Radioaktivität und Halbwertszeit

Einsteiger

Stell dir das Atom vor, das du schon kennst: ein winziger Kern in der Mitte, aus Protonen und Neutronen, mit Elektronen, die ihn umkreisen. Die Protonenzahl ist der Ausweis des Atoms. Sechs Protonen bedeuten immer Kohlenstoff, 92 immer Uran. Chemische Reaktionen ordnen nur die äußeren Elektronen neu, daher können sie diese Zahl nie ändern. Nur eine Änderung im Kern kann das.

Manche Kerne sind instabil: Sie haben zu viel Energie oder eine ungünstige Mischung aus Protonen und Neutronen. Früher oder später stößt so ein Kern ein winziges Teilchen oder einen sehr energiereichen Lichtblitz aus und hinterlässt einen anderen Kern, oft eines anderen Elements. Das ist radioaktiver Zerfall.

Wann passiert das? Rein zufällig. Denk an nachleuchtende Sterne an einer Schlafzimmerdecke: Nachdem die Lampe aus ist, geben ihre Atome das gespeicherte Licht einzeln zu unvorhersehbaren Zeitpunkten ab, sodass das Leuchten allmählich schwindet. Radioaktive Kerne verhalten sich genauso, mit einer Überraschung: Sie altern nie. Ein Kern, der eine Million Jahre gewartet hat, ist dem Zerfall nicht näher als ein ganz neuer.

In der Animation ist jede goldene Scheibe ein Kern. Sie werden einer nach dem anderen grau und schleudern dabei jeweils ein rotes Teilchen aus, und du kannst nicht raten, welcher als Nächster dran ist. Doch die Menge ist vorhersagbar: Jedes Mal, wenn der Zeiger eine volle Umdrehung macht, zerfällt die Hälfte der noch übrigen goldenen Kerne. Nach einer Umdrehung sind 50 übrig, nach zwei 25, nach drei etwa 12. Eine Umdrehung der Uhr ist die Halbwertszeit.

Kontrollfrage: Eine Probe beginnt mit 800 radioaktiven Kernen. Wie viele sind nach drei Halbwertszeiten übrig? Antwort: $800\to 400\to 200\to 100$, also 100 und nicht null.

Halbwertszeiten reichen von einem Sekundenbruchteil bis zu Milliarden Jahren. Die von Kohlenstoff-14, etwa 5700 Jahre, erlaubt Forschenden, altes Holz und alte Knochen zu datieren.

Mittelstufe

Was zerfällt, und was wir zählen

Jeder Kern wird durch zwei ganze Zahlen gekennzeichnet. Die Ordnungszahl $Z$ zählt seine Protonen und legt das Element fest: $Z=6$ ist Kohlenstoff, $Z=92$ Uran. Die Massenzahl $A$ zählt alle seine Nukleonen, also Protonen plus Neutronen; daher hat Kohlenstoff-14, ${}_6^{14}\mathrm{C}$, 6 Protonen und 8 Neutronen. Kerne mit gleichem $Z$, aber unterschiedlichem $A$ sind Isotope eines Elements: Kohlenstoff-12 ist stabil, Kohlenstoff-14 radioaktiv.

In einer Probe verfolgen wir $N$, die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne, ausgehend von $N_0$ zur Zeit $t=0$. Ein Detektor registriert Zerfälle, und die Zerfälle pro Sekunde heißen Aktivität, gemessen in Becquerel (1 Bq ist ein Zerfall pro Sekunde). Der Buchstabe $A$ steht sowohl für die Massenzahl als auch für die Aktivität, also auf den Kontext achten; $N$ zählt immer die unzerfallenen Kerne.

Halbierung in gleichen Zeiten

Ein radioaktiver Kern nutzt sich nicht ab: Egal wie alt er ist, seine Chance, die nächste Halbwertszeit $T_{1/2}$ zu überstehen, ist genau eins zu zwei. In einer großen Probe bleibt daher nach einer Halbwertszeit die Hälfte der Kerne übrig, nach der nächsten die Hälfte davon, und so weiter. Nach $n=t/T_{1/2}$ Halbwertszeiten, ob $n$ eine ganze Zahl ist oder nicht,
$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

Die Chance, pro Sekunde zu zerfallen, ist die Zerfallskonstante $\lambda$, und die Aktivität ist diese Chance mal der Anzahl der vorhandenen Kerne:

• $\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $A=\lambda N$

Also halbiert sich auch die Aktivität in jeder Halbwertszeit. Um einen gemessenen Anteil in eine Zeit umzurechnen, zähle die Halbierungen: $n={\log }_2(N_0/N)$. Eine Probe auf 1/16 ihres Anfangswerts ist also vier Halbwertszeiten alt. Mit $T_{1/2}$ in Sekunden kommt $\lambda$ in ${\mathrm{s}}^{-1}$ heraus und $A$ in Becquerel.

Drei Arten des Zerfalls

Die Legende der Animation nennt drei Strahlungsarten:

• Beim $\alpha$-Zerfall sendet der Kern einen Helium-4-Kern mit 2 Protonen und 2 Neutronen aus, daher sinkt $A$ um 4 und $Z$ um 2. Ein Blatt Papier stoppt diese schweren, doppelt geladenen Teilchen.
• Beim ${\beta }^{-}$-Zerfall wird ein Neutron zu einem Proton, und der Kern sendet ein Elektron und ein Antineutrino aus; daher steigt $Z$ bei gleichem $A$ um 1. Beim ${\beta }^{+}$-Zerfall wird ein Proton zu einem Neutron, und ein Positron wird emittiert, daher sinkt $Z$ um 1. Einige Millimeter Aluminium stoppen $\beta$-Teilchen.
• Bei der $\gamma$-Emission gibt ein angeregter Kern, oft einer, der gerade durch $\alpha$- oder $\beta$-Zerfall entstanden ist, ein energiereiches Photon ab, und $A$ und $Z$ bleiben gleich. Blei stoppt $\gamma$-Strahlen nie ganz: Ein Zentimeter davon halbiert einen Strahl aus 1-MeV-Photonen.

Für den $\alpha$-Zerfall ergibt das Abzählen von Nukleonen und Ladungen
$X(A,Z)\to Y(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}$
sodass Uran-238 ($Z=92$) zu Thorium-234 ($Z=90$) wird. Die Probe der Animation ist ein $\alpha$-Strahler: Jeder goldene Mutterkern $X$, der grau wird, ist zu einem Tochterkern $Y$ geworden, und der rote Punkt, der davonfliegt, ist sein $\alpha$-Teilchen.

Durchgerechnetes Beispiel: die Probe der Animation

Die Animation startet mit $N_0=100$ Kernen und $T_{1/2}=2,5\mathrm{s}$, und der Zeiger dreht sich einmal pro Halbwertszeit. Nach einer, zwei, drei und vier Drehungen, also bei 2,5, 5, 7,5 und 10 s, ergibt das Gesetz 50, 25, 12,5 und 6,25 Kerne. Die Anzeige $N$ zeigt 50, 25, 12 und 6, da eine Anzahl eine ganze Zahl ist; die Anzeige $N/N_0$ zeigt dieselben Zahlen in Prozent.

Die Formel funktioniert auch zwischen den Drehungen. Bei $t=4,0\mathrm{s}$,
$t/T_{1/2}=4,0/2,5=1,6,N=100\cdot 0,5^{1,6}=33,0$
zeigt die Anzeige 33. Rückwärts gerechnet liefert das Gesetz den Zeitpunkt, zu dem noch 10 Kerne übrig sind: $n={\log }_{2}10=3,32$ Halbwertszeiten, also $t=8,3\mathrm{s}$.

Im ersten Umlauf zerfallen 50 Kerne, im zweiten 25 und im dritten 13. Die Zerfälle werden seltener, weil weniger Kerne übrig sind, nicht weil die verbliebenen stabiler geworden wären. Die Animation taktet ihre Zerfälle so, dass sie dem Gesetz folgen. Eine wirklich zufällige Probe aus 100 Kernen würde nach einer Halbwertszeit typischerweise um etwa 5 von 50 abweichen, während ein Gramm Material mit etwa $10^{21}$ Kernen dem Gesetz praktisch exakt folgt.

Durchgerechnetes Beispiel: Iod-131 in der Medizin

Iod-131, zur Behandlung der Schilddrüse eingesetzt, hat eine Halbwertszeit von 8,0 Tagen. Eine Apotheke stellt eine Kapsel mit 400 MBq her, die der Patient 3,0 Tage später einnimmt. Wie groß ist die Aktivität dann noch, und wann fällt eine gelagerte Kapsel unter 1 % ihrer Anfangsaktivität?

Die Aktivität ist proportional zu $N$ und folgt daher demselben Gesetz:
$A=400\cdot 0,5^{3,0/8,0}=400\cdot 0,771=308\mathrm{MBq}$
Die Apotheke muss also etwa 30 % mehr herstellen als die Dosis, die sie abgeben will. Für die 1-%-Marke gilt $n={\log }_{2}100=6,64$ Halbwertszeiten, das sind 53 Tage. Nach 24 Tagen, drei Halbwertszeiten, sind $(1/2{)}^3=12,5$ % übrig, und nach 20 Tagen, 2,5 Halbwertszeiten, $0,5^{2,5}=17,7$ %.

Mit $\lambda =\ln 2/(8,0\cdot 86400\mathrm{s})=1,00\times 10^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$ enthält die frische Kapsel, $4,0\times 10^8\mathrm{Bq}$, $N=A/\lambda =4,0\times 10^{14}$ Kerne, weniger als ein Zehntel eines Mikrogramms: viel zu wenig zum Wiegen, aber leicht nachweisbar, weshalb radioaktive Tracer so nützlich sind.

Die Zerfallskurve lesen

Trägst du die Anzeigen auf, $N$ gegen $t$, beginnt die Kurve steil, flacht ab und nähert sich null, ohne es je zu erreichen. Eine gerade Linie von 100 Kernen bei $t=0$ bis null bei $t=2T_{1/2}$ ist das klassische falsche Bild; zu dieser Zeit hält die echte Kurve immer noch ein Viertel.

Die Steilheit der Kurve ist die Zerfallsrate, daher lässt sich die Aktivität an ihrer Steigung ablesen: bei der Animation etwa 28 Kerne pro Sekunde am Anfang, 14 bei 2,5 s und 7 bei 5 s. Echte Zählraten streuen um die glatte Kurve, relativ stärker, wenn die Zahlen klein sind.

Häufige Fehler

• Die Halbwertszeit ist nicht die halbe Zeit, bis alles zerfallen ist. Jede Halbwertszeit entfernt die Hälfte dessen, was übrig ist; aus 6400 Kernen werden über vier Halbwertszeiten 3200, 1600, 800 und 400, und sie gehen nie plötzlich aus.
• Zerfall ist kein fester Verlust pro Stunde. Eine Probe, die in ihrer ersten Stunde 10 % verliert, verliert in jeder Stunde 10 % des Restes, also bleiben nach 10 Stunden $0,9^{10}=0,35$ davon, also 35 %, übrig.
• Alte Kerne sind nicht überfällig. Ein Kern, der zehn Halbwertszeiten überstanden hat, hat immer noch genau eine Chance von 50 %, auch die nächste zu überstehen.
• Hitze, Druck und Chemie ändern keine Halbwertszeit. Chemische Bindungen betreffen einige Elektronenvolt, Kernumwandlungen Millionen; daher bleibt $T_{1/2}$ beim Verbrennen oder Auflösen einer radioaktiven Substanz praktisch unverändert.

Wo man ihr begegnet

Die Radiokohlenstoff-Datierung nutzt Kohlenstoff-14 mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Die kosmische Strahlung erzeugt ihn ständig nach, und Lebewesen nehmen ihn auf, bis sie sterben; Holz mit einem Viertel des Kohlenstoff-14-Gehalts eines lebenden Baums ist daher etwa 11.500 Jahre alt. Uran-238, mit einer Halbwertszeit von 4,5 Milliarden Jahren, zerfällt über eine Kette zu Blei-206 und datiert die ältesten Gesteine. Die Medizin wählt kurze Halbwertszeiten: Technetium-99m (6,0 Stunden) für die Bildgebung, Fluor-18 (110 Minuten) für PET-Untersuchungen.

Rauchmelder enthalten Americium-241, einen $\alpha$-Strahler mit einer Halbwertszeit von 432 Jahren, und Radon-222 (3,8 Tage) verursacht bei den meisten Menschen die größte natürliche Strahlendosis. Die nächste Lektion, „Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²“, erklärt, woher Kernenergie kommt, und die Stufe „Fortgeschritten“ hier zeigt, warum $\alpha$-Halbwertszeiten von Mikrosekunden bis zu Milliarden Jahren reichen.

Fortgeschritten

Eine konstante Chance pro Zeiteinheit

Radioaktiver Zerfall beruht auf einer einzigen Annahme: Ein Kern hat kein Gedächtnis. Egal wie alt er ist, die Wahrscheinlichkeit, dass er im nächsten kurzen Intervall $dt$ zerfällt, beträgt $\lambda dt$, wobei die Zerfallskonstante $\lambda$ eine feste Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für diese Art von Kern ist. Ein Kern, der sich eben gebildet hat, und einer, der eine Milliarde Jahre gewartet hat, haben genau dieselben Chancen. Die animierte Probe startet mit $N_0=100$ Kernen und hat $\lambda =0,277{\mathrm{s}}^{-1}$; daher hat jeder Kern eine Chance von 0,28 %, im nächsten Hundertstel einer Sekunde zu zerfallen.

Aus dieser einen Regel folgt die Wahrscheinlichkeit $P(t)$, dass ein Kern eine ganze Zeit $t$ überlebt. Zerlege $t$ in $m$ gleich lange Schritte der Länge $t/m$. In jedem Schritt zerfällt der Kern mit Wahrscheinlichkeit $\lambda t/m$ und überlebt ihn daher mit Wahrscheinlichkeit $1-\lambda t/m$. Die Schritte sind unabhängig, daher multiplizieren sich die Chancen, alle zu überleben. Macht man die Schritte immer kürzer, erhält man
$P(t)={\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{\lambda t}{m}\right)}^m=e^{-\lambda t}$

Die Exponentialfunktion ist das einzige stetige Überlebensgesetz ohne Gedächtnis. Zur Kontrolle: Ein Kern, der bereits eine Zeit $s$ überlebt hat, überlebt eine weitere Zeit $t$ mit Wahrscheinlichkeit $P(s+t)/P(s)=e^{-\lambda (s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(t)$, genau so, als wäre er neu.

Halte zwei Beschreibungsebenen auseinander. Die Zerfallskonstante $\lambda$ gehört zu einem einzelnen Kern und sagt nur, wie wahrscheinlich sein Zerfall ist. Die glatte Zerfallskurve gehört zu einer großen Menge von Kernen, und sie ist nur deshalb glatt, weil die Menge groß ist.

Lösung des Zerfallsgesetzes

Nimm nun eine Probe aus $N$ gleichen Kernen. Jeder von ihnen zerfällt im nächsten $dt$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda dt$, also ist die erwartete Zahl der Zerfälle $\lambda Ndt$. Jeder Zerfall entfernt einen Kern, also ändert sich $N$ um $dN=-\lambda Ndt$, das heißt
$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

Die Verlustrate ist proportional zum Restbestand. Um die Gleichung zu lösen, bringe $N$ auf eine Seite: $dN/N=-\lambda dt$. Integriere die linke Seite von der Anfangszahl $N_0$ bis $N$ und die rechte von $0$ bis $t$: $\ln (N/N_0)=-\lambda t$. Bildet man auf beiden Seiten die Exponentialfunktion,
$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Das ist $N_0$ mal die Überlebenswahrscheinlichkeit $P(t)$ eines einzelnen Kerns, wie es sein muss: Im Mittel überlebt ein Anteil $P(t)$ der Menge. Die Exponentialfunktion verliert in zwei beliebigen Intervallen gleicher Länge den gleichen Anteil, egal wo sie beginnen, und genau das macht eine radioaktive Probe zu einer Uhr.

Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, in der $N$ auf die Hälfte seines Wertes fällt. Mit $N=N_0/2$ folgt $e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$; durch Logarithmieren ergibt sich $\lambda T_{1/2}=\ln 2$, also
$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Setzt man dies zurück ein, gilt $e^{-\lambda t}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}=(1/2{)}^{t/T_{1/2}}$. Das Halbierungsgesetz und die Exponentialfunktion sind also dieselbe Funktion, nur anders geschrieben. Für die Animation gilt $T_{1/2}=0,693/0,277=2,50\mathrm{s}$.

Die mittlere Lebensdauer $\tau$ ist die durchschnittliche Lebenszeit eines Kerns. Ein Kern zerfällt zwischen $t$ und $t+dt$, wenn er zuerst bis $t$ überlebt, mit Wahrscheinlichkeit $e^{-\lambda t}$, und dann innerhalb von $dt$ zerfällt, mit Wahrscheinlichkeit $\lambda dt$. Gewichtet man jede Lebensdauer $t$ mit dieser Wahrscheinlichkeit und integriert partiell, ergibt sich
$\tau ={\int }_0^{\infty }t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\approx 1,44T_{1/2}$

Nach einer mittleren Lebensdauer ist ein Bruchteil $1/e$ der Kerne übrig. Für die Animation gilt $\tau =3,61\mathrm{s}$, wenn $N_0/e=36,8$ Kerne übrig sein sollten; die Anzeige $N$ zeigt 37. Warum ist $\tau$ länger als $T_{1/2}$? Die Halbwertszeit ist die mediane Lebensdauer: Die Hälfte der Kerne zerfällt vor ihr. Die andere Hälfte umfasst einen langen Ausläufer später Überlebender, manche überdauern viele Halbwertszeiten, und sie ziehen den Mittelwert auf $\tau$ hinauf.

Aktivität

Ein Detektor zählt nicht die übrigen Kerne, sondern die Zerfälle. Er misst die Zerfallsrate $-dN/dt$, die Aktivität $A$ heißt und in Becquerel gemessen wird (1 Bq ist ein Zerfall pro Sekunde). Aus dem Zerfallsgesetz folgt
$A=\lambda N$

Da $A$ proportional zu $N$ ist, fällt sie mit derselben Exponentialfunktion, $A=A_0{e}^{-\lambda t}$ mit $A_0=\lambda N_0$, und ist damit ebenfalls eine Uhr. Solange ein Baum lebt, tauscht er Kohlenstoff mit der Luft aus, daher bleibt sein Anteil an Kohlenstoff-14 konstant; nach seinem Tod zerfällt sein Kohlenstoff-14 und wird nicht ersetzt. Vergleicht man die Aktivität pro Gramm Kohlenstoff im alten Holz mit der im lebenden Holz, erhält man $A/A_0$, und das Auflösen von $(1/2{)}^{t/T_{1/2}}=A/A_0$ nach $t$ liefert das Alter des Holzes. In der Animation beginnt die $A$-Anzeige der Stufe „Fortgeschritten“ bei $A_0=27,7\mathrm{Bq}$ und zeigt 13,9 Bq bei 2,5 s, eine Halbwertszeit später.

Die Aktivität hängt von zwei Dingen ab: davon, wie viele Kerne da sind, und davon, wie instabil jeder einzelne ist. Ein Gramm Radium-226 entspricht $1/226$ Mol und enthält daher $N=6,02\times 10^{23}/226=2,66\times 10^{21}$ Kerne. Mit $T_{1/2}=1600$ Jahren ergibt sich $\lambda =\ln 2/T_{1/2}=1,37\times 10^{-11}{\mathrm{s}}^{-1}$ und $A=\lambda N=3,7\times 10^{10}\mathrm{Bq}$, die Aktivität, mit der einst das Curie definiert wurde. Ein Gramm Uran-238 enthält ungefähr genauso viele Kerne, aber seine Halbwertszeit von 4,5 Milliarden Jahren ist etwa drei Millionen Mal länger; daher ist es etwa drei Millionen Mal weniger aktiv.

Die Zerfallskurve lesen

Ein Graph von $N$ gegen $t$ zeigt Halbwertszeit, mittlere Lebensdauer und Aktivität auf einen Blick. Abbildung 1 zeichnet ihn mit der Zeit in Halbwertszeiten, sodass dasselbe Bild für jedes Nuklid gilt, von Mikrosekunden bis zu Milliarden Jahren.

Legende

$N$	Anzahl unzerfallener Kerne zur Zeit $t$.
$N_0$	Anzahl unzerfallener Kerne bei $t=0$.
$N_0/2$	Die Hälfte der Anfangsanzahl, nach einer Halbwertszeit erreicht.
$N_0/4$	Ein Viertel der Anfangsanzahl, nach zwei Halbwertszeiten erreicht.
$t$	Zeit seit Beginn der Zählung.	$\mathrm{s}$
$T_{1/2}$	Halbwertszeit: Jeder Schritt dieser Länge halbiert $N$.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Mittlere Lebensdauer $1/\lambda$, etwa $1,44T_{1/2}$: Dort trifft die Tangente bei $t=0$ die Zeitachse.	$\mathrm{s}$
$A_0$	Aktivität bei $t=0$, $A_0=\lambda N_0$; die Tangente dort hat die Steigung $-A_0$.	$\mathrm{Bq}$

Schau zuerst auf die drei Punkte. Sie liegen bei $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$ und $3T_{1/2}$, gleichmäßig verteilt auf der Zeitachse, und ihre Höhen $N_0/2$, $N_0/4$ und $N_0/8$ fallen bei jedem Schritt um denselben Faktor zwei. Das ist das Halbierungsgesetz, am Graphen abgelesen: gleiche Zeiten, gleiche Anteile.

Schau dann auf die gerade Linie mit der Markierung $-A_0$, die Tangente an die Kurve bei $t=0$. Ihre Steigung ist die anfängliche Änderungsrate $dN/dt=-\lambda N_0=-A_0$. Eine Linie, die bei der Höhe $N_0$ startet und mit der Rate $A_0$ fällt, erreicht die Zeitachse nach $N_0/A_0=1/\lambda =\tau$. Die Tangente trifft die Achse also bei der mittleren Lebensdauer $\tau$, etwas hinter dem ersten Punkt, weil $\tau \approx 1,44T_{1/2}$ gilt. Anders gesagt: Würde die Probe mit ihrer Anfangsrate weiter zerfallen, wäre sie nach einer mittleren Lebensdauer leer. Dieselbe Konstruktion funktioniert an jeder Stelle der Kurve: Zur Zeit $t$ hat die Tangente die Steigung $-\lambda N=-A$ und trifft die Achse bei $t+\tau$, also eine mittlere Lebensdauer später. In der Animation trifft die Tangente bei $t=0$ die Achse bei 3,6 s.

Der Graph der Stufe „Fortgeschritten“ in der Animation zeigt dieselben Merkmale: Die blaue Zählung folgt der gestrichelten Kurve $N_0{e}^{-\lambda t}$, mit Markierungen bei $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$ und $4T_{1/2}$, gleichmäßig verteilt wie in Abbildung 1. Im Labor liest man Halbwertszeiten aus einem anderen Diagramm ab. Logarithmiert man das Zerfallsgesetz, ergibt sich $\ln N=\ln N_0-\lambda t$; ein Graph von $\ln N$ gegen $t$ (oder von $\ln A$, das sich nur um die Konstante $\ln \lambda$ unterscheidet) ist daher eine Gerade mit der Steigung $-\lambda$.

Schwankungen: ein scharfes Gesetz aus dem Zufall

Das Zerfallsgesetz liefert die erwartete Zahl der Überlebenden. Eine reale Probe ist eine Sammlung unabhängiger zufälliger Ereignisse, daher streut ihre Zahl um diesen Erwartungswert. Wie groß ist die Streuung, und warum wirkt das Gesetz bei einer großen Probe trotzdem exakt?

Legende

$N$	Anzahl der in einer Probe noch unzerfallenen Kerne.
$P$	Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe genau so viele Kerne übrig hat.
$N_{0}p$	Mittelwert von $N$: die Anfangszahl $N_0$ mal die Überlebenswahrscheinlichkeit $p$ eines Kerns, hier $p=1/2$, also 50.
$\sigma$	Standardabweichung von $N$, $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$, hier 5: Die Klammer ist $2\sigma$ breit.

Jeder der $N_0$ Kerne überlebt eine Zeit $t$ unabhängig von den anderen, mit derselben Wahrscheinlichkeit $p=e^{-\lambda t}$, wie bei $N_0$ Würfen einer verfälschten Münze. Die Zahl der übrigen Kerne ist daher binomialverteilt, mit Mittelwert $N_{0}p$ und Standardabweichung $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$. Abbildung 2 zeigt die exakten Wahrscheinlichkeiten für $N_0=100$ Kerne, die eine Halbwertszeit lang beobachtet werden, sodass $p=1/2$ ist. Jeder Balken gibt die Wahrscheinlichkeit $P$ an, dass eine Probe genau $N$ Kerne übrig hat.

Die Balken sind um den Mittelwert $N_{0}p=50$ zentriert. Die Klammer mit der Markierung $2\sigma$ reicht von 45 bis 55, also eine Standardabweichung auf jeder Seite des Mittelwerts, denn $\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$. Die grünen Balken innerhalb summieren sich auf 73 %. Eine reale Probe aus 100 Kernen behält also nach einer Halbwertszeit $50\pm 5$, und etwa jede vierte Probe endet außerhalb des Bereichs von 45 bis 55.

Die Animation zeigt stattdessen den idealen, rauschfreien Fall: Ihr $k$-ter Zerfall kommt, wenn die erwartete Zahl der Zerfälle $k-\frac{1}{2}$ erreicht; ihre Treppenkurve ist daher das glatte Gesetz, auf ganze Kerne gerundet.

Zählexperimente befassen sich mit Zerfällen statt mit Überlebenden. In einem kurzen Intervall zerfällt nur ein kleiner Bruchteil $q$ der Kerne. Die Zählrate ist dann binomialverteilt mit $q\ll 1$, daher ist ihre Varianz $N_{0}q(1-q)$ fast gleich ihrem Mittelwert $\bar{n}=N_{0}q$. Dieser Grenzfall ist die Poisson-Verteilung, deren Streuung $\sqrt{\bar{n}}$ beträgt. Die relative Unsicherheit ist $\sqrt{\bar{n}}/\bar{n}=1/\sqrt{\bar{n}}$, also sind 400 Zählungen auf 5 % genau, und 1 % erfordert 10.000 Zählungen.

Dieselbe Quadratwurzel erklärt, warum das Zerfallsgesetz exakt aussieht. Die relative Streuung der Überlebenden sinkt mit $1/\sqrt{N_0}$, und für $10^{21}$ Kerne beträgt sie etwa $3\times 10^{-11}$. Ein scharfes Gesetz entsteht aus reinem Zufall, so wie der stetige Druck eines Gases aus zufälligen Stößen der Moleküle entsteht.

Erhaltungssätze entscheiden, was passieren kann

Bevor du fragst, wie schnell ein Kern zerfällt, frage, ob er überhaupt zerfallen kann. Ladung, Nukleonenzahl und Leptonenzahl müssen vor und nach dem Zerfall jeweils gleich sein. Außerdem muss beim Zerfall Energie frei werden, bezahlt aus der Masse: Die Produkte zusammen müssen weniger Masse haben als der Mutterkern. Die freigesetzte Energie, der Q-Wert genannt, ist
$Q=\left(m_{\mathrm{parent}}-\sum m_{\mathrm{products}}\right)c^2>0$

Beim $\alpha$-Zerfall ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$ stimmt die Ladung ($92=90+2$) und ebenso die Nukleonenzahl ($238=234+4$). Die Atommassen ergeben $Q=4,27\mathrm{MeV}$, etwa eine Million Mal die Energie einer chemischen Bindung. Bei nur zwei Produkten legt die Impulserhaltung fest, wie $Q$ aufgeteilt wird. Der Mutterkern war in Ruhe, daher fliegen die beiden Produkte mit betragsmäßig gleichen, entgegengesetzten Impulsen auseinander. Die kinetische Energie ist das Quadrat des Impulses geteilt durch die doppelte Masse; bei gleichen Impulsen nimmt daher das leichtere Teilchen den größeren Anteil, im umgekehrten Verhältnis zu den Massen. Das $\alpha$-Teilchen erhält also $234/238$ von $Q$, also 4,20 MeV. Jedes $\alpha$-Teilchen aus diesem Zerfall hat genau diese Energie, daher sind $\alpha$-Spektren scharfe Linien.

Beim ${\beta }^{-}$-Zerfall, $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$, wird ein Neutron zu einem Proton. Die Ladung stimmt ($0=+1-1+0$), und die Leptonenzahl verlangt das Antineutrino: Das Elektron zählt $+1$, das Antineutrino $-1$, die Summe bleibt also 0. Nun teilen sich drei Teilchen $Q$, und das können sie auf unendlich viele Arten tun. Die Elektronen haben daher ein kontinuierliches Spektrum, von null bis $Q$ ($0,78\mathrm{MeV}$ für ein freies Neutron). Dieses Kontinuum, das zunächst die Energieerhaltung zu verletzen schien, führte 1930 dazu, dass Pauli das Neutrino vorschlug. Schließlich entstehen $\gamma$-Strahlen durch Sprünge zwischen Energieniveaus des Kerns, daher bilden auch sie, wie $\alpha$-Teilchen, scharfe Linien.

Tunneln bestimmt, wie schnell

Erhaltungssätze sagen nur, ob ein Zerfall erlaubt ist. Wie schnell er abläuft, hängt von etwas anderem ab: davon, ob das $\alpha$-Teilchen überhaupt aus dem Kern entweichen kann. Klassisch kann es das nicht; quantenmechanisch sickert es sehr langsam hinaus, und die Rate dieses Entweichens legt die Halbwertszeit fest.

Legende

$U$	Potentielle Energie des $\alpha$-Teilchens im Abstand $r$ vom Kernmittelpunkt.	$\mathrm{J}$
$r$	Abstand vom Kernmittelpunkt.	$\mathrm{m}$
$R$	Radius des Kerns: Der Kerntopf liegt innerhalb, die Coulomb-Barriere beginnt dort.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Austrittspunkt $r_2=R{U}_{\max }/E$, wo die Barriere auf die Energie $E$ abgefallen ist.	$\mathrm{m}$
$U_{\max }$	Höhe der Barriere bei $r=R$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energie des $\alpha$-Teilchens, die es als kinetische Energie mitnimmt, sobald es weit außen ist.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Wellenfunktion des $\alpha$-Teilchens entlang eines Radius: Sie oszilliert innen, klingt über die Barriere ab und taucht jenseits von $r_2$ kleiner wieder auf.	${\mathrm{m}}^{-3/2}$

Abbildung 3 zeigt die potentielle Energie $U$ des $\alpha$-Teilchens über seinem Abstand $r$ vom Kernmittelpunkt. Innerhalb des Kernradius $R$ hält die kurzreichweitige Kernanziehung das Teilchen in einem tiefen Topf. Außerhalb von $R$ wirkt nur die elektrische Abstoßung des Tochterkerns, $U=C/r$ mit einer positiven Konstante $C$. Die Barriere ist also bei $r=R$ am höchsten, wo sie $U_{\max }$ erreicht, und fällt mit dem Abstand ab.

Sieh dir nun die waagerechte Linie in der Höhe $E$ an, die Energie des $\alpha$-Teilchens. Die Energie bleibt erhalten, daher ist $E$ überall gleich; weit draußen, wo $U$ auf null gefallen ist, ist all das kinetische Energie. Die Linie trifft die Barriere am Austrittspunkt $r_2$, wo $C/r_2=E$ gilt. Da $C=R{U}_{\max }$ ist, folgt $r_2=R{U}_{\max }/E$. Zwischen $R$ und $r_2$ wäre die kinetische Energie $E-U$ negativ, und das erlaubt keine klassische Bewegung: Ein klassisches Teilchen würde für immer im Topf hin und her schwingen.

Die Wellenfunktion $\psi$ endet nicht an der Wand. Verfolge sie in Abbildung 3 von links nach rechts. Innerhalb des Topfs oszilliert sie, im verbotenen Bereich zwischen $R$ und $r_2$ klingt sie exponentiell ab, und jenseits von $r_2$ oszilliert sie wieder, mit kleinerer Amplitude. Durch die Barriere fällt sie lokal wie $e^{-\kappa r}$ ab, mit $\kappa =\sqrt{2m_{\alpha }(U-E)}/\hslash$, wobei $m_{\alpha }$ die Masse des $\alpha$-Teilchens und $\hslash$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ist: Je höher und breiter die Barriere, desto stärker der Abfall. Die Chance, bei jedem Versuch zu entkommen, ist das Quadrat des Verhältnisses von Amplitude außen zu Amplitude innen. In der Abbildung verringert sich die Amplitude nur um einen mäßigen Faktor, damit die Wellen außen sichtbar bleiben; in einem echten Kern schrumpft sie enorm.

Hier sind die echten Zahlen für Uran-238. Das $\alpha$-Teilchen hat eine Energie $E$ von nur etwa 4,2 MeV, weit unter dem Gipfel der Coulomb-Barriere, $U_{\max }\approx 28\mathrm{MeV}$; klassisch könnte es also nie entkommen. Der Austrittspunkt liegt $r_2/R=28/4,2\approx 6,7$ mal weiter vom Mittelpunkt entfernt als die Oberfläche (Abbildung 3, nicht maßstabsgetreu, zeigt 4). Beim Hin- und Herlaufen im Inneren trifft das Teilchen etwa $10^{21}$ Mal pro Sekunde auf die Barriere. Dennoch beträgt die mittlere Lebensdauer von Uran-238 $2,0\times 10^{17}\mathrm{s}$, daher ist seine Zerfallskonstante $\lambda =1/\tau =5\times 10^{-18}{\mathrm{s}}^{-1}$. Teilt man durch die Zahl der Versuche pro Sekunde, gelingt jeder Versuch mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $5\times 10^{-39}$, nahe $e^{-88}$: dem Quadrat einer Wellenamplitude, die als $e^{-44}$ durchsickert.

Weil die Austrittswahrscheinlichkeit eine Exponentialfunktion ist, verursachen geringe Änderungen der Barriere große Änderungen der Halbwertszeit. Der Exponent wächst grob proportional zu $Z/\sqrt{E}$, wobei $Z$ die Ladungszahl des Tochterkerns ist: Eine größere Ladung macht die Barriere höher, und eine größere Energie verkürzt den verbotenen Bereich. So hat Polonium-212, das $\alpha$-Teilchen mit 8,8 MeV aussendet, eine Halbwertszeit von 0,3 µs, während Thorium-232 mit 4,0 MeV eine von $1,4\times 10^{10}$ Jahren hat: Eine etwa halbierte Energie dehnt die Halbwertszeit um einen Faktor von etwa $10^{24}$.

Zerfallsketten

Oft ist der Tochterkern eines Zerfalls selbst radioaktiv, und es bildet sich eine Zerfallskette. Die Zahl der Tochterkerne steigt und fällt dann, und ein Zähler registriert die Zerfälle beider. Abbildung 4 verfolgt die einfachste Kette: Mutterkerne $N_1$ mit der Zerfallskonstante ${\lambda }_1$ werden zu radioaktiven Tochterkernen $N_2$ mit der Zerfallskonstante ${\lambda }_2$, die ihrerseits zu stabilen Kernen $N_3$ zerfallen.

Legende

$N$	Anzahl der Kerne jeder Art zur Zeit $t$.
$N_1$	Noch unzerfallene Mutterkerne.
$N_2$	Vorhandene radioaktive Tochterkerne.
$N_3$	Aus den Tochterkernen gebildete stabile Kerne, $N_3=N_0-N_1-N_2$.
$t$	Zeit seit Beginn, als nur Mutterkerne vorhanden waren.	$\mathrm{s}$
$t_m$	Zeitpunkt, zu dem die Tochterkerne am zahlreichsten sind.	$\mathrm{s}$

Die Tochterkerne haben eine Quelle und eine Senke. Sie entstehen durch die Zerfälle der Mutterkerne mit der Rate ${\lambda }_1{N}_1$ und gehen durch ihre eigenen Zerfälle mit der Rate ${\lambda }_2{N}_2$ verloren:
$\frac{d{N}_2}{dt}={\lambda }_1{N}_1-{\lambda }_2{N}_2$

Lies die Kurven der Abbildung 4 mit dieser Gleichung im Kopf. Bei $t=0$ gibt es keine Tochterkerne, die Senke ist also null, und die Tochterkerne steigen genau so schnell, wie die Mutterkerne fallen. Während sich die Tochterkerne ansammeln, wächst ihre eigene Zerfallsrate ${\lambda }_2{N}_2$, während der Nachschub ${\lambda }_1{N}_1$ mit den Mutterkernen schrumpft. Wo beide gleich sind, gilt $d{N}_2/dt=0$: Die Kurve von $N_2$ kehrt zur Zeit $t_m$ um und klingt dann ab. Die stabilen Kerne $N_3$ beginnen langsam, weil anfangs kaum Tochterkerne zerfallen können, und steigen, bis alle Kerne dort angekommen sind. Unterwegs geht kein Kern verloren, daher ergeben die drei Zahlen immer die Anfangszahl $N_0$. Die Abbildung zeigt die Kette der durchgerechneten Aufgabe unten: 100 Mutterkerne und einen Tochterkern, der doppelt so lange lebt wie sein Mutterkern. Bei $t_m$ schneiden sich die Kurven von $N_1$ und $N_3$ bei 25.

Durchgerechnete Aufgabe: ein radioaktiver Tochterkern

Angenommen, die grauen Tochterkerne der Animation zerfallen in einen stabilen Kern mit $T_{1/2}=5,0\mathrm{s}$, sodass ${\lambda }_2=0,693/5,0=0,139{\mathrm{s}}^{-1}={\lambda }_1/2$ ist. Ausgehend von 100 Mutterkernen und keinen Tochterkernen: Wann sind die Tochterkerne am zahlreichsten, wie viele sind es dann, und was zeigt ein Zähler, der beide Zerfälle registriert?

Schritt 1: Löse nach $N_2$ auf. Setze $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$ ein und bringe ${\lambda }_2{N}_2$ auf die linke Seite: $d{N}_2/dt+{\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$. Multipliziert man beide Seiten mit $e^{{\lambda }_{2}t}$, wird die linke Seite nach der Produktregel zu einer einzigen Ableitung, $d(N_2{e}^{{\lambda }_{2}t})/dt$. Die rechte Seite wird zu ${\lambda }_1{N}_0{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}$, was sich direkt integrieren lässt. Mit $N_2(0)=0$ folgt
$N_2=\frac{{\lambda }_1{N}_0}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(e^{-{\lambda }_{2}t}-e^{-{\lambda }_{1}t}\right)$

Schritt 2: Verwende ${\lambda }_1=2{\lambda }_2$. Der Vorfaktor ${\lambda }_1/({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ ist dann 2, und mit $x=e^{-{\lambda }_{2}t}$ ist die zweite Exponentialfunktion $e^{-{\lambda }_{1}t}=x^2$. Also
$N_2=2N_0\left(x-x^2\right),x=e^{-{\lambda }_{2}t}$

Schritt 3: Finde das Maximum. Während $t$ von 0 bis unendlich läuft, fällt $x$ von 1 auf 0, und $x-x^2$ ist dort am größten, wo seine Ableitung $1-2x$ verschwindet, bei $x=\frac{1}{2}$. Das geschieht nach einer Halbwertszeit des Tochterkerns, bei $t_m=5,0\mathrm{s}$, wenn $N_2=2\cdot 100\cdot \frac{1}{4}=50$ ist.

Schritt 4: Die beiden anderen Populationen. Die Mutterkerne zählen $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}=N_0{x}^2$, und die stabilen Kerne $N_3=N_0-N_1-N_2=N_0(1-x{)}^2$. Die drei Kurven der Abbildung 4 sind daher $x^2$, $2(x-x^2)$ und $(1-x{)}^2$ mal $N_0$, und bei $x=\frac{1}{2}$ stehen sie bei 25, 50 und 25 Kernen. Die Anzeige $N$ der Animation, die die Mutterkerne zählt, zeigt in diesem Moment 25, also haben sich 25 stabile Enkelkerne gebildet.

Schritt 5: Der Zähler. Im Maximum gilt $d{N}_2/dt=0$, daher sind die beiden Aktivitäten gleich: ${\lambda }_1{N}_1=0,277\cdot 25$ und ${\lambda }_2{N}_2=0,139\cdot 50$ betragen beide 6,93 Bq. Ein Zähler, der beide Zerfälle registriert, zeigt ihre Summe, 13,9 Bq, also das Doppelte der $A$-Anzeige, die nur den Mutterkern anzeigt.

Später stirbt der Mutterkern aus ($x^2$ wird neben $x$ vernachlässigbar), und $N_2\approx 2N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$: Die gemischte Probe klingt mit der Halbwertszeit des Tochterkerns von 5,0 s ab. Die Lehre für die Messung ist, dass der Schwanz einer Zerfallskurve zum langlebigsten Glied der Kette gehört.

Langlebige Mutterkerne: säkulares Gleichgewicht

Wenn der Mutterkern weit länger lebt als der Tochterkern, ${\lambda }_1\ll {\lambda }_2$, ändert sich der Mutterkern kaum, während der Tochterkern anwächst. Nach einigen Halbwertszeiten des Tochterkerns hat dessen Zerfallsrate den Nachschub eingeholt und bleibt dann darauf abgestimmt: $d{N}_2/dt\approx 0$, also ${\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_1$. Das ist das säkulare Gleichgewicht: Der Tochterkern ist genau so aktiv wie der Mutterkern, egal wie wenige seiner Kerne vorhanden sind. Radon-222 (Halbwertszeit 3,8 Tage), das aus Radium-226 (1600 Jahre) entsteht, macht nur $N_2/N_1={\lambda }_1/{\lambda }_2=6,5\times 10^{-6}$ der Radiumatome aus, ist aber dennoch genauso aktiv.

Grenzen der Gültigkeit

Die Konstanz von $\lambda$ ist außerordentlich gut geprüft, aber sie ist nicht absolut. Alle Ausnahmen betreffen die Elektronen des Atoms, den einzigen Teil des Atoms, den die Chemie berühren kann. Beim Elektroneneinfang fängt der Kern eines der inneren Elektronen des Atoms selbst ein, daher hängt die Zerfallsrate leicht davon ab, wie diese Elektronen angeordnet sind: Die Halbwertszeit von Beryllium-7 unterscheidet sich je nach chemischer Umgebung um bis zu etwa 1 %. Das Entfernen aller Elektronen kann einen Zerfall verändern. Neutrales Rhenium-187 hat eine Halbwertszeit von etwa $4\times 10^{10}$ Jahren, der nackte Kern eine von 33 Jahren, weil sein $\beta$-Elektron dann direkt in einer leeren inneren Schale entstehen kann. Ansonsten ändern Temperatur, Druck und Chemie nichts Messbares.

Die Quantenmechanik sagt bei extrem kurzen und extrem langen Zeiten leichte Abweichungen vom Exponentialgesetz voraus, doch bei keinem Kernzerfall wurde eine solche beobachtet. Schließlich gilt $\lambda$ im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens. Vom Labor aus gesehen läuft die Uhr eines schnellen Teilchens um den Faktor $\gamma$ der speziellen Relativitätstheorie langsamer: Myonen haben im Ruhesystem eine mittlere Lebensdauer von 2,2 µs und leben im Labor bei $\gamma =10$ jedoch 22 µs. So erreichen kosmische Myonen, die hoch in der Atmosphäre entstehen, den Erdboden.

Wie es weitergeht

Der Tunneleffekt, der die $\alpha$-Halbwertszeiten bestimmt, wird in „Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“ ausgearbeitet, und die Bilanz $Q=\Delta m{c}^2$ treibt „Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²“ an. Die schwache Wechselwirkung hinter dem $\beta$-Zerfall gehört zu „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“, und die gedehnten Lebensdauern schneller Teilchen zu „Spezielle Relativitätstheorie“. Scharfe $\gamma$-Linien sind im Kern das Gegenstück zu den Spektrallinien aus „Atommodelle: das bohrsche Atom“. Konstante relative Raten kehren beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand zurück, in „Kondensatoren“, und ein scharfes Gesetz aus zufälligen Ereignissen ist der Kern der „Kinetischen Gastheorie“.