原子模型：玻尔原子

电子处于固定的能级上，氢原子中 $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ ：两能级之间的每次跃迁都会放出或吸收一个光子，其能量 $h f$ 等于两能级之差，因此每种原子都发出自己特有的锐利颜色，这就是它的光谱指纹。

一个氢原子，玻尔轨道 n = 1 至 4：电子从 n = 3 跃迁到 n = 2，放出一个红色光子；随后它吸收一个相同的光子，又跃迁回去。

学习本主题之前: 光电效应

入门

核心概念

一个像太阳系那样的微型原子会很快把能量辐射掉并在瞬间坍缩，但真实的原子是稳定的。
电子只能处于某些能级上，就像梯子的横档，绝不会停在两级之间。
加热、火焰或与快速电子的碰撞，都能把电子抬升到更高的能级。
电子跌落到较低能级时，原子放出一个光子，其能量恰好等于失去的能量：氢从 3 跌到 2 发出红光。
每种元素都有自己的能级，所以它的颜色就像指纹，天文学家借此得知恒星由什么构成。

原子有一个微小、沉重、带正电的原子核，周围是轻的、带负电的电子。把它想象成一个微型太阳系，人们在 1911 年前后就是这样想的，然后问题来了：绕核运动的电子应当持续发光、损失能量，并在瞬间螺旋落入原子核。可是原子并没有坍缩。

第 1 步。1913 年，尼尔斯·玻尔提出，电子只能使用某些允许的轨道，就像梯子的横档，而且电子在某一轨道上时不发光。每个横档都有自己的能量：最低的那个，离原子核最近，能量最小。

第 2 步。当外界给予能量时，原子会爬到更高的横档：比如火焰的热量，或霓虹灯发光气体中快速电子的碰撞。

第 3 步。受激的电子很快会跌回来。它失去的能量以一份光的形式放出，即一个光子。在动画中，位于第三个圆环上的电子跌到第二个圆环，一个红色光子飞出。随后一个相同的红色光子到来，电子把它吸收，又爬回上去；颜色稍有不同的光则会径直通过，不受影响。

第 4 步。横档之间的间距是固定的，所以每次跌落总是发出同一种颜色。氢发出的是几条锐利的谱线，而不是彩虹；而且每种元素都有自己的横档，它的谱线就是指纹。让恒星的光穿过棱镜展开，就能读出它由什么构成。

圆环只是示意图：电子实际上是模糊的云，而不是一颗小行星，但固定的能级是真实的。

自测：电子位于第 4 个横档上。哪一次单独的跌落产生的光子能量最大？（直接跌到第 1 个横档。）

中级

核心概念

玻尔条件 $m v r = n ℏ$ 只允许轨道 $r_{n} = n^{2} a_{0}$ （ $a_{0} \approx 0.0529 nm$ ），能量为 $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ 。
电子从能级 $i$ 跃迁到较低的能级 $f$ 时放出一个光子： $h f = E_{i} - E_{f}$ ，因此 $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ ，其中 $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ 。
例： $3 \to 2$ 释放 1.89 eV， $λ \approx 656 nm$ （红色 Hα）；只有能量为 1.89 eV 的光子才能把电子从 2 举回 3。
光子携带的是两个能级之差，而不是某一个能级的数值；13.6 eV 能使 $n = 1$ 的电子脱离原子。

原子、光与电子伏特

1911 年的 α 粒子散射实验表明，原子大部分是空的：原子核的直径只有 $1 0^{- 15}$ 到 $1 0^{- 14} m$ ，却集中了全部正电荷和几乎全部质量，而电子分布在直径约 $1 0^{- 10} m$ 的区域内。对于由一个质子和一个电子构成的氢，有两件事需要解释：它的原子是稳定的；炽热的氢只在少数几个锐利的波长上发光，例如 656 nm 的红线，并且它也在这些相同的波长上吸收光。

原子能量以电子伏特计量， $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ，即电子经过一伏电势差所获得的能量。零点取在离质子很远、静止的电子处，因此束缚电子的能量为负。光子的能量与波长由 $E = h c / λ$ 联系，其中 $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ 。

玻尔的三条规则

微型太阳系无法成立：绕核运动的电子在加速，因此应当辐射，约在 $1 0^{- 11} s$ 内螺旋落入原子核，发出的是一片连续的颜色，而不是锐利的谱线。1913 年，尼尔斯·玻尔保留了轨道的概念，但加上了经典物理中没有的规则。

第一条规则是经典的：电子在库仑力作用下绕质子运动。第二条规则挑选轨道：角动量 $m v r$ 必须是约化普朗克常量 $ℏ = h /2 π \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 的整数倍，
$m v r = n ℏ$
其中 $n = 1, 2, 3, \dots$ 为主量子数。

第三条规则最为大胆：在允许的轨道上，原子处于定态，电子完全不辐射。只有在允许轨道之间跃迁时，原子才吸收或放出光，而且每次放出的是一个光子，携带两能级之间的能量差。

半径、能量与光子

利用力的平衡，角动量规则确定了每条轨道的半径和能量；电子从能级 $i$ 跃迁到较低的能级 $f$ 时放出一个光子：

$r_{n} = n^{2} a_{0}$
$E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}$
$h f = E_{i} - E_{f}$
$λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}$

这里 $a_{0} \approx 0.0529 nm$ 是玻尔半径。半径按 $n^{2}$ 增长，比例为 1 : 4 : 9 : 16，而速率为 $v_{n} = v_{1} / n$ ，其中 $v_{1} \approx 2.19 \times 1 0^{6} m/s$ 。下标 $f$ 表示末能级；单独的 $f$ 则是光子的频率。

能量为负，是因为电子处于束缚态：要使基态电子脱离原子需要 13.6 eV，即氢的电离能。能级 $- 13.6$ 、 $- 3.40$ 、 $- 1.51$ 和 $- 0.85 eV$ 越来越密集，并随 $n \to \infty$ 趋近于零。力的平衡式 $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ 还表明，动能 $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ 的大小是势能 $U = - k e^{2} / r$ 的一半，因此 $E = K + U = - K$ 。

例题：动画中的红线

电子从 $n = 3$ 跃迁到 $n = 2$ ：
$E_{3} = - \frac{13.6}{9} = - 1.51 eV, E_{2} = - \frac{13.6}{4} = - 3.40 eV$
$h f = E_{3} - E_{2} = - 1.51 - (- 3.40) = 1.89 eV$
$λ = \frac{h c}{E _{3} - E _{2}} = \frac{1240 eV \cdot nm}{1.89 eV} \approx 656 nm$
这是红光，即 Hα 谱线，其频率为 $f = 1.89 eV / (4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ 。

这些是动画中的数值。红色光子标注为 $h f$ 射出的同时， $n$ 读数从 3 变为 2， $E$ 读数从 $- 1.51$ 变为 $- 3.40 eV$ ；下方一行显示 $h f = 1.89 eV$ 和 $λ = 656 nm$ 。当一个相同的光子到来时，电子吸收它，读数又回到 3 和 $- 1.51 eV$ 。

圆环从 $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ 缩小到 $r_{2} = 4 a_{0} = 0.212 nm$ ，电子的速率增加为原来的 3/2 倍。它的动能增加 1.89 eV，而势能减少的量是其两倍，即 3.78 eV；净损失的能量就是光子。绕行一周所需的时间与 $n^{3}$ 成正比：画面上， $n = 3$ 时为 3.0 s， $n = 2$ 时为 0.9 s，而实际上 $n = 2$ 时为 $1.2 \times 1 0^{- 15} s$ 。

例题：点亮氢灯

在放电管中，快速电子撞击处于基态的氢原子。一次碰撞可以传递电子能量的任意部分，但原子只接受恰好的能级差。使管子发出红光所需的最小能量是多少？此时会出现哪些谱线？

红线起始于 $n = 3$ ，因此原子必须先被激发到那里：
$E_{3} - E_{1} = - 1.51 - (- 13.6) = 12.09 eV$
能量只有 11 eV 的电子只能把原子激发到 $n = 2$ （10.2 eV），原子随即直接跌回，放出紫外光， $1240/10.2 \approx 122 nm$ ：不可见。

从 $n = 3$ 向下有两条路径：直接跌到 $n = 1$ （12.09 eV，103 nm），或先 $3 \to 2$ （1.89 eV，656 nm）再 $2 \to 1$ （10.20 eV，122 nm）。两条路径放出的能量都是 $1.89 + 10.20 = 12.09 eV$ ，而三条谱线中只有红线可见。速度更快的电子能把原子激发到更高的能级：被激发到能级 $n$ 的原子可以发出 $n (n - 1) /2$ 条不同的谱线，从 $n = 4$ 出发有六条，其中包括 486 nm 的蓝绿色谱线。

读懂能级图

能级图把每个能级画成一条水平线，高度对应其能量，从 $n = 1$ 一直画到电离限 $E = 0$ ；动画的专家层按比例显示它。向下的箭头表示发射，向上的箭头表示吸收，箭头的长度即光子能量：箭头越长，波长越短。原子的圆环呈现的则是相反的趋势：轨道彼此越来越分开，而能级却越来越密集。

终止于同一能级的跃迁构成一个线系：莱曼系（终止于 $n = 1$ ，紫外，122 到 91 nm）、巴耳末系（终止于 $n = 2$ ，可见谱线 656、486、434 和 410 nm，向 365 nm 处收敛）以及帕邢系（终止于 $n = 3$ ，红外）。有一条规律在玻尔给出解释之前就已由测量得出，它涵盖了所有这些线系：
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})$
其中 $R_{H} \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ 。对于 Hα， $R_{H} (1/4 - 1/9) = 1.52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ ，同样得到 656 nm。

常见错误

光子携带的是两能级之差： $3 \to 2$ 给出 1.89 eV，而不是 1.51 或 3.40 eV，也不是它们的和 4.91 eV。
能量与 $1/ n^{2}$ 成正比，而不是 $1/ n$ ： $n = 2$ 能级位于 $- 3.40 eV$ ，而不是 $- 6.8 eV$ 。
半径与 $n^{2}$ 成正比： $n = 3$ 的轨道比 $n = 1$ 的宽 9 倍，而不是 3 倍；27 是两者周期之比。
轨道越高，速率越慢，但能量越大：在 $n = 3$ 上，动能比在 $n = 2$ 上低 1.89 eV，而势能比它高 3.78 eV。
光子不能被部分吸收：能量为 2.00 eV 的光子掠过处于 $n = 2$ 的原子时不受影响，因为没有能级恰好高出 2.00 eV。只有超过 3.40 eV、使电子脱离原子时，多余的能量才会变成它的动能；碰撞的电子则可以只交出一部分能量。

生活中的应用

每种元素都有自己的能级，所以它的谱线就是指纹。太阳外层较冷的气体会吸收它自己的波长：氢的 Hα 就是夫琅禾费标记为 C 的暗线，位于 656 nm；氦是 1868 年在阳光中被发现的，早于人们在地球上找到它。星云因 Hα 而发红，钠灯因 589 nm 而发黄，激光则依靠能级之间的跃迁工作。

光子规则源于《光电效应》；《波粒二象性》解释了为什么只有某些轨道是允许的；《薛定谔方程与隧穿效应》则在保留这些能量的同时，用波函数取代了轨道。在《半导体、二极管与发光二极管》中，许多原子的能级会合并成能带；《放射性与半衰期》转向原子核，其能级之间的距离要大数千到数百万倍。

高级

核心概念

经典意义上没有稳定的原子：电荷不存在稳定的静态平衡点，绕核运动的电子会辐射并螺旋式地落入原子核。
最小化 $ℏ^{2} / (2 m a^{2}) - k e^{2} / a$ 得到 $a_{0} = ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 0.053 nm$ 和 $E = - 13.6 eV$ ：不确定性决定了原子的大小。
玻尔理论和薛定谔理论中都有 $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ ；量子力学还指出每个能级包含 $n^{2}$ 个状态，且基态的 $L = 0$ 。
莱曼线（终止于 $n = 1$ ）位于紫外；巴耳末线（终止于 $n = 2$ ）包括 656 nm 的 Hα；它们都服从 $1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ 。
玻尔理论无法处理多电子原子、谱线强度和精细结构；轨道变成概率云，填充这些轨道便构成了元素周期表。

为什么经典原子不可能存在

在量子观念出现之前，物理学家试图用他们已经理解的部件搭建氢原子：一个轻的电子，电荷为 $- e$ ，质量为 $m$ ；一个重的质子，电荷为 $+ e$ ；以及二者之间距离为 $r$ 时大小为 $k e^{2} / r^{2}$ 的库仑引力，其中 $k = 1/ (4 π ε_{0})$ 。本节证明，经典物理无法用这些部件构成稳定的原子，理由有三条，且彼此独立。每一种失败都指向新物理必须提供的某种东西。

第一，电荷无法静止。在没有电荷的地方，静电势 $ϕ$ 满足拉普拉斯方程 $\nabla^{2} ϕ = 0$ 。满足该方程的函数在该区域内既没有极小值也没有极大值：只要它在某个方向上向上弯曲，在另一个方向上就必然向下弯曲。因此，处于固定电荷之间的静止电子永远不会位于势阱底部，总有一个方向能让它滑走。这就是厄恩肖定理，它意味着电子必须运动。

第二，运动的电子无法保持轨道。圆周运动是加速运动，而加速的电荷会辐射。向心加速度为 $v^{2} / r$ ，电子损失能量的速率为（拉莫尔公式）
$P = \frac{2}{3} \frac{k e ^{2} ( v ^{2} / r ) ^{2}}{c ^{3}}$
其中 $c$ 为光速。在观测到的原子尺寸 0.053 nm 处，加速度 $v^{2} / r$ 约为 $9 \times 1 0^{22} m/ s^{2}$ 。以这一速率损失能量，电子会在约 $1.6 \times 1 0^{- 11} s$ 内螺旋落入质子。在落入的过程中，它的轨道频率会稳步升高，因此原子发出的是一段上升的扫频光，即“啁啾”，而不是观测到的锐利谱线。

第三，经典物理甚至无法说明原子应有多大。长度必须由问题中的常数构成。由 $k e^{2}$ （单位为 J m）和 $m$ （单位为 kg）无法构造出长度。引入 $c$ 可以得到一个长度 $k e^{2} / (m c^{2}) \approx 2.8 \times 1 0^{- 15} m$ ，但它比原子小约 19 000 倍。需要一个新的常数，而约化普朗克常量 $ℏ = h / (2 π)$ 正好提供了它。

不确定性决定原子的大小

仅凭一条量子规则，即不确定性原理，就能解释为什么原子有确定的大小，以及这一大小大致是多少。这里的思想是两种能量之间的竞争，图 1 展示了它。

假设电子被限制在离质子距离为 $a$ 的范围内； $a$ 沿图 1 的水平轴。不确定性原理指出，被限制在尺度为 $a$ 的区域内的粒子，其动量的不确定量至少约为 $ℏ/ a$ 。因此它的动量不能为零，其动能 $K$ 至少约为 $(ℏ/ a)^{2} / (2 m) = ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ 。这是蓝色曲线：当 $a$ 减小时，它按 $1/ a^{2}$ 上升。

库仑引力的势能 $U$ 约为 $- k e^{2} / a$ ：即红色曲线。它的绝对值也随 $a$ 减小而增大，但只按 $1/ a$ 增长，比 $K$ 慢。

现在从右向左看紫色曲线，即总能量 $K + U$ 。当 $a$ 较大时，两项都很小，总能量接近零。随着 $a$ 减小，吸引力起初占优，总能量下降。当 $a$ 很小时， $K$ 按 $1/ a^{2}$ 的上升超过了 $U$ 按 $1/ a$ 的下降，总能量急剧上升。两者之间有一个最低点，位于 $a = a_{0}$ ，此处总能量为 $E (a_{0})$ 。电子就停在这个最低点：该点即为基态。

要找到它，把总能量写成
$E (a) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{a}$
在最低点处斜率为零：
$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + \frac{k e ^{2}}{a ^{2}} = 0$
两边乘以 $a^{3}$ 并求解即得尺寸；代回 $E (a)$ 即得能量：
$a_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} \approx 0.0529 nm, E (a_{0}) = - \frac{k e ^{2}}{2 a _{0}} \approx - 13.6 eV$
在 $a_{0}$ 处，动能项 $ℏ^{2} / (2 m a_{0}^{2})$ 等于 $k e^{2} / (2 a_{0})$ ，即势能项大小的一半，因此总能量为 $- k e^{2} / (2 a_{0})$ 。

只把 $ℏ/ a$ 当作数量级使用的论证不可能精确，同时得到真实尺寸和真实束缚能也有一部分是运气。不过其物理要点是成立的。原子之所以有这样的大小，是因为把电子挤进更小的空间所需的动能，会超过额外吸引力所能回报的能量。固体和液体抵抗压缩也是同一种权衡：把原子挤得更近，就会把它们的电子限制得更紧。

玻尔轨道及其能量

1913 年，尼尔斯·玻尔沿另一条路径得到了相同的数值：他保留了经典的圆轨道，但只允许其中一部分。本节推导他的半径、速率和能量，它们重现了氢的光谱。图 2 展示了一条允许的轨道，以及电子所受的力和速度。

图 2 展示的是轨道 $n = 3$ 。电子带电 $- e$ ，绕带电 $+ e$ 的原子核运动，轨道半径为 $r_{n}$ ，其速度 $v$ 与圆相切。作用在它身上的唯一的力是库仑引力 $F$ ，沿半径指向原子核。指向中心的力正是圆周运动所需的条件，因此 $F$ 本身就提供了向心力。波浪线和 $λ$ 将在下文出现。

玻尔加入了一条规则：角动量 $m v r$ 只能是 $ℏ$ 的整数倍。两个条件为
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}, m v r = n ℏ, n = 1, 2, 3, \dots$
第一个是牛顿第二定律：质量乘以向心加速度等于库仑力。两边乘以 $r$ 得到 $m v^{2} r = k e^{2}$ 。将其除以第二个条件，即得速率；再由第二个条件 $r = n ℏ/ (m v)$ 得到半径：
$v_{n} = \frac{k e ^{2}}{n ℏ} = \frac{α c}{n}, r_{n} = \frac{n ^{2} ℏ ^{2}}{mk e ^{2}} = n^{2} a_{0}$
这里 $α = k e^{2} / (ℏ c) \approx 1/137$ 是一个纯数，即精细结构常数。半径按 $n^{2}$ 增长，而最小的 $r_{1}$ 恰好就是不确定性论证中得到的 $a_{0}$ 。在 $n = 1$ 上，电子以 $c /137 \approx 2.19 \times 1 0^{6} m/s$ 运动：很快，但远低于光速。

玻尔的角动量规则在 1924 年德布罗意赋予它意义之前显得很随意，而这正是图 2 中的波浪线。动量为 $m v$ 的电子表现为波长为 $λ = h / (m v)$ 的波。将 $m v = h / λ$ 代入 $m v r = n ℏ = nh / (2 π)$ ，消去 $h$ ，得到
$2 π r = nλ$
圆周长恰好容纳整数个波长。只有这样，波绕行一周后才能与自身平滑衔接，如同闭合环上的驻波。在图 2 中， $n = 3$ ：波浪线绕圆恰好有三个波峰，标有 $λ$ 的圆弧跨越一个波长。具体数值是 $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ ，因此圆周长为 $2 π \cdot 0.476 nm \approx 2.99 nm$ ，而该轨道上电子的波长约为 1.00 nm：三个波长恰好填满它。

接下来是能量。将力的平衡写成 $m v^{2} = k e^{2} / r$ ，得到动能 $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k e^{2} / r$ 。势能为 $U = - k e^{2} / r$ ，因此 $K = - \frac{1}{2} U$ ；这就是 $1/ r$ 型势的维里定理。于是总能量为 $E = K + U = - \frac{1}{2} k e^{2} / r$ ，代入 $r_{n}$ 得到
$E_{n} = - \frac{m ( k e ^{2} ) ^{2}}{2 ℏ ^{2} n ^{2}} = - \frac{α ^{2} m c ^{2}}{2 n ^{2}} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}$
能量为负，是因为电子被束缚：要使它脱离能级 $n$ ，必须提供 $13.6 eV / n^{2}$ 。中间的形式将其与电子的静止能 $m c^{2} = 511 keV$ 相比：束缚能只占它的一小部分，即 $α^{2} /2 \approx 2.7 \times 1 0^{- 5}$ 。这就是非相对论力学在此处如此成功的原因。

当电子从能级 $n_{i}$ 跃迁到较低的能级 $n_{f}$ 时，它放出一个光子，带走能量差 $h c / λ = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ 。代入 $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ ，这变为
$\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}}), R_{H} = \frac{13.6 eV}{h c} \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$
这就是里德伯公式。巴耳末（1885 年）和里德伯通过拟合测得的谱线找到了它，并把 $R_{H}$ 当作从数据中读出的数值。玻尔则由 $m$ 、 $e$ 、 $h$ 和 $c$ 计算出 $R_{H}$ ，它在这些常数的精度范围内与测量值相符。这一吻合使他的规则再也无法被轻易否定。

读懂能级图与光谱条

能量 $E_{n}$ 最容易理解为一架能级的梯子，每条光谱线都是两根横档之间的跃迁。图 3 按比例画出了这架梯子，并显示哪些跃迁产生哪一个线系；动画的专家层使用的正是同样的布局。

在图 3 中，能量 $E$ 向上增加，每条水平线是一个能级，以 $n$ 标注。顶部的虚线是 $E = 0$ ，即电离限：能量高于此的电子是自由的。以基态为起点，能级 $n$ 比基态高 $E_{n} + 13.6 eV = 13.6 eV (1 - 1/ n^{2})$ ，即在通往电离限的路上走过了 $1 - 1/ n^{2}$ 的比例：对于 $n = 1$ 到 4，分别为 0、3/4、8/9 和 15/16。因此在 $n = 2$ 时，束缚能已经消去了四分之三，而更高的能级则挤在 $E = 0$ 略下方。

每条竖直箭头是一次向下跃迁时放出的一个光子，以其连接的两个能级标注，如 $3 \to 2$ 。由于能级是按比例画的，箭头的长度就是光子能量 $E_{i} - E_{f}$ ，其中 $E_{i}$ 和 $E_{f}$ 分别为初始和最终能级的能量。终止于 $n = 1$ 的跃迁构成莱曼系（紫色）： $2, 3, 4 \to 1$ 分别给出 10.2、12.09 和 12.75 eV，即 122、103 和 97 nm，全部位于紫外。终止于 $n = 2$ 的跃迁构成巴耳末系： $3 \to 2$ 给出 1.89 eV（红，656 nm）， $4 \to 2$ 给出 2.55 eV（蓝绿，486 nm）。

比较这些箭头：每一条莱曼箭头都远长于任何巴耳末箭头。即使是最大的巴耳末能量，即从电离限跌到 $n = 2$ ，也只有 3.40 eV，远低于最小的莱曼能量 10.2 eV，因此这两个线系永不重叠。

在动画的图中，一个蓝色标记跟随电子从 $n = 3$ 跃迁到 $n = 2$ 再回来。上方的光谱条覆盖可见光范围 380 至 700 nm，并显示位于 410、434、486 和 656 nm 的巴耳末线。它们向紫端聚集，因为随着起始能级升高， $1/ λ$ 趋近线系极限 $R_{H} /4$ ，即 365 nm，恰好在光谱条之外。红线 Hα（即 $3 \to 2$ 跃迁）在原子放出它的那一刻亮起。

量子力学保留了什么，又改变了什么

玻尔模型给出了正确的能量，但它对电子的描绘，即一个位于锐利圆轨道上的粒子，是错误的。量子力学保留了能量，并用概率云取代了轨道。图 4 展示基态的这片云，按与原子核的距离排列。

图 4 中的曲线 $P$ 是基态电子在距原子核距离 $r$ 处的概率密度：在 $r$ 与 $r + d r$ 之间找到电子的概率为 $P d r$ 。三个特征很突出。 $P$ 在 $r = 0$ 处为零，因为半径为 $r$ 的薄球壳的体积随 $r \to 0$ 缩为零。它恰好在 $a_{0}$ 处达到峰值，即玻尔给出的半径。它向右下降，却永远不会降到零，因此这片云没有边界。

平均距离 $\overset{r}{ˉ} = 1.5 a_{0}$ 位于峰值的右侧，因为右侧的尾部很长，而左侧的上升很短。玻尔半径保留了下来，但只是最可几距离，而不再是轨道。

薛定谔方程在库仑势中的解（1926）给出了与玻尔完全相同的能级 $E_{n}$ 。改变的是对状态的描述。电子是一个三维驻波，能级 $n$ 包含 $n^{2}$ 个能量相同的不同状态。它们由轨道角动量量子数 $l = 0, 1, \dots, n - 1$ 标记，每个 $l$ 又有 $2 l + 1$ 种取向；把它们加起来， $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ 。基态的 $l = 0$ ：根本没有轨道角动量，而玻尔却给了它 $ℏ$ 。

电子自旋有两种可能的取向，使计数加倍为 $2 n^{2}$ ： $n = 1$ 、2 和 3 时分别有 2、8 和 18 个状态。它们与泡利不相容原理（每个状态至多容纳一个电子）一起塑造了元素周期表。在多电子原子中，不同 $l$ 的状态不再具有相同能量；一旦它们分开，周期表的各行分别容纳 2、8、8、18、18、32 和 32 种元素。

对于任何核电荷为 $Z e$ 的单电子离子，结论相同。将上面公式中的 $k e^{2}$ 替换为 $Z k e^{2}$ ，得到 $E_{n} = - 13.6 eV Z^{2} / n^{2}$ 和 $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ 。对于 $He^{+}$ ， $Z = 2$ ，其基态位于 $- 54.4 eV$ 。

还有一项修正：原子核并非无限重。电子和原子核都绕它们的共同质心运动。若将电子质量 $m$ 替换为约化质量 $μ = m M / (m + M)$ ，公式保持不变，其中 $M$ 是原子核的质量。对于氢，这使束缚能降低 0.054%；对于氘，其原子核重一倍，仅降低 0.027%。因此氘的谱线携带的能量略多，其 Hα 线比氢的短 0.18 nm：正是这一微小的位移，使氘在 1930 年代初被发现。

例题：从红线到无线电波

玻尔要求他的量子规则在量子效应变小的地方与经典物理相一致，这称为对应原理。按经典理论，绕行的电荷以其轨道频率 $f_{orb} = v / (2 π r)$ 辐射，即每秒绕行的圈数。本题将这一频率与光子的频率比较，先在阶梯低处，再在阶梯高处。

第 1 步，能级 $n$ 的轨道频率。取 $v_{n} = α c / n$ 和 $r_{n} = n^{2} a_{0}$ ，
$f_{orb} = \frac{v _{n}}{2 π r _{n}} = \frac{α c}{2 π a _{0} n ^{3}} = \frac{6.58 \times 1 0 ^{15} Hz}{n ^{3}}$

第 2 步，红线。电子在 $n = 3$ 上每秒绕行 $2.44 \times 1 0^{14}$ 次，在 $n = 2$ 上每秒 $8.22 \times 1 0^{14}$ 次。跃迁 $3 \to 2$ 的 Hα 光子频率为 $f = c / λ = 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ ：介于两个轨道频率之间，且与两者都不相等。在阶梯低处，量子跃迁没有经典对应物。

第 3 步，高处的跃迁，从 $n = 110$ 到 $n = 109$ 。光子能量为
$h f = 13.6 eV (\frac{1}{10 9 ^{2}} - \frac{1}{11 0 ^{2}}) = 2.07 \times 1 0^{- 5} eV$
除以 $h = 4.14 \times 1 0^{- 15} eV s$ 得到 $f = 5.01 \times 1 0^{9} Hz$ ， $λ = c / f \approx 6.0 cm$ ：这是无线电波。此时轨道频率在 $n = 109$ 上为 5.08 GHz，在 $n = 110$ 上为 4.94 GHz，两者都与光子频率相差不到 1.5%。

第 4 步，为何两者趋于合并。对于大 $n$ 处的 $Δ n = 1$ 跃迁，能量差接近 $E_{n}$ 对 $n$ 的斜率：
$h f \approx \frac{d E _{n}}{d n} = \frac{2 \cdot 13.6 eV}{n ^{3}} = \frac{27.2 eV}{n ^{3}}$
而 $h f_{orb} = ℏ α c / (a_{0} n^{3})$ 恰好相同，因为 $ℏ/ a_{0} = α m c$ ，所以 $ℏ α c / a_{0} = α^{2} m c^{2} = 27.2 eV$ 。在大 $n$ 处，量子频率与经典频率合并，这正是对应原理所要求的。 $Δ n = 2$ 或 3 的跃迁同样给出 $2 f_{orb}$ 和 $3 f_{orb}$ ，即经典椭圆轨道所辐射的谐波。

这类巨大的原子确实存在。 $n = 110$ 轨道的半径为 $11 0^{2} a_{0} \approx 0.64 μ m$ ，与一个小细菌相当，因此这样的原子只能存在于极稀薄的气体中，那里碰撞很少。在热的年轻恒星周围的电离云中，质子俘获电子，电子随后逐级跌落阶梯。射电望远镜观测到由此产生的 5.01 GHz 谱线，命名为 H109α，它来自同样在 Hα 中发红的云气。

适用范围与局限

即使对氢，玻尔模型也只是一级近似；对于多电子原子，它则完全失效。知道它在何处失效，就能判断何时需要完整的理论。

对于氢，相对论效应和电子自旋使能级发生相对修正，量级为 $α^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 5}$ ；这是可以预料的，因为电子的速度为 $v = α c$ ，而相对论修正随 $(v / c)^{2}$ 增长。这种精细结构使 $n = 2$ 能级分裂 $4.5 \times 1 0^{- 5} eV$ ，并使 Hα 分裂为相距约 0.016 nm 的分量。更小的是兰姆位移（ $4.4 \times 1 0^{- 6} eV$ ，来自量子电动力学）和基态的超精细分裂（ $5.9 \times 1 0^{- 6} eV$ ，来自电子与质子自旋的磁相互作用），后者的 21 cm 谱线用于绘制银河系中的氢分布图。

在重的单电子离子中，最低轨道上电子的速率 $Z α c$ 接近 $c$ ，相对论效应占主导。在 $U^{91 +}$ 中， $Z α \approx 0.67$ ，其基态束缚能约为 132 keV，而玻尔的估计为 $13.6 eV \cdot 9 2^{2} \approx 115 keV$ 。

当有两个或更多电子时，模型彻底失效，正如动画中的注释所警告的，因为每个电子还会排斥其他电子。对于氦，忽略这种排斥给出总能量 $2 \cdot (- 54.4) = - 108.8 eV$ ，而测得的总能量为 $- 79.0 eV$ 。

玻尔的规则也无法说明谱线有多亮，或一个能级在发光前能持续多久（氢的 2p 态，即 $n = 2$ 且 $l = 1$ ，在 1.6 ns 内衰变）。而且这些轨道不可能是真实路径：把电子放在半径为 $a_{0}$ 的圆上，意味着把它的位置确定到约 $a_{0}$ 的范围内，这使其动量的不确定度约为 $ℏ/ a_{0} = m v_{1}$ ，即它的全部动量。模型可以安全忽略的一个效应是反冲：发射 Hα 的原子仅以 0.60 m/s 反冲，只从光子处拿走 $2 \times 1 0^{- 9} eV$ 。

延伸

玻尔原子是多门课程交汇之处。它的光子规则把《光电效应》和《黑体辐射与量子》中的光量子用到了原子上。它的力平衡就是《圆周运动》中的《库仑定律》。它的量子化角动量把《角动量及其守恒》带到原子尺度。《波粒二象性》把允许的轨道解释为电子的驻波，而《薛定谔方程与隧穿效应》在保留 $E_{n}$ 的同时，用波函数取代了轨道。

在《半导体、二极管与发光二极管》中，晶体中各原子的能级合并成能带，LED 的颜色由带隙决定，正如 Hα 的颜色由 $E_{3} - E_{2}$ 决定。《放射性与半衰期》转向原子核，其能级之间的距离要大数千到数百万倍。在《粒子与相互作用：标准模型》中， $α \approx 1/137$ 重新出现，作为电磁相互作用本身的强度。

核心公式

玻尔的角动量量子化

m v r = n ℏ

在经典力学允许的所有圆轨道中，玻尔只保留角动量 $L = m v r$ 为 $ℏ$ 整数倍的那些。这一条规则就确定了氢的半径和能量。结合电子的波长 $λ = h / (m v)$ 来读，它表示 $2 π r = nλ$ ：绕轨道恰好容纳整数个波长。

符号
$m$	电子的质量	$kg$
$v$	电子的轨道速率	$m/s$
$r$	轨道半径	$m$
$n$	主量子数， $1, 2, 3, \dots$
$ℏ$	约化普朗克常量， $h /2 π$	$J \cdot s$

适用条件: 1913 年模型的一条假设，其对氢能量的结果是正确的。量子力学取代了它：轨道角动量为 $l (l + 1) ℏ$ ，其中 $l \leq n - 1$ ，因此基态完全没有轨道角动量。

示例: 在 $n = 3$ 上， $r = 0.476 nm$ ， $v \approx 7.3 \times 1 0^{5} m/s$ ： $m v r = 3ℏ \approx 3.16 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 。

第 n 条玻尔轨道的半径

r_{n} = n^{2} a_{0}

将库仑力作为向心力， $m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ ，与 $m v r = n ℏ$ 结合，得到 $r = n^{2} ℏ^{2} / (mk e^{2})$ 。因此半径按 $n$ 的平方增长，比例为 1 : 4 : 9 : 16，起点是玻尔半径 $a_{0}$ 。

符号
$r_{n}$	轨道 $n$ 的半径	$m$
$n$	主量子数
$a_{0}$	玻尔半径，约 $0.0529 nm$	$m$

适用条件: 氢原子的玻尔模型；对于核电荷为 $Z e$ 的单电子离子， $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ 。在量子力学中， $n^{2} a_{0}$ 只是 $l = n - 1$ 的状态的最可几距离，而不是清晰的轨道。

示例: 动画中的电子从 $r_{3} = 9 a_{0} = 0.476 nm$ 跌到 $r_{2} = 4 a_{0} = 0.212 nm$ 。

氢的能级

E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}

轨道 $n$ 上的能量是动能与势能之和；动能的大小是势能的一半，因此 $E_{n} = - K$ 。能量为负，是因为零点取为静止的自由电子，而 13.6 eV 是使原子从 $n = 1$ 电离所需的能量。能级随 $n$ 增大而向零聚集。

符号
$E_{n}$	能级 $n$ 的能量	$eV$
$n$	主量子数

适用条件: 适用于氢，以及（乘以 $Z^{2}$ 后的）单电子离子；薛定谔方程给出相同的值。精细结构使它们在 $1 0^{5}$ 分之几的范围内偏移，多电子原子则需要其他方法。

示例: $E_{2} = - 13.6/4 = - 3.40 eV$ 与 $E_{3} = - 13.6/9 = - 1.51 eV$ ，即动画读数中的两个值。

量子跃迁中的光子能量

h f = E_{i} - E_{f}

这是跃迁中的能量守恒：电子从能级 $i$ 跌到较低的能级 $f$ 时，原子损失 $E_{i} - E_{f}$ ，一个能量为 $h f$ 的光子将其带走。反过来看，这就是吸收的条件：只有当 $h f$ 恰好与某个能级间隔相等时，光子才会被吸收。光子携带的是两个能级之间的差，而不是某一能级的数值；以电子伏特计算时取 $h = 4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ 。

符号
$h$	普朗克常量	$J \cdot s$
$f$	光子的频率	$Hz$
$E_{i}$	初始（较高）能级的能量	$J$
$E_{f}$	末态（较低）能级的能量	$J$

适用条件: 适用于每一个原子、分子和原子核，只有反冲带走的很小一部分除外（Hα 为 $2 \times 1 0^{- 9} eV$ ）。玻尔模型只为单电子原子提供能级本身。

示例: $3 \to 2$ ： $h f = - 1.51 - (- 3.40) = 1.89 eV$ ，因此 $f = 1.89 eV / (4.14 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 4.57 \times 1 0^{14} Hz$ 。

发射光的波长

λ = \frac{h c}{E _{i} - E _{f}}

频率为 $f$ 的光的波长为 $λ = c / f$ ，因此光子规则变为 $λ = h c / (E_{i} - E_{f})$ 。能级间隔越大，波长越短：跃迁到 $n = 1$ 的至少释放 10.2 eV，属于紫外；跃迁到 $n = 2$ 的较小间隔给出可见光。以电子伏特为能量单位时， $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ 直接给出以纳米为单位的 $λ$ 。

符号
$λ$	光子的波长	$m$
$h$	普朗克常量	$J \cdot s$
$c$	光速	$m/s$
$E_{i}$	初始（较高）能级的能量	$J$
$E_{f}$	末态（较低）能级的能量	$J$

适用条件: 给出真空中的波长；在空气中约短 0.03%（Hα：真空中 656.5 nm，空气中 656.3 nm）。

示例: Hα： $λ = 1240 eV \cdot nm /1.89 eV \approx 656 nm$ ；莱曼 α： $1240/10.2 \approx 122 nm$ 。

氢谱线的里德伯公式

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{f}^{2}} - \frac{1}{n _{i}^{2}})

将能级差除以 $h c$ ，直接得到波数（即波长的倒数），其中 $R_{H} = 13.6 eV / (h c) \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ 。该公式在玻尔模型出现之前就已由测得的谱线得出，它按末态量子数 $n_{f}$ 把每条氢谱线归入一个线系；令 $n_{i} \to \infty$ 得到线系极限， $1/ λ = R_{H} / n_{f}^{2}$ 。

符号
$λ$	谱线的波长	$m$
$R_{H}$	氢的里德伯常量	$m^{- 1}$
$n_{f}$	末态（较低能级）的量子数
$n_{i}$	初态（较高能级）的量子数

适用条件: 适用于氢，发射时 $n_{i} > n_{f}$ （吸收时原子从 $n_{f}$ 升到 $n_{i}$ ）。对于单电子离子，乘以 $Z^{2}$ ；约化质量使氘的常量略大，使其谱线缩短约 0.03%。

示例: Hα： $1/ λ = R_{H} (1/4 - 1/9) = 1.52 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ ，因此 $λ \approx 656 nm$ ；巴耳末极限为 $4/ R_{H} \approx 365 nm$ 。

词汇表

核式原子: 1911 年 α 粒子散射确立的图景：全部正电荷和几乎全部质量集中在直径仅 $1 0^{- 15}$ 到 $1 0^{- 14} m$ 的原子核中，电子分布在直径约 $1 0^{- 10} m$ 的区域内。按经典理论，这样的原子应当坍缩。
玻尔模型: 尼尔斯·玻尔 1913 年提出的氢原子模型：由库仑力维持的圆轨道，角动量限制为 $m v r = n ℏ$ ，光只在轨道之间的跃迁中被放出或吸收。它正确给出氢的能级，但对多电子原子失效。
定态: 原子的一种状态，具有确定的能量，不随时间变化，且原子在其中不辐射。玻尔的允许轨道是第一个例子；在量子力学中它们变成驻波。
能级: 束缚体系允许的能量之一，对氢为 $E_{n} = - 13.6 eV / n^{2}$ 。能级为负，是因为必须提供能量才能使电子脱离；随着 $n$ 增大，能级向零聚集。
基态与激发态: 基态是最低能级（ $n = 1$ ， $- 13.6 eV$ ），原子可以无限期地停留在那里。任何更高的能级都是激发态，通过吸收光子或碰撞到达，并通过放出光子衰变回去，通常在约 $1 0^{- 8} s$ 之内。
电离能: 使处于基态的原子失去电子所需的最小能量：氢为 13.6 eV，等于 $- E_{1}$ 。超出此值的能量会作为动能随被释放的电子带走。
量子跃迁: 两个能级之间的转变。向下时，原子放出一个 $h f = E_{i} - E_{f}$ 的光子；向上时，它吸收一个恰好具有该能量的光子，或从碰撞中获得能量。玻尔理论不描述两个轨道之间的任何路径。
发射光谱: 受热或受电激发的气体所发出的波长：对原子而言是锐利的亮线，而不是连续的彩虹，每种可能的跃迁对应一条线。氢的可见谱线位于 656、486、434 和 410 nm。
吸收线: 连续光谱中的暗线，即光源前方较冷的气体吸收了恰好与其自身跃迁相对应的波长。在太阳光中，氢的 Hα 呈现为 656 nm 处的暗线。
谱线系: 所有终止于同一较低能级的谱线：莱曼（ $n_{f} = 1$ ，紫外）、巴耳末（ $n_{f} = 2$ ，可见光）和帕邢（ $n_{f} = 3$ ，红外）。在一个线系内，谱线向线系极限聚集，巴耳末的极限为 365 nm。
类氢离子: 只含一个电子的任何离子，如 $He^{+}$ 或 $Li^{2 +}$ 。玻尔公式在核电荷为 $Z e$ 时适用： $E_{n} = - 13.6 eV Z^{2} / n^{2}$ ， $r_{n} = n^{2} a_{0} / Z$ 。
对应原理: 要求当量子数很大时，量子结果与经典结果趋于一致。对于氢，跃迁 $n \to n - 1$ 的光子频率随 $n$ 增大而趋近于电子的经典轨道频率。

物理量
$n$	主量子数		标记允许轨道与能级的整数 $1, 2, 3, \dots$ ； $n = 1$ 为基态。
$ℏ$	约化普朗克常量	$J \cdot s$	$h /2 π \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ：玻尔规则 $m v r = n ℏ$ 中角动量的量子。
$a_{0}$	玻尔半径	$m$	基态轨道的半径， $ℏ^{2} / (mk e^{2}) \approx 5.29 \times 1 0^{- 11} m = 0.0529 nm$ ：原子的自然长度尺度。
$r_{n}$	轨道半径	$m$	玻尔第 $n$ 条轨道的半径， $n^{2} a_{0}$ ；在量子力学中它只作为最可几距离存在，而不是路径。
$v$	轨道速率	$m/s$	质量为 $m = 9.109 \times 1 0^{- 31} kg$ 的电子在轨道 $n$ 上的速率， $v_{n} = α c / n$ ：在 $n = 1$ 上约为 $2.19 \times 1 0^{6} m/s$ ，更高的轨道上更慢。
$E_{n}$	能级 n 的能量	$eV$	电子在能级 $n$ 上的动能与势能之和，以静止的自由电子为零点，因此束缚态为负； $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ 。
$h$	普朗克常量	$J \cdot s$	$6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s = 4.136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ ：它将光子的能量与频率联系起来， $E = h f$ 。
$f$	光子频率	$Hz$	发射或吸收的光每秒振荡的次数；Hα 为 $4.57 \times 1 0^{14} Hz$ 。
$λ$	波长	$m$	光子的波长， $c / f$ ，其中 $c = 2.998 \times 1 0^{8} m/s$ 为光速；原子谱线通常以纳米给出：Hα 为 656 nm，莱曼 α 为 122 nm。
$R_{H}$	氢的里德伯常量	$m^{- 1}$	$1/ λ = R_{H} (1/ n_{f}^{2} - 1/ n_{i}^{2})$ 中的常数，约为 $1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ；它等于 $13.6 eV / (h c)$ 。

练习

入门在玻尔模型中，电子跃迁到较低能级时会发生什么？
1. 放出一个携带能量差的光子
2. 吸收一个光子
3. 落入原子核
4. 失去一部分电荷
显示答案
答案: A. 放出一个携带能量差的光子
电子失去的能量以一个光子的形式离开原子，光子能量等于两个能级之差。
入门为什么炽热的氢气只发出某些锐利的颜色？
1. 玻璃管滤掉了其他颜色
2. 它的电子只能具有某些能量，因此只有某些能量跃迁是可能的
3. 氢原子太小，无法发出其他颜色
4. 热气体总是发红光
显示答案
答案: B. 它的电子只能具有某些能量，因此只有某些能量跃迁是可能的
能级是固定的，允许的能量差也就固定；每个能量差对应一个光子能量，也就是一种颜色。
入门在玻尔模型中，电子在哪一个圆环上运动最快？
1. 最外层的圆环
2. 在每个圆环上速率相同
3. 只在圆环之间跳跃时
4. 内层圆环，靠近原子核
显示答案
答案: D. 内层圆环，靠近原子核
在玻尔模型中，速率与 n 成反比，所以电子在最内层圆环上最快，这与内侧行星绕太阳运行更快类似。跃迁并不是沿某条路径的快速旅行：玻尔的电子只是出现在新的圆环上（动画会放慢跃迁，便于观察）。
中级氢的 n = 2 能级的能量是多少？
1. −6.8 eV
2. −3.4 eV
3. −13.6 eV
4. +3.4 eV
显示答案
答案: B. −3.4 eV
Eₙ = −13.6 eV / n² = −13.6/4 = −3.4 eV。若除以 n 而不是 n²，则得 −6.8 eV；束缚能级为负。
中级一个氢原子的电子从 n = 3 跌到 n = 2。放出的光子能量是多少？
1. 1.89 eV
2. 3.40 eV
3. 1.51 eV
4. 4.91 eV
显示答案
答案: A. 1.89 eV
h·f = E₃ − E₂ = −1.51 eV − (−3.40 eV) = 1.89 eV，即 656 nm 的红色 Hα 线。3.40 eV 和 1.51 eV 是能级本身的大小；4.91 eV 则是两者相加。
中级 n = 3 轨道的半径与 n = 1 轨道相比如何？
1. 是 3 倍
2. 是 27 倍
3. 是 9 倍
4. 相同
显示答案
答案: C. 是 9 倍
rₙ = n²·a₀，所以 r₃/r₁ = 3² = 9。因子 27 = 3³ 适用于轨道周期，而不是半径。
高级哪一个氢谱线系完全位于紫外区？
1. 巴耳末系（终止于 n = 2）
2. 莱曼系（终止于 n = 1）
3. 帕邢系（终止于 n = 3）
4. 以上都不是
显示答案
答案: B. 莱曼系（终止于 n = 1）
每个莱曼光子至少携带 E₂ − E₁ = 10.2 eV，即 λ ≤ 121.6 nm。巴耳末系包含可见光谱线；帕邢系位于红外。
高级下列哪一项是玻尔模型的真正失败之处？
1. 它预言氢有连续光谱
2. 它给出的氢电离能是错误的
3. 它无法处理有两个或更多电子的原子，例如氦
4. 它无法解释巴耳末系
显示答案
答案: C. 它无法处理有两个或更多电子的原子，例如氦
玻尔模型重现了氢的能级、电离能和巴耳末线，但当电子之间相互作用时（如氦）就失效了。

$E$	原子的能量，以电离极限 $E = 0$ （虚线）为零点。	$J$
$n$	能级的编号： $n = 1$ 为基态。
$\to$	两个能级之间的跃迁，如 $3 \to 2$ ：电子从第一个跌到第二个，并放出一个光子。

$a$	容纳电子的区域的尺度：电子被保持在离质子多近的距离。	$m$
$E$	电子的能量。	$J$
$K$	限制强加给电子的动能，至少约为 $ℏ^{2} / (2 m a^{2})$ 。	$J$
$U$	库仑引力的势能，约为 $- k e^{2} / a$ 。	$J$
$K + U$	电子的总能量 $E (a)$ ：动能加势能。	$J$
$a_{0}$	总能量最低时的尺度：玻尔半径，约 $0.053 nm$ 。	$m$
$E (a_{0})$	总能量的最低值， $- k e^{2} / (2 a_{0}) \approx - 13.6 eV$ 。	$J$

$e$	基本电荷的大小：原子核带 $+ e$ ，电子带 $- e$ 。	$C$
$F$	作用在电子上的库仑力，指向原子核。	$N$
$v$	电子的速度，沿圆周方向。	$m/s$
$r_{n}$	轨道半径：原子核到电子的距离。	$m$
$λ$	电子波的波长；一个波长是从一个波峰到下一个波峰的弧。	$m$
$n$	轨道的编号；绕其一周恰好容纳 $n$ 个波长，此处 $n = 3$ 。

$r$	距原子核的距离。	$m$
$P$	概率密度：在距离 $r$ 处找到电子的单位距离概率， $P = 4 r^{2} e^{- 2 r / a_{0}} / a_{0}^{3}$ 。	$m^{- 1}$
$a_{0}$	玻尔半径： $P$ 最大时的距离。	$m$
$\overset{r}{ˉ}$	电子与原子核的平均距离， $1.5 a_{0}$ 。	$m$