photonen, typischerweise innerhalb von etwa $1 0^{- 8} s$ .
Ionisierungsenergie: Die kleinste Energie, die das Elektron aus einem Atom im Grundzustand entfernt: 13,6 eV für Wasserstoff, gleich $- E_{1}$ . Jede darüber hinausgehende Energie verlässt das Atom als kinetische Energie des freigesetzten Elektrons.
Quantensprung: Ein Übergang zwischen zwei Niveaus. Nach unten sendet das Atom ein Photon mit $h f = E_{i} - E_{f}$ aus; nach oben absorbiert es ein Photon genau dieser Energie oder nimmt die Energie aus einem Stoß. Das bohrsche Modell beschreibt keinen Weg zwischen den beiden Bahnen.
Emissionsspektrum: Die Wellenlängen, die ein heißes oder elektrisch angeregtes Gas abgibt: Bei Atomen scharfe helle Linien statt eines kontinuierlichen Regenbogens, eine für jeden möglichen Sprung. Die sichtbaren Linien des Wasserstoffs liegen bei 656, 486, 434 und 410 nm.
Absorptionslinien: Dunkle Linien in einem kontinuierlichen Spektrum, wo kühleres Gas vor der Lichtquelle genau die Wellenlängen seiner eigenen Übergänge absorbiert hat. Im Sonnenlicht erscheint die Hα-Linie des Wasserstoffs als dunkle Linie bei 656 nm.
Spektralserie: Alle Linien, die auf demselben unteren Niveau enden: Lyman ( $n_{f} = 1$ , ultraviolett), Balmer ( $n_{f} = 2$ , sichtbar) und Paschen ( $n_{f} = 3$ , infrarot). Innerhalb einer Serie drängen sich die Linien zu einer Seriengrenze hin, bei Balmer 365 nm.
Wasserstoffähnliches Ion: Jedes Ion mit einem einzigen Elektron, etwa $He^{+}$ oder $Li^{2 +}$ . Die bohrschen Formeln gelten mit der Kernladung $Z e$ : $E_{n} = - 13, 6 eV Z^{2} / n^{2}$ und $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ .
Korrespondenzprinzip: Die Forderung, dass quantenmechanische Ergebnisse mit klassischen verschmelzen, wenn die Quantenzahlen groß sind. Beim Wasserstoff nähert sich die Frequenz des Photons aus dem Sprung $n \to n - 1$ der klassischen Umlauffrequenz des Elektrons, wenn $n$ wächst.

Größen
$n$	Hauptquantenzahl		Die ganze Zahl $1, 2, 3, \dots$ , die die erlaubten Bahnen und Energieniveaus benennt; $n = 1$ ist der Grundzustand.
$ℏ$	Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum	$J \cdot s$	$h /2 π \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ : das Quantum des Drehimpulses in Bohrs Regel $m v r = n ℏ$ .
$a_{0}$	Bohr-Radius	$m$	Der Radius der Bahn im Grundzustand, $ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 5, 29 \times 1 0^{- 11} m = 0, 0529 nm$ : die natürliche Längenskala der Atome.
$r_{n}$	Bahnradius	$m$	Der Radius der $n$ -ten bohrschen Bahn, $n^{2} a_{0}$ ; in der Quantenmechanik bleibt er nur als wahrscheinlichster Abstand, nicht als Weg.
$v$	Bahngeschwindigkeit	$m/s$	Die Geschwindigkeit des Elektrons mit der Masse $m = 9, 109 \times 1 0^{- 31} kg$ auf der Bahn $n$ , $v_{n} = α c / n$ : etwa $2, 19 \times 1 0^{6} m/s$ auf $n = 1$ und langsamer auf den höheren Bahnen.
$E_{n}$	Energie des Niveaus n	$eV$	Kinetische plus potentielle Energie des Elektrons auf dem Niveau $n$ , gemessen vom freien, ruhenden Elektron; daher negativ für einen gebundenen Zustand. $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ .
$h$	Plancksches Wirkungsquantum	$J \cdot s$	$6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s = 4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ : Es verknüpft die Energie eines Photons mit seiner Frequenz, $E = h f$ .
$f$	Photonenfrequenz	$Hz$	Die Zahl der Schwingungen pro Sekunde des emittierten oder absorbierten Lichts; $4, 57 \times 1 0^{14} Hz$ für Hα.
$λ$	Wellenlänge	$m$	Die Wellenlänge des Photons, $c / f$ , wobei $c = 2, 998 \times 1 0^{8} m/s$ die Lichtgeschwindigkeit ist; für atomare Linien meist in Nanometern angegeben: 656 nm für Hα, 122 nm für Lyman α.
$R_{H}$	Rydberg-Konstante für Wasserstoff	$m^{- 1}$	Die Konstante in $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ , etwa $1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ; sie ist gleich $13, 6 eV / (h c)$ .

Quiz

Einsteiger Was passiert im Bohr-Modell, wenn ein Elektron auf ein tieferes Energieniveau fällt?
1. Es sendet ein Photon aus, das die Energiedifferenz trägt
2. Es absorbiert ein Photon
3. Es fällt in den Kern
4. Es verliert einen Teil seiner Ladung
Antwort zeigen
Antwort: A. Es sendet ein Photon aus, das die Energiedifferenz trägt
Die vom Elektron verlorene Energie verlässt das Atom als ein einzelnes Photon, dessen Energie der Differenz zwischen den beiden Niveaus entspricht.
Einsteiger Warum leuchtet heißes Wasserstoffgas nur in bestimmten scharfen Farben?
1. Die Glasröhre filtert die anderen Farben heraus
2. Sein Elektron kann nur bestimmte Energien haben, also sind nur bestimmte Energiesprünge möglich
3. Wasserstoffatome sind zu klein, um andere Farben zu erzeugen
4. Heiße Gase leuchten immer rot
Antwort zeigen
Antwort: B. Sein Elektron kann nur bestimmte Energien haben, also sind nur bestimmte Energiesprünge möglich
Feste Energieniveaus erlauben nur feste Energiedifferenzen, und jede Differenz entspricht einer Photonenenergie, also einer Farbe.
Einsteiger Auf welcher Bahn bewegt sich das Elektron im Bohr-Modell am schnellsten?
1. Auf der äußersten Bahn
2. Mit derselben Geschwindigkeit auf jeder Bahn
3. Nur während eines Sprungs zwischen den Bahnen
4. Auf einer inneren Bahn, nahe am Kern
Antwort zeigen
Antwort: D. Auf einer inneren Bahn, nahe am Kern
Im Bohr-Modell ist die Geschwindigkeit umgekehrt proportional zu n, daher ist das Elektron auf der inneren Bahn am schnellsten, ähnlich wie innere Planeten die Sonne schneller umlaufen. Ein Sprung ist keine schnelle Reise auf einem Weg: Das Elektron des Bohr-Modells erscheint einfach auf der neuen Bahn (die Animation verlangsamt den Sprung, damit du ihn siehst).
Mittelstufe Welche Energie hat das Niveau n = 2 des Wasserstoffs?
1. −6,8 eV
2. −3,4 eV
3. −13,6 eV
4. +3,4 eV
Antwort zeigen
Antwort: B. −3,4 eV
Eₙ = −13,6 eV / n² = −13,6/4 = −3,4 eV. Teilt man durch n statt durch n², erhält man −6,8 eV, und gebundene Niveaus sind negativ.
Mittelstufe Ein Wasserstoffelektron fällt von n = 3 auf n = 2. Welche Energie hat das emittierte Photon?
1. 1,89 eV
2. 3,40 eV
3. 1,51 eV
4. 4,91 eV
Antwort zeigen
Antwort: A. 1,89 eV
h·f = E₃ − E₂ = −1,51 eV − (−3,40 eV) = 1,89 eV, die rote Hα-Linie bei 656 nm. 3,40 eV und 1,51 eV sind die Beträge der Niveaus selbst; 4,91 eV addiert sie.
Mittelstufe Wie verhält sich der Radius der Bahn n = 3 zu dem der Bahn n = 1?
1. 3-mal größer
2. 27-mal größer
3. 9-mal größer
4. Gleich
Antwort zeigen
Antwort: C. 9-mal größer
rₙ = n²·a₀, also r₃/r₁ = 3² = 9. Der Faktor 27 = 3³ gilt für die Umlaufzeit, nicht für den Radius.
Fortgeschritten Welche Serie von Wasserstofflinien liegt vollständig im Ultravioletten?
1. Balmer (endet auf n = 2)
2. Lyman (endet auf n = 1)
3. Paschen (endet auf n = 3)
4. Keine davon
Antwort zeigen
Antwort: B. Lyman (endet auf n = 1)
Jedes Lyman-Photon trägt mindestens E₂ − E₁ = 10,2 eV, also λ ≤ 121,6 nm. Balmer hat sichtbare Linien; Paschen liegt im Infraroten.
Fortgeschritten Welcher dieser Punkte ist ein echter Mangel des Bohr-Modells?
1. Es sagt für Wasserstoff ein kontinuierliches Spektrum voraus
2. Es liefert die falsche Ionisierungsenergie für Wasserstoff
3. Es kann Atome mit zwei oder mehr Elektronen nicht behandeln, etwa Helium
4. Es kann die Balmer-Serie nicht erklären
Antwort zeigen
Antwort: C. Es kann Atome mit zwei oder mehr Elektronen nicht behandeln, etwa Helium
Das Bohr-Modell reproduziert die Niveaus, die Ionisierungsenergie und die Balmer-Linien des Wasserstoffs, scheitert aber, sobald die Elektronen miteinander wechselwirken, wie beim Helium.

$E$	Energie des Atoms, gemessen von der Ionisationsgrenze $E = 0$ (gestrichelte Linie).	$J$
$n$	Nummer des Niveaus: $n = 1$ ist der Grundzustand.
$\to$	Ein Sprung zwischen zwei Niveaus, wie $3 \to 2$ : Das Elektron fällt vom ersten auf das zweite, und ein Photon verlässt das Atom.

$a$	Größe des Bereichs, der das Elektron hält: wie nahe es am Proton gehalten wird.	$m$
$E$	Energie des Elektrons.	$J$
$K$	Durch den Einschluss erzwungene kinetische Energie des Elektrons, mindestens etwa $ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ .	$J$
$U$	Potentielle Energie der Anziehung, etwa $- k e^{2} / a$ .	$J$
$K + U$	Gesamtenergie $E (a)$ des Elektrons: kinetisch plus potentiell.	$J$
$a_{0}$	Größe, bei der die Gesamtenergie am niedrigsten ist: der Bohr-Radius, etwa $0, 053 nm$ .	$m$
$E (a_{0})$	Tiefster Wert der Gesamtenergie, $- k e^{2} / (2 a_{0}) \approx - 13, 6 eV$ .	$J$

$e$	Größe der Elementarladung: Der Kern trägt $+ e$ , das Elektron $- e$ .	$C$
$F$	Coulomb-Kraft auf das Elektron, zum Kern zeigend.	$N$
$v$	Geschwindigkeit des Elektrons, entlang des Kreises.	$m/s$
$r_{n}$	Radius der Bahn: der Abstand vom Kern zum Elektron.	$m$
$λ$	Wellenlänge der Welle des Elektrons; eine Wellenlänge ist der Bogen von einem Wellenberg zum nächsten.	$m$
$n$	Nummer der Bahn; $n$ Wellenlängen passen um sie, hier $n = 3$ .

$r$	Abstand vom Kern.	$m$
$P$	Wahrscheinlichkeitsdichte: die Chance pro Abstandseinheit, das Elektron im Abstand $r$ zu finden, $P = 4 r^{2} e^{- 2 r / a_{0}} / a_{0}^{3}$ .	$m^{- 1}$
$a_{0}$	Bohr-Radius: der Abstand, bei dem $P$ am größten ist.	$m$
$\overset{r}{ˉ}$	Mittlerer Abstand des Elektrons vom Kern, $1, 5 a_{0}$ .	$m$