响度、声强与分贝

声音为何随距离减弱（ $I = P / (4 π r^{2})$ ），以及分贝标度 $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ 如何把跨度极大的声强压缩成日常可用的数字。

扬声器发出球面声波。距离为 r 处穿过一个方格的功率，在 2r 处会铺满四个方格，因此声强按 1/r² 下降，距离每增加一倍，声级下降 6 dB。

入门

核心概念

声音向各个方向传播，所以传得越远，同样的能量铺开的面积越大。
离声源两倍远时，声音铺开的面积是 4 倍，你接收到的只有四分之一。
声级以分贝（dB）计量：每增加 10 dB，声强就增大到 10 倍。
音调（高或低）与响度（强或弱）是声音的两种不同性质。
长时间处于约 85 dB 以上的声音中，可能对听力造成永久损伤。

把喷漆罐靠近墙面喷，会得到一小块厚厚的漆斑。退后到两倍距离，同样的漆会铺满宽和高都为两倍的一块区域，面积是四倍，所以漆层薄到原来的四分之一。扬声器的声音也以同样方式向各个方向扩散，像一个不断变大的气泡。动画中的蓝色圆环就是这个气泡，它们一边变大，一边变弱。

扬声器每秒发出的声能是相同的。声强指的是每秒钟有多少声能落在每平方米上，单位是瓦每平方米。看看金色方格：穿过扬声器附近一个方格的声音，由两倍远处四个相同的方格分担，所以每个方格只得到四分之一。

我们的耳朵能适应极大的范围，从能察觉的最微弱声音，到强度大一万亿倍的噪声。为了让数字更好读，我们使用图表中所示的分贝（dB）：每增加 10 dB，声强就变为 10 倍。所以 60 dB 的声强是 40 dB 的一百倍。距离变为两倍，声级大约降低 6 dB。

我们对响度的感觉比数字所显示的要温和得多：声音需要大约 10 倍的声强，即多 10 dB，响度才会加倍。而且响度不等于音调：高或低取决于频率，所以轻柔的口哨声可以很高，而响亮的鼓声可以很低。

保护好你的听力：长时间处于约 85 dB 以上的声音中，可能造成永久损伤。

自己检验一下：收音机播放的声音为 70 dB，另一个声音达到 90 dB。它的声强是多少倍？（100 倍：两个 10 dB 台阶。）

中级

核心概念

声强是单位面积上的功率：对于向各方向均匀辐射的声源， $I = P / (4 π r^{2})$ ，单位为 W/m²。
平方反比定律： $r$ 加倍， $I$ 除以 4； $r$ 变为三倍，它就除以 9。
$β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ ，其中 $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ ： $I$ 乘以 10（ $\times 10$ ）对应 $+ 10$ dB， $\times 2$ 对应 $+ 3$ dB， $\div 4$ 对应 $- 6$ dB。
分贝不能直接相加：两个相同且互不相关的 80 dB 声源合起来是 83 dB，而不是 160 dB。

声强：通过每平方米的功率

声源的声功率 $P$ 是它每秒发出的声能，单位为瓦。声音携带的能量很少：一般扬声器只把 1 % 或更少的电功率转化为声音，动画中的扬声器仅辐射 $P = 10 mW$ 。

耳朵只收集落在其自身小面积上的那部分功率。声强是正对声音的表面上每平方米所通过的功率：
$I = \frac{P}{A}$

它的单位是 W/m²，描述的是某一点的声音，而不是声源本身。请把它与响度（听者感觉声音有多强）以及音调（高或低，主要由频率决定）区分开。

平方反比定律

设想一个小声源向各方向均匀发声。在距离 $r$ 处，它每秒发出的能量铺展在面积为 $4 π r^{2}$ 的球面上，因此点声源的声强为
$I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$

距离加倍，球面面积变为四倍，因此声强降为四分之一；距离变为三倍，则声强除以 9。比较两个距离时， $P$ 与 $4 π$ 相互抵消：
$\frac{I _{2}}{I _{1}} = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}$

动画中的金色金字塔展示了这一几何关系。穿过 $r = 2 m$ 处一个方格四角的射线，在 4 m 处围出一个宽和高都为两倍的方形：即四个相同的方格，标注为 $I /4$ 。穿过一个方格的能量由四个方格分担：没有任何能量损失，只是铺得更薄了。

分贝标度

人耳能处理的范围极大：从年轻人能听到的最微弱的 1 kHz 纯音，约 $1 0^{- 12} W/ m^{2}$ ，到声音开始让人痛苦的约 10 W/m²。与其面对跨越十三个数量级的数字，不如直接数出其中的 10 的幂次。声强级为
$β = 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$
单位为分贝（dB）。声强乘以 10 增加 10 dB，乘以 100 增加 20 dB；由于 $lo g_{10} 2 = 0.301$ ，加倍增加 3.0 dB，变为四倍增加 6.0 dB。

由此得出两条实用规则。因为 $I_{2} / I_{1} = (r_{1} / r_{2})^{2}$ ，取对数后平方变为因子 2，而 $10 \cdot 2 = 20$ ：距离每增加十倍，声级下降 20 dB；每加倍一次，下降 6 dB。因为独立声源的声强相加， $N$ 个相同声源会使声级升高 $10 lo g_{10} N$ ：

$β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})$
$β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)$

例题：动画中的仪表

扬声器辐射 $P = 10 mW = 0.010 W$ 。对于近处的听者， $r = 2 m$ ：
$A = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 2^{2} = 50.3 m^{2}$
$I = \frac{0.010 W}{50.3 m ^{2}} = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$
因此 $I / I_{0} = 1.99 \times 1 0^{8}$ ，且
$β = 10 lo g_{10} (1.99 \times 1 0^{8}) = 10 \cdot 8.30 = 83.0 dB$

远处的听者位于 4 m 处，接收到的声强为该值的四分之一，即 $4.97 \times 1 0^{- 5} W/ m^{2}$ ，声级为 $83.0 - 20 lo g_{10} 2 = 77.0 dB$ 。这些是红色仪表到达听者所在距离时显示的 $I$ 和 $β$ 读数：先是约 199 µW/m² 与 83.0 dB，然后是 49.7 µW/m² 与 77.0 dB。

仪表从 1 m 处开始（795.8 µW/m²，89.0 dB），到 8 m 处结束（12.4 µW/m²，70.9 dB）。它的距离每 2 s 加倍一次，因此每一步都使声强除以 4，声级同样下降 6.0 dB，指针沿图表以相等的步长下滑。整个行程中，声强缩小了 64 倍，但声级只下降了 18 dB。

例题：离电钻的安全距离

距气动电钻 2 m 处的仪表读数为 100 dB。你要站到多远，声级才能降到图表上的听力风险标线 85 dB？在 2 m 处， $I = I_{0} \cdot 1 0^{100/10} = 0.01 W/ m^{2}$ ；若电钻向各方向均匀辐射，其声功率为 $P = 4 π \cdot 2^{2} \cdot 0.01 \approx 0.50 W$ 。声级需要下降 15 dB，所以
$20 lo g_{10} (\frac{r}{2 m}) = 15$
$r = 2 m \cdot 1 0^{15/20} = 2 m \cdot 1 0^{0.75} = 11.2 m$

再加一台相同的电钻，2 m 处的声级升至 $100 + 10 lo g_{10} 2 = 103.0 dB$ ，而 85 dB 的距离增至 $2 \cdot 1 0^{18/20} = 15.9 m$ ：是原来的 $2$ 倍，而不是两倍。坚硬的地面在任何距离上都会带来大约相同的 3 dB：它使功率估计减半，但不改变这些距离。

一项常见的职业安全指南规定，在 85 dB 下每天可容许 8 小时，声级每增加 3 dB，允许时间减半。距离一台电钻 2 m 的工人，声级比这一标准高 15 dB，即减半五次，因此允许时间为 $8 h / 2^{5} = 15 min$ 。

读懂分贝图表

扬声器旁边的图表是一把分贝标尺，因此图表上相等的距离代表相等的声强倍数：从 30 dB 的耳语到 60 dB 的交谈，相差 1000 倍；从 0 dB 到 130 dB 的痛阈，相差 $1 0^{13}$ 倍。它的彩色条在 70 dB 以下为绿色，到 85 dB 为金色，以上为红色，长时间暴露于红色区域会损伤听力。指针起始于 89.0 dB 的红色区域，当仪表距扬声器约 1.6 m 时越过 85 dB，最终停在 70.9 dB，刚好在绿色区域上方。

响度的增长远比声强平缓。一个声音需要增加约 10 dB，即声强变为 10 倍，才会听起来响两倍。因此，110 dB 的摇滚演唱会比交谈高出 50 dB，其声强为 $1 0^{5}$ 倍，但听起来只有约 $2^{5} = 32$ 倍那么响。

常见错误

分贝不能直接相加。两台相同且独立的 80 dB 机器合起来是 83 dB，而不是 160 dB：声强相加，声强加倍只增加 3 dB。要达到 86 dB 需要四台机器。
距离加倍并不是使声强减半，而是变为四分之一，下降 6 dB；只有像繁忙公路这样的长线声源，每加倍一次才只减少 3 dB。
0 dB 并不是无声，而是参考声强 $I_{0}$ ，大约是年轻人耳能察觉的最微弱声音；比它更弱的声音声级为负值， $1 0^{- 13} W/ m^{2}$ 为 −10 dB。
四倍的声强听起来并不是四倍响：距离减半所增加的 6 dB 听起来只大约响 1.5 倍，因为响度大约每增加 10 dB 才翻一倍。
小小的失误会造成整数倍的误差：用 $r^{2}$ 而不是 $4 π r^{2}$ 去除，会使声强偏大 12.6 倍；漏掉 $I_{0}$ 或系数 10，会把 $1 0^{- 5} W/ m^{2}$ 对应的 70 dB 变成 −50 dB 或 7 dB。

应用场景

工作场所和机场附近的噪声限值、护耳器的额定值（优质耳罩可降低 20 至 30 dB，即声强降低 100 至 1000 倍）以及城市噪声地图，都基于这些规律。只要比值跨越许多数量级，分贝就有用武之地：放大器增益、光纤中损耗的光、手机信号的强弱。

平方反比定律并非声音所独有：光、引力以及点电荷的电场也都铺展在球面上，如《万有引力与轨道》《库仑定律》和《电磁波》所示。相干声源是振幅相加而不是声强相加，由此引出《干涉与叠加》；被墙壁围困的声音则引出《驻波》。

高级

核心概念

振幅随 $1/ r$ 减小，能量正比于振幅平方，故 $I \propto 1/ r^{2}$ ：从声源发出的每个锥体，在任意距离上携带的功率都相同。
$I = p_{0}^{2} / (2 ρ c)$ ；仪表读数为 $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} /20 μ Pa)$ ，系数取 20 是因为 $I \propto p^{2}$ ；在自由空气中 $L_{p} \approx β$ 。
$β (r) = β_{1} - 20 lo g_{10} (r / r_{1})$ ：相对于 $lo g r$ 是一条直线，每十倍距离 −20 dB，每倍距离 −6.02 dB。
独立声源的声强相加，即 $β_{1} + 10 lo g_{10} N$ ；相干声源则是振幅相加并产生干涉。
$1/ r^{2}$ 定律在近场、室内以及存在空气吸收时不再成立；线声源沿圆柱面扩散，每倍距离 −3 dB。

什么是声强

声强描述的是有多少声能流过某个表面：即单位面积上穿过、且正对声流方向的功率，单位为瓦每平方米。麦克风或耳膜正是对它产生响应的，而仅凭能量守恒，就能确定它随距离如何变化。

这股声流从哪里来？在声波中，空气压强会在其平均值附近升高和降低一个微小的超压 $p$ ，同时空气本身以速度 $u$ 来回运动。压强推动前方运动的空气，因此每平方米以 $p u$ 的速率做功：即单位面积的力乘以速度，这是“力乘速度”在声学中的形式。这一乘积随波动而变化，所以声强 $I$ 定义为它在一个周期内的平均值。它是一个矢量，指向能量流动的方向。

现在用任意闭合曲面包围声源，并将曲面切分成许多小块。把每一小块写成矢量 $d A$ ，其长度为该小块面积，方向朝外。只有穿过小块的那部分声流才携带能量通过它，因此通过一小块的功率为 $I \cdot d A$ 。若声源稳定运行且没有声音被吸收，能量不会在内部堆积，因此声源的全部功率 $P$ 必然穿过该曲面（圆圈加积分号表示对整个闭合曲面求和）：
$\oint I \cdot d A = P$

锥体中的扩散：平方反比定律

理解这个方程对距离意味着什么，最简单的办法是跟踪一束狭窄声流的走向。

图 1 跟踪以声源为顶点的一个狭窄锥体内的能量。锥体的四条射线代表该锥体所携带的功率 $Δ P$ 。它们穿过距离 $r_{1}$ 处的一个方形面 $A_{1}$ ，然后穿过距离 $r_{2} = 2 r_{1}$ 处的第二个面 $A_{2}$ ；两个面都正对声源。锥体的侧边是从顶点出发的直线，因此正方形的每条边都与距离成正比增长：距离加倍时，方形的宽和高都加倍，即 $A_{2} = 4 A_{1}$ 。 $A_{2}$ 上的交叉线将其分成四个格子，每个格子的面积都等于 $A_{1}$ 。

现在看射线交点处的圆点。在 $A_{1}$ 上，四条射线穿过的是一个格子的面积；在 $A_{2}$ 上，每个格子中都有一条射线。同样的功率铺展在四倍的面积上，因此每平方米的功率降为四分之一，即 $I_{2} = I_{1} /4$ 。用符号表示：两个面之间没有能量损失，故 $I_{1} A_{1} = I_{2} A_{2} = Δ P$ 。沿锥体方向，横截面随 $r^{2}$ 增长，所以声强按 $1/ r^{2}$ 下降，而这个锥体在任何距离上携带的功率都相同。

用这样的锥体填满所有方向。对于均匀辐射的声源，在以其为中心、半径为 $r$ 的球面上， $I$ 指向正外方，且大小 $I$ 处处相同。于是每个小面通过 $I d A$ ，所有小面加起来就是球面面积 $4 π r^{2}$ 。闭合曲面方程变为 $4 π r^{2} I = P$ ，这就是平方反比定律：
$I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$
第一张高级图上方的实时验算展示了动画中 10 mW 扬声器的情况：从 1 m 到 8 m， $I$ 从 796 急剧降至 12.4 µW/m²，而 $4 π r^{2} I$ 始终保持在 10.0 mW。

为什么振幅按 1/r 下降

平方反比定律讨论的是能量。那么声波本身呢？麦克风记录的压强起伏也必须减小，问题在于减小的速度。

图 2 是沿从扬声器 $r = 0$ 处发出的一条射线，某一瞬间超压 $p$ 的快照。先看间距：相邻波峰总是相隔一个波长 $λ$ ，因此距离不会改变音调。再看高度： $r_{1}$ 处的波峰高度为 $p_{1}$ ； $r_{2} = 2 r_{1}$ 处的波峰只有 $p_{2} = p_{1} /2$ 。每个波峰都触及虚线曲线 $+ C / r$ ，每个波谷都触及曲线 $- C / r$ ，其中 $C$ 是由声源强度决定的常数。距离加倍，振幅减半：压强振幅按 $1/ r$ 变化。

波动方程证实了这一点。设 $c$ 为声速。当点声源向各方向均匀发声时， $p$ 只依赖于距离 $r$ 和时间 $t$ 。此时三维波动方程可以精确地改写为关于乘积 $r p$ 的一维波动方程：
$\frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial r ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial t ^{2}}$
这就是弦上波的方程，其解是以速度 $c$ 传播且形状不变的波形。向外传播的解为 $r p = f (t - r / c)$ ，其中 $f$ 为任意函数：声源在某一时刻的变化，会在距离 $r$ 处经过时间 $r / c$ 后重现。两边同除以 $r$ ，得
$p (r, t) = \frac{f ( t - r / c )}{r}$

对照图 2 来读：函数 $f$ 描绘出起伏的细节，而除数 $r$ 描绘出它们的包络 $\pm C / r$ 。这也是动画中波前随扩展而变得更细、更淡的原因。

为什么振幅按 $1/ r$ 下降意味着声强按 $1/ r^{2}$ 下降？想想接收声音的东西，如耳膜或麦克风的振膜。这样的接收器是线性的：在给定频率下驱动时，它的运动速度与作用其上的力成正比。它吸收的功率是力乘速度，因此与振幅的平方成正比。振幅按 $1/ r$ 、功率按振幅平方，于是声强按 $1/ r^{2}$ 。能量守恒与波动方程相互印证，这两条事实对光的电场同样成立。

平面波中的压强与声强

要把压强读数换算成声强，我们需要与给定 $p$ 对应的空气速度 $u$ 。在远离声源处，球面波的一小块近似为平面波，即沿 $x$ 方向传播的平面波。对于密度为 $ρ$ 的一薄层空气，牛顿第二定律指出：单位体积的质量乘以加速度，等于净推力；该推力来自其一面的压强高于另一面：
$ρ \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}$
对于沿 $+ x$ 方向传播的波， $p = F (t - x / c)$ （ $F$ 为某个函数），因此右边为 $F^{'} / c$ 。对时间积分后得到
$u = \frac{p}{ρ c}$
空气的运动与压强精确同步：压强高的地方，空气向前涌动。每平方米的功率 $p u$ 于是为 $p^{2} / (ρ c)$ 。对振幅为 $p_{0}$ 的正弦波， $p^{2}$ 在一个周期内的平均值为 $p_{0}^{2} /2$ ，因此
$I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ c}$
乘积 $ρ c$ 是介质的声阻抗：它表示使空气以给定速度运动所需的压强大小。对于 20 °C 的空气， $ρ c \approx 413 kg/ (m^{2} s)$ 。

这些量有多大？在动画中距声源 2 m 的近处听者， $I = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ 。于是 $p_{0} = 2 \cdot 413 \cdot 1.99 \times 1 0^{- 4} \approx 0.41 Pa$ ，空气的速度振幅 $p_{0} / (ρ c)$ 约为 1 mm/s。将速度振幅除以 $2 π$ 乘以频率，即得位移：在 1 kHz 时，空气的来回位移仅 0.16 µm，而在听阈处约为 $1 0^{- 11} m$ ，即一个原子直径的十分之一。

两种分贝标度

人耳能听的声强范围约跨越十三个数量级，因此声级采用对数标度。声强级为 $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ ，其中 $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ ，大致相当于年轻人能听到的最微弱的 1 kHz 声音。声强每增加十倍，声级增加 10 dB：近处听者的 $1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ 对应 83.0 dB。

然而，仪表测量的是压强而非声强。它报告的是声压级 $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} / p_{ref})$ ，其中 $p_{rms} = p_{0} / 2$ 为均方根压强， $p_{ref} = 20 μ Pa$ 。系数是 20 而不是 10，因为声强与压强的平方成正比，而 $20 lo g_{10}$ 某比值等于 $10 lo g_{10}$ 该比值的平方。由于 $I = p_{rms}^{2} / (ρ c)$ ，两种标度只相差一个常数， $L_{p} - β = 10 lo g_{10} (ρ c I_{0} / p_{ref}^{2}) \approx 0.14 dB$ （空气中），因此实际上两者可以互换：近处听者的 83.0 dB 在仪表上读作 83.1 dB。

涉及的压强极其微小。60 dB 的交谈对应 $p_{rms} = 0.02 Pa$ ，即约千万分之二个大气压；令人痛苦的 120 dB 也只有 20 Pa。正是这种微小性，使波动方程在极高精度下呈线性，而线性又使多个声源的声波可以简单相加，后文将用到这一点。

对数坐标上的直线

对数不只是压缩巨大的范围，它还把幂律变成直线。对于点声源，两个距离之间 $I_{2} / I_{1} = (r_{1} / r_{2})^{2}$ ，两边取 $10 lo g_{10}$ 得到
$β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})$
相对于 $lo g r$ ，声级因此沿一条直线下降：距离每增加十倍，下降 20 dB；每加倍一次，下降 $20 lo g_{10} 2 = 6.02$ dB。

两张高级图展示了两种视角。在第一张图中， $I (r)$ 从 1 m 处的 796 µW/m² 降到 2 m 处的 199，然后缓慢地趋向 8 m 处的 12.4 µW/m²，这样的曲线上很难看出相等的比例。在第二张图中，以 $lo g r$ 为横轴，1、2、4 和 8 m 的位置等间距，声级沿一条直线下降，依次经过 89.0、83.0、77.0 和 70.9 dB。仪表的距离每 2 s 加倍一次，它沿着这条直线以稳定的速度移动。

斜率衡量的是指数。任意幂律 $I \propto r^{- n}$ 在这些坐标上都是斜率为每十倍距离 $- 10 n$ dB 的直线：点声源为 −20，长线声源（下文的例题）为 −10，平面波或沿管道传播的声音为 0。消声室的墙壁几乎吸收所有声音，就是通过这种方式检测的：只要测得的声级偏离每十倍距离 −20 dB 的直线，就说明有反射声叠加其上。

叠加声源：相位起决定作用

两个声源同时发声时，分贝值不能直接相加：两台 80 dB 的机器不会合成 160 dB。由于声波的振幅很小，它们会叠加，在每一瞬间压强相加， $p = p_{1} + p_{2}$ 。声强跟随压强的均方值；用横线表示时间平均，
$\overline{p^{2}} = \overline{p_{1}^{2}} + \overline{p_{2}^{2}} + 2 \overline{p_{1} p_{2}}$
前两项是两个声源各自的贡献。最后一项即交叉项，取决于两列波的步调是否一致，它决定了结果。

图 3 计算了同一频率的两个正弦波在某个听者处的叠加。从这里开始， $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 和 $p$ 表示振幅。每个波都画成一个箭头：箭头长度为其压强振幅，方向为其相位，即它在周期中所处的位置。箭头 $p_{1}$ 沿水平轴。箭头 $p_{2}$ 从前一个箭头的末端开始，并旋转了相位差 $φ$ ，即第二列波超前第一列波的角度。合成波是从 $p_{1}$ 起点指向 $p_{2}$ 末端的箭头 $p$ ，它与前两者闭合成三角形。三角形中与 $p$ 相对的角为 $π - φ$ ，由余弦定理得
$p^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} p_{2} cos φ$
最后一项就是均方值中的交叉项，现在用相位表示。图中两个声源相等， $p_{1} = p_{2}$ ，因此随着 $φ$ 变化， $p$ 的末端沿以 $p_{1}$ 末端为圆心的虚线圆运动。

独立声源，如两台机器或两个人的声音，彼此之间没有固定的相位关系。它们的相位差随机漂移， $p$ 的末端在圆周上到处游走， $cos φ$ 的平均值为零。交叉项消失，声强直接相加，因此 $N$ 个相同声源给出的声强是单个声源的 $N$ 倍：
$β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)$

两个声源使声级增加 3.0 dB，十个声源增加 10 dB。不相等的声源由较响者主导：80 dB 和 70 dB 分别是 $I_{0}$ 的 $1 0^{8}$ 和 $1 0^{7}$ 倍，因此合起来为 $10 lo g_{10} (1 0^{8} + 1 0^{7}) = 80.4 dB$ 。反过来用这条规则，就能从测量中扣除背景噪声：应减去的是声强，而不是分贝值。

相干声源，如同一音调驱动的两只扬声器，保持固定的相位差，因此交叉项得以保留。它的数值取决于听者站在何处，因为 $φ$ 取决于两条路径长度之差。若两列波同相到达，则 $φ = 0$ ， $p$ 的末端位于圆的右侧端点：箭头首尾相接， $p = 2 p_{1}$ ，声强为单个声源的四倍，即 +6.0 dB。若它们相差半个周期到达，则 $φ = π$ ， $p$ 的末端位于左侧端点，回到 $p_{1}$ 的起点：两列波相互抵消。若对整个图样取平均，声强仍是单个声源的两倍。干涉只是重新分配能量，并不会产生能量。

例题：一条笔直公路的噪声

日常噪声往往来自一排声源。我们把一条笔直的公路建模为一排独立声源，每个都类似动画中的扬声器， $P = 10 mW$ ，每隔 $d = 20 m$ 一个。在离公路 $r = 40 m$ 处，仪表读数是多少？当你远离公路时，声级下降得有多快？

图 4 从上方展示公路，并取 $r = 2 d$ ，与数值一致。仪表 $M$ 位于离公路距离为 $r$ 处，与最近的声源齐平。另一个声源位于公路上距离 $x$ 处，该距离从 $M$ 对公路所作垂线的垂足量起。由勾股定理，它与仪表的距离为 $s = r^{2} + x^{2}$ ，因此单独作用时在仪表处给出 $P / (4 π s^{2})$ 。

这些声源相互独立，所以按照上一节的结论，仪表处是各声源声强之和。与其逐个相加，不如把声源沿公路均匀铺开：长度为 $d x$ 的一小段公路含有 $d x / d$ 个声源。对整条公路的各小段求和，就把求和变成了积分。其中间步骤用到
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{r ^{2} + x ^{2}} = \frac{π}{r}$
结果为
$I = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{P}{4 π ( r ^{2} + x ^{2} )} \frac{d x}{d} = \frac{P}{4 π d} \cdot \frac{π}{r} = \frac{P}{4 d r}$

在 40 m 处， $I = 0.010/ (4 \cdot 20 \cdot 40) = 3.1 \times 1 0^{- 6} W/ m^{2}$ ，因此 $β = 64.9 dB$ ；而最近的单个声源单独作用时仅为 57.0 dB。在 80 m 处声级为 61.9 dB，在 160 m 处为 58.9 dB：每加倍距离下降 3.0 dB，只有点声源下降幅度的一半，因为此时 $I \propto 1/ r$ 。原因从积分中可以看出：一半的声音来自距最近点两侧 $r$ 范围内的那段公路。 $r$ 加倍使每个声源的贡献减为四分之一，但该段公路内的声源数量也增加一倍，因此声强只减半。

对模型做两项检验。当 $r \geq d$ 时，积分结果与逐个声源的精确求和相差 0.4 %；距离更近时，最近的声源占主导，公路不再像连续分布。另外，长度为 $L$ 的有限公路在远超过 $L$ 的距离处又像点声源一样，此时声级重新以每加倍距离下降 6 dB。

更微妙的问题是：64.9 dB 是否真的代表流经仪表的能量？画一个半径为 $r$ 、以公路为轴的圆柱面。来自远处声源的波会斜着穿过它，而只有其中指向正外方的那部分流动才会离开圆柱面。只计算这一部分，得到每平方米 $P / (2 π d r)$ ；乘以圆柱面每米公路的面积 $2 π r$ ，恰好还原为每米公路辐射的 $P / d$ 。这大约是仪表值的 $2/ π$ ，比仪表读数低约 2 dB，因为仪表会把所有方向的波的声强都相加。所以 $p_{0}^{2} / (2 ρ c)$ 只有对沿一个方向传播的波才等于能量流。

适用范围的限制

平方反比定律基于四项假设：声源很小、开阔的空间、不吸收声音的静止空气，以及小振幅。每一项在某些情况下都不成立。

在声源附近：距真实声源约一个波长之内（100 Hz 时为 3.4 m），或在其尺寸的几倍之内，压强与空气速度还不像平面波那样同步，而且延伸声源的压强也尚未按 $1/ r$ 下降。真实声源还会定向辐射：扬声器发出的波长比振膜短，大部分向前辐射。公式 $I = QP / (4 π r^{2})$ 中的方向性因子 $Q$ 描述了这一点；放在坚硬地面上的声源只向半个空间辐射，因此 $Q = 2$ （+3 dB）。这类因子不随距离变化，所以每加倍距离仍然下降 6 dB。

在室内，声音会从墙壁反射。超过临界距离（反射声与直达声一样强的距离，在客厅中通常约一米）后，反射声占主导，远离声源几乎不再降低声级。在户外，空气除了扩散造成的损失，还会以固定的分贝数每千米吸收声音，而且吸收随频率急剧增大：在 20 °C、湿度 70 % 时，125 Hz 约为每千米 0.3 dB，1 kHz 为 5 dB，8 kHz 接近 80 dB，而从 1 m 到 1 km 的扩散损失为 60 dB。高音最先消散，因此远处雷声听起来是低沉的隆隆声。

在大振幅下线性关系不再成立。在 150 dB（如靠近喷气发动机处）， $p_{rms} \approx 630 Pa$ ，仅为一个大气压的 0.6 %，但波峰传播得略快于波谷，1 kHz 的平面波在约 7 m 内就会变陡并形成激波。在海平面，任何未失真的正弦波的声级都不会超过约 191 dB：此时其振幅将等于大气压，其波谷将达到真空。最后， $β$ 衡量的是物理量，而不是响度：耳朵对低频远不敏感，因此仪表通常使用 A 计权，即一个降低耳朵不敏感频率的滤波器，并以 dB(A) 给出结果。

延伸

穿过闭合曲面的通量也使引力和点电荷的电场按 $1/ r^{2}$ 下降，见《万有引力与轨道》和《库仑定律》；这正是高斯定律背后的思想。光遵循同样的算术：在《电磁波》中，其强度为 $E_{0}^{2} / (2 Z_{0})$ ，自由空间阻抗 $Z_{0} \approx 377 Ω$ 扮演了 $ρ c$ 的角色。相干声源及其交叉项引出《干涉与叠加》，被墙壁限制的声音引出《驻波》，而作为受驱动接收器的耳膜则引出《阻尼与共振》。以固定的分贝数每千米衰减，与《放射性与半衰期》中的指数衰减是同一回事。

核心公式

声强：单位面积上的功率

I = \frac{P}{A}

声强是声音功率中穿过正对声音的表面、落在每平方米上的那一份。耳朵或麦克风对它做出响应，因为它们各自只收集落在自身小面积上的能量。同样的功率铺展在更大的面积上，意味着在该面积的每一点上声音都更弱。

符号
$I$	声强	$W/ m^{2}$
$P$	穿过该表面的声功率	$W$
$A$	表面的面积，与声音方向垂直	$m^{2}$

适用条件: 给出的是表面上的平均值；若声音分布不均匀，应将其用于一小块面积。倾斜于声音方向的表面接收到的声音较少。

示例: 10 mW 均匀分布在 2 m 处 50.3 m² 的球面上： $I = 0.010/50.3 = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ 。

点声源的声强

I = \frac{P}{4 π r ^{2}}

向各方向均匀辐射的小声源，将其功率铺展在面积为 $4 π r^{2}$ 的球面上。若途中没有能量损失，同样的 $P$ 穿过每个这样的球面，因此声强按 $1/ r^{2}$ 下降。

符号
$I$	距离 $r$ 处的声强	$W/ m^{2}$
$P$	声源的声功率	$W$
$r$	距声源的距离	$m$

适用条件: 适用于开阔空气中、远离反射面、距离超过约一个波长和若干倍声源尺寸、且空气吸收可以忽略的情况。有方向性的声源和线声源需要其他形式。

示例: 动画中 10 mW 的扬声器：1 m 处为 796 µW/m²，2 m 处为 199 µW/m²，8 m 处为 12.4 µW/m²。

平方反比比值

\frac{I _{2}}{I _{1}} = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}

在两个距离上分别应用点声源定律并相除， $P$ 与 $4 π$ 相互抵消，只剩下距离之比的平方。注意比值是倒置的：左侧的 $I_{2}$ 在分子，右侧的分子却是 $r_{1}$ ，因为较远处接收到的声音较少。

符号
$I_{1}$	距离 $r_{1}$ 处的声强	$W/ m^{2}$
$I_{2}$	距离 $r_{2}$ 处的声强	$W/ m^{2}$
$r_{1}$	距声源的第一个距离	$m$
$r_{2}$	距声源的第二个距离	$m$

适用条件: 与点声源定律的条件相同，针对同一声源及同一方向。

示例: 从 2 m 到 4 m： $I_{2} / I_{1} = (2/4)^{2} = 1/4$ ，因此 199 µW/m² 变为 49.7 µW/m²。

以分贝表示的声强级

β = 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}

声级表示声强比参考值 $I_{0}$ 高出多少个 10 的幂次，再乘以 10，使其单位为分贝。声强每乘以 10，声级增加 10 dB；每乘以 2，增加 3 dB，因此耳朵 $1 0^{13}$ 的范围正好落在 0 到 130 dB 之间。要反算，使用 $I = I_{0} \cdot 1 0^{β /10}$ 。

符号
$β$	声强级	$dB$
$I$	声强	$W/ m^{2}$
$I_{0}$	参考声强，约为 1 kHz 时的听阈	$W/ m^{2}$

适用条件: 适用于任何声强；比 $I_{0}$ 更弱的声音声级为负值。它是物理量：感知响度还取决于频率，因此仪表常采用 A 计权，记作 dB(A)。

示例: 动画中扬声器 2 m 处： $β = 10 lo g_{10} (1.99 \times 1 0^{8}) = 83.0 dB$ 。

声级随距离的变化

β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})

对平方反比比值取对数，可将因子 $(r_{1} / r_{2})^{2}$ 变为减法。系数 20 为 $10 \cdot 2$ ，来自平方：距离每加倍，损失 $20 lo g_{10} 2 = 6.0 dB$ ；距离每增加十倍，损失 20 dB。

符号
$β_{2}$	距离 $r_{2}$ 处的声级	$dB$
$β_{1}$	距离 $r_{1}$ 处的声级	$dB$
$r_{2}$	新的距声源距离	$m$
$r_{1}$	已知声级的距离	$m$

适用条件: 适用于开阔空气中的点声源；恒定的附加量（如坚硬地面带来的 3 dB）在相减时会抵消。对线声源，系数 20 变为 10；空气吸收则会带来与距离成正比的损失。

示例: 电钻在 2 m 处为 100 dB，降至 85 dB 的距离为 $2 \cdot 1 0^{15/20} = 11.2 m$ 。

N 个相同独立声源的声级

β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)

独立声源的相位互不相关，因此它们的压强波有时相互加强、有时相互抵消，平均而言声强直接相加。 $N$ 个相同声源给出的声强是单个声源的 $N$ 倍，取对数后即为 $10 lo g_{10} N$ 分贝。

符号
$β_{N}$	所有 $N$ 个声源同时发声时的声级	$dB$
$β_{1}$	单个声源单独发声时的声级	$dB$
$N$	相同声源的数量

适用条件: 仅适用于在听者处各自给出相同声级的非相干声源。相干声源，如播放同一音调的两只扬声器，会发生干涉：在相互加强处为 +6 dB，在相互抵消处则可能完全无声。

示例: 两台 80 dB 的机器： $80 + 10 lo g_{10} 2 = 83 dB$ ；十台则为 90 dB。

由压强振幅求声强

I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ c}

在行进波中，空气速度与超压同步，即 $u = p / (ρ c)$ ，因此每平方米的功率（压强乘以速度）为 $p^{2} / (ρ c)$ ；对一个周期取平均后得到一半。因此声强与振幅的平方成正比，这就是声压级用 $20 lo g_{10}$ 、而声强级用 $10 lo g_{10}$ 的原因。

符号
$I$	声强	$W/ m^{2}$
$p_{0}$	压强振幅（最大超压）	$Pa$
$ρ$	介质的密度	$kg/ m^{3}$
$c$	介质中的声速	$m/s$

适用条件: 适用于单个行进波，如平面波或远离声源处的波。在近场以及驻波或扩散声场中不适用，因为那里多个方向的波叠加，压强与空气速度不再同步。

示例: 动画中扬声器 2 m 处： $p_{0} = 2 \cdot 413 \cdot 1.99 \times 1 0^{- 4} \approx 0.41 Pa$ 。

词汇表

声强: 穿过正对声音的表面、每平方米上的声功率，单位为 W/m²。它属于某一位置的声音，而不属于声源：同一扬声器在 2 m 处为 199 µW/m²，在 4 m 处则为其四分之一。
声功率: 声源每秒发出的总声能，单位为瓦。它不随听者位置而变化，与声强不同；动画中的扬声器辐射 10 mW。
点声源: 一个远小于听者距离的声源，向各方向均匀辐射。其声音沿球面扩散，因此适用平方反比定律。
平方反比定律: 点声源的声强按 $1/ r^{2}$ 下降，因为同样的功率铺展在面积为 $4 π r^{2}$ 的球面上。距离加倍，声强降为四分之一（−6 dB）；距离变为三倍，声强除以 9。
分贝: 用于表示两个功率或声强之比的对数单位，即比值的 $10 lo g_{10}$ 。+10 dB 表示声强为 10 倍，+3 dB 约为两倍；由于它度量的是比值，因此声级总需要参考值。
声强级: 以分贝表示、相对于参考值 $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ 的声强， $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ 。60 dB 的交谈是 $I_{0}$ 的一百万倍。
声压级: 声级计报告的数值， $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} /20 μ Pa)$ ，由压强而非声强计算。系数为 20，是因为声强与压强的平方成正比；在开阔空气中， $L_{p}$ 与 $β$ 仅相差约 0.1 dB。
听阈: 健康年轻人能察觉的最微弱声音，约为 $1 0^{- 12} W/ m^{2}$ ，即 1 kHz 时的 0 dB。耳朵在低频和极高频时的灵敏度较低，因此那里的听阈更高。
痛阈: 声音开始令人感到疼痛的声级，约为 120 至 130 dB，即 1 至 10 W/m²。听力损伤远在此之前就已开始，长时间暴露于约 85 dB 以上的声音中即会受损。
响度: 声音在听者听来的强弱，与其测得的声强不同。它的增长要慢得多：声级约增加 10 dB（声强为 10 倍），响度才大约加倍。它也不同于音调，音调主要由频率决定。
非相干声源: 相位互不相关的声源，如两台机器或两个人的声音。它们的声强相加，因此 $N$ 个相同声源使声级提高 $10 lo g_{10} N$ ；相干声源则由同一信号驱动，它们是振幅相加并产生干涉。
线声源: 由一长排声源组成，例如笔直公路上的车流。其声音沿圆柱面而非球面扩散，因此声强按 $1/ r$ 下降，距离每加倍，声级仅下降 3 dB。

物理量
$P$	声功率	$W$	声源在各方向上每秒发出的总声能；动画中扬声器为 10 mW。
$A$	面积	$m^{2}$	功率所铺展的面积，与声音方向垂直；对点声源即球面 $4 π r^{2}$ 。
$r$	距声源的距离	$m$	声源到听者位置的距离； $r_{1}$ 与 $r_{2}$ 是两个这样的距离。
$I$	声强	$W/ m^{2}$	听者位置处单位面积的功率； $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 是其在 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 处的值。
$I_{0}$	参考声强	$W/ m^{2}$	$1 0^{- 12} W/ m^{2}$ ，大致相当于 1 kHz 时的听阈，是分贝标度的零点。
$β$	声强级	$dB$	$10 lo g_{10} (I / I_{0})$ ，以分贝表示的比值； $β_{1}$ 、 $β_{2}$ 与 $β_{N}$ 分别为给定距离处的声级或 $N$ 个声源的声级。
$N$	声源数量		同时发声的相同且独立声源的数量。
$p_{0}$	压强振幅	$Pa$	声波经过时，空气压强超过其平均值的最大量； $p_{0} / 2$ 为仪表所测量的均方根压强。
$ρ$	空气密度	$kg/ m^{3}$	一立方米介质的质量，在 20 °C、海平面气压下空气约为 $1.20 kg/ m^{3}$ 。
$c$	声速	$m/s$	20 °C 空气中约为 343 m/s；乘积 $ρ c \approx 413 kg/ (m^{2} s)$ 即空气的声阻抗。在《声音与多普勒效应》中写作 $v$ 。

练习

入门你在开阔的场地中，从离一个小扬声器 1 m 处走到 2 m 处。你耳边的声强会发生什么变化？
1. 减半
2. 降为四分之一
3. 保持不变
4. 降为八分之一
显示答案
答案: B. 降为四分之一
距离加倍时，同样的声能铺展在面积为四倍的球面上，因此每平方米、每只耳朵接收到的都只有四分之一。
入门声音的哪一种性质主要决定其音调，即听起来是高还是低？
1. 它的声强
2. 它的速度
3. 它的频率
4. 你与声源的距离
显示答案
答案: C. 它的频率
音调取决于频率，即每秒振动的次数。声强决定声音的响度，而不是高低；而且在空气中所有声音的传播速度都相同。
入门声级从 50 dB 升至 70 dB。声音的声强变为原来的多少倍？
1. 100 倍
2. 20 倍
3. 2 倍
4. 1.4 倍
显示答案
答案: A. 100 倍
每增加 10 dB，声强就变为 10 倍，因此多 20 dB 意味着声强变为 10 × 10 = 100 倍。
中级一个警笛向各方向均匀辐射 2 W 的声功率。距离它 10 m 处的声强是多少？
1. 1.6 × 10⁻² W/m²
2. 2.0 × 10⁻² W/m²
3. 5.0 × 10⁻³ W/m²
4. 1.6 × 10⁻³ W/m²
显示答案
答案: D. 1.6 × 10⁻³ W/m²
I = P/(4π·r²) = 2 ÷ (4π × 10²) ≈ 1.6 × 10⁻³ W/m²。忘记对 r 平方会得到 1.6 × 10⁻² W/m²，只除以 r² 会得到 2.0 × 10⁻² W/m²，漏掉 π 则得到 5.0 × 10⁻³ W/m²。
中级两台相同的机器在你所在位置各产生 80 dB。两台同时运行时声级是多少？
1. 160 dB
2. 83 dB
3. 86 dB
4. 80 dB
显示答案
答案: B. 83 dB
两台机器是独立（非相干）声源，因此相加的是声强而不是分贝。声强加倍增加 10·log₁₀ 2 ≈ 3 dB，所以声级为 83 dB。要达到 86 dB 需要四台机器；两个相干声源，如播放同一音调的两只扬声器，只有在相长干涉的位置才会增加 +6 dB。
中级声强为 10⁻⁵ W/m² 的声音，其声强级是多少？（I₀ = 10⁻¹² W/m²）
1. 70 dB
2. 50 dB
3. 7 dB
4. −50 dB
显示答案
答案: A. 70 dB
β = 10·log₁₀(10⁻⁵ / 10⁻¹²) = 10·log₁₀(10⁷) = 70 dB。忘记系数 10 会得到 7 dB，而不除以 I₀ 直接取 10·log₁₀ I 则得到 −50 dB。
高级在开阔的空气中，声级计在距一个小声源 1 m 处读数为 94 dB。在 10 m 处它的读数是多少？
1. 84 dB
2. 88 dB
3. 74 dB
4. 9.4 dB
显示答案
答案: C. 74 dB
声级下降 20·log₁₀(r₂/r₁) = 20·log₁₀ 10 = 20 dB，得到 74 dB。84 dB 对应 I ∝ 1/r 的结果，而 88 dB 是距离仅加倍一次后的读数。
高级在一条长而繁忙的高速公路旁，每当距离加倍，噪声级仅下降约 3 dB，而不是 6 dB。原因是什么？
1. 交通噪声大多是低音
2. 近地面的空气吸收的声音较少
3. 地面把额外的声音反射到你这边
4. 公路是一排声源，而不是一个点
显示答案
答案: D. 公路是一排声源，而不是一个点
沿公路分布的车辆通过面积为 2π·r·L 的圆柱面辐射声音。r 加倍只使该面积加倍，因此 I 减半，声级下降 3 dB；而点声源则沿球面扩散，下降 6 dB。地面反射在任何距离上带来的增量都大致相同，因此无法改变每加倍距离的下降量。

$Δ P$	锥体所携带的功率：穿过每个面的那部分声源输出。	$W$
$r_{1}$	声源到第一个面的距离。	$m$
$r_{2}$	声源到第二个面的距离，为 $r_{1}$ 的两倍。	$m$
$A_{1}$	第一个面的面积，正对声源。	$m^{2}$
$A_{2}$	第二个面的面积，为 $A_{1}$ 的四倍，其四个格子中各有一条射线。	$m^{2}$
$I_{1}$	第一个面处的声强：此处每平方米的功率， $Δ P / A_{1}$ 。	$W/ m^{2}$
$I_{2}$	第二个面处的声强， $Δ P / A_{2}$ 。	$W/ m^{2}$

$p$	声波在所示瞬间的超压。	$Pa$
$r$	沿射线距声源的距离。	$m$
$p_{1}$	$r_{1}$ 处波峰的高度：该处的压强振幅。	$Pa$
$p_{2}$	$r_{2}$ 处波峰的高度：为 $p_{1}$ 的一半。	$Pa$
$r_{1}$	声源到第一个标记波峰的距离。	$m$
$r_{2}$	到第二个标记波峰的距离，为 $r_{1}$ 的两倍。	$m$
$λ$	波长：相邻波峰之间的距离，在任何 $r$ 处都相同。	$m$
$C / r$	波的包络， $C$ 为由声源决定的常数：波峰触及 $+ C / r$ ，波谷触及 $- C / r$ 。	$Pa$

$p_{1}$	第一个波在听者处的压强振幅：其箭头的长度。	$Pa$
$p_{2}$	第二个波的压强振幅，此处与 $p_{1}$ 相等；其方向表示它相对于第一个波的相位。	$Pa$
$p$	合成波的振幅：箭头之和 $p_{1} + p_{2}$ 。	$Pa$
$φ$	相位差： $p_{2}$ 从 $p_{1}$ 方向旋转的角度；同相时为 $0$ ，相差半个周期时为 $π$ 。	$rad$

$P$	每个声源的声功率。	$W$
$d$	相邻声源之间的间距。	$m$
$M$	声级计。
$r$	仪表到公路的距离，也是它到最近声源的距离。	$m$
$x$	某个声源沿公路的位置，从 $M$ 向公路所作垂线的垂足量起。	$m$
$s$	该声源到仪表的距离， $r^{2} + x^{2}$ 。	$m$
$d x$	公路上一小段的长度；其中含有 $d x / d$ 个声源。	$m$