Prismen, Dispersion und Farbe

Einsteiger

Schritt 1, Weiß ist ein Gemisch. Sonnenlicht wirkt farblos, trägt aber alle Farben des Regenbogens gleichzeitig. 1666 schickte Isaac Newton einen Sonnenstrahl durch ein Glasprisma und erhielt ein Farbband, immer in derselben Reihenfolge: Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau, Violett. Dieses Band ist ein Spektrum.

Schritt 2, jede Farbe hat ihre eigene Geschwindigkeit im Glas. Im leeren Raum breiten sich alle Farben gleich schnell aus, aber Glas hält Violett am stärksten und Rot am schwächsten zurück. Weil Brechung auf einer Abbremsung beruht, wird Violett am stärksten und Rot am schwächsten gebrochen. Diese Auftrennung der Farben durch Brechung heißt Dispersion. Eine flache Fensterscheibe trennt die Farben ebenfalls ein wenig, aber ihre zweite Fläche, parallel zur ersten, hebt den Effekt wieder auf. Die schräg stehenden Flächen eines Prismas addieren den Effekt dagegen, sodass der Fächer weit aufgeht.

In der Animation strahlt eine Taschenlampe weißes Licht in ein Prisma: Verfolge, wie der Strahl das Glas durchquert, sich auffächert und ein Spektrum auf den Tisch malt.

Schritt 3, Regenbogen. Jeder Regentropfen wirkt wie ein winziges Prisma mit einem Spiegel auf der Rückseite: Sonnenlicht tritt ein, wird an der Rückseite des Tropfens reflektiert und kommt sortiert wieder heraus, jede Farbe unter ihrem eigenen Winkel nahe 42°. Deshalb erscheint ein Regenbogen nur, wenn die Sonne hinter dir steht und der Regen vor dir fällt, mit Rot außen am Bogen.

Schritt 4, Farben von Gegenständen. Eine reife Tomate wirkt rot, weil sie die meisten Farben verschluckt und vor allem Rot zurückwirft. Lichter dagegen addieren sich: Rot, Grün und Blau zusammen wirken weiß. So baut ein Handybildschirm jede Farbe aus drei Arten winziger Punkte auf.

Prüfe dich selbst: Wie sieht eine reife Tomate unter reinem blauen Licht aus? (Fast schwarz: Es gibt kein rotes Licht, das sie zurückwerfen könnte.)

Mittelstufe

Brechzahl, Wellenlänge und Dispersion

Licht durchquert den leeren Raum mit $c=3,00\times 10^{8}m/s$, gleich welcher Farbe. In einem durchsichtigen Stoff ist es langsamer, mit der Geschwindigkeit $v$, und die Brechzahl sagt, um wie viel langsamer:
$n=\frac{c}{v}$

Beim Übergang durch eine Fläche behält das Licht seine Frequenz $f$, weil die andere Seite im Takt der ankommenden Welle angeregt wird. Da $v=f\lambda$ gilt, schrumpft die Wellenlänge um den Faktor $n$. Die Farbe ist an die Frequenz gebunden, deshalb werden Farben über ihre Wellenlänge $\lambda$ im Vakuum bezeichnet: etwa 700 nm für Rot ($f=4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$) und 400 nm für Violett.

Die Brechzahl ist für jede Farbe etwas anders, und dieser Unterschied ist die Dispersion. In Glas und Wasser steigt sie zu kurzen Wellenlängen hin an, einer empirischen Regel folgend:
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(Cauchy)}$
Das Prisma der Animation ist ein dichtes Flintglas mit $A=1,700$ und $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$, also $n_{\mathrm{red}}=1,700+16000/700^2=1,733$ und $n_{\mathrm{violet}}=1,700+16000/400^2=1,800$. Wasser zerlegt das Licht schwächer: 1,3305 für Rot, 1,3435 für Violett. Diese kleinen Unterschiede, 0,067 und 0,013, sind alles, was die Farben trennt.

Zwei Brechungen im Prisma

An jeder Fläche gilt das Brechungsgesetz, wobei alle Winkel vom Lot dieser Fläche aus gemessen werden:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
Für ein Prisma mit Scheitelwinkel $\alpha$ in Luft wird ein Strahl dann in drei Schritten verfolgt:

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

Der mittlere Schritt ist Geometrie: Der Strahl im Inneren und die beiden Lote der Flächen bilden ein Dreieck, dessen dritter Winkel $180^{\circ }-\alpha$ ist, also ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Der Strahl dreht sich an der ersten Fläche um ${\theta }_1-{\theta }_2$ und an der zweiten um ${\theta }_4-{\theta }_3$, beide Male zur Basis hin, sodass seine Gesamtablenkung
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(prism of apex angle }\alpha \text{)}$
beträgt.

Für ein dünnes Prisma mit kleinen Winkeln dürfen die Sinus durch die Winkel selbst ersetzt werden: ${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$, und
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(thin prism)}$
Zwei Farben trennen sich dann um etwa $(n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}})\alpha$. Eine Fensterscheibe hat $\alpha =0$: Jede Farbe verlässt sie parallel zum einfallenden Strahl, und die Farben überlagern sich wieder.

Rechenbeispiel: das Prisma aus der Animation

Der weiße Strahl trifft die erste Fläche unter ${\theta }_1=55^{\circ }$, und $\sin 55^{\circ }=0,8192$. Für Rot gilt $\sin {\theta }_2=0,8192/1,733=0,4727$, also ${\theta }_2=28,2^{\circ }$; für Violett gilt $\sin {\theta }_2=0,8192/1,800=0,4551$ und ${\theta }_2=27,1^{\circ }$. Im Glas liegen die Wege nur $1,1^{\circ }$ auseinander, deshalb zeichnet die Animation dort einen einzigen weißen Strahl.

Beide Strahlen erreichen die zweite Fläche unter ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$: $31,8^{\circ }$ für Rot, $32,9^{\circ }$ für Violett. Beim Austritt ergibt $\sin {\theta }_4=1,733\cdot 0,5267=0,9128$ den Wert ${\theta }_4=65,9^{\circ }$ für Rot, und $1,800\cdot 0,5436=0,9785$ ergibt $78,1^{\circ }$ für Violett. Die Ablenkungen sind $\delta =55^{\circ }+65,9^{\circ }-60^{\circ }=60,9^{\circ }$ und $55^{\circ }+78,1^{\circ }-60^{\circ }=73,1^{\circ }$, die Werte der $\delta$-Anzeigen. Die Lücke von $1,1^{\circ }$ im Inneren ist auf $12,2^{\circ }$ angewachsen: Violett tritt fast streifend aus, wo eine kleine Änderung von $\sin {\theta }_4$ eine große Winkeländerung bewirkt.

Die Geschwindigkeitsanzeigen fallen von $3,00\times 10^{8}m/s$ in Luft auf $c/n=2,998\times 10^8/1,733=1,73\times 10^{8}m/s$ für Rot und $1,67\times 10^{8}m/s$ für Violett im Glas. Der $\delta$-Bogen öffnet sich zwischen der gestrichelten Geradeausrichtung und dem roten Strahl, und die Farben landen in der Reihenfolge auf dem Tisch, Violett am nächsten zum Prisma.

Rechenbeispiel: ein dünnes Glasprisma

Ein Prisma mit 10° aus Kronglas, dem gewöhnlichen Glas für Linsen, hat $n=1,513$ für Rot und $1,531$ für Violett. Ein schmaler weißer Strahl durchquert es fast senkrecht und trifft eine 2,0 m entfernte Wand. Wie breit ist das Spektrum?

Mit der Regel für dünne Prismen,
${\delta }_{\mathrm{red}}\approx 0,513\cdot 10^{\circ }=5,13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{violet}}\approx 0,531\cdot 10^{\circ }=5,31^{\circ }$
beträgt die Spreizung $0,18^{\circ }$, oder $0,18\cdot \pi /180=3,1\times 10^{-3}\mathrm{rad}$. Auf der Wand ist das Spektrum also etwa $2,0\mathrm{m}\cdot 3,1\times 10^{-3}=6,3\mathrm{mm}$ breit, während der ganze Fleck um etwa $2,0\tan 5,2^{\circ }\approx 0,18\mathrm{m}$ wandert. Eine exakte Rechnung mit dem Brechungsgesetz bei $5^{\circ }$ Einfall ergibt $5,16^{\circ }$ und $5,35^{\circ }$: Die Regel stimmt auf besser als 1 % genau.

Mit dem Flintglas der Animation ergibt dasselbe Prisma $0,733\cdot 10^{\circ }=7,3^{\circ }$ für Rot und $8,0^{\circ }$ für Violett: das 1,4-Fache der Ablenkung, aber das 3,7-Fache der Spreizung, $0,67^{\circ }$, was ein 23 mm breites Spektrum ergibt.

Regentropfen und der Regenbogenwinkel

Sonnenlicht tritt unter dem Einfallswinkel $\theta$ in einen kugelförmigen Regentropfen ein, wird zu ${\theta }^{\prime }$ gebrochen mit $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$, reflektiert einmal an der Rückseite und tritt wieder aus. Dabei trifft es die Oberfläche im Inneren jedes Mal unter demselben ${\theta }^{\prime }$, weil der Tropfen rund ist. Beim Eintritt dreht es sich um $\theta -{\theta }^{\prime }$, an der Rückseite um $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$ und beim Austritt um $\theta -{\theta }^{\prime }$, insgesamt $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$. Es kehrt also unter dem Winkel
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$
zur Richtung entgegengesetzt zur Sonne zurück.

In der Animation tritt der weiße Strahl unter $\theta =59,3^{\circ }$ ein ($\sin \theta =0,86$). Für Rot gilt $\sin {\theta }^{\prime }=0,86/1,3305=0,6464$, also ${\theta }^{\prime }=40,27^{\circ }$ und $\phi =4\cdot 40,27^{\circ }-2\cdot 59,32^{\circ }=42,4^{\circ }$. Violett mit $n=1,3435$ hat ${\theta }^{\prime }=39,80^{\circ }$ und $\phi =40,6^{\circ }$: die beiden $\phi$-Anzeigen. Strahlen, die höher oder tiefer eintreten, kehren unter kleineren Winkeln zurück, sodass sich das Licht nahe diesem größten Winkel sammelt.

Tropfen, die $42,4^{\circ }$ vom Punkt entgegengesetzt zur Sonne entfernt liegen (dem Schatten deines Kopfes), schicken dir also Rot, und jene bei $40,6^{\circ }$ schicken Violett: Rot ist der äußere Rand des Bogens. Die Sonne muss hinter dir stehen und weniger als 42° über dem Horizont, sonst liegt der Bogen unter dem Horizont.

Lichter addieren, Farben subtrahieren

Das Auge hat drei Arten von Farbrezeptoren (Zapfen), die am empfindlichsten für rotes, grünes und blaues Licht sind. Lichter, die auf dieselbe Stelle fallen, addieren sich: Rot plus Grün erregt die Zapfen ungefähr so wie spektrales Gelb bei 580 nm, sodass die Stelle gelb wirkt, und Rot, Grün und Blau zusammen wirken weiß. Bildschirme erzeugen ihre Farben auf diese Weise aus winzigen roten, grünen und blauen Punkten.

Farbstoffe, Tinten und Filter subtrahieren: Jeder absorbiert einen Teil des Lichts, und das Auge empfängt, was übrig bleibt. Gelbe Farbe absorbiert Blau und cyanfarbene Farbe absorbiert Rot, sodass ihre Mischung nur Grün zurückwirft. Die Farbe eines Gegenstands hängt außerdem vom Licht ab: Unter reinem blauen Licht hat eine reife Tomate kein Rot zum Zurückwerfen und wirkt fast schwarz.

Häufige Fehler

• Das Prisma erzeugt keine Farben: Es sortiert die bereits im weißen Licht enthaltenen, und ein zweites, umgekehrt gestelltes Prisma führt sie wieder zu Weiß zusammen.
• Licht ändert im Glas seine Farbe nicht. Rotes Licht behält seine Frequenz von $4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$; seine Wellenlänge schrumpft von 700 nm auf $700/1,733=404\mathrm{nm}$, und trotzdem bleibt es rot.
• Eine größere Brechzahl bedeutet langsameres, nicht schnelleres Licht: Violett mit $n=1,800$ durchquert das Glas mit $1,67\times 10^{8}m/s$, Rot mit $1,73\times 10^{8}m/s$.
• Die Regel für dünne Prismen braucht ein dünnes Prisma. Für das 60°-Prisma der Animation ergibt $(n-1)\alpha$ für Rot $44^{\circ }$ statt $60,9^{\circ }$ und eine Spreizung von $4,0^{\circ }$ statt $12,2^{\circ }$. Und $n\alpha$ ist für jedes Prisma falsch: Nur der Überschuss von $n$ über 1 bricht das Licht.
• Lichter zu mischen ist nicht dasselbe wie Farben zu mischen: Rotes und grünes Licht ergeben Gelb, rote und grüne Farbe dagegen ein trübes Braun, weil jede Farbe den größten Teil dessen absorbiert, was die andere zurückwirft.

Wo man es antrifft

Spektrometer zerlegen das Licht von Sternen, Flammen und Lampen in Spektren, die verraten, woraus die Quelle besteht. Geschliffene Diamanten funkeln farbig, weil Diamant eine große Brechzahl von 2,42 und eine starke Dispersion hat. In Linsen ist die Dispersion ein Ärgernis: Eine einfache Linse fokussiert Violett näher als Rot, und eine Kronglaslinse, mit einer schwächeren zerstreuenden Flintglaslinse verkittet, hebt den Fehler größtenteils auf, wie in Linsen und Spiegel sowie Auge, Kamera und Teleskop gezeigt wird. In optischen Fasern verwischt sie kurze Pulse. Gitter, in Beugung und Doppelspalt behandelt, sortieren die Farben stattdessen durch Interferenz und beugen Rot am stärksten, genau umgekehrt wie ein Prisma.

Fortgeschritten

Warum Licht im Glas langsamer ist

Die Brechzahl $n$ gibt an, wie viel langsamer sich Licht in einem Stoff ausbreitet als im Vakuum, und das Prisma zeigt, dass $n$ von der Farbe abhängt. Um zu verstehen, warum, betrachte, woraus Glas besteht: Atomkerne und gebundene Elektronen, dazwischen leerer Raum, in dem sich jedes elektrische Feld genau mit $c$ ausbreitet. Die langsamere Welle im Glas muss daher ein Gesamteffekt sein. Die ankommende Welle bringt die Elektronen zum Schwingen, die schwingenden Elektronen strahlen, und ihre Strahlung addiert sich zur ankommenden Welle. Dieser Abschnitt stellt die beiden Teile bereit; der nächste Abschnitt addiert sie.

Im Lorentz-Modell wird jedes Elektron mit der Ladung $q_e$ und der Masse $m$ durch eine federartige Kraft an seinem Platz gehalten, sodass es ohne äußere Einwirkung mit einer Eigenfrequenz ${\omega }_0$ schwingen würde. Das elektrische Feld des Lichts am Elektron ist $E_0{e}^{i\omega t}$, wobei $\omega$ die Kreisfrequenz des Lichts ist und das physikalische Feld der Realteil ist. Das zweite newtonsche Gesetz und seine stationäre Lösung lauten
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
Um die Lösung zu finden, setze $x\propto e^{i\omega t}$ an, sodass $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ gilt, und bestimme die Amplitude. Das Elektron schwingt mit der antreibenden Frequenz, nicht mit seiner eigenen. Unterhalb der Resonanz, $\omega <{\omega }_0$, ist der Faktor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ positiv, sodass der Dipol $q_{e}x$ im Takt des Feldes schwingt, und seine Amplitude wächst, wenn sich $\omega$ dem Wert ${\omega }_0$ nähert.

Nun betrachte eine dünne Schicht des Materials mit der Dicke $\Delta z$ quer zum Strahl, mit $N$ Elektronen pro Volumeneinheit. Entlang des Strahls gesehen ist sie eine flache Scheibe, die pro Flächeneinheit eine Ladung $N{q}_e\Delta z$ trägt, und alle Ladungen schwingen gemeinsam in der Ebene der Scheibe. Eine solche Scheibe strahlt auf jeder Seite eine ebene Welle ab, deren Feld proportional zur Geschwindigkeit ihrer Ladungen ist (ein Ergebnis aus Elektromagnetische Wellen; ${\epsilon }_0$ ist die elektrische Feldkonstante):
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
Da die Schicht dünn ist, ist $E_a$ klein. Am wichtigsten ist sein Zeitpunkt: Es folgt der Geschwindigkeit $\dot{x}$, nicht der Auslenkung $x$, und das verschiebt es um eine Viertelperiode.

Eine dünne Schicht verzögert die Welle

Zwei Wellen gleicher Frequenz addieren sich wie Pfeile. Abbildung 1 nutzt das, um zu zeigen, wie aus einer kleinen Welle, die eine Viertelperiode hinterherhinkt, eine Verzögerung der ganzen Welle wird, und genau das bedeutet eine kleinere Geschwindigkeit.

Legende

$E_0$	Welle, die auf die Schicht trifft, als Pfeil gezeichnet, dessen Länge die Amplitude und dessen Richtung die Phase angibt.	$V/m$
$E_a$	Welle, die von den Elektronen der Schicht abgestrahlt wird: klein und eine Viertelperiode hinter $E_0$, daher im rechten Winkel im Uhrzeigersinn gezeichnet.	$V/m$
$E^{\prime }$	Welle hinter der Schicht: die Summe aus $E_0$ und $E_a$.	$V/m$
$\phi$	Winkel von $E_0$ zu $E^{\prime }$: die Phasenverzögerung $\omega (n-1)\Delta z/c$, die die Schicht hinzufügt, gleich $|E_a|/|E_0|$.	$\mathrm{rad}$

In Abbildung 1 ist jede Welle ein Pfeil in der komplexen Ebene: Seine Länge ist die Amplitude und seine Richtung die Phase, wobei der gemeinsame Faktor $e^{i\omega t}$ weggelassen wird. Jenseits der Schicht laufen beide Wellen mit $c$ weiter, sodass der Faktor, den sie dabei aufnehmen, ebenfalls für beide gleich ist und weggelassen wird. Die ankommende Welle $E_0$ ist der waagerechte Pfeil. Um die Richtung von $E_a$ zu finden, setze die Bewegung des Elektrons in seine Formel ein. Da $\dot{x}=i\omega x$ gilt,
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
Unterhalb der Resonanz ist der Bruch positiv (das Vorzeichen von $q_e$ fällt heraus, da nur $q_e^2$ auftritt), sodass $E_a$ gleich $E_0$ mal einer kleinen positiven Zahl mal $-i$ ist. Die Multiplikation mit $-i=e^{-i\pi /2}$ dreht einen Pfeil um einen rechten Winkel im Uhrzeigersinn, und das ist dasselbe, wie $t$ durch $t-T/4$ zu ersetzen, wobei $T$ die Periode ist: Die Welle ist eine Viertelperiode spät dran. Das ist der kurze Pfeil $E_a$, der senkrecht nach unten zeigt.

Jenseits der Schicht addieren sich beide, und ihre Summe $E^{\prime }$ ist die Diagonale. Betrachte das rechtwinklige Dreieck. Da $E_a$ senkrecht auf $E_0$ steht und viel kürzer ist, hat $E^{\prime }$ in erster Näherung die Länge von $E_0$ (die Längenänderung ist von zweiter Ordnung in $|E_a|/|E_0|$), ist aber um einen kleinen Winkel $\phi =|E_a|/|E_0|$ im Uhrzeigersinn gedreht. Im Uhrzeigersinn gedreht heißt: in der Phase hinterher. Die Abbildung zeichnet $\phi$ groß, damit die Teile zu sehen sind; bei einer dünnen Schicht ist er winzig.

Nun vergleiche mit dem, was eine langsamere Welle täte. Angenommen, das Licht durchquerte die Schicht wirklich mit der Geschwindigkeit $c/n$. Dann bräuchte es $n\Delta z/c$ statt $\Delta z/c$, käme also um $(n-1)\Delta z/c$ später an, und sein Pfeil wäre um die Phase $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$ zurückgedreht. Für kleines $\phi$ wird die Welle jenseits der Schicht mit
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
multipliziert, das heißt, die ursprüngliche Welle plus ein kleines Stück, eine Viertelperiode hinterher, von relativer Größe $\phi$: genau die Form von $E_0+E_a$ in Abbildung 1. Beide Beschreibungen stimmen überein, wenn die kleinen Stücke gleich sind. Setzt man $\omega (n-1)\Delta z/c$ gleich dem Bruch in $E_a$ von oben, heben sich die Faktoren $\omega$, $\Delta z$ und $c$ heraus und es bleibt
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

Das ist die Brechzahl eines verdünnten Materials. Jede Schicht zieht die Phase ein wenig zurück, um einen Betrag, der davon abhängt, wie stark die Elektronen reagieren, und das hängt von $\omega$ ab: Die Dispersion steckt im Mechanismus. Zur Kontrolle der Größenordnung nimm Luft mit einem wirksamen Elektron pro Molekül, $N=2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, und einer Resonanz nahe 100 nm. Die Formel ergibt $n-1\approx 1\times 10^{-4}$, die richtige Größenordnung für den gemessenen Wert $2,9\times 10^{-4}$.

Unterhalb der Resonanz: cauchysches Gesetz, blauer Himmel

Sichtbares Licht liegt am niederfrequenten Ende dieser Formel, und ihre Entwicklung dort ergibt das einfache Gesetz für Prismen. Glas und Wasser haben ihre starken Resonanzen im Ultravioletten, daher liegt $\omega$ für sichtbares Licht weit unter ${\omega }_0$ (Abbildung 3, in einem späteren Abschnitt, zeigt die ganze Kurve).

Benennen wir zuerst den Grenzwert für niedrige Frequenzen. Bei $\omega =0$ ergibt die Formel $n=A$, mit $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$, also gilt für jedes $\omega$
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
mit $1/(1-u)\approx 1+u$ für kleines $u$. Mit $\omega =2\pi c/\lambda$ und der Resonanzwellenlänge ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$ ist das Verhältnis ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ gleich ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$. Das Ergebnis ist das cauchysche Gesetz, $n\approx A+B/{\lambda }^2$ mit $B=(A-1){\lambda }_0^2$. Rückwärts gelesen verraten gemessene $A$ und $B$, wo die Resonanz liegt. Die Anpassungen der Animation ergeben ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0,700}\approx 150\mathrm{nm}$ für das Flintglas ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) und $\sqrt{3090/0,3242}\approx 100\mathrm{nm}$ für Wasser ($A=1,3242$, $B=3090\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$), beide im Ultravioletten, wie erwartet.

Das cauchysche Gesetz erklärt auch, warum ein Prisma das violette Ende des Spektrums stärker auffächert als das rote. Die erste Expertengrafik der Animation trägt $n(\lambda )$ von 400 bis 700 nm auf, mit einem Punkt für jede Strahlfarbe. Ihre Steigung, $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, beträgt $-9,3\times 10^{-5}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ bei 700 nm und $-5,0\times 10^{-4}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ bei 400 nm. Wegen der dritten Potenz ist die Kurve am violetten Ende $(7/4{)}^3\approx 5,4$-mal steiler.

Das Prisma verwandelt dann jeden Unterschied in der Brechzahl in einen Winkelunterschied. Der Scheitelwinkel sei $\alpha$ (60° in der Animation). Ein Strahl trifft die erste Fläche unter dem Einfallswinkel ${\theta }_1$ (55°) und wird zu ${\theta }_2$ gebrochen; er trifft die zweite Fläche unter ${\theta }_3$ und tritt unter ${\theta }_4$ aus. Das Brechungsgesetz an den beiden Flächen liefert $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ und $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$, und das Dreieck liefert ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Nun ändere $n$ leicht und halte ${\theta }_1$ fest. Die erste Beziehung ergibt $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$, und das Dreieck ergibt $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$. Setze beides in das Differential der zweiten Beziehung ein, $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$, und verwende $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$:
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
Für Rot sind das 2,4 rad pro Einheit von $n$. Für Violett, dessen austretender Strahl fast streifend verläuft, sodass $\cos {\theta }_4$ klein ist, sind es 4,7. Beide Effekte begünstigen das violette Ende. Pro Nanometer Wellenlänge ändert sich der Austrittswinkel um $2,4\cdot 9,3\times 10^{-5}\approx 2,2\times 10^{-4}$ rad bei 700 nm, aber um $4,7\cdot 5,0\times 10^{-4}\approx 2,4\times 10^{-3}$ rad bei 400 nm, also etwa zehnmal mehr: Das violette Ende des Fächers wird gestreckt.

Dieselben getriebenen Elektronen strahlen auch seitwärts ab, und das gibt dem Himmel seine Farbe. Weit unterhalb der Resonanz hängt die Amplitude $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ kaum von $\omega$ ab, weil ${\omega }^2$ klein neben ${\omega }_0^2$ ist. Ein schwingender Dipol strahlt eine Leistung ab, die proportional zum Quadrat seiner Beschleunigung ist, und die Beschleunigung ist ${\omega }^{2}x$. Also wächst die abgestrahlte Leistung wie ${\omega }^4{x}^2$, das heißt wie ${\omega }^4$. Luftmoleküle streuen Sonnenlicht daher proportional zu ${\omega }^4$ (Rayleigh-Streuung): $(650/450{)}^4\approx 4,4$-mal mehr bei 450 nm als bei 650 nm. Das blaue Licht, das aus dem Sonnenstrahl gestreut wird, füllt den Himmel, und was nach einem langen Weg durch die Luft übrig bleibt, wie bei Sonnenuntergang, ist rot.

Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit

Ein Prisma trennt die Farben im Raum. In einem langen Glasstück trennt die Dispersion sie auch in der Zeit, weil sich ein Puls nicht mit der Geschwindigkeit der Wellenberge in seinem Inneren ausbreitet. Abbildung 2 zeigt die beiden Geschwindigkeiten nebeneinander.

Legende

$t_1$	Erster Zeitpunkt.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Ein späterer Zeitpunkt; $\Delta t=t_2-t_1$.	$\mathrm{s}$
$E$	Elektrisches Feld des Pulses: die blaue Kurve, deren Wellenberge sich mit der Phasengeschwindigkeit bewegen, unter einer schraffierten Hüllkurve.	$V/m$
$v\Delta t$	Strecke, die ein Wellenberg zwischen $t_1$ und $t_2$ zurücklegt: die Phasengeschwindigkeit $v=c/n$ mal $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$v_g\Delta t$	Strecke, die der Scheitel der Hüllkurve in derselben Zeit zurücklegt: die Gruppengeschwindigkeit $v_g=c/n_g$ mal $\Delta t$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 verfolgt einen kurzen Puls violetten Lichts im Flintglas, gezeichnet zu zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$, die um $\Delta t$ auseinanderliegen. Die blaue Kurve ist das elektrische Feld $E$: eine Folge von Wellenbergen unter einer glatten Hüllkurve, dem schraffierten Umriss. Die Wellenberge bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit $v=c/n$, der Geschwindigkeit der Wellenberge einer endlosen Welle einer einzigen Frequenz. Der markierte Wellenberg rückt also um $v\Delta t$ vor, die längere blaue Strecke. Die Hüllkurve bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit, der Gruppengeschwindigkeit $v_g$, und rückt nur um $v_g\Delta t$ vor, die kürzere lila Strecke. Beobachte den Scheitel der Hüllkurve: Zum Zeitpunkt $t_1$ liegt der markierte Wellenberg darauf, und bis $t_2$ ist er ihr vorausgeeilt.

Die Abbildung verwendet das Glas der Animation bei 400 nm, wo $n=1,800$ gilt und, wie unten berechnet, der Gruppenindex $n_g=c/v_g$ 2,000 beträgt. In derselben Zeit durchlaufen die Wellenberge fünf Wellenlängen, die Hüllkurve aber nur $5\cdot 1,800/2,000=4,5$. Der Wellenberg, der zu $t_1$ auf dem Scheitel saß, liegt zu $t_2$ also eine halbe Wellenlänge vor ihm, und der Scheitel sitzt nun auf einem Tal. Am Ende des Pulses entstehen ständig neue Wellenberge, die durch ihn hindurch nach vorn wandern und am vorderen Rand verblassen.

Warum hat die Hüllkurve eine eigene Geschwindigkeit? Ein Puls ist wie jedes Signal eine Veränderung der Welle, und eine sich verändernde Welle ist eine Mischung benachbarter Frequenzen. Nimm nur zwei, bei $\omega \pm \delta \omega$, mit den Wellenzahlen $k\pm \delta k$. Ihre Summe ist eine Welle mit $\omega$ und $k$, deren Amplitude wie $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$ schwankt, und dieses Muster wandert mit $\delta \omega /\delta k$. Für ein schmales Frequenzband wird daraus
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

Im Glas gilt $k=n\omega /c$, wobei $n$ von $\omega$ abhängt, also $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$. Da $\lambda =2\pi c/\omega$ gilt, ergibt eine kleine Änderung $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$, daher $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$. Der Gruppenindex ist daher
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

Bei normaler Dispersion fällt $n$ mit wachsendem $\lambda$, $dn/d\lambda <0$, also gilt $n_g>n$: Pulse bewegen sich langsamer als die Wellenberge in ihrem Inneren. Mit dem cauchyschen Gesetz gilt $-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$ und $n_g=A+3B/{\lambda }^2$. Im Glas der Animation ergibt das 1,798 für Rot und 2,000 für Violett, gegenüber den Phasenindizes 1,733 und 1,800.

Nahe einer Resonanz: Absorption und anomale Dispersion

Das cauchysche Gesetz ist nur der niederfrequente Ausläufer des Oszillatorindex, und nahe ${\omega }_0$ divergiert die obige Formel für die Brechzahl, was kein reales Material tut. Reale Elektronen verlieren außerdem Energie, durch Stöße und durch ihre eigene Abstrahlung. Diesen Verlust modellieren wir durch einen Reibungsterm $\gamma \dot{x}$ in der Bewegungsgleichung, wobei $\gamma$ die Dämpfungsrate ist. Der Faktor ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ wird dann zu ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$, und der Index wird zu einer komplexen Zahl, geschrieben als $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ mit reellen $n^{\prime }$ und $n^{\prime \prime }$:
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

Legende

$n$	Brechzahl, hier eine komplexe Zahl $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$; die beiden Kurven sind ihre Teile.
$n^{\prime }$	Realteil des Index: Die Wellenberge bewegen sich mit $c/n^{\prime }$.
$n^{\prime \prime }$	Imaginärteil des Index: Er bestimmt, wie schnell die Welle absorbiert wird.
$\omega$	Kreisfrequenz des Lichts.	$rad/s$
${\omega }_0$	Eigenfrequenz der Elektronen: die Resonanz.	$rad/s$
$\gamma$	Dämpfungsrate; sie ist zugleich die Breite des Absorptionspeaks auf halber Höhe.	$rad/s$
$A$	Index bei sehr niedriger Frequenz, wo $n^{\prime }$ beginnt: das konstante Glied der cauchyschen Form.
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	Cauchy-Form (gestrichelt): Sie folgt $n^{\prime }$ weit unterhalb der Resonanz und versagt nahe ihr.

Abbildung 3 trägt $n^{\prime }$ und $n^{\prime \prime }$ gegen $\omega$ auf. Beginne links. Bei $\omega =0$ startet der Realteil $n^{\prime }$ bei $A$ und steigt langsam an, und die gestrichelte cauchysche Form $A+B/{\lambda }^2$ folgt ihm eng: Das ist der Bereich, in dem Prisma und Regenbogen leben. Bei Annäherung an ${\omega }_0$ versagt die gestrichelte Form. Der Realteil $n^{\prime }$ steigt zu einem Maximum, fällt steil genau bei $\omega ={\omega }_0$ durch 1, sinkt zu einem Minimum unter 1 und kriecht dann von unten wieder auf 1 zu. Der Imaginärteil $n^{\prime \prime }$ ist abseits der Resonanz fast null und bildet einen Gipfel, der auf ${\omega }_0$ zentriert ist und dessen Breite auf halber Höhe $\gamma$ beträgt.

Was $n^{\prime \prime }$ bedeutet: Eine Welle, die eine Strecke $z$ durch das Material zurückgelegt hat, trägt den Faktor $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$. Mit $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ zerfällt dieser in $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$, eine Welle, deren Wellenberge sich mit $c/n^{\prime }$ bewegen, mal $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$, eine Amplitude, die mit der Strecke schrumpft. Also ist $n^{\prime \prime }$ die Absorption. Abbildung 3 zeigt, dass sie nur innerhalb von etwa $\gamma$ um ${\omega }_0$ stark ist: Das Material ist nahe seiner Resonanz undurchsichtig und fern davon durchsichtig.

Über dieses Absorptionsband hinweg fällt $n^{\prime }$ mit steigender Frequenz, der steile Abschnitt von Abbildung 3. Das ist anomale Dispersion: Innerhalb des Bandes ist die Reihenfolge der Farben, die ein Prisma erzeugen würde, umgekehrt. Der Zusammenhang zwischen Absorption und Dispersion ist keine Eigenheit des Modells. Die Kramers-Kronig-Relationen, die allein aus der Kausalität folgen (keine Reaktion vor ihrer Ursache), machen ihn exakt: Ein Material, dessen Index sich von 1 unterscheidet, muss irgendwo im Spektrum absorbieren.

Rechts von Abbildung 3, oberhalb aller Resonanzen, wechselt die Korrektur von $n$ das Vorzeichen, und $n^{\prime }$ liegt unter 1. Bei Röntgenstrahlen ist praktisch jedes Elektron frei, und Glas hat bei 0,1 nm $n\approx 1-3\times 10^{-6}$, sodass die Wellenberge schneller als $c$ laufen. Kein Signal tut das. Hier ist $1-n$ proportional zu ${\lambda }^2$, also gilt $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$, und die Formel für den Gruppenindex ergibt $n_g=1+3\times 10^{-6}$. Ein Index unter 1 bedeutet außerdem, dass Röntgenstrahlen, die unter streifenden Winkeln unter etwa 0,15° auf eine polierte Fläche treffen, total reflektiert werden: das Prinzip der Spiegel von Röntgenteleskopen.

Reale Materialien haben mehrere Resonanzen. Die Summe ihrer Beiträge ergibt die sellmeiersche Form $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$, wobei jedes ${\lambda }_k$ eine Resonanzwellenlänge und $B_k$ ihre Stärke ist. Die elektronischen Terme liegen im Ultravioletten, die Terme schwingender Ionen im Infraroten. Dazwischen hat der Gruppenindex von Quarzglas ein Minimum nahe 1,3 µm, wo Pulse leicht unterschiedlicher Wellenlänge mit gleicher Geschwindigkeit laufen: die Nulldispersionswellenlänge von Telekommunikationsfasern.

Freie Elektronen, etwa in einem Plasma, spüren keine rücktreibende Kraft, also gilt ${\omega }_0=0$. Die vollständige Behandlung liefert dann $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$, mit der Plasmafrequenz ${\omega }_p$, die durch ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$ definiert ist. Die verdünnte Formel mit ${\omega }_0=0$ liefert ihre Form erster Ordnung, $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$. Unterhalb von ${\omega }_p$ ist $n^2$ negativ, und die Welle kann nicht hindurchlaufen: Sie wird reflektiert. Für die $10^{12}$ Elektronen pro Kubikmeter der Ionosphäre gilt ${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{MHz}$, sodass Radiowellen niedrigerer Frequenz, die senkrecht nach oben gesendet werden, wieder herunterkommen.

Der Regenbogen als stationärer Winkel

Der Index des Wassers ändert sich über das sichtbare Spektrum nur um etwa 1 %, von 1,3305 für Rot bei 700 nm bis 1,3435 für Violett bei 400 nm, und doch trennt ein Regenbogen die Farben sauber. Der Grund ist geometrisch: Ein Tropfen sendet das einmal im Inneren reflektierte Licht überwiegend in eine Richtung, und diese Richtung hängt von $n$ ab. Abbildung 4 zeigt, woher die bevorzugte Richtung kommt.

Legende

$b$	Stoßparameter eines Strahls: sein Abstand von der Achse des Tropfens in Einheiten des Radius, $b=\sin \theta$, mit $\theta$ dem Einfallswinkel.
$\phi$	Winkel zwischen dem austretenden Strahl und der Richtung entgegengesetzt zur Sonne (geradewegs von der Sonne weg), $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, mit ${\theta }^{\prime }$ dem Brechungswinkel.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_{\max }$	Der größte Austrittswinkel, auf der flachen Spitze der Kurve: der Regenbogenwinkel.	$\mathrm{rad}$
$\Delta \phi$	Höhe jedes schattierten Bandes: derselbe kleine Bereich von Austrittswinkeln in beiden.	$\mathrm{rad}$
$\Delta b_1$	Bereich von $b$, dessen Strahlen im oberen Band austreten: breit, weil die Kurve dort flach ist.
$\Delta b_2$	Bereich von $b$ am steigenden Hang, dessen Strahlen im unteren Band austreten: schmal, weil die Kurve dort steil ist.

Abbildung 4 gilt für rotes Licht und für die Strahlen, die in einen kugelförmigen Tropfen eintreten, einmal im Inneren reflektiert werden und austreten. Das Sonnenlicht fällt gleichmäßig auf die Fläche des Tropfens. Kennzeichne jeden Strahl durch seinen Stoßparameter $b$: seinen Abstand von der Achse durch den Mittelpunkt des Tropfens, parallel zum Sonnenlicht, in Einheiten des Tropfenradius. Ein Strahl, der die Oberfläche unter dem Einfallswinkel $\theta$ trifft, hat $b=\sin \theta$, und er bricht unter ${\theta }^{\prime }$ in den Tropfen mit $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$. Jede der beiden Brechungen dreht den Strahl um $\theta -{\theta }^{\prime }$, und die Reflexion dreht ihn um $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, sodass er insgesamt um $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$ gedreht wird. Die senkrechte Achse ist der Winkel $\phi$ zwischen dem austretenden Strahl und der Gegensonnenrichtung, der Richtung geradeaus weg von der Sonne; er beträgt $180^{\circ }$ minus der gesamten Drehung:
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Folge nun der Kurve. Sie steigt im Mittelpunkt bei $b=0$ von null an, wo der Strahl geradewegs hinein- und wieder herausläuft. Sie flacht zu einem Maximum ${\phi }_{\max }$ ab, fällt dann am Rand bei $b=1$ auf etwa 15° ab, wo ihre Tangente senkrecht wird. Die zweite Expertengrafik der Animation zeigt die Spitze dieser Kurve für $b$ von 0,5 bis 1.

Die beiden schattierten Bänder haben dieselbe Höhe $\Delta \phi$: eines am steigenden Hang, eines oben. Verfolge jedes Band nach unten zur $b$-Achse, um zu sehen, welche Strahlen darin landen. Am steilen Hang fällt nur ein schmaler Bereich $\Delta b_2$ von Strahlen in das Band, dazu ein dünner Streifen von Randstrahlen nahe $b=1$, wo die Kurve durch das Band zurück nach unten stürzt. Auf der flachen Spitze fängt ein etwa dreimal breiterer Bereich $\Delta b_1$ sie auf. Die Strahlen müssen außerdem nach Fläche gezählt werden: Strahlen mit Stoßparameter zwischen $b$ und $b+db$ treffen einen Ring der Tropfenfläche, dessen Fläche proportional zu $bdb$ ist, sodass Strahlen weit von der Mitte mehr zählen. Mit dieser Gewichtung sammelt das obere Band etwa 40 % aller einmal reflektierten roten Strahlen und das untere nur etwa 9 %. Das ist der ganze Effekt: Wo $\phi$ stationär ist, verlassen viele Strahlen den Tropfen in fast derselben Richtung, und diese Richtung wirkt hell.

Um die Spitze zu finden, setze $d\phi /d\theta =0$. Aus $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$ folgt dafür $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$. Differenziert man das Brechungsgesetz, ergibt sich $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$, also gilt auf der Spitze $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$. Quadriere dies und ersetze $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$. Dann gilt $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$, was ergibt
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(rainbow)}$

Für Rot gilt ${\cos }^2\theta =(1,3305^2-1)/3=0,2567$, also $\theta =59,6^{\circ }$ ($b=0,862$), ${\theta }^{\prime }=40,4^{\circ }$ und ${\phi }_{\max }=42,4^{\circ }$. Für Violett ergibt $n=1,3435$ $b=0,855$ und ${\phi }_{\max }=40,6^{\circ }$. Rotes Licht kehrt also unter bis zu 42,4° von der Gegensonnenrichtung zurück und Violett nur bis 40,6°, sodass Rot außen am Bogen liegt. Der Strahl der Animation bei $b=0,86$ liegt fast genau auf beiden Maxima, die seine gestrichelten Linien markieren.

Wie scharf ist der Rand des Bogens? In seiner Nähe wächst ${\phi }_{\max }-\phi$ mit dem Quadrat des Abstands vom Scheitel entlang der $b$-Achse. Umgekehrt wächst der Bereich von $b$, der innerhalb eines Winkels $\delta$ vom Scheitel landet, nur wie $\sqrt{\delta }$, sodass die Zahl der Strahlen pro Winkeleinheit wie $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$ wächst, wenn sich $\phi$ dem Wert ${\phi }_{\max }$ nähert. In Zahlen: Etwa ein Fünftel der einmal reflektierten roten Strahlen verlässt den Tropfen innerhalb von 1° vom Maximum, rund fünfzehnmal mehr als in einem 1°-Band um 20°. Jenseits von ${\phi }_{\max }$ kommt überhaupt keiner an, sodass der Himmel knapp innerhalb des Bogens heller ist als knapp außerhalb.

Strahlen, die im Tropfen zweimal reflektiert werden, ergeben einen zweiten Bogen. Für sie gilt ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$, was stationär ist, nun an einem Minimum, wo ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$ gilt: bei 50,2° für Rot und 53,6° für Violett. Dieser sekundäre Bogen ist lichtschwächer, weil bei jeder Reflexion Licht verloren geht, und seine Farben sind umgekehrt, mit Rot innen. Zwischen 42,4° und 50,2° kommt keine der beiden Strahlarten an, sodass das Band des Himmels zwischen den beiden Bögen dunkler ist.

Rechenaufgabe: ein Lichtblitz durch das Flintglas

Angenommen, das Flintglas des Prismas ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$) ist zu einer 1,00 km langen Faser gezogen, und ein kurzer Blitz weißen Lichts wird hineingeschickt. Wie weit auseinander liegen die Ankunftszeiten seiner roten (700 nm) und violetten (400 nm) Anteile, und was würden die gewöhnlichen Phasenindizes vorhersagen?

Jede Farbe läuft als Puls und bewegt sich daher mit ihrer Gruppengeschwindigkeit, und deshalb ist der Gruppenindex der richtige. Mit dem cauchyschen Gesetz gilt $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, also
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
Hier ist $B/{\lambda }^2$ gleich $16000/700^2=0,03265$ für Rot und $16000/400^2=0,1000$ für Violett, was $n_{g,\mathrm{red}}=1,700+3\cdot 0,03265=1,798$ und $n_{g,\mathrm{violet}}=1,700+3\cdot 0,1000=2,000$ ergibt. Jeder Anteil braucht $t=L{n}_g/c$: $5,997\mu \mathrm{s}$ für Rot und $6,671\mu \mathrm{s}$ für Violett. Die Verzögerung zwischen ihnen ist
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{violet}}-n_{g,\mathrm{red}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0,202}{2,998\times 10^8}=674\mathrm{ns}$

Mit den Phasenindizes stattdessen ergibt sich $n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}}=0,1000-0,03265=0,06735$ und $1000\cdot 0,06735/(2,998\times 10^8)=225\mathrm{ns}$, also dreimal zu wenig. Was einen Puls streckt, ist, wie schnell sich $n$ mit der Farbe ändert, nicht die Größe von $n$ selbst. Ein 1 ns langer weißer Blitz verlässt die Faser daher als etwa 0,67 µs langer Streifen, Rot zuerst. Telekommunikationsstrecken vermeiden das, indem sie Laserlicht von nur 0,1 nm Breite durch Quarzglas bei etwa 1,55 µm senden, wo die Spreizung etwa 17 ps pro Nanometer Bandbreite und Kilometer beträgt: unter 2 ps pro Kilometer.

Grenzen der Gültigkeit

Das Oszillatormodell ist klassisch. Die Quantenmechanik behält seine Form, ändert aber ihre Bedeutung: Jede Resonanz ist ein atomarer Übergang vom Grundzustand mit der Energie $E_{\mathrm{g}}$ in einen angeregten Zustand mit der Energie $E_k$, mit $\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{g}}$, und jeder geht mit einem Gewicht ein, das seine Oszillatorstärke heißt. Das verdünnte Ergebnis ignoriert außerdem das Feld benachbarter Dipole. In einem dichten Festkörper ändert dieses lokale Feld das Ergebnis zu $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$, was für $n$ nahe 1 auf unsere Formel zurückführt. Innerhalb eines Absorptionsbandes kann die Gruppengeschwindigkeit $c$ übersteigen oder sogar negativ werden. Der Puls wird dann stark umgeformt, sein Maximum markiert kein Signal mehr, und die Front eines Signals überholt $c$ dennoch nie.

Das Strahlenbild des Regenbogens braucht Tropfen, die viel größer sind als die Wellenlänge. In kleineren Tropfen interferieren Strahlen, die unter demselben Winkel auf verschiedenen Wegen austreten, und fügen dicht innerhalb des Violetten schwache Nebenbögen hinzu. Im Nebel verschmieren Tröpfchen von etwa $d=10$ µm Durchmesser jede Farbe um ungefähr $\lambda /d\approx 3^{\circ }$, mehr als die knapp 2° zwischen Rot und Violett, sodass ein Nebelbogen fast weiß ist.

Schließlich ist Farbe nicht gleich Wellenlänge. Das Auge reduziert jedes Spektrum auf drei Zapfensignale, sodass eine Mischung aus rotem und grünem Licht genau dem spektralen Gelb entsprechen kann und kein Bildschirm mit drei Grundfarben jede Spektralfarbe darstellen kann.

Wohin das führt

Der getriebene Oszillator ist der aus Dämpfung und Resonanz, nun bei optischen Frequenzen, und die abstrahlende Ladungsschicht gehört zu Elektromagnetische Wellen. Der stationäre Winkel des Regenbogens erinnert an das fermatsche Prinzip aus Reflexion und Brechung: Dort ist die Laufzeit stationär, hier der Austrittswinkel, und in beiden Fällen verstärken sich benachbarte Strahlen gegenseitig. Farbfehler von Linsen und ihre Behebung kehren in Linsen und Spiegel sowie in Auge, Kamera und Teleskop zurück; Gitter, die Farben durch Interferenz sortieren, in Beugung und Doppelspalt; und die teilweise Polarisation des blauen Himmels in Polarisation des Lichts. Die Resonanzfrequenzen selbst stammen aus den Energieniveaus der Atome; Atommodelle: das bohrsche Atom beginnt, sie zu erklären.