万有引力与轨道

入门

松手让铅笔落下，抬头看月亮挂在天上。牛顿的伟大想法是：同一种引力可以解释这两者。

第 1 步：一切有质量的物体都相互吸引，质量越大吸引越强。你能感觉到地球的引力，却感觉不到坐在你旁边的人那微小的引力。

第 2 步：引力随距离减弱，而且减弱得很快。距离从球心量起：距离加倍，引力降为四分之一；距离变为三倍，引力降为九分之一。快速检验：如果两个物体的距离扩大到十倍，它们之间的引力会怎样？（答案：引力变为原来的百分之一。）

第 3 步：为什么月球没有落到地球上？其实它一直在下落。如果没有引力，它会沿直线前进；引力使它的路径向地球弯曲。想象一门大炮架在很高的山上横向发射：慢速炮弹落在较近处，快一些的落得更远。如果发射得足够快，炮弹下落的速度恰好与弯曲的地面向下弯去的速度相同，它就永远落不到地面上，这就是轨道。宇航员漂浮也是同样的原因：他们与航天器一起下落，尽管那里的引力几乎和地面一样强。

第 4 步：大多数轨道是略微拉长的圆，称为椭圆，恒星位于偏离中心的位置。行星向恒星靠近时加速，远离时减速。

在动画中，红色箭头表示恒星的引力：始终指向恒星，行星越近箭头越长。蓝色虚线表示如果引力消失，行星将沿着走的直线路径。灰色圆点是每隔相等时间留下的位置，在远离恒星处聚集，在靠近恒星处分散。

中级

万有引力定律与场强

一切有质量的物体都相互吸引。对于质量为 $m_1$ 与 $m_2$、球心相距为 $r$ 的两个物体，牛顿万有引力定律给出引力的大小：
$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

这里 $G=6.674\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ 为引力常量，它非常小：相距 1 m 的两个 70 kg 的人之间的引力只有 $3.3\times 10^{-7}\mathrm{N}$。引力沿两球心的连线作用，根据牛顿第三定律，两个物体相互吸引的力大小相等：地球拉你向下的力与你拉地球向上的力都是 690 N。对于行星或恒星，$r$ 从其球心量起。

将作用在小质量 $m$ 上的力除以 $m$，即得质量为 $M$ 的物体的场强，也就是每千克所受的引力：
$g=\frac{GM}{r^2}$

其单位牛每千克与 m/s² 相同：$g$ 是该处的自由落体加速度。在地球表面（$M=5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$，$R=6371\mathrm{km}$）它为 9.8 m/s²。在 $r=2R$ 处，即高出地面一个地球半径时，它为其四分之一，约 2.45 m/s²；高出 400 km 时仍约为 8.7 m/s²。

圆轨道

正如《圆周运动》中所述，以速率 $v$ 沿半径为 $r$ 的圆周运动的物体，需要指向圆心的合力 $m{v}^2/r$。对于卫星，这个力完全由引力提供：
$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\text{(circular orbit)}$

卫星自身的质量 $m$ 被约去：空间站与机组人员掉落的一把扳手会处于同一轨道。绕行一圈的路程为 $2\pi r$，所用时间 $T=2\pi r/v$，因此 $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$。轨道越高，速度越慢，$v\propto 1/\sqrt{r}$，绕行一周的时间也越长，$T\propto r^{3/2}$：贴近地面飞行的卫星约 84 分钟绕行一圈，而距离地球 60 个地球半径的月球需要 27.3 天。

椭圆与开普勒三定律

侧向发射的卫星，若速度比 $\sqrt{GM/r}$ 略快或略慢，则会沿椭圆运行。约翰尼斯·开普勒在 1609 年至 1619 年间发现了行星运动的三条定律，牛顿的引力定律可以解释这三条定律。

• 每颗行星都沿椭圆运动，太阳位于其一个焦点上，而不在中心。
• 太阳与行星的连线在相等时间内扫过相等的面积，因此行星在最近点（近日点）速度最快，在最远点（远日点）速度最慢。
• 周期的平方与轨道尺寸的立方成正比。

尺寸由半长轴 $a$ 给出，它是最长直径的一半，也是最近距离与最远距离的平均值。偏心率 $e$ 描述椭圆的扁平程度：最近距离为 $a(1-e)$，最远距离为 $a(1+e)$，圆的偏心率 $e=0$。用牛顿的形式表示，第三定律为
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
这就是圆轨道的结果，只需把 $r$ 换成 $a$，与偏心率无关。若绕太阳运行，取 $T$ 的单位为年，$a$ 的单位为天文单位（$1\mathrm{AU}=1.496\times 10^{11}\mathrm{m}$），则可简写为 $T^2=a^3$。

引力场中的能量

将两个质量拉开需要做功，因此它们的势能随距离增大。取无穷远处为零势能，则得
$U=-\frac{GMm}{r}$

负号表示物体处于一个“势阱”中：把静止于 $r$ 处的物体移到无穷远，需要做功 $GMm/r$。在轨道上，总能量 $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ 保持不变，因此物体向内下落时速度增大。当 $E\ge 0$ 时物体会逃逸；从地球表面发射，所需速度为 $\sqrt{2GM/R}\approx 11.2km/s$。

在椭圆上，能量只取决于其尺寸，$E=-GMm/(2a)$。将两个表达式相等，即可得到任意距离处的速度，即活力公式（vis-viva 关系）：
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
对于圆，$r=a$，它化为 $v^2=GM/r$。

例题：动画中的行星

该恒星的质量与太阳相同，$GM=1.327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$；椭圆的 $a=1\mathrm{AU}$，$e=0.5$，因此行星在 0.5 AU 与 1.5 AU 之间摆动，与地球的 $a$ 相同，绕行一周需一年。在近日点，距恒星 $7.48\times 10^{10}\mathrm{m}$ 处，
$g=\frac{1.327\times 10^{20}}{(7.48\times 10^{10}{)}^2}\approx 0.0237m/{\mathrm{s}}^2=23.7mm/{\mathrm{s}}^2$
在三倍远处，它缩小为九分之一，即 2.6 mm/s²。这些是 $F/m$ 读数的两个极值，红色 $F$ 箭头也按同样的倍数缩短。

至于速度，1 AU 处的圆轨道速度为 $\sqrt{GM/a}\approx 29.8km/s$，即地球的公转速度。若距离以 AU 为单位，活力公式给出
$v=29.8\sqrt{2/0.5-1}=29.8\sqrt{3}\approx 51.6km/s$
$v=29.8\sqrt{2/1.5-1}=29.8/\sqrt{3}\approx 17.2km/s$
分别为近日点与远日点的速度，即 $v$ 读数的两端。

速度之比为 3，恰是距离之比的倒数，这正是等面积定律的要求：在长轴两端，速度与径矢垂直，短时间 $\Delta t$ 扫过一个面积为 $\frac{1}{2}rv\Delta t$ 的细三角形，且 $0.5\cdot 51.6=1.5\cdot 17.2$。两点处每千克的能量 $\frac{1}{2}{v}^2-GM/r$ 均为 $-4.4\times 10^{8}J/kg$，即 $-GM/(2a)$。

注意两个箭头之间的夹角。向内运动时，紫色 $v$ 箭头与红色 $F$ 箭头的夹角小于 90°，因此引力有沿运动方向的分量，使行星加速；向外运动时夹角大于 90°，引力使其减速。在近日点与远日点，两箭头垂直，速度瞬时保持不变。

例题：两颗地球卫星

国际空间站大约在离地 400 km 处飞行，因此它距地心 $r=6371+400=6771\mathrm{km}$。地球的 $GM=3.986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$，
$v=\sqrt{\frac{3.986\times 10^{14}}{6.771\times 10^6}}\approx 7672m/s\approx 7.67km/s$
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 6.771\times 10^6}{7672}\approx 5545\mathrm{s}$
约 92 分钟。在该处 $g=GM/r^2\approx 8.7m/{\mathrm{s}}^2$，为地面值的 89 %。

地球静止卫星的绕行周期必须等于地球相对恒星自转一周的时间，即 $T=86164\mathrm{s}$（23 小时 56 分钟），才能悬停在赤道上方的某一点。由第三定律得
$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4.216\times 10^7\mathrm{m}$
即赤道上空约 35 800 km，速度为 $2\pi r/T\approx 3.07km/s$。作为检验，其半径是空间站的 $42164/6771\approx 6.23$ 倍，因此周期应为其 $6.23^{3/2}\approx 15.5$ 倍，事实上 $1436/92.4\approx 15.5$。

常见错误

• 误以为轨道上没有引力。在 400 km 处 $g$ 仍为 8.7 m/s²；宇航员漂浮，是因为他们与空间站一起下落。
• 从地面量取 $r$。若用 400 km 代替 6771 km，空间站速度将算出为 31.6 km/s，而不是 7.67 km/s。
• 以为更重的卫星或更高的轨道需要更大的速度。公式 $v=\sqrt{GM/r}$ 中不含卫星质量，而且地球静止卫星比空间站慢。
• 把最远距离代入第三定律。哈雷彗星的距离范围为 0.59 AU 至 35.1 AU，因此 $a=17.8\mathrm{AU}$，$T=17.8^{3/2}\approx 75$ 年，而不是 208 年。
• 误以为行星加速是因为引力强。在近日点引力达到最大，在动画中为 23.7 mm/s²，但它与速度垂直，因此速度恰好停止增大。

应用场景

导航卫星位于 20 200 km 高空，周期为 12 小时；地球静止气象卫星与电视卫星；潮汐；以及行星与恒星的质量（由其周围轨道借助第三定律推算得出）：这些都以本课为基础。

等面积定律就是角动量守恒（见《角动量及其守恒》）；$U=-GMm/r$ 推广了《功、能与功率》中的 $mgh$；同样的平方反比关系也支配着《库仑定律》中的电荷相互作用；而《引力即时空弯曲》则从“一切物体以相同加速度下落”这一事实出发。

高级

从苹果到月球

本节给出力的规律，以及第一批证据：同一定律既支配地面，也支配天空。两个质量分别为 $M$ 与 $m$、相距 $r$ 的物体，以大小为 $GMm/r^2$ 的力相互吸引，其中 $G$ 为引力常量。用矢量形式表示，取 $M$ 为原点、$m$ 位于位置 $\vec{r}$，则
$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$
其中 $\hat{r}$ 为从 $M$ 指向 $m$ 的单位矢量。负号使力指回 $M$：引力是吸引力。

牛顿的第一项检验是将月球与落下的苹果相比。若引力按 $1/r^2$ 减弱，则在 60 个地球半径处，引力应比地表弱 $60^2=3600$ 倍。月球距离 $r=3.844\times 10^8\mathrm{m}$，约为 60 个地球半径，绕地球一周需 27.32 天（$T=2.36\times 10^6\mathrm{s}$）。要保持在圆轨道上，它需要的向心加速度为
$a_c=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 2.72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
而平方反比定律预言 $g/60^2=9.81/3600\approx 2.72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$。两者一致：苹果与月球遵循同一定律。

为什么距离可以从地球中心量起？这是因为壳层定理：均匀球壳对壳外质点的引力，与把整个球壳的质量集中于球心时完全相同；对壳内质点则不施加任何合力。行星可看作由许多这样的球壳套成，因此从外部看，它的作用与质点相同。在均匀行星内部，只有比该点更靠近中心的那些球壳产生引力。它们的质量随 $r^3$ 增长，而单位质量所受的引力随 $1/r^2$ 减小，因此 $g$ 与 $r$ 成正比，在中心处减为零。

一旦知道了 $G$，同一定律就可以称出地球的质量。卡文迪许于 1798 年用扭秤测定了 $G$。地表处 $g=GM/R^2$，其中 $R$ 为地球半径，因此 $M=g{R}^2/G\approx 5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$。这相当于平均密度 5.5 g/cm³，是地表岩石的两倍，因此地球深部，尤其是地核，密度必定大得多。

由角动量得出等面积定律

开普勒发现，从恒星到行星的连线在相等时间内扫过相等的面积，因此行星靠近恒星时运动得快，远离时运动得慢。本节将说明，他的规律就是角动量守恒的另一种形式。

图例

$M$	恒星，质量为 $M$。	$\mathrm{kg}$
$r$	恒星到行星的距离。	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	恒星对行星的引力，沿径向指向 $M$。	$\mathrm{N}$
$\vec{v}dt$	行星在短时间 $dt$ 内的位移：速度乘以时间。	$\mathrm{m}$
$dr$	步长沿径向的分量：即 $r$ 的变化量。	$\mathrm{m}$
$rd\theta$	步长垂直于径向的分量：半径为 $r$ 的一段弧。	$\mathrm{m}$
$d\theta$	步长中径矢转过的角度。	$\mathrm{rad}$
$dA$	步长中径矢扫过的细三角形面积。	${\mathrm{m}}^2$

图 1 放大展示了行星位于距离 $r$ 处（恒星为 $M$）时的一个短小步长。径矢的方向由角 $\theta$ 给出。在很短的时间 $dt$ 内，行星移动了 $\vec{v}dt$，即蓝色箭头。将这一步分为两部分。沿径向的部分 $dr$ 只改变距离，它不扫过任何面积，因为它只是让行星沿其原本所在的直线滑动。与径向垂直的部分是短弧 $rd\theta$，它是径矢转过小角 $d\theta$ 时画出的。只有这一部分扫过新的面积：金色三角形，底为 $r$，高为 $rd\theta$，因此 $dA=\frac{1}{2}r\cdot rd\theta$。

除以 $dt$ 即得面积速率，即单位时间扫过的面积：$dA/dt=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$，其中 $\dot{\theta }=d\theta /dt$ 是径矢的转动速率。行星垂直于径向的速率为 $r\dot{\theta }$，因此它绕恒星的角动量大小为 $L=mr\cdot r\dot{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$。于是
$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$

现在看图 1 中的引力 $\vec{F}$：它沿径向指向 $M$。因此力矩 $\vec{r}\times \vec{F}$ 为零，因为两个平行矢量的叉积为零；没有力矩，角动量 $\vec{L}$ 便不能改变。其大小 $L$ 决定面积速率，这就是开普勒第二定律。其方向同时垂直于 $\vec{r}$ 和 $\vec{v}$，也永不改变，因此轨道保持在一个平面内。

这里并未用到 $1/r^2$。对于任何有心力，即任何沿着指向固定中心的连线的力，等面积定律都成立。因此，开普勒第二定律检验的是力的方向，而不是它的大小随距离如何变化。

动画中的行星使这一点变得具体。它绕一个质量为一个太阳质量的恒星运行，轨道为半长轴 $a=1\mathrm{AU}$（最长直径的一半）、偏心率 $e=0.5$ 的椭圆（表示椭圆扁平程度的量：圆为 0，越细长越接近 1）。其半短轴，即最短直径的一半，为 $b=a\sqrt{1-e^2}\approx 0.866\mathrm{AU}$，而其周期，正如下文的第三定律所示，为一年。在专家视图中，每个金色扇形在周期的八分之一内扫过，约 45.7 天，因此两者各占椭圆面积的八分之一，即 $\pi ab/8\approx 0.34\mathrm{A}{\mathrm{U}}^2$。位于近日点（离恒星最近的点）的扇形短而宽；位于远日点（最远点）的扇形长而窄。

在长轴两端，速度与径矢垂直，因此此处恰有 $L/m=rv$。利用下文由活力公式求得的速度，即在 0.5 AU 处为 51.6 km/s，在 1.5 AU 处为 17.2 km/s，两端都得到 $0.5\cdot 51.6=1.5\cdot 17.2\approx 25.8\mathrm{AU}\cdot km/s$，这正是应有的结果。

能量与径向运动

仅凭角动量无法确定行星与恒星的最近距离，或它能偏离多远。能量可以，它把轨道问题化为关于距离 $r$ 的一维问题。

图例

$U_{eff}$	径向运动的有效势能：$L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$。	$\mathrm{J}$
$E$	总能量：沿轨道保持不变，束缚轨道中为负；以水平线表示。	$\mathrm{J}$
$r$	离恒星的距离。	$\mathrm{m}$
$r_{\min }$	近日点距离 $a(1-e)$：内侧转折点，此处 $\dot{r}=0$。	$\mathrm{m}$
$r_{\max }$	远日点距离 $a(1+e)$：外侧转折点，此处 $\dot{r}=0$。	$\mathrm{m}$
$K_r$	径向动能 $\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$：即 $E$ 与 $U_{eff}$ 之间的间隙。	$\mathrm{J}$
$\frac{L^2}{2m{r}^2}$	离心项：距离 $r$ 处横向运动的动能。	$\mathrm{J}$
$U$	引力势能，$-GMm/r$。	$\mathrm{J}$

先看势能。取 $U=0$ 为两物体相距无穷远时的值。则距离 $r$ 处的 $U$ 为引力在 $m$ 从 $r$ 移到无穷远的过程中所做的功，${\int }_r^{\infty }(-GMm/r^{\prime 2})d{r}^{\prime }$，由此得
$U=-\frac{GMm}{r}$
它处处为负，并在远处趋于零：图 2 中较低的虚线曲线即 $U$。

接着看动能。将速度分为径向部分 $\dot{r}$（距离的变化率）与横向部分 $r\dot{\theta }$。由 $L=m{r}^2\dot{\theta }$，横向部分等于 $L/(mr)$，因此其动能为 $L^2/(2m{r}^2)$。于是守恒的总能量为
$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$

由于 $L$ 为常量，后两项仅依赖于 $r$，因此可以合并视为径向运动的单一势能，即有效势能 $U_{eff}$，图 2 中的紫色曲线。它是两条虚线曲线之和。上方那条即离心项 $L^2/(2m{r}^2)$，随 $r$ 减小而陡升；它充当离心势垒，使行星不致落入恒星。下方那条是 $U$。靠近时势垒占优，远处则引力占优，两者之间的和形成一个势阱。

现在像看山谷中滚动的小球那样读这张图。能量 $E$ 是水平虚线，在每个 $r$ 处都相同。该水平线与紫色曲线之间的间隙即径向动能 $K_r=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2$。它不可能为负，因此行星只能位于曲线低于水平线的区域。

如图所示，对于 $E<0$，水平线与曲线相交于两个转折点 $r_{\min }$ 与 $r_{\max }$。在这两点 $K_r=0$，因此 $\dot{r}=0$：距离停止减小或增大并折返。于是距离在 $r_{\min }$（近日点）与 $r_{\max }$（远日点）之间振荡。若水平线恰好与势阱底部相切，两个转折点合并，轨道即为圆。对于 $E\ge 0$，水平线仅在势垒处与曲线相交一次，行星逃逸到无穷远。

轨道的形状

图 2 给出了距离的范围，但没有给出行星所走的曲线。要求出曲线，需将径向运动方程改写为以角度 $\theta$ 而非时间表示。

沿径向，牛顿第二定律写作 $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-GMm/r^2$；项 $-r{\dot{\theta }}^2$ 即由径矢转动产生的向心加速度。有两个变换使方程可解。第一，取 $u=1/r$ 作为变量。第二，以角度代替时间，利用 $\dot{\theta }=L/(m{r}^2)=(L/m)u^2$。于是 $\dot{r}=-(L/m)du/d\theta$，$\ddot{r}=-(L/m{)}^2{u}^2{d}^{2}u/d{\theta }^2$，两边除以 $-m(L/m{)}^2{u}^2$ 后，定律变为线性：
$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{GM{m}^2}{L^2}$

这是一个受恒定力作用的简谐振子方程，其解为该常数加上一个余弦：$u=(1+e\cos \theta )/p$，其中 $p=L^2/(GM{m}^2)$，$\theta$ 从近日点量起。用 $r$ 表示，
$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$
这是以恒星为焦点的圆锥曲线：$e<1$（$E<0$）时为椭圆，$e=1$（$E=0$）时为抛物线，$e>1$（$E>0$）时为双曲线。对于椭圆，近日点 $\theta =0$、远日点 $\theta =\pi$ 分别给出 $r_{\min }=p/(1+e)$ 与 $r_{\max }=p/(1-e)$。二者之和为长轴 $2a$，因此 $p=a(1-e^2)=b^2/a$，$r_{\min }=a(1-e)$，$r_{\max }=a(1+e)$。

平方反比定律是特殊的。由贝特朗定理，只有两种力能给出总是闭合的束缚轨道：平方反比力与线性弹簧力。在任何其他幂律下，束缚轨道都不闭合，其近日点每绕一圈都会略微移动。

能量决定椭圆的大小。在任一转折点 $\dot{r}=0$，因此 $E=L^2/(2m{r}^2)-GMm/r$。两边乘以 $r^2$，得到一个二次式 $E{r}^2+GMmr-L^2/(2m)=0$，其两根即 $r_{\min }$ 与 $r_{\max }$。二次方程的两根之和等于中间项系数的相反数除以首项系数，因此 $r_{\min }+r_{\max }=-GMm/E$。该和为 $2a$，于是
$E=-\frac{GMm}{2a}$
能量决定大小 $a$；对于给定的 $a$，角动量决定 $p$，进而决定形状 $e$。

令其等于轨道上任一点的能量 $\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$，再除以 $m/2$，即得活力公式，动画中的速度读数即由它给出：
$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$
在圆上，$r=a$，$v^2=GM/r$；在距太阳 1 AU 处，这为 29.8 km/s，即地球的公转速度。对于动画中的行星，$a=1\mathrm{AU}$，速度为 $29.8\sqrt{2/r-1}km/s$，其中 $r$ 以 AU 为单位：近日点为 51.6 km/s，远日点为 17.2 km/s。

开普勒第三定律

第三定律将周期与轨道大小联系起来，反过来用，还可以称出中心天体的质量。

在一个周期内，径矢扫过整个椭圆，其面积为 $\pi ab$，面积速率恒为 $L/(2m)$，因此 $T=2\pi abm/L$。两边平方得 $T^2=4{\pi }^2{a}^2{b}^2{m}^2/L^2$。由轨道方程 $L^2=GM{m}^{2}p$，且 $p=b^2/a$，故 $L^2=GM{m}^2{b}^2/a$。代入后，$b^2$ 与 $m^2$ 相消：
$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$
周期只取决于 $a$，而与形状无关：半径为 1 AU 的圆，以及动画中 $a=1\mathrm{AU}$、$e=0.5$ 的椭圆，都需要一年。

反过来用，这一定律可以称出太阳的质量。地球的轨道 $a=1.496\times 10^{11}\mathrm{m}$，$T=3.156\times 10^7\mathrm{s}$，由此得 $GM=4{\pi }^2{a}^3/T^2\approx 1.327\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$，进而得太阳质量为 $1.99\times 10^{30}\mathrm{kg}$。

沿轨道的时间：开普勒方程

到目前为止的定律给出了轨道形状与周期，却未说明行星在某一时刻位于何处。这还需要再引入一个角度，即偏近点角，并为它建立一个方程。

图例

$O$	椭圆与虚线圆的中心。
$M$	恒星，位于椭圆的一个焦点上；其质量为 $M$。	$\mathrm{kg}$
$a$	半长轴：从中心到长轴端点的距离；也是虚线圆的半径。	$\mathrm{m}$
$b$	半短轴：从中心到短轴端点的距离。	$\mathrm{m}$
$ae$	中心到恒星的距离：偏心率 $e$ 乘以 $a$。	$\mathrm{m}$
$r$	恒星到行星的距离。	$\mathrm{m}$
$\psi$	偏近点角：在 $O$ 处，从轴（朝近日点方向）到行星正上方圆上点的角度。	$\mathrm{rad}$

图 3 画出了椭圆，其中心为 $O$，半长轴为 $a$，半短轴为 $b$。恒星 $M$ 位于一个焦点上，与 $O$ 相距 $ae$；近日点是长轴位于恒星一侧的端点。以 $O$ 为圆心画出半径为 $a$ 的虚线圆，它与椭圆在长轴两端相切。自行星向长轴作一条垂线（细虚线），直至与圆相交。由 $O$ 到圆上该点的连线与指向近日点的轴成角 $\psi$：此角即偏近点角。

将圆沿轴方向按 $b/a$ 的比例压缩，即得椭圆，因此从 $O$ 量起，行星位于 $(a\cos \psi ,b\sin \psi )$，而恒星位于 $(ae,0)$。由勾股定理可得二者之间的距离；利用 $b^2=a^2(1-e^2)$，各项合并为一个完全平方：
$r^2=a^2(\cos \psi -e{)}^2+b^2{\sin }^2\psi =a^2(1-e\cos \psi {)}^2$
即 $r=a(1-e\cos \psi )$：在 $\psi =0$ 时最小，为 $a(1-e)$；在 $\psi =\pi$ 时最大，为 $a(1+e)$。

现在看时间。由面积定律，自近日点起算的时间 $t$ 与此后扫过的面积成正比，且 $t/T$ 等于该面积除以整个椭圆的面积 $\pi ab$。在圆上求面积较为容易，之后再压缩即可。在圆上，从近日点到角度为 $\psi$ 的点、从恒星看去所扫过的区域，是以 $O$ 为顶点、张角为 $\psi$ 的扇形，面积为 $\frac{1}{2}{a}^2\psi$，再减去以 $O$、恒星及该点为顶点的三角形。该三角形底为 $ae$，高为 $a\sin \psi$，因此面积为 $\frac{1}{2}{a}^{2}e\sin \psi$。按 $b/a$ 压缩会使每个面积都缩小相同的倍数，因此椭圆上扫过的面积为 $\frac{1}{2}ab(\psi -e\sin \psi )$。除以 $\pi ab$ 再乘以 $2\pi$，即得开普勒方程：
$\frac{2\pi t}{T}=\psi -e\sin \psi$

已知 $\psi$，时间即可立即算出；已知时间，$\psi$ 却没有闭式解。动画在每个时间步用牛顿迭代法求出 $\psi$，再求得位置。专家视图中的 $r(t)$ 图显示了结果：在 1.5 AU 处是宽阔平坦的峰，在 0.5 AU 处是窄而尖锐的谷。行星在 $\psi =\pi /2$ 与 $\psi =3\pi /2$ 处穿过短轴；将这两个值代入开普勒方程可知，它在短轴远离恒星一侧所花的时间占一年的 $\frac{1}{2}+e/\pi \approx 0.66$，约 241 天，而在近恒星一侧仅需 124 天。

例题：转移轨道

开普勒轨道也是航天器的飞行方式。绕同一恒星的两个圆轨道之间，耗费最少的双次点火路线是霍曼转移：一个同时与两圆相切的椭圆的一半。

图例

$M$	恒星，位于两圆的中心；其质量为 $M$。	$\mathrm{kg}$
$r_1$	内侧圆轨道的半径，航天器由此出发。	$\mathrm{m}$
$r_2$	外侧圆轨道的半径，即目的地。	$\mathrm{m}$
$\Delta v_1$	第一次前向点火，位于内圆：由圆轨道速度加速到椭圆的近日点速度。	$m/s$
$\Delta v_2$	第二次前向点火，位于远日点，即椭圆的远端：由远日点速度加速到圆轨道速度。	$m/s$

图 4 按比例画出了 $r_1=0.5\mathrm{AU}$ 与 $r_2=1.5\mathrm{AU}$ 的情形，因此转移椭圆即动画中的椭圆。航天器从内圆出发。前向点火 $\Delta v_1$ 使其进入一个椭圆，该椭圆的近日点与内圆相切，远日点与外圆相切。因此其长轴为 $r_1+r_2$，即 $a=(r_1+r_2)/2=1\mathrm{AU}$。只飞行椭圆的实线半圈；在其远端，第二次前向点火 $\Delta v_2$ 使轨道变为圆形。

第一次点火。在圆上，活力公式给出 $v=\sqrt{GM/r}$，因此在 $r_1$ 处的圆轨道速度为 $29.8\sqrt{2}\approx 42.1km/s$。转移椭圆需要近日点速度 51.6 km/s，因此 $\Delta v_1=9.5km/s$。

第二次点火。半圈之后，即经过 $T/2\approx 183$ 天，航天器以 17.2 km/s 的速度到达远日点。这低于该处的圆轨道速度 $29.8/\sqrt{1.5}\approx 24.3km/s$，因此 $\Delta v_2=7.1km/s$。

两次点火都是向前推进，合计 16.6 km/s，然而航天器最终却比出发时慢了 17.8 km/s。能量解开了这个悖论。每千克圆轨道的总能量为 $E=-GM/(2r)$，动能为 $GM/(2r)=-E$，势能为 $-GM/r=2E$。从 $r_1$ 到 $r_2$，总能量由 $-8.87\times 10^8$ 升至 $-2.96\times 10^{8}J/kg$，因此发动机提供了 $5.91\times 10^{8}J/kg$。势能增加其两倍，即 $1.18\times 10^{9}J/kg$，动能则减少 $5.91\times 10^{8}J/kg$ 以补足差额。轨道越高越慢，但其所含能量越多。

从地球到火星的同一路线，即从 1 AU 到 1.52 AU，其 $a\approx 1.26\mathrm{AU}$。取 $T$ 为年、$a$ 为 AU，第三定律写作 $T=a^{3/2}$，因此航程为 $\frac{1}{2}\cdot 1.26^{3/2}\approx 0.707$ 年，约 258 天。

超出两质点的情形

真实系统与一个质点绕另一个固定质点运动的情形有三点不同：两个天体都在运动，天体有一定大小，而且通常不止两个天体。

两个天体绕其共同质心运动，它们的相对轨道遵循相同的定律，只需将 $M$ 换为 $M+m$：$T^2=4{\pi }^2{a}^3/(G(M+m))$。地月质心位于距地心 4670 km 处，在地球内部；太阳–木星质心位于距太阳中心 1.07 个太阳半径处，略高于其表面。恒星绕这类点的微小摆动，揭示了其他恒星周围的行星。

有限大小的物体还会感受到场在其自身范围内的变化。质量为 $M$、距离为 $d$ 处的物体所产生的场 $GM/d^2$，在地球半径 $R$ 范围内的变化量约为 $R$ 乘以其随距离的变化率，即 $2GMR/d^3$。对月球而言，这一数值为 $1.1\times 10^{-6}m/{\mathrm{s}}^2$：即潮汐加速度，它将海洋拉伸成两个隆起，一个朝向月球，一个位于背面。太阳在地球处的场约为月球的 180 倍，但其潮汐效应只有月球的约一半，因为差值按 $1/d^3$ 减小，而太阳距离约为月球的 390 倍。

其他行星会扰动每条轨道；它们使水星近日点每世纪前进约 530″。地球的赤道隆起会使卫星轨道平面转动，对于为与太阳同步而选取的近极轨道，约每天 1°。对于三个或更多天体，不存在通用公式，行星星历表来自数值积分。

适用范围

平方反比定律已在从小于十分之一毫米的间距直到行星距离的范围内得到证实，引力质量与惯性质量的相等性也已精确到约 $10^{15}$ 分之一。牛顿引力是广义相对论在弱场、低速下的极限。修正的大小由无量纲数 $GM/(r{c}^2)$ 决定，其中 $c$ 为光速：在地球表面约为 $7\times 10^{-10}$，在距太阳 1 AU 处约为 $1\times 10^{-8}$。

尽管修正很小，但它们是可以测量的。水星近日点每世纪额外前进 43″；动画中的行星，取 $a=1\mathrm{AU}$ 与 $e=0.5$，每世纪会转动约 5″。位于 20 200 km 高空的导航卫星所载的钟，因引力较弱，相对地面的钟每天快约 46 微秒；而其轨道速度又使它们慢约 7 微秒，净快约 38 微秒。在中子星附近，$GM/(r{c}^2)\approx 0.2$；在黑洞视界处，该值达到 0.5，牛顿定律完全失效。

引力也极其微弱：两个电子之间的电斥力，比它们之间的引力约大 $4\times 10^{42}$ 倍。引力之所以支配天空，只因为质量只有一种符号，因此总是相加；而大天体中的正负电荷则相互抵消。在约 $1.6\times 10^{-35}\mathrm{m}$ 的普朗克长度上，引力与量子力学都将起作用，而目前尚无经过检验的理论能覆盖这一区域。

延伸与联系

等面积定律即《角动量及其守恒》中所遇到的角动量守恒；$U=-GMm/r$ 是《功、能与功率》中 $mgh$ 的一般形式。同样的平方反比关系支配着《库仑定律》中的电荷；其场的图像在《电场与电势》中延续；而电子在《原子模型：玻尔原子》中以量子化角动量作开普勒式轨道运动。

在均匀的地球内部 $g\propto r$，这是一个随离中心距离增大而增大的回复力，这正是《简谐运动》的条件：一列在穿过地心、无摩擦隧道中行驶的列车将在约 42 分钟内穿越，即贴地飞行的轨道周期 84 分钟的一半。最后，引力质量与惯性质量相等，是《引力即时空弯曲》的出发点，在那里，轨道成为弯曲时空中最直的路径。