Rotationsdynamik und Drehmoment

Einsteiger

Drückst du eine Tür direkt neben ihren Scharnieren, bewegt sie sich kaum; drückst du mit gleicher Kraft am Griff, schwingt sie auf. Drehbewegungen folgen ungefähr denselben Regeln wie Newtons Gesetze für geradlinige Bewegung.

Schritt 1. Die Drehwirkung einer Kraft heißt Drehmoment. Es hängt davon ab, wie stark du drückst und wie weit von der Drehachse entfernt du drückst: Dieselbe Kraft doppelt so weit draußen hat die doppelte Drehwirkung. Deshalb haben Schraubenschlüssel lange Griffe. Ein Druck genau auf die Scharniere dreht die Tür überhaupt nicht.

Schritt 2. Ein gleichmäßiger Schub lässt einen Wagen immer schneller fahren; ebenso lässt ein gleichbleibendes Drehmoment ein Rad immer schneller werden. In der Animation hängt ein Gewicht an einer Schnur, die um die Nabe eines schweren Rads gewickelt ist. Während es fällt, verdreht die Schnur das Rad weiter, und der blaue Balken zeigt, wie die Drehung stetig schneller wird.

Schritt 3. Masse widersteht Änderungen der Bewegung, und bei Drehbewegungen kommt es darauf an, wo die Masse sitzt. Masse weit weg von der Achse macht es viel schwerer, ein Rad in Schwung zu bringen, und auch schwerer, es anzuhalten. Deshalb fällt das Gewicht in der Animation so langsam, und deshalb baut man Schwungräder mit schwerem Rand.

Schritt 4. Wenn das Gewicht aufkommt, wird die Schnur locker, und das Verdrehen hört auf. Das Rad bleibt aber nicht stehen: Es dreht sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiter, so wie sich ein bewegter Gegenstand weiterbewegt, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. In einer echten Maschine bremst die Reibung in der Achse es langsam ab.

Prüf dich selbst: Zwei Kinder schieben ein Karussell gleich stark, eines am Rand und eines auf halber Strecke zur Mitte. Wer erzeugt die größere Drehwirkung? (Das Kind am Rand: Derselbe Schub wirkt doppelt so weit von der Drehachse entfernt.)

Mittelstufe

Beschreibung einer Drehung

Ein starrer Körper, der sich um eine feste Achse dreht, braucht eine einzige Zahl, um seine Lage anzugeben: den Winkel $\theta$, um den er sich gedreht hat, gemessen im Bogenmaß (eine volle Umdrehung ist $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$). Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist die Änderungsrate dieses Winkels in rad/s, und die Winkelbeschleunigung $\alpha$ ist die Änderungsrate von $\omega$ in rad/s². In der Animation dreht sich das Rad im Uhrzeigersinn, entlang des gekrümmten grünen Pfeils; dieser Drehsinn gilt als positiv.

Jeder Punkt des Körpers hat dieselben $\omega$ und $\alpha$, aber ein Punkt im Abstand $r$ von der Achse bewegt sich mit $v=\omega r$ und hat die Tangentialbeschleunigung $a=\alpha r$. Ein Gewicht, dessen Schnur ohne Rutschen von der Nabe abgewickelt wird, bewegt sich also genau so schnell wie der Rand der Nabe.

Drehmoment: Kraft mal Hebelarm

Drückst du eine Tür am Griff, 0,80 m von den Scharnieren entfernt, mit 20 N rechtwinklig zur Tür, dann ist die Drehwirkung oder das Drehmoment $\tau =0,80\cdot 20=16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Derselbe Druck 0,10 m von den Scharnieren ergibt nur $2\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Allgemein gilt für eine Kraft $F$, die im Abstand $r$ von der Achse angreift,
$\tau =rF\sin \theta$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen der Kraft und dem Radius zum Angriffspunkt ist (nicht der Winkel, um den sich der Körper gedreht hat).

Es gibt zwei gleichwertige Lesarten: Nur der Teil der Kraft senkrecht zum Radius, $F\sin \theta$, dreht den Körper, oder die ganze Kraft wirkt mit dem Hebelarm $d=r\sin \theta$, dem senkrechten Abstand von der Achse zur Wirkungslinie der Kraft. Drückst du den Griff unter 30° zur Tür, ist $\tau =16\cdot \sin 30^{\circ }=8\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$; drückst du genau auf die Scharniere, dreht sich nichts.

Das Drehmoment wird in Newtonmetern gemessen, nie in Joule: Es ist keine Energie. Drehmomente, die in entgegengesetzte Richtungen drehen, erhalten entgegengesetzte Vorzeichen.

Newtonsches Gesetz für Drehbewegungen

Ein resultierendes Drehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung, so wie eine resultierende Kraft eine Beschleunigung bewirkt:
$\tau =I\alpha$

Das Trägheitsmoment $I$ in kg·m² übernimmt die Rolle der Masse. Ein kleines Stück der Masse $m$ im Abstand $s$ von der Achse hat die Tangentialbeschleunigung $\alpha s$; dafür braucht es eine Kraft $ms\alpha$ und damit ein Drehmoment $m{s}^2\alpha$. Summiert man über alle Stücke, ergibt sich $\tau =(\sum m{s}^2)\alpha$, also $I=\sum m{s}^2$. Jedes Kilogramm zählt mit dem Quadrat seines Abstands: doppelt so weit draußen, viermal so großer Widerstand.

Ein dünner Ring der Masse $M$ und des Radius $R$ hat seine ganze Masse am Rand, also ist $I=M{R}^2$; eine Vollkugel hat $\frac{2}{5}M{R}^2$. Das Rad in der Animation ist eine homogene Scheibe:
$I=\frac{1}{2}M{R}^2\text{(uniform disc)}$
Mit $M=10\mathrm{kg}$ und $R=0,40\mathrm{m}$ ist $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, also die Hälfte des Werts für einen dünnen Ring gleicher Masse und Größe.

Bei einem konstanten resultierenden Drehmoment ist $\alpha$ konstant, und die Gleichungen der geradlinigen Bewegung gelten weiter, mit $\theta$, $\omega$ und $\alpha$ anstelle von $x$, $v$ und $a$:

• $\omega ={\omega }_0+\alpha t$
• $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$
• ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$

Summiert man $\frac{1}{2}m{v}^2$ über alle Stücke mit $v=\omega s$, erhält man die Energie, die in der Drehung steckt, die Rotationsenergie
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Rechenbeispiel: das Rad aus der Animation

Eine Schnur, die um die Nabe mit dem Radius $r=0,12\mathrm{m}$ gewickelt ist, trägt ein Gewicht $m=1\mathrm{kg}$. Die Spannung $F$ ist unbekannt, also schreibt man je eine Gleichung für das Gewicht (nach unten positiv), für das Rad und für die Schnur, die nicht rutscht:
$mg-F=ma,Fr=I\alpha ,a=\alpha r$
Setzt man $F=I\alpha /r$ und $a=\alpha r$ in die erste Gleichung ein, ergibt sich
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}=\frac{1\cdot 9,81\cdot 0,12}{0,80+1\cdot 0,12^2}=\frac{1,177}{0,814}\approx 1,45rad/{\mathrm{s}}^2$

Das Gewicht beschleunigt also nur mit $a=\alpha r\approx 0,173m/{\mathrm{s}}^2$, die Spannung ist $F=m(g-a)\approx 9,64\mathrm{N}$, etwas weniger als die Gewichtskraft von 9,81 N, und das Drehmoment ist $\tau =rF\approx 1,16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Das ist der konstante Wert auf der roten Anzeige $\tau$; der rote Pfeil $F$ am Rand der Nabe und die rote Linie $r$ zeigen, woher er kommt.

Das Gewicht fällt $h=0,88\mathrm{m}$ in $t=\sqrt{2h/a}=\sqrt{2\cdot 0,88/0,173}\approx 3,19\mathrm{s}$. Währenddessen steigt die blaue Anzeige $\omega$ jede Sekunde um 1,45 rad/s, bis $\omega =\alpha t\approx 4,60rad/s$ erreicht ist, und das Rad dreht sich um $0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{rad}$, also knapp eine Umdrehung. Dann wird die Schnur locker: Der Pfeil $F$ verschwindet, die Anzeige $\tau$ fällt auf null, $\alpha =0$, und $\omega$ bleibt bei 4,60 rad/s, wie die grüne Beschriftung zeigt.

Rechenbeispiel: Abbremsen eines Schwungrads

Das Schwungrad eines Heimtrainers, eine homogene Scheibe von 8,0 kg und 0,20 m Radius, dreht sich mit 30 rad/s (etwa 287 U/min), wenn der Fahrer aufhört zu treten, und ein Filzklotz reibt am Rand mit einer Reibungskraft von 4,0 N. Wie lange dauert es, bis es stillsteht, und wie viele Umdrehungen macht es dabei?

Die Reibung wirkt entlang des Randes, also ist ihr Hebelarm der volle Radius:
$I=\frac{1}{2}\cdot 8,0\cdot 0,20^2=0,16\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,\tau =0,20\cdot 4,0=0,80\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Dann ist $\alpha =-0,80/0,16=-5,0rad/{\mathrm{s}}^2$, negativ, weil das Drehmoment der Drehung entgegenwirkt. Das Rad steht nach $30/5,0=6,0\mathrm{s}$ still, und ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$ ergibt $\Delta \theta =30^2/(2\cdot 5,0)=90\mathrm{rad}$, also etwa 14,3 Umdrehungen.

Die Energie bestätigt das: Das Rad startet mit $K=\frac{1}{2}\cdot 0,16\cdot 30^2=72\mathrm{J}$, und die Reibung verrichtet die Arbeit $\tau \Delta \theta =0,80\cdot 90=72\mathrm{J}$ gegen die Drehung und erwärmt dabei den Klotz und den Rand. Ein Ring mit gleicher Masse und gleichem Radius würde 144 J speichern und 12 s zum Anhalten brauchen.

Freikörperbild des Rades

Auf das Rad wirken drei Kräfte: sein Gewicht $Mg=98,1\mathrm{N}$ im Mittelpunkt, die Spannung von 9,64 N am Rand der Nabe und der Druck der Achse, der $98,1+9,64\approx 107,7\mathrm{N}$ nach oben betragen muss, weil der Mittelpunkt ruht. Die resultierende Kraft ist null, das resultierende Drehmoment aber nicht: Das Gewicht und die Achskraft gehen durch die Achse und haben keinen Hebelarm, also dreht nur die Spannung das Rad.

Das Gegenteil gibt es auch. Ziehst du an einem Lenkrad auf einer Seite mit 10 N nach oben und auf der anderen mit 10 N nach unten, beide 0,18 m vom Mittelpunkt entfernt, heben sich die Kräfte auf, aber die Drehmomente addieren sich zu $2\cdot 10\cdot 0,18=3,6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Ein solches Paar aus zwei Kräften heißt Kräftepaar.

Ein $\omega$ bedeutet viele Geschwindigkeiten: Beim Aufkommen bewegt sich der Radrand mit $\omega R\approx 1,84m/s$, das Gewicht dagegen nur mit $\omega r\approx 0,55m/s$.

Häufige Fehler

• Den Radius des Rades als Hebelarm verwenden. Die Schnur zieht an der Nabe, also ist der Hebelarm $r=0,12\mathrm{m}$; mit $R=0,40\mathrm{m}$ erhält man 3,85 N·m, mehr als das Dreifache des richtigen Drehmoments.
• Die Spannung gleich dem Gewicht $mg$ setzen. Das Gewicht könnte dann nicht beschleunigen; die Spannung beträgt 9,64 N, und die fehlenden 0,17 N sind genau $ma$.
• Glauben, dass nur die Masse zählt. Schiebt man die 10 kg des Rades an den Rand, verdoppelt sich $I$ auf $1,60\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, und die Winkelbeschleunigung sinkt von 1,45 auf etwa 0,73 rad/s².
• Umdrehungen pro Minute oder Grad in $v=\omega r$ oder $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$ verwenden. Diese Formeln brauchen Radiant: 4,60 rad/s entsprechen 44 Umdrehungen pro Minute, und setzt man 44 in $K$ ein, ergibt das etwa 770 J statt 8,5 J.

Wo dir das begegnet

Schraubenschlüssel, Türgriffe und Fahrradpedale haben einen langen Hebelarm. Motoren und Elektromotoren werden nach dem Drehmoment an ihrer Welle bewertet, ein Pkw-Motor schafft einige hundert Newtonmeter, und Getriebe tauschen Winkelgeschwindigkeit gegen Drehmoment. Schwungräder in Motoren und Töpferscheiben speichern ihre Masse in einem schweren Rand, um einen ungleichmäßigen Antrieb zu glätten.

Diese Lektion baut auf der Kreisbewegung auf. Setzt man das resultierende Drehmoment auf null, landet man bei der Lektion Statisches Gleichgewicht und Hebel; folgt man $L=I\omega$, bei der Lektion Drehimpuls und Drehimpulserhaltung. Die Lektion Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder setzt diese Drehmomente in die Praxis um.

Fortgeschritten

Drehmoment über die Arbeit definiert

Eine Kraft kann stark an einem Rad ziehen und es trotzdem nicht drehen, wenn sie genau auf die Achse zeigt. Um Drehungen zu beschreiben, brauchen wir eine Größe, die nicht nur erfasst, wie stark eine Kraft zieht, sondern auch wo und in welche Richtung sie wirkt. Am saubersten findet man sie, indem man fragt, wie viel Arbeit die Kraft verrichtet, wenn sich der Körper dreht. Alle Zahlen beziehen sich im Folgenden auf die Animation: Eine homogene Scheibe der Masse 10 kg und des Radius 0,40 m dreht sich auf einer festen, reibungsfreien Achse, angetrieben durch eine Schnur, die um eine leichte Nabe mit dem Radius 0,12 m gewickelt ist und ein 1-kg-Gewicht trägt, das 0,88 m fällt.

Legende

$O$	Die feste Achse, in Achsrichtung gesehen: Sie zeigt aus der Seite heraus.
$r$	Abstand von der Achse zum Angriffspunkt der Kraft.	$\mathrm{m}$
$d\theta$	Der kleine Winkel, um den sich der Körper dreht.	$\mathrm{rad}$
$d\vec{l}$	Schritt des Punkts: tangential, senkrecht zum Radius, mit der Länge $dl=rd\theta$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Am Punkt angreifende Kraft.	$\mathrm{N}$
$F_{\perp }$	Anteil von $\vec{F}$ entlang des Schritts, senkrecht zum Radius: der einzige Anteil, der Arbeit verrichtet.	$\mathrm{N}$
$F_{\parallel }$	Anteil von $\vec{F}$ entlang des Radius, senkrecht zum Schritt: er verrichtet keine Arbeit.	$\mathrm{N}$

Abbildung 1 zeigt einen Körper, der sich nur um eine feste Achse drehen kann, in Achsrichtung gesehen im Punkt $O$, mit der Achse senkrecht aus der Seite herausragend. Seine Lage wird dann durch eine einzige Zahl beschrieben, den Winkel $\theta$, um den er sich gedreht hat. Eine Kraft $\vec{F}$ wirkt an einem Punkt im Abstand $r$ von der Achse. Der Körper drehe sich um einen kleinen Winkel $d\theta$. Der Punkt bewegt sich dabei auf seinem Kreis um den kurzen Schritt $d\vec{l}$. Da die Drehung klein ist, liegt der Schritt tangential, senkrecht zum Radius $r$, und seine Länge ist ein kurzes Stück des Kreisbogens: $dl=rd\theta$, mit $d\theta$ in Radiant.

Sieh dir nun die beiden Pfeile an, die vom Punkt aus Kopf an Schwanz gezeichnet sind. Sie zerlegen $\vec{F}$ in einen Anteil $F_{\parallel }$ entlang des Radius und einen Anteil $F_{\perp }$ entlang des Schritts. Die Arbeit einer Kraft ist ihre Komponente in Richtung der Verschiebung mal der Verschiebung. $F_{\parallel }$ steht senkrecht zum Schritt und verrichtet deshalb keine Arbeit; $F_{\perp }$ liegt entlang des Schritts und verrichtet die ganze Arbeit:
$dW=\vec{F}\cdot d\vec{l}=F_{\perp }rd\theta$

Der Faktor vor $d\theta$ ist die Größe, die wir gesucht haben. Wir definieren das Drehmoment um die Achse als
$\tau =r{F}_{\perp }$
Dann ist die Arbeit bei einer kleinen Drehung $dW=\tau d\theta$: Drehmoment mal Winkel ist Arbeit, so wie Kraft mal Weg Arbeit ist. Dasselbe Produkt lässt sich auch anders lesen. Ist $\phi$ der Winkel zwischen Radius und Kraft, dann gilt $F_{\perp }=F\sin \phi$, und $r\sin \phi$ ist der Hebelarm, also der senkrechte Abstand von der Achse zu der Linie, auf der die Kraft wirkt. Das Drehmoment ist also auch die ganze Kraft mal ihrem Hebelarm. Eine Kraft, die genau auf die Achse zielt, hat $F_{\perp }=0$ und keinen Hebelarm, also kein Drehmoment: Das ist das Rad, das sich nicht drehen wollte.

Koordinaten liefern dasselbe Ergebnis in einer leicht anwendbaren Formel. Lege die Achse entlang $z$ durch den Ursprung. Dreht sich der Körper um $d\theta$ gegen den Uhrzeigersinn, bewegt sich ein Punkt bei $(x,y)$ um $dx=-yd\theta$ und $dy=xd\theta$. Das ist der Schritt $d\vec{l}$ aus Abbildung 1, in Komponenten geschrieben: Er steht senkrecht zum Radius und hat die Länge $rd\theta$. Eine Kraft $(F_x,F_y)$, die dort wirkt, verrichtet die Arbeit
$dW=F_{x}dx+F_{y}dy=(x{F}_y-y{F}_x)d\theta$
also $\tau =x{F}_y-y{F}_x$. Das ist die $z$-Komponente des Kreuzprodukts $\vec{r}\times \vec{F}$, positiv, wenn die Kraft den Körper von der $+z$-Seite aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen versucht. Da $r$, $x$ und $y$ alle von der Achse aus gemessen werden, hängt der Wert eines Drehmoments von der gewählten Achse ab; man sollte deshalb immer angeben, um welche Achse das Drehmoment gilt.

Teilt man $dW=\tau d\theta$ durch die Zeit $dt$, die die Drehung braucht, erhält man die Leistung, die einem drehenden Körper zugeführt wird. Mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =d\theta /dt$ gilt
$P=\tau \omega$
das Gegenstück zu $P=Fv$ bei Drehungen.

Die Zahlen der Animation bestätigen das. Kurz vor dem Aufkommen des Gewichts zieht die Schnur mit einer Spannung $T\approx 9,64\mathrm{N}$. An der Nabe ergibt das bei einem Hebelarm von 0,12 m ein Drehmoment $\tau =9,64\cdot 0,12\approx 1,16\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, und das Rad dreht sich mit 4,60 rad/s; die Schnur führt dem Rad also die Leistung $\tau \omega \approx 1,16\cdot 4,60\approx 5,3\mathrm{W}$ zu. Am anderen Ende zieht die Schnur am Gewicht nach oben, das sich mit 0,553 m/s nach unten bewegt; die Schnur entzieht dem Gewicht also Energie mit der Rate $Tv\approx 9,64\cdot 0,553\approx 5,3\mathrm{W}$. Die beiden Raten stimmen überein: Eine leichte Schnur speichert keine Energie und reicht sie nur weiter.

Newtonsches Gesetz für einen drehenden Körper

Das Drehmoment sagt, wie stark ein Körper gedreht wird. Wir brauchen noch das Gesetz, das sagt, wie schnell er darauf reagiert, das Gegenstück zu $F=ma$ für Drehbewegungen. Wir gewinnen es, indem wir das Newtonsche Gesetz auf jedes Stück des Körpers anwenden und die Ergebnisse aufsummieren.

Legende

$O$	Die Achse durch den Mittelpunkt, in Achsrichtung gesehen.
$R$	Radius der Scheibe.	$\mathrm{m}$
$s$	Abstand des goldenen Rings von der Achse.	$\mathrm{m}$
$ds$	Breite des Rings.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Länge des aufgeschnittenen und gestreckten Rings: sein Umfang $2\pi s$.	$\mathrm{m}$
$dm$	Masse des Rings: seine Fläche $2\pi sds$ mal die Masse pro Fläche $M/(\pi R^2)$.	$\mathrm{kg}$
${\omega }^{2}s$	Zentripetalbeschleunigung jedes Stücks des Rings, zur Achse hin.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\alpha s$	Tangentialbeschleunigung jedes Stücks des Rings, entlang des Kreises.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Abbildung 2 zeigt die Stücke. Man fasst alle Materie im gleichen Abstand $s$ von der Achse zusammen: Bei einer Scheibe ist das ein dünner Ring wie der goldene, mit der Breite $ds$ und der Masse $dm$. Jedes Stück des Rings bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius $s$, mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und der Winkelbeschleunigung $\alpha =d\omega /dt$ des ganzen Körpers. Seine Beschleunigung hat daher zwei Anteile, beide oben am Ring eingezeichnet: einen Zentripetalanteil ${\omega }^{2}s$, zur Achse $O$ hin, der das Stück auf seinem Kreis hält, und einen Tangentialanteil $\alpha s$ entlang des Kreises, der es beschleunigt.

Nach dem Newtonschen Gesetz hat die resultierende Kraft auf den Ring dieselben zwei Anteile: seine Masse mal jede Beschleunigung. Die Zentripetalkraft zeigt zur Achse, hat also keinen Hebelarm und kein Drehmoment. Nur die Tangentialkraft $\alpha sdm$ hat ein Drehmoment, mit dem Hebelarm $s$:
$d\tau =s\cdot (\alpha sdm)=s^2\alpha dm$

Nun summiert man diese Drehmomente über den ganzen Körper. Die resultierende Kraft auf jedes Stück setzt sich aus äußeren Kräften und inneren Kräften der anderen Stücke zusammen. Die inneren Kräfte heben sich paarweise auf: Zwei Stücke wirken mit gleich großen, entgegengesetzten Kräften entlang der Verbindungslinie aufeinander, die beiden Kräfte haben also denselben Hebelarm und drehen in entgegengesetzte Richtungen. Nur die äußeren Drehmomente bleiben übrig, und da jedes Stück dasselbe $\alpha$ hat, lässt es sich aus der Summe herausziehen:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\left(\int s^{2}dm\right)\alpha =I\alpha$
Das Integral $I=\int s^{2}dm$ ist das Trägheitsmoment. Es übernimmt die Rolle, die die Masse in $F=ma$ spielt, hängt aber davon ab, wo die Masse sitzt, nicht nur davon, wie viel es ist: Jedes Stück zählt mit dem Quadrat seines Abstands von der Achse.

Bei der homogenen Scheibe der Abbildung 2 mit Radius $R$ und Masse $M$ ist das Integral eine Summe über Ringe. Schneide den goldenen Ring auf und strecke ihn, wie unten in der Abbildung gezeigt: Dann wird er zu einem Streifen der Länge $\ell =2\pi s$ und der Breite $ds$, seine Fläche ist also $2\pi sds$. Die Masse der Scheibe ist gleichmäßig über ihre Fläche $\pi R^2$ verteilt, die Masse pro Fläche ist also $M/(\pi R^2)$, und die Masse des Rings beträgt
$dm=\frac{M}{\pi R^2}\cdot 2\pi sds=\frac{2M}{R^2}sds$
Summiert man die Ringe von der Mitte bis zum Rand auf,
$I={\int }_0^R{s}^2\frac{2M}{R^2}sds=\frac{2M}{R^2}\cdot \frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}M{R}^2$
Das ist die Hälfte des Werts $M{R}^2$ eines dünnen Reifens gleicher Masse und gleichen Radius, weil ein großer Teil der Scheibenmasse nahe bei der Achse liegt. Für die Scheibe der Animation gilt $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$.

Das Trägheitsmoment hängt außerdem davon ab, welche Achse man wählt. Für eine Achse parallel zu einer Achse durch den Schwerpunkt, im Abstand $d$ davon, gilt der Satz von Steiner:
$I=I_{\mathrm{cm}}+M{d}^2$
Das sieht man so: Schreibe das Quadrat des Abstands jedes Stücks von der neuen Achse als das Quadrat seines Abstands von der alten Achse plus $d^2$ plus einen Kreuzterm. Über den Körper summiert ist der Kreuzterm proportional zur massengewichteten mittleren Lage, gemessen vom Schwerpunkt aus, und dieser Mittelwert ist per Definition des Schwerpunkts null. An einem Stift am Rand aufgehängt hat die Scheibe der Animation $d=0,40\mathrm{m}$ und $I=0,80+10\cdot 0,40^2=2,40\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, also den dreifachen Wert bezogen auf den Mittelpunkt.

Drehimpuls und das Wörterbuch der Drehung

Bei der geradlinigen Bewegung gilt das Newtonsche Gesetz in seiner allgemeinsten Form $F=dp/dt$. Bei der Drehung gilt dieselbe Form, sobald der Drehimpuls definiert ist, und mit ihm übertragen sich alle Ergebnisse der eindimensionalen Dynamik.

Jedes Stück des Rings in Abbildung 2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\omega s$, sein Impuls ist also $\omega sdm$ entlang des Kreises. Sein Drehimpuls um die Achse ist dieser Impuls mal seinem Hebelarm $s$, also $s\cdot (\omega s)dm$. Über den Körper summiert ergibt sich der Gesamtdrehimpuls $L=I\omega$. Bei einem starren Körper ändert sich $I$ nicht, also gilt $I\alpha =d(I\omega )/dt$, und das Drehgesetz nimmt die Form an
$L=I\omega ,\tau =\frac{dL}{dt}$
das Gegenstück zu $F=dp/dt$: Das Drehmoment ist die Änderungsrate des Drehimpulses.

Die kinetische Energie baut sich ebenso auf. Ein Stück, das sich mit $\omega s$ bewegt, trägt $\frac{1}{2}(\omega s{)}^{2}dm$, und die Summe ergibt
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$
Die Arbeit des Drehmoments, $\int \tau d\theta$, entspricht der Änderung von $K$, so wie $\int Fdx$ der Änderung von $\frac{1}{2}m{v}^2$ entspricht.

Das Wörterbuch zwischen geradliniger und Drehbewegung ist nun vollständig: $x\leftrightarrow \theta$, $v\leftrightarrow \omega$, $a\leftrightarrow \alpha$, $m\leftrightarrow I$, $F\leftrightarrow \tau$, $p\leftrightarrow L$, $\frac{1}{2}m{v}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}I{\omega }^2$ und $Fv\leftrightarrow \tau \omega$. Das Expertenfeld der Animation listet vier dieser Paare auf. Jedes Ergebnis der eindimensionalen Dynamik gilt weiter, auch die Gleichungen für konstante Beschleunigung.

Ein Eintrag hat kein exaktes Gegenstück. Die Masse eines Körpers ist fest, aber sein Trägheitsmoment ändert sich, sobald der Körper seine Form ändert, denn $I$ hängt davon ab, wo die Masse sitzt. Dann gilt $\tau =dL/dt$ weiterhin, während $\tau =I\alpha$ nicht mehr gilt. So dreht sich eine Eiskunstläuferin schneller, wenn sie die Arme anzieht, obwohl kein Drehmoment wirkt: $L=I\omega$ bleibt gleich, $I$ sinkt, also steigt $\omega$.

Den Graphen der Winkelgeschwindigkeit lesen

Ein Graph der Winkelgeschwindigkeit gegen die Zeit zeigt die ganze Bewegung des Rades auf einen Blick. Er wird genauso gelesen wie ein Graph der Geschwindigkeit gegen die Zeit: Die Steigung ist die Winkelbeschleunigung, und die Fläche darunter ist der überstrichene Winkel.

Legende

$t$	Zeit seit dem Loslassen des Gewichts.	$\mathrm{s}$
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit des Rades, $d\theta /dt$.	$rad/s$
$t_1$	Zeitpunkt, zu dem das Gewicht aufkommt.	$\mathrm{s}$
${\omega }_1$	Winkelgeschwindigkeit beim Aufkommen, der größte erreichte Wert.	$rad/s$
$\Delta t$	Ein Zeitintervall: die Basis des Steigungsdreiecks.	$\mathrm{s}$
$\alpha \Delta t$	Anstieg von $\omega$ in der Zeit $\Delta t$: die Steigung $\alpha$ mal $\Delta t$.	$rad/s$
$\tau$	Drehmoment der Schnur auf das Rad: konstant, solange die Schnur zieht, nach dem Aufkommen null.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$\theta$	Winkel vom Loslassen bis zum Aufkommen: die schraffierte Fläche unter der Geraden.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 ist der Graph, den die Expertenebene der Animation zeichnet: $\omega$ gegen die Zeit $t$ seit dem Loslassen des Gewichts. Solange die Schnur zieht, ist ihr Drehmoment $\tau$ konstant, nach $\tau =I\alpha$ ist also auch die Winkelbeschleunigung konstant, und der Graph ist eine Gerade. Schau dir das kleine Steigungsdreieck an: In jeder Zeit $\Delta t$ steigt $\omega$ um $\alpha \Delta t$, die Steigung der Geraden ist also
$\alpha =\tau /I=1,16/0,80\approx 1,45rad/{\mathrm{s}}^2$

Nun betrachte das schraffierte Dreieck. Jedes kurze Intervall $dt$ fügt $\omega dt$ zum überstrichenen Winkel hinzu, die Fläche unter der Geraden ist also der Winkel $\theta$. Das Gewicht kommt bei $t_1=3,19\mathrm{s}$ auf, wenn das Rad ${\omega }_1=4,60rad/s$ erreicht hat, also
$\theta =\frac{1}{2}\cdot 3,19\mathrm{s}\cdot 4,60rad/s\approx 7,3\mathrm{rad}$
Die Schnur liefert eine unabhängige Kontrolle. Sie wickelt sich ohne Rutschen von der Nabe ab, 0,88 m Schnur von einer Nabe mit 0,12 m Radius bedeuten also $\theta =0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{rad}$, derselbe Winkel. Die Anzeige $L$ der Animation ist einfach $I$ mal diesem Graphen: Sie steigt jede Sekunde um 1,16 kg·m²/s, weil die Steigung von $L(t)$ das Drehmoment ist.

Bei $t_1$ kommt das Gewicht auf, die Schnur zieht nicht mehr, und $\tau =0$, wie am flachen Teil des Graphen markiert. Dann gilt $dL/dt=0$: Die Gerade wird waagerecht, und $L$ bleibt bei $0,80\cdot 4,60\approx 3,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, da keine Reibung das Rad bremst. Die Fläche unter dem Graphen wächst weiter, nun um 4,60 rad jede Sekunde. An der Ecke springt die Steigung von 1,45 rad/s² auf null, $\omega$ selbst aber springt nicht: Ein Sprung in $\omega$ würde $L$ in null Zeit um einen endlichen Betrag ändern, und das würde ein unendliches Drehmoment erfordern.

Energie und die effektive Masse

Die Energieerhaltung prüft die ganze Rechnung unabhängig. Sie liefert außerdem eine nützliche Vorstellung vom Rad: als zusätzliche Masse, die das fallende Gewicht mitschleppen muss.

Nach dem Fall um $h=0,88\mathrm{m}$ hat das Gewicht der Masse $m=1\mathrm{kg}$ die Energie $mgh\approx 8,63\mathrm{J}$ abgegeben. Das Rad enthält nun $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 8,48\mathrm{J}$, das Gewicht $\frac{1}{2}m{v}^2\approx 0,15\mathrm{J}$; also stecken 98 % der Energie in der Drehung. Da die Schnur nicht rutscht, bewegt sich das Gewicht mit der Geschwindigkeit des Nabenrandes, $v=\omega r$, wobei $r=0,12\mathrm{m}$ der Radius der Nabe ist. Mit $\omega =v/r$ lautet die Energiebilanz
$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{r^2}\right)v^2$

Von der Schnur aus gesehen verhält sich das Rad also wie eine zusätzliche Masse $I/r^2=0,80/0,12^2\approx 55,6\mathrm{kg}$, die das Gewicht mitschleppen muss. Leitet man die Bilanz nach der Zeit ab (die Änderungsrate von $h$ ist $v$, die von $v$ ist $a$), erhält man $mgv=(m+I/r^2)va$, also
$a=\frac{mg}{m+I/r^2}$
Das 1-kg-Gewicht muss also 56,6 kg effektive Masse beschleunigen; deshalb sinkt es nur mit 0,17 m/s² herab.

Der Nabenradius ist eine Konstruktionsentscheidung. Halbiert man ihn auf 0,06 m, wächst $I/r^2$ auf das Vierfache, auf 222 kg, sodass das Gewicht etwa viermal langsamer beschleunigt. Die Winkelbeschleunigung $\alpha =a/r$ sinkt weniger, denn eine kleinere Nabe dreht sich pro Meter Schnur weiter; sie halbiert sich aber trotzdem, auf etwa 0,73 rad/s². Allgemein gilt
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}$
Dieser Ausdruck wächst mit $r$, solange $m{r}^2<I$ ist, also bis $r=\sqrt{I/m}\approx 0,89\mathrm{m}$. Das liegt über dem eigenen Radius des Rades von 0,40 m; für dieses Rad bringt eine breitere Nabe es also immer schneller in Schwung: Der längere Hebelarm überwiegt den wachsenden Anteil des Gewichts am Trägheitsmoment, $m{r}^2$.

Aufgabe: das Rad als Jo-Jo

Bisher war die Achse fest. Ein Jo-Jo zeigt dieselben Gesetze, wenn sich die Achse selbst bewegt. Binde das freie Ende der Schnur an die Decke und lass das Rad fallen; es wickelt sich wie ein großes Jo-Jo von der Nabe ab, mit $M=10\mathrm{kg}$, $I=0,80\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ und Nabenradius $r=0,12\mathrm{m}$. Wie schnell beschleunigt es, wie stark zieht die Schnur, und wie verteilt sich die Energie nach einem Fall von 0,88 m?

Legende

$Mg$	Gewicht des Rades, im Mittelpunkt angreifend.	$\mathrm{N}$
$T$	Zug der Schnur, nach oben am Rand der Nabe wirkend.	$\mathrm{N}$
$r$	Radius der Nabe: der Hebelarm von $T$ um den Mittelpunkt.	$\mathrm{m}$
$a$	Beschleunigung des Mittelpunkts, nach unten.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\alpha$	Winkelbeschleunigung des Rades, gegen den Uhrzeigersinn, weil die Schnur rechts vom Mittelpunkt nach oben zieht.	$rad/{\mathrm{s}}^2$

Abbildung 4 zeigt die beiden Kräfte am Rad, maßstabsgetreu gezeichnet. Sein Gewicht $Mg$ wirkt im Mittelpunkt. Die Zugkraft $T$ der Schnur wirkt nach oben am rechten Rand der Nabe, im Abstand $r$ vom Mittelpunkt, und ist etwas kleiner als $Mg$. Ihre Differenz, $Mg-T$, beschleunigt den Mittelpunkt mit $a$ nach unten, der gerade Pfeil links. Um den Mittelpunkt hat das Gewicht keinen Hebelarm, also dreht nur $T$ das Rad. Da sie rechts vom Mittelpunkt nach oben zieht, dreht sie das Rad gegen den Uhrzeigersinn, mit der Winkelbeschleunigung $\alpha$, dargestellt durch den gekrümmten Pfeil.

Kann $\tau =I\alpha$ auch verwendet werden, wenn die Achse fällt? Ja, für eine Achse durch den Schwerpunkt, die ihre Richtung beibehält. In einem mit dem Mittelpunkt fallenden Bezugssystem dreht sich das Rad einfach um eine feste Achse, und die einzige zusätzliche Kraft in diesem System, die Trägheitskraft $-M\vec{a}$, wirkt im Schwerpunkt, wo sie keinen Hebelarm hat.

Die beiden Bewegungen sind verknüpft. Die Schnur ist an der Decke befestigt, also ruht die Stelle der Nabe, an der die Schnur abgeht, im Augenblick. Das Rad dreht sich um diesen Punkt, also fällt der Mittelpunkt, der um $r$ entfernt ist, für jedes Radiant Drehung um $r$: $a=\alpha r$.

Die Translation, die Drehung um den Mittelpunkt und diese Rollbedingung ergeben drei Gleichungen für $a$, $T$ und $\alpha$:
$Mg-T=Ma,Tr=I\alpha ,a=\alpha r$
Setzt man $\alpha =a/r$ in die zweite Gleichung ein, erhält man $T=Ia/r^2$, und dies in die erste eingesetzt:
$a=\frac{g}{1+I/(M{r}^2)}=\frac{9,81}{1+5,56}\approx 1,50m/{\mathrm{s}}^2,T=M(g-a)\approx 83,1\mathrm{N}$
und $\alpha =a/r\approx 12,5rad/{\mathrm{s}}^2$. Das ist wieder das Ergebnis mit der effektiven Masse: Die Drehung addiert $I/r^2\approx 55,6\mathrm{kg}$ zu den 10 kg, an denen die Schwerkraft zieht. Nach dem Fall um 0,88 m gilt $v=\sqrt{2ah}\approx 1,62m/s$ und $\omega =v/r\approx 13,5rad/s$, fast das Dreifache der 4,60 rad/s aus der Animation, weil nun das ganze Gewicht des Rades es antreibt und nicht ein 1-kg-Gewicht.

Die freigesetzte Energie $Mgh\approx 86,3\mathrm{J}$ teilt sich in $\frac{1}{2}M{v}^2\approx 13,2\mathrm{J}$ Translationsenergie und $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 73,2\mathrm{J}$ Rotationsenergie. Ihr Verhältnis ist mit $I/(M{r}^2)\approx 5,56$ festgelegt, unabhängig von der Höhe, weil $\omega =v/r$ in jedem Augenblick gilt. Die Schnur zieht mit 83,1 N, nicht mit dem vollen Gewicht von 98,1 N; eine Federwaage an der Schnur zeigt während des Falls also weniger an als das Gewicht des Jo-Jos. Und unten, wenn die Schnur ganz abgewickelt ist, dreht sich das Rad noch und wickelt sich an der Schnur wieder nach oben: So kehrt ein Jo-Jo zurück.

Gültigkeitsgrenzen

Das Modell setzt ein starres Rad, eine leichte Schnur, die sich weder dehnt noch rutscht, und eine reibungsfreie Achse voraus. Reibung spielt beim Auslaufen eine größere Rolle als beim Beschleunigen. Ein Lagerdrehmoment von 0,02 N·m liegt unter 2 % der 1,16 N·m der Schnur und würde $\alpha$ also um weniger als 2 % senken. Sobald das Gewicht aber aufgekommen ist, ist es das einzige Drehmoment, und es würde das auslaufende Rad in $I\omega /\tau =0,80\cdot 4,60/0,02\approx 184\mathrm{s}$ anhalten, also etwa drei Minuten.

Die Starrheit versagt bei hoher Geschwindigkeit. Die Spannung in einem dünnen rotierenden Ring beträgt etwa $\rho v^2$, wobei $\rho$ die Dichte und $v$ die Randgeschwindigkeit ist; der Ring platzt, wenn $\rho v^2$ die Festigkeit des Materials erreicht. Ein Stahlring (Dichte 7800 kg/m³, Festigkeit um $10^9\mathrm{Pa}$) platzt bei etwa 360 m/s. Der Rand in der Animation bewegt sich mit $4,60\cdot 0,40\approx 1,84m/s$.

Das skalare Gesetz $\tau =I\alpha$ setzt eine feste Achse voraus oder eine Achse durch den Schwerpunkt, die ihre Richtung beibehält. Im Dreidimensionalen ist das Drehmoment ein Vektor, $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$, und $\vec{L}$ ist mit $\vec{\omega }$ nicht durch eine einzige Zahl verknüpft, sondern durch den Trägheitstensor, eine Menge von neun Zahlen, die an die Stelle von $I$ tritt. Um eine Symmetrieachse gedreht hat ein Rad $\vec{L}$ parallel zu $\vec{\omega }$. Ein unsymmetrisches Rad hat $\vec{L}$ von der Achse weggekippt; dann überstreicht $\vec{L}$ bei der Drehung einen Kegel, und die Lager müssen ein Drehmoment $d\vec{L}/dt$ liefern, selbst bei konstanter Drehzahl. Deshalb werden Autoräder gewuchtet, und hier beginnen Kreisel und Präzession.

Relativistische Korrekturen, von der Größenordnung $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-17}$ für den Rand, spielen keine Rolle. In der Quantenmechanik kommt der Drehimpuls in Schritten der Größenordnung $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ vor. Der Drehimpuls des Rades, $3,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, entspricht etwa $3,5\times 10^{34}$ solchen Schritten, sodass sein Spin völlig kontinuierlich erscheint; die Drehung eines Moleküls dagegen kommt in diskreten Niveaus vor, die in Mikrowellenspektren sichtbar werden.

Wohin das führt

Setzt man das resultierende Drehmoment und die resultierende Kraft auf null, landet man bei der Lektion Statisches Gleichgewicht und Hebel. Lässt man das Trägheitsmoment sich ändern oder die Achse kippen, landet man bei Drehimpuls und Drehimpulserhaltung, mit Eiskunstläuferinnen, dem Flächensatz von Kepler und dem präzedierenden Kreisel. Ein Körper, der an einem Drehpunkt hängt, spürt ein rücktreibendes Drehmoment der Schwerkraft und schwingt als physikalisches Pendel, mit der Schwingungsdauer $2\pi \sqrt{I/(Mgd)}$ für kleine Ausschläge, wobei $d$ der Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt ist. Die am Rand aufgehängte Scheibe mit $I=2,40\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ und $d=0,40\mathrm{m}$ schwingt mit einer Schwingungsdauer von etwa 1,55 s; die Lektion Harmonische Schwingung entwickelt das weiter. Das Drehmoment eines Magnetfelds auf eine Stromschleife treibt jeden Elektromotor an, das Thema von Motoren, Generatoren und Transformatoren, und die Leistungsformel $P=\tau \omega$ verbindet diese Lektion mit der Lektion Arbeit, Energie und Leistung.