Geradlinige Bewegung

Einsteiger

Die Kinematik ist der Teil der Physik, der Bewegung beschreibt, ohne zu fragen, was sie verursacht. Um zu beschreiben, wie sich etwas auf einer geraden Linie bewegt, brauchen wir drei Begriffe.

Der Ort sagt dir, wo sich das Objekt befindet, gemessen von einem Startpunkt aus, in Metern. Die Geschwindigkeit sagt dir, wie schnell sich der Ort ändert und in welche Richtung, in Metern pro Sekunde. Die Schnelligkeit ist nur das „Wie schnell“ ohne Richtung; die Geschwindigkeit ist Schnelligkeit plus Richtung. Die Beschleunigung sagt dir, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert, in Metern pro Sekunde pro Sekunde (m/s²).

Fährt ein Radfahrer 100 Meter in 20 Sekunden, ist seine mittlere Schnelligkeit $100÷20=5m/s$. Fährt ein Auto aus dem Stillstand in 4 Sekunden auf 20 m/s, gewinnt es jede Sekunde 5 m/s, also ist seine Beschleunigung 5 m/s².

Ein häufiger Irrtum ist, zu glauben, ein schnelles Objekt müsse beschleunigen. Ein Auto, das mit gleichbleibenden 30 m/s auf der Autobahn fährt, hat die Beschleunigung null, weil sich seine Geschwindigkeit nicht ändert. Eine Radfahrerin, die bremst, hat dagegen eine Beschleunigung: Langsamer werden ist auch eine Änderung der Geschwindigkeit, und ihre Beschleunigung zeigt nach hinten.

In der Animation gewinnt das Auto jede Sekunde 6 m/s, und die grauen Punkte markieren, wo es nach jeder Sekunde ist. Die Abstände werden größer: Genau so sieht Beschleunigung aus.

Schau dir die goldenen Abstände an: 3 m, 9 m, 15 m, 21 m. Sie wachsen wie die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7 (mal 3 m). Galilei fand dieses Muster Anfang der 1600er-Jahre, indem er die Zeit maß, die Kugeln eine schiefe Ebene hinunterrollen, und es ist das Kennzeichen gleichmäßiger Beschleunigung aus dem Stillstand.

Mittelstufe

Was wir messen und von wo aus

Um eine Bewegung zu beschreiben, brauchen wir zuerst ein Bezugssystem: einen Ursprung, eine positive Richtung entlang der Linie und eine Uhr. Der Ort $x$ ist dann eine vorzeichenbehaftete Zahl in Metern: $x=30\mathrm{m}$ liegt 30 Meter auf der positiven Seite des Ursprungs, $x=-5\mathrm{m}$ liegt 5 Meter auf der anderen Seite. Ein anderes Bezugssystem liefert andere Zahlen für dieselbe Bewegung.

Die Ortsänderung ist die Verschiebung, $\Delta x=x-x_0$, wobei $x_0$ der Startort ist. Sie hat ein Vorzeichen und hängt nur davon ab, wo das Objekt gestartet und wo es geendet ist. Die zurückgelegte Strecke ist die Länge des gesamten Weges und ist nie negativ. Gehst du 10 m nach vorn und 10 m zurück, hast du 20 m zurückgelegt, aber deine Verschiebung ist null.

Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Änderungsraten

Die Geschwindigkeit misst, wie schnell sich der Ort ändert. Über ein Zeitintervall $\Delta t$ ist die mittlere Geschwindigkeit
$v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Ihr Vorzeichen gibt die Bewegungsrichtung an. Die Schnelligkeit ist der Betrag der Geschwindigkeit, ohne Vorzeichen. Die mittlere Schnelligkeit ist die zurückgelegte Strecke geteilt durch die Zeit; sie ist nur dann gleich dem Betrag von $v_{\mathrm{avg}}$, wenn das Objekt nie umkehrt. Die Geschwindigkeit in einem Augenblick, die Anzeige am Tacho, ist die mittlere Geschwindigkeit über ein sehr kurzes Intervall.

Die Beschleunigung misst, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert: $a=\Delta v/\Delta t$, in Metern pro Sekunde pro Sekunde (m/s²). Eine Beschleunigung von 6 m/s² addiert jede Sekunde 6 m/s zur Geschwindigkeit. Haben $v$ und $a$ dasselbe Vorzeichen, wird das Objekt schneller; haben sie entgegengesetzte Vorzeichen, wird es langsamer. Ist $a=0$, ist die Bewegung gleichförmig: $x=x_0+vt$, gleiche Strecken in gleichen Zeiten.

Die Gleichungen für konstante Beschleunigung

Wenn $a$ konstant ist, ändert sich die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Betrag. Ihr Mittelwert über ein beliebiges Intervall liegt daher genau in der Mitte zwischen Anfangs- und Endwert, $\frac{1}{2}(v_0+v)$. Multipliziert man diesen Mittelwert mit der Zeit, erhält man die Verschiebung. Diese beiden Tatsachen führen zu vier Gleichungen:

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2=v_0^2+2a\Delta x$
• $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Jede Gleichung verknüpft vier der fünf Größen $\Delta x$, $v_0$, $v$, $a$ und $t$, sodass drei bekannte Werte die beiden anderen liefern. Wähle die Gleichung, die die Größe weglässt, die du weder kennst noch brauchst: Spielt die Zeit keine Rolle, nimm die dritte; ist die Beschleunigung unbekannt, nimm die vierte.

Durchgerechnetes Beispiel: das Auto aus der Animation

Das Auto startet aus der Ruhe im Ursprung, also $v_0=0$ und $x_0=0$, und beschleunigt mit $a=6m/{\mathrm{s}}^2$. Nach $t=4\mathrm{s}$:
$v=v_0+at=0+6\cdot 4=24m/s$
$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4^2=48\mathrm{m}$

Das sind die Endwerte auf den Anzeigen für $v$ und $x$. Die dritte Gleichung prüft sie, ohne die Zeit zu benutzen: $v^2=2\cdot 6\cdot 48=576{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, also $v=24m/s$. Nach 1, 2 und 3 s ist das Auto bei 3 m, 12 m und 27 m, also sind die Abstände zwischen den grauen Punkten 3, 9, 15 und 21 m, jeweils 6 m länger als der vorherige. Die mittlere Geschwindigkeit ist $48/4=12m/s$, die Hälfte des Endwerts, wie die vierte Gleichung für einen Start aus der Ruhe vorhersagt.

Inzwischen wächst der blaue $v$-Pfeil jede Sekunde um denselben Schritt, während der grüne $a$-Pfeil seine Länge behält: Konstante Beschleunigung bedeutet in gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitszuwächse, nicht gleiche Strecken.

Durchgerechnetes Beispiel: Anhalteweg

Eine Fahrerin fährt mit 14 m/s (etwa 50 km/h), als ein Ball auf die Straße rollt. Sie braucht etwa 1,0 s Reaktionszeit und bremst dann mit gleichmäßigen 7 m/s². Wie weit fährt das Auto, bevor es steht?

Während der Reaktionszeit legt das Auto $14\cdot 1,0=14\mathrm{m}$ mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Beim Bremsen gilt $v_0=14m/s$, $v=0$ und $a=-7m/{\mathrm{s}}^2$; das Vorzeichen ist negativ, weil die Beschleunigung der Bewegung entgegenzeigt. Die Zeit ist nicht gefragt, also verwende die dritte Gleichung:
$\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{0-14^2}{2\cdot (-7)}=14\mathrm{m}$

Das Auto steht 28 m, nachdem der Ball erschienen ist. Bei 28 m/s (etwa 100 km/h) verdoppelt sich der Reaktionsweg auf 28 m, aber der Bremsweg wird $28^2/(2\cdot 7)=56\mathrm{m}$, also viermal so groß: insgesamt 84 m. Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, deshalb sind die Geschwindigkeitsbegrenzungen in der Nähe von Schulen so niedrig.

Orts-Zeit- und Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme lesen

Im Orts-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit: Eine Gerade bedeutet gleichförmige Bewegung, eine waagerechte Linie bedeutet Ruhe, ein Abfall bedeutet Bewegung in negativer Richtung, und eine Kurve, die immer steiler wird, bedeutet Schnellerwerden.

Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung, und die Fläche unter der Linie ist die Verschiebung (Fläche unterhalb der Zeitachse zählt als negativ). Beim Auto steigt $v$ geradlinig von 0 auf 24 m/s in 4 s: Die Steigung ist $24/4=6m/{\mathrm{s}}^2$, und das Dreieck unter der Linie hat die Fläche $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 24=48\mathrm{m}$. Ist $v_0$ nicht null, ist die Fläche ein Trapez, $\frac{1}{2}(v_0+v)t$, das ist die vierte Gleichung.

Häufige Fehler

• Schnelligkeit ist nicht Geschwindigkeit: Zwei Autos mit 20 m/s in entgegengesetzten Richtungen haben dieselbe Schnelligkeit, aber die Geschwindigkeiten $+20$ und $-20m/s$.
• Geschwindigkeit null ist nicht Beschleunigung null. Ein Ball, der senkrecht nach oben mit 15 m/s geworfen wird, kommt nach $15/9,81\approx 1,5\mathrm{s}$ kurz zur Ruhe, etwa 11,5 m hoch, und fällt dann zurück; im höchsten Punkt ist seine Beschleunigung trotzdem $-g$.
• Negative Beschleunigung bedeutet nicht immer Abbremsen: Ein Auto, das in negativer Richtung schneller wird, hat $v<0$ und $a<0$. Vergleiche die Vorzeichen von $v$ und $a$.
• Die vier Gleichungen brauchen eine konstante $a$: Teile einen Bewegungsablauf, der sich ändert, etwa erst Fahren mit konstanter Geschwindigkeit und dann Bremsen, in Abschnitte auf.
• Rechne km/h zuerst in m/s um (durch 3,6 teilen), und behalte die ½ und das Quadrat in $\frac{1}{2}a{t}^2$: Lässt man sie weg, werden aus den 48 m des Autos 96 m oder 12 m.

Wo dir das begegnet

Anhaltewege, ein Sprinter, der über 100 m im Schnitt 10 m/s läuft, Aufzüge und Züge, die etwa 1 m/s² beschleunigen, damit sich die Fahrgäste wohlfühlen: All das ist geradlinige Kinematik. Sie ist auch das Vokabular für den Rest der Mechanik. Der freie Fall ist dieselbe Lektion mit $a=-g$, der Wurf ist zwei geradlinige Bewegungen zugleich, und das zweite newtonsche Gesetz liefert die Beschleunigung, die diese Gleichungen in eine Bahn verwandeln.

Fortgeschritten

Vom Mittelwert zur Momentangeschwindigkeit

Die Bewegungsgesetze sprechen von Zeitpunkten, doch jede gemessene Geschwindigkeit bezieht sich auf ein Zeitintervall. Dieser Abschnitt zeigt, wie man die Geschwindigkeit zu einem einzelnen Zeitpunkt erhält: Man bildet den Mittelwert über ein kurzes Intervall und sieht dann, wogegen er strebt, wenn das Intervall schrumpft.

Legende

$x$	Ort des Autos entlang seiner Bahn; die Kurve ist $x(t)$.	$\mathrm{m}$
$t$	Der Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit gesucht ist.	$\mathrm{s}$
$t+h$	Ein etwas späterer Zeitpunkt, eine Zeit $h$ nach $t$.	$\mathrm{s}$
$h$	Länge des Zeitintervalls von $t$ bis $t+h$.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Ortsänderung von $t$ bis $t+h$: der Anstieg der Sekante.	$\mathrm{m}$
$\bar{v}$	Mittlere Geschwindigkeit über das Intervall: die Steigung der Sekante, $\Delta x/h$.	$m/s$
$v$	Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$: die Steigung der Tangente, der sich die Sekanten für $h\to 0$ nähern.	$m/s$

Abbildung 1 zeigt den Ort des Autos aus der Animation, $x(t)=3t^2$, mit $x$ in Metern und $t$ in Sekunden. Wähle einen Zeitpunkt $t$ und einen etwas späteren Zeitpunkt $t+h$, wobei $h$ eine kurze Zeit ist. Die gerade Linie, die die beiden Punkte der Kurve verbindet, heißt Sekante. Auf ihr steigt der Ort um $\Delta x$, während die Zeit um $h$ voranschreitet; ihre Steigung $\Delta x/h$ ist die mittlere Geschwindigkeit $\bar{v}$ über das Intervall. Ausmultiplizieren von $(t+h{)}^2=t^2+2th+h^2$ ergibt
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{h}=\frac{3(t+h{)}^2-3t^2}{h}=\frac{6th+3h^2}{h}=6t+3h$

Nun schau auf die gestrichelte Sekante: Ihr fernes Ende ist die Kurve hinunter zum Punkt bei $t$ gerutscht. Wenn $h$ kleiner wird, dreht sich die Sekante und legt sich auf die mit $v$ beschriftete Linie, die Tangente, die die Kurve bei $t$ gerade berührt. In der Formel geht der Term $3h$ gegen null, also strebt die Steigung der Sekante gegen $6t$, die Steigung der Tangente. Bei $t=2\mathrm{s}$ fährt das Auto daher genau 12 m/s, obwohl jedes endliche Intervall, das in diesem Augenblick beginnt, ein wenig mehr ergibt, nämlich $12+3h$.

Dieser Grenzwert des Verhältnisses ist die Ableitung von $x$ nach $t$, und er definiert die Momentangeschwindigkeit. Derselbe Schritt, auf die Geschwindigkeit angewandt, definiert die Beschleunigung:
$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

Daraus folgen zwei Konsequenzen. Erstens kann eine einzelne Momentaufnahme keine Geschwindigkeit zeigen, denn eine Geschwindigkeit vergleicht Orte zu benachbarten Zeitpunkten. Das beantwortet Zenons Pfeil-Paradoxon, bei dem der Pfeil während seines Flugs in jedem Augenblick unbeweglich scheint: In jedem Augenblick hat er einen Ort, und seine Geschwindigkeit liegt darin, wie sich dieser Ort in der Nähe ändert. Zweitens bilden Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eine Kette von Ableitungen, $x\to v\to a$. Newtons Punktschreibweise fasst die beiden Schritte kompakt als $\dot{x}$ und $\ddot{x}$ zusammen.

Rückwärts integrieren: konstante Beschleunigung

Abwärts in der Kette bildet man Ableitungen; zurück nach oben geht man mit Integralen. Kennt man die Beschleunigung, liefert eine Integration die Geschwindigkeit und eine zweite den Ort. Dieser Abschnitt tut dies für den häufigsten Fall, eine konstante Beschleunigung $a$, und liest jeden Schritt aus einem Diagramm ab.

Legende

$v_0$	Geschwindigkeit am Anfang.	$m/s$
$v$	Geschwindigkeit nach der Zeit $t$: $v=v_0+at$.	$m/s$
$\bar{v}$	Mittlere Geschwindigkeit $\frac{1}{2}(v_0+v)$: das gestrichelte Niveau auf halber Höhe zwischen $v_0$ und $v$.	$m/s$
$at$	Während $t$ gewonnene Geschwindigkeit: die konstante Beschleunigung $a$ mal die Zeit.	$m/s$
$t$	Seit dem Start verstrichene Zeit.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Verschiebung während $t$: die schattierte Fläche unter der Linie.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit über der Zeit. Die Geschwindigkeit beginnt bei $v_0$. Weil die Beschleunigung konstant ist, wächst die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Betrag, also ist das Diagramm eine Gerade mit der Steigung $a$. Nach einer Zeit $t$ ist sie um $at$ gestiegen (die Klammer rechts), auf $v=v_0+at$. Als Integral, wobei die Integrationsvariable $t^{\prime }$ heißt, um sie von der oberen Grenze $t$ zu unterscheiden:
$v(t)=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }=v_0+at$

Über eine sehr kurze Zeit ist die Geschwindigkeit nahezu konstant, also ist die Verschiebung Geschwindigkeit mal diese Zeit: ein schmaler Streifen der Fläche unter dem Graphen. Addiert man die Streifen, ist die Verschiebung $\Delta x=x-x_0$ über die gesamte Zeit $t$ die schattierte Fläche unter der Linie. Zerlege sie in ein Rechteck mit der Höhe $v_0$ und der Breite $t$, Fläche $v_{0}t$, und ein Dreieck mit der Grundseite $t$ und der Höhe $at$, Fläche $\frac{1}{2}a{t}^2$:
$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t^{\prime })d{t}^{\prime }=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Dieselbe Fläche lässt sich auch in einem Stück zählen. Das gestrichelte Niveau $\bar{v}$ liegt auf halber Höhe zwischen $v_0$ und $v$. Weil die Linie gerade ist, schneidet sie dieses Niveau genau in der Mitte des Intervalls, bei $t/2$. Auf der linken Hälfte verläuft die Linie unterhalb des Niveaus und lässt eine dreieckige Lücke; auf der rechten Hälfte verläuft sie darüber und fügt ein Dreieck hinzu. Das sind die beiden dunkleren Dreiecke, und sie sind gleich groß, jeweils mit der Grundseite $t/2$ und der Höhe $at/2$. Schneidet man das rechte Dreieck ab und legt es in die linke Lücke, wird die Fläche unter der Linie zu einem Rechteck mit der Höhe $\bar{v}$ und der Breite $t$:
$\Delta x=\bar{v}t=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

Jede Integration brachte eine Konstante ein: $v_0$ beim ersten Mal, $x_0$ beim zweiten. Sie sind keine Verzierung. Die Beschleunigung bestimmt die Form der Bewegung; der Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, welche Bewegung dieser Form tatsächlich stattfindet. Deshalb braucht das zweite newtonsche Gesetz, das die Beschleunigung liefert, immer genau zwei Angaben zum Anfang.

Eine weitere Beziehung lässt die Zeit weg, was hilft, wenn die Zeit weder gegeben noch gefragt ist. Sie folgt aus der Kettenregel: Da $dx/dt=v$ gilt,
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},\text{so}adx=vdv$
Bei konstantem $a$ integriere die linke Seite von $x_0$ bis $x$ und die rechte Seite von $v_0$ bis $v$. Das ergibt $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$, also
$v^2=v_0^2+2a\Delta x$

Multipliziert man beide Seiten von $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$ mit der Masse $m$, lautet sie $ma\Delta x=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Da $ma$ die Kraft ist, besagt das: Kraft mal Verschiebung ist gleich der Änderung der kinetischen Energie, der Arbeitssatz, der in der Kinematik schon verborgen liegt.

Von den vier Gleichungen für konstante Beschleunigung ist $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ die älteste. Gelehrte am Merton College in Oxford formulierten sie um 1335 als Satz von der mittleren Geschwindigkeit, und Nicole Oresme bewies sie bald darauf durch den Vergleich von Flächen, ähnlich wie Abbildung 2 es tut, rund zweieinhalb Jahrhunderte vor Galilei, der sie mit rollenden Kugeln auf einer schiefen Ebene prüfte. Auch Galileis Regel mit den ungeraden Zahlen folgt daraus. Aus dem Stillstand startend, ist die Strecke während der $n$-ten Sekunde $x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}a[n^2-(n-1{)}^2]=\frac{1}{2}a(2n-1)$, die Strecken in aufeinanderfolgenden Sekunden wachsen also wie 1, 3, 5, 7. Für das Auto mit $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ sind es 3, 9, 15 und 21 m.

Steigungen und Flächen

Diagramme von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind der schnellste Weg, eine Bewegung zu lesen, und jede Regel dafür ist eine Aussage über Ableitungen (Steigungen) oder Integrale (Flächen). Abbildung 3 zeigt alle Regeln an einem Beispiel.

Legende

$x$	Ort; sein Graph (oben) ist eine Parabel.	$\mathrm{m}$
$v$	Geschwindigkeit: die Gerade im mittleren Diagramm und die Steigung der Tangente an $x(t)$ bei $t_1$.	$m/s$
$a$	Beschleunigung: hier konstant, daher ist ihr Graph (unten) eine waagerechte Linie.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$t$	Zeit, die waagerechte Achse, die alle drei Diagramme teilen.	$\mathrm{s}$
$t_1$	Der Zeitpunkt, an dem die Tangente gezeichnet wird und die Flächen enden.	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	Ortsänderung von 0 bis $t_1$: der Anstieg von $x(t)$, gleich der Fläche unter $v(t)$.	$\mathrm{m}$
$\Delta v$	Geschwindigkeitsänderung von 0 bis $t_1$: der Anstieg von $v(t)$, gleich der Fläche unter $a(t)$.	$m/s$

Abbildung 3 stapelt die drei Diagramme des Autos aus der Animation auf einer gemeinsamen Zeitachse: $x(t)=3t^2$ oben, $v(t)=6t$ in der Mitte und die konstante $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ unten. Lies zuerst von oben nach unten, über Steigungen. Zum Zeitpunkt $t_1=4\mathrm{s}$ hat die Tangente an die Parabel $x(t)$ eine Steigung, die gleich der dortigen Geschwindigkeit ist, $v=6\cdot 4=24m/s$: Sie steigt für jede Sekunde um 24 m. Das mittlere Diagramm $v(t)$ ist eine Gerade, weil ihre Steigung, die Beschleunigung, zu jedem Zeitpunkt dieselbe ist.

Die Krümmung von $x(t)$ zeigt das Vorzeichen der Beschleunigung, denn $a$ ist die Rate, mit der sich die Steigung $v$ ändert. Ein nach oben gekrümmter Graph hat eine wachsende Steigung, also $a>0$; einer, der nach unten gekrümmt ist, hat $a<0$; ein gerades Stück hat $a=0$.

Nun lies von unten nach oben, über Flächen. Die Fläche unter $v(t)$ von 0 bis $t_1$ ist ein Dreieck, $\frac{1}{2}\cdot 4\mathrm{s}\cdot 24m/s=48\mathrm{m}$, und sie ist gleich dem Anstieg $\Delta x$ von $x(t)$ über dieselbe Zeit: In der Tat gilt $x(4)=3\cdot 16=48\mathrm{m}$. Die Fläche unter $a(t)$ ist ein Rechteck, $6m/{\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{s}=24m/s$, und sie ist gleich dem Anstieg $\Delta v$ von $v(t)$. In der Abbildung trägt jede Fläche dieselbe Bezeichnung wie der Anstieg, den sie erzeugt.

Zwei Warnungen. Erstens zählt die Fläche unter $v(t)$ dort negativ, wo $v<0$ ist; sie liefert also die Verschiebung, nicht die zurückgelegte Strecke, die $\int |v|dt$ ist. Zweitens sagen die Graphen von $v$ und $a$ nichts darüber, wo die Bewegung begonnen hat: Verschiebt man $x(t)$ nach oben oder unten, bleiben beide unverändert, also muss $x_0$ immer gesondert angegeben werden.

Wenn die Beschleunigung nicht konstant ist

Reale Beschleunigungen ändern sich: Der Schub eines Motors lässt nach, die Luft wirkt mit wachsender Geschwindigkeit stärker, eine Feder zieht umso stärker, je weiter sie gedehnt wird. Das Verfahren hängt davon ab, wovon die Beschleunigung abhängt, und drei Fälle decken die meisten Aufgaben ab.

• Beschleunigung als Funktion der Zeit, $a(t)$: zweimal integrieren, zuerst $v=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }$, dann $x=x_0+{\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }$. Die unten durchgerechnete Aufgabe ist von dieser Art.
• Beschleunigung, die von der Geschwindigkeit abhängt, $a(v)$, wie beim Luftwiderstand: Da $a=dv/dt$ gilt, trenne die Variablen als $dt=dv/a(v)$ und integriere. Für den linearen Widerstand $a=-kv$ mit einer Konstanten $k$ ergibt sich $v=v_0{e}^{-kt}$ und $x=x_0+(v_0/k)(1-e^{-kt})$. Der Körper kommt nie ganz zum Halt, legt aber nur eine endliche Strecke zurück, $v_0/k$. Würde das Auto aus der Animation mit 24 m/s allein durch einen solchen Widerstand mit $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ abgebremst, würde es höchstens $24/0,5=48\mathrm{m}$ rollen. Für einen Körper, der gegen quadratischen Widerstand fällt, gilt $a=g-b{v}^2$, wobei nach unten als positiv gerechnet wird; die Beschleunigung klingt ab, wenn sich $v$ der Endgeschwindigkeit $\sqrt{g/b}$ nähert, bei der $a=0$ ist.
• Beschleunigung, die vom Ort abhängt, $a(x)$, wie bei Federn: Integriere $adx=vdv$ wie oben. Für $a=-{\omega }^{2}x$ ergibt sich $v^2=v_0^2-{\omega }^2(x^2-x_0^2)$. Multipliziert mit $\frac{1}{2}m$, ist das die Energieerhaltung für einen Oszillator, gefunden, bevor die Energie überhaupt eingeführt wurde.

Numerisch schrittweise vorangehen

Die meisten Beschleunigungen aus der Praxis führen auf Gleichungen, die keine Formel löst. Die Bewegung wird dann in kleinen Zeitschritten aufgebaut, wobei jeder die Beschleunigung verwendet, die zu Beginn des Schritts bekannt ist. Abbildung 4 zeigt das einfachste solche Verfahren, das Euler-Verfahren, an einem Fall, dessen exakte Lösung bekannt ist, sodass sein Fehler sichtbar wird.

Legende

$v$	Geschwindigkeit des ausrollenden Autos; die blaue Kurve ist das exakte $v(t)$, die gebrochene Linie sind die numerischen Schritte.	$m/s$
$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Länge eines Zeitschritts.	$\mathrm{s}$
$a$	Beschleunigung $a=-kv$, zu Beginn eines Schritts gefunden und für den ganzen Schritt beibehalten: die Steigung des Schritts (negativ, da $v$ sinkt).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a\Delta t$	Geschwindigkeitsänderung in einem Schritt: hier negativ, eine Abnahme.	$m/s$

Abbildung 4 verfolgt das ausrollende Auto mit Widerstand, $a=-kv$, mit den Zahlen des obigen Beispiels: $k=0,5{\mathrm{s}}^{-1}$ und $v_0=24m/s$. Die blaue Kurve ist die exakte Lösung $v(t)=v_0{e}^{-kt}$. Die schwarze gebrochene Linie ist die numerische Näherung mit einem bewusst groben Schritt $\Delta t=1\mathrm{s}$, damit der Fehler gut zu erkennen ist.

Jeder Schritt folgt derselben Regel. Zu Beginn des Schritts berechne die Beschleunigung aus der aktuellen Geschwindigkeit, $a=-kv$. Nimm an, sie bleibt für den ganzen Schritt bei diesem Wert, sodass sich die Geschwindigkeit um $a\Delta t$ ändert: Ersetze $v$ durch $v+a\Delta t$. Den Ort führst du ebenso fort, indem du $x$ durch $x+v\Delta t$ ersetzt, und wiederholst mit den neuen Werten. Der hervorgehobene Schritt zeigt einen Durchgang: Seine Steigung ist das $a$, das zu Beginn gefunden wurde, sodass die Geschwindigkeit über die Zeit $\Delta t$ um $a\Delta t$ sinkt und nicht mehr.

Hier multipliziert jeder Schritt die Geschwindigkeit mit $1-k\Delta t=0,5$. Nach 1, 2, 3 und 4 s ergeben die Schritte 12, 6, 3 und 1,5 m/s, gegenüber den exakten Werten 14,6, 8,8, 5,4 und 3,2 m/s. Die Schritte liegen unter der Kurve, weil die wahre Verzögerung schwächer wird, wenn $v$ im Lauf eines Schritts sinkt, der numerische Schritt aber den stärkeren Wert behält, mit dem er begonnen hat. Der Fehler ist proportional zu $\Delta t$: Ist der Schritt klein, halbiert sich der Fehler ungefähr, wenn man ihn halbiert, sodass die Schritte gegen die exakte Bewegung konvergieren, wenn $\Delta t\to 0$ geht. Umlaufbahnen, Wettervorhersagen und die Physik in Videospielen werden mit verfeinerten Versionen dieser Idee berechnet.

Durchgerechnete Aufgabe: ein schwindender Schub

Hier ist eine Beschleunigung, die sich mit der Zeit ändert, durch zweimaliges Integrieren gelöst. Angenommen, der Schub des Autos lässt gleichmäßig nach, $a(t)=a_0(1-t/\tau )$, mit $a_0=6m/{\mathrm{s}}^2$ und $\tau =8\mathrm{s}$, aus der Ruhe am Ort $x=0$. Die Beschleunigung fällt geradlinig von $a_0$ auf null bei $t=\tau$. Wie schnell fährt das Auto, und wie weit ist es gekommen, wenn der Schub erlischt?

Einmal integrieren, mit $v_0=0$:
$v(t)={\int }_0^t{a}_0\left(1-\frac{t^{\prime }}{\tau }\right)d{t}^{\prime }=a_0\left(t-\frac{t^2}{2\tau }\right)$
also $v(\tau )=a_0(\tau -\tau /2)=a_0\tau /2=24m/s$, dieselbe Endgeschwindigkeit wie in der Animation. Noch einmal integrieren, mit $x_0=0$:
$x(t)=a_0\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6\tau }\right),x(\tau )=\frac{a_0{\tau }^2}{3}=\frac{6\cdot 64}{3}=128\mathrm{m}$

Vergleiche mit dem Auto aus der Animation, das nach 4 s 24 m/s und 48 m erreichte: Dieses braucht 8 s und 128 m. Sein $v(t)$ ist nun eine Parabel, die bei $t=\tau$ abflacht, wo $a=0$ ist, und die Fläche darunter ist zwei Drittel des Rechtecks aus 8 s mal 24 m/s, $\frac{2}{3}\cdot 192=128\mathrm{m}$.

Eine verlockende Abkürzung scheitert. Die mittlere Beschleunigung ist $24/8=3m/{\mathrm{s}}^2$, doch wenn man sie als konstant behandelt, ergibt sich $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2=96\mathrm{m}$, also 32 m zu wenig. Dieses Auto gewinnt den größten Teil seiner Geschwindigkeit früh und verbringt daher länger schnell: Seine mittlere Schnelligkeit ist $128/8=16m/s$, nicht die 12 m/s eines gleichmäßigen Aufbaus. Die Formeln für konstante Beschleunigung lassen sich nicht retten, indem man eine mittlere Beschleunigung einsetzt.

Gültigkeitsgrenzen

Alles oben beruht auf drei Idealisierungen, und jede versagt irgendwo. Erstens wird der Körper als Punkt mit einer einzigen Position behandelt. Bei einem Auto oder einem Planeten heißt das, seinem Schwerpunkt zu folgen; Drehung und Verformung brauchen eine eigene Beschreibung.

Zweitens wird angenommen, dass $x(t)$ glatt genug ist, um zweimal abgeleitet zu werden. Eine Kollision, die eine Geschwindigkeit scheinbar sofort umkehrt, ist in Wahrheit eine sehr große Beschleunigung über eine sehr kurze Zeit. Auf der Skala der Atome versagt die Vorstellung eines scharfen Weges $x(t)$ vollständig, weil die Quantenmechanik einem Teilchen nicht gleichzeitig eine genaue Position und eine genaue Geschwindigkeit erlaubt.

Drittens setzt die galileische Kinematik voraus, dass alle Beobachter eine gemeinsame Uhr haben. Geschwindigkeiten addieren sich dann einfach: In einem Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit $u$ bewegt, ist die Geschwindigkeit eines Körpers $v^{\prime }=v-u$, während seine Beschleunigung in jedem solchen System dieselbe ist. Deshalb gelten die newtonschen Gesetze in jedem Inertialsystem.

Die spezielle Relativitätstheorie zeigt, dass die gemeinsame Uhr eine Näherung ist, die für Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ gilt. Für das Auto mit 24 m/s liegen die Korrekturen in der Größenordnung $v^2/c^2\approx 6\times 10^{-15}$, weit unterhalb dessen, was messbar ist. GPS-Satelliten mit etwa 3,9 km/s sind eine andere Sache: Allein dieser Effekt lässt ihre Uhren pro Tag etwa 7 Mikrosekunden nachgehen, und ohne Korrektur würden ihre Positionsbestimmungen innerhalb eines Tages um Kilometer abdriften. (Die Gravitation liefert über die allgemeine Relativitätstheorie einen größeren Effekt in die Gegenrichtung.)

Wohin das führt

Kinematik beschreibt Bewegung; Dynamik erklärt sie. Das zweite newtonsche Gesetz liefert die Beschleunigung, $a=F/m$, und die Kinematik verwandelt diese Beschleunigung in eine Bahn: Das ist das ganze Programm der klassischen Mechanik. Die hier behandelten Fälle kehren überall wieder. Der freie Fall ist eine konstante Beschleunigung der Größe $g$, nach unten gerichtet. Die Wurfbewegung besteht aus zwei unabhängigen geradlinigen Bewegungen, einer gleichförmigen und einer gleichmäßig beschleunigten. Bei der Kreisbewegung kann der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleiben, während sich ihre Richtung dreht, was eine Beschleunigung $v^2/r$ zum Mittelpunkt hin erfordert. Die harmonische Schwingung ist $a=-{\omega }^{2}x$, der Widerstand liefert ein $a(v)$, und $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ kehrt als Arbeitssatz zurück. Relativgeschwindigkeiten und bewegte Bezugssysteme folgen als Nächstes, in Vektoren und Relativbewegung.