Auge, Kamera und Teleskop

Einsteiger

Schritt 1: Das Auge ist eine Kamera. Licht tritt durch die klare Hornhaut ein und passiert die Pupille, die Öffnung, die die farbige Iris wie die Blende einer Kamera weitet oder verengt. Dann geht es durch die Linse. Hornhaut und Linse brechen die Strahlen zusammen, sodass das Licht von jedem Punkt einer Szene auf der Netzhaut wieder in einem Punkt zusammentrifft, dem lichtempfindlichen Schirm auf der Rückseite. Das Bild dort steht auf dem Kopf; das Gehirn sortiert das.

Schritt 2: Scharfstellen. Eine Kamera stellt scharf, indem sie ihre Linse verschiebt. Das Auge kann das nicht; es ändert die Form der Linse. Für einen nahen Gegenstand lassen winzige Muskeln die Linse runder werden, sodass sie das Licht stärker bricht. Das ist die Akkommodation. In der Animation siehst du, wie sich die Linse wölbt, wenn die Lampe näher kommt. Mit dem Alter versteift sich die Linse, deshalb brauchen die meisten Menschen nach 45 eine Lesebrille.

Schritt 3: Kurz- und Weitsichtigkeit. Bei einem kurzsichtigen Auge ist der Augapfel etwas zu lang. Licht aus der Ferne trifft daher vor der Netzhaut zusammen und wird zu einem verschwommenen Fleck, während nahe Dinge scharf bleiben. Eine Zerstreuungslinse, in der Mitte dünner, verteilt das Licht zuerst ein wenig und verschiebt den Treffpunkt zurück auf die Netzhaut: In der Animation schrumpft der unscharfe Kreis zu einem scharfen Punkt. Ein weitsichtiges Auge ist zu kurz; dafür hilft eine Sammellinse.

Schritt 4: Geräte. Ein Mikroskop hat zwei Linsen: Die erste erzeugt ein vergrößertes Bild eines winzigen Objekts, die zweite vergrößert dieses Bild noch einmal. Deshalb multiplizieren sich die beiden Vergrößerungen. Die große vordere Linse eines Teleskops sammelt Licht von einem schwachen, fernen Objekt, und das Okular vergrößert das Bild, das sie erzeugt.

Kontrollfrage: Eine kurzsichtige Freundin leiht dir ihre Brille. Sind die Gläser am Rand dicker oder in der Mitte? (Am Rand: Sie sind Zerstreuungslinsen.)

Mittelstufe

Brechkraft in Dioptrien und die Zahlen des Auges

Mit Geräten rechnet man am einfachsten mit der Brechkraft einer Linse statt mit ihrer Brennweite. Die Brechkraft ist $P=1/f$; mit $f$ in Metern ergibt sich die Einheit Dioptrie (D). So gibt $f=0,5\mathrm{m}$ $P=2\mathrm{D}$. Sammellinsen haben positive, Zerstreuungslinsen negative Brechkraft. Dünne Linsen, die einander berühren, addieren ihre Brechkräfte einfach: $+3\mathrm{D}$ und $-1\mathrm{D}$ zusammen wirken wie $+2\mathrm{D}$.

Hier werden Hornhaut und Augenlinse als eine einzige dünne Sammellinse behandelt, das reduzierte Auge. Die Gegenstandsweite $d_o$ und die Bildweite $d_i$ werden von ihr aus gemessen. Eine Kamera ändert $d_i$, indem sie ihre Linse verschiebt. Das Auge kann das nicht, denn $d_i$ ist der Abstand Linse–Netzhaut. In diesem Modell beträgt er $1/60\mathrm{m}\approx 1,67\mathrm{cm}$, also $1/d_i=60\mathrm{D}$.

Scharfstellen durch Änderung der Brechkraft

Mit Brechkräften geschrieben lautet die Dünnlinsengleichung des Auges
$P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(eye}:d_i\approx 1,67\mathrm{cm},P\approx 60\mathrm{D}\text{)}$

Die feste Brechkraft von 60 D bündelt paralleles Licht auf der Netzhaut. Licht von einem Punkt in der Entfernung $d_o$ fächert stärker auf und braucht zusätzlich $1/d_o$. Bei einem fernen Gegenstand gilt $1/d_o\to 0$, daher braucht das entspannte Auge 60 D. Für ein Buch in 25 cm braucht es $1/0,25+60=64\mathrm{D}$. Diese zusätzliche Brechkraft ist die Akkommodation: Der ringförmige Ziliarmuskel zieht sich zusammen, die Aufhängefasern der Linse erschlaffen, und die elastische Linse wölbt sich.

Das Maximum, das ein Auge zusätzlich aufbringen kann, seine Akkommodationsbreite, sinkt mit dem Alter, weil die Linse steifer wird: über 10 D in der Kindheit, etwa 4 D Mitte vierzig, 1 D mit 60. Der Fernpunkt ist die größte Entfernung, die bei entspannter Linse scharf gesehen wird, der Nahpunkt die kleinste bei voller Akkommodation. Ein normales junges Auge hat sie bei unendlich und bei 25 cm oder näher; Geräte rechnen mit 25 cm.

Wie Brillen das Sehen korrigieren

Eine Brille repariert das Auge nicht. Sie verschiebt optisch den Gegenstand und erzeugt ein virtuelles Bild von ihm an der Stelle, an der das Auge scharf stellen kann. Vernachlässigt man den Abstand zwischen Brille und Auge, ergeben sich zwei Rechenformeln:

• $\text{Short sight}:P=-\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}$
• $\text{Reading glasses}:P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{near}}}$

Bei Kurzsichtigkeit (Myopie) liegt der Fernpunkt in endlicher Entfernung $d_{\mathrm{far}}$. Eine Zerstreuungslinse mit $f=-d_{\mathrm{far}}$ lässt paralleles Licht so auseinanderlaufen, als käme es vom Fernpunkt. Bei Weitsichtigkeit (Hyperopie) ist der Augapfel zu kurz. Bei Presbyopie, der Alterssichtigkeit durch die mit dem Alter steifer werdende Linse, reicht die Akkommodation nicht mehr; in beiden Fällen rückt der Nahpunkt weg. Eine Sammellinse erzeugt dann das virtuelle Bild einer Seite bei 25 cm am Nahpunkt: die 4 D, die 25 cm verlangt, minus das $1/d_{\mathrm{near}}$, das das Auge noch liefern kann.

Beispiel: das Auge in der Animation

Die Animation beginnt mit einem normalen Auge, dessen Netzhaut $d_i=1/60\mathrm{m}$ hinter der Linse liegt. Die Anzeigen zeigen $d_o\to \infty$, eine Netzhaut bei 1,667 cm und eine Augenbrechkraft von 60,0 D. Dann kommt die Lampe auf 25 cm heran:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}+60\mathrm{D}=4+60=64\mathrm{D}$

Die blaue Linse wird dicker, während die Brechkraftanzeige auf 64,0 D steigt, und die goldenen Strahlen treffen sich immer noch auf der Netzhaut.

Als Nächstes wird der Augapfel länger, und die lilafarbene Anzeige wandert von 1,667 auf 1,724 cm, was $1/58\mathrm{m}$ entspricht. Das entspannte Auge hat immer noch 60 D, daher trifft paralleles Licht bei $F^{\prime }$ zusammen, 0,57 mm vor der neuen Netzhaut, und erzeugt dort einen Unschärfekreis. Licht aus der Entfernung $d_o$ ist jetzt nur noch scharf, wenn $1/d_o+58=60$ gilt:
$\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}=60-58=2\mathrm{D},d_{\mathrm{far}}=0,5\mathrm{m}$

Das ist der Fernpunkt von 50 cm auf dem lilafarbenen Etikett. Die Anzeige der Brille steigt dann auf $-1/(0,5\mathrm{m})=-2\mathrm{D}$. Brille und Auge zusammen haben $60-2=58\mathrm{D}$, genau das, was paralleles Licht braucht, um 1,724 cm hinter der Linse zusammenzutreffen. Der unscharfe Kreis im Feld „Was du siehst“ schrumpft zu einem scharfen Punkt.

Beispiel: Lesebrille mit fünfzig

Eine 50-Jährige kann noch 1,5 D Akkommodation aufbringen, daher liegt ihr Nahpunkt bei $1/1,5\approx 0,67\mathrm{m}$. Welche Brille lässt sie bei 25 cm lesen, und was sieht sie durch sie?

Die Brille muss das Bild der Seite an ihren Nahpunkt legen:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-1,5\mathrm{D}=4-1,5=+2,5\mathrm{D}$

Bei entspanntem Auge addieren die Gläser 2,5 D zu den 60 D, daher sieht sie scharf bei $1/2,5=0,40\mathrm{m}$. Mit voller Akkommodation addiert sie $2,5+1,5=4\mathrm{D}$, scharf bei 25 cm. Durch diese Brille sieht sie nur von 25 bis 40 cm klar, und die Wand in der Ferne ist verschwommen. Deshalb nimmt man Lesebrillen zum Hochschauen ab, und deshalb ändern Gleitsichtgläser ihre Brechkraft von oben nach unten.

Geräte, die den Winkel vergrößern

Wie groß etwas wirkt, hängt vom Winkel ab, den es für dein Auge einnimmt: Eine Münze auf Armlänge kann den Mond verdecken. Ohne Hilfsmittel ist das Beste, was man bei einem kleinen Gegenstand tun kann, ihn bis zum Nahpunkt von 25 cm heranzubringen. Geräte vergrößern diesen Winkel. Die Winkelvergrößerung $M={\theta }^{\prime }/\theta$ vergleicht den Winkel mit dem Gerät, ${\theta }^{\prime }$, mit dem Winkel ohne Gerät, $\theta$:

• $\text{Magnifier}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscope}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Telescope}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

Eine Lupe erlaubt es, den Gegenstand in ihren Brennpunkt zu legen statt auf 25 cm, daher ergibt $f=5\mathrm{cm}$ die Vergrößerung $M=5$. Das Objektiv eines Mikroskops erzeugt ein reelles Bild, das $L/f_o$-mal größer ist; $L\approx 16\mathrm{cm}$ ist die Tubuslänge. Das Okular vergrößert dieses Bild: $f_o=4\mathrm{mm}$ und $f_e=25\mathrm{mm}$ ergeben $40\cdot 10=400$. Das Objektiv eines Teleskops erzeugt ein kleines reelles Bild eines fernen Gegenstands in seiner Brennebene, und das Okular betrachtet es aus der Nähe: $f_o=1,2\mathrm{m}$ und $f_e=20\mathrm{mm}$ ergeben 60.

Das eingeblendete Bild der Animation ist ein Teleskop mit $f_o=3f_e$. Wenn der Stern bis $\theta =3,5^{\circ }$ ausschwenkt, erreicht die Anzeige ${\theta }^{\prime }$ den Wert $10,4^{\circ }$, also etwa das Dreifache.

Häufige Fehler

• Kurzsichtige Augen sind nicht zu schwach, sondern für ihre Länge zu stark: Das lange Auge der Animation hat die normalen 60 D, braucht aber nur 58 D. Daher hat die korrigierende Linse negative Brechkraft, $-2\mathrm{D}$.
• Den Kehrwert der Entfernung in Metern bilden: Ein Fernpunkt von 25 cm braucht $-1/0,25=-4\mathrm{D}$, nicht $-0,25\mathrm{D}$ oder $-0,04\mathrm{D}$.
• Lesebrillen ziehen den Nahpunkt-Term ab. Für einen Nahpunkt von 1,0 m gilt $P=4-1=+3\mathrm{D}$; addiert man die Terme, ergibt das +5 D, was die Seite nur zwischen 17 und 20 cm scharf hielte.
• Vergrößerung multipliziert Winkel, nicht Bildgrößen. Das oben genannte 60-fache Teleskop erzeugt ein Mondbild von nur 11 mm Durchmesser; wachsen tut der Winkel, von 0,52° auf etwa 30°.
• Mehr Vergrößerung zeigt nicht mehr Details. Diese sind durch die Breite $D$ des Objektivs begrenzt, über ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$. Ab einem gewissen Punkt vergrößert ein Teleskop nur noch die Unschärfe.

Wo dir das begegnet

Brillen und Kontaktlinsen werden in Schritten von 0,25 D verordnet. Etwa ein Drittel der Menschen weltweit ist kurzsichtig, und fast alle brauchen bis 50 eine Lesebrille. Handykameras stellen scharf, indem sie eine winzige Linse verschieben. Ein Fernglas mit der Aufschrift 8×42 vergrößert 8-fach mit 42-mm-Objektiven und sendet ein Strahlenbündel von $42/8=5,25\mathrm{mm}$ Breite aus, das zu einer in der Dämmerung geöffneten Pupille passt. Warum die Details ausgehen, behandelt Beugung und Doppelspalt. Die Farbsäume billiger Linsen kommen von der Dispersion, siehe Prismen, Dispersion und Farbe.

Fortgeschritten

Vergenz: die Sprache der Linsen

Jedes Gerät in dieser Lektion, von der Brille über das Auge selbst bis zum Teleskop, ist eine Reihe von Linsen. Der schnellste Weg, Licht durch eine solche Reihe zu verfolgen, ist, eine einzige Zahl zu verfolgen: die Vergenz, also wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, gemessen in Dioptrien (D, eine Dioptrie ist eins pro Meter). Damit wird jede Linse zu einer einfachen Addition.

Legende

$S$	Punktförmige Lichtquelle.
$S^{\prime }$	Bild von $S$: der Punkt, in dem das Licht konvergiert.
$d_o$	Abstand von $S$ zur Linse: der Radius der eintreffenden Wellenfronten.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Abstand von der Linse zu $S^{\prime }$: der Radius der austretenden Wellenfronten.	$\mathrm{m}$
$V$	Vergenz des eintreffenden Lichts, $-1/d_o$: negativ, weil die Fronten auseinanderlaufen.	$\mathrm{D}$
$V^{\prime }$	Vergenz des austretenden Lichts, $+1/d_i$: positiv, weil die Fronten sich zusammenziehen.	$\mathrm{D}$
$P$	Brechkraft der Linse: die Vergenz, die sie addiert, $V^{\prime }=V+P$.	$\mathrm{D}$

Abbildung 1 zeigt Licht von einem Punktstrahler $S$, das durch eine Linse zum Bild $S^{\prime }$ läuft. Von $S$ breitet sich das Licht als Kugelwellen aus, den violetten Bögen. Die Fronten, die die Linse erreichen, sind daher Bögen mit dem Radius $d_o$ um $S$. Die Strahlen, die orangefarbenen Linien, schneiden die Fronten im rechten Winkel; deshalb verlaufen die beiden Randstrahlen geradlinig von $S$ zum Rand der Linse.

Die Vergenz ist die Krümmung der Fronten, also der Kehrwert ihres Radius, mit einem Vorzeichen, das angibt, in welche Richtung sie sich biegen. Auseinanderlaufendes Licht, etwa das von $S$ kommende, hat $V=-1/d_o$, also einen negativen Wert. Paralleles Licht von einer sehr fernen Quelle hat $V=0$. Licht, das auf einen Punkt im Abstand $d$ voraus zuläuft, hat $V=+1/d$, also einen positiven Wert.

Eine dünne Linse tut genau eines: Sie addiert ihre Brechkraft $P$ zur Vergenz. Rechts in Abbildung 1 sind die Fronten, die die Linse verlassen, Bögen um $S^{\prime }$ mit dem Radius $d_i$. Ihre Vergenz ist daher $V^{\prime }=+1/d_i$, und das reelle Bild entsteht dort, wo sie sich zu einem Punkt zusammenziehen:
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
Mit $V=-1/d_o$ ist das die bekannte Dünnlinsengleichung $1/d_o+1/d_i=P$, als eine einzige Addition geschrieben.

Nehmen wir ein entspanntes normales Auge: eine einzige Linse von 60 D, deren Netzhaut 1/60 m dahinter liegt (ein reduzierter Abstand, im nächsten Abschnitt erklärt). Eine Lampe 25 cm entfernt sendet Licht mit der Vergenz $V=-1/(0,25\mathrm{m})=-4\mathrm{D}$ hinein. Um auf der Netzhaut zu konvergieren, muss das Licht mit $V^{\prime }=60\mathrm{D}$ austreten. Das Auge muss seine Brechkraft also auf $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{D}$ erhöhen; die zusätzlichen 4 D sind seine Akkommodation.

Zwischen zwei Linsen ändert sich die Vergenz ebenfalls, einfach weil das Licht sich ausbreitet. Licht mit der Vergenz $V_1$ läuft auf einen Punkt im Abstand $1/V_1$ voraus zu (oder kommt aus einem Punkt dahinter, wenn $V_1$ negativ ist: eine virtuelle Quelle). Nach einem Abstand $t$ liegt dieser Punkt um $t$ näher, nämlich $1/V_1-t$ voraus. Die neue Vergenz ist der Kehrwert dieser Entfernung:
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

Das ist für Brillen wichtig, die etwa $t=12\mathrm{mm}$ vor der Hornhaut sitzen. Paralleles Licht verlässt eine Brillenlinse der Brechkraft $P$ mit der Vergenz $P$ und erreicht das Auge mit $P/(1-tP)$. Die Brille wirkt also wie eine Kontaktlinse dieser Stärke. Eine Brillenlinse mit $-8\mathrm{D}$ ergibt am Auge $-8/(1+0,012\cdot 8)=-8/1,096=-7,3\mathrm{D}$. Für die $-2\mathrm{D}$ der Animation beträgt der Unterschied nur 0,05 D, kleiner als die Schritte von 0,25 D einer Verordnung. Deshalb ignorieren die Anzeigen den Abstand.

Woher die Brechkraft des Auges kommt

Woher stammen die 60 D des Auges? Eine gekrümmte Grenzfläche zwischen zwei durchsichtigen Medien bricht das Licht schon allein, ganz ohne Linse. Die erste Grenzfläche des Auges, die Vorderseite der Hornhaut, leistet den größten Teil der Arbeit. Dieser Abschnitt bestimmt die Brechkraft einer einzelnen gekrümmten Fläche und wendet sie auf das Auge an.

Legende

$n$	Brechzahl vor der Fläche (Luft).
$n^{\prime }$	Brechzahl hinter der Fläche (Hornhautgewebe).
$R$	Krümmungsradius der Fläche.	$\mathrm{m}$
$C$	Krümmungsmittelpunkt: der Mittelpunkt der Kugel, zu der die Fläche gehört.
$F^{\prime }$	Punkt, in dem sich Strahlen parallel zur Achse nach der Fläche treffen.
$f^{\prime }$	Abstand von der Fläche zu $F^{\prime }$: $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, mit $P=(n^{\prime }-n)/R$ der Brechkraft der Fläche.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt die Vorderseite der Hornhaut maßstabsgetreu. Die Fläche ist ein Teil einer Kugel mit dem Radius $R$ und dem Mittelpunkt $C$. Links davon ist Luft mit der Brechzahl $n$, rechts davon Hornhautgewebe mit der Brechzahl $n^{\prime }$. Schau dir die Strahlen an: Sie kommen parallel zur Achse an, werden an der Fläche gebrochen und schneiden die Achse alle in einem Punkt, $F^{\prime }$.

Verfolge einen Strahl in der Höhe $h$ über der Achse. Die Normale der Fläche an dieser Stelle ist der Radius von $C$ aus. Für kleine Winkel ist sie um $h/R$ gegen die Achse geneigt. Der Strahl verläuft parallel zur Achse, daher ist $h/R$ auch sein Einfallswinkel $\theta$. Das Brechungsgesetz für kleine Winkel, $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$, ergibt den Winkel nach der Fläche, ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$: näher an der Normalen, weil $n^{\prime }>n$ ist. Der Strahl ist also um die Differenz der beiden Winkel zur Achse hin abgelenkt:
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

Ein Strahl in der Höhe $h$, der mit diesem kleinen Winkel zur Achse hin geneigt ist, erreicht sie nach einer Strecke, die $h$ geteilt durch den Winkel ist:
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
Die Höhe $h$ kürzt sich heraus. Daher treffen sich alle achsennahen Strahlen im selben Punkt $F^{\prime }$: Das ermöglicht es der Fläche, ein Bild zu erzeugen. Schreibt man die Brechkraft der Fläche als $P=(n^{\prime }-n)/R$, ergibt sich $f^{\prime }=n^{\prime }/P$. Das besagt, dass die Brennweite im Medium mit der Brechzahl $n^{\prime }$ um den Faktor $n^{\prime }$ länger ist als in Luft. Eine dünne Linse besteht aus zwei solchen Flächen dicht beieinander, und ihre Brechkraft ist die Summe der beiden Brechkräfte.

Die Brechkraft ist dort am größten, wo der Brechzahlsprung am größten ist. Im Auge ist der größte Sprung der von Luft zu Hornhaut. Mit $R\approx 7,8\mathrm{mm}$ und $n^{\prime }=1,376$ hat die Vorderfläche $P=0,376/0,0078\mathrm{m}\approx 48\mathrm{D}$ und $f^{\prime }=1,376/48\mathrm{D}\approx 28,5\mathrm{mm}$, der in Abbildung 2 eingezeichnete Abstand. Die Rückseite der Hornhaut grenzt an Flüssigkeit mit der Brechzahl 1,336, also an einen Sprung zu einer kleineren Brechzahl, daher nimmt sie etwa 6 D weg. Die Hornhaut liefert somit rund 42 D, mehr als zwei Drittel der 60 D des Auges. Die Augenlinse fügt den Rest hinzu und übernimmt die Akkommodation.

Unter Wasser, mit $n=1,333$ davor, behält die Vorderfläche nur $(1,376-1,333)/0,0078\mathrm{m}\approx 5,5\mathrm{D}$. Das Auge verliert über 40 D, weit mehr, als jede Akkommodation ersetzen könnte, und alles verschwimmt. Taucherbrillen helfen, weil sie wieder eine Luftschicht vor die Hornhaut bringen.

Dieselbe Formel erklärt eine Konvention, die in dieser Lektion durchgehend verwendet wird. Das Bild entsteht in Flüssigkeit mit der Brechzahl 1,336, daher ist der wirkliche Abstand von Linse zu Netzhaut $n^{\prime }/P=1,336/60\mathrm{D}\approx 22\mathrm{mm}$. Der Wert 1/60 m des Modells, etwa 17 mm, ist der reduzierte Abstand: der Abstand in Luft, der dieselbe Vergenz ergibt. Mit reduzierten Abständen lässt sich jede Formel so schreiben, als wäre das Auge mit Luft gefüllt.

Das Unschärfediagramm: warum es ein V ist

Das Expertendiagramm der Animation zeigt, wie unscharf eine entfernte Szene einem kurzsichtigen Auge erscheint, aufgetragen gegen die Brechkraft seiner Brille. Seine V-Form folgt aus einem einzigen Paar ähnlicher Dreiecke. Dasselbe Ergebnis erklärt, warum Zusammenkneifen der Augen hilft und warum Verordnungen in Schritten von Viertel-Dioptrien kommen.

Legende

$A$	Breite der Pupille, der Öffnung, die den Lichtkegel begrenzt.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Abstand hinter der Linse, in dem sich der Kegel schließt: $d_i=1/V^{\prime }$, mit $V^{\prime }$ der austretenden Vergenz (ein reduzierter Abstand).	$\mathrm{m}$
$L$	Abstand von der Linse zur Netzhaut (ein reduzierter Abstand, hier $1/58\mathrm{m}$).	$\mathrm{m}$
$b$	Breite der Unschärfescheibe auf der Netzhaut.	$\mathrm{m}$
$P$	Brechkraft der Brille, auf der horizontalen Achse des Diagramms.	$\mathrm{D}$
$P_0$	Brechkraft ohne Unschärfe, $-1/d_{\mathrm{far}}$, mit $d_{\mathrm{far}}$ dem Fernpunkt: Der Kegel schließt sich dann genau auf der Netzhaut.	$\mathrm{D}$
$AL$	Steigung jedes Astes: die Unschärfe, die eine Dioptrie Fehler hinzufügt.	${\mathrm{m}}^2$

Die linke Hälfte von Abbildung 3 zeigt, woher die Unschärfe kommt. Das Auge ist das reduzierte Auge des letzten Abschnitts, eine Linse mit 60 D. Dieser Augapfel ist aber etwas zu lang: Die Netzhaut liegt bei $L=1/58\mathrm{m}$ statt bei 1/60 m. Das Auge ist kurzsichtig. Entspannt sieht es nur bis zu seinem Fernpunkt scharf, $d_{\mathrm{far}}=0,5\mathrm{m}$. Denn Licht, das von dort mit der Vergenz $-2\mathrm{D}$ ausgeht, verlässt die Linse mit $60-2=58\mathrm{D}$ und trifft genau auf die Netzhaut. Also ist $1/d_{\mathrm{far}}=2\mathrm{D}$.

Lass nun paralleles Licht von einem fernen Punkt durch eine Brille mit der Brechkraft $P$ fallen. Es verlässt sie mit der Vergenz $P$ (der Abstand wird vernachlässigt, wie oben), und das Auge fügt 60 D hinzu. Hinter der Linse gilt also $V^{\prime }=60\mathrm{D}+P$. Das Licht tritt als Kegel in das Auge ein, so breit wie die Pupille $A$. Der Kegel schließt sich zu einem Punkt bei $d_i=1/V^{\prime }$, einem reduzierten Abstand wie $L$.

Betrachte den Abstand zwischen $d_i$ und $L$. In der Abbildung ist $d_i$ kürzer als $L$: Der Kegel hat sich bereits gekreuzt und öffnet sich wieder, wenn er die Netzhaut erreicht. Dort beleuchtet er eine Scheibe der Breite $b$. Ähnliche Dreiecke, eines mit der Basis $A$ und der Höhe $d_i$, das andere mit der Basis $b$ und der Höhe $L-d_i$, ergeben
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right|$
Der mittlere Schritt nutzt $d_i=1/V^{\prime }$; der letzte nutzt $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{D})=L(P+2\mathrm{D})$. Wäre $d_i$ größer als $L$, würde der Kegel an der Netzhaut noch zusammenlaufen, und dieselbe Formel gälte. Dafür steht der Betrag.

Die Größe $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{far}}$ ist der Vergenzfehler: wie weit das ins Auge fallende Licht von der Vergenz entfernt ist, die das entspannte Auge braucht. Die rechte Hälfte von Abbildung 3 trägt $b$ gegen $P$ auf. Da $b$ proportional zum Betrag einer Größe ist, die mit $P$ stetig wächst, ist der Graph ein V. Seine Spitze liegt bei $P_0=-1/d_{\mathrm{far}}=-2\mathrm{D}$, wo $d_i=L$ ist: Der Kegel schließt sich genau auf der Netzhaut, und die Unschärfe verschwindet. Jeder Ast ist eine Gerade mit der Steigung $AL$. Jede Dioptrie Fehler vergrößert die Unschärfe um $AL$, der Anstieg, der am linken Ast markiert ist.

Die senkrechte $b$-Achse steht bei $P=0$, also ohne Brille. Das unkorrigierte Auge, dessen Kegel links gezeichnet ist, liegt also dort, wo diese Achse den rechten Ast trifft. In der Animation steigt der Punkt zuerst bei $P=0$ senkrecht an, während sich der Augapfel verlängert. Dann gleitet er den rechten Ast hinab, während die Brechkraft der Brille hochgefahren wird.

Ohne Brille ergibt eine 4 mm große Pupille $b=0,004\cdot 0,01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0,14\mathrm{mm}$. Von der Linse aus gesehen überspannt diese Scheibe den Winkel $b/L=A|\Delta V|=0,004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$, etwa 27′. Ein scharfes Auge löst 1′ auf. Daher ist jeder Punkt einer entfernten Szene über etwa das 27-Fache des feinsten Details verschmiert, das das Auge sonst sehen könnte.

Der linke Ast ist Überkorrektur. Mit einer Brille von $-3\mathrm{D}$ konvergiert das Licht hinter der Netzhaut. Ein junges Auge kann es noch scharfstellen, aber nur, indem es den ganzen Tag 1 D akkommodiert. Die Steigung $AL$ ist proportional zur Pupille. Eine 2 mm große Pupille gibt also die halbe Unschärfe einer 4 mm großen. Deshalb hilft das Zusammenkneifen der Augen.

Nahe der Spitze bleibt eine kleine Unschärfe unbemerkt. Der Bereich des Vergenzfehlers, den das Auge toleriert, ist seine Tiefenschärfe. Wenn 3′ Unschärfe, 0,87 mrad, unbemerkt bleiben, toleriert eine 3 mm große Pupille einen Fehler von $0,87\times 10^{-3}/0,003\approx 0,3\mathrm{D}$. Deshalb kommen Verordnungen in Schritten von 0,25 D.

Winkelvergrößerung, hergeleitet

Ein Teleskop lässt einen Stern nicht größer erscheinen. Was es vergrößert, ist der Winkel zwischen Richtungen am Himmel. Dieser Abschnitt zeigt, dass der Winkel um das Verhältnis der beiden Brennweiten wächst, und überträgt dann die Idee auf das Mikroskop.

Legende

$f_o$	Brennweite des Objektivs.	$\mathrm{m}$
$f_e$	Brennweite des Okulars, dessen Brennebene die des Objektivs ist.	$\mathrm{m}$
$y$	Höhe des Sternbilds unterhalb der Achse in der gemeinsamen Brennebene: $y=f_o\tan \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Winkel zwischen dem einfallenden Licht und der Achse: die Richtung des Sterns.	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	Winkel zwischen dem austretenden Licht und der Achse: die Richtung, in der das Auge den Stern sieht.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 4 verfolgt zwei Hauptstrahlen, Strahlen durch den Mittelpunkt einer Linse, die geradlinig hindurchgehen. Die Winkel sind übertrieben dargestellt. Links kommt Licht von einem Stern unter dem Winkel $\theta$ zur Achse am Objektiv mit der Brennweite $f_o$ an. Das Objektiv erzeugt das Bild des Sterns in seiner Brennebene. Sein Hauptstrahl zeigt, wo: in der Höhe $y=f_o\tan \theta$ unterhalb der Achse, der violette Balken.

Das Okular mit der Brennweite $f_e$ wird so platziert, dass seine Brennebene dieselbe Ebene ist. Licht von jedem Punkt dieser Ebene verlässt das Okular daher als paralleles Bündel. Das Bündel läuft in Richtung des Hauptstrahls von diesem Punkt durch die Okularmitte. Das Licht des Sterns verlässt also das Okular unter dem Winkel ${\theta }^{\prime }$, mit $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$.

Der Balken $y$ ist eine Seite in beiden rechtwinkligen Dreiecken der Abbildung, eines mit der Seite $f_o$ und eines mit $f_e$. Division der beiden Gleichungen eliminiert ihn:
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
Für kleine Winkel sind die Tangenten gleich den Winkeln, und die Winkelvergrößerung ist $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$. Im eingeblendeten Bild der Animation ist $f_o=3f_e$: Wenn $\theta$ bei $3,5^{\circ }$ seinen Höchstwert erreicht, erreicht ${\theta }^{\prime }$ den Wert $10,4^{\circ }$ statt $10,5^{\circ }$, weil es die Tangenten sind, die sich um den Faktor 3 ändern. Beachte auch, dass der austretende Strahl entgegengesetzt zum einfallenden geneigt ist: Das Teleskop zeigt den Himmel auf dem Kopf.

Das Okular verengt außerdem jedes Bündel im Verhältnis $f_e/f_o$. Licht, das ein Objektiv der Breite $D$ gefüllt hat, verlässt also als um den Faktor $M$ schmaleres Bündel der Breite $D/M$: die Austrittspupille, der Lichtfleck hinter dem Okular, an dem das Auge platziert wird.

Ein Mikroskop wendet dieselbe Idee auf ein nahes Objekt an. Das Objekt liegt knapp hinter dem Brennpunkt des Objektivs, im Abstand $x_o$ davon. Das Objektiv erzeugt ein reelles, vergrößertes Bild im Abstand $x_i=f_o^2/x_o$ jenseits seines fernen Brennpunkts. Das ist die Linsengleichung, von den Brennpunkten aus gemessen, in ihrer newtonschen Form. Das Bild ist $x_i/f_o$-mal größer als das Objekt. Mit dem Bild im Standardabstand $x_i=\ell$, der optischen Tubuslänge, ergibt das $\ell /f_o$. Das Okular wirkt dann als Lupe: Ein Bild der Höhe $y$ in seiner Brennebene wird unter dem Winkel $y/f_e$ gesehen statt unter dem $y/(0,25\mathrm{m})$, unter dem es bei der üblichen Leseentfernung erscheinen würde. Zusammen:
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0,25\mathrm{m}}{f_e}$

Vergrößerung ist nicht Auflösung

Warum kann mehr Vergrößerung nie feinere Details zeigen? Weil jede Öffnung das Licht eines Punktes auf einen kleinen Fleck verteilt, unter einem Winkel, der von der Wellenlänge und der Breite der Öffnung bestimmt wird. Allein die zeitliche Abfolge der Wellen zeigt, woher dieser Winkel stammt.

Stell dir eine ideale Linse als Zeitmesser vor: Sie bringt das Licht einer Punktquelle zu ihrem Bildpunkt auf Wegen, die alle gleich lange dauern. Die Wellen kommen daher im Takt an und verstärken sich. Nun nimm eine zweite Punktquelle im kleinen Winkel $\theta$ zur ersten und verfolge ihr Licht zum selben Bildpunkt. Ihre beiden Randstrahlen, durch gegenüberliegende Ränder einer Öffnung der Breite $D$, unterscheiden sich im Weg um $D\sin \theta \approx D\theta$ und damit in der Laufzeit um $D\theta /c$.

Vergleiche diese Verzögerung mit einer Periode der Welle, $\lambda /c$. Ist sie viel kürzer, kommen die Wellen der zweiten Quelle ebenfalls nahezu im Takt an: Ihr Bild fällt auf denselben Fleck, und die beiden Quellen lassen sich nicht unterscheiden. Sobald die Verzögerung etwa eine Periode erreicht, lässt sich jeder Streifen der Öffnung mit einem Streifen eine halbe Öffnung entfernt paaren, dessen Wellen eine halbe Periode später ankommen. Die Paare löschen sich aus. Die zweite Quelle sendet dann kein Licht zum ersten Bildpunkt, und die beiden Bilder trennen sich. Also gilt ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$. Eine runde Öffnung hat in ihren Randbereichen weniger Fläche als eine quadratische. Sie wirkt daher wie eine etwas schmalere Öffnung, und der Faktor steigt auf 1,22:
$\text{Resolution}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1,22\lambda }{D}$

Für eine 3 mm große Pupille und grünes Licht von 550 nm ergibt das $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/0,003\approx 2,2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, oder 0,8′. Die Netzhaut ist darauf abgestimmt: Die Zapfen in der Mitte der Fovea liegen etwa 2,5 μm auseinander, von der Linse aus gesehen 0,5′. Ein Muster, das sich alle 1′ wiederholt, wird daher zweimal pro Wiederholung abgetastet, gerade genug, um es aufzuzeichnen.

Facettenaugen von Insekten kennen denselben Zielkonflikt in anderer Form. Jede Facette der Breite $D$ verschwimmt um etwa $\lambda /D$, während auf einem Auge mit dem Radius $r$ benachbarte Facetten $D/r$ auseinander zeigen. Kleine Facetten beugen stärker; große tasten grober ab. Die beiden Winkel sind gleich, wenn $D=\sqrt{\lambda r}$ gilt, die beste Facettenbreite: etwa 23 μm für $r=1\mathrm{mm}$.

Die Vergrößerung eines Teleskops muss nur seinen ${\theta }_{\min }$ auf einen Winkel heben, den das Auge sehen kann. Die Austrittspupille zeigt, warum mehr nicht hilft. Bei der Vergrößerung $M$ ist das ins Auge fallende Bündel $D/M$ breit. Die eigene Beugung des Auges verwischt es daher um $1,22\lambda /(D/M)=M\cdot 1,22\lambda /D$: genau die Grenze des Teleskops, $M$-fach vergrößert. Bild und Unschärfe wachsen gemeinsam. Oberhalb einer Vergrößerung von etwa dem Doppelten der Öffnung in Millimetern sinkt die Austrittspupille unter 0,5 mm. Diese Unschärfe übersteigt dann etwa 4,6′, was deutlich sichtbar ist: Das Bild wird größer, aber es kommt kein Detail hinzu.

Aufgabe: Teleskop für ein kurzsichtiges Auge

Diese Aufgabe verbindet die Vergenzregel, das Unschärfediagramm und das Teleskop: Was passiert, wenn eine kurzsichtige Beobachterin ein Teleskop ohne ihre Brille benutzt?

Baue das Teleskop des eingeblendeten Bildes mit $f_o=300\mathrm{mm}$ und $f_e=100\mathrm{mm}$, also $M=3$. Der Tubus $f_o+f_e$ ist 400 mm lang. Gib es der Beobachterin der Animation mit $-2\mathrm{D}$ ohne ihre Brille, ihr Auge dicht am Okular. Ihr entspanntes Auge ist nur für Licht mit der Vergenz $-2\mathrm{D}$ scharf, das von ihrem Fernpunkt ausgeht. Das $+10\mathrm{D}$-Okular muss also dem Licht des Objektivbildes, das einen Abstand $s$ vor ihm liegt, diese Vergenz geben:
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{D}=-2\mathrm{D},s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83,3\mathrm{mm}$

Sie schiebt das Okular 16,7 mm nach innen und verkürzt den Tubus von 400 auf 383,3 mm. Das Objektivbild hat weiterhin die Höhe $y=f_o\theta$, liegt nun aber im Abstand $s$ vom Okular. Der Hauptstrahl von seiner Spitze durch die Okularmitte, der geradewegs in ihr Auge läuft, macht den Winkel ${\theta }^{\prime }=y/s$:
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right)=0,3\cdot 12=3,6$

Sie erhält das 3,6-Fache statt des 3-Fachen. Im Ergebnis addiert sich der Überschuss von 2 D ihres Auges zu den 10 D des Okulars, was ein 12-D-Okular mit der Brennweite 83,3 mm ergibt. Eine weitsichtige Beobachterin, deren entspanntes Auge $+2\mathrm{D}$ braucht, hat das Gegenteil: ein wirksames 8-D-Okular, herausgezogen auf $s=125\mathrm{mm}$, und nur $M=0,3\cdot 8=2,4$.

Wenn die kurzsichtige Beobachterin nicht nachfokussiert, begegnet ihr das Unschärfediagramm erneut. Ihr Fehler von 2 D und die 4 mm große Pupille ergeben 27′ Unschärfe am Auge, wie im Abschnitt zur Unschärfe. Nach der Division durch $M=3$ sind es auf dem Himmel etwa 9′. Das setzt voraus, dass die Austrittspupille ihre 4 mm große Pupille füllt, was ein mindestens 12 mm breites Objektiv verlangt.

Grenzen der Gültigkeit

Alles oben Gesagte ist paraxiale Dünnlinsenoptik: Strahlen nahe der Achse, Linsen ohne Dicke, Licht einer einzigen Wellenlänge. Echte Augen und Geräte weichen in drei Punkten davon ab, die man kennen sollte.

Erstens Aberrationen. Das reale Auge ist ein dickes System mit den Fehlern jeder Linse. Die sphärische Aberration, also Strahlen fern der Achse, die näher fokussieren als solche nahe der Achse, wächst schnell mit der Pupille. Nachts, wenn die Pupille weit ist, erhöht sie die Unschärfe. Die chromatische Aberration macht das Auge für violettes Licht etwa 2 D stärker als für rotes. Eine Hornhaut, die in einer Richtung stärker gekrümmt ist als in der anderen, verursacht Astigmatismus. Er verlangt eine Zylinderlinse statt einer einzigen Zahl $P$.

Zweitens Beugung. Sie legt einen Boden unter das V von Abbildung 3: Die Unschärfe flacht bei etwa $1,22\lambda /A$ ab, 0,8′ für eine 3 mm große Pupille. Unterhalb einer Pupille von etwa 2 bis 3 mm wird die Sache durch eine kleinere Pupille schlechter, nicht besser.

Drittens die Luft. Bei Teleskopen am Boden verschmiert die Turbulenz Sterne über etwa 1″, das sind $4,85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$. Das entspricht der Beugungsgrenze einer Öffnung, die nur $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/(4,85\times 10^{-6})\approx 0,14\mathrm{m}$ breit ist. Größere Teleskope sammeln weiterhin mehr Licht, aber feinere Details erfordern adaptive Optik, die die Wellenfront beim Eintreffen formt, oder ein Teleskop im Weltraum. Dort erreicht das 2,4 m große Hubble-Teleskop 0,06″.

Wohin das führt

Der Faktor 1,22 und die dunklen Ringe um Sternbilder werden in Beugung und Doppelspalt hergeleitet. Das Argument der Phasengleichheit stammt aus Interferenz und Superposition. Die chromatische Aberration und das achromatische Dublett, das sie aufhebt, gehören zu Prismen, Dispersion und Farbe. Die Flächenbrechkraft $(n^{\prime }-n)/R$ beruht auf Reflexion und Brechung, und die Vergenz auf Linsen und Spiegel. Die Regel ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$ gilt für jede Welle: Eine 100-m-Radioschüssel bei 21 cm löst nur etwa 9′ auf, gröber als das bloße Auge. Elektronenmikroskope dagegen, deren Elektronen Wellenlängen von wenigen Pikometern haben (Welle-Teilchen-Dualismus), können einzelne Atome abbilden. Licht selbst als Welle behandelt Elektromagnetische Wellen.