静力平衡与杠杆

入门

桥梁、书架和平衡的跷跷板有一个共同点：它们都保持完全静止。物理学家称之为静力平衡。下面一步步说明它需要什么条件。

第一步：推力和拉力必须相互抵消。平放在桌上的书受到重力向下拉，桌面同样大小地向上推，因此合力为零，书不会开始运动。

第二步：只抵消受力还不够。在桌上把尺子两端朝相反方向同样用力推，尺子会原地转动。所以转动效应也必须相互抵消。力的转动效应叫做力矩，它随力的大小以及作用点离支点的距离而增大。

第三步：在跷跷板上，较重的一侧会占上风，除非它更靠近中间。体重两倍的人必须坐得离支点只有一半远，这样两侧的重量乘以距离才相等。这就是杠杆定律，自阿基米德时代就已为人所知；正是它让一根长撬棍能撬动你根本抬不起的石头。在动画中，蓝色重箱向支点滑动，当它位于刻度 2 处、轻箱位于刻度 4 处时，横梁水平平衡。

第四步：每个物体的表现都像其全部重量集中作用于一点，即它的质心。书柜或俯身的人只要质心仍在其支撑面之上，就不会倒下；再倾斜过多，重力就会使其翻倒。

自测：一个 20 kg 的孩子坐在跷跷板上，离支点 3 m。体重 60 kg 的家长应坐在哪里才能平衡？（在支点另一侧 1 m 处：重量是三倍，距离是三分之一。）

中级

平衡的两个条件

刚体是保持形状不变的物体。当它保持静止，即既不开始滑动，也不开始转动时，就处于静力平衡。受力必须相互抵消，否则质心会加速；它们的转动效应（即力矩）也必须相互抵消，否则物体会开始转动：
$\sum F=0,\sum \tau =0$

在平面内，第一个条件相当于两个方程，分别对应水平和竖直分量。两个条件彼此独立：大小相等、方向相反但作用线不同的两个力，合力为零却构成力偶，这正是你的双手转动方向盘的原理。每道题都从受力图开始：单独画出物体，并在力的作用点画出所有外力，重力画在质心，支撑力画在接触点。

力矩：力乘以力臂

力矩衡量一个力绕选定点使物体转动的强弱。取力的作用线，即力沿其作用的直线，以及该点到作用线的垂直距离 $r$，它称为力臂。于是
$\tau =rF\text{(}r\text{: lever arm, perpendicular to the line of action)}$

力矩的单位是牛顿米（N·m），不写成焦耳，因为力矩不是能量。逆时针方向的力矩取正值。作用线通过该点的力，无论多大都没有力矩：沿门轴方向推门，门不会转动。若力作用在距该点 $d$ 处，且其方向与两点连线成 $\varphi$ 角，则力臂为 $d\sin \varphi$。

杠杆定律

在支点一侧距离 $r_1$ 处放置负载 $m_1$，另一侧距离 $r_2$ 处放置负载 $m_2$。每个重量 $mg$ 竖直向下，因此其力臂就是它离支点的水平距离。两个力矩方向相反，$\sum \tau =0$ 给出
$m_{1}g{r}_1=m_{2}g{r}_2\text{(law of the lever)}$

$g$ 约去，因此只有质量和距离起作用：质量加倍，力臂就需减半。支点的作用力对支点本身没有力矩，因此不出现在方程中；$\sum F=0$ 则确定其大小，即它所承受的总重量，包括横梁自重在内。杠杆定律还能放大力：在撬棍距支点 1.2 m 处施加 300 N 的力，它在距支点 0.10 m 处的石头上产生 3600 N 的压力。

例题：动画中的天平

轻箱 $m_2=1.0\mathrm{kg}$ 位于销钉右侧 $r_2=0.40\mathrm{m}$ 处，因此横梁水平时它的顺时针力矩为
${\tau }_2=r_2{m}_{2}g=0.40\cdot 1.0\cdot 9.81=3.92\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
重箱 $m_1=2.0\mathrm{kg}$ 与之平衡的位置为
$r_1=\frac{m_2{r}_2}{m_1}=\frac{1.0\cdot 0.40}{2.0}=0.20\mathrm{m}$

即横梁上 10 cm 刻度的 2 格对 4 格。此时两个读数都显示 3.92 N·m，横梁水平：箭头 $F_1=19.6\mathrm{N}$ 是 $F_2=9.81\mathrm{N}$ 的两倍长，底部标出的力臂 $r_1$ 与 $r_2$ 之比为 1 : 2。

开始时，重箱位于距支点 0.42 m 处，其 8.30 N·m 的力矩压过了轻箱的 3.79 N·m。横梁逆时针转动约 10°，直到销钉下方的配重指针向轻箱一侧摆动，提供缺少的 4.51 N·m 为止。随着重箱向内滑动，${\tau }_1$ 下降；在 0.20 m 以内，轻箱一侧占优；在 0.10 m 处，${\tau }_1\approx 1.87\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，横梁反向倾斜约 4.6°。

请注意，尽管轻箱从未移动，${\tau }_2$ 仍在 3.79 与 3.95 N·m 之间变化：横梁倾斜会改变销钉到其重力虚线的水平距离。力臂是垂直于作用线测量的，而不是沿横梁方向测量的。

例题：站在木板上的油漆工

一块长 3.0 m、质量分布均匀的 20 kg 木板，两端搁在支架上，一名 70 kg 的油漆工站在距左端 1.0 m 处。木板的重量 $196.2\mathrm{N}$ 作用于其中点，油漆工的重量 $686.7\mathrm{N}$ 作用于 1.0 m 处。对左支架取力矩，即可消去其未知力：
$F_R\cdot 3.0=686.7\cdot 1.0+196.2\cdot 1.5=981\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
因此 $F_R=327\mathrm{N}$，由 $\sum F=0$ 得 $F_L=686.7+196.2-327=556\mathrm{N}$：离油漆工较近的支架承受的力更大。

现在把右支架向内移动 1.0 m，使木板留出 1.0 m 的悬臂，然后让油漆工向外走。当左侧的支撑力降为零时，木板会绕该支架翻倒，即油漆工对该支架的力矩等于木板的力矩（木板的质心位于另一侧 0.50 m 处）：$70d=20\cdot 0.50$，因此 $d=0.14\mathrm{m}$。只需越过支架一小步，木板就会翻倒，这就是脚手架木板要固定住的原因。

质心、稳定性与翻倒

计算力矩时，物体的全部重量可视为作用于一点，即它的质心，也就是按质量加权的平均位置：
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
对于平衡状态下的两个箱子，$x_{\mathrm{CM}}=(2.0\cdot (-0.20)+1.0\cdot 0.40)/3.0=0$：位于销钉正上方，这也就是说横梁是水平的。

若微小倾斜会使质心升高，从而让重力把物体转回，则平衡是稳定的，如动画中的天平：其沉重的指针使质心保持在销钉下方。若倾斜使质心降低，则平衡不稳定，例如立在笔尖上的铅笔，或两人同坐的跷跷板。

底座上的物体，一旦过质心的铅垂线落到底座之外，就会翻倒。一台宽 0.70 m、高 1.80 m 的均匀冰箱，被倾斜到一条棱边上，如果在 21.3° 之前释放，它会摆回原位；超过该角度（即 $\tan \theta =0.70/1.80$）就会倒下。放在斜面上的均匀箱子，在 $\tan \theta =w/h$ 时翻倒。

常见错误

• 以为平衡需要重量相等。实际需要的是力矩相等：2.0 kg 在 0.20 m 处与 1.0 kg 在 0.40 m 处平衡。
• 沿横梁或门测量力臂，而不是垂直于作用线测量。对门施加 50 N 的力，作用方向与门成 30°，作用点距门轴 0.80 m，力矩为 $0.80\cdot 50\cdot \sin 30^{\circ }=20\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，而不是 40 N·m。
• 忘记计入横梁自重。若不计木板的 20 kg，右支架似乎只承受 229 N，而不是 327 N。
• 认为力矩必须对真正的支点计算。$\sum \tau =0$ 对任意点都成立，因此应选择未知力作用的那一点。
• 认为较重的物体会在更大的倾角翻倒。决定因素只是形状：宽 0.40 m、高 1.00 m、装载均匀的箱子，不论装 20 kg 还是 200 kg，都在 21.8° 翻倒。

实际应用

工程师用这两个方程确定梁和地基的尺寸；塔式起重机则用短臂上的混凝土配重来平衡吊重。你的前臂就是一根杠杆：肱二头肌在距肘部约 5 cm 处发力，因此将 5.0 kg 的哑铃握在距肘 35 cm 处，需要约 $49\cdot 0.35/0.05\approx 343\mathrm{N}$ 的拉力，是哑铃重量的七倍。这些思想在《简单机械：杠杆、滑轮与齿轮》中继续发展，其中杠杆以力换距离；在《弹性：胡克定律、应力与应变》中，真实的梁会在此处所述的载荷下弯曲。

高级

零虚功即平衡

两个条件使刚体保持静止：作用在其上的力之和为零，它们的力矩之和也为零。两者都可由同一个关于功的表述推出，而这一表述之后还决定平衡是否稳定，因此值得以这种方式推导一次。

设想让静止的物体发生一个微小位移，且支撑允许这种位移：这是一个仅在纸面上进行的虚位移。把物体上每个力在此过程中所做的功加起来，总和即为虚功 $\delta W$。若对某个允许的运动 $\delta W$ 为正，则受力本身就会沿该方向提供动能，物体便会自行朝那个方向运动。反向的微小位移会使 $\delta W$ 变号，因此它也不可能为负。于是，在平衡状态下，对支撑允许的每一个位移，虚功在一阶位移量上都为零。

在平面内运动的刚体有三种独立的微小运动：沿两个方向的平移，以及转动。在平移 $\delta \vec{s}$ 中，物体上每点都移动同样的 $\delta \vec{s}$，因此 $\delta W=(\sum \vec{F})\cdot \delta \vec{s}$；只有当 $\sum \vec{F}=0$ 时，它才会对所有方向的平移都为零。在绕任意一点的微小转动 $\delta \theta$ 中，相对该点力矩为 $\tau$ 的力所做的功为 $\tau \delta \theta$：力矩恰好就是每弧度转角所做的功。于是 $\delta W=(\sum \tau )\delta \theta$，只有当 $\sum \tau =0$ 时它才为零。

内力，即物体各部分之间的推力和拉力，从不进入上述结论。它们成对出现，大小相等、方向相反，沿连接两部分的直线作用；刚体保持这两部分之间的距离不变，因此每对内力所做的功大小相等、符号相反。

仅由功推导杠杆定律

最简单的检验是杠杆。虚功原理可直接由重量和高度推出杠杆定律，而无需先定义力矩。

图例

$m_{1}g$	负载 1 的重量，其质量为 $m_1$。	$\mathrm{N}$
$m_{2}g$	负载 2 的重量，其质量为 $m_2$。	$\mathrm{N}$
$r_1$	从销钉到负载 1 沿横梁的距离。	$\mathrm{m}$
$r_2$	从销钉到负载 2 沿横梁的距离；此处为 $r_1$ 的两倍。	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	横梁绕销钉的微小虚转动，图中已夸大。	$\mathrm{rad}$
$\delta h_1$	转动期间负载 1 的下降量：$r_1\delta \theta$。	$\mathrm{m}$
$\delta h_2$	转动期间负载 2 的上升量：$r_2\delta \theta$。	$\mathrm{m}$

图 1 展示一根架在销钉上的横梁：一侧在距离 $r_1$ 处有质量为 $m_1$ 的负载 1，另一侧在距离 $r_2$ 处有质量为 $m_2$ 的负载 2。横梁处于平衡，$m_1{r}_1=m_2{r}_2$，我们让它绕销钉作一个微小的虚转动 $\delta \theta$，图中的转动被画得比实际大得多。请看两个短的竖直线段。横梁上距销钉为 $r$ 的点沿长度为 $r\delta \theta$ 的圆弧运动，对于小角度，该圆弧几乎是竖直的。因此负载 1 下降 $\delta h_1=r_1\delta \theta$，负载 2 上升 $\delta h_2=r_2\delta \theta$。

现在把功加起来。销钉不动，因此其作用力不做功。重力只对竖直运动做功：对下降的负载 1，它做功 $+m_{1}g\delta h_1$；对上升的负载 2，它做功 $-m_{2}g\delta h_2$。令总功为零，得 $m_{1}g{r}_1\delta \theta =m_{2}g{r}_2\delta \theta$，两边除以 $g\delta \theta$ 便得到 $m_1{r}_1=m_2{r}_2$。这就是杠杆定律，仅通过能量核算即可得到。

在动画中，平衡的横梁在 $r_1=0.20\mathrm{m}$ 处挂着 2.0 kg 的箱子，在 $r_2=0.40\mathrm{m}$ 处挂着 1.0 kg 的箱子。使其倾斜 0.01 rad，重箱下降 2 mm，轻箱上升 4 mm，而 $2.0\cdot 2=1.0\cdot 4$：一侧重力所得，恰由另一侧偿还。

为什么规律不可能是别的？一个平衡且无摩擦的杠杆，可以被任意小的推力缓慢转动。若它在其他质量与距离之比下也能平衡，那么朝某个方向转动就会增加负载的总势能，而没有任何东西来提供这份能量，这个操作还可以无限重复：这就是永动机。因此，杠杆定律来自永动机不可能实现这一原理。西蒙·斯蒂文在 1586 年就以这种方式论证斜面问题：一根闭合的链条挂在楔子上，不会自行循环转动。

三个方程与任意点作为支点

实际中，人们把平衡条件写成方程，并选取使方程最简便的支点。本节说明为何任何点都可作支点，以及这些方程能确定多少个未知量。

在平面内，平衡由三个方程构成：$\sum F_x=0$，$\sum F_y=0$，$\sum {\tau }_z=0$。作用于位置 ${\vec{r}}_i$ 的力 ${\vec{F}}_i$ 相对于点 $B$ 的力矩为 $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_B)\times {\vec{F}}_i$。将力臂拆分为 $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_A)+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)$，其中 $A$ 为任意另一点，再对所有力求和：
${\vec{\tau }}_B={\vec{\tau }}_A+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)\times \sum \vec{F}$
当合力为零时，第二项消失，力矩对每一点都相同。因此支点可以任选在方便的位置，通常取在某个支座处：该支座的未知力在那里没有力臂，因而在力矩方程中被消去。

三个方程至多确定三个未知量。搁在两个支座上的梁，或贴靠光滑墙面的梯子，未知量不超过三个，称为静定。四腿桌子有四个未知腿力，却只有三个有效方程，因此是超静定的：仅凭静力学无法确定载荷如何分配，只有腿和地面的微小变形才能决定它。在不平的地面上，一条腿可能完全不受力，而桌子会晃动。

三个力交于一点

当恰好三个力使物体保持静止时，一条几何规则会在写出任何方程之前就确定其中一个力的方向。靠在墙上的梯子就是标准例子。

图例

$W$	梯子的重量，作用于其中点。	$\mathrm{N}$
$P$	墙的推力。光滑墙面只沿垂直于自身的方向施力，因此 $P$ 是水平的。	$\mathrm{N}$
$R$	梯子底端的地面反作用力：法向力与摩擦力的合力。其作用线经过 $T$。	$\mathrm{N}$
$T$	$W$ 与 $P$ 作用线的交点。
$\theta$	梯子与地面之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$\phi$	$R$ 与竖直方向的夹角；$\tan \phi =a/h$，即摩擦力除以法向力。	$\mathrm{rad}$
$h$	梯顶的高度，也是 $T$ 的高度。	$\mathrm{m}$
$a$	从梯底到穿过中点的竖直线的水平距离，该竖直线也经过 $T$。	$\mathrm{m}$

图 2 展示一根长为 $L$、重为 $W$ 的均匀梯子，它以角 $\theta$ 立在地面上，并靠在光滑的墙上。梯子受三个力作用。重量 $W$ 竖直向下穿过中点。光滑墙面只能沿垂直于自身的方向施力，因此它在顶端的推力 $P$ 是水平的。地面在底端的反作用力 $R$ 的方向起初未知。沿 $W$ 与 $P$ 的作用线（图中的虚线）延长，二者相交于 $T$，它与梯子顶端同高，且位于中点正上方。

对 $T$ 取力矩。$W$ 和 $P$ 都没有力矩，因为两条作用线都过 $T$。总力矩为零，因此 $R$ 对 $T$ 也必须没有力矩，只有当其作用线也过 $T$ 时才有可能。这就在还未提及摩擦之前确定了 $R$ 的方向。这一规则具有普遍性：当恰好三个不平行的力使物体平衡时，它们的作用线交于一点。

现在把 $R$ 分解为竖直向上的法向力 $N$，以及沿地面朝墙方向的摩擦力 $f$。竖直方向平衡得 $N=W$，水平方向得 $f=P$。在图 2 中，$R$ 与竖直方向的夹角为 $\phi$，因此 $\tan \phi =f/N$。同一个角也出现在直角三角形的底角处，该三角形的竖直边为梯顶（及 $T$）的高度 $h=L\sin \theta$，水平边为从底端到穿过中点的竖直线的距离 $a=\frac{1}{2}L\cos \theta$。于是 $\tan \phi =a/h$，且
$\frac{f}{N}=\frac{a}{h}=\frac{1}{2\tan \theta }$
对于与地面成 $60^{\circ }$ 的均匀梯子，这个值为 $1/(2\tan 60^{\circ })\approx 0.29$，与梯子的重量及长度无关。因此，只有地面上的静摩擦因数至少为 0.29，梯子才能立住。梯子越陡，所需的摩擦越小。

重力作用于质心

几乎所有静力学问题都用一个作用于质心的力来代替物体的重量。下面说明为何在均匀重力场中这一做法是精确的，以及它对动画中天平的预测。

物体的每一部分 $i$，质量为 $m_i$，相对某个支点的位置为 ${\vec{r}}_i$，受到重力 $m_i\vec{g}$。由于每个部分的 $\vec{g}$ 都相同，它可以提到求和号外：$\sum {\vec{r}}_i\times m_i\vec{g}=(\sum m_i{\vec{r}}_i)\times \vec{g}=M{\vec{r}}_{\mathrm{CM}}\times \vec{g}$，其中 $M$ 为总质量，${\vec{r}}_{\mathrm{CM}}=\sum m_i{\vec{r}}_i/M$。整个重量作用于质心。以支点为原点沿水平方向量取 $x$，逆时针力矩取正，则
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
$\sum {\tau }_{\mathrm{gravity}}=-Mg{x}_{\mathrm{CM}}$
负号表示：位于支点右侧的质心使物体顺时针转动。由此得出两个推论。悬挂在销钉上的物体，其质心会停在销钉正下方，此时重力没有力矩。另外，从两个不同挂点悬下的铅垂线相交于质心，这正是实际中确定质心的方法。

把这一结论应用于两个箱子本身。记 ${\tau }_1$ 为重箱的逆时针力矩，${\tau }_2$ 为轻箱的顺时针力矩，$x_{\mathrm{CM}}$ 为两箱的质心；则 ${\tau }_1-{\tau }_2=-(m_1+m_2)g{x}_{\mathrm{CM}}$。动画（专家级）中的图表将其对重箱位置 $x_1$ 作图：在 $x_1=-0.42\mathrm{m}$ 处为 4.51 N·m，在 $x_1=-m_2{r}_2/m_1=-0.20\mathrm{m}$ 处为零，在 $x_1=-0.10\mathrm{m}$ 处为 $-2.07\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。该直线近乎笔直，斜率接近每米 $-m_{1}g=-19.6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$：箱子每向内滑动一厘米，力矩约减少 0.20 N·m。所绘斜率比此值陡约 5%。两箱的中心略高于销钉线约 5 cm，因此箱子每移动一点，随之而来的倾斜变化也会使它们在水平方向上略有移动。

这并非横梁上的总力矩。指针上的 14 kg 配重提供相反的力矩，使总和保持为零，这就是横梁只倾斜一部分的原因（下文将具体算出）。动画中的金色铅垂线以几何方式显示同一件事：横梁朝向两箱质心所在的一侧倾斜。

稳定性与势能

平衡可能像碗底，物体会回到那里；也可能像山顶，物体会从那里滚落。势能可以区分这两种情况。

对于绕销钉转动的物体，其势能为 $U(\theta )=Mg{y}_{\mathrm{CM}}$，其中 $y_{\mathrm{CM}}$ 为质心的高度。物体转过 $d\theta$ 时，重力的力矩做功 $\tau d\theta$，这部分功取自 $U$，因此 $dU=-\tau d\theta$。于是，平衡即零力矩，意味着 $dU/d\theta =0$。若 $d^{2}U/d{\theta }^2>0$，则平衡稳定：此时微小倾斜会使质心升高，出现的力矩把物体推回。若 $d^{2}U/d{\theta }^2<0$，则不稳定；若 $U$ 保持不变，则为中性平衡，例如绕轴转动的均匀轮子。

设质心到销钉的距离为 $\ell$，与竖直向下方向的夹角为 $\psi$。其相对销钉的高度为 $-\ell \cos \psi$，因此 $U=-Mg\ell \cos \psi$，且 $d^{2}U/d{\psi }^2=Mg\ell \cos \psi$。在 $\psi =0$ 处它为正，因此挂在销钉下方是稳定的；在 $\psi =180^{\circ }$ 处它为负，因此立在销钉上方是不稳定的。载人的跷跷板，其质心位于支点上方，它不会保持水平，而是落在一端，靠地面支撑停在那里。动画中的天平在销钉下方 0.19 m 处悬挂一个 14 kg 的配重，正是为了避免这种情况。

例题：天平倾斜多远

箱子偏离中心时，动画中的天平不会落到一端，而是停在确定的倾角上。本节先用几何方法、再用能量方法计算该角度。

图例

$O$	横梁绕其转动的销钉。
$G$	整个天平的质心：箱子、横梁、指针和配重。
$Mg$	整个天平的重量，总质量为 $M$，作用于 $G$。	$\mathrm{N}$
$u_G$	$G$ 沿横梁相对销钉的位置，向右为正；此处为负。	$\mathrm{m}$
$w_G$	$G$ 垂直于横梁的位置，向上为正；此处为负，因为 $G$ 位于横梁下方。	$\mathrm{m}$
$\theta$	横梁相对水平面的倾角，逆时针为正。同一个角也出现在三角形的 $G$ 处。	$\mathrm{rad}$

图 3 示意天平，比例已夸大。采用固连于横梁、以销钉 $O$ 为原点的坐标：沿横梁方向的 $u_i$（向右为正）和垂直于横梁的 $w_i$（向上为正）。各部件质量为 $m_i$，合起来的重量如同一个质量为 $M=\sum m_i$ 的物体作用于其质心 $G$，其坐标为 $u_G=A/M$ 和 $w_G=B/M$，其中
$A=\sum m_i{u}_i,B=\sum m_i{w}_i$
横梁相对水平面的倾角 $\theta$ 以逆时针为正。

当 $G$ 恰好位于 $O$ 的正下方时天平静止，因为此时重量 $Mg$ 通过销钉，没有力矩。（质心位于 $O$ 正上方同样是平衡，但是不稳定的平衡。）在图 3 中，从 $O$ 沿横梁走 $u_G$，再垂直横梁走 $w_G$，即到达 $G$；从 $G$ 沿铅垂线回到 $O$ 则构成一个直角三角形，直角位于 $u_G$ 与 $w_G$ 相交处。$G$ 处的角等于倾角 $\theta$。与另两条直线分别垂直的两条直线，其夹角与原两条直线的夹角相同；横梁与水平线的夹角为 $\theta$，因此与横梁垂直的边 $w_G$，与水平线垂直的铅垂线，二者的夹角同样是 $\theta$。从 $G$ 看，$u_G$ 为对边，$w_G$ 为邻边，故
$\tan \theta =\frac{u_G}{w_G}=\frac{A}{B}$
在图中，$u_G$ 与 $w_G$ 均为负，因此 $\tan \theta >0$：横梁逆时针转动，左侧朝下。

势能给出同样的结果，并且还能判断稳定性。逆时针转过 $\theta$ 后，第 $i$ 个部件位于销钉上方的高度 $u_i\sin \theta +w_i\cos \theta$ 处，因此
$U(\theta )=g(A\sin \theta +B\cos \theta )$
令 $dU/d\theta =g(A\cos \theta -B\sin \theta )$ 为零，再次得到 $\tan \theta =A/B$。

现在代入数值。两箱的中心位于销钉线上方 0.053 m 和 0.043 m，配重位于其下方 0.19 m，因此 $B=2.0\cdot 0.053+1.0\cdot 0.043-14\cdot 0.19\approx -2.51\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$；横梁自身的重量作用于销钉，不贡献任何项。开始时，重箱沿横梁位于 $x_1=-0.42\mathrm{m}$，轻箱位于 0.40 m，因此 $A=2.0\cdot (-0.42)+1.0\cdot 0.40=-0.44\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$。于是 $\tan \theta =0.175$，$\theta =9.9^{\circ }$，重的一侧向下，与图 3 一致。在 $x_1=-0.10\mathrm{m}$ 处，$A=+0.20\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$，$\theta =-4.6^{\circ }$，另一侧向下；在 $x_1=-0.20\mathrm{m}$ 处，$A=0$，横梁水平。作为检验，开始时配重的顺时针力矩 $14\cdot 9.81\cdot 0.19\sin \theta \approx 4.51\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，正好抵消图线起点处两箱的力矩。

这一静止位置是否稳定？二阶导数为 $d^{2}U/d{\theta }^2=-g(A\sin \theta +B\cos \theta )$，在 $G$ 位于 $O$ 下方（此处 $B<0$）的平衡处，其值为 $g\sqrt{A^2+B^2}$。它每弧度至少为 $g|B|=9.81\cdot 2.51=24.6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，因此无论箱子位于何处，天平都是稳定的。接近水平 $\theta \approx A/B$ 时：把箱子滑动 1 cm 使 $A$ 变化 0.020 kg·m，横梁倾斜 $0.020/2.51\approx 0.008\mathrm{rad}$，约 0.46°。这就是天平的灵敏度。较轻的配重或较短的指针会使 $|B|$ 变小，从而提高灵敏度，代价是接近水平时的恢复力矩变弱，即每弧度 $g|B|$。若没有配重，$B=+0.15\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$：$G$ 位于销钉上方，水平位置处的二阶导数为负，哪怕最微小的不平衡也会使横梁整个翻过去，像跷跷板一样。

翻倒与滑动

放在斜面上的物体可能以两种方式失去平衡：沿斜面滑下，或绕其下方棱边翻倒。哪一种先发生，只取决于其形状和摩擦。

图例

$w$	箱子底面的宽度，沿斜面方向。	$\mathrm{m}$
$h$	箱子的高度。	$\mathrm{m}$
$\theta$	斜面的倾角。同一个角也位于 $R$ 与斜面法线之间。	$\mathrm{rad}$
$mg$	箱子的重量，作用于其中心。	$\mathrm{N}$
$R$	斜面对箱子的接触力（法向力加摩擦力）：与重量大小相等、方向相反，因此竖直。	$\mathrm{N}$
$d$	从底面下边缘到 $R$ 作用点的距离：$d=w/2-(h/2)\tan \theta$。	$\mathrm{m}$

图 4 展示一个均匀箱子，底宽为 $w$、高为 $h$，放在倾角为 $\theta$ 的斜面上。它只受两个力：作用于中心的重量 $mg$，以及斜面的接触力 $R$，即整个底面上法向力与摩擦力的合力。两个力只有大小相等、方向相反且在同一直线上时才平衡，因此 $R$ 竖直向上，沿过中心的铅垂线作用，作用点为该铅垂线与底面的交点。

要找到该点，从中心出发，它距下边缘沿底面为 $w/2$，距底面高 $h/2$。过中心的铅垂线与斜面法线相差 $\theta$，因此在向下穿过高度 $h/2$ 的过程中，它沿斜面向下偏移 $(h/2)\tan \theta$。所以它与底面的交点位于底面中点沿斜面向下 $(h/2)\tan \theta$ 处，到下边缘的距离为
$d=\frac{w}{2}-\frac{h}{2}\tan \theta$
即图 4 中标出的 $d$。斜面越陡，$d$ 越小。接触力不能作用于底面之外，因此当 $d$ 减为零时，它就不能再位于中心下方，箱子便绕其下边缘翻倒：
$\tan \theta =\frac{w}{h}\text{(tipping of a uniform crate on a ramp)}$

滑动可由同一幅图读出。$R$ 竖直，而法线与竖直方向成 $\theta$，因此 $R$ 与法线成 $\theta$ 角：即图 4 中 $R$ 与虚线法线之间标出的角。于是其摩擦分量与法向分量之比为 $\tan \theta$，而静摩擦只有在 $\mu \ge \tan \theta$ 时才能提供这一比值，其中 $\mu$ 为静摩擦因数。比较两个极限：若 $w/h<\mu$，箱子先翻倒；若 $\mu <w/h$，箱子先滑动。

一个宽 0.45 m、高 1.30 m 的文件柜，$w/h\approx 0.35$。在橡胶面上，$\mu \approx 0.8$，它在 19.1° 翻倒；在湿的塑料斜面上，$\mu =0.20$，它先滑动，在 11.3° 时发生。对于不均匀的物体，应以其质心到下边缘和到斜面的实际距离代替 $w/2$ 和 $h/2$。质心较低时 $d$ 减小得更慢，这就是重货要装在低处的原因。

适用范围

这里的一切都假设物体为刚体。真实的梁会弯曲，在超静定结构中，正是通过胡克定律体现的变形决定了各个力。静摩擦是一个不等式 $f\le \mu N$：方程给出物体所需的摩擦力，而该不等式只说明接触面能否提供这一摩擦力。

把重量作用于质心也需要均匀的场。重力随高度 $y$ 减弱的比例约为 $2y/R_{\mathrm{E}}$，其中 $R_{\mathrm{E}}$ 为地球半径。在一个高 $H=800\mathrm{m}$ 的均匀柱体中，重心（即重量实际作用的点）因此位于质心下方 $H^2/(6R_{\mathrm{E}})\approx 1.7\mathrm{cm}$ 处：对建筑物而言可以忽略。在轨道上，同样的梯度会使一颗长卫星指向地球；潮汐力矩也使月球始终以同一面朝向我们。

最后，静力学是缓慢变化的极限情形。若突然移动箱子，横梁会过冲并摆动；此时便由《转动动力学与力矩》中的 $\tau =I\alpha$ 接管。

延伸

虚功原理支配《简单机械：杠杆、滑轮与齿轮》中的每一种理想机械，而下垂的横梁则引向《弹性：胡克定律、应力与应变》。稳定平衡正是《简谐运动》开始之处：稍加位移后，物体绕平衡位置振动，其中 ${\omega }^2=(d^{2}U/d{\theta }^2)/I$，$I$ 为其绕销钉的转动惯量。流体同样遵循静力学：在《浮力与阿基米德原理》中，船在倾斜时其重量与浮力形成一个恢复力偶，使船保持直立。当力矩不能相互抵消时，物体便开始转动，这是《角动量及其守恒》的主题。电荷也有其自身的静力学，见《电场与电势》，但有一个转折：仅靠静电力，电荷永远无法处于稳定平衡（厄恩肖定理）。