直流电路与欧姆定律

入门

电路是一个闭合回路，电荷可以沿其流动：电池、一些导线和某种消耗能量的器件，例如灯泡。在回路任何地方断开（比如用开关断开），电流会立即在各处停止。

第 1 步：电池。电池内部的化学反应使一个极保持正极、另一个极保持负极。它并不产生电荷（导线中本来就充满了电荷）；它推动这些电荷绕回路流动。它的电压告诉你每库仑电荷从一个极到另一个极携带多少能量：9 V 的电池使每库仑电荷获得 9 焦耳。

第 2 步：电阻。灯泡或电阻器使电荷更难通过，就像水管中的一段狭窄部分。推力越大，电流越大；电阻越大，电流越小。所以电流 = 电压 ÷ 电阻（欧姆定律）。在动画中，紫色滑块增加电阻：橙色小点在整个回路中都变慢了，而不仅仅是在电阻器内部，灯泡也变暗。

第 3 步：一条路径（串联）。当元件首尾相接排成一排时，每个元件通过相同的电流，它们的电阻相加，并分担电池的电压。如果串联的一串灯泡中有一个烧坏，回路就断开了，所有灯泡都会熄灭。

第 4 步：多条路径（并联）。当每个元件都跨接在电池两端、各自拥有一条支路时，每个元件都获得全部电压，并独立工作。家庭电路就是这样布线的，因此关掉一盏台灯不会使冰箱停止工作。

小点在各处的移动速度相同：电荷并不会被消耗。灯泡是从电荷那里获取能量，而不是消耗电荷本身。

自测：一个 6 V 的电池驱动电流通过一个 3 Ω 的电阻。电流是多少？（答案：2 A。）

中级

电流、电压与电阻

电路是由导体组成的闭合路径，其中已充满可移动的电荷（金属中的自由电子）；电池并不提供这些电荷，而是使它们持续运动。电流 $I$ 是单位时间内通过某点的电荷量，$I=Q/t$，单位为安培：$1\mathrm{A}=1C/s$。按照惯例，电流方向与正电荷的运动方向相同，即从电池的正极经外电路流向负极，动画中的小点正是如此表示；金属中的电子向相反方向漂移，但电流大小相同。

两点之间的电压 $V$ 是每库仑电荷在两点间获得或失去的能量（$1\mathrm{V}=1J/C$）：类似高度差，是电势 $\phi$ 之差。电池每库仑电荷提供的能量称为电动势（emf）$\epsilon$；动画中 12 V 的电池使每库仑电荷获得 12 J。以欧姆为单位（$1\Omega =1V/A$）的电阻 $R$，是每安培所需的电压。测量时，电流表串联接入，电压表并联接入。

欧姆定律

对于温度恒定的金属，电流与电压成正比。欧姆定律写作
$V=IR$
其中 $R$ 为常数：电压加倍，电流也加倍。$V$ 对 $I$ 的图像是过原点、斜率为 $R$ 的直线，这类元件称为欧姆元件。白炽灯丝不是欧姆元件，因为其电阻在加热时会升高约十倍；二极管也不是，它只能单向导通。

均匀导线的电阻随其长度 $L$ 增大，随横截面积 $A$ 增大而减小：
$R=\frac{\rho L}{A}$
其中电阻率 $\rho$ 取决于材料。对于铜，$\rho =1.7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$，因此一米长、横截面积为 1 mm² 的铜线电阻仅为 0.017 Ω：与 10 Ω 的灯泡相比，连接导线通常可视为无电阻。

串联、并联与功率

串联元件首尾依次位于同一路径上，因此通过相同的电流，它们的电压相加：$I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$。并联元件跨接在相同的两点之间，因此共享相同的电压，它们的电流相加。每条支路都是一条额外的路径，因此电导 $G=1/R$（单位为西门子，S）相加，该组合的导电性能优于任何一条支路单独工作时：

• $R_{\mathrm{series}}=R_1+R_2$
• $\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

对于两个并联电阻，结果为 $R_1{R}_2/(R_1+R_2)$，小于其中较小的那个。较大的网络需要逐步化简：每一段串联链或并联组都用其等效电阻替代。最后，每库仑电荷在电压 $V$ 下降落时放出 $V$ 焦耳，每秒通过 $I$ 库仑，因此功率（单位为瓦特）为
$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$
串联时 $I$ 是共享的，电阻越大分得的功率越多；并联时 $V$ 是共享的，电阻越小分得的功率越多。

例题：动画中的电路

电池电动势 $\epsilon =12\mathrm{V}$，灯泡 $R_B=10\Omega$ 视为欧姆元件；紫色滑块使变阻器每 8 s 在 5 Ω 和 20 Ω 之间往复变化。开始时 $R=5\Omega$，
$I=\frac{\epsilon }{R+R_B}=\frac{12}{5+10}=0.80\mathrm{A}$
$V_R=0.80\cdot 5=4.0\mathrm{V},V_B=0.80\cdot 10=8.0\mathrm{V}$

这些就是 $I$、$V_R$ 和 $V_B$ 的读数，它们的电压降之和为 12 V。灯泡的功率 $P_B=8.0\cdot 0.80=6.4\mathrm{W}$，变阻器为 3.2 W，二者之和即电池输出的 $\epsilon I=9.6\mathrm{W}$。在周期中点，$R=20\Omega$，电流为 $12/30=0.40\mathrm{A}$，$V_R=8.0\mathrm{V}$，$V_B=4.0\mathrm{V}$。电压的分配发生了对调：串联时，每个元件分得的电压与其电阻成正比。灯泡的功率降为原来的四分之一，即 1.6 W，发光也随之变暗。

图中两个红色的 $I$ 箭头，一个在灯泡前的上导线，另一个在灯泡后的下导线，长度始终相同：灯泡是从电荷那里获取能量，而不是消耗电荷本身。小点在整个回路中同时减速，而不仅仅是在变阻器中。

例题：汽车电池上的前大灯

汽车的两只前大灯，热态时每只电阻为 2.4 Ω，并联接在 12 V 电池两端。流过的电流是多少？若再接通 1.2 Ω 的后窗加热器，会发生什么变化？

每只大灯两端都有全部 12 V 电压，因此每只的电流为 $12/2.4=5.0\mathrm{A}$，功率为 $12\cdot 5.0=60\mathrm{W}$；两只合计 10 A，相当于一个 1.2 Ω 的电阻。加热器增加了第三条支路，电流为 $12/1.2=10\mathrm{A}$，因此电池现在供出 20 A，验证如下
$\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{2.4}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{1.2}=\frac{1}{0.60\Omega }$
得 $12/0.60=20\mathrm{A}$。

理想情况下，大灯不会察觉加热器的存在。实际上它们会略微变暗：电池的内阻 $r$ 约为 0.02 Ω，在 20 A 时产生 $20\cdot 0.02=0.4\mathrm{V}$ 的压降；当起动机抽取约 150 A 时，压降约为 3 V，因此发动机启动时大灯会变暗。

沿回路跟踪电势

取电池负极为零电势，沿电流方向前进：电势在电池中上升 12 V，沿导线基本保持不变，在变阻器中下降 $V_R$，在灯泡中下降 $V_B$，最后回到零。上升的 12 V 与两次下降相抵，因此 $V_R+V_B=\epsilon$，即动画中所示的串联规律。

两条规律可推广到任意网络。节点处电荷不会堆积，因此若规定流入为正、流出为负，则
$\sum I=0\text{at a junction}$
而沿任一闭合回路绕行一周，经过的电动势之和等于电阻上的电压降之和（各项符号由绕行方向决定）：
$\sum \epsilon =\sum IR\text{around a loop}$

这两条是基尔霍夫定律，分别体现电荷守恒和能量守恒。对于动画中的回路，第二条规律在开始时给出 $12=5I+10I$，同样得到 0.80 A。

常见错误

• 灯泡并不消耗电流：0.80 A 流入，0.80 A 流出。它消耗的是能量，每库仑电荷消耗 8 J。
• 电池提供的是近似固定的电压，而不是固定的电流：同样的 12 V 在 15 Ω 中驱动 0.80 A，在 30 Ω 中则只驱动 0.40 A。
• 并联增加的电阻会降低总电阻，并提高电池电流：两个 10 Ω 灯泡并联得 5 Ω，而不是 20 Ω。
• 电子并不会在回路中飞速奔跑：在 1 mm² 的铜线中流过 0.80 A 时，它们的漂移速度约为 0.06 mm/s，每米需要近五小时。灯泡能立即亮起，是因为推力在纳秒内传到了所有电子。
• 短路意味着电流极大，而不是没有电流：对于内阻为 0.02 Ω 的汽车电池，$12/0.02=600\mathrm{A}$，足以熔断细导线。

应用实例

手电筒是电池、开关和灯泡串联而成；房屋采用并联布线，使每个电器都获得完整的市电电压，并能独立开关。音量旋钮和油量表是变阻器或分压器，应变片和热敏电阻则是电阻，其 $R$ 随受力或温度而变化。同样的规律也是《电容器》一课中 $RC$ 充电的基础，并将在《家庭中的电功率与电能》（千瓦时与保险丝）以及《磁体与电流的磁场》中再次出现。

高级

从场到集总元件

电路理论是一种刻意的简化，值得弄清楚它舍弃了什么。工作中的电路充满了电场和磁场，但我们只用几个数字来描述它。本节说明这种简化如何实现，以及何时允许使用。

全文的示例是动画中的电路：一个 12 V 电池、一个变阻器（阻值可以调节的电阻）和一个灯泡，全部接在同一个回路中。变阻器的电阻 $R$ 每 8 秒在 5 Ω 与 20 Ω 之间变化，灯泡则视为固定电阻 $R_B=10\Omega$。

每个元件，无论是电池、电阻器还是灯泡，都被看作一个带有两个端子 $a$ 和 $b$ 的方框。其内部发生的过程被忽略；重要的只有流过元件的电流 $I$ 以及其两端子之间的电压，
$V_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
其中 $\phi$ 是电势，$\vec{E}$ 是电场。要使其成为单一数值，从 $a$ 到 $b$ 的积分就不能依赖所走的路径。只要元件外部的电场是静电场，这一点就成立：这种场沿任意闭合回路的积分为零，因此两条端点相同的路径给出相同的结果。元件内部的全部细节，例如电阻器中的场分布或电池中的化学过程，都被浓缩为每个元件一个数：电阻 $R$ 或电动势 $\epsilon$。

有两个条件使这种集总描述精确成立。第一，元件之间的空间中不能有变化的磁通量穿过；否则法拉第定律会附加一个感应电动势，那里的 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}$ 就不再为零。第二，任何地方都不能积累电荷，因此流入元件的电流必须等于流出元件的电流。一旦开关引起的短暂过渡过程结束，直流电路就满足这两个条件。

还剩下一个问题：电场怎样知道要跟随导线的每一处弯折？它由导线和元件表面的电荷产生，这些电荷在闭合开关后的几纳秒内重新分布，直到每段导线内的电场都沿导线方向。对于铜来说，所需的电场非常小。以动画中最大的电流 0.80 A 为例，它流过横截面积为 1 mm² 的导线。电流密度，即单位面积上的电流，为 $J=0.80/10^{-6}=8\times 10^{5}A/{\mathrm{m}}^2$。铜的电阻率 $\rho$，即单位电流密度所需的电场，为 $1.7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$，因此
$E=\rho J=1.7\times 10^{-8}\cdot 8\times 10^5\approx 0.014V/m$
每米导线只消耗约 0.014 V，因此几乎全部 12 V 都落在变阻器和灯泡两端。

从守恒定律推出基尔霍夫定律

两条规则可以求解每一个直流电路，而且每条都是伪装起来的守恒定律：节点定律体现电荷守恒，回路定律体现能量守恒。弄清它们的来源，也能看出它们在何时会失效。

设 $\vec{J}$ 为电流密度：一个指向流动方向的矢量，其大小为单位面积上的电流，单位为 A/m²。离开闭合曲面的电流为 $\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}$，其中 $d\vec{A}$ 是曲面上一小块指向外侧的面元。电荷既不会产生也不会消失，因此这一流出量等于内部电荷的减少速率。在稳恒状态下，内部电荷保持不变，所以
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=0$
现在把曲面紧紧包围一个节点。只有导线穿过曲面，每根导线贡献自己的电流，结果就是节点定律 $\sum I=0$，其中流出的电流取正、流入的电流取负。

回路定律还需要另一个要素。仅靠静电场无法使电荷在回路中持续循环，因为它沿回路的积分为零：它对回路某一部分上的电荷所做的功，与对另一部分上电荷所做的功相互抵消。在电池内部，还有第二种非静电力起作用。记它为 $\vec{f}$，即单位电荷所受的力；它源于化学作用，把电荷从 − 极推向 + 极，逆着静电场的方向。它在电池内的积分就是电动势，
$\epsilon ={\int }_{-}^{+}\vec{f}\cdot d\vec{l}$
即它对每一库仑通过的电荷所做的功。在没有内阻的理想电池中，$\vec{f}$ 与电池内部的静电场相互抵消，因此电动势等于两端子之间的电压。

在电池之外，只有静电场起作用，而 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ 意味着电势在每一点只有一个值：从任意一点出发绕回路一周，回到出发点时电势相同。因此，电池处的升高必须等于其他所有部分的降低。这就是回路定律，它是对绕回路一周的每库仑电荷所作的能量平衡。

电阻器需要它自己的定律，而这一定律来自材料本身。在局部，$\vec{J}=\sigma \vec{E}$，其中 $\sigma$ 是电导率，$\rho =1/\sigma$ 是电阻率。在长度为 $L$、横截面积为 $A$ 的均匀导线中，电场是均匀的，因此电压为 $V=EL$，电流为 $I=JA=\sigma EA$。消去 $E$，即得欧姆定律 $V=IR$，其中 $R=\rho L/A$。

现在将这些规则应用于动画中的回路。它没有分支，因此处处流过同一电流 $I$。沿回路绕行一周，电池使电势升高 $\epsilon$，而变阻器和灯泡则分别使电势降低 $IR$ 和 $I{R}_B$：
$\epsilon -IR-I{R}_B=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon }{R+R_B}$
取 $\epsilon =12\mathrm{V}$、$R_B=10\Omega$，电流在 $R=5\Omega$ 时为 0.80 A，在 $R=20\Omega$ 时为 0.40 A。

熟悉的组合规则可以直接推出。串联元件共享同一电流，因此它们的电压相加，电阻也相加。并联元件共享同一电压，因此它们的电流相加，其电阻的倒数也相加。

对于更大的网络，这些规则总能提供足够多的方程。设网络是连通的，有 $n$ 个节点和 $b$ 条支路，其中支路是两个节点之间、具有自身电流的一段电路；于是有 $b$ 个未知电流。节点定律给出 $n-1$ 个独立方程（最后一个是其余方程之和，因为每条支路电流从一个节点流出、进入另一个节点），回路定律对每个独立回路给出一个方程，共 $b-n+1$ 个，总计恰好 $b$ 个方程。

在 V–I 图上求解回路

一张图可以不借助代数来求解回路，而且当某个元件不服从欧姆定律时，这种方法依然有效。思路是在同一坐标轴上画出灯泡允许的关系，以及电路其余部分允许的关系。

图例

$I$	流经灯泡的电流，回路中处处相同。	$\mathrm{A}$
$V_B$	灯泡两端的电压。	$\mathrm{V}$
$\epsilon$	电池的电动势：每条负载线与电压轴的交点。	$\mathrm{V}$
$R_B$	灯泡的阻值：其直线的斜率。	$\Omega$
$R_1$	变阻器处于低端时：较平缓的负载线，斜率为 $-R_1$，与电流轴相交于 $\epsilon /R_1$。	$\Omega$
$R_2$	变阻器处于高端时：较陡的负载线，斜率为 $-R_2$。	$\Omega$

图 1 中，电流 $I$ 位于水平轴，灯泡的电压 $V_B$ 位于竖直轴。灯泡自身的规律 $V_B=R_{B}I$ 是过原点、标记为 $R_B$ 的直线；其斜率即 $R_B=10\Omega$。灯泡可能处于的每一种状态都位于这条直线上。（在动画的专家面板中，同一条直线以虚线画出，一个点在 (0.40 A, 4.0 V) 与 (0.80 A, 8.0 V) 之间沿其滑动。）

电路的其余部分，即电池和变阻器合在一起，提出了第二个要求。从灯泡看去，电池提供 $\epsilon$，变阻器取走其中的 $IR$，因此剩下的部分表现为灯泡两端的电压：
$V_B=\epsilon -RI$
这就是负载线。它从电压轴上标有 $\epsilon$ 的点，即 12 V，开始：没有电流时变阻器上没有压降，因此灯泡承受整个电动势。随后它以斜率 $-R$ 下降，并在电流轴上于 $\epsilon /R$ 处与之相交，即若把灯泡换成导线，电池所能驱动的电流。

灯泡必须遵守它的直线，电路必须遵守负载线，因此电路的实际状态，即它的工作点，就是两者的交点。令两者相等，$R_{B}I=\epsilon -RI$，恰好还原出回路定律：图像与代数求解的是同一个方程。

现在观察变阻器。图中画出了它的两个端点 $R_1=5\Omega$ 和 $R_2=20\Omega$ 对应的负载线，二者之间的阴影扇形包含了所有中间设定。随着 $R$ 从 $R_1$ 增大到 $R_2$，负载线绕其固定端 $\epsilon$ 转动并向下摆动：从在电流轴上于 2.4 A 处相交的较平缓的 $R_1$ 线，摆到在 0.60 A 处停止的较陡的 $R_2$ 线。它与灯泡直线的交点从点 1（0.80 A, 8.0 V）沿直线滑下，到达点 2（0.40 A, 4.0 V）。

这种方法在非欧姆元件上才显示出真正的威力。实际灯丝的曲线会随加热而向上弯曲，二极管的曲线则有一个尖锐的拐点；两者都没有单一的电阻，因此 $I$ 的公式不再适用。与负载线的交点仍然是答案，可以用作图法或数值方法求得。

灯泡在一个周期内的功率

灯泡的亮度取决于其功率，动画中功率随时间变化的图像包含一个意外的结论。由于 $I=\epsilon /(R+R_B)$，灯泡获得
$P_B=I^2{R}_B=\frac{{\epsilon }^2{R}_B}{(R+R_B{)}^2}$
其功率从 $R=5\Omega$ 时的 6.4 W 降到 $R=20\Omega$ 时的 1.6 W。

变阻器的阻值按余弦规律变化，$R=12.5-7.5\cos (2\pi t/T)$（单位为欧姆），周期 $T=8\mathrm{s}$，但功率并不是它的简单复制。由于 $P_B$ 随 $R+R_B$ 的平方反比变化，它会从峰值迅速下降，并在最小值附近停留较长时间。在 $t=2\mathrm{s}$ 时，变阻器处于中途，阻值为 12.5 Ω，但 $P_B=12^2\cdot 10/22.5^2\approx 2.8\mathrm{W}$，而不是两个极值中间的 4.0 W；并且在每个周期中约有三分之二的时间，它都低于 4 W。曲线下的面积，即每个 8 s 周期约 27 J，就是灯泡转化为热和光的能量。

网络与戴维南定理

如果每次改变都要从头开始，分析大型网络将毫无希望。线性帮了大忙：它允许用两个数字替代整个网络。

对于欧姆元件，基尔霍夫的每一个方程对电流和电动势都是线性的。由此产生两个推论。第一是叠加原理：多个电源共同作用时产生的电流，等于每个电源单独作用时各自产生的电流之和。第二是戴维南定理：由电源和电阻组成的任意网络，从其两个端子看去，其行为与一个电动势 ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ 串联一个电阻 $R_{\mathrm{Th}}$ 完全相同。原因是，由于线性，端子处的电压是从端子抽取电流的一个直线函数，$V={\epsilon }_{\mathrm{Th}}-R_{\mathrm{Th}}I$，而一条直线只需要截距和斜率。

这两个数字都容易求得。电动势 ${\epsilon }_{\mathrm{Th}}$ 是端子开路（不抽取电流）时的电压。电阻 $R_{\mathrm{Th}}$ 是当所有理想电动势都被替换为导线时，两端子之间的电阻。

电源的最大功率

给定电源时，哪种负载从中获取的功率最大？这一答案称为匹配，它的重要性从无线电接收机一直延伸到动画本身。最简单的实际电源是电池：一个理想电动势 $\epsilon$ 与内阻 $r$ 串联，已经是戴维南形式。通入电流 $I$ 时，其端电压下降为 $\epsilon -Ir$。负载 $R$ 通过的电流为 $I=\epsilon /(R+r)$，因此获得
$P=I^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}$

图例

$R$	负载的阻值。	$\Omega$
$P$	负载从电源获取的功率。	$\mathrm{W}$
$r$	电源的内阻；峰值位于 $R=r$ 处。	$\Omega$
$P_{\max }$	电源能够传送给负载的最大功率，${\epsilon }^2/(4r)$。	$\mathrm{W}$
$R_1$	小于 $r$ 的负载。	$\Omega$
$R_2$	大于 $r$ 的负载，满足 $R_1{R}_2=r^2$；它与 $R_1$ 获得相同的功率。	$\Omega$

图 2 画出了该功率 $P$ 随负载 $R$ 的变化。先看两端。当 $R=0$ 时，负载相当于短路：电流最大，为 $\epsilon /r$，但负载两端没有电压，因此它不获得功率。当 $R\to \infty$ 时，负载两端的电压趋近于 $\epsilon$，但电流趋于零，功率再次降为零。在两者之间，曲线陡峭上升到唯一的峰值 $P_{\max }$，然后缓慢下降。

为了确定峰值位置，用商的求导法则求导：
$\frac{dP}{dR}=\frac{{\epsilon }^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$
在 $R=r$ 以下为正，在 $R=r$ 处为零，在其上为负，因此峰值位于 $R=r$，已在图 2 的坐标轴上标出。在该点 $I=\epsilon /(2r)$，且
$P_{\max }=\frac{{\epsilon }^2}{4r}$
而同样的功率 $I^{2}r$ 在电源内部损耗掉：最好的情况下，只有一半的能量到达负载。匹配适用于弱信号，例如天线向接收机馈送信号时，每一点功率都很宝贵。电力系统则恰恰相反，使 $R$ 远大于 $r$，因为效率，即输出中到达负载的比例，为 $R/(R+r)$，在匹配时只有一半。

曲线还有一个不太明显的性质：功率相等的点成对出现。将 $P$ 的分子和分母同时除以 $R$：
$P=\frac{{\epsilon }^2}{R+2r+r^2/R}$
用 $r^2/R$ 替换 $R$ 只会交换分母的第一项和最后一项，所以 $P$ 保持不变。因此两个满足 $R_1{R}_2=r^2$ 的负载获得相同的功率。在图 2 中，它们是水平虚线上的两个点：$R_1$ 小于 $r$，$R_2$ 大于它，且两者相差同一倍数，$r/R_1=R_2/r$。

这种对称性在动画中被隐藏了。从变阻器的两端看进去，由戴维南定理，串联的电池和灯泡相当于一个 12 V 的源，后面串着 $R_{\mathrm{Th}}=R_B=10\Omega$，因此变阻器就是图 2 中的负载 $R$，且 $r=10\Omega$。它的功率 $I^{2}R$ 在滑片经过 10 Ω 时达到峰值 $12^2/(4\cdot 10)=3.6\mathrm{W}$，而在其变化范围的两端，即 5 Ω 和 20 Ω 处，都是 3.2 W，因为 $5\cdot 20=10^2$。所以，灯泡的功率变化了四倍，而变阻器的功率始终保持在 3.2 到 3.6 W 之间。

例题：共用一个变阻器的两个灯泡

现在用这些工具解决一个答案出人意料的问题。两个相同的灯泡共用一个变阻器和一个电池：它们应该并联还是串联，才能最亮？

图例

$\epsilon$	电池的电动势。	$\mathrm{V}$
$R$	变阻器的阻值。	$\Omega$
$R_B$	一个灯泡的阻值；两者相等。	$\Omega$
$\phi$	灯泡上方导线的电势，以电池的 − 极为基准。	$\mathrm{V}$
$I$	从电池经变阻器流出的电流。	$\mathrm{A}$
$I_B$	一个灯泡中的电流：为 $I$ 的一半，因为两个灯泡相同。	$\mathrm{A}$

图 3 展示的是并联版本：12 V 电池 $\epsilon$，位于上方导线中、设为 5 Ω 的变阻器 $R$，以及并排接在上下导线之间的两个相同的 10 Ω 灯泡 $R_B$。以电池的 − 极（用接地符号标出）为零电势，设 $\phi$ 为连接变阻器与灯泡的导线的电势，即标注 $\phi$ 的节点处的电势。连接导线没有电阻，因此整段导线都处于 $\phi$，整条下方导线都处于 0。于是每个灯泡两端都有 $\phi$，并通过 $I_B=\phi /R_B$。

电池的电流 $I$ 流过变阻器，变阻器两端的电压为 $\epsilon -\phi$，因此 $I=(\epsilon -\phi )/R$。在节点处，$I$ 分成两个灯泡电流，所以由节点定律 $I=2I_B$。代入数值，
$\frac{12-\phi }{5}=\frac{\phi }{10}+\frac{\phi }{10}\Rightarrow \phi =6.0\mathrm{V}$
因为右边为 $\phi /5$，所以 $12-\phi =\phi$。

因此电池输出 $I=6.0/5=1.2\mathrm{A}$，每个灯泡在 6.0 V 下通过 0.60 A，即 3.6 W，而同样设定下单个灯泡为 6.4 W。电池输出 $12\cdot 1.2=14.4\mathrm{W}$，其中变阻器取走 $1.2^2\cdot 5=7.2\mathrm{W}$，恰好一半。戴维南定理解释了这一半：从灯泡看去，电源相当于 12 V 串联 5 Ω，而并联的两个灯泡同样是 5 Ω，是一个匹配负载，获得最大功率 $12^2/(4\cdot 5)=7.2\mathrm{W}$。若串联，灯泡的电阻合计 20 Ω，电流为 $12/25=0.48\mathrm{A}$，每个灯泡只得到 $0.48^2\cdot 10\approx 2.3\mathrm{W}$。并联胜出。

当变阻器为 20 Ω 时，角色发生反转。并联时，$I=12/25=0.48\mathrm{A}$，每个灯泡通过 0.24 A，得到 $0.24^2\cdot 10\approx 0.58\mathrm{W}$。串联时，此时与电源匹配，$I=12/40=0.30\mathrm{A}$，每个灯泡得到 $0.30^2\cdot 10=0.90\mathrm{W}$。串联胜出。由于相同的灯泡总是均分功率，更亮的连接方式就是总耗电更多的那一种，即其总电阻按比值更接近电源内阻的那一种。哪种连接更亮取决于电源的电阻，而不仅仅取决于灯泡。

能量究竟在哪里流动

迄今为止，能量只是一种记账：$P=VI$ 说明每个元件取走多少能量，却没有说明能量是如何到达那里的。答案令人惊讶。在周期开始时，电池输出 $12\cdot 0.80=9.6\mathrm{W}$，而灯泡接收 6.4 W，但电子的漂移速度只有每秒几分之一毫米：从电池出发的一个电子需要数小时才能到达灯泡。能量并不随电子一起运动，而是在场中传输。表面电荷在电路周围的空间中产生电场，电流则产生环绕导线的磁场，二者共同携带一个能流密度，单位为瓦每平方米，
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$
其中 ${\mu }_0$ 是磁常数。这一能流从电池出发，穿过导线之间的空间，进入变阻器和灯泡。

图例

$L$	电阻的长度。	$\mathrm{m}$
$a$	电阻的半径。	$\mathrm{m}$
$I$	流经电阻的电流。	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	侧面外侧的电场：沿棒方向，与电流方向相同。	$V/m$
$\vec{B}$	电流的磁场：绕棒环绕，上方垂直纸面向外，下方垂直纸面向内。	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	能流密度 $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$：指向棒内，上方向下，下方向上。	$W/{\mathrm{m}}^2$

图 4 以回路中的一个电阻来验证这一点：一个长为 $L$、半径为 $a$ 的圆柱体，载有向右的电流 $I$。看它侧面外侧的两个场，然后看它们的叉积。

电场：沿长度 $L$ 电势稳定下降 $V$。沿表面的电场分量在表面内外是相同的，所以侧面外部的 $\vec{E}$ 也沿棒的方向，与电流方向一致，大小为 $V/L$。在图中，它是标注 $\vec{E}$ 的一对箭头，位于棒的上方和下方，指向右侧。

磁场：电流的磁场按右手定则环绕棒（拇指沿 $I$，四指弯曲的方向即 $\vec{B}$ 的方向），如环绕棒的圆环所示。在表面处，其大小为 ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$。在棒的上方，$\vec{B}$ 垂直纸面向外；在下方，$\vec{B}$ 垂直纸面向内。

能流：$\vec{S}$ 垂直于两个场。在棒的上方，$\vec{E}$ 指向右，$\vec{B}$ 垂直纸面向外，因此 $\vec{S}$ 向下，指向棒内。在棒的下方，$\vec{B}$ 方向相反，因此 $\vec{S}$ 向上，同样指向棒内。在整个圆周上都是如此：$\vec{S}$ 从每一侧都直接指向棒内。由于 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 互相垂直，其大小为
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
乘以侧面积 $2\pi aL$，流入量恰好为 $VI$，即电阻消耗的功率。每个电阻都通过其表面从周围的空间获取功率。

在电池内部，情况正好相反。那里 $\vec{E}$ 与电流方向相反，从 + 指向 −，而化学力使电荷沿相反方向运动，因此 $\vec{S}$ 向外，电池把能量送入周围的空间。导线引导能量沿电路传输；它们并不在铜内部携带能量。

适用范围

每个模型都有其有效范围，值得了解这一模型在何处失效。

集总模型假定电路中某一点的变化会立即传遍各处。当电路远小于其信号的波长 $\lambda =c/f$ 时，这一假定成立，其中 $c$ 是光速，$f$ 是频率。对于 50 Hz 的市电，$\lambda$ 为 6000 km，因此任何家用电路都满足条件；在 1 GHz 时，它只有 30 cm，电路板会辐射，必须用传输线理论处理。即使在直流下，模型也会忽略合上开关后的瞬态过程，但对于实验台上电感约为一微亨的回路，动画中的电流会在零点几微秒内稳定下来。

欧姆定律是材料的性质，而非自然定律，尽管对于固定温度下的金属来说它非常精确。灯丝的电阻从冷态到白炽可升高约十倍，因此灯泡在开启时会出现浪涌电流；二极管和气体放电根本不服从欧姆定律，而超导体在其临界温度以下的 $R=0$ 是精确成立的。电池也并非理想：其内阻 $r$ 会随老化或低温而增大。

在最小尺度上，$R=\rho L/A$ 完全失效。只有几个原子宽的导线以电导量子为单位导电，$2e^2/h\approx 7.75\times 10^{-5}\mathrm{S}$，其中电导是电阻的倒数，单位为西门子；每个导电通道约相当于 12.9 kΩ，这一数值由量子力学决定，而与材料或长度无关。

下一步

回路中的电容器会增加一个变化的电荷，$I=dQ/dt$，此时回路定律变为微分方程：即《电容器》一课中的指数式充电，时间常数为 $RC$。电感器会引入感应电动势，这是《电磁感应》的主题，其中 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi /dt$；电阻、电感和电容共同遵循《阻尼与共振》中的阻尼振子方程。《家庭中的电功率与电能》将 $P=VI$ 转化为千瓦时和保险丝。《电流与电阻》（上一课）解释了 $\rho$ 的来源；《半导体、二极管与发光二极管》涵盖了最有用的非欧姆元件；而《电磁波》则展示了 $\vec{S}$ 如何在真空中携带能量。