Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz

Einsteiger

Ein elektrischer Stromkreis ist eine geschlossene Schleife, auf der sich Ladung bewegen kann: eine Batterie, einige Leitungen und etwas, das Energie verbraucht, etwa eine Glühlampe. Unterbrichst du die Schleife irgendwo, zum Beispiel mit einem Schalter, hört der Fluss überall gleichzeitig auf.

Schritt 1: die Batterie. Chemische Reaktionen in ihr halten einen Pol positiv und den anderen negativ. Sie erzeugt keine Ladung (die Leitungen sind schon voll davon); sie schiebt diese Ladung durch die Schleife. Ihre Spannung sagt dir, wie viel Energie jedes Coulomb von einem Pol zum anderen trägt: Eine 9-V-Batterie gibt jedem Coulomb 9 Joule.

Schritt 2: Widerstand. Eine Glühlampe oder ein Widerstand macht es der Ladung schwerer, durchzukommen, wie eine enge Stelle in einem Wasserrohr. Mehr Antrieb ergibt mehr Strom; mehr Widerstand ergibt weniger. Also gilt Strom = Spannung ÷ Widerstand (ohmsches Gesetz). In der Animation fügt der lila Schieber Widerstand hinzu: Die orangen Punkte werden überall im Kreis langsamer, nicht nur im Widerstand, und die Lampe wird dunkler.

Schritt 3: ein Weg (Reihenschaltung). Wenn Teile hintereinander angeordnet sind, fließt durch jedes derselbe Strom, ihre Widerstände addieren sich, und sie teilen sich die Spannung der Batterie. Wenn eine Lampe in einer Reihenschaltung durchbrennt, ist die Schleife offen und alle Lampen gehen aus.

Schritt 4: mehrere Wege (Parallelschaltung). Wenn jedes Teil einen eigenen Zweig an der Batterie hat, bekommt jedes die volle Spannung und arbeitet für sich. So sind Wohnungen verdrahtet: Wenn du eine Lampe ausschaltest, stoppt der Kühlschrank nicht.

Die Punkte bewegen sich überall im gleichen Tempo: Ladung wird nicht verbraucht. Die Lampe nimmt den Ladungen Energie ab, nicht die Ladungen selbst.

Kontrolle: Eine 6-V-Batterie treibt einen Strom durch einen 3-Ω-Widerstand. Wie groß ist der Strom? (Antwort: 2 A.)

Mittelstufe

Strom, Spannung und Widerstand

Ein Stromkreis ist ein geschlossener Weg aus Leitern, der bereits voller beweglicher Ladungen ist (freie Elektronen in einem Metall); die Batterie liefert sie nicht, sondern hält sie in Bewegung. Der Strom $I$ ist die Ladung, die pro Sekunde einen Punkt passiert, $I=Q/t$, in Ampere: $1\mathrm{A}=1C/s$. Per Konvention fließt er so, wie positive Ladung fließen würde, vom Pluspol über den Kreis zum Minuspol, wie es die Punkte in der Animation zeigen; die Elektronen im Metall driften in die Gegenrichtung, was denselben Strom ergibt.

Die Spannung $V$ zwischen zwei Punkten ist die Energie, die jedes Coulomb dazwischen gewinnt oder verliert ($1\mathrm{V}=1J/C$): eine Differenz des elektrischen Potenzials $\phi$, wie ein Höhenunterschied. Die Energie pro Coulomb, die eine Batterie liefert, ist ihre elektromotorische Kraft (EMK) $\epsilon$; die 12-V-Batterie der Animation gibt jedem Coulomb 12 J. Der Widerstand $R$, in Ohm ($1\Omega =1V/A$), ist die Spannung, die pro Ampere nötig ist. Zum Messen wird ein Amperemeter in Reihe und ein Voltmeter parallel geschaltet.

Ohmsches Gesetz

Bei einem Metall mit konstanter Temperatur ist der Strom proportional zur Spannung. Das ohmsche Gesetz schreibt das als
$V=IR$
mit konstantem $R$: Verdoppelst du die Spannung, verdoppelt sich der Strom. Das Diagramm von $V$ gegen $I$ ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung $R$, und solche Bauteile heißen ohmsch. Eine Glühlampe ist es nicht, weil ihr Widerstand beim Erhitzen etwa auf das Zehnfache steigt, und auch eine Diode nicht, die nur in eine Richtung leitet.

Der Widerstand eines gleichmäßigen Drahtes wächst mit seiner Länge $L$ und sinkt mit seiner Querschnittsfläche $A$:
$R=\frac{\rho L}{A}$
wobei der spezifische Widerstand $\rho$ vom Material abhängt. Für Kupfer gilt $\rho =1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, also hat ein Meter Draht mit 1 mm² nur 0,017 Ω: Verbindungsdrähte kann man neben einer 10-Ω-Lampe meist als widerstandsfrei behandeln.

Reihen-, Parallelschaltung, Leistung

In Reihe geschaltete Bauteile liegen hintereinander auf einem einzigen Weg, führen also denselben Strom, und ihre Spannungen addieren sich: $I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$. Parallel geschaltete Bauteile liegen an denselben zwei Punkten, teilen sich also dieselbe Spannung, und ihre Ströme addieren sich. Jeder Zweig ist ein weiterer Weg; deshalb addieren sich die Leitwerte $G=1/R$, in Siemens (S), und die Gruppe leitet besser als jeder einzelne Zweig:

• $R_{\mathrm{series}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Für zwei parallele Widerstände ergibt das $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$, weniger als der kleinere. Ein größeres Netzwerk wird Schritt für Schritt vereinfacht: Jede Reihenkette oder Parallelgruppe wird durch ihren Ersatzwiderstand ersetzt. Schließlich gibt jedes Coulomb, das eine Spannung $V$ durchläuft, $V$ Joule ab, und $I$ Coulomb fließen pro Sekunde; die Leistung in Watt ist also
$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$
In Reihe, wo $I$ geteilt wird, nimmt der größere Widerstand mehr Leistung auf; parallel, wo $V$ geteilt wird, nimmt der kleinere mehr auf.

Durchgerechnetes Beispiel: der Kreis aus der Animation

Die Batterie hat $\epsilon =12\mathrm{V}$, die Lampe $R_B=10\Omega$, als ohmsch behandelt; der lila Schieber bewegt den Schiebewiderstand alle 8 s von 5 Ω auf 20 Ω und zurück. Zu Beginn, mit $R=5\Omega$,
$I=\frac{\epsilon }{R+R_B}=\frac{12}{5+10}=0,80\mathrm{A}$
$V_R=0,80\cdot 5=4,0\mathrm{V},V_B=0,80\cdot 10=8,0\mathrm{V}$

Das sind die Anzeigen für $I$, $V_R$ und $V_B$, und die Abfälle ergeben zusammen 12 V. Die Lampe setzt $P_B=8,0\cdot 0,80=6,4\mathrm{W}$ um, der Schiebewiderstand 3,2 W, zusammen die $\epsilon I=9,6\mathrm{W}$, die die Batterie liefert. Auf halber Strecke des Zyklus, bei $R=20\Omega$, ist der Strom $12/30=0,40\mathrm{A}$, $V_R=8,0\mathrm{V}$ und $V_B=4,0\mathrm{V}$. Die Anteile haben sich vertauscht: In Reihe bekommt jedes Bauteil einen Anteil der Spannung proportional zu seinem Widerstand. Die Leistung der Lampe sinkt auf ein Viertel, auf 1,6 W, und ihr Leuchten wird schwächer.

Die beiden roten $I$-Pfeile, auf dem oberen Draht kurz vor der Lampe und auf dem unteren Draht danach, haben immer die gleiche Länge: Die Lampe nimmt den Ladungen Energie ab, nicht die Ladungen selbst. Die Punkte werden im ganzen Kreis gleichzeitig langsamer, nicht nur im Schiebewiderstand.

Beispiel: Scheinwerfer an einer Autobatterie

Die beiden Scheinwerfer eines Autos, je 2,4 Ω im heißen Zustand, liegen parallel an der 12-V-Batterie. Welcher Strom fließt, und was ändert sich, wenn zusätzlich die 1,2-Ω-Heckscheibenheizung eingeschaltet wird?

An jeder Lampe liegen die vollen 12 V an; sie zieht also $12/2,4=5,0\mathrm{A}$ und setzt $12\cdot 5,0=60\mathrm{W}$ um; zusammen ziehen sie 10 A, wie ein einziger 1,2-Ω-Widerstand. Die Heizung fügt einen dritten Zweig mit $12/1,2=10\mathrm{A}$ hinzu, also liefert die Batterie jetzt 20 A, und tatsächlich
$\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{2,4}+\frac{1}{2,4}+\frac{1}{1,2}=\frac{1}{0,60\Omega }$
ergibt $12/0,60=20\mathrm{A}$.

Idealerweise merken die Lampen die Heizung nicht. In der Praxis werden sie etwas dunkler: Der kleine Innenwiderstand $r$ der Batterie, etwa 0,02 Ω, kostet bei 20 A $20\cdot 0,02=0,4\mathrm{V}$, und etwa 3 V, wenn der Anlasser etwa 150 A zieht; deshalb werden die Lampen beim Starten des Motors dunkler.

Das Potenzial entlang der Schleife verfolgen

Nimm den Minuspol als Nullpotenzial und folge dem Strom: Das Potenzial springt in der Batterie um 12 V nach oben, bleibt entlang der Leitungen fast konstant, fällt im Schiebewiderstand um $V_R$ und in der Lampe um $V_B$ und ist wieder bei null. Der Sprung nach oben und die beiden Sprünge nach unten heben sich auf, also gilt $V_R+V_B=\epsilon$, die Reihenregel aus der Animation.

Zwei Regeln verallgemeinern das auf jedes Netzwerk. An einem Knoten sammelt sich keine Ladung an; zählt man zufließende Ströme als positiv und abfließende als negativ, gilt
$\sum I=0\text{at a junction}$
Und einmal um eine geschlossene Masche herum sind die durchlaufenen EMKs gleich den Abfällen in den Widerständen, jeweils mit dem Vorzeichen der Durchlaufrichtung:
$\sum \epsilon =\sum IR\text{around a loop}$

Das sind die Kirchhoffschen Regeln; sie drücken die Erhaltung der Ladung und der Energie aus. Für die Schleife der Animation liefert die zweite zu Beginn $12=5I+10I$, wieder die 0,80 A.

Häufige Fehler

• Eine Lampe verbraucht keinen Strom: 0,80 A gehen hinein und 0,80 A kommen heraus. Sie verbraucht Energie, 8 J aus jedem Coulomb.
• Eine Batterie gibt eine nahezu feste Spannung, keinen festen Strom: Dieselben 12 V treiben 0,80 A durch 15 Ω, aber 0,40 A durch 30 Ω.
• Ein parallel hinzugefügter Widerstand senkt den Gesamtwiderstand und erhöht den Batteriestrom: Zwei parallele 10-Ω-Lampen ergeben 5 Ω, nicht 20 Ω.
• Elektronen rasen nicht durch den Kreis: Bei 0,80 A in einem Kupferdraht mit 1 mm² driften sie mit etwa 0,06 mm/s, fast fünf Stunden pro Meter. Die Lampe leuchtet sofort, weil der Antrieb alle innerhalb von Nanosekunden erreicht.
• Ein Kurzschluss bedeutet einen riesigen Strom, nicht keinen: An einer Autobatterie mit 0,02 Ω im Innern gilt $12/0,02=600\mathrm{A}$, genug, um einen dünnen Draht zu schmelzen.

Wo du Stromkreisen begegnest

Eine Taschenlampe ist eine Zelle, ein Schalter und eine Lampe in Reihe; ein Haus ist parallel verdrahtet, sodass jedes Gerät die volle Netzspannung bekommt und sich selbst einschaltet. Lautstärkeregler und Tankanzeigen sind Schiebewiderstände oder Spannungsteiler, und Dehnungsmessstreifen und Thermistoren sind Widerstände, deren $R$ sich mit Kraft oder Temperatur ändert. Dieselben Regeln stehen hinter dem $RC$-Laden in Kondensatoren und kehren wieder in Elektrische Leistung und Energie im Haushalt (Kilowattstunden und Sicherungen) sowie in Magnetfelder von Magneten und Strömen.

Fortgeschritten

Von Feldern zu konzentrierten Elementen

Die Schaltungstheorie ist eine bewusste Vereinfachung, und es lohnt sich, genau zu wissen, was sie weglässt. Eine funktionierende Schaltung ist voller elektrischer und magnetischer Felder, dennoch beschreiben wir sie mit einer Handvoll Zahlen. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese Reduktion funktioniert und wann sie erlaubt ist.

Das durchgehende Beispiel ist die Schaltung der Animation: eine 12-V-Batterie, ein Schiebewiderstand (ein Widerstand, dessen Wert verändert werden kann) und eine Lampe, alle in einer Schleife. Der Widerstand $R$ des Schiebewiderstands schwankt alle 8 Sekunden zwischen 5 Ω und 20 Ω, und die Lampe wird als fester Widerstand $R_B=10\Omega$ behandelt.

Jedes Element, ob Zelle, Widerstand oder Lampe, wird als Kasten mit zwei Klemmen $a$ und $b$ behandelt. Was im Innern geschieht, wird ignoriert; wichtig sind nur der Strom $I$ durch das Element und die Spannung zwischen seinen Klemmen,
$V_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
wobei $\phi$ das elektrische Potenzial und $\vec{E}$ das elektrische Feld ist. Damit dies eine einzige Zahl ist, darf das Integral nicht vom Weg von $a$ nach $b$ abhängen. Das gilt, solange das Feld außerhalb des Elements elektrostatisch ist, denn das Integral eines solchen Feldes über eine geschlossene Schleife ist null; zwei Wege mit denselben Enden ergeben also dasselbe Ergebnis. Alle Details im Innern, das Feldmuster in einem Widerstand oder die Chemie einer Zelle, sind in einer Zahl pro Element verdichtet: einem Widerstand $R$ oder einer EMK $\epsilon$.

Zwei Bedingungen machen diese konzentrierte Beschreibung exakt. Erstens darf kein sich ändernder magnetischer Fluss den Raum zwischen den Elementen durchsetzen; sonst fügt das Faradaysche Gesetz eine induzierte EMK hinzu, und $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ ist dort nicht mehr null. Zweitens darf sich nirgends Ladung ansammeln, sodass der Strom, der in ein Element hineinfließt, gleich dem ist, der herausfließt. Eine Gleichstromschaltung erfüllt beide, sobald der kurze Einschwingvorgang nach dem Schalten abgeklungen ist.

Eine Frage bleibt: Wie weiß das Feld, jeder Biegung des Drahtes zu folgen? Es wird von Ladungen auf den Oberflächen der Leitungen und Bauteile erzeugt, die sich innerhalb von Nanosekunden nach dem Schließen des Schalters umordnen, bis das Feld im Innern jedes Drahtes entlang ihm zeigt. In Kupfer ist das nötige Feld winzig. Nimm den größten Strom der Animation, 0,80 A, in einem Draht mit 1 mm² Querschnitt. Die Stromdichte, der Strom pro Flächeneinheit, ist $J=0,80/10^{-6}=8\times 10^{5}A/{\mathrm{m}}^2$. Der spezifische Widerstand von Kupfer $\rho$, das Feld, das pro Stromdichte nötig ist, beträgt $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, also
$E=\rho J=1,7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0,014V/m$
Jeder Meter Draht verbraucht nur etwa 0,014 V, sodass fast alle 12 V am Schiebewiderstand und an der Lampe abfallen.

Die Kirchhoffschen Regeln aus Erhaltungssätzen

Zwei Regeln lösen jede Gleichstromschaltung, und jede ist im Grunde ein Erhaltungssatz: Die Knotenregel drückt die Erhaltung der Ladung aus, die Maschenregel die Erhaltung der Energie. Zu sehen, woher sie kommen, zeigt auch, wann sie versagen würden.

Sei $\vec{J}$ die Stromdichte: ein Vektor entlang des Flusses, dessen Betrag der Strom pro Flächeneinheit in A/m² ist. Der Strom, der eine geschlossene Oberfläche verlässt, ist $\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}$, wobei $d\vec{A}$ ein kleines nach außen zeigendes Flächenstück ist. Ladung wird weder erzeugt noch vernichtet, daher ist dieser Abfluss gleich der Rate, mit der die Ladung im Innern abnimmt. Im stationären Zustand bleibt die Ladung im Innern konstant, also
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=0$
Nun zieh die Oberfläche eng um einen Knoten. Nur die Drähte durchstoßen sie, jeder trägt seinen Strom bei, und das Ergebnis ist die Knotenregel $\sum I=0$, wobei abfließende Ströme positiv und zufließende negativ gezählt werden.

Die Maschenregel braucht noch eine Zutat. Ein rein elektrostatisches Feld allein kann keine Ladung im Kreis umlaufen lassen, denn sein Integral über eine Schleife ist null: Es leistet auf einem Teil der Schleife genauso viel Arbeit gegen die Ladungen, wie es auf einem anderen für sie leistet. In einer Zelle wirkt eine zweite, nichtelektrostatische Kraft. Nenne sie $\vec{f}$, die Kraft pro Ladungseinheit; sie ist chemischen Ursprungs und schiebt Ladung vom Minuspol zum Pluspol, gegen das elektrostatische Feld. Ihr Integral über die Zelle ist die EMK,
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
die Arbeit, die sie an jedem Coulomb verrichtet, das hindurchfließt. In einer idealen Zelle ohne Innenwiderstand heben sich $\vec{f}$ und das elektrostatische Feld im Innern auf, sodass die EMK gleich der Spannung zwischen den Polen ist.

Außerhalb der Zellen wirkt nur das elektrostatische Feld, und $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ bedeutet, dass das Potenzial an jedem Punkt einen einzigen Wert hat: Starte irgendwo, geh einmal um die Schleife herum, und du kommst beim gleichen Potenzial an. Die Anstiege an den Zellen müssen daher die Abfälle an allem anderen ausgleichen. Das ist die Maschenregel, eine Energiebilanz für jedes Coulomb, das einmal umläuft.

Ein Widerstand braucht ein eigenes Gesetz, und es kommt aus dem Material. Lokal gilt $\vec{J}=\sigma \vec{E}$, wobei $\sigma$ die Leitfähigkeit und $\rho =1/\sigma$ der spezifische Widerstand ist. In einem gleichmäßigen Draht der Länge $L$ und Querschnitt $A$ ist das Feld gleichförmig, sodass die Spannung $V=EL$ und der Strom $I=JA=\sigma EA$ betragen. Eliminiert man $E$, ergibt sich das ohmsche Gesetz $V=IR$ mit $R=\rho L/A$.

Wende die Regeln nun auf die animierte Schleife an. Sie hat keine Zweige, also fließt überall ein Strom $I$. Auf dem Weg herum hebt die Batterie das Potenzial um $\epsilon$, und der Schiebewiderstand und die Lampe senken es um $IR$ bzw. $I{R}_B$:
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
Mit $\epsilon =12\mathrm{V}$ und $R_B=10\Omega$ liegt der Strom zwischen 0,80 A bei $R=5\Omega$ und 0,40 A bei $R=20\Omega$.

Die bekannten Kombinationsregeln folgen sofort. Elemente in Reihe teilen sich einen Strom, daher addieren sich ihre Spannungen und ebenso ihre Widerstände. Parallel geschaltete Elemente teilen sich eine Spannung, daher addieren sich ihre Ströme und ebenso die Kehrwerte ihrer Widerstände.

Bei einem größeren Netzwerk liefern die Regeln immer genügend Gleichungen. Angenommen, es ist zusammenhängend und hat $n$ Knoten und $b$ Zweige, wobei ein Zweig ein Stück Schaltung zwischen zwei Knoten mit eigenem Strom ist; dann gibt es $b$ unbekannte Ströme. Die Knotenregel liefert $n-1$ unabhängige Gleichungen (die letzte ist die Summe der anderen, da jeder Zweigstrom einen Knoten verlässt und in einen anderen eintritt), und die Maschenregel liefert eine für jede der $b-n+1$ unabhängigen Schleifen: insgesamt genau $b$ Gleichungen.

Die Masche im V–I-Diagramm lösen

Ein Graph kann die Masche ohne Algebra lösen, und er funktioniert auch dann, wenn ein Bauteil dem ohmschen Gesetz nicht gehorcht. Die Idee: Man zeichnet auf denselben Achsen, was die Lampe zulässt und was der Rest der Schaltung zulässt.

Legende

$I$	Strom durch die Lampe, überall in der Schleife derselbe.	$\mathrm{A}$
$V_B$	Spannung an der Lampe.	$\mathrm{V}$
$\epsilon$	EMK der Batterie: dort, wo jede Lastgerade die Spannungsachse trifft.	$\mathrm{V}$
$R_B$	Widerstand der Lampe: die Steigung ihrer Geraden.	$\Omega$
$R_1$	Schiebewiderstand am unteren Ende seines Bereichs: eine flache Lastgerade mit der Steigung $-R_1$, die die Stromachse bei $\epsilon /R_1$ erreicht.	$\Omega$
$R_2$	Schiebewiderstand am oberen Ende seines Bereichs: eine steilere Lastgerade mit der Steigung $-R_2$.	$\Omega$

Abbildung 1 hat den Strom $I$ auf der waagerechten Achse und die Spannung der Lampe $V_B$ auf der senkrechten. Die eigene Regel der Lampe, $V_B=R_{B}I$, ist die Gerade durch den Ursprung mit der Beschriftung $R_B$; ihre Steigung ist $R_B=10\Omega$. Jeder Zustand, den die Lampe annehmen kann, liegt auf dieser Geraden. (Im Expertenteil der Animation ist dieselbe Linie gestrichelt gezeichnet, und ein Punkt gleitet auf ihr zwischen (0,40 A, 4,0 V) und (0,80 A, 8,0 V).)

Der Rest der Schaltung, Batterie und Schiebewiderstand zusammen, stellt eine zweite Forderung. Von der Lampe aus gesehen liefert die Batterie $\epsilon$, und der Schiebewiderstand nimmt davon $IR$, sodass der Rest an der Lampe anliegt:
$V_B=\epsilon -RI$
Das ist die Lastgerade. Sie beginnt auf der Spannungsachse am Punkt mit der Beschriftung $\epsilon$, 12 V: Ohne Strom gibt es keinen Abfall am Schiebewiderstand, und die Lampe spürt die volle EMK. Dann fällt sie mit der Steigung $-R$ und erreicht die Stromachse bei $\epsilon /R$, dem Strom, den die Batterie treiben würde, wenn die Lampe durch einen Draht ersetzt wäre.

Die Lampe muss ihrer Geraden gehorchen und die Schaltung der Lastgeraden, daher ist der tatsächliche Zustand der Schaltung, ihr Arbeitspunkt, dort, wo sich beide kreuzen. Setzt man beide gleich, $R_{B}I=\epsilon -RI$, ergibt sich genau die Maschenregel: Bild und Algebra lösen dieselbe Gleichung.

Nun verfolge den Schiebewiderstand. Die Abbildung zeichnet die Lastgerade für die beiden Enden seines Bereichs, $R_1=5\Omega$ und $R_2=20\Omega$, und der schraffierte Fächer dazwischen enthält alle Zwischenstellungen. Wenn $R$ von $R_1$ auf $R_2$ wächst, dreht sich die Lastgerade um ihr festes Ende bei $\epsilon$ und schwenkt nach unten: von der flachen Geraden $R_1$, die die Stromachse bei 2,4 A erreichen würde, zur steilen Geraden $R_2$, die bei 0,60 A endet. Ihr Schnittpunkt mit der Geraden der Lampe wandert von Punkt 1, bei (0,80 A, 8,0 V), zu Punkt 2, bei (0,40 A, 4,0 V), nach unten.

Die Methode zeigt ihre wahre Stärke bei nichtohmschen Bauteilen. Die Kurve einer echten Glühlampe biegt sich beim Erhitzen nach oben, und die einer Diode hat einen scharfen Knick; keines von beiden hat einen einzigen Widerstand, daher gilt die Formel für $I$ nicht mehr. Der Schnittpunkt mit der Lastgeraden ist trotzdem die Antwort, grafisch oder numerisch gefunden.

Die Leistung der Lampe über einen Zyklus

Die Helligkeit der Lampe folgt ihrer Leistung, und der Graph der Leistung gegen die Zeit in der Animation enthält eine Überraschung. Mit $I=\epsilon /(R+R_B)$ erhält die Lampe
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
was von 6,4 W bei $R=5\Omega$ auf 1,6 W bei $R=20\Omega$ abfällt.

Der Schiebewiderstand folgt einer Kosinusfunktion, $R=12,5-7,5\cos (2\pi t/T)$ in Ohm, mit der Periode $T=8\mathrm{s}$, aber die Leistung ist keine Kopie davon. Weil $P_B$ mit dem Kehrwert des Quadrats von $R+R_B$ geht, fällt sie von ihrem Maximum schnell ab und verweilt nahe ihrem Minimum. Bei $t=2\mathrm{s}$ steht der Schiebewiderstand auf halbem Weg, bei 12,5 Ω, doch $P_B=12^2\cdot 10/22,5^2\approx 2,8\mathrm{W}$, nicht die 4,0 W in der Mitte zwischen den Extremen, und sie bleibt etwa zwei Drittel jedes Zyklus unter 4 W. Die Fläche unter der Kurve, etwa 27 J pro 8-s-Zyklus, ist die Energie, die die Lampe in Wärme und Licht umwandelt.

Netzwerke und das Thévenin-Theorem

Ein großes Netzwerk wäre hoffnungslos zu analysieren, wenn jede Änderung einen Neubeginn erforderte. Linearität hilft: Sie erlaubt, ein ganzes Netzwerk durch zwei Zahlen zu ersetzen.

Mit ohmschen Elementen sind alle Kirchhoff-Gleichungen linear in den Strömen und EMKs. Daraus folgen zwei Konsequenzen. Die erste ist das Superpositionsprinzip: Die Ströme, die mehrere zusammenwirkende Quellen erzeugen, sind die Summen der Ströme, die jede Quelle allein erzeugen würde. Die zweite ist das Thévenin-Theorem: Jedes Netzwerk aus Quellen und Widerständen verhält sich von zwei seiner Klemmen aus gesehen genau wie eine EMK ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ in Reihe mit einem Widerstand $R_{\mathrm{Th}}$. Der Grund: Wegen der Linearität ist die Spannung an den Klemmen eine lineare Funktion des entnommenen Stroms, $V={\epsilon }_{\mathrm{Th}}-R_{\mathrm{Th}}I$, und eine Gerade braucht nur einen Achsenabschnitt und eine Steigung.

Beide Zahlen sind leicht zu finden. Die EMK ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ ist die Spannung an den offenen Klemmen, wenn kein Strom entnommen wird. Der Widerstand $R_{\mathrm{Th}}$ ist der Widerstand zwischen den Klemmen, wenn jede ideale EMK durch einen Draht ersetzt ist.

Maximale Leistung aus einer Quelle

Welcher Verbraucher nimmt einer gegebenen Quelle die meiste Leistung ab? Die Antwort, Leistungsanpassung genannt, ist wichtig, von Radioempfängern bis zur Animation selbst. Die einfachste reale Quelle ist eine Batterie: eine ideale EMK $\epsilon$ in Reihe mit einem Innenwiderstand $r$, bereits in Thévenin-Form. Ein Strom $I$ lässt ihre Klemmenspannung auf $\epsilon -Ir$ absinken. Ein Verbraucher $R$ führt $I=\epsilon /(R+r)$ und erhält daher
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

Legende

$R$	Widerstand des Verbrauchers.	$\Omega$
$P$	Leistung, die der Verbraucher aus der Quelle aufnimmt.	$\mathrm{W}$
$r$	Innenwiderstand der Quelle; der Gipfel liegt bei $R=r$.	$\Omega$
$P_{\max }$	Höchste Leistung, die die Quelle an einen Verbraucher abgeben kann, ${\epsilon }^2/(4r)$.	$\mathrm{W}$
$R_1$	Ein Verbraucher kleiner als $r$.	$\Omega$
$R_2$	Ein Verbraucher größer als $r$, mit $R_1{R}_2=r^2$; er nimmt dieselbe Leistung auf wie $R_1$.	$\Omega$

Abbildung 2 trägt diese Leistung $P$ gegen den Verbraucher $R$ auf. Schau zuerst auf die beiden Enden. Bei $R=0$ ist der Verbraucher ein Kurzschluss: Der Strom ist am größten, $\epsilon /r$, aber an dem Verbraucher liegt keine Spannung, er nimmt also nichts auf. Für $R\to \infty$ nähert sich die Spannung am Verbraucher $\epsilon$, doch der Strom verschwindet und die Leistung fällt wieder auf null. Dazwischen steigt die Kurve steil zu einem einzigen Gipfel $P_{\max }$ an und fällt dann langsam ab.

Um den Gipfel zu finden, differenziere mit der Quotientenregel:
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
Das ist positiv unterhalb von $R=r$, null bei $R=r$ und negativ darüber, also liegt der Gipfel bei $R=r$, auf der Achse von Abbildung 2 markiert. Dort ist $I=\epsilon /(2r)$ und
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
zugleich geht dieselbe Menge, $I^{2}r$, im Innern der Quelle verloren: Bestenfalls erreicht die Hälfte der Energie den Verbraucher. Anpassung eignet sich für schwache Signale, etwa wenn eine Antenne einen Empfänger speist und jedes bisschen Leistung zählt. Energieversorgungsnetze tun das Gegenteil und halten $R$ weit über $r$, denn der Wirkungsgrad, der Anteil der Ausgangsleistung, der den Verbraucher erreicht, beträgt $R/(R+r)$, bei Anpassung nur die Hälfte.

Die Kurve hat außerdem eine weniger offensichtliche Eigenschaft: Gleiche Leistungen kommen paarweise vor. Teile Zähler und Nenner von $P$ durch $R$:
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
Ersetzt man $R$ durch $r^2/R$, vertauschen sich nur der erste und der letzte Term des Nenners, also bleibt $P$ unverändert. Zwei Verbraucher mit $R_1{R}_2=r^2$ nehmen deshalb gleiche Leistung auf. In Abbildung 2 sind das die beiden Punkte auf der gestrichelten Niveaulinie, $R_1$ unterhalb von $r$ und $R_2$ oberhalb um denselben Faktor, $r/R_1=R_2/r$.

Diese Symmetrie ist in der Animation verborgen. Betrachte die Schaltung von den beiden Klemmen des Schiebewiderstands aus. Nach Thévenin sind die Batterie und die Lampe in Reihe eine Quelle von 12 V hinter $R_{\mathrm{Th}}=R_B=10\Omega$, also ist der Schiebewiderstand der Verbraucher $R$ aus Abbildung 2 mit $r=10\Omega$. Seine Leistung $I^{2}R$ erreicht ihr Maximum bei $12^2/(4\cdot 10)=3,6\mathrm{W}$, wenn der Schieber 10 Ω passiert, und sie beträgt 3,2 W an beiden Enden des Bereichs, 5 Ω und 20 Ω, weil $5\cdot 20=10^2$. Während sich die Leistung der Lampe um den Faktor vier ändert, bleibt die des Schiebewiderstands zwischen 3,2 und 3,6 W.

Aufgabe: zwei Lampen an einem Schiebewiderstand

Nun wende diese Werkzeuge auf eine Frage mit überraschender Antwort an. Zwei identische Lampen teilen sich einen Schiebewiderstand und eine Batterie: Sollen sie parallel oder in Reihe geschaltet werden, um am hellsten zu leuchten?

Legende

$\epsilon$	EMK der Batterie.	$\mathrm{V}$
$R$	Widerstand des Schiebewiderstands.	$\Omega$
$R_B$	Widerstand einer Lampe; die beiden sind gleich.	$\Omega$
$\phi$	Potenzial des Drahts über den Lampen, gemessen vom Minuspol der Batterie.	$\mathrm{V}$
$I$	Strom von der Batterie durch den Schiebewiderstand.	$\mathrm{A}$
$I_B$	Strom in einer Lampe: die Hälfte von $I$, da die Lampen identisch sind.	$\mathrm{A}$

Abbildung 3 zeigt die Parallelversion: die 12-V-Batterie $\epsilon$, den Schiebewiderstand $R$ im oberen Draht, auf 5 Ω eingestellt, und zwei identische 10-Ω-Lampen $R_B$ nebeneinander zwischen oberem und unterem Draht. Nimm den Minuspol der Batterie, markiert mit dem Erdsymbol, als Nullpunkt des Potenzials, und sei $\phi$ das Potenzial des Drahts, der den Schiebewiderstand mit den Lampen verbindet, am Knoten mit der Beschriftung $\phi$. Ein Verbindungsdraht hat keinen Widerstand, also liegt der ganze Draht auf $\phi$ und der ganze untere Draht auf 0. Jede Lampe liegt daher an $\phi$ und führt den Strom $I_B=\phi /R_B$.

Der Strom $I$ aus der Batterie fließt durch den Schiebewiderstand, an dem $\epsilon -\phi$ anliegt, also $I=(\epsilon -\phi )/R$. Am Knoten teilt sich $I$ in die beiden Lampenströme, also $I=2I_B$ nach der Knotenregel. Mit den Zahlen:
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6,0\mathrm{V}$
da die rechte Seite $\phi /5$ ist, was $12-\phi =\phi$ ergibt.

Also treibt die Batterie $I=6,0/5=1,2\mathrm{A}$, und jede Lampe nimmt 0,60 A bei 6,0 V auf, das sind 3,6 W, gegenüber 6,4 W für eine einzelne Lampe bei derselben Einstellung. Die Batterie liefert $12\cdot 1,2=14,4\mathrm{W}$, und der Schiebewiderstand nimmt davon $1,2^2\cdot 5=7,2\mathrm{W}$, genau die Hälfte. Thévenin erklärt diese Hälfte: Von den Lampen aus gesehen ist die Quelle 12 V hinter 5 Ω, und das Parallelpaar, ebenfalls 5 Ω, ist ein angepasster Verbraucher, der das Maximum aufnimmt, $12^2/(4\cdot 5)=7,2\mathrm{W}$. In Reihe ergeben die Lampen 20 Ω, führen $12/25=0,48\mathrm{A}$ und bekommen jeweils nur $0,48^2\cdot 10\approx 2,3\mathrm{W}$. Parallel gewinnt.

Bei 20 Ω Schiebewiderstand kehren sich die Rollen um. Parallel gilt $I=12/25=0,48\mathrm{A}$, jede Lampe führt 0,24 A und bekommt $0,24^2\cdot 10\approx 0,58\mathrm{W}$. In Reihe, nun an die Quelle angepasst, gilt $I=12/40=0,30\mathrm{A}$, und jede Lampe bekommt $0,30^2\cdot 10=0,90\mathrm{W}$. Reihe gewinnt. Da identische Lampen sich die Leistung immer gleich teilen, ist die hellere Schaltung einfach die, die insgesamt mehr aufnimmt, diejenige, deren Widerstand im Verhältnis näher am Widerstand der Quelle liegt. Welche Schaltung heller ist, hängt also vom Widerstand der Quelle ab, nicht nur von den Lampen.

Wohin die Energie wirklich fließt

Bisher war Energie Buchhaltung: $P=VI$ sagt, wie viel jedes Bauteil aufnimmt, nicht wie die Energie dorthin gelangt. Die Antwort ist überraschend. Zu Beginn des Zyklus liefert die Batterie $12\cdot 0,80=9,6\mathrm{W}$, und die Lampe bekommt 6,4 W, doch die Elektronen driften mit einem Bruchteil eines Millimeters pro Sekunde: Ein Elektron, das die Batterie verlässt, bräuchte Stunden bis zur Lampe. Die Energie reitet nicht auf den Elektronen mit; sie wandert in den Feldern. Die Oberflächenladungen erzeugen ein elektrisches Feld im Raum um den Kreis, der Strom erzeugt ein Magnetfeld, das die Drähte umkreist, und zusammen tragen sie einen Energiefluss in Watt pro Quadratmeter,
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
wobei ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ist. Dieser Fluss verläuft von der Batterie durch den Raum zwischen den Drähten in den Schiebewiderstand und die Lampe.

Legende

$L$	Länge des Widerstands.	$\mathrm{m}$
$a$	Radius des Widerstands.	$\mathrm{m}$
$I$	Strom durch den Widerstand.	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	Elektrisches Feld direkt außerhalb der Seite: entlang des Stabes, in Stromrichtung.	$V/m$
$\vec{B}$	Magnetfeld des Stroms: Es umkreist den Stab, oberhalb aus der Papierebene heraus und unterhalb hinein.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Energiefluss $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: Er zeigt in den Stab hinein, oben nach unten und unten nach oben.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Abbildung 4 prüft das an einem Widerstand des Kreises: einem Zylinder der Länge $L$ und dem Radius $a$, der den Strom $I$ nach rechts führt. Betrachte die beiden Felder direkt außerhalb seiner Seite und dann ihr Kreuzprodukt.

Das elektrische Feld: Das Potenzial fällt entlang der Länge $L$ gleichmäßig um $V$. Die Komponente des Feldes entlang einer Oberfläche ist direkt innen und direkt außen gleich, daher verläuft auch außerhalb der Seite $\vec{E}$ entlang des Stabes, in Stromrichtung, mit dem Betrag $V/L$. In der Abbildung sind es die Pfeile mit der Beschriftung $\vec{E}$, die oberhalb und unterhalb des Stabes nach rechts zeigen.

Das magnetische Feld: Das Feld des Stroms umkreist den Stab nach der Rechte-Hand-Regel (Daumen in Richtung $I$, die Finger krümmen sich in die Richtung von $\vec{B}$), wie der Ring um den Stab andeutet. An der Oberfläche beträgt sein Betrag ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$. Oberhalb des Stabes kommt $\vec{B}$ aus der Papierebene heraus; unterhalb zeigt $\vec{B}$ in die Papierebene hinein.

Der Fluss: $\vec{S}$ steht senkrecht auf beiden Feldern. Oberhalb des Stabes zeigt $\vec{E}$ nach rechts und $\vec{B}$ aus der Papierebene heraus, also zeigt $\vec{S}$ nach unten, in den Stab hinein. Unterhalb des Stabes ist $\vec{B}$ umgekehrt, also zeigt $\vec{S}$ nach oben, wieder in den Stab hinein. Das gilt rundherum: $\vec{S}$ zeigt von jeder Seite gerade in den Stab hinein. Da $\vec{E}$ und $\vec{B}$ rechtwinklig zueinander stehen, ist sein Betrag
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
Mit der Seitenfläche $2\pi aL$ multipliziert, ist der Zufluss genau $VI$, die Leistung, die der Widerstand umsetzt. Jeder Widerstand nimmt seine Leistung durch seine Oberfläche aus dem umgebenden Raum auf.

Im Innern der Batterie kehrt sich das Bild um. Dort zeigt $\vec{E}$ entgegen der Stromrichtung, von + nach −, während die chemische Kraft die Ladung in die andere Richtung treibt; daher zeigt $\vec{S}$ nach außen, und die Batterie sendet Energie in den umgebenden Raum. Die Drähte leiten die Energie entlang des Kreises; sie tragen sie nicht im Innern des Kupfers.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes Modell hat einen Bereich, in dem es funktioniert, und es lohnt sich zu wissen, wo dieses endet.

Das konzentrierte Bild setzt voraus, dass eine Änderung an einer Stelle der Schaltung überall gleichzeitig spürbar ist. Das gilt, wenn die Schaltung viel kleiner ist als die Wellenlänge $\lambda =c/f$ ihrer Signale, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $f$ die Frequenz ist. Bei 50 Hz Netzfrequenz beträgt $\lambda$ 6000 km, also erfüllt jede Haushaltsschaltung diese Bedingung; bei 1 GHz sind es nur 30 cm, und eine Leiterplatte strahlt und muss mit der Leitungstheorie behandelt werden. Selbst bei Gleichstrom lässt das Modell den Einschwingvorgang außer Acht nach dem Schließen eines Schalters, doch bei der Induktivität einer Laborschleife von etwa einem Mikrohenry würde sich der Strom der Animation innerhalb weniger Zehntel Mikrosekunden einstellen.

Das ohmsche Gesetz ist eine Eigenschaft von Materialien, kein Naturgesetz, wenn auch ein ausgezeichnetes für Metalle bei fester Temperatur. Der Widerstand eines Glühfadens steigt von kalt bis weißglühend etwa auf das Zehnfache, daher zieht eine Lampe beim Einschalten einen Stromstoß; Dioden und Gasentladungen sind überhaupt nicht ohmsch, und ein Supraleiter hat genau unterhalb seiner kritischen Temperatur $R=0$. Auch eine Batterie ist nicht ideal: Ihr Innenwiderstand $r$ wächst mit dem Altern oder bei Kälte.

Im kleinsten Maßstab versagt $R=\rho L/A$ vollständig. Ein Draht, der nur wenige Atome breit ist, leitet in Stufen des Leitwertquants, $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, wobei der Leitwert der Kehrwert des Widerstands ist, in Siemens gemessen. Das sind etwa 12,9 kΩ pro leitendem Kanal, festgelegt durch die Quantenmechanik und nicht durch das Material oder die Länge.

Wohin das führt

Ein Kondensator in der Schleife fügt eine sich ändernde Ladung hinzu, $I=dQ/dt$, und die Maschenregel wird zu einer Differentialgleichung: das exponentielle Laden aus Kondensatoren mit der Zeitkonstante $RC$. Eine Induktivität fügt eine induzierte EMK hinzu, Thema der Elektromagnetischen Induktion, wobei $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$; ein Widerstand, eine Induktivität und ein Kondensator zusammen gehorchen der Gleichung des gedämpften Oszillators aus Dämpfung und Resonanz. Elektrische Leistung und Energie im Haushalt verwandelt $P=VI$ in Kilowattstunden und Sicherungen. Elektrischer Strom und Widerstand, die Lektion davor, erklärt, woher $\rho$ kommt; Halbleiter, Dioden und LEDs behandelt die nützlichsten nichtohmschen Elemente; und Elektromagnetische Wellen zeigt, wie $\vec{S}$ Energie durch den leeren Raum trägt.