Elektrische Ladung und statische Elektrizität

Einsteiger

Zieh in einem dunklen Raum einen Wollpullover über den Kopf, und du siehst vielleicht winzige Funken und hörst sie knistern. Das ist statische Elektrizität: elektrische Ladung, die sich auf einem Gegenstand angesammelt hat und dort bleibt.

Schritt 1: zwei Arten von Ladung. Alles besteht aus Atomen. In der Mitte jedes Atoms sitzen Protonen, die positive Ladung (+) tragen; um sie herum bewegen sich viel leichtere Elektronen, die negative Ladung (−) tragen. Ein gewöhnlicher Gegenstand hat genau so viele Elektronen wie Protonen und ist daher neutral.

Schritt 2: die Grundregel. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab; ungleichnamige ziehen sich an.

Schritt 3: Aufladen durch Reiben. Manche Materialien halten ihre Elektronen fester als andere. Reibst du einen Gummiballon an einem Wollschal, wechseln Elektronen von der Wolle zum Ballon. Der Ballon hat nun überschüssige Elektronen und ist negativ; der Wolle fehlt dieselbe Anzahl, sie ist positiv. Ladung wird weder erzeugt noch vernichtet: Sie wird nur verschoben, und die Gesamtmenge bleibt gleich.

Schritt 4: Leiter und Isolatoren. In Metallen können sich manche Elektronen frei bewegen, daher verteilt sich überschüssige Ladung über den ganzen Gegenstand; das sind Leiter. In Gummi, Kunststoff, Papier und Wolle bleiben die Elektronen an ihrem Platz, daher bleibt die Ladung dort, wo sie aufgebracht wurde; das sind Isolatoren.

Schritt 5: Anziehung neutraler Dinge. Ein geladener Ballon verschiebt die Ladungen im nahen Papier, sodass die ihm zugewandte Seite leicht positiv wird. Diese Seite ist näher, also gewinnt die Anziehung und das Papier springt hoch.

Test dich selbst: Ein Plastikkamm nimmt Elektronen von deinen Haaren auf. Ist der Kamm positiv oder negativ? Zieht er deine Haare an oder stößt er sie ab? (Negativ; er zieht an, weil deine Haare jetzt positiv sind.)

In der Animation hüpfen blaue Elektronen von der Wolle auf den Ballon und hinterlassen rote Pluszeichen; danach springen Papierschnipsel zum Ballon hoch.

Mittelstufe

Was Ladung ist und wie man sie zählt

Elektrische Ladung ist eine Eigenschaft der Teilchen, aus denen Atome bestehen. Sie tritt in zwei Arten auf, die Benjamin Franklin positiv und negativ nannte: Protonen im Kern tragen positive Ladung, die viel leichteren Elektronen um den Kern negative, Neutronen keine. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Ein Atom hat so viele Elektronen wie Protonen und ist daher neutral: Seine Nettoladung ist null, aber es enthält reichlich von beiden Arten.

Ladung wird in Coulomb (C) gemessen, statische Ladungen meist in Nanocoulomb (1 nC ist $10^{-9}\mathrm{C}$) oder Mikrocoulomb. Sie kommt nur in ganzzahligen Vielfachen eines kleinsten Anteils vor, der Elementarladung: Ein Proton trägt $+e$, ein Elektron $-e$, wobei
$e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
sodass die Ladung eines beliebigen Körpers
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$
ist.

In Festkörpern bleiben die Atomkerne fest an ihrem Platz und nur Elektronen bewegen sich; daher zählt $n$ die aufgenommenen Elektronen (Vorzeichen $-$) oder die abgegebenen (Vorzeichen $+$). Ein Coulomb entspricht $6,24\times 10^{18}$ Elementarladungen.

Reiben trennt Ladung; die Gesamtmenge bleibt erhalten

Berühren sich zwei verschiedene Materialien, wechseln einige Oberflächenelektronen zu dem Material, das sie stärker bindet; Reiben vergrößert die Kontaktstellen. Gummi, PVC und Polyethylen nehmen Elektronen von Wolle, Haaren und Haut auf, während Glas einige an Seide abgibt. Solche Reihen, sogenannte triboelektrische Reihen, sind grobe Anhaltspunkte: Luftfeuchtigkeit und Schmutz können sie verändern.

Reiben erzeugt keine Ladung; es trennt Ladung, die schon vorhanden war. In einem abgeschlossenen System, in das keine Ladung hinein- oder herausgelangt, ändert sich die Gesamtmenge nie:
$\sum q=\mathrm{const}\text{(isolated system)}$
Die Summe wird mit Vorzeichen gebildet: Ein negativer Ballon und ein gleich starker positiver Schal ergeben zusammen null, genau wie vor dem Berühren. Kein Experiment hat je eine Verletzung dieses Gesetzes gefunden.

Beispiel: der Ballon in der Animation

In der Animation wird der Ballon mit vier Auf-und-ab-Strichen gerieben, und der Zähler steigt auf $n=6,0\times 10^{10}$ Elektronen; jedes blaue Minuszeichen, das hinüberspringt, steht für $10^{10}$ davon. Der Ballon hat Elektronen gewonnen, also
$q=-ne=-6,0\times 10^{10}\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
$q=-9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}=-9,6\mathrm{nC}$

Die Wolle hat genau diese Elektronen verloren und trägt daher $+9,6\mathrm{nC}$. Das sind die Endwerte auf den blauen und roten Anzeigen; während des ganzen Reibens sind die beiden gleich groß und entgegengesetzt, denn jedes rote Pluszeichen auf der Wolle entspricht einem blauen Minuszeichen auf dem Ballon.

Ist das viel? Ein 3 g schwerer Ballon enthält etwa $10^{24}$ Elektronen, also ist nur eines von 17 Billionen zusätzlich. Elektrische Kräfte sind so stark, dass schon dieses Ungleichgewicht Papier hochhebt.

Leiter und Isolatoren

In einem Metall bewegen sich ein oder zwei Elektronen pro Atom frei durch das ganze Stück; daher verteilt sich zusätzliche Ladung sofort und sammelt sich auf der äußeren Oberfläche. Solche Stoffe sind Leiter: Metalle, Salzwasser und der menschliche Körper, dessen Ladungsträger Ionen sind.

In Isolatoren wie Gummi, Kunststoff, Glas und trockenem Papier bleiben Elektronen an ihre Atome gebunden, daher bleibt die Ladung dort, wo sie aufgebracht wurde. Deshalb wendet der Ballon in der Animation seine geriebene Seite dem Papier zu. Ein Metalllöffel, den du mit bloßer Hand hältst, lässt sich durch Reiben nicht aufladen: Die Ladung entweicht über deinen Körper zur Erde.

Die Verbindung eines Leiters mit der Erde, die beliebig viel Ladung abgeben oder aufnehmen kann, heißt Erdung. Bei feuchtem Wetter leitet auch ein Wasserfilm auf Oberflächen Ladung ab, wenn auch langsamer; statische Tricks gelingen daher am besten an trockenen Tagen.

Beispiel: Ladung zwischen Kugeln teilen

Berühren sich zwei Leiter, fließen Elektronen, bis nichts sie weiter drängt. Gleiche Leiter müssen aus Symmetriegründen am Ende gleich geladen sein, und die Erhaltung legt die Gesamtmenge fest:
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(identical conductors in contact)}$

Drei gleiche Metallkugeln stehen auf isolierenden Füßen: A trägt $-12\mathrm{nC}$, B ist neutral und C trägt $+4\mathrm{nC}$. A berührt B, dann berührt B die Kugel C. Was trägt jede Kugel am Ende?

Erster Kontakt: Die Gesamtmenge beträgt $-12\mathrm{nC}$, also haben A und B jeweils $-6\mathrm{nC}$, nachdem $6\mathrm{nC}/e=3,7\times 10^{10}$ Elektronen von A nach B gewandert sind. Zweiter Kontakt: Die Gesamtmenge ist $-6+4=-2\mathrm{nC}$, also haben B und C jeweils $-1\mathrm{nC}$. Kontrolle: $-6-1-1=-8\mathrm{nC}$, der Anfangswert $-12+0+4$. Beim zweiten Kontakt sind $5\mathrm{nC}/e=3,1\times 10^{10}$ Elektronen von B nach C gewandert; das hebt dessen $+4\mathrm{nC}$ auf und lässt es leicht negativ. Keine positive Ladung ist gewandert.

Anziehung ohne Berührung: Polarisation und Influenz

Ein geladener Körper kann einen neutralen anziehen, ohne ihn zu berühren. Bringe einen negativen Stab nahe an eine Metallkugel: Die freien Elektronen der Kugel werden auf die ferne Seite gedrängt, und die nahe Seite wird positiv. Das nennt man elektrostatische Influenz. Die Kugel bleibt neutral, aber ihre positive Seite ist dem Stab näher, und elektrische Kräfte nehmen mit dem Abstand ab; also gewinnt die Anziehung.

In Papier, einem Isolator, können Elektronen nicht wandern. Stattdessen wird jedes Molekül leicht zu einem winzigen Dipol gestreckt, einem Paar gleich großer, entgegengesetzter Ladungen in kleinem Abstand. Das Papier ist polarisiert: auf der dem Ballon zugewandten Seite positiv, auf der fernen negativ, wie die Nahaufnahme mit auseinanderdriftenden + und − Zeichen zeigt.

Die Pfeile am mittleren Schnipsel zeigen den Wettstreit. Der Pfeil $mg$, das Gewicht des Schnipsels, bleibt gleich, während der grüne Pfeil $F$, die elektrische Anziehung, immer schneller wächst, während der Ballon herabkommt. Ist $F$ so lang wie $mg$, hebt der Schnipsel ab; der mittlere Schnipsel, direkt unter dem Ballon, zuerst. Auch ein Elektroskop nutzt Influenz: Ein geladener Stab nahe seiner Kappe treibt Ladung des gleichen Vorzeichens wie der Stab in zwei dünne Blättchen, die sich abstoßen und auseinanderspreizen.

Häufige Fehler

• Reiben erzeugt keine Ladung: Die $-9,6\mathrm{nC}$ des Ballons und die $+9,6\mathrm{nC}$ der Wolle waren schon im neutralen Material vorhanden, und sie ergeben zusammen immer noch null.
• Ein positiver Körper hat Elektronen verloren, nicht Protonen gewonnen: Die $+9,6\mathrm{nC}$ der Wolle bedeuten $6,0\times 10^{10}$ fehlende Elektronen.
• Neutral heißt nicht ungeladen: Ein neutraler 3 g schwerer Ballon enthält in seinen Elektronen etwa 160.000 C negative Ladung, genau ausgeglichen durch seine Kerne.
• Anziehung beweist nicht, dass ein Körper geladen ist: Ein neutrales Papierstück wird von beiden Vorzeichen angezogen. Nur Abstoßung zeigt, dass zwei Körper gleichnamige Ladungen tragen.
• Mit $e$ multiplizieren, nicht dividieren: $6,0\times 10^{10}$ Elektronen tragen $9,6\times 10^{-9}\mathrm{C}$, während Teilen den unsinnigen Wert $3,7\times 10^{29}\mathrm{C}$ ergibt.

Wo dir das begegnet

Statische Elektrizität arbeitet in Laserdruckern und Kopierern, deren geladene Trommel Toner nach dem Muster der Seite aufnimmt; ebenso beim Spritzlackieren und in Elektrofiltern, die über 99 % der Asche aus dem Rauch von Kraftwerken entfernen. Sie ist auch eine Gefahr: Ein Gang über einen Teppich an einem trockenen Tag kann dich mit etwa einem Mikrocoulomb aufladen, genug für einen Funken am Türgriff, und Tankwagen werden vor dem Entladen geerdet. Ein Blitzschlag trägt etwa 5 bis 30 C.

Die nächste Lektion, Das coulombsche Gesetz, misst die Kraft zwischen zwei Ladungen. Elektrisches Feld und Potential, Kondensatoren und Elektrischer Strom und Widerstand folgen der Ladung in den Raum um sie herum, in die Speicherung und in die Bewegung.

Fortgeschritten

Eine Kraft, die sich fast selbst aufhebt

Dieser Abschnitt erklärt, warum elektrische Kräfte die alltägliche Welt beherrschen, obwohl die meisten Stoffe ungeladen wirken. Zwei kleine Ladungen $q_1$ und $q_2$ im Abstand $r$ ziehen sich an oder stoßen sich ab, mit einer Kraft vom Betrag
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
(coulombsches Gesetz), wobei $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Wie die Gravitation fällt diese Kraft mit dem Quadrat des Abstands ab. Anders als die Gravitation ist sie unvergleichlich stärker. Vergleiche die beiden Kräfte zwischen zwei Protonen, jeweils mit der Ladung $e$ und der Masse $m_p$, wobei $G$ die Gravitationskonstante ist. Beide Kräfte enthalten denselben Faktor $1/r^2$, sodass $r$ herausfällt und das Verhältnis in jedem Abstand gleich ist:
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1,2\times 10^{36}$

Warum bemerken wir sie dann so selten? Weil Ladung zwei Vorzeichen hat und Materie sie fast perfekt ausgleicht: Die Ladung eines Atoms oder Moleküls ist bis auf einen Teil in $10^{21}$ von $e$ gleich null. Eine grobe Abschätzung zeigt, warum der Ausgleich so genau sein muss. Ein Tropfen Wasser von 1 g enthält $3,3\times 10^{23}$ Elektronen, eine Ladung von etwa $5,4\times 10^4\mathrm{C}$, die durch dieselbe positive Ladung in seinen Kernen ausgeglichen wird. Man nehme aus jedem von zwei solchen Tropfen ein Elektron von einer Million heraus und stelle sie 1 m voneinander entfernt auf. Jeder Tropfen bleibt mit $q=+0,054\mathrm{C}$ zurück, und sie stoßen sich mit
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2,6\times 10^7\mathrm{N}$
ab, dem Gewicht von rund 2600 Tonnen.

Was wir tatsächlich spüren, sind Reste. Benachbarte Atome sind neutral, aber auf atomaren Abständen liegen ihre positiven und negativen Ladungen nicht genau übereinander. Diese kleine Verschiebung ist der Druck eines Tisches, die Spannung in einem Seil und die Bindungen der Chemie.

Quantisiert, invariant und erhalten

Drei experimentelle Tatsachen legen fest, was Ladung ist. Jede Theorie der Materie muss alle drei erfüllen.

Erstens ist Ladung quantisiert: Sie kommt nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung $e$ vor. Zwischen 1909 und 1913 zeigte Robert Millikan dies, indem er winzige geladene Öltröpfchen im elektrischen Feld mit der Schwerkraft ins Gleichgewicht brachte; jede Ladung, die er maß, war eine ganze Zahl mal $e$. Seit 2019 legt das SI $e=1,602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$ exakt fest, und dieser Wert definiert das Coulomb. Quarks tragen Bruchteile, $+\frac{2}{3}e$ oder $-\frac{1}{3}e$, doch sie werden nie allein gefunden. Sie sind stets zu Teilchen mit ganzzahligen Ladungen gebunden: das Proton (uud) hat $+e$, das Neutron (udd) null.

Zweitens ist Ladung invariant: Sie hängt nicht davon ab, wie schnell sich das geladene Teilchen bewegt. Im Heliumkern bewegen sich die Protonen mit einem beträchtlichen Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit; im Wasserstoffmolekül sind sie nahezu in Ruhe. Würde die Ladung eines Protons mit seiner Geschwindigkeit wechseln, würde eines der beiden Gase eine Nettoladung tragen, doch beide sind bis auf etwa ein Teil in $10^{20}$ neutral. Energie, Impuls, Längen und Zeitintervalle hängen alle vom Beobachter ab; Ladung nicht.

Drittens ist Ladung erhalten: Bei jedem beobachteten Prozess ist die Gesamtladung danach gleich der Gesamtladung davor. Ein Gammastrahl, der nahe an einem Kern vorbeifliegt, kann sich in ein Elektron und ein Positron verwandeln, $0\to (-e)+(+e)$. Ein freies Neutron zerfällt in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino, $0\to (+e)+(-e)+0$. Teilchen entstehen und verschwinden, doch die Nettoladung ändert sich nicht.

Lokale Erhaltung: die Kontinuitätsgleichung

Legende

$S$	Geschlossene Oberfläche, die das Volumen $V$ begrenzt.
$V$	Das Volumen innerhalb von $S$, festgehalten.	${\mathrm{m}}^3$
$\rho$	Ladung pro Volumen innerhalb von $V$ (die roten Punkte).	$C/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{J}$	Stromdichte: Strom pro Fläche, in die Richtung, in die positive Ladung fließt.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Ein kleines Flächenstück von $S$ als Vektor: Seine Länge ist die Fläche $dA$ des Stücks, und er zeigt aus $V$ heraus.	${\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{J}$ und $d\vec{A}$; über $90^{\circ }$ dort, wo Ladung hineinfließt.	$\mathrm{rad}$

Erhaltung sagt mehr als „die Gesamtmenge bleibt gleich“. Ladung kann nicht an einem Ort verschwinden und an einem anderen wieder auftauchen; sie muss dorthin wandern. Dieser Abschnitt übersetzt diese Idee in eine Gleichung, und Abbildung 1 legt die Buchführung fest.

Abbildung 1 zeigt ein festes Volumen $V$, begrenzt durch eine geschlossene Oberfläche $S$. Die Ladung im Inneren wird durch ihre Dichte $\rho$ beschrieben, die Ladung pro Volumen (die roten Punkte). Bewegte Ladung wird durch die Stromdichte $\vec{J}$ beschrieben, den Strom pro Fläche, der in die Richtung zeigt, in die positive Ladung fließt. Die Pfeile $\vec{J}$ überqueren $S$ in beide Richtungen: die meisten verlassen $V$, doch die beiden links treten ein.

Um zu zählen, was $S$ überquert, zerlege sie in kleine Flächenstücke. Das vergrößerte Stück rechts hat die Fläche $dA$, und wir machen daraus einen Vektor $d\vec{A}$ der Länge $dA$, der aus $V$ heraus zeigt. Nur der Teil von $\vec{J}$ längs $d\vec{A}$ transportiert Ladung durch das Stück; der zum Stück parallele Teil gleitet daran vorbei. Der Strom aus dem Stück heraus ist also
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen den beiden Pfeilen des vergrößerten Stücks ist. Wo Ladung herausfließt, liegt $\theta$ unter $90^{\circ }$, und dieser Term ist positiv; wo Ladung hineinfließt, liegt $\theta$ über $90^{\circ }$, und er ist negativ. Summiert über alle Stücke ist ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$ der Nettostrom aus $V$ heraus.

Nun zur Physik. Da $V$ fest ist, kann sich die Ladung darin nur durch das Überqueren von $S$ ändern. Also sinkt die Ladung im Inneren genau so schnell, wie der Nettostrom herausfließt:
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
Dies ist die integrale Form der lokalen Erhaltung. Um daraus eine Aussage über einzelne Punkte zu machen, nutze den Divergenzsatz, der den Fluss aus einer geschlossenen Oberfläche als Volumenintegral der Divergenz schreibt: ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$. Da sich $V$ nicht bewegt, kann die Zeitableitung in das linke Integral gezogen werden, und beide Seiten werden zu Integralen über dasselbe Volumen:
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
Das gilt für jedes feste Volumen, so klein es auch sei. Ein Integral, das über jedes kleine Gebiet verschwindet, kann nur dann null sein, wenn der Integrand an jedem Punkt null ist, also
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
Dies ist die Kontinuitätsgleichung. Mit Worten: Wo die Ladungsdichte sinkt, breitet sich von diesem Punkt aus Strom aus.

Warum auf dem lokalen Gesetz bestehen, wenn das globale die Gesamtmenge ebenso bewahrt? Stell dir vor, Ladung verschwindet auf der Erde und taucht im selben Augenblick auf dem Mond wieder auf. Die Gesamtmenge würde sich nie ändern. Doch in der Relativitätstheorie sind zwei entfernte Ereignisse, die für einen Beobachter gleichzeitig sind, für einen vorbeifliegenden anderen Beobachter nicht gleichzeitig. Dieser zweite Beobachter sähe die Ladung eine Zeit lang fehlen oder an beiden Orten zugleich vorhanden. Nur Ladung, die stetig über Grenzen fließt, ist für jeden Beobachter erhalten.

Der Graph $q(t)$ der Animation zeigt die integrale Form in Aktion. Zeichne $S$ um den Ballon. Ladung überquert sie nur dort, wo Ballon und Wolle sich berühren; die Steigung der blauen Ballonkurve ist also der Strom in den Ballon. Die rote Wollkurve hat zu jedem Zeitpunkt die entgegengesetzte Steigung: Was der eine gewinnt, verliert der andere. Die Ladung ändert sich in 3,2 s um 9,6 nC, ein mittlerer Strom von 3,0 nA. Die Übertragung folgt dem geriebenen Weg, daher erreicht der Strom in der Mitte eines Strichs etwa 4,7 nA und sinkt an jedem Ende eines Strichs auf null, wo der Ballon anhält und umkehrt.

Warum ein neutraler Körper angezogen wird

Legende

$Q$	Positive Quellladung.	$\mathrm{C}$
$d$	Abstand von $Q$ zum Mittelpunkt des Körpers.	$\mathrm{m}$
$q$	Betrag jeder der beiden Ladungen, die das Feld im Körper trennt.	$\mathrm{C}$
$\vec{s}$	Trennung der Ladungen, von $-q$ nach $+q$; das Dipolmoment ist $\vec{p}=q\vec{s}$.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}(\vec{r})$	Feld von $Q$ am Ende $-q$, dem näheren, an der Position $\vec{r}$ von $Q$.	$N/C$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	Feld von $Q$ am Ende $+q$: schwächer, weil dieses Ende weiter von $Q$ entfernt ist.	$N/C$
${\vec{F}}_{-}$	Kraft auf $-q$, zu $Q$ hin.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{+}$	Kraft auf $+q$, von $Q$ weg und kleiner.	$\mathrm{N}$
$\vec{F}$	Nettokraft auf den Körper, ${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$: zu $Q$ hin.	$\mathrm{N}$

Ein geladener Ballon hebt Papierstückchen auf, die keine Nettoladung tragen. Dieser Abschnitt erklärt, wie das geschieht, und findet, wie schnell die Anziehung wächst, wenn der Ballon näher kommt.

Abbildung 2 zeigt einen neutralen Körper im Abstand $d$ von einer positiven Ladung $Q$. Die Ladungen des Körpers sind nicht starr fixiert; sie können sich ein wenig verschieben. Das Feld von $Q$ zeigt von $Q$ weg, es drückt also positive Ladung fort und zieht negative näher heran. Eine Ladung $-q$ sammelt sich auf der nahen Seite und $+q$ auf der fernen, getrennt durch den kleinen Vektor $\vec{s}$, der von $-q$ nach $+q$ zeigt. Der Körper ist zu einem induzierten Dipol geworden, mit dem Dipolmoment $\vec{p}=q\vec{s}$. Wie groß $\vec{p}$ wird, hängt davon ab, wie leicht sich die Ladungen verschieben. In einem Feld, das im Vergleich zu den Feldern im Inneren der Atome schwach ist, ist er proportional zum Feld,
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
wobei die Konstante $\alpha$, die Polarisierbarkeit, diese Leichtigkeit misst.

Betrachte nun die Kräfte. Jedes Ende des Dipols spürt das Feld an seinem Ort. Sei $\vec{r}$ die Position des nahen Endes, gemessen von $Q$. Das Ende $-q$ bei $\vec{r}$ liegt im Feld $\vec{E}(\vec{r})$ und wird durch ${\vec{F}}_{-}$ zu $Q$ hingezogen. Das Ende $+q$ bei $\vec{r}+\vec{s}$ liegt weiter außen, im schwächeren Feld $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$, und wird durch die kleinere Kraft ${\vec{F}}_{+}$ abgestoßen. Die beiden Ladungen sind gleich groß und entgegengesetzt, doch die Felder, in denen sie liegen, sind nicht gleich, daher heben sich die Kräfte nicht auf. Ihre Summe, die unter dem Körper eingezeichnete Nettokraft $\vec{F}$, zeigt zu $Q$.

Um ihre Größe zu finden, addiere die beiden Kräfte und entwickle das Feld über den kurzen Schritt $\vec{s}$: $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$, wobei $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ die Änderung von $\vec{E}$ über diesen Schritt ist. Dann gilt
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
Ein Dipol spürt also nur dort eine Nettokraft, wo sich das Feld von Ort zu Ort ändert.

Setze nun $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ ein. Für jedes Feld gilt $(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$, und ein elektrostatisches Feld hat keine Rotation, $\nabla \times \vec{E}=0$. Daher gilt
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
In der Nähe einer Punktladung ist $E=kQ/r^2$, also $E^2=k^2{Q}^2/r^4$. Dessen Gradient zeigt zu $Q$, mit dem Betrag $4k^2{Q}^2/r^5$. Am Körper ist $r=d$, und die Anziehung beträgt
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(point charge)}$

Daraus folgen drei Konsequenzen. Erstens zeigt die Anziehung immer zu dem stärkeren Feld, unabhängig vom Vorzeichen der Quelle, weil $E^2$ das Vorzeichen ignoriert. Macht man $Q$ in Abbildung 2 negativ, kehren sich $\vec{E}$ und $\vec{p}$ beide um, und das Ende $+q$ wird das nähere; dennoch zeigt $\vec{F}$ weiter zu $Q$. Zweitens ist in einem homogenen Feld $E^2$ überall gleich, daher gibt es keine Nettokraft. Ein länglicher Körper dreht sich trotzdem, weil er sich am leichtesten entlang seiner Länge polarisiert; deshalb drehen sich die Papierstückchen im Flug und landen auf einem Ende. Drittens ist die Anziehung sehr steil: Halbiert man $d$, wächst sie auf das $2^5=32$-Fache.

Der Graph $F/mg$ für den mittleren Schnipsel in der Animation zeigt diese Steilheit. Wenn der Ballon bei 5,6 s nach unten zu fahren beginnt, beträgt die Anziehung 6 % des Gewichts des Schnipsels. Bei 7,0 s erreicht sie ein Viertel und bei 7,4 s mehr als die Hälfte, und bei etwa 7,6 s überschreitet sie die gestrichelte Linie bei 1, wenn der Schnipsel abhebt. Währenddessen schrumpft der Abstand vom Mittelpunkt des Ballons zum Schnipsel von 80 auf 52 Einheiten. Für eine Ladung im Mittelpunkt würde das Gesetz $1/d^5$ die Anziehung um den Faktor $(80/52{)}^5\approx 8,6$ erhöhen; tatsächlich wächst sie um das 17-Fache. Der Grund ist, dass die Ladung auf der unteren Oberfläche des Ballons sitzt, deren nächster Teil fast doppelt so nah kommt. Sobald der Schnipsel abhebt, verringert sich der Abstand weiter, und die Anziehung schießt davon.

Leiter im Gleichgewicht

In einem Leiter sind manche Ladungen frei beweglich: in einem Metall die Elektronen. Sie bewegen sich, solange ein Feld sie schiebt; sobald sich alles beruhigt hat, ist das Feld im Inneren des Materials null, $\vec{E}=0$. Das gaußsche Gesetz, das in Elektrisches Feld und Potential entwickelt wird, besagt dann, dass es im Inneren keine Nettoladung gibt: Jede überschüssige oder induzierte Ladung sitzt auf der Oberfläche. Das Feld direkt außerhalb steht senkrecht zur Oberfläche, denn eine Komponente entlang der Oberfläche würde die Oberflächenladungen weiter verschieben. Sein Betrag ist $E=\sigma /{\epsilon }_0$, wobei $\sigma$ die Ladung pro Fläche der Oberfläche und ${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ die Permittivität des freien Raums ist.

Dieselbe Beweglichkeit erklärt die Aufladung durch Influenz. Bringe einen geladenen Stab nahe an einen Leiter, und Ladung des entgegengesetzten Vorzeichens sammelt sich auf der ihm zugewandten Seite. Verbinde den Leiter mit der Erde: Ladung fließt über die Verbindung, bis der Leiter eine Nettoladung trägt, die der des Stabs entgegengesetzt ist und durch die Anziehung des Stabs festgehalten wird. Trenne zuerst die Erdverbindung, dann entferne den Stab, und der Leiter behält diese Ladung.

Ladung sammelt sich an stark gekrümmten Stellen

Legende

$V$	Potential des Drahts und beider Kugeln: überall auf dem Leiter gleich.	$\mathrm{V}$
$R_1$	Radius der größeren Kugel.	$\mathrm{m}$
$R_2$	Radius der kleineren Kugel.	$\mathrm{m}$
$q_1$	Ladung der größeren Kugel.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Ladung der kleineren Kugel.	$\mathrm{C}$
${\vec{E}}_1$	Feld direkt außerhalb der größeren Kugel, senkrecht zu ihrer Oberfläche.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Feld direkt außerhalb der kleineren Kugel: stärker, da $E=V/R$.	$N/C$

Auf einem geladenen Leiter ist die Ladung nicht gleichmäßig verteilt: Sie häuft sich dort, wo die Oberfläche am stärksten gekrümmt ist. Abbildung 3 zeigt den einfachsten Fall, an dem sich dies genau zeigen lässt.

Abbildung 3 zeigt zwei leitende Kugeln mit den Radien $R_1$ und $R_2$, die erste die größere, weit voneinander entfernt und durch einen dünnen Draht verbunden. Zusammen bilden sie einen einzigen Leiter, daher fließt Ladung durch den Draht, bis alles, Draht und beide Kugeln, auf demselben Potential $V$ liegt. Weil die Kugeln weit voneinander entfernt sind, stammt das Potential jeder Kugel allein von ihrer eigenen Ladung, und eine Kugel mit Radius $R$ und Ladung $q$ hat $V=kq/R$. Setzt man die beiden Potentiale gleich, $k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$, so gilt
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
Die größere Kugel trägt die größere Ladung. Nun zu den Feldpfeilen. Das Feld an der Oberfläche einer Kugel ist
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
und da $V$ geteilt wird, ist $E$ proportional zu $1/R$. Also ist ${\vec{E}}_2$ an der kleinen Kugel im Verhältnis $R_1:R_2$ länger als ${\vec{E}}_1$; die Pfeile sind so für $R_1=2R_2$ gezeichnet. Je kleiner die Kugel, desto stärker das Feld an ihrer Oberfläche und, da $E=\sigma /{\epsilon }_0$ gilt, desto mehr Ladung trägt sie pro Flächeneinheit.

Dasselbe gilt für einen einzelnen Leiter beliebiger Form: Eine scharfe Spitze verhält sich wie eine kleine Kugel, eine flache Stelle wie eine große. Eine Spitze mit einem Radius von 0,1 mm an einem Körper mit einem Radius von 10 cm hat ein Oberflächenfeld, das etwa tausendmal so groß ist wie das des Körpers. Deshalb beginnen Funken und das schwache Glimmen der Koronaentladung an Spitzen und Kanten.

Beispiel: Wann springt ein Kügelchen hoch?

Diese Aufgabe wendet die Kraft des induzierten Dipols auf ein reales Objekt an. Bringe die Ladung des Ballons, $Q=9,6\mathrm{nC}$, auf eine Metallkugel mit einem Radius von 1 cm auf einem isolierenden Fuß. Außerhalb der Kugel ist ihr Feld genau das einer Punktladung $Q$ im Mittelpunkt. Unter der Kugel liegt ein leichtes leitendes Kügelchen aus graphitbeschichtetem Polystyrolschaum, 2 mm im Durchmesser, mit der Massendichte ${\rho }_m=20kg/{\mathrm{m}}^3$. Wie nahe muss die Kugel kommen, bevor das Kügelchen hochspringt?

Schritt 1, die Anziehung. Eine kleine leitende Kugel mit dem Radius $a$ hat die Polarisierbarkeit $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$. Setzt man dies in $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$ ein, erhält man
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
wobei $d$ der Abstand zwischen den Mittelpunkten von Kugel und Kügelchen ist.

Schritt 2, das Gewicht. Die Masse des Kügelchens ist sein Volumen mal seiner Dichte, also $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$.

Schritt 3, die Bedingung. Das Kügelchen hebt ab, wenn $F>mg$. Beide Seiten enthalten $a^3$, das sich wegkürzt:
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
Auflösen nach $d^5$:
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

Schritt 4, die Zahlen. In SI-Einheiten ist $3k{Q}^2=2,5\times 10^{-6}$ und $2\pi {\rho }_{m}g=1,23\times 10^3$, also $d^5<2,0\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^5$ und $d<1,8\mathrm{cm}$. Das Kügelchen springt hoch, wenn sein Mittelpunkt auf 1,8 cm an den Mittelpunkt der Kugel herankommt. Zieht man den Radius der Kugel von 1 cm und den des Kügelchens von 1 mm ab, bleibt zwischen den Oberflächen ein Abstand von etwa 7 mm.

Wie sich der Hebeabstand ändert

Legende

$d$	Abstand vom Mittelpunkt der geladenen Kugel zum Mittelpunkt des Kügelchens.	$\mathrm{m}$
$F$	Aufwärts gerichtete Anziehung auf das Kügelchen, $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, wobei $a$ der Radius des Kügelchens ist.	$\mathrm{N}$
$mg$	Gewicht des Kügelchens (gestrichelte Linie).	$\mathrm{N}$
$Q$	Ladung auf der Kugel; die linke Kurve gilt für $Q$, die rechte für $2Q$.	$\mathrm{C}$
$d_Q$	Abstand, bei dem die Anziehung für die Ladung $Q$ dem Gewicht entspricht: 1,8 cm.	$\mathrm{m}$
$d_{2Q}$	Abstand, bei dem die Anziehung für die Ladung $2Q$ dem Gewicht entspricht: 2,4 cm.	$\mathrm{m}$

Die Beispielaufgabe ergab eine Zahl. Abbildung 4 zeigt, wie sich diese Zahl ändert, wenn sich die Ladung oder das Kügelchen ändert, und warum die Größe des Kügelchens herausfällt.

Abbildung 4 zeigt die Anziehung $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$ auf das Kügelchen in Abhängigkeit vom Abstand $d$ zum Mittelpunkt der Kugel. Die Anziehung steigt steil an, wenn $d$ kleiner wird. Das Gewicht $mg$ hängt nicht von $d$ ab, es ist daher die gestrichelte waagerechte Linie. Das Kügelchen hebt überall dort ab, wo eine Kurve über dieser Linie verläuft, also bei jedem Abstand innerhalb des Schnittpunkts. Für die Ladung $Q$, die linke Kurve, liegt der Schnittpunkt bei $d_Q$, dem oben gefundenen Wert von 1,8 cm.

Verdopple nun die Ladung. Die Anziehung wächst mit $Q^2$, ist also in jedem Abstand 4-mal so groß, und die rechte Kurve für $2Q$ schneidet die Linie weiter außen. Am neuen Schnittpunkt muss die Anziehung immer noch $mg$ betragen, also gilt $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$ und
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1,32d_Q$
was 2,4 cm entspricht. Wegen der fünften Potenz bringt eine Verdopplung der Ladung nur etwa ein Drittel mehr Abstand.

Die Größe des Kügelchens spielt keine Rolle, nur seine Dichte, solange das Kügelchen klein gegenüber $d$ bleibt, denn $a^3$ hat sich weggekürzt. Ein 32-mal dichteres Kügelchen würde die gestrichelte Linie auf das 32-Fache anheben und den Schnittpunkt um den Faktor $32^{1/5}=2$ nach innen ziehen, auf 0,9 cm. Das liegt innerhalb der Kugel, deren Radius 1 cm beträgt; dieses Kügelchen könnte also nie abheben, bevor es die Kugel berührt.

Was geschieht bei der Berührung? Das leitende Kügelchen übernimmt einen Anteil der Ladung der Kugel, mit demselben Vorzeichen, und wird daher abgestoßen und weggeschleudert. Papier leitet so schlecht, dass es sich nur langsam auflädt; deshalb haftet ein Papierstückchen stattdessen am Ballon.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes Modell in dieser Lektion funktioniert nur innerhalb eines bestimmten Bereichs.

Luft isoliert nur bis etwa 3 MV/m. Darüber gewinnen freie Elektronen zwischen den Stößen mit Molekülen genug Energie, um weitere Elektronen herauszuschlagen, und die wachsende Lawine ist ein Funke. Der Ballon ist davon weit entfernt. Seine Ladung, verteilt über eine geriebene Fläche von etwa 100 cm², ergibt ein Feld von etwa $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\times 10^{4}V/m$, also rund 55-mal zu schwach; der Faktor 2 entsteht, weil das Feld einer geladenen isolierenden Fläche nach beiden Seiten zeigt. Die Kugel der Beispielaufgabe kommt viel näher: Ihr Oberflächenfeld, $kQ/R^2=8,6\times 10^{5}V/m$ mit $R=1\mathrm{cm}$, liegt weniger als um den Faktor vier unter der Durchschlagsfeldstärke. Am anderen Extrem trägt ein Blitzschlag 5 bis 30 C, bis zu $2\times 10^{20}$ Elektronen, über Hunderte von Megavolt.

Die Quantisierung ist auf der Skala des Ballons unsichtbar, denn ein einzelnes Elektron ändert die Ladung um einen Teil in $6\times 10^{10}$. Deshalb darf man Ladung als kontinuierliche Flüssigkeit mit der Dichte $\rho$ behandeln, wie in der Kontinuitätsgleichung. Das Gesetz $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ braucht Felder, die weit unter denen im Inneren der Atome liegen, etwa $5\times 10^{11}V/m$, und das Gesetz $1/d^5$ braucht einen Körper, der klein gegenüber $d$ ist. Die triboelektrische Reihe ist empirisch: Noch ist umstritten, ob Elektronen, Ionen oder winzige Materieteilchen die Ladung zwischen geriebenen Oberflächen tragen. Schließlich kann die klassische Elektrostatik nicht erklären, warum ein Elektron nicht auf ein Proton fällt. Dafür braucht man die Quantenmechanik, die in Atommodelle: das bohrsche Atom beginnt.

Wohin das führt

Das coulombsche Gesetz behandelt die Kraft zwischen Punktladungen vollständig. Elektrisches Feld und Potential macht Felder, das gaußsche Gesetz und äquipotenzielle Leiter zu Werkzeugen; Kondensatoren speichern getrennte Ladung; Elektrischer Strom und Widerstand untersucht die Stromdichte $\vec{J}$ selbst. Bewegte Ladungen spüren auch magnetische Kräfte (Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen), und die Kontinuitätsgleichung ist in die maxwellschen Gleichungen eingebaut (Elektromagnetische Wellen). Halbleiter, Dioden und LEDs behandelt ein fehlendes Elektron als positiven Ladungsträger, und Teilchen und Kräfte: das Standardmodell leitet die Ladungserhaltung aus einer Symmetrie der Natur ab.