Reibung und schiefe Ebene

Einsteiger

Reibung ist die Kraft, die dem Gleiten einer Fläche über eine andere entgegenwirkt. Sie wirkt entlang der Flächen, gegen das Gleiten oder gegen das Gleiten, das ein Körper gleich ausführen würde.

Schiebe ein schweres Sofa vorsichtig an, und es bewegt sich nicht: Der Boden drückt genauso stark zurück, über die Haftreibung. Schiebe immer stärker, und irgendwann erreicht die Haftreibung ihre Grenze und das Sofa beginnt zu gleiten. Sobald es sich bewegt, übernimmt die Gleitreibung; sie ist meist etwas kleiner, deshalb ist es schwerer, ein Sofa anzuschieben, als es in Bewegung zu halten.

Kurze Kontrollfrage: Du schiebst eine Kiste so, dass sie mit gleichbleibender Geschwindigkeit gleitet. Wie verhält sich dein Schub zur Reibung? (Sie sind gleich: Gleichbleibende Geschwindigkeit bedeutet keine resultierende Kraft.)

Wie stark ist Reibung? Sie wächst mit der Kraft, mit der die Flächen zusammengedrückt werden, der Normalkraft $N$, und sie hängt vom Material ab, über eine Zahl, den Reibungskoeffizienten $\mu$. Beim Gleiten gilt $f=\mu N$. Eine 10 kg schwere Kiste (Gewicht etwa 98 N), die über einen Boden mit $\mu =0,3$ gleitet, spürt etwa 29 N Reibung; legt man eine zweite Kiste obendrauf, verdoppelt sich die Reibung.

Kurze Kontrollfrage: Gummi auf trockener Straße hat ein $\mu$ nahe 0,8, eine Stahlkufe auf Eis nahe 0,02. Welche braucht die längere Strecke zum Anhalten? (Die Kufe.)

Auf einer Rampe zieht ein Teil der Gewichtskraft den Körper hangabwärts. In der Animation gleitet ein Block eine 30°-Rampe hinab und wird immer schneller. Der Pfeil der Gewichtskraft zeigt senkrecht nach unten, der Stützpfeil (die Normalkraft) zeigt von der Oberfläche weg, und der kleine Reibungspfeil zeigt die Rampe hinauf. Die Reibung hält den Block zurück, aber auf einer so steilen Rampe kann sie ihn nicht aufhalten.

Mittelstufe

Normalkraft und die beiden Reibungsgesetze

Wenn sich zwei Flächen berühren, hat die Kraft zwischen ihnen zwei Anteile. Die Normalkraft $N$ steht senkrecht auf der Fläche und ist nur so groß, wie nötig, um ein Einsinken des Körpers zu verhindern. Die Reibungskraft $f$ wirkt entlang der Fläche und wirkt dem Gleiten entgegen. Beide werden in Newton gemessen. Wie viel Reibung eine gegebene Normalkraft erzeugen kann, bestimmt der Reibungskoeffizient $\mu$, eine reine Zahl, die von den beiden Materialien abhängt.

Solange die Flächen nicht rutschen, ist die Reibung Haftreibung: Sie nimmt genau die Größe und Richtung an, die ein Rutschen verhindern, bis zu einer Obergrenze:
$f_s\le {\mu }_{s}N$
Eine Kiste auf einem ebenen Boden, die niemand schiebt, spürt überhaupt keine Reibung. Schiebst du sie mit 50 N, antwortet die Reibung mit 50 N; erst ein Schub oberhalb der Obergrenze reißt sie los.

Sobald die Flächen gleiten, ist die Reibung Gleitreibung. Sie zeigt entgegen der Gleitbewegung und hat eine feste Größe:
$f_k={\mu }_{k}N$
Meist liegt ${\mu }_k$ etwas unter ${\mu }_s$, deshalb ist ein Sofa schwerer anzuschieben als in Bewegung zu halten. Typische Werte sind 0,8 für Gummi auf trockener Straße, 0,3 für Holz auf Holz und 0,02 für eine Kufe auf Eis, und keines der beiden Gesetze hängt stark von der Kontaktfläche oder der Geschwindigkeit ab.

Gewichtskraft auf der Rampe zerlegen

Auf einer Rampe mit dem Winkel $\theta$ wählt man eine Achse längs der Rampe, positiv nach unten, und eine dazu senkrechte. Dann liegen $N$ und $f$ auf den Achsen, und nur die Gewichtskraft $mg$ muss zerlegt werden. Kippt man die Fläche um $\theta$, kippt auch ihre Senkrechte um denselben Winkel, sodass die Gewichtskraft mit ihr den Winkel $\theta$ bildet. Der Anteil längs der Rampe zieht den Block hangabwärts; der Anteil quer dazu drückt ihn in die Fläche und wird von der Normalkraft ausgeglichen:

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

Prüfe die Grenzfälle: Auf ebenem Boden, $\theta =0$, zieht nichts entlang der Fläche; an einer senkrechten Wand, $\theta =90^{\circ }$, drückt nichts auf sie. Auf der 30°-Rampe der Animation gilt $\sin 30^{\circ }=0,5$ und $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$: Die Hälfte der Gewichtskraft zieht hangabwärts, und $N$ beträgt 87 % der Gewichtskraft, nicht die volle Gewichtskraft.

Zweites Newtonsches Gesetz längs der Rampe

Für einen hinabgleitenden Block zeigt die Gleitreibung ${\mu }_{k}mg\cos \theta$ die Rampe hinauf. Das zweite Newtonsche Gesetz längs der Rampe, $ma=mg\sin \theta -{\mu }_{k}mg\cos \theta$, enthält die Masse in jedem Term, sodass sie sich kürzt:
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
Ein schwerer und ein leichter Block aus demselben Material gleiten deshalb nebeneinander hinab. Für einen hinaufgleitenden Block zeigt die Reibung ebenfalls die Rampe hinab, und der Block wird mit $g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$ abgebremst.

Ein ruhender Block beginnt zu gleiten, sobald die Zugkraft $mg\sin \theta$ die größtmögliche Haftreibung ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ übertrifft. Teilt man beides durch $mg\cos \theta$, bleibt
$\tan \theta >{\mu }_s$
Die Masse fällt wieder heraus. Der Grenzwinkel, bei dem $\tan {\theta }_0={\mu }_s$ gilt, ist der Schüttwinkel.

Rechenbeispiel: der Block aus der Animation

Der Block gleitet aus der Ruhe eine 30°-Rampe mit ${\mu }_k=0,2$ hinab. Eine Masse ist nicht nötig, aber wir nehmen $m=2\mathrm{kg}$, um die Kräfte in Newton zu sehen. Die Gewichtskraft beträgt $mg=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, also
$F_{\parallel }=19,62\cdot 0,5=9,81\mathrm{N},N=19,62\cdot 0,866\approx 16,99\mathrm{N}$
$f_k=0,2\cdot 16,99\approx 3,40\mathrm{N},a=\frac{9,81-3,40}{2}\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
Die Formel liefert ohne die Masse dasselbe: $a=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$, der Wert, der darunter in der Animation steht, gegenüber $g\sin 30^{\circ }\approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$ ohne Reibung.

Bei konstantem $a$ gilt die geradlinige Kinematik. Nach 1 s bewegt sich der Block mit 3,21 m/s und hat $\frac{1}{2}\cdot 3,21\cdot 1^2\approx 1,60\mathrm{m}$ zurückgelegt; nach 2 s bewegt er sich mit 6,41 m/s und hat 6,41 m zurückgelegt. Das sind die grauen Umrisse. Die Gleitstrecke ist 7,8 m lang und dauert etwa 2,2 s, und die Anzeigen enden nahe $v=7,1m/s$ und $s=7,8\mathrm{m}$, wie $v^2=2as$ voraussagt. Ohne Reibung würde der Block dieselbe Rampe mit 8,7 m/s verlassen.

Rechenbeispiel: eine Kiste auf einer Laderampe

Eine 30 kg schwere Kiste ruht auf einer um 20° geneigten Rampe, mit ${\mu }_s=0,5$ und ${\mu }_k=0,4$. Bleibt sie liegen, und welcher Schub längs der Rampe bewegt sie mit konstanter Geschwindigkeit nach oben?

Ihre Gewichtskraft beträgt $30\cdot 9,81=294,3\mathrm{N}$, also $F_{\parallel }=294,3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100,7\mathrm{N}$ und $N=294,3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276,6\mathrm{N}$. Da $\tan 20^{\circ }\approx 0,36$ unter 0,5 liegt, bleibt die Kiste liegen, und die Haftreibung ist genauso groß wie die Hangabtriebskraft: 100,7 N nach oben entlang der Rampe, nicht die Obergrenze ${\mu }_{s}N\approx 138,3\mathrm{N}$.

Bei konstanter Geschwindigkeit die Rampe hinauf ist die resultierende Kraft null. Die Reibung wirkt nun dem Aufwärtsgleiten entgegen, zeigt also die Rampe hinab, zusammen mit der Hangabtriebskraft:
$F=mg(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=100,7+0,4\cdot 276,6\approx 211,3\mathrm{N}$
Die Kiste senkrecht anzuheben würde die volle Gewichtskraft von 294 N erfordern; eine reibungsfreie Rampe senkt das auf 100,7 N, und die Reibung hebt es auf 211 N an.

Kraftdiagramm lesen

Jeder Kraftpfeil in der Animation verwendet denselben Maßstab, sodass sich das Diagramm als Zahlen lesen lässt. Der grüne Pfeil $mg$ ist die Diagonale eines Rechtecks, dessen Seiten seine beiden dünnen grünen Komponenten sind: Die Komponente längs der Rampe ist genau die Hälfte von $mg$, die Komponente senkrecht zur Rampe 87 % davon, und der blaue Pfeil $N$ hebt diese auf. Der kleine goldene Pfeil $f$, ein Fünftel von $N$, hebt etwa ein Drittel der Hangabtriebskraft auf und lässt $0,5mg-0,173mg\approx 0,327mg$ als resultierende Kraft übrig.

Zusammen ergeben $N$ und $f$ die gesamte Kraft der Rampe auf den Block. Ein ruhender Block braucht sie senkrecht nach oben gerichtet, um die Gewichtskraft aufzuheben; beim gleitenden Block reicht die Reibung nicht aus, und der Rest zeigt die Rampe hinab. Die Anzeigen zeigen die Folge: $v$ nimmt jede Sekunde um 3,21 m/s zu, während $s$ in der ersten Sekunde um 1,60 m und in der nächsten um 4,81 m wächst.

Typische Fehler

• Die Normalkraft ist nicht immer die Gewichtskraft: Auf der 30°-Rampe hat der 2-kg-Block $N\approx 16,99\mathrm{N}$, nicht 19,62 N.
• Haftreibung ist nicht standardmäßig ${\mu }_{s}N$: Die Kiste auf der 20°-Rampe spürt 100,7 N, nicht das Maximum von 138,3 N, und eine ungeschobene Kiste auf ebenem Boden spürt keine.
• Die Reibung zeigt nicht immer die Rampe hinauf. Sie wirkt dem Gleiten oder dem bevorstehenden Gleiten entgegen: Für die Kiste, die die Rampe hinaufgeschoben wird, zeigt sie hinab, sodass der Schub 211,3 N braucht.
• Schwerere Blöcke gleiten nicht schneller: Die Masse kürzt sich heraus, sodass ein 20-kg-Block aus demselben Material auf der Rampe der Animation ebenfalls mit 3,21 m/s² beschleunigt.
• Addiert man die Reibung zur Hangabtriebskraft eines hinabgleitenden Blocks, erhält man $9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$; so schnell bremst ein hinaufgleitender Block ab. Prüfe Sinus gegen Kosinus mit $\theta =0$: Auf ebenem Boden zieht nichts entlang der Fläche.

Wo du ihr begegnest

Ein rollender Reifen haftet durch Haftreibung, weil seine Aufstandsfläche auf der Straße nicht gleitet; Antiblockiersysteme halten die Räder in Drehung, damit die schwächere Gleitreibung nie übernimmt. Rollstuhlrampen haben eine Steigung von etwa 1 zu 12, unter 5°, damit der nötige Schub klein bleibt. Sand- und Kieshaufen liegen im Schüttwinkel, etwa 30–40°, und die meisten Schneelawinen beginnen an Hängen von 30–45°. Als Nächstes zeigt Arbeit, Energie und Leistung, wohin die von der Reibung aufgenommene Energie geht, Kreisbewegung zeigt, wie Reibung ein Auto in einer Kurve hält, und Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder behandelt die Rampe, den Keil und die Schraube als Maschinen.

Fortgeschritten

Die glatte Rampe

Man beginnt ohne Reibung, weil die glatte Rampe die beiden Teile der Gewichtskraft festlegt, die jede spätere Gleichung verwendet. Ein Block mit der Masse $m$ liegt auf einer um den Winkel $\theta$ zur Horizontalen geneigten Ebene. Seine Gewichtskraft $m\vec{g}$ zeigt senkrecht nach unten. Man zerlegt sie in einen Anteil längs der Rampe und einen quer dazu, längs der Normalen (der Geraden senkrecht zur Fläche). Die Gewichtskraft schließt mit der Normalen den Winkel $\theta$ ein, sodass der Anteil längs der Rampe $mg\sin \theta$ und der Anteil, der in die Fläche drückt, $mg\cos \theta$ beträgt. Der Block sinkt weder in die Rampe ein noch hebt er ab, daher drückt die Rampe mit der Normalkraft $N=mg\cos \theta$ zurück.

Der Anteil längs der Rampe folgt auch allein aus der Energie. Schiebe ein Gewicht $W$ langsam eine reibungsfreie Rampe der Länge $L$ und der Höhe $h$ hinauf. Die Kraft $F$ verrichtet die Arbeit $FL$, und alles davon wird zur potenziellen Energie $Wh$, also $F=Wh/L=W\sin \theta$.

Simon Stevin kam 1586 mit einem Gedankenexperiment zum selben Ergebnis: Eine geschlossene Kette aus Perlen liegt über einen dreieckigen Keil und hängt frei darunter. Die Kette beginnt nie von selbst zu kreisen, denn das wäre ein Perpetuum mobile, und ihr hängender Teil ist symmetrisch und im Gleichgewicht. Also müssen die vielen Perlen auf der langen, flachen Seite entlang ihrer Seite genauso stark ziehen wie die wenigen Perlen auf der kurzen, steilen Seite. Die Anzahl der Perlen auf einer Seite ist proportional zu ihrer Länge $L$, also ist der Zug einer Perle proportional zu $1/L$. Beide Seiten steigen um dieselbe Höhe $h$, daher ist dieser Zug proportional zu $h/L$, und das ist $\sin \theta$.

Zwei Arten von Reibung

Nun werden die Flächen rau gemacht. Reibung ist der Anteil der Kontaktkraft, der entlang der Fläche liegt, und sie tritt in zwei Arten auf, die verschiedenen Regeln folgen. Diese Unterscheidung entscheidet über jede der folgenden Aufgaben.

Wenn die Flächen übereinander gleiten, ist die Gleitreibung eine bestimmte Kraft. Ihre Größe ist ${\mu }_{k}N$, wobei der Gleitreibungskoeffizient ${\mu }_k$ eine reine Zahl für das Materialpaar ist und in erster Näherung nicht davon abhängt, wie schnell sie gleiten. Sie zeigt entgegen der Geschwindigkeit $\vec{v}$ einer Fläche relativ zur anderen. Teilt man $\vec{v}$ durch seine Länge $|\vec{v}|$, erhält man einen Einheitsvektor in Bewegungsrichtung, also
${\vec{f}}_k=-{\mu }_{k}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Wenn die Flächen nicht gleiten, ist die Haftreibung eine Zwangskraft wie die Normalkraft. Ihre Größe und ihre Richtung in der Berührungsebene sind genau so, dass ein Rutschen verhindert wird. Das einzige Gesetz ist eine Obergrenze, bestimmt durch den Haftreibungskoeffizienten ${\mu }_s$:
$|{\vec{f}}_s|\le {\mu }_{s}N$

Für die meisten Paare gilt ${\mu }_s>{\mu }_k$. Die Reibung ist daher keine Funktion der Geschwindigkeit: Bei $v=0$ kann sie jeden Wert bis ${\mu }_{s}N$ annehmen, und sobald das Gleiten beginnt, springt sie auf ${\mu }_{k}N$.

Auf der Rampe misst man $x$ längs der Rampe nach unten, sodass $\ddot{x}$ die Beschleunigung nach unten ist. Ein hinabgleitender Block spürt die Reibung die Rampe hinauf, und das zweite Newtonsche Gesetz längs der Rampe, durch $m$ geteilt, ergibt
$\ddot{x}=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
Ein hinaufgleitender Block spürt die Reibung die Rampe hinab, die sich zur Schwerkraft addiert:
$\ddot{x}=g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$
Dieses $\ddot{x}$ ist positiv, während die Geschwindigkeit $\dot{x}$ negativ ist, es bremst also den Block. Ein ruhender Block braucht die Haftreibung $mg\sin \theta$ die Rampe hinauf, die genau dann unter der Obergrenze ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ bleibt, wenn $\tan \theta \le {\mu }_s$ ist; dann bleibt der Block in Ruhe.

Eine Folge wird leicht übersehen. Ist $\tan \theta <{\mu }_k$, so ergibt die erste Gleichung ein negatives $\ddot{x}$, also wird ein bergab gestoßener Block langsamer und bleibt stehen. Er wird dann von der Haftreibung gehalten: Reibung stoppt die Bewegung, aber sie drückt den Block nie wieder hinauf.

Haftreibung passt sich der Zugkraft an

Legende

$f$	Reibung längs der Rampe, positiv die Rampe hinauf.	$\mathrm{N}$
$F$	Zugkraft längs der Rampe, positiv die Rampe hinauf; ein negativer Wert zieht die Rampe hinab.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	Größtmögliche Haftreibung: die gestrichelte Obergrenze, die die Gerade nicht überschreiten darf.	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	Größe der Gleitreibung, sobald der Block gleitet.	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	Gewichtskomponente längs der Rampe: die Zugkraft, bei der die Reibung null ist.	$\mathrm{N}$
$F_1$	Kleinste Zugkraft, bei der der Block in Ruhe bleibt, $mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$; hier negativ.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Größte Zugkraft, bei der der Block in Ruhe bleibt, $mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$.	$\mathrm{N}$
$f_s$	Haftreibung: was immer die übrigen Kräfte ausgleicht, $mg\sin \theta -F$.	$\mathrm{N}$
$f_k$	Gleitreibung, immer dem Gleiten entgegen: hier $-{\mu }_{k}N$, wo der Block die Rampe hinaufgleitet.	$\mathrm{N}$

Dieser Abschnitt zeigt das Haftreibungsgesetz in Aktion: Größe und Richtung der Haftreibung werden durch die übrigen Kräfte bestimmt, nicht durch eine eigene Formel. Abbildung 1 verfolgt die Reibung $f$ an einem Block, der auf einer flachen Rampe mit $\tan \theta <{\mu }_s$ von allein ruht, während eine Zugkraft $F$ längs der Rampe langsam erhöht wird. Sowohl $F$ als auch $f$ werden positiv die Rampe hinauf gezählt.

Solange der Block ruht, gilt $\ddot{x}=0$, also heben sich die Kräfte längs der Rampe auf: Die nach oben gerichteten Kräfte $f+F$ sind gleich dem Anteil nach unten $mg\sin \theta$. Die Reibung, die der Block braucht, ist daher
$f=mg\sin \theta -F$
Das ist die fallende Gerade $f_s$ in Abbildung 1. Lies sie von links nach rechts. Bei $F=0$ trägt die Reibung den ganzen Anteil $mg\sin \theta$ und zeigt die Rampe hinauf. Sie wird kleiner, während die Zugkraft die Aufgabe übernimmt, ist null dort, wo die Gerade die Achse bei $F=mg\sin \theta$ schneidet (der grüne Punkt), und darüber hinaus ist sie negativ: Die Reibung zeigt nun die Rampe hinab und hält den Block gegen die Zugkraft zurück.

Die Gerade ist nur zwischen den gestrichelten Niveaus $+{\mu }_{s}N$ und $-{\mu }_{s}N$ erlaubt. Setzt man $f=+{\mu }_{s}N$ und $f=-{\mu }_{s}N$, mit $N=mg\cos \theta$, erhält man die beiden Enden des erlaubten Bereichs:
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$
Der Block bleibt für jede Zugkraft von $F_1$ bis $F_2$ in Ruhe, dem schraffierten Bereich. Hier ist $F_1$ negativ: Selbst ein Zug hangabwärts wird gehalten, bis seine Größe $|F_1|$ übersteigt. (Auf einer steileren Rampe mit $\tan \theta >{\mu }_s$ wäre $F_1$ positiv: Der Block braucht mindestens diesen Zug die Rampe hinauf, um überhaupt gehalten zu werden.)

Außerhalb des schraffierten Bereichs gleitet der Block, und die Reibung fällt von ${\mu }_{s}N$ auf ${\mu }_{k}N$ ab, zu den offenen Kreisen. Bei Zügen unter $F_1$ gleitet der Block hinab, also zeigt die Reibung $+{\mu }_{k}N$ die Rampe hinauf. Bei Zügen über $F_2$ gleitet er hinauf, also zeigt die Reibung $f_k=-{\mu }_{k}N$ die Rampe hinab. Daraus folgt die Regel für Aufgaben: Zuerst bestimmen, in welche Richtung sich der Block bewegt oder bewegen wird, bevor man die Richtung der Reibung in die Gleichungen einträgt.

Die Gleitbewegung in der Animation

Dieser Abschnitt setzt die Gleitgleichung mit Zahlen um, anhand der Animation: ein aus der Ruhe losgelassener Block auf einer 30°-Rampe mit ${\mu }_k=0,2$. Seine Beschleunigung die Rampe hinab beträgt
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21m/{\mathrm{s}}^2$
Im Diagramm der Animation für die Stufe Fortgeschritten ist $v(t)$ daher eine gerade durchgezogene Linie mit der Steigung 3,21 m/s². Darüber verläuft die gestrichelte Linie einer reibungsfreien Rampe, deren Steigung $g\sin \theta \approx 4,91m/{\mathrm{s}}^2$ ist. Die beiden Linien unterscheiden sich um den Reibungsterm $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1,70m/s$ jede Sekunde. Das Gleiten dauert 2,2 s, sodass der Block mit 7,1 m/s statt 10,8 m/s endet. Die Fläche unter der durchgezogenen Linie ist die zurückgelegte Strecke, $\frac{1}{2}\cdot 2,2\cdot 7,06\approx 7,8\mathrm{m}$: die Länge der Gleitstrecke.

Wohin die Energie geht

Legende

$s$	Strecke, die der Block längs der Rampe gleitet.	$\mathrm{m}$
$h$	Höhe, um die der Block sinkt: $h=s\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Neigungswinkel der Rampe gegen die Horizontale.	$\mathrm{rad}$
$W_g$	Von der Schwerkraft verrichtete Arbeit, $mgh=mgs\sin \theta$: die freigesetzte Energie.	$\mathrm{J}$
$Q$	Von der Reibung erzeugte Wärme, $f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$.	$\mathrm{J}$
$K$	Gewonnene kinetische Energie, $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$.	$\mathrm{J}$

Dasselbe Gleiten lässt sich über die Energie statt über Kräfte verfolgen. Das zeigt, wohin die von der Schwerkraft freigesetzte Energie geht, und es liefert die Endgeschwindigkeit, ohne dass man die Zeit braucht.

In Abbildung 2 startet der Block aus der Ruhe an der blassen Position und gleitet eine Strecke $s$ bis zur durchgezogenen. Lies den Abstieg links ab: $h=s\sin \theta$. Die Schwerkraft verrichtet die Arbeit $W_g=mgh=mgs\sin \theta$, der grüne Balken, im selben Höhenmaßstab wie $h$ gezeichnet, sodass beide übereinstimmen. Die Reibung hat über dieselbe Strecke $s$ die konstante Größe $f_k={\mu }_{k}N={\mu }_{k}mg\cos \theta$ und wandelt daher die Energie $Q=f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$ in Wärme um: der goldene Teil des zweiten Balkens. Der Rest, der violette Teil, ist die kinetische Energie $K=\frac{1}{2}m{v}^2$. Das ist der Arbeits-Energie-Satz, $K=W_g-Q$:
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$

Teilt man $Q$ durch $W_g$, kürzen sich $m$, $g$ und $s$ heraus: Die Reibung übernimmt den Anteil $Q/W_g={\mu }_k\cos \theta /\sin \theta ={\mu }_k\cot \theta$ der freigesetzten Energie. Hier sind das $0,2\cdot 1,732\approx 0,35$, das goldene Drittel des zweiten Balkens. Für die 7,78 m lange Gleitstrecke der Animation setzt die Schwerkraft pro Kilogramm Block $9,81\cdot 0,5\cdot 7,78\approx 38,2\mathrm{J}$ frei; 13,2 J werden zu Wärme und 24,9 J zu kinetischer Energie, sodass $v=\sqrt{2\cdot 24,9}\approx 7,06m/s$ gilt, die Geschwindigkeit, die das Geschwindigkeitsdiagramm ergab.

Die Wärme wächst mit der Länge des Weges, nicht nur mit Anfangs- und Endpunkt. Deshalb lässt sich für Reibung keine potenzielle Energie definieren.

Der Reibungskegel

Legende

$\vec{R}$	Kontaktkraft der Rampe auf den Block: $\vec{N}+\vec{f}$.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Normalkraft: der Anteil von $\vec{R}$ senkrecht zur Rampe.	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	Reibung: der Anteil von $\vec{R}$ längs der Rampe, hier die Rampe hinauf.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Gewichtskraft, die $\vec{R}$ aufheben muss, damit der Block in Ruhe bleibt.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Neigungswinkel der Rampe, der zugleich der Winkel zwischen $\vec{R}$ und der Normalen ist.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	Halbwinkel des Haftreibungskegels: $\tan {\phi }_s={\mu }_s$.	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	Halbwinkel des Gleitreibungskegels: $\tan {\phi }_k={\mu }_k$.	$\mathrm{rad}$

Die beiden Reibungsgesetze haben eine geometrische Form, die das Rutschen in einen Winkelvergleich verwandelt. Statt $N$ und $f$ getrennt zu behandeln, zeichnet Abbildung 3 die gesamte Kraft der Rampe auf einen ruhenden Block als einen Vektor, die Kontaktkraft $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Ihr Anteil senkrecht zur Rampe ist die Normalkraft $\vec{N}$, ihr Anteil längs der Rampe die Reibung $\vec{f}$; die gestrichelten Linien vervollständigen die Summe. Der Winkel $\phi$, um den $\vec{R}$ von der Normalen abweicht, hat $\tan \phi =f/N$.

Das Haftgesetz $f\le {\mu }_{s}N$ lautet daher $\tan \phi \le {\mu }_s$: $\vec{R}$ muss innerhalb des Reibungskegels liegen, mit dem Halbwinkel ${\phi }_s$ mit $\tan {\phi }_s={\mu }_s$, dem breiten schraffierten Bereich um die Normale. Nun betrachte den ruhenden Block. Nur zwei Kräfte wirken auf ihn, $\vec{R}$ und die Gewichtskraft $m\vec{g}$, also muss $\vec{R}$ senkrecht nach oben zeigen. Auf einer um $\theta$ geneigten Rampe bildet eine Senkrechte mit der Normalen den Winkel $\theta$, der zwischen $\vec{N}$ und $\vec{R}$ markiert ist. Daher kann der Block nur so lange ruhen, wie $\theta \le {\phi }_s$ ist.

Die steilste Rampe, die den Block hält, der Schüttwinkel ${\theta }_0$, ist daher der Reibungswinkel: $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, was für ${\mu }_s=0,5$ 26,6° ergibt. Damit gibt es eine einfache Methode, ${\mu }_s$ zu messen: Man neigt ein Brett, bis ein darauf liegender Block rutscht. Die Masse taucht nicht auf, daher rutscht ein beladener Block beim selben Winkel.

Sobald der Block gleitet, gilt genau $f={\mu }_{k}N$, also liegt $\vec{R}$ auf dem Rand des schmaleren Gleitreibungskegels, mit dem Halbwinkel ${\phi }_k$ mit $\tan {\phi }_k={\mu }_k$, dem dunkleren Bereich innerhalb des ersten. In Abbildung 3 liegt der Rampenwinkel zwischen beiden: ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$. Die senkrechte $\vec{R}$ liegt innerhalb des Haftkegels, daher bleibt ein ruhender Block in Ruhe. Sie liegt außerhalb des Gleitkegels, daher kann die Kontaktkraft auf einen gleitenden Block nicht senkrecht sein und die Gewichtskraft nicht aufheben: Dieser Block wird schneller. Auf einer Rampe mit $\theta <{\phi }_k$ ist es umgekehrt: Die Reibung überwiegt die Hangabtriebskraft, und ein gleitender Block wird bis zum Stillstand abgebremst.

Der beste Winkel für einen Zug

Legende

$\vec{F}$	Zugkraft des Seils; gezeichnet ist die kürzeste Zugkraft, die die beiden anderen Kräfte ausgleicht.	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	Gewichtskraft der Kiste.	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	Kraft des Bodens auf die Kiste: Normalkraft plus Reibung.	$\mathrm{N}$
$\phi$	Reibungswinkel zwischen $\vec{R}$ und der Senkrechten: $\tan \phi ={\mu }_k$.	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	Neigungswinkel des Seils über der Horizontalen.	$\mathrm{rad}$

Der Reibungswinkel beantwortet auch eine praktische Frage: Unter welchem Winkel sollte ein Seil ziehen, um eine schwere Kiste mit der geringsten Kraft zu schleppen? Links in Abbildung 4 gleitet eine 30 kg schwere Kiste mit ${\mu }_k=0,4$ gleichmäßig über einen ebenen Boden, gezogen von einem Seil unter dem Winkel $\alpha$ über der Horizontalen.

Gleichmäßiges Gleiten bedeutet null resultierende Kraft. Drei Kräfte wirken: die Zugkraft $\vec{F}$, die Gewichtskraft $m\vec{g}$ und die Kraft des Bodens $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Ihre Summe verschwindet, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$, sodass sie, Spitze an Ende gezeichnet, ein Dreieck schließen, rechts in Abbildung 4.

Zwei Seiten des Dreiecks sind festgelegt. Die Gewichtskraft $m\vec{g}$ ist nach Größe und Richtung fest. Auch die Richtung von $\vec{R}$ ist fest: Die Kiste gleitet, also gilt $f={\mu }_{k}N$, und $\vec{R}$ neigt sich von der Senkrechten gegen die Bewegung zurück, um den Reibungswinkel $\phi$ mit $\tan \phi ={\mu }_k$. Nur $\vec{F}$ ist frei: Es muss auf der Geraden von $\vec{R}$ beginnen und am Ende von $m\vec{g}$ enden. Die gestrichelten Linien sind einige der anderen Zugkräfte, die ebenfalls im Gleichgewicht stünden, jede mit ihrem eigenen $\alpha$. Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden trifft sie im rechten Winkel, also steht die kleinste Zugkraft senkrecht auf $\vec{R}$. Da $\vec{R}$ um $\phi$ von der Senkrechten abweicht, weicht diese Zugkraft um $\phi$ von der Horizontalen ab: Der beste Seilwinkel ist $\alpha =\phi$, und dann gilt $F=mg\sin \phi$.

Die Rechnung stimmt überein. Das Seil hebt einen Teil der Last an, sodass der Boden nur mit $N=mg-F\sin \alpha$ drückt. Gleichmäßiges Gleiten verlangt, dass der horizontale Anteil der Zugkraft gleich der Reibung ist, $F\cos \alpha ={\mu }_k(mg-F\sin \alpha )$, was ergibt
$F=\frac{{\mu }_{k}mg}{\cos \alpha +{\mu }_k\sin \alpha }$
Die Zugkraft ist am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist, wo seine Ableitung $-\sin \alpha +{\mu }_k\cos \alpha$ null ist, also bei $\tan \alpha ={\mu }_k$, hier $\alpha =21,8^{\circ }$. Dann gilt $F=109,3\mathrm{N}$, gegenüber 117,7 N bei einem horizontalen Zug, und das Dreieck ergibt dasselbe, $mg\sin \phi =294,3\cdot \sin 21,8^{\circ }\approx 109,3\mathrm{N}$. Der Reibungswinkel legt den besten Zugwinkel fest.

Warum Reibung proportional zur Last ist

Die Reibungsgesetze sind empirische Regeln, keine Grundgesetze wie die Gravitation. Dieser Abschnitt erklärt, woher sie stammen. Leonardo da Vinci bemerkte um 1500, dass die Reibung nicht von der Kontaktfläche abhängt; Guillaume Amontons formulierte 1699 ihre Proportionalität zur Last, und Charles-Augustin de Coulomb ergänzte 1781, dass die Gleitreibung kaum von der Geschwindigkeit abhängt.

Die entscheidende Tatsache ist, dass sich selbst polierte Flächen nur an den Spitzen ihrer höchsten Unebenheiten berühren. Diese Spitzen werden so weit zusammengedrückt, bis sie gemeinsam die Last tragen, und eine zusammengedrückte Spitze trägt einen Druck, der etwa der Härte $H$ des weicheren Materials entspricht. Die wirkliche Kontaktfläche beträgt daher etwa $A_{\mathrm{real}}\approx N/H$. Ein 2 kg schwerer Stahlblock auf Stahl mit $N\approx 20\mathrm{N}$ und $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$ berührt nur auf $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$, etwa ein Millionstel einer 10 cm × 10 cm großen Fläche. Deshalb spielt die scheinbare Fläche keine Rolle: Auf einer größeren Fläche wird jede Spitze weniger gedrückt, doch die gesamte wirkliche Fläche wird weiterhin durch $N$ bestimmt.

An den Spitzen verbinden sich die Atome der beiden Flächen. Gleiten muss diese Verbindungen scheren, was eine Kraft $\tau A_{\mathrm{real}}$ erfordert, wobei $\tau$ die Scherfestigkeit des weicheren Materials ist. Beide Schritte zusammengefasst ergeben
$f\approx \tau A_{\mathrm{real}}\approx \frac{\tau }{H}N$
ein Reibungsgesetz mit $\mu \approx \tau /H$. Bei Metallen ist $\tau /H$ etwa 1/6, also rund 0,2. Gemessene Werte liegen zwischen etwa 0,1 und 1, weil die Verbindungen beim Scheren wachsen und harte Unebenheiten Furchen in die weichere Fläche pflügen. Die verrichtete Arbeit geht in Schwingungen der Atome im Kristallgitter über, also in Wärme. Dass man den Gleiter über die Unebenheiten hebt, kann die Ursache nicht sein, denn die beim Erklimmen einer Unebenheit aufgewendete Energie käme zurück, wenn der Gleiter an deren anderer Seite hinabgleitet.

Haft-Gleit-Bewegung und Rollen

Daraus folgen zwei alltägliche Effekte: einer aus dem Unterschied zwischen den beiden Koeffizienten, einer aus dem völligen Vermeiden des Gleitens.

Weil ${\mu }_s>{\mu }_k$ gilt, bewegt sich ein Gleiter, der über etwas Federndes angetrieben wird, eher ruckartig. Er haftet, solange die Zugkraft der Feder auf ${\mu }_{s}N$ anwächst. Dann rutscht er, die Reibung fällt auf ${\mu }_{k}N$, und der Gleiter schnellt vorwärts, wodurch die Feder entspannt wird, bis er wieder haftet. Diese Haft-Gleit-Bewegung lässt Türen quietschen, hält eine gestrichene Geigensaite in Schwingung und lässt Verwerfungen der Erdkruste jahrhundertelang festhaken und dann bei Erdbeben ruckartig nachgeben.

Ein rollendes Rad vermeidet das Gleiten. Sein Berührungspunkt ruht im Augenblick auf dem Boden, daher wirkt dort Haftreibung, die aber keine Arbeit verrichtet. Es bleibt nur der Rollwiderstand, mit Koeffizienten nahe 0,001 für ein Eisenbahnrad und 0,01 für einen Autoreifen.

Rechenaufgabe: der zurückgeschickte Block

Am Fuß der Rampe der Animation bewegt sich der Block mit 7,06 m/s. Ein Federpuffer dort schickt ihn mit derselben Geschwindigkeit zurück hinauf; man nehme ${\mu }_k=0,2$ und ${\mu }_s=0,3$. Wie weit kommt er hinauf, und wie schnell kehrt er zurück?

Beim Hinaufgleiten zeigen Schwerkraft und Reibung beide die Rampe hinab, also wird der Block mit
$g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60m/{\mathrm{s}}^2$
abgebremst. Bei gleichbleibender Verzögerung sinkt die Geschwindigkeit nach $t=v/a=7,06/6,60\approx 1,07\mathrm{s}$ auf null, und aus $v^2=2ad$ folgt, dass der Block $d=7,06^2/(2\cdot 6,60)\approx 3,78\mathrm{m}$ die Rampe hinaufgestiegen ist.

Dort kann er nicht bleiben: $\tan 30^{\circ }\approx 0,577$ übersteigt ${\mu }_s$, daher kann die Haftreibung ihn nicht halten. Er gleitet mit den 3,21 m/s² der Animation zurück und erreicht den Puffer nach $\sqrt{2\cdot 3,78/3,21}\approx 1,53\mathrm{s}$, mit $\sqrt{2\cdot 3,21\cdot 3,78}\approx 4,9m/s$.

Der Abstieg dauert länger als der Aufstieg, weil seine Beschleunigung kleiner ist. Beide Abschnitte legen dieselbe Strecke $d$ zurück, daher ergibt $v^2=2ad$, dass die Rückkehrgeschwindigkeit $\sqrt{3,21/6,60}\approx 0,70$ mal die Ausgangsgeschwindigkeit beträgt und die kinetische Energie 0,49 mal. Der Rest wurde über die 7,55 m zurückgelegte Strecke in Wärme umgewandelt: Die Reibung von $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1,70\mathrm{N}$ pro Kilogramm über 7,55 m sind 12,8 J pro Kilogramm, was der verlorenen kinetischen Energie entspricht.

Mit der Richtung hangabwärts als positiv ist $v(t)$ zwei Geraden, die sich bei $v=0$ treffen, mit Steigungen von 6,60 und 3,21 m/s². Die Geschwindigkeit ist stetig, aber die Beschleunigung springt, weil die Reibung mit der Bewegung ihre Richtung wechselt. Jeder Rückprall am Puffer wiederholt den Faktor 0,70, und jede Zeit einer Fahrt ist proportional zu ihrer Ausgangsgeschwindigkeit, also dauert jede Hin- und Rückfahrt 0,70 mal so lange wie die vorherige. Die erste dauert $1,07+1,53=2,60\mathrm{s}$, sodass die immer kürzeren Fahrten eine geometrische Reihe bilden, die insgesamt $2,60/(1-0,697)\approx 8,6\mathrm{s}$ dauert.

Grenzen der Gültigkeit

Newtons Mechanik versagt nahe der Lichtgeschwindigkeit oder auf atomaren Skalen. Das Reibungsgesetz hat keine so eindeutige Grenze: Es versagt immer dann, wenn sich die Flächen nicht mehr wie ein durchschnittliches trockenes Paar verhalten. Saubere Metalle im Vakuum, ohne Oxidschicht zwischen sich, verbinden sich zu einem Stück: $\mu$ steigt über 1, und Teile können kalt verschweißen, ein echtes Problem bei Raumfahrzeugen. Tabellen mit $\mu$ für Stahl auf Stahl beschreiben tatsächlich Oxidschichten und Fett.

Gummi fließt in die Rauheit der Straße, daher hängt seine Haftung von Fläche, Geschwindigkeit und Temperatur ab, und Rennreifen überschreiten $\mu =1$. Sehr ebene Flächen wie poliertes Glas haften selbst ohne Last durch Adhäsion aneinander. Eine Kufe auf Eis hat ${\mu }_k\approx 0,02$, weil eine dünne, flüssigkeitsähnliche Schicht sie schmiert. Bei hohen Gleitgeschwindigkeiten erhitzen sich die Kontaktspitzen auf Hunderte Grad, und $\mu$ sinkt.

Das Punktmodell hat eine eigene Grenze: Ein realer Block kann kippen, statt zu gleiten. Auf einer Rampe kippt er über die untere Kante, sobald $\tan \theta$ seine Länge längs der Rampe geteilt durch seine Höhe übersteigt, und er rutscht, sobald $\tan \theta$ den Wert ${\mu }_s$ übersteigt. Ein Block, der mehr als $1/{\mu }_s$-mal so hoch wie lang ist, für ${\mu }_s=0,5$ also doppelt so hoch wie lang, kippt daher, bevor er rutscht.

Wie es weitergeht

In Arbeit, Energie und Leistung ist Gleitreibung die übliche nicht konservative Kraft, deren Arbeit $-{\mu }_{k}Ns$ zu Wärme wird. In Kreisbewegung hält Haftreibung ein Auto in einer flachen Kurve bis $v=\sqrt{{\mu }_{s}gr}$, und überhöhte Kurven nutzen die Komponenten dieser Lektion erneut. Rotationsdynamik und Drehmoment erklärt das Rollen: Eine massive Kugel rollt die 30°-Rampe mit $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3,50m/{\mathrm{s}}^2$ hinab, schneller als der gleitende Block, und verliert nichts an Reibung. Statisches Gleichgewicht und Hebel behandelt Leitern und Kippen; Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder macht aus der Rampe den Keil und die Schraube, die ihre Last hält, weil ihr Gewindewinkel unter dem Reibungswinkel liegt; und Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit behandelt die Flüssigkeitsreibung, die mit der Geschwindigkeit wächst.