Kondensatoren

Zwei Platten, die getrennte Ladung speichern, $Q = C V$ , und Energie, $W = \frac{1}{2} C V^{2}$ . Über einen Widerstand geladen, füllen sie sich zuerst schnell, dann immer langsamer, im Takt von $τ = RC$ .

Ein Kondensator wird über einen Widerstand aus einer 12-V-Batterie geladen. Elektronen wandern durch die Drähte, zuerst schnell, dann langsamer, während sich auf den Platten Ladung sammelt und das Feld zwischen ihnen wächst.

Vor diesem Thema: Elektrisches Feld und Potential

Einsteiger

Kernideen

Ein Kondensator besteht aus zwei Metallplatten mit einem dünnen isolierenden Spalt dazwischen. Er speichert getrennte Ladung und damit Energie.
Die Batterie bewegt Elektronen durch die Drähte von einer Platte zur anderen, sodass die Platten gleich große, entgegengesetzte Ladungen erhalten.
Keine Ladung springt über den Spalt: Die + und − Platte ziehen sich durch ihn hindurch an, und ein elektrisches Feld füllt ihn aus.
Das Laden ist zuerst schnell, wird dann langsamer und stoppt, wenn die Spannung des Kondensators der Batteriespannung entspricht.
Größere Platten oder ein engerer Spalt lassen dieselbe Batterie mehr Ladung speichern.

Ein Kondensator gehört zu den einfachsten elektrischen Bauteilen: zwei Metallplatten, die sich über einen dünnen Spalt aus Luft oder Kunststoff gegenüberstehen. Er speichert getrennte elektrische Ladung und damit Energie, die er in einem Augenblick wieder abgeben kann. Kamerablitze, Herzdefibrillatoren und die Schaltungen in deinem Handy hängen alle von Kondensatoren ab.

Schritt 1: wandernde Elektronen. Metalle enthalten Elektronen, die sich frei bewegen können. Verbindest du die Platten mit einer Batterie, zieht diese Elektronen von einer Platte ab und drückt sie durch die Drähte auf die andere. Eine Platte wird positiv, die andere negativ. Es wird kein Elektron erzeugt oder vernichtet: Jedes, das auf der einen Platte landet, wurde von der anderen genommen, deshalb sind die beiden Ladungen immer gleich groß und entgegengesetzt.

Schritt 2: Nichts überquert den Spalt. Der Spalt ist ein Isolator, sodass keine Ladung hinüberspringen kann. Stattdessen ziehen sich die + Platte und die − Platte durch ihn hindurch an, und ein elektrisches Feld füllt den Raum zwischen ihnen.

Schritt 3: Das Füllen. Je mehr Ladung die Platten schon tragen, desto stärker drücken sie gegen die Batterie. Das Laden ist daher zuerst schnell, wird dann langsamer und stoppt, wenn die Spannung des Kondensators gleich der Batteriespannung ist, genau wie ein Tank, der von einem Wasserturm gespeist wird, aufhört sich zu füllen, sobald beide Pegel gleich sind.

Schritt 4: Die Größe zählt. Größere Platten oder ein engerer Spalt lassen dieselbe Batterie mehr Ladung speichern.

In der Animation rasen die blauen Elektronen zunächst durch die Drähte, werden dann langsamer und bleiben stehen, während sich Ladung auf den Platten sammelt und die Anzeige immer langsamer füllt.

Teste dich: Eine Platte eines geladenen Kondensators trägt +5 Einheiten Ladung. Was trägt die andere? (Antwort: −5 Einheiten; die Gesamtladung bleibt null.)

Mittelstufe

Kernideen

$Q = C V$ : Die Kapazität $C$ in Farad ( $1 F = 1 C/V$ ) ist die Ladung, die pro Volt gespeichert wird.
Parallelplatten: $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ . Eine größere Fläche, ein kleinerer Abstand oder ein Dielektrikum erhöht $C$ .
Über einen Widerstand gilt $I = (V_{0} - V_{C}) / R$ : am größten ( $V_{0} / R$ ) am Anfang, sinkend, wenn $V_{C}$ steigt.
Gespeicherte Energie $W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V$ , nicht $Q V$ , weil $V$ von 0 aus steigt, während die Ladung bewegt wird.

Ladung, Spannung und Kapazität

Ein Kondensator ist ein beliebiges Paar von Leitern, die durch einen Isolator getrennt sind, im einfachsten Fall zwei Metallplatten über einen dünnen Spalt. Eine Batterie bewegt Ladung durch die Drähte von einer Platte zur anderen und hinterlässt $+ Q$ auf der einen und $- Q$ auf der anderen. Der Kondensator als Ganzes bleibt daher neutral, und seine Ladung ist $Q$ . Seine Spannung $V$ ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten, also die Arbeit pro Coulomb, um Ladung von der negativen zur positiven Platte zu tragen.

Verdoppelt man die Ladung, verdoppelt sich das Feld zwischen den Platten überall und ebenso die Arbeit pro Coulomb. Ladung und Spannung sind daher proportional:
$Q = C V$

Die Konstante $C$ ist die Kapazität, die Ladung pro Volt, gemessen in Farad: $1 F = 1 C/V$ . Ein Farad ist riesig, deshalb werden die meisten Kondensatoren in Pikofarad ( $1 0^{- 12} F$ ), Nanofarad oder Mikrofarad (µF, $1 0^{- 6} F$ ) angegeben.

Was die Kapazität bestimmt

Bei zwei ebenen Parallelplatten mit der Fläche $A$ im Abstand $d$ ist das Feld dazwischen homogen, $E = V / d$ , und außerhalb nahezu null. Die Kapazität hängt nur von dieser Geometrie und vom Isolator ab:
$C = \frac{ε _{0} ε _{r} A}{d}$

Dabei ist $ε_{0} \approx 8, 85 \times 1 0^{- 12} F/m$ die elektrische Feldkonstante, und $ε_{r}$ ist die relative Permittivität, also die Dielektrizitätszahl des Isolators: 1,0006 für Luft, etwa 2,2 für Polypropylen, 80 für Wasser.

Die Ladung pro Quadratmeter bestimmt das Feld, $E = Q / (ε_{0} ε_{r} A)$ . Größere Platten verteilen dieselbe Ladung dünner, daher sind Feld und Spannung $V = E d$ kleiner. Ein engerer Spalt behält das Feld bei gleicher Ladung, verkürzt aber den Weg hindurch. In einem Dielektrikum polarisieren sich die Moleküle, ihre negativen Enden drehen sich zur positiven Platte und schwächen das Feld teilweise. Die Spannung pro Coulomb sinkt also, und dieselbe Batterie kann mehr Ladung aufbringen.

Zwei Platten mit je 1 cm² und 0,5 mm Luftspalt haben $C = 8, 85 \times 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{- 4} / (5 \times 1 0^{- 4}) \approx 1, 77 pF$ ; auf 0,3 mm zusammengedrückt, wie bei einer kapazitiven Taste, erreichen sie 2,95 pF. Ein Farad mit 1 mm Luftspalt bräuchte 113 km² Plattenfläche.

Laden über einen Widerstand

In der Animation lädt eine Batterie mit der Spannung $V_{0}$ den Kondensator über einen Widerstand $R$ . Die Batteriespannung teilt sich auf beide auf, $V_{0} = R I + V_{C}$ , sodass nur die übrige Spannung am Widerstand den Strom treibt:
$I = \frac{V _{0} - V _{C}}{R}$

Am Anfang ist der Kondensator leer, $V_{C} = 0$ , und der Strom ist am größten, $V_{0} / R$ , als wäre der Kondensator ein einfacher Draht. Jede ankommende Ladung hebt $V_{C}$ , lässt dem Widerstand weniger Spannung und verlangsamt den Strom: Je voller der Kondensator, desto schwächer der Druck, der ihn füllt.

Das Tempo bestimmt die Zeitkonstante $τ = RC$ ; Ohm mal Farad ergibt Sekunden. Nach einer Zeitkonstante hat der Kondensator 63 % seiner Endspannung erreicht, und nach weiteren $5 τ$ mehr als 99 %. Die exakten Gesetze, auf fortgeschrittenem Niveau hergeleitet, sind exponentiell:

$τ = RC$
$V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})$
$I = (\frac{V _{0}}{R}) e^{- t / RC}$

Energie und Spannungs-Ladungs-Diagramm

Das Laden kostet Arbeit: Jede Ladung muss über die bereits aufgebaute Spannung getragen werden, bei der ersten fast null, bei der letzten die volle $V$ . Im Diagramm Spannung gegen Ladung ist $V = Q / C$ eine Gerade durch den Ursprung, und die Arbeit ist die Fläche darunter, ein Dreieck mit der Grundseite $Q$ und der Höhe $V$ :
$W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V$

Der Faktor ½ entsteht, weil die mittlere Spannung während des Ladens die Hälfte der Endspannung ist. Trägt man Ladung gegen Spannung auf, hat dieselbe Gerade die Steigung $C$ ; eine größere Kapazität ergibt also eine steilere Gerade. Da $W$ mit dem Quadrat der Spannung wächst, speichert eine doppelte Spannung die vierfache Energie, im Feld zwischen den Platten.

Rechenbeispiel: die Schaltung der Animation

Mit der Animationsspannung $V_{0} = 12 V$ , $R = 10 kΩ$ und $C = 100 μ F$ ergeben sich Anfangsstrom, Zeitkonstante, Endladung und Energie zu
$I_{0} = \frac{V _{0}}{R} = \frac{12 V}{1 0 ^{4} Ω} = 1, 2 mA$
$τ = RC = 1 0^{4} Ω \cdot 1 0^{- 4} F = 1 s$
$Q = C V_{0} = 1 0^{- 4} F \cdot 12 V = 1, 2 mC$
$W = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1 2^{2} = 7, 2 mJ$

Das sind die Endwerte der Anzeigen: $I$ beginnt bei 1,20 mA, und nach dem Laden zeigt $V_{C}$ 12,0 V, $Q$ 1,20 mC und $I$ 0,00 mA. Bei $t = τ = 1 s$ zeigen sie $V_{C} = 7, 6 V$ (63 %), $Q = 0, 76 mC$ und $I = 0, 44 mA$ , wie die Maschenregel bestätigt: $(12 - 7, 6) V /10 kΩ = 0, 44 mA$ .

Die blauen Punkte sind Elektronen. Sie verlassen die obere Platte in Richtung des positiven Batteriepols, und ebenso viele werden vom negativen Pol auf die untere Platte gedrückt. So wird die obere Platte $+ Q$ (rotorange Punkte) und die untere $- Q$ (blaue Punkte). Der goldene Pfeil $I$ , die konventionelle Stromrichtung, zeigt entgegen der Elektronenbewegung und wird kleiner, wenn der Strom erlischt. Die lila Pfeile $E$ zwischen den Platten wachsen proportional zu $Q$ , und kein Punkt überquert jemals den Spalt.

Rechenbeispiel: ein Kamerablitz

Ein Kamerablitz speichert seine Energie in einem Kondensator von, sagen wir, 150 µF, aufgeladen auf 300 V. Er enthält
$Q = C V = 150 \times 1 0^{- 6} \cdot 300 = 0, 045 C$
$W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \cdot 150 \times 1 0^{- 6} \cdot 30 0^{2} = 6, 75 J$

Angenommen, das Ladegerät verhält sich wie eine 300-V-Quelle hinter 8 kΩ. Dann ist $τ = 8000 \cdot 150 \times 1 0^{- 6} = 1, 2 s$ , und der Strom beginnt bei $300/8000 = 37, 5 mA$ . Nach $2 τ = 2, 4 s$ beträgt die Spannung $300 (1 - e^{- 2}) \approx 259 V$ , also 86 %, aber die Energie, die mit $V^{2}$ geht, ist nur $0, 86 5^{2} \approx 0, 75$ des Maximums, etwa 5,0 J.

Die Blitzröhre entleert den voll geladenen Kondensator dann in etwa einer Millisekunde, sodass die mittlere Leistung des Blitzes $6, 75 J /1 0^{- 3} s \approx 7 kW$ beträgt. Eine Entladezeitkonstante von 1 ms braucht nur einen Widerstand von $1 0^{- 3} / (150 \times 1 0^{- 6}) \approx 7 Ω$ . Derselbe Kondensator lädt sich langsam und entlädt sich schnell: Der Widerstand in seinem Weg bestimmt das Tempo.

Häufige Fehler

Durch den Spalt fließt kein Strom: Ladung fließt auf die eine Platte, während gleich viel Ladung von der anderen abfließt, sodass beide Drähte denselben Strom führen, zu Beginn der Animation 1,2 mA und keinen mehr, wenn der Kondensator voll ist. Ein Kondensator sperrt einen Gleichstrom.
Ein geladener Kondensator trägt keine Nettoladung: Die Platten der Animation enden mit $+ 1, 2 mC$ und $- 1, 2 mC$ .
Die gespeicherte Energie ist $\frac{1}{2} Q V$ , nicht $Q V$ : 7,2 mJ in der Animation, nicht 14,4 mJ, weil die Spannung von null aus stieg, während die Ladung bewegt wurde.
Eine Zeitkonstante füllt den Kondensator nicht: Sie erreicht 63 % der Endspannung und nur 40 % der Endenergie. Rechne etwa $5 τ$ .
Kiloohm mal Mikrofarad ergibt Millisekunden: 2,2 kΩ mit 47 µF ergeben $τ \approx 0, 10 s$ , nicht 103 s.

Wo du Kondensatoren begegnest

Blitzlichter und Defibrillatoren sammeln Energie langsam und geben sie in Millisekunden wieder ab. Glättungskondensatoren in Netzteilen laden sich an den Spitzen der Wechselspannung auf und liefern den Strom dazwischen. Touchscreens messen die Kapazitätsänderung, wenn sich ein Finger nähert, und jedes Bit im Hauptspeicher eines Computers ist ein winziger Kondensator, geladen oder leer.

Der Widerstand und die Maschenregel werden in Elektrischer Strom und Widerstand sowie in Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz behandelt. Mit einer Spule verbunden (Elektromagnetische Induktion), bildet ein Kondensator einen Schwingkreis, dessen Ladung wie in Harmonische Schwingung schwingt, und der Widerstand macht daraus einen Fall von Dämpfung und Resonanz. Das sich ändernde Feld im Spalt eines ladenden Kondensators wirkt als Verschiebungsstrom, der die Feldgleichungen vervollständigt und Elektromagnetische Wellen vorhersagt.

Fortgeschritten

Kernideen

$R d q / d t + q / C = V_{0}$ liefert $V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / τ})$ und $I = (V_{0} / R) e^{- t / τ}$ , mit $τ = RC$ .
Beim Laden aus dem ungeladenen Zustand liefert die Batterie $C V_{0}^{2}$ : Die Hälfte wird gespeichert, die andere Hälfte wird in $R$ zu Wärme, egal wie groß $R$ ist.
Virtuelle Arbeit: Bei konstantem $Q$ gilt $F d z = d (Q^{2} /2 C)$ , also ziehen sich die Platten mit $F = Q^{2} / (2 ε_{0} A)$ an.
Die Energie sitzt im Feld, $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ , und beim Laden fließt sie durch die Ränder des Spalts hinein.
Die Polarisation eines Dielektrikums schwächt das Feld bei gegebener Ladung: $C$ wächst um $ε_{r}$ bis zum Durchschlag.

Warum Ladung und Spannung proportional sind

Alle folgenden Ergebnisse beruhen auf einer Tatsache: Bei jedem Leiterpaar ist die Ladung proportional zur Spannung. Es lohnt sich, zu sehen, warum, bevor man sie benutzt.

Bringe $+ Q$ auf den einen Leiter und $- Q$ auf den anderen, ohne andere Ladungen in der Nähe. Das Feld, das sie erzeugen, gehorcht linearen Gleichungen: Das Feld mehrerer Ladungen ist die Summe ihrer einzelnen Felder. Multipliziert man jede Ladung mit demselben Faktor, wird das Feld an jedem Punkt mit diesem Faktor multipliziert. Die skalierte Anordnung hat immer noch null Feld im Metall, und jeder Leiter liegt weiterhin auf einem Potential, also ist sie die echte Anordnung für die größere Ladung. Die Spannung ist das Linienintegral des Feldes vom positiven zum negativen Leiter, $V = \int E \cdot d l$ , sie wächst also um denselben Faktor.

Ladung und Spannung steigen daher gemeinsam in einem festen Verhältnis, $Q = C V$ . Die Kapazität $C$ wird von der Form und dem Abstand der Leiter bestimmt sowie vom Isolator dazwischen, niemals von $Q$ oder $V$ . Das Rezept dafür folgt direkt: Man nimmt eine Ladung $Q$ an, bestimmt das Feld, integriert es zu $V$ und dividiert.

Parallelplatten nach dem Gaußschen Gesetz

Der einfachste Fall sind zwei ebene Platten mit der Fläche $A$ im kleinen Abstand $d$ . Das Gaußsche Gesetz liefert das Feld zwischen ihnen in einem Schritt, und Abbildung 1 zeigt wie.

Abbildung 1 zeigt die Platten von der Seite, mit $+ Q$ auf der linken Platte, $- Q$ auf der rechten und dem Abstand $d$ dazwischen. Die positive Ladung sitzt auf der inneren Oberfläche ihrer Platte, der Seite, die zur negativen Platte zeigt, mit der Ladung $σ$ auf jedem Quadratmeter; für Platten der Fläche $A$ gilt $σ = Q / A$ . Die kleine Box, die quer über diese Oberfläche gezeichnet ist, ist eine Gauß-Box: eine gedachte geschlossene Fläche, auf die das Gaußsche Gesetz angewandt wird.

Sieh dir die beiden großen Flächen der Box an. Die linke Fläche liegt im Metall, markiert mit $E = 0$ . In einem ruhenden Leiter muss das Feld verschwinden, sonst würden seine freien Ladungen weiter wandern. Die rechte Fläche, ein Stück mit der Fläche $d A$ , liegt im Spalt, und das Feld $E$ durchquert sie senkrecht. Die übrigen Flächen verlaufen entweder entlang des Feldes oder liegen im Metall, sodass durch sie nichts fließt. Der Fluss aus der Box heraus ist daher $E d A$ , und die eingeschlossene Ladung ist $σ d A$ .

Das Gaußsche Gesetz setzt den Fluss aus einer geschlossenen Fläche gleich der eingeschlossenen Ladung geteilt durch $ε_{0}$ :
$E d A = \frac{σ d A}{ε _{0}}$
Die Fläche $d A$ kürzt sich heraus, die Größe der Box spielt also keine Rolle, und das Feld im Spalt ist
$E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} A}$

Da $σ$ über eine große Platte überall gleich ist, hat dieses Feld im ganzen Spalt denselben Wert, wie die gleichmäßig verteilten Feldlinien der Abbildung zeigen. Außerhalb des Paares heben sich die Felder der beiden Platten auf.

Nun zur Spannung. Der Pfeil $V$ in der Abbildung verläuft quer durch den Spalt von der positiven zur negativen Platte. Entlang dieses Pfeils hat das Feld bei jedem Schritt denselben Wert $E$ , das Linienintegral ist also einfach $E$ mal die Länge $d$ :
$V = E d = \frac{Q d}{ε _{0} A}, C = \frac{Q}{V} = \frac{ε _{0} A}{d}$
Wie versprochen ist $Q$ herausgefallen. Eine größere Fläche speichert mehr Ladung pro Volt, ein breiterer Spalt weniger. Ein Isolator mit der relativen Permittivität $ε_{r}$ im Spalt vergrößert $C$ um den Faktor $ε_{r}$ , wie der Abschnitt über Dielektrika erklärt.

Dasselbe Rezept funktioniert für andere Formen. Außerhalb einer isolierten Kugel mit Radius $a$ ist das Feld das einer Punktladung, und die Integration vom Kugelrand bis ins Unendliche ergibt $V = Q / (4 π ε_{0} a)$ . In einem Koaxialkabel mit Innenradius $a$ und Außenradius $b$ fällt das Feld zwischen den Leitern wie $1/ r$ , daher ergibt die Integration von $a$ bis $b$ einen Logarithmus. Für die Kugel und für ein Kabel der Länge $ℓ$ mit Isolierung der relativen Permittivität $ε_{r}$ gilt:
$C = 4 π ε_{0} a, \frac{C}{ℓ} = \frac{2 π ε _{0} ε _{r}}{l n ( b / a )}$
Die Zahlen sind aufschlussreich. Die ganze Erde hat als Kugel nur etwa 0,71 mF, weniger als ein gewöhnlicher 1000-µF-Elektrolytkondensator. Ein Kabel mit Polyethylen-Isolierung ( $ε_{r} = 2, 3$ ) und $b / a = 3, 5$ hat etwa 100 pF pro Meter.

Die Ladegleichung und ihre Lösung

Ein Kondensator wird nie augenblicklich geladen: Ein gewisser Widerstand im Stromkreis begrenzt immer den Strom. Dieser Abschnitt berechnet, wie sich die Ladung im Laufe der Zeit aufbaut, das Gesetz hinter jeder Zeitschaltung aus einem Widerstand und einem Kondensator.

Abbildung 2 zeigt die Schleife: eine Batterie der Spannung $V_{0}$ , einen Widerstand $R$ und einen Kondensator $C$ in Reihe. Es gibt nur einen Weg, also fließt überall derselbe Strom $I$ . Im gezeigten Augenblick trägt der Kondensator $+ q$ auf seiner oberen Platte und $- q$ auf der unteren; $q$ wächst von null an, während der Strom Ladung heranführt.

Verfolge das Potential einmal um die Schleife in Richtung von $I$ . Die Batterie hebt es um $V_{0}$ an. Der Widerstand senkt es um $V_{R} = R I$ (ohmsches Gesetz), und der Kondensator senkt es um $V_{C} = q / C$ . Am Ausgangspunkt muss das Potential wieder seinen ursprünglichen Wert haben, also ist der Anstieg gleich den beiden Abfällen zusammen:
$V_{0} = V_{R} + V_{C}$

Der Strom ist die Geschwindigkeit, mit der Ladung auf der oberen Platte ankommt, $I = d q / d t$ . Schreibt man $V_{R} = R d q / d t$ und $V_{C} = q / C$ , wird die Maschenregel zu einer Gleichung nur für die Ladung:
$R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V_{0}$
Sie ist von erster Ordnung, weil nur die erste Ableitung vorkommt, und linear, weil $q$ nur in der ersten Potenz auftritt.

Zum Lösen multipliziert man mit $C$ und ordnet um: $RC d q / d t = C V_{0} - q$ . Die rechte Seite ist die Ladung, die noch zum Endwert $C V_{0}$ fehlt. Teilt man beide Seiten durch sie, steht alles mit $q$ auf der einen und alles mit $t$ auf der anderen Seite:
$\frac{d q}{C V _{0} - q} = \frac{d t}{RC}$
Integriere vom leeren Kondensator, $q = 0$ , wenn der Schalter zum Zeitpunkt $t = 0$ geschlossen wird, bis zur Ladung $q$ zur Zeit $t$ :
$- ln (1 - \frac{q}{C V _{0}}) = \frac{t}{RC}$

Die Umkehrung des Logarithmus ergibt $q = C V_{0} (1 - e^{- t / RC})$ . Division durch $C$ ergibt die Spannung des Kondensators, und die Ableitung von $q$ den Strom:
$V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})$
$I = \frac{V _{0}}{R} e^{- t / RC}$
Das Produkt $τ = RC$ hat die Einheit der Zeit, da $Ω \cdot F = s$ . Es heißt Zeitkonstante und bestimmt das Tempo von allem Folgenden.

Eine Gleichung erster Ordnung braucht eine Anfangsbedingung, hier $q (0) = 0$ . Beachte, was sich beim Schließen des Schalters sprunghaft ändern kann und was nicht. Der Strom springt sofort von null auf $V_{0} / R$ . Die Ladung kann nicht springen, denn eine Änderung in null Zeit bräuchte einen unendlichen Strom; deshalb ist die Spannung eines Kondensators immer stetig. Das Entladen über $R$ aus einer Spannung $V_{1}$ ist dieselbe Gleichung mit $V_{0} = 0$ und ergibt $V_{C} = V_{1} e^{- t / RC}$ .

Jede Größe in einer solchen Schaltung, Ladung, Spannungen und Strom gleichermaßen, folgt einem Muster. Eine Größe $x$ startet bei $x_{0}$ und strebt ihrem Endwert $x_{\infty}$ zu:
$x (t) = x_{\infty} + (x_{0} - x_{\infty}) e^{- t / τ}$
Der Grund: Ihre Änderungsrate ist proportional zum noch verbleibenden Abstand, $d x / d t = (x_{\infty} - x) / τ$ . Daher verkleinern gleiche Zeitspannen den Abstand um gleiche Faktoren: um $e^{- 1} \approx 0, 37$ in jeder Zeitkonstante und um die Hälfte in jedem $τ ln 2 \approx 0, 69 τ$ .

Die exponentiellen Graphen lesen

Die Lösungen lassen sich am leichtesten als Graphen erfassen. Sie sind hier für die Schaltung der Animation gezeichnet: $V_{0} = 12 V$ , $R = 10 kΩ$ und $C = 100 μ F$ , sodass $τ = RC = 1 s$ und der Anfangsstrom $I_{0} = V_{0} / R = 1, 2 mA$ ist.

Abbildung 3 zeichnet die beiden Lösungen auf einer gemeinsamen Zeitachse $t$ . Der obere Graph ist die Spannung des Kondensators $V_{C}$ , die von null gegen die Batteriespannung $V_{0}$ steigt. Der untere Graph ist der Strom $I$ , der von $I_{0}$ gegen null fällt. Die gestrichelte senkrechte Linie in jedem markiert eine Zeitkonstante, $t = τ$ . Die Expertenebene der Animation zeichnet dieselben Kurven, jede als Bruchteil ihres Maximums, $V_{C}$ in Blau und $I$ in Gold.

Schau zuerst auf die Punkte bei $t = τ$ . Auf der oberen Kurve hat die Spannung 63 % von $V_{0}$ erreicht; auf der unteren ist der Strom auf 37 % von $I_{0}$ gefallen. Diese ergeben zusammen 100 %, und das muss zu jedem Zeitpunkt so sein, denn $V_{C} + R I = V_{0}$ : Die Spannung, die der Kondensator noch nicht aufgenommen hat, liegt weiterhin am Widerstand. Als Bruchteile sind die beiden Kurven Spiegelbilder und kreuzen sich bei 50 % zur Zeit $t = τ ln 2 \approx 0, 69 s$ .

Dann die schräge gestrichelte Linie im oberen Graphen. Sie ist die Tangente an $V_{C}$ bei $t = 0$ , mit der Steigung $V_{0} / τ = 12 V/s$ , und zeigt, was geschähe, wenn der Strom seinen Anfangswert $I_{0}$ behielte: Der Kondensator wäre nach genau einer Zeitkonstante voll. Die Tangente erreicht in der Tat bei $t = τ$ das Niveau $V_{0}$ . Das gilt von jedem Punkt der Kurve aus, nicht nur vom Anfang: Die Tangente erreicht $V_{0}$ immer eine $τ$ später. Die echte Kurve wird immer flacher, weil die noch zu füllende Lücke sich in jeder Zeitkonstante um den Faktor $e$ verkleinert, hier jede Sekunde: 12; 4,4; 1,6; 0,60; 0,22 und 0,08 V bei $t$ = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 s. Nach etwa $5 τ$ ist der Kondensator praktisch voll.

Die beiden Graphen hängen durch $I = C d V_{C} / d t$ zusammen: Die untere Kurve ist die Steigung der oberen, multipliziert mit $C$ . Wo die Spannung steil ansteigt, am Anfang, ist der Strom groß; wo sie abflacht, erstirbt der Strom.

Schließlich die schraffierte Fläche unter $I (t)$ . Strom ist Ladung pro Sekunde, also ist die Fläche unter der Stromkurve die insgesamt gelieferte Ladung:
$Q = \int_{0}^{\infty} I_{0} e^{- t / τ} d t = I_{0} τ = 1, 2 mA \cdot 1 s = 1, 2 mC$
Das ist der Endwert $Q$ der Animation, und er entspricht $C V_{0}$ , wie es sein muss. Es ist auch die Fläche des gestrichelten Rechtecks mit der Höhe $I_{0}$ und der Breite $τ$ : Der lange exponentielle Ausläufer enthält genau die Ladung, die das Rechteck verfehlt.

Die gespeicherte Energie $W = \frac{1}{2} C V_{C}^{2}$ hinkt der Spannung hinterher, weil sie mit dem Quadrat von $V_{C}$ geht. Bei $t = τ$ liegt die Spannung bei 63 %, doch die Energieanzeige zeigt 2,88 mJ, nur 40 % (also $0, 6 3^{2}$ ) der Endenergie von 7,2 mJ.

Wohin die Energie geht

Das Laden eines Kondensators aus einer Batterie verschwendet immer Energie, und immer denselben Anteil davon. Um das zu verstehen, vergleiche, was der Kondensator speichert, mit dem, was die Batterie liefert.

Zuerst die gespeicherte Energie. Eine kleine Ladung $d q$ von der negativen zur positiven Platte zu bewegen, gegen die bereits vorhandene Spannung $q / C$ , kostet die Arbeit $d W = (q / C) d q$ . Summiert man das von leer bis zur Endladung $Q$ , ergibt sich
$W = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C V^{2}$
Der Faktor ½ kommt daher, dass die frühe Ladung eine kleine Spannung überwindet und nur die letzte Ladung die volle $V$ .

Die Batterie dagegen schiebt die ganze $Q = C V_{0}$ von Anfang an durch ihre volle Spannung $V_{0}$ , sie liefert also $Q V_{0} = C V_{0}^{2}$ . In der Animation sind das 14,4 mJ, doppelt so viel wie die gespeicherten 7,2 mJ. Die Differenz wird im Widerstand zu Wärme, wie die Integration seiner Leistung $I^{2} R$ bestätigt:
$\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / RC} d t = \frac{1}{2} C V_{0}^{2}$

Genau die Hälfte geht verloren, 7,2 mJ, unabhängig vom Wert von $R$ . Ein kleinerer Widerstand ergibt einen größeren Strom für eine kürzere Zeit, und die beiden Effekte heben sich auf. Der größte Teil der Wärme entsteht früh, während der Strom groß ist: Bis $t = τ$ hat der Widerstand bereits 6,2 mJ in Wärme verwandelt. Die durchgerechnete Aufgabe unten zeigt, wie man weniger verliert.

Energiedichte des Feldes

Wo im Kondensator wird die gespeicherte Energie aufbewahrt? Die Formeln für Parallelplatten legen eine Antwort nahe. Setze $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ und $V = E d$ in $\frac{1}{2} C V^{2}$ ein:
$\frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2} \cdot A d$
Das Produkt $A d$ ist das Volumen des Spalts, genau der Bereich, den das Feld ausfüllt. Die Energie lässt sich also als über das Feld verteilt verstehen, mit einer Energiedichte, also Energie pro Kubikmeter, von
$u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$
Das gilt für jedes elektrische Feld, nicht nur zwischen Platten, und ernst genommen führt es zu einer Überraschung.

Wie die Energie in den Spalt gelangt

Wenn die Energie im Feld zwischen den Platten sitzt, muss sie dorthin gelangen, während sich der Kondensator lädt. Die naheliegende Vermutung, sie fließe entlang der Drähte, erweist sich als falsch.

Abbildung 4 zeigt einen Luftkondensator mit kreisrunden Platten während des Ladens. Der Strom $I$ in den Zuleitungen fließt auf die obere Platte hinab, sodass die Platten Ladung gewinnen und das Feld $E$ im Spalt, nach unten gerichtet, wächst.

Ein sich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld, genau wie ein Strom. Maxwell nannte den Term $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ den Verschiebungsstrom, wobei $Φ_{E}$ der elektrische Fluss durch den Spalt ist. Zwischen den Platten ist er genau gleich dem Strom $I$ in den Drähten, da $ε_{0} A d E / d t = d Q / d t$ . Daher umkreist ein Magnetfeld $B$ die Achse im Inneren des Spalts, im selben Sinn wie es die Zuleitungen umkreist: im Uhrzeigersinn von oben gesehen, nach der Rechte-Hand-Regel für einen nach unten fließenden Strom.

Betrachte nun den Rand des Spalts. Dort zeigt $E$ nach unten, und $B$ verläuft entlang des Kreises. Der Energiefluss, oder Poynting-Vektor, $S = E \times B / μ_{0}$ , steht senkrecht auf beiden, und nach der Rechte-Hand-Regel zeigt er an jedem Punkt des Randes radial nach innen. Die Feldenergie strömt aus dem umgebenden Raum durch die offenen Seiten des Spalts herein, nicht entlang der Drähte. Summiert man $S$ über den ganzen Rand, erhält man genau die Rate, mit der die Energie $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ pro Kubikmeter im Inneren wächst.

Kräfte aus Energie

Die Energie liefert auch die Kraft zwischen den Platten, ohne dass man wissen muss, wie die Ladung über sie verteilt ist. Die Methode, die man virtuelle Arbeit nennt, stellt sich eine winzige Bewegung vor und fragt, wie sich die Energie ändert.

Trenne den geladenen Kondensator, sodass $Q$ sich nicht ändern kann, und ziehe eine Platte um eine kleine Strecke $d z$ weg. Die Arbeit, die du leistest, $F d z$ , muss gleich dem Anstieg der gespeicherten Energie $Q^{2} / (2 C)$ sein. Für einen Abstand $z$ gilt $1/ C = z / (ε_{0} A)$ , also ist die gespeicherte Energie $Q^{2} z / (2 ε_{0} A)$ , die proportional zu $z$ wächst. Ihre Änderungsrate nach $z$ ist die Kraft:
$F = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} A} = \frac{1}{2} QE$
Warum ½ und nicht einfach $QE$ ? Jede Platte erzeugt die Hälfte des Feldes im Spalt, und eine Platte wird nur durch die Hälfte der anderen Platte gedrückt. Die Methode funktioniert für jede Form, sobald $C$ als Funktion der Position bekannt ist.

Eine Zahl zeigt, wie schwach diese Kraft ist. Als Luftkondensator mit 1 mm Spalt gebaut, bräuchten die 100 µF der Animation eine Plattenfläche $A = C d / ε_{0} \approx 1, 1 \times 1 0^{4} m^{2}$ , etwa eineinhalb Fußballfelder. Bei 12 V würden sich die Platten mit $F = W / d = 7, 2 N$ anziehen, ein Druck von nur $6, 4 \times 1 0^{- 4} Pa$ . Dieser Druck entspricht der Energiedichte $u$ des Feldes: Kraft pro Quadratmeter und Energie pro Kubikmeter haben dieselbe Einheit und hier denselben Wert.

Dielektrika

Ein Isolator im Spalt erhöht die Kapazität um seine relative Permittivität $ε_{r}$ . Die Ursache ist die Polarisation. Im Feld dehnen oder drehen sich die Moleküle des Isolators, sodass sich ihre positiven und negativen Ladungen leicht trennen. Im Inneren des Materials heben sich diese Verschiebungen auf, aber sie hinterlassen gebundene Ladungen auf seinen beiden Flächen: negative neben der positiven Platte und positive neben der negativen. Die gebundenen Ladungen erzeugen ein Feld, das dem der freien Ladung auf den Platten und heben einen Teil davon auf.

Bei konstanter Ladung $Q$ fällt das Feld im Spalt und mit ihm die Spannung um den Faktor $ε_{r}$ , also steigt $C = Q / V$ um $ε_{r}$ . Bei konstanter Spannung fließt $ε_{r}$ -mal so viel Ladung auf die Platten. In beiden Fällen gilt $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ .

Durchgerechnete Aufgabe: Laden in zwei Schritten

Dass die Hälfte der Energie verloren geht, ist der Preis des Ladens aus einer festen Spannung; ein Naturgesetz ist es nicht. Nimm den Kondensator und den Widerstand der Animation, $C = 100 μ F$ und $R = 10 kΩ$ , also $τ = 1 s$ , und lade in zwei Stufen auf 12 V: zuerst aus einer 6-V-Quelle, bis er voll ist, dann aus der 12-V-Batterie. Wie viel Wärme entsteht insgesamt?

Stufe eins ist die Animation mit halber Spannung. Die Quelle bewegt $C \cdot 6 V = 0, 6 mC$ durch 6 V und liefert damit 3,6 mJ. Davon werden $\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 6^{2} = 1, 8 mJ$ gespeichert, und die anderen 1,8 mJ werden zu Wärme: die Hälfte, wie zuvor.

Stufe zwei beginnt bei $V_{C} = 6 V$ , also treibt nur die Differenz, 6 V, den Strom durch den Widerstand. Mit $x_{0} = 6$ und $x_{\infty} = 12$ im Ausgleichsgesetz, in Volt und Milliampere,
$V_{C} = 12 - 6 e^{- t / τ}, I = 0, 6 e^{- t / τ}$
Der Strom beginnt bei nur 0,6 mA, und die Wärme ist
$\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{( 6 V ) ^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{36}{1 0 ^{4}} \cdot 0, 5 J = 1, 8 mJ$

Die Energiebilanz stimmt. In dieser Stufe bewegt die Batterie weitere 0,6 mC durch 12 V und liefert 7,2 mJ, während die gespeicherte Energie von 1,8 auf 7,2 mJ steigt, um 5,4 mJ. Die Differenz ist wieder 1,8 mJ Wärme.

Insgesamt gehen 3,6 mJ verloren statt 7,2 mJ. Die allgemeine Regel lautet: Jeder Schritt der Größe $Δ V$ verwandelt $\frac{1}{2} C (Δ V)^{2}$ in Wärme, egal von welcher Spannung er startet, sodass $N$ gleiche Schritte $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} / N$ verlieren: nur 0,6 mJ für zwölf Schritte von je 1 V. Eine Quelle, die im Vergleich zu $τ$ langsam hochgefahren wird, verliert fast nichts; das ist die Idee des adiabatischen Ladens in der Niederleistungselektronik. Der Preis ist Zeit, denn jeder Schritt braucht etwa $5 τ$ , um fertig zu werden.

Grenzen des einfachen Modells

Die Formel $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ setzt ein homogenes Feld voraus, das an den Plattenkanten scharf endet. In Wirklichkeit wölbt sich das Feld an den Kanten nach außen, und dieses Randfeld erhöht die Kapazität: etwa 4 % bei Scheiben von 10 cm Durchmesser im Abstand 1 mm und 0,6 % bei 0,1 mm.

Reale Isolatoren lassen außerdem einen kleinen Strom durch, und jeder bricht oberhalb einer Feldstärke, die Durchschlagfestigkeit heißt, plötzlich durch und leitet mit einem Funken. Für trockene Luft liegt sie bei etwa 3 MV/m, was die Energiedichte eines Luftspalts auf $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2} \approx 40 J/ m^{3}$ begrenzt. Polymerfolien halten Hunderte Megavolt pro Meter aus und speichern einige MJ/m³, dennoch Hunderte Male weniger als ein Lithium-Ionen-Akku. Kondensatoren gewinnen durch Geschwindigkeit, nicht durch Speicherkapazität.

Das Schaltungsmodell setzt außerdem quasistatische Änderung voraus: langsam genug, dass das Feld überall mit der Ladung Schritt hält. Zwei Effekte machen diese Annahme bei hoher Frequenz zunichte. Erstens haben reale Bauteile Induktivität: Ein kleiner Keramikkondensator hat etwa ein Nanohenry in seinen Anschlüssen und Platten, sodass ein 100-nF-Bauteil bei etwa 16 MHz resonant wird und oberhalb davon wie eine Spule wirkt. Zweitens versagen selbst ideale Platten, denn das sich ändernde Magnetfeld aus Abbildung 4 induziert ein eigenes elektrisches Feld, das $E$ über den Spalt verändert. Bei 1 GHz ist das Feld am Rand von Platten mit 1 cm Radius etwa 1 % schwächer als in der Mitte, und nahe 11 GHz werden solche Platten zu einem Resonanzhohlraum.

Schließlich ist Ladung nicht beliebig teilbar. Ein zusätzliches Elektron hebt die Spannung eines 1-fF-Kondensators nur um 0,16 mV. Aber die Energie, die nötig ist, um ein Elektron hinzuzufügen, wächst, wenn die Kapazität sinkt, und unterhalb von wenigen Attofarad übersteigt sie die thermische Energie bei Raumtemperatur, etwa 0,026 eV. Dann können Elektronen nur einzeln eintreten, ein Effekt namens Coulomb-Blockade, den Einzelelektronentransistoren nutzen.

Wohin das führt

Elektrischer Strom und Widerstand erklärt den Widerstand, der $τ$ setzt, und Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz die Maschenregel hinter dem Ladegesetz. In Elektrische Leistung und Energie im Haushalt speichern Kondensatoren an einer Wechselspannung in jedem Zyklus Energie und geben sie zurück. Elektromagnetische Induktion fügt die Spule hinzu: Zusammen mit einem Kondensator gehorcht sie $L \overset{q}{¨} + q / C = 0$ , der Gleichung der Harmonischen Schwingung mit $ω = 1/ L C$ , und der Widerstand macht daraus einen Fall von Dämpfung und Resonanz. Der Verschiebungsstrom im Spalt ist der Term, der die Feldgleichungen vervollständigt und Elektromagnetische Wellen vorhersagt, und die Exponentialfunktion mit ihrer Zeitkonstante kehrt bei Radioaktivität und Halbwertszeit wieder.

Wichtige Formeln

Ladung und Spannung eines Kondensators

Q = C V

Die Ladung auf jeder Platte ist proportional zur Spannung zwischen ihnen, denn eine doppelte Ladung verdoppelt das Feld und damit die Arbeit pro Coulomb. Die Proportionalitätskonstante, die Kapazität $C$ , ist die pro Volt gespeicherte Ladung und hängt nur von der Geometrie und dem Isolator ab. $Q$ ist die Ladung einer Platte, nicht die Gesamtladung, die null ist.

Symbole
$Q$	Ladung der positiven Platte (die andere trägt $- Q$ )	$C$
$C$	Kapazität	$F$
$V$	Spannung zwischen den Platten	$V$

Gilt, wenn: Gilt für jedes Paar von Leitern mit Vakuum oder einem gewöhnlichen Isolator dazwischen. Sie gilt nicht für ferroelektrische Materialien, deren Permittivität vom Feld abhängt, und nicht oberhalb der Durchschlagspannung.

Beispiel: Der 100-µF-Kondensator der Animation bei 12 V: $Q = 1 0^{- 4} \cdot 12 = 1, 2 \times 1 0^{- 3} C = 1, 2 mC$ .

Kapazität eines Parallelplattenkondensators

C = \frac{ε _{0} ε _{r} A}{d}

Das Gaußsche Gesetz liefert das Feld zwischen den Platten, $E = Q / (ε_{0} ε_{r} A)$ , und die Spannung ist $V = E d$ ; Division von $Q$ durch $V$ ergibt die Formel. Größere Platten verteilen die Ladung dünner, ein engerer Spalt verkürzt den Weg hindurch, und die Polarisation eines Dielektrikums hebt einen Teil des Feldes auf. Alle drei senken die Spannung pro Coulomb und erhöhen so $C$ .

Symbole
$C$	Kapazität	$F$
$ε_{0}$	elektrische Feldkonstante, etwa $8, 85 \times 1 0^{- 12} F/m$	$F/m$
$ε_{r}$	relative Permittivität des Isolators (1 für Vakuum)
$A$	Fläche jeder Platte, die der anderen zugewandt ist	$m^{2}$
$d$	Abstand zwischen den Platten	$m$

Gilt, wenn: Setzt ein homogenes Feld voraus, daher muss der Spalt viel kleiner als die Platten sein. Das an den Kanten nach außen ausgewölbte Feld (Randfeld) bringt eine Korrektur, die mit dem Spalt wächst: etwa 4 % bei Scheiben von 10 cm Durchmesser im Abstand 1 mm.

Beispiel: Platten mit 1 cm² und 0,5 mm Luftspalt: $C = 8, 85 \times 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{- 4} / (5 \times 1 0^{- 4}) \approx 1, 77 pF$ .

Im Kondensator gespeicherte Energie

W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V

Laden heißt, Ladung über eine Spannung zu tragen, die proportional zur Ladung von null auf $V$ steigt. Die Arbeit ist die Fläche des Dreiecks unter der Spannungs-Ladungs-Geraden, also die Hälfte von $Q V$ . Mit $Q = C V$ ist dieselbe Energie $\frac{1}{2} C V^{2}$ oder $Q^{2} / (2 C)$ . Sie wird im elektrischen Feld zwischen den Platten gespeichert und beim Entladen zurückgegeben.

Symbole
$W$	gespeicherte Energie	$J$
$C$	Kapazität	$F$
$V$	Spannung zwischen den Platten	$V$
$Q$	Ladung der positiven Platte	$C$

Gilt, wenn: Gilt für jeden Kondensator, dessen Kapazität nicht von seiner Ladung abhängt. Es ist die gespeicherte Energie, nicht die von der Quelle gelieferte: Wird er aus einer festen Spannung über einen Widerstand geladen, liefert die Quelle $Q V$ , und die andere Hälfte geht als Wärme verloren.

Beispiel: Der Kondensator der Animation bei 12 V: $W = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1 2^{2} = 7, 2 mJ$ , dasselbe wie $\frac{1}{2} \cdot 1, 2 mC \cdot 12 V$ .

Zeitkonstante eines RC-Kreises

τ = RC

Ein größerer Widerstand lässt die Ladung langsamer hineinfließen, und eine größere Kapazität braucht mehr Ladung pro Volt; beides verlängert das Laden. Ihr Produkt ist eine Zeit: Ohm mal Farad ergibt $(V/A) (C/V) = C/A = s$ . Nach einer Zeitkonstante hat der Kondensator 63 % seiner Endspannung erreicht, und der Strom ist auf 37 % seines Anfangswerts gefallen.

Symbole
$τ$	Zeitkonstante	$s$
$R$	Widerstand in Reihe mit dem Kondensator	$Ω$
$C$	Kapazität	$F$

Gilt, wenn: Für einen Widerstand und einen Kondensator in Reihe mit konstanten Werten; in einem größeren Netzwerk ist $R$ der Widerstand, den der Kondensator sieht. Kiloohm mal Mikrofarad ergibt Millisekunden.

Beispiel: In der Animation $τ = 1 0^{4} Ω \cdot 1 0^{- 4} F = 1 s$ ; 2,2 kΩ mit 47 µF ergibt etwa 0,10 s.

Spannung des Kondensators beim Laden

V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})

Dies löst die Maschengleichung $R d q / d t + q / C = V_{0}$ für einen Kondensator, der bei $t = 0$ leer ist. Die Spannung steigt mit einer Rate, die proportional zu dem ist, was noch fehlt, $V_{0} - V_{C}$ ; die Lücke schließt sich daher in jeder Zeitkonstante um denselben Faktor $e$ : zuerst schnell, dann immer langsamer. Die Spannung springt nie, denn ein Sprung bräuchte einen unendlichen Strom.

Symbole
$V_{C}$	Spannung am Kondensator zur Zeit $t$	$V$
$V_{0}$	Batteriespannung, der Endwert von $V_{C}$	$V$
$e$	Eulersche Zahl, etwa 2,718, die Basis der natürlichen Logarithmen
$t$	Zeit seit dem Schließen des Schalters	$s$
$R$	Widerstand in Reihe	$Ω$
$C$	Kapazität	$F$

Gilt, wenn: Für einen Kondensator, der leer startet und aus einer konstanten Spannung über einen konstanten Widerstand geladen wird. Startet er von $V_{1}$ , gilt $V_{C} = V_{0} - (V_{0} - V_{1}) e^{- t / RC}$ ; entlädt er sich von $V_{1}$ , gilt $V_{C} = V_{1} e^{- t / RC}$ .

Beispiel: In der Animation, bei $t = τ = 1 s$ : $V_{C} = 12 (1 - e^{- 1}) \approx 7, 6 V$ ; bei 2 s: $12 (1 - e^{- 2}) \approx 10, 4 V$ .

Ladestrom

I = (\frac{V _{0}}{R}) e^{- t / RC}

Der Strom ist die Spannung, die am Widerstand verbleibt, $V_{0} - V_{C}$ , geteilt durch $R$ . Er beginnt bei seinem größten Wert $V_{0} / R$ , als wäre der leere Kondensator ein einfacher Draht, und klingt exponentiell ab, während sich der Kondensator füllt. Da $I = C d V_{C} / d t$ gilt, folgt er der Steigung der Spannungskurve, und seine Fläche über der Zeit ist die gespeicherte Ladung.

Symbole
$I$	Strom im Kreis zur Zeit $t$	$A$
$V_{0}$	Batteriespannung	$V$
$R$	Widerstand in Reihe	$Ω$
$e$	Eulersche Zahl, etwa 2,718
$t$	Zeit seit dem Schließen des Schalters	$s$
$C$	Kapazität	$F$

Gilt, wenn: Für das Laden aus dem leeren Zustand über einen konstanten Widerstand; eine Entladung folgt demselben Gesetz mit umgekehrtem Strom. In einer realen Schaltung rundet eine kleine Induktivität den Sprung am Anfang ab.

Beispiel: In der Animation $I_{0} = 12/1 0^{4} A = 1, 2 mA$ , und bei $t = τ$ : $I = 1, 2 e^{- 1} \approx 0, 44 mA$ .

Energiedichte des elektrischen Feldes

u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}

Schreibt man $\frac{1}{2} C V^{2}$ mit $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ und $V = E d$ , ergibt sich $\frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ mal das Volumen $A d$ des Spalts. Die Energie kann daher als über das Feld verteilt betrachtet werden, mit einem Betrag $u$ in jedem Kubikmeter. Das Ergebnis ist allgemein: Es gilt für jedes elektrische Feld, nicht nur zwischen Platten.

Symbole
$u$	Energie pro Volumeneinheit des Feldes	$J/ m^{3}$
$ε_{0}$	elektrische Feldkonstante	$F/m$
$ε_{r}$	relative Permittivität des Mediums
$E$	elektrische Feldstärke	$V/m$

Gilt, wenn: Im Vakuum ( $ε_{r} = 1$ ) gilt sie für jedes Feld, auch für ein schnell veränderliches; in einem linearen Dielektrikum für ein statisches oder langsam veränderliches Feld. Der Durchschlag setzt eine Obergrenze: In trockener Luft, bei etwa 3 MV/m, kann $u$ etwa $40 J/ m^{3}$ nicht überschreiten.

Beispiel: 12 V über einem 1-mm-Luftspalt ergeben $E = 1, 2 \times 1 0^{4} V/m$ und $u = \frac{1}{2} \cdot 8, 85 \times 1 0^{- 12} \cdot (1, 2 \times 1 0^{4})^{2} \approx 6, 4 \times 1 0^{- 4} J/ m^{3}$ .

Glossar

Kondensator: Zwei durch einen Isolator getrennte Leiter, die getrennte Ladung und damit Energie speichern. Im geladenen Zustand trägt der eine Leiter $+ Q$ , der andere $- Q$ , sodass das Bauteil als Ganzes neutral bleibt.
Kapazität: Die pro Volt gespeicherte Ladung, $C = Q / V$ , gemessen in Farad. Sie hängt nur von Größe, Form und Abstand der Leiter und vom Isolator dazwischen ab, nicht davon, wie viel Ladung sie tragen.
Parallelplattenkondensator: Zwei ebene Platten mit der Fläche $A$ im kleinen Abstand $d$ . Das Feld zwischen ihnen ist nahezu homogen, $E = V / d$ , und die Kapazität ist $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ , genau solange der Spalt viel kleiner als die Platten ist.
Dielektrikum: Ein in den Spalt gebrachter Isolator. Er multipliziert die Kapazität mit seiner relativen Permittivität $ε_{r}$ (etwa 2,2 für Polypropylen, 80 für Wasser) und hält meist ein stärkeres Feld aus als Luft.
Dielektrische Polarisation: Die leichte Verschiebung der Ladungen innerhalb der Moleküle eines Dielektrikums im Feld. Sie hinterlässt gebundene Ladungen auf den Flächen des Dielektrikums, die entgegengesetzt zu denen der benachbarten Platten sind und das Feld teilweise aufheben.
Dielektrischer Durchschlag: Die plötzliche Leitung eines Isolators, wenn das Feld seine Durchschlagfestigkeit übersteigt, etwa 3 MV/m (3 kV pro Millimeter) in trockener Luft. Er legt die höchste Spannung fest, die ein Kondensator aushält.
RC-Kreis: Ein Widerstand und ein Kondensator in Reihe. In ihm lädt oder entlädt sich ein Kondensator exponentiell, im Tempo des Produkts $RC$ .
Zeitkonstante: Die Zeit $τ = RC$ , die das Tempo von Laden und Entladen bestimmt. Nach $τ$ hat ein ladender Kondensator 63 % seiner Endspannung erreicht, nach $5 τ$ mehr als 99 %.
Exponentieller Abfall: Eine Änderung, deren Rate proportional zum Verbleibenden ist, sodass gleiche Zeiten es um gleiche Faktoren verändern: $e^{- 1} \approx 0, 37$ pro Zeitkonstante, die Hälfte pro $τ ln 2$ . Der Ladestrom und die Spannung eines sich entladenden Kondensators folgen beide diesem Verlauf.
Feldenergie: Die Energie eines geladenen Kondensators, gespeichert im elektrischen Feld zwischen den Platten mit der Dichte $u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ . Über das Volumen des Spalts summiert ergibt sie $\frac{1}{2} C V^{2}$ .
Verschiebungsstrom: Die Größe $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ , $ε_{0}$ mal die Änderungsrate des elektrischen Flusses $Φ_{E}$ , die wie ein Strom ein Magnetfeld erzeugt. Im Spalt eines ladenden Kondensators ist sie gleich dem Strom in den Drähten, obwohl keine Ladung hindurchtritt.

Größen
$Q$	Ladung	$C$	Die Ladung der positiven Platte; die andere Platte trägt $- Q$ . In der Animation erreicht sie $C V_{0} = 1, 2 mC$ .
$V$	Spannung	$V$	Die Potentialdifferenz zwischen den Platten, die Arbeit pro Coulomb, um Ladung von der negativen zur positiven Platte zu tragen. Im Stromkreis ist $V_{C}$ die Spannung des Kondensators und $V_{0}$ die der Batterie.
$C$	Kapazität	$F$	Die pro Volt gespeicherte Ladung, $Q / V$ . Da $1 F = 1 C/V$ sehr groß ist, werden praktische Werte in µF, nF und pF angegeben. Für Parallelplatten mit der Fläche $A$ (in m²) im Abstand $d$ (in m) gilt $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ .
$ε_{0}$	Elektrische Feldkonstante	$F/m$	Die Konstante der Elektrostatik im SI-System, etwa $8, 85 \times 1 0^{- 12} F/m$ . Sie legt die Kapazität eines mit Vakuum gefüllten Spalts fest.
$ε_{r}$	Relative Permittivität		Der Faktor, um den ein Isolator die Kapazität gegenüber Vakuum erhöht, auch Dielektrizitätszahl genannt: 1 für Vakuum, 1,0006 für Luft, etwa 80 für Wasser.
$E$	Elektrisches Feld	$V/m$	Die Kraft pro Ladungseinheit auf eine kleine Probeladung (1 V/m = 1 N/C). Zwischen Parallelplatten ist es homogen, $E = V / d$ , und proportional zu $Q$ , wie die lila Pfeile der Animation. Seine Energiedichte ist $u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ (in J/m³).
$W$	Gespeicherte Energie	$J$	Die Arbeit, die zum Trennen der Ladungen aufgewendet wird, $\frac{1}{2} C V^{2}$ , beim Entladen zurückgegeben; 7,2 mJ für den voll geladenen Kondensator der Animation.
$I$	Strom	$A$	Die pro Sekunde fließende Ladung, $d q / d t$ , in beiden Drähten gleich. Beim Laden gilt $I = (V_{0} - V_{C}) / R$ .
$R$	Widerstand	$Ω$	Der Widerstand in Reihe mit dem Kondensator, der den Strom begrenzt und damit das Tempo des Ladens bestimmt; in der Animation 10 kΩ.
$τ$	Zeitkonstante	$s$	Das Produkt $RC$ : die Zeit, bis der Ladestrom auf 37 % seines Anfangswerts gefallen ist, in der Animation 1 s. In den Ladegesetzen ist $t$ (in s) die Zeit seit dem Schließen des Schalters.

Quiz

Einsteiger Was macht ein Kondensator in einer Schaltung?
1. Er erzeugt Energie wie eine Batterie
2. Er lässt einen Gleichstrom für immer hindurchfließen
3. Er vernichtet Ladung
4. Er speichert getrennte Ladung und damit Energie
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Antwort: D. Er speichert getrennte Ladung und damit Energie
Ein Kondensator speichert gleich große, entgegengesetzte Ladungen auf seinen Platten und die Energie des Feldes zwischen ihnen. Er erzeugt keine Energie; er speichert nur, was die Schaltung ihm gibt.
Einsteiger Ein leerer Kondensator ist über einen Widerstand an eine Batterie angeschlossen. Wie ändert sich der Strom?
1. Er bleibt gleich, bis der Kondensator voll ist
2. Er ist am Anfang am größten und nimmt dann ab
3. Er startet bei null und wächst
4. Er wechselt ständig die Richtung
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Antwort: B. Er ist am Anfang am größten und nimmt dann ab
Wie Wasser, das von unten in einen Tank fließt, ist der Zufluss am schnellsten, solange der Tank leer ist. Während sich der Kondensator füllt, drückt seine Ladung gegen die Batterie, und der Strom schwindet.
Einsteiger Was befindet sich auf den beiden Platten eines Kondensators, nachdem eine Batterie ihn geladen hat?
1. Gleich große Mengen positiver und negativer Ladung
2. Positive Ladung auf beiden Platten
3. Negative Ladung auf beiden Platten
4. Gar keine Ladung
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Antwort: A. Gleich große Mengen positiver und negativer Ladung
Elektronen werden von einer Platte zur anderen bewegt, wodurch eine Platte +Q und die andere −Q trägt.
Mittelstufe Wie viel Ladung ist auf einem 47-µF-Kondensator gespeichert, der an 10 V angeschlossen ist?
1. 4,7 µC
2. 47 µC
3. 470 µC
4. 4,7 mC
Antwort zeigen
Antwort: C. 470 µC
Q = C·V = 47 × 10⁻⁶ F × 10 V = 4,7 × 10⁻⁴ C = 470 µC.
Mittelstufe Der Spalt zwischen den Platten eines Parallelplattenkondensators wird verdoppelt, die Plattenfläche bleibt gleich. Was geschieht mit der Kapazität?
1. Sie halbiert sich
2. Sie verdoppelt sich
3. Sie vervierfacht sich
4. Sie ändert sich nicht
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Antwort: A. Sie halbiert sich
C = ε₀·A / d ist umgekehrt proportional zu d, also halbiert das Verdoppeln des Spalts die Kapazität.
Mittelstufe Welche Zeitkonstante hat ein Kreis mit R = 2 kΩ und C = 500 µF?
1. 0,25 s
2. 1 s
3. 4 s
4. 1000 s
Antwort zeigen
Antwort: B. 1 s
τ = R·C = 2000 Ω × 500 × 10⁻⁶ F = 1 s. Ohm mal Farad ergibt Sekunden.
Fortgeschritten Ein Kondensator wird aus null über einen Widerstand geladen. Welchen Anteil der Endspannung hat er nach 3τ erreicht?
1. 63 %
2. 86 %
3. 37 %
4. 95 %
Antwort zeigen
Antwort: D. 95 %
V_C / V₀ = 1 − e⁻³ ≈ 1 − 0,050 = 0,95. Nach τ sind es 63 %, nach 2τ etwa 86 %.
Fortgeschritten Ein Kondensator wird von null auf V₀ von einer Batterie der Spannung V₀ über einen Widerstand R geladen. Welcher Anteil der von der Batterie gelieferten Energie landet im Kondensator?
1. Alles
2. Es hängt von R ab
3. Genau die Hälfte
4. Etwa 63 %
Antwort zeigen
Antwort: C. Genau die Hälfte
Die Batterie liefert Q·V₀ = C·V₀², der Kondensator speichert ½·C·V₀², und die andere Hälfte wird im Widerstand in Wärme umgesetzt, unabhängig vom Wert von R.

$I$	Strom in den Zuleitungen, der auf die obere Platte fließt.	$A$
$E$	Elektrisches Feld im Spalt, nach unten gerichtet und mit dem Laden der Platten wachsend.	$N/C$
$B$	Magnetfeld, erzeugt vom wachsenden $E$ , umkreist die Achse im Uhrzeigersinn von oben gesehen.	$T$
$S$	Energiefluss (Poynting-Vektor), $E \times B / μ_{0}$ : Energie pro Sekunde und Quadratmeter, überall am Rand nach innen.	$W/ m^{2}$

$Q$	Ladung auf jeder Platte: $+ Q$ auf der linken Platte, $- Q$ auf der rechten.	$C$
$σ$	Ladung pro Quadratmeter auf der inneren Oberfläche der positiven Platte, $σ = Q / A$ für Platten der Fläche $A$ .	$C/ m^{2}$
$d A$	Fläche der rechten Seite der Gauß-Box, die einzige Fläche, die das Feld durchquert.	$m^{2}$
$E$	Elektrisches Feld im Spalt: homogen, von der positiven zur negativen Platte; im Metall null.	$N/C$
$d$	Breite des Spalts zwischen den Platten.	$m$
$V$	Spannung zwischen den Platten: das Linienintegral des Feldes von der positiven zur negativen Platte, $V = E d$ .	$V$

$V_{0}$	Batteriespannung: der Potentialanstieg über der Batterie.	$V$
$R$	Widerstandswert des Widerstands.	$Ω$
$C$	Kapazität des Kondensators.	$F$
$I$	Strom, überall in der Schleife gleich: die Rate, mit der Ladung die obere Platte erreicht, $I = d q / d t$ .	$A$
$q$	Ladung des Kondensators im gezeigten Augenblick: $+ q$ auf der oberen Platte, $- q$ auf der unteren.	$C$
$V_{R}$	Potentialabfall am Widerstand, $V_{R} = R I$ .	$V$
$V_{C}$	Potentialabfall am Kondensator, $V_{C} = q / C$ .	$V$

$t$	Zeit seit dem Schließen des Schalters.	$s$
$τ$	Zeitkonstante, $τ = RC$ : die Zeit, um 63 % der Änderung zurückzulegen.	$s$
$V_{C}$	Spannung des Kondensators, steigt von null gegen $V_{0}$ .	$V$
$V_{0}$	Batteriespannung, der Endwert von $V_{C}$ .	$V$
$I$	Strom im Kreis, fällt von $I_{0}$ gegen null; $I = C d V_{C} / d t$ .	$A$
$I_{0}$	Anfangsstrom, $I_{0} = V_{0} / R$ .	$A$
$Q$	Insgesamt gelieferte Ladung: die schraffierte Fläche unter $I (t)$ , gleich $I_{0} τ = C V_{0}$ .	$C$