声音与多普勒效应

入门

看一只鸭子在平静的池塘上划水。它不断产生新的涟漪，但每一道都从它产生时所在的位置向外扩散。鸭子前方的涟漪挤在一起；后方的涟漪则相隔很远。运动的警笛在空气中发出的声音也完全如此，动画中的蓝环正是这种效果。

你的耳朵把音调感知为波峰到达的频繁程度。前方的听者接收到的波峰挤在一起、到达频繁，所以警笛听起来更高。后方的听者接收到的波峰分得很开、到达稀少，所以听起来更低。警笛本身的音调从不改变：司机始终正常听到它。这种由运动引起的音调变化，就是多普勒效应。

反过来也成立。朝静止的铃铛跑去，你遇到它的波峰比站着不动时更早，所以音调听起来略高；跑离它，音调就会降低。

有两个常见误解。随着救护车靠近，音调并不会一直升高：它在靠近的整个过程中都保持高，在远离的整个过程中都保持低，并在经过时降低。靠近只会让声音变响，那是另一种效应。

如果声源比自己的波还快呢？那么它会把所有波峰抛在身后，这些波峰沿着一个 V 形堆积，就像快艇的尾迹。对空气中的声音而言，这种堆积就是声爆：飞机只要以超过声速的速度飞行，就会一直听到它，而不只是在刚达到该速度的那一刻。

自测：一辆汽车在远离你时鸣笛。你听到的音调比司机听到的更高还是更低？（更低。）

中级

我们测量什么，从哪里测量

空气中的声音是一种疏密相间的传播图样。声源每秒振动 $f$ 次，这就是它的频率，单位为赫兹（Hz），它每经过一个周期 $T=1/f$ 就发出一个波峰。波峰以声速 $v$ 传播，这一速度由空气决定，而非由声源决定：在 20 °C 时约为 343 m/s。相邻波峰相距一个波长 $\lambda =v/f$，在 340 m/s 的空气中，400 Hz 的声音波长为 0.85 m。

听者关心的是另一件事：每秒到达耳朵的波峰数。这个听到的频率 $f^{\prime }$ 就是耳朵感知到的音调；没有任何运动时，$f^{\prime }=f$。多普勒效应正是由运动引起的这种差异。所有速度都相对于空气测量：$v_s$ 为声源的速度，$v_o$ 为听者（观察者）的速度，二者都沿连接它们的直线运动。

运动声源改变波长

波峰一旦离开声源，无论声源接下来如何运动，它都以 $v$ 从发射点向外传播。设声源以 $v_s$ 朝听者运动。在一个周期内，最后发出的那个波峰向前传播了 $vT$，而声源在同一时间追着它前进了 $v_{s}T$，因此在声源前方，波峰更加密集：
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(in front of the source)}$

声源后方的间距为 $(v+v_s)/f$。波峰仍以 $v$ 传播，因此前方静止的听者每秒接收到 $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ 个波峰，多于 $f$；后方的听者接收到 $fv/(v+v_s)$ 个，更少。

运动的听者则是另一回事。静止的声源保持正常间距 $\lambda =v/f$，朝它以 $v_o$ 运动的听者，以相对速度 $v+v_o$ 遇到其波峰，因此 $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$。声源运动改变的是空气中的波长；听者运动只改变遇到波峰的频繁程度。

多普勒公式

对于沿连接声源与听者的直线运动，且所有速度都相对于空气，三种基本情形如下：

• 声源靠近：$f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(source approaching)}$
• 声源远离：$f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(source receding)}$
• 观察者靠近：$f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(observer approaching)}$

两者同时运动时，效应相乘：接近时 $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$，速度方向背离时其符号改变。检验每个答案：接近使频率升高，远离使其降低，若相对于空气没有任何运动，则 $f^{\prime }=f$。在救护车正前方以相同速度 $u$ 行驶的汽车，听到的是 $f(v-u)/(v-u)=f$，与救护车司机听到的相同。

例题：动画中的警笛

动画为了便于看清波峰的密集程度，夸大了运动。警笛发出 $f=400\mathrm{Hz}$，并以 $v_s=170m/s$ 运动，即声速 $v=340m/s$ 的一半。静止时，它的波峰间距为 $\lambda =340/400=0.85\mathrm{m}$。在它的前方和后方，
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0.425\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{0.425}=800\mathrm{Hz}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1.275\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{1.275}\approx 267\mathrm{Hz}$

这些就是屏幕上的数字。紫色读数是前方紫色听者听到的 800 Hz，绿色读数是后方绿色听者听到的 267 Hz，底部两角的标签显示波长，分别取整为 0.43 m 和 1.28 m。蓝环在前方的间距是静止时空隙的一半，在后方则是其 1.5 倍；橙红色的 $v_s$ 箭头表示警笛的速度。

每一侧都可以自检：$f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0.425=340m/s$；波峰保持速度，变化的只是间距。被这辆警笛驶过的听者，听到的音调按 $(v+v_s)/(v-v_s)=3$ 的比值下降，即一个八度加一个纯五度。

例题：经过的救护车

一辆救护车发出 700 Hz 的警笛，在声速为 $v=343m/s$ 的天气里以 25 m/s（90 km/h）行驶。站在路边，你听到的是
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Hz}$
分别对应它经过之前和之后：下降约 103 Hz，比值 $368/318\approx 1.16$，超过一个全音（1.12）。

现在你自己以 20 m/s 驶向救护车。相遇前两者都在靠近，相遇后两者都在远离：
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Hz}$
下降幅度增加到约 185 Hz，因为两种运动现在都起作用。

最后交换角色。你以 25 m/s 驶向一个静止的 700 Hz 警报器，听到 $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Hz}$，比运动的救护车所给出的值少约 4 Hz：在行车速度下差值很小，但确实存在，因为只有声源的运动会改变空气中的波长。

读懂波前图

动画中的每个蓝环都是一个波峰，其圆心位于警笛发出该波峰时的位置，而不是它现在的位置。圆心沿道路排成一列，最新发出、最小的环离警笛最近。波峰间距在正前方最小，正后方最大，中间平滑过渡。

路边的听者会听到这种图样扫过。当警笛还在前方很远的路上时，传到她那里的波峰几乎与正前方的一样被压缩；当它已在后方很远的路上时，则几乎与正后方的一样被拉伸。在两者之间，音调滑落，而她离道路越近，滑落得越突然。这些环表示的是音调而非响度：声音也会随着警笛靠近而变响，因为其功率分布在越来越小的球面上。

常见错误

• 随着声源靠近，音调并不会升高。以稳定的 25 m/s 直冲你而来的警笛，始终是 755 Hz；只有响度增加，每当距离减半，响度约增加 6 dB。
• 声源与观察者的运动不可互换。在 340 m/s 的空气中，以 30 m/s 接近的 500 Hz 警笛被听到的是 548 Hz；以 30 m/s 接近静止警笛的听者听到的是 544 Hz。
• 速度是相对于空气测量的。10 m/s 的风会把沿风向传播的声速改为 353 或 333 m/s，但如果声源和听者都静止，每个波峰到达所需的时间相同，音调仍保持为 $f$。
• 运动不会改变声源本身。随救护车一起运动的司机，听到的是其真实音调：动画中为 400 Hz，救护车中为 700 Hz。
• 不要把速度加到频率上。以 30 m/s 接近的 500 Hz 声源给出 548 Hz，而不是 530 Hz。接近时必须高于 $f$，远离时则低于它，这里远离时为 459 Hz。

在哪里遇到它

测速枪测量微波回波的多普勒频移，多普勒超声显示动脉中流动的血液，气象雷达绘制风暴内部的风场，蝙蝠则通过回波的音调追踪昆虫。天文学家从谱线的移动读出恒星的运动：退行为红移，靠近为蓝移；并从恒星因行星引起的摆动中，发现其他恒星周围的行星。

下一课《响度、声强与分贝》讲的是你听到警笛靠近时的另一种变化，即响度的增加。《干涉与叠加》解释仪器用来测量微小频移的拍频，《狭义相对论》则说明多普勒效应对光如何起作用，因为光没有可用来衡量速度的空气。

高级

计数波峰：运动声源

频率为 $f$ 的警笛以速度 $v_s$ 在静止空气中行驶，空气中声速为 $v$，听者 $C$ 静止不动。为什么 $C$ 听到的音调 $f^{\prime }$ 与 $f$ 不同？最简洁的答案来自对波峰的计数。音调就是每秒到达的压强波峰数，因此我们只需要相邻两个波峰到达之间的时间。图 1 给出了这一计数的设置。

图例

$C$	在静止空气中静止不动的听者。
$S_n$	警笛发出第 $n$ 个波峰时所在的位置。
$S_{n+1}$	一个周期后发出第 $n+1$ 个波峰时所在的位置。
$T$	警笛的周期，$T=1/f$。	$\mathrm{s}$
$v_{s}T$	警笛在一个周期内沿其速度方向移动的距离。	$\mathrm{m}$
$r_n$	波峰 $n$ 的路径长度，从 $S_n$ 到 $C$。	$\mathrm{m}$
$r_{n+1}$	波峰 $n+1$ 的路径长度，从 $S_{n+1}$ 到 $C$。	$\mathrm{m}$
$\theta$	发射时刻，警笛速度与通向 $C$ 的直线之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$v_{s}T\cos \theta$	步长 $v_{s}T$ 在通向 $C$ 的直线上的分量：即第二条路径短了多少。	$\mathrm{m}$

可以把警笛想象成一只钟，每个周期 $T=1/f$ 发出一个波峰。第 $n$ 个波峰在时刻 $nT$ 从点 $S_n$ 发出。第 $n+1$ 个波峰在一个周期后从 $S_{n+1}$ 发出，因为在这一周期内警笛沿道路移动了距离 $v_{s}T$：即图 1 中从 $S_n$ 指向 $S_{n+1}$ 的箭头。

波峰一旦离开，警笛对它便不再有影响：它以速度 $v$ 沿直线穿过空气到达 $C$。第 $n$ 个波峰经过路径 $r_n$，第 $n+1$ 个波峰经过路径 $r_{n+1}$，因此它们到达的时刻为
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
这两次到达之间的时间，就是听者听到的周期：
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

因此，一切都取决于第二条路径与第一条相差多少。看图 1 中从 $S_{n+1}$ 垂直落到第一条路径上的虚线。与到 $C$ 的距离相比，步长 $v_{s}T$ 很小（一个周期只持续几毫秒），所以两条路径几乎平行。于是第二条路径比第一条短，短的部分就是第一条路径上介于 $S_n$ 与该虚线垂足之间的那一段。这一段就是步长在通向 $C$ 的直线上的分量，即 $v_{s}T\cos \theta$，其中 $\theta$ 是在 $S_n$ 处警笛速度与通向 $C$ 的直线之间的夹角。因此
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

代入 $T^{\prime }$ 得 $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$。频率是周期的倒数，因此
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

三个方向能说明公式的含义。正前方 $\theta =0$，得到 $fv/(v-v_s)$：波峰被挤在一起，音调升高。这种情形在任何距离都是精确的，因为两条路径此时都在同一直线上。正后方 $\theta =180^{\circ }$，得到 $fv/(v+v_s)$：波峰被拉开，音调降低。侧面 $\theta =90^{\circ }$ 时没有频移，因为与视线垂直的步长在一阶近似下不改变到 $C$ 的距离。

有两点容易被忽略。第一，只有径向分量 $v_s\cos \theta$ 起作用，即速度中沿通向听者的直线的部分；横向运动不起作用。第二，$\theta$ 取的是发射时刻的角度，而不是听到的时刻的角度。你现在听到的波峰，是在一段传播时间 $r/v$ 之前发出的，即所谓的推迟时刻，那时警笛位于别处。下面的路边例子表明，这种延迟很容易被听出来。

计数相位：运动的观察者

现在交换角色：警笛静止，听者运动。此时空气中携带的波峰与听者静止时完全相同，间距均匀；波本身没有任何变化。改变的是运动的听者遇到波峰的频繁程度。时空图（图 2）使这一计数清晰可见。

图例

$x$	沿声源到听者连线的位置；声源位于 $x=0$。	$\mathrm{m}$
$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$T$	声源发出的相邻两个波峰之间的时间：即周期。	$\mathrm{s}$
$T^{\prime }$	走动的听者遇到的相邻两个波峰之间的时间，此处为 $2T/3$。	$\mathrm{s}$
$\lambda$	波长：相邻波峰之间的距离，$\lambda =vT$。	$\mathrm{m}$
$v_o$	走向声源的听者的速度，此处为 $v/2$。	$m/s$

在图 2 中，位置 $x$ 向右为正，时间 $t$ 向上为正，声源位于竖直轴上的 $x=0$ 处。它每个周期 $T$ 发出一个波峰。每个波峰以速度 $v$ 向右运动，因此在图中它是一条倾斜的直线，每个周期前进一个波长 $\lambda =vT$。这就是为什么波峰线彼此平行，并且每覆盖一个 $\lambda$ 就上升 $T$。

静止的听者在图中是一条竖直线，她每 $T$ 穿过一条波峰线。图 2 中的听者以 $v_o=v/2$ 走向声源，因此她的轨迹向轴线倾斜，斜插进波峰线中，穿越它们的次数更多。她与波峰以 $v+v_o$ 的速度相互靠近，而波峰间距为 $\lambda$，所以相邻两个波峰到达的时间间隔变为 $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$，图中以 $T^{\prime }$ 标出。在静止听者遇到四个波峰的时间 $4T$ 内，她会遇到六个。

用符号表达的同一计数，要用到波的相位。把波写成 $\omega t-kx$ 的函数，角频率 $\omega =2\pi f$，波数 $k=\omega /v=2\pi /\lambda$。相邻两个波峰之间相位增加 $2\pi$，所以数相位的弧度数就是在数波峰。从 $x_0$ 出发并走向声源的听者位于 $x=x_0-v_{o}t$，因此她所经历的相位为
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
它以 $\omega +k{v}_o$ 的速率增长，因此
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
在时间 $t$ 内多出的 $k{v}_{o}t$ 弧度，就是她多走入的波峰数：即图 2 中她轨迹的倾斜。若她远离，$v_o$ 变号，音调降低。

声源与观察者：并非相同的频移

两个结果看起来相似，但并不相同。令两种情形的速度都为 $u$，并记 $\beta =u/v$。以 $u$ 朝你运动的声源会使频率乘以
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
而以 $u$ 朝声源运动的你则乘以 $1+\beta$。二者在 $\beta$ 的一阶近似下一致，相差 ${\beta }^2/(1-\beta )$，因此只有当 $u$ 占 $v$ 相当大的比例时，这一差异才有影响。

在行车速度下，这一差异很小，但可以测量。声速为 340 m/s、速度为 30 m/s 时，$\beta \approx 0.088$，差异为 $f$ 的 0.85 %：500 Hz 的警笛运动时，听到的是 548.4 Hz；听者运动时，听到的是 544.1 Hz，二者相差 4.3 Hz。在动画中的马赫 0.5（$u=v/2$）时，差异十分显著：以 170 m/s 冲向静止的 400 Hz 警笛的听者听到 600 Hz，而以 170 m/s 冲向静止听者的警笛则被听到为 800 Hz。

为什么空气会确定一个参考系

这种不对称并不是悖论。空气是真实的物理介质，它静止时所在的参考系是特殊的：这些公式中的“运动”始终指相对于空气的运动。

要看频率如何在参考系之间变化，可以从沿 $x$ 方向以速度 $u$ 运动的参考系来描述同一个波。其位置坐标为 $x^{\prime }$，满足 $x=x^{\prime }+ut$，且时钟不变。相位变为
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
波数仍为 $k$，因此对每个观察者而言波长都相同；只有频率改变，变为 $\omega -ku$。朝声源走去的听者有 $u=-v_o$，由此得到 $\omega +k{v}_o$。

运动声源也符合同一规则。在声源自己的参考系中，空气以 $v_s$ 的速度像风一样从它身旁向后流过，因此它发出的声音相对于声源只以 $v-v_s$ 向前传播。由于它每秒发出 $f$ 个波峰，这些波峰的间距为 $\lambda =(v-v_s)/f$，而该波长对所有参考系都相同。在空气中，波峰以 $v$ 传播，因此空气中静止的听者听到的是 $v/\lambda =fv/(v-v_s)$，与波峰计数的结果完全一致。

当两者都运动，且处于任意角度时，两个因子相乘：
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
这里 $\theta$ 是发射时刻声源速度与通向观察者的直线之间的夹角，与图 1 相同；$\phi$ 是观察者速度与通向声源方向之间的夹角。

路边听到的音调曲线

驶过的警笛不会从高突然跳到低：它的音调沿一条平滑曲线下滑。推导这条曲线需要同时用到前文的两点，即发射角与传播延迟。结果见图 3。

图例

$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$f^{\prime }$	$C$ 听到的频率。	$\mathrm{Hz}$
$f$	警笛的频率（虚线）。	$\mathrm{Hz}$
$t_1$	警笛与 $C$ 齐平的时刻。	$\mathrm{s}$
$t_2$	$f^{\prime }$ 等于 $f$ 的时刻：在 $t_1$ 侧向发出的波峰到达。	$\mathrm{s}$
$d/v$	声音穿越从道路到 $C$ 的间距 $d$ 所需的时间。	$\mathrm{s}$
$d{f}^{\prime }/dt$	$t_1$ 处曲线的斜率：所听到的音调下降的快慢。	$Hz/s$

图 3 绘制了听者 $C$ 听到的音调 $f^{\prime }$ 随时间 $t$ 的变化。数字取自动画，并按比例缩小到一个小图中：$C$ 距道路 $d=50$ 个长度单位，声音每秒传播 70 个单位，警笛每秒移动 35 个单位，因此 $v_s/v=0.5$，与动画中 170 和 340 m/s 相同。警笛自身的频率为 $f=400\mathrm{Hz}$（虚线），警笛在 $t_1=4\mathrm{s}$ 时与 $C$ 齐平。

曲线上的每个点分两步得到。对于某个听到时刻 $t$，先找出在此时到达的那个波峰的发射时刻 $t_e$：即在 $t_e$ 时警笛与 $C$ 的距离，等于此后该波峰所走过的距离 $v(t-t_e)$。然后用 $t_e$ 时的角度 $\theta$ 计算 $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$。曲线在 $t=0$ 时从 788 Hz 开始，略低于正对着时的 800 Hz，因为那个波峰发出时，通向 $C$ 的直线已与道路成 10° 夹角。到 $t=8\mathrm{s}$ 时降至 279 Hz。

现在看曲线的中部。警笛在 $t_1$ 与 $C$ 齐平，但曲线直到稍后的 $t_2$ 才与虚线 $f^{\prime }=f$ 相交。听到的音调等于 $f$ 的，是侧向发出的那个波峰，即 $\theta =90^{\circ }$ 的波峰；该波峰在 $t_1$ 时发出，之后仍需穿过到听者的间隔 $d$。因此
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4.71\mathrm{s}$
这就是图 3 中的括号 $d/v$。你听到警笛经过，是在它已经经过之后的一瞬间。

音调下降得有多快？听到的音调只通过发射时刻依赖于 $t$，因此由链式法则 $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$，而且两个因子都很简单。

对于到达时刻，$t=t_e+r/v$，其中 $r$ 为发射时警笛到 $C$ 的距离。该距离以径向速度缩短，$dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$，因此 $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$。

对于角度，令 $X=v_s(t_1-t_e)$ 为警笛要与 $C$ 齐平还需行驶的距离。则 $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$，其对 $X$ 的导数为 $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$。由于 $dX/d{t}_e=-v_s$，可得 $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$。

对 $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ 求导，得 $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$。再除以 $dt/d{t}_e$，分母会再多一次幂：
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

在交点 $t_2$（其中 $\theta =90^{\circ }$），斜率为 $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0.5\cdot 35/50=-140Hz/s$。在 $t_1$ 处画出的切线（标注为 $d{f}^{\prime }/dt$）更陡：它是整条曲线的最大斜率，如下面的例题所示。该公式还说明了下滑幅度如何随距离变化。斜率与 $1/d$ 成正比，因此离道路的距离加倍，同样的下降要花两倍的时间；而在道路上，即 $d\to 0$ 时，下滑变成从 800 Hz 到 267 Hz 的突然跳变。

例题：警笛经过的那一刻

最引人注目的时刻，是警笛与你齐平的时候。此刻你听到的音调是多少？这时音调是否下降得最快？图 4 画出了这一时刻的几何关系。

图例

$C$	路边的听者。
$S_e$	发出到达 $C$ 的那个波峰时警笛所在的位置。
$S$	警笛现在所在的位置，与 $C$ 齐平。
$d$	道路到 $C$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$\tau$	波峰自离开 $S_e$ 以来已经传播的时间。	$\mathrm{s}$
$v\tau$	波峰从 $S_e$ 到 $C$ 走过的距离。	$\mathrm{m}$
$v_s\tau$	在此时间内警笛从 $S_e$ 移动到 $S$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$\theta$	发射角：警笛速度与从 $S_e$ 到 $C$ 的直线之间的夹角。	$\mathrm{rad}$

在 $t_1=4\mathrm{s}$ 时，警笛位于 $S$，与 $C$ 齐平。在该时刻到达 $C$ 的那个波峰（虚线弧）是在比该时刻早 $\tau$ 的时候从 $S_e$ 发出的。在这段时间内，波峰从 $S_e$ 走过了 $v\tau$ 到达 $C$，即三角形的斜边；而警笛沿道路从 $S_e$ 移动了 $v_s\tau$ 到达 $S$。第三条边是道路到 $C$ 的间距 $d$，与道路垂直，$S_e$ 处的角即为发射角 $\theta$。

第一步，音调。在这个直角三角形中，$\theta$ 的余弦为沿道路的边与斜边之比：
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
时间 $\tau$ 被消去，因此无论 $C$ 距道路多远，这一结论都成立。多普勒公式于是给出
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
当 $v_s/v=0.5$ 时其值为 $400/0.75\approx 533\mathrm{Hz}$，即图 3 中在 $t_1$ 处标出的值，来自在 $\theta =60^{\circ }$ 时发出的波峰。由勾股定理可知它是多久之前离开的：$(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$，所以 $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0.82\mathrm{s}$。

第二步，最陡斜率。在斜率公式中只有角度在变，它以比值 $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$ 的立方形式出现，因此斜率在该比值最大处最陡。该比值对 $\theta$ 的导数为
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
它在 $\cos \theta =v_s/v$ 处为零，即第一步中的那个角度。因此音调在警笛与你齐平的那一刻下降得最快。此时 $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$，比值等于 $1/\sqrt{0.75}$，而在 $\theta =90^{\circ }$ 时为 1，所以斜率为 $140/0.75^{3/2}\approx 216Hz/s$：即图 3 中的切线。

第三步，真实的救护车。对于中级部分里的救护车（700 Hz，25 m/s，$v=343m/s$），$v_s/v\approx 0.073$。它经过时你听到 $700/(1-0.073^2)\approx 703.7\mathrm{Hz}$，仅略高于它自身的音调。它的音调从接近时的约 755 Hz 下降到远离时的约 652 Hz，下降 103 Hz。若你站在距其路径 10 m 处，最陡斜率约为 $700\cdot 0.073\cdot 25/10\approx 128Hz/s$（因子 $(1-0.073^2{)}^{3/2}$ 与 1 的差异不到 1 %），因此下降大约需要 0.8 s。这大致是 $2d/v_s$ 的量级，即救护车走完等于你到其路径距离两倍的路程所需的时间，在此期间通向你的直线扫过了它大部分的角度。

超过自身波速：马赫锥

当声源追上自己的声音时会怎样？随着 $v_s\to v$，向前发出的波峰堆积成一个单一的波前。一旦 $v_s>v$，声源便超过了它发出的每一个波峰。

设想某一瞬间的波峰。一个在 $\tau$ 之前发出的波峰，是半径为 $v\tau$ 的球面，其球心位于当时声源所在处，即位于其现在位置之后距离 $v_s\tau$ 处。更早的波峰是更大的球面，球心更靠后，而所有这些球面都与一个顶点位于声源处的圆锥相切。从顶点引出恰好与某个球面相切的直线，它与切点处的半径垂直，从而构成一个直角三角形，斜边为 $v_s\tau$，顶点所对的直角边为 $v\tau$。因此锥的半顶角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$：
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(Mach cone)}$

比值 $v_s/v$ 即马赫数：马赫数为 2 时，$\alpha =30^{\circ }$；马赫数为 1.5 时，约为 42°。声源越快，锥越窄。

这个锥在多普勒公式中也隐藏着。其分母 $1-(v_s/v)\cos \theta$ 在 $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$ 时为零，此方向与锥面垂直：沿该方向发出的所有波峰同时到达。这种堆积就是冲击波，只要飞机保持超声速飞行，它就会以声爆的形式扫过地面，而不只是在飞机刚达到声速的那一刻。对于更接近正前方的方向，分母变为负值，这意味着后发出的波峰反而先到达。因此，锥通过之后，听者会同时听到两股声音，其中一股是倒序的。

任何比其介质中的波更快的物体，都会拖出这样的锥，无论它本身是否发声：子弹；浅水中的船，其中长波的速度都为 $\sqrt{gh}$（$h$ 为水深）；或者水中带电粒子的速度超过光在水中的速度 $c/n\approx 0.75c$，其切伦科夫辐射使反应堆水池的水呈现蓝色的辉光。

光、回声与雷达

光不需要介质，因此没有空气来确定参考系：只有声源与观察者的相对速度才能起作用，两种计数方式必须给出相同的答案。计入时间膨胀后，它们确实一致：以速度 $\beta c$ 运动的时钟，从其所穿过的参考系看，走时变慢，慢的因子为 $\sqrt{1-{\beta }^2}$。

先在观察者的参考系中计数，声源以 $\beta =u/c$ 靠近。它变慢的时钟以 $f\sqrt{1-{\beta }^2}$ 发射，再叠加运动声源因子 $1/(1-\beta )$：$f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$。现在改在声源的参考系中计数，此时观察者在靠近。她每秒声源时间内遇到 $f(1+\beta )$ 个波峰，但她自己的时钟走得慢，因此按她的时间每秒计数 $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$。由于 $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$，两者都化简为
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

这种一致的背后，正是前面为声音找到的那条规则。相位 $\omega t-kx$ 计数波峰，而所有观察者对计数都达成一致，因此 $\omega$ 与 $k$ 在参考系之间一起变化，正如 $t$ 与 $x$ 一样：对声音而言按伽利略变换，对光而言按洛伦兹变换。单是时间膨胀就会造成一种声音中没有对应情形的频移，即横向多普勒效应：声源与你齐平时发出的光，到达你处的频率为 $f\sqrt{1-{\beta }^2}$，低于 $f$。对于以 $\beta =0.1$ 远离的声源，$f^{\prime }/f=\sqrt{0.9/1.1}\approx 0.905$，因此其 656.3 nm 的红色氢谱线被看到的是 725.6 nm。

运动目标的回波会发生两次频移。首先，目标充当运动的观察者，接收到 $f(v+u)/v$；然后它把这一声音作为运动声源送回，并乘以 $v/(v-u)$。对于以 $u$ 靠近的目标，
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
其中近似式适用于 $u$ 远小于 $v$ 的情形。若声源本身朝一堵固定的墙驶去，同样的双重频移也适用：如果动画中的警笛车以 170 m/s 直冲墙面，司机听到的回声为 $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Hz}$。

雷达和医用超声使用这一近似。它们把回波与发出的信号混频，测量二者之间的拍频 $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$，由此得到目标的速度。24.125 GHz 的交通雷达测得以 30 m/s 行驶的汽车的 $\Delta f=2fu/c\approx 4.8\mathrm{kHz}$；5 MHz 的超声探头测得以 0.5 m/s 运动的血液（声音在组织中的速度为 1540 m/s）的频移约为 3.2 kHz。

适用范围的限制

这些公式假设介质均匀、静止，且波速单一。在空气中，$v$ 随温度升高而增大，并随风而变化；这两者的梯度都会使声音偏离视线的直线方向。它们还假设在一个周期内声源的速度与方向变化很小，对于 400 Hz 的警笛，一个周期为 2.5 ms。

它们还是线性的：把声音视为微小的压强起伏（语音约 0.02 Pa，叠加在 100 000 Pa 的大气压之上），这些起伏相加时并不改变声速。在 $v_s=v$ 附近这一近似失效。堆积的波峰形成一个强压缩区，其传播速度快于普通声音，而公式中无穷大的 $f^{\prime }$ 变成了一个冲击波阵面：在机头附近弯曲，在更远处逐渐变直为马赫锥。声爆携带数十帕的压强，通常被听成来自机头和机尾的两次爆响。色散，即波速随波长而变，也会改变锥的形状：在深水中，长波比短波传播得更快，船的尾迹在很宽的速度范围内都保持半顶角约 19.5°。

对声音而言，相对论修正的量级为 $(v_s/c{)}^2$，即使在 170 m/s 时也只有约 $3\times 10^{-13}$，因此伽利略公式在实际中是精确的；而声源与观察者之间的不对称，量级为 $(v_s/v{)}^2$，是真实存在的。对光而言，一阶近似 $\Delta f/f\approx 2u/c$ 对雷达已足够，此时 $\beta \approx 10^{-7}$；但在 $\beta =0.5$ 时，精确的单程因子为 $\sqrt{3}\approx 1.73$，既不是声源公式的 2，也不是观察者公式的 1.5。

延伸

《狭义相对论》把声源与观察者之间的难题转化为频率与波长的洛伦兹变换，《电磁波》则涵盖雷达与天文学所用的无线电波和光。回波与信号之间的拍频属于《干涉与叠加》，接近警笛的响度则属于《响度、声强与分贝》。原子的热运动使谱线展宽约百万分之几，这将《气体分子动理论》与《原子模型：玻尔原子》联系起来；而《引力即时空弯曲》描述的是另一种频移，即引力场中钟的频移，不要与多普勒效应相混淆。