放射性与半衰期

入门

从你已经了解的原子图像开始：中间是一个很小的原子核，由质子和中子组成，电子在它周围运动。质子数是原子的“身份证”：6 个质子永远是碳，92 个永远是铀。化学反应只会重新排列外层电子，因此永远无法改变这个数，只有原子核内部的变化才能做到。

有些原子核是不稳定的：它们携带的能量过多，或者质子和中子的搭配不合适。这样的原子核迟早会放出一个很小的粒子或一束能量很高的光，变成另一种原子核，常常是另一种元素。这就是放射性衰变。

它什么时候发生？完全靠偶然。想想卧室天花板上的夜光星星：关灯后，它们储存的光会一次一个地释放出来，时间不可预测，因此亮度逐渐减弱。放射性原子核也是如此，但有一个意外：它们不会变老。一个已经等了一百万年的原子核，并不比一个全新的原子核更接近衰变。

在动画中，每个金色圆盘就是一个原子核。它们一个接一个变灰，每个都喷出一个红色粒子，而你无法猜到下一个是哪一个。然而整体是可以预测的：时钟指针每转一整圈，剩下的金色原子核中就有一半发生衰变。转一圈，剩 50 个；转两圈，剩 25 个；转三圈，约剩 12 个。时钟转一圈，就是一个半衰期。

自我检验：一个样本起始有 800 个放射性原子核，经过三个半衰期后还剩多少？答案：$800\to 400\to 200\to 100$，即剩 100 个，而不是零。

半衰期从一瞬间到数十亿年不等。碳-14 的半衰期约为 5700 年，科学家用它来测定古老木材和骨骼的年代。

中级

衰变的是什么，我们数什么

每个原子核都由两个整数标记。原子序数 $Z$ 表示质子数并决定元素：$Z=6$ 是碳，$Z=92$ 是铀。质量数 $A$ 表示全部核子数，即质子加中子，因此碳-14 ${}_6^{14}\mathrm{C}$ 有 6 个质子和 8 个中子。$Z$ 相同而 $A$ 不同的原子核是同一元素的同位素：碳-12 稳定，碳-14 有放射性。

在样本中，我们跟踪 $N$，即尚未衰变的原子核数，从 $t=0$ 时的 $N_0$ 开始。探测器记录衰变事件，每秒的衰变数称为活度，单位是贝可勒尔（1 Bq 即每秒一次衰变）。字母 $A$ 既表示质量数也表示活度，请根据上下文判断；$N$ 始终表示未衰变的原子核数。

等时间内减半

放射性原子核不会“磨损”：无论年龄多大，它在下一个半衰期 $T_{1/2}$ 内存活的概率恰好为一半。因此在大样本中，经过一个半衰期后剩下一半原子核，再过一个半衰期又剩下其中的一半，依此类推。经过 $n=t/T_{1/2}$ 个半衰期后（无论 $n$ 是否为整数），
$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

每个原子核每秒的衰变概率是衰变常数 $\lambda$，活度则是该概率乘以现存原子核数：

• $\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $A=\lambda N$

因此活度也是每个半衰期减半一次。要把测得的比例换算成时间，只需数减半的次数：$n={\log }_2(N_0/N)$，所以减到起始量 1/16 的样本已经过了四个半衰期。若 $T_{1/2}$ 以秒计，则 $\lambda$ 的单位是 ${\mathrm{s}}^{-1}$，$A$ 的单位是贝可勒尔。

三种衰变方式

动画的图例标明了三种辐射：

• 在 $\alpha$ 衰变中，原子核放出一个氦-4 核（由 2 个质子和 2 个中子组成），因此 $A$ 减少 4，$Z$ 减少 2。一张纸即可挡住这种重的、带双电荷的粒子。
• 在 ${\beta }^{-}$ 衰变中，中子变成质子，原子核放出一个电子和一个反中微子，因此 $A$ 不变而 $Z$ 增加 1；在 ${\beta }^{+}$ 衰变中，质子变成中子并放出一个正电子，$Z$ 减少 1。几毫米厚的铝即可挡住 $\beta$ 粒子。
• 在 $\gamma$ 发射中，激发态原子核（通常刚由 $\alpha$ 或 $\beta$ 衰变形成）放出一个高能光子，$A$ 和 $Z$ 保持不变。铅也无法完全挡住 $\gamma$ 射线：1 MeV 光子束每穿过一厘米铅就减半。

对于 $\alpha$ 衰变，核子数和电荷数守恒，可写为
$X(A,Z)\to Y(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}$
因此铀-238（$Z=92$）变为钍-234（$Z=90$）。动画中的样本是 $\alpha$ 发射体：每个变灰的金色母核 $X$ 都已变成子核 $Y$，飞出的红点就是它的 $\alpha$ 粒子。

例题：动画中的样本

动画从 $N_0=100$ 个原子核、$T_{1/2}=2.5\mathrm{s}$ 开始，时钟指针每转一圈就是一个半衰期。转过一圈、两圈、三圈和四圈，即 2.5、5、7.5 和 10 s 时，规律给出 50、25、12.5 和 6.25 个原子核。$N$ 读数显示 50、25、12 和 6，因为计数必须是整数；$N/N_0$ 读数以百分比显示相同的数值。

公式在两圈之间同样成立。当 $t=4.0\mathrm{s}$ 时，
$t/T_{1/2}=4.0/2.5=1.6,N=100\cdot 0.5^{1.6}=33.0$
读数显示 33。反过来算，规律可以给出只剩 10 个原子核的时刻：$n={\log }_{2}10=3.32$ 个半衰期，即 $t=8.3\mathrm{s}$。

第一圈内有 50 个原子核衰变，第二圈 25 个，第三圈 13 个：衰变越来越少，是因为剩下的原子核变少了，而不是因为剩下的变得更稳定。动画中的衰变时刻是按规律安排的。一个真正随机的 100 个原子核样本，经过一个半衰期后通常会偏离 50 约 5 个；而一克物质含有约 $10^{21}$ 个原子核，几乎完全符合规律。

例题：医学中的碘-131

碘-131 用于治疗甲状腺，其半衰期为 8.0 天。药房配制了一粒 400 MBq 的胶囊，患者在 3.0 天后服用。那时还剩多少活度？储存的胶囊何时会降到初始活度的 1% 以下？

活度与 $N$ 成正比，因此遵循同样的规律：
$A=400\cdot 0.5^{3.0/8.0}=400\cdot 0.771=308\mathrm{MBq}$
因此药房需要多配制约 30% 的量，才能保证实际给药的剂量。对于 1% 这一标记，$n={\log }_{2}100=6.64$ 个半衰期，即 53 天。24 天（三个半衰期）后剩下 $(1/2{)}^3=12.5$%，20 天（2.5 个半衰期）后剩下 $0.5^{2.5}=17.7$%。

由 $\lambda =\ln 2/(8.0\cdot 86400\mathrm{s})=1.00\times 10^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$ 可知，新鲜胶囊 $4.0\times 10^8\mathrm{Bq}$ 含有 $N=A/\lambda =4.0\times 10^{14}$ 个原子核，质量不到十分之一微克：太少而无法称重，却很容易探测到，这正是放射性示踪剂如此有用的原因。

读懂衰变曲线

将读数 $N$ 对 $t$ 作图，曲线起初陡峭，随后趋于平缓，无限接近零却永远不会到达。若从 $t=0$ 时的 100 个原子核直线连到 $t=2T_{1/2}$ 时的零，这是经典的错误图像；在该时刻，真实曲线仍保留四分之一。

曲线的陡度就是衰变速率，因此可以从斜率读出活度：对动画而言，起始时每秒约 28 个原子核衰变，2.5 s 时为 14，5 s 时为 7。真实计数会围绕光滑曲线涨落，数量少时相对涨落更大。

常见错误

• 半衰期并不是所有原子核都衰变掉所需时间的一半。每个半衰期都会去掉剩余量的一半，因此 6400 个原子核在四个半衰期后变为 3200、1600、800 和 400，永远不会突然耗尽。
• 衰变并不是每小时固定的损失。在第一个小时损失 10% 的样本，之后每小时都损失剩余量的 10%，因此 10 小时后剩下 $0.9^{10}=0.35$，即 35%。
• 老的原子核并非“超期”。存活了十个半衰期的原子核，下一个半衰期仍然恰有 50% 的存活概率。
• 加热、加压和化学反应都不会改变半衰期。化学键的能量只有几电子伏，而核变化是百万电子伏量级，因此燃烧或溶解放射性物质几乎不会改变其 $T_{1/2}$。

你会在哪里遇到它

放射性碳测年使用半衰期为 5730 年的碳-14。宇宙射线不断产生碳-14，生物在死亡前会持续吸收它，因此碳-14 含量只有活树四分之一的木材约有 11500 年历史。铀-238 的半衰期为 45 亿年，它通过一系列衰变最终变为铅-206，用于测定最古老岩石的年代。医学则选用短半衰期核素：锝-99m（6.0 小时）用于成像，氟-18（110 分钟）用于 PET 扫描。

烟雾报警器含有镅-241，这是一种 $\alpha$ 发射体，半衰期为 432 年；氡-222（3.8 天）则是大多数人最大的天然辐射剂量来源。下一课《裂变、聚变与 E = mc²》将解释核能从何而来，而这里的专家级内容会说明为什么 $\alpha$ 半衰期从微秒到数十亿年不等。

高级

恒定的单位时间衰变概率

放射性衰变基于一个基本假设：原子核没有记忆。无论年龄多大，它在下一个很短的时间间隔 $dt$ 内衰变的概率都是 $\lambda dt$，其中衰变常数 $\lambda$ 是该类原子核单位时间内固定的衰变概率。刚形成的原子核与已经存在了十亿年的原子核，面临的衰变概率完全相同。动画中的样本起始有 $N_0=100$ 个原子核，且 $\lambda =0.277{\mathrm{s}}^{-1}$，因此每个原子核在接下来的百分之一秒内衰变的概率为 0.28%。

由这一条规则可以推出概率 $P(t)$，即一个原子核存活整段时间 $t$ 的概率。把 $t$ 分成 $m$ 个等长的小段，每段长 $t/m$。在每一段中，原子核衰变的概率为 $\lambda t/m$，因此它在该段中存活的概率为 $1-\lambda t/m$。各段相互独立，因此存活过所有各段的概率等于各段概率之积。让段长趋于无穷小，得到
$P(t)={\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{\lambda t}{m}\right)}^m=e^{-\lambda t}$

指数函数是唯一一种无记忆的连续存活规律。检验如下：一个原子核已经存活了时间 $s$，它再存活时间 $t$ 的概率为 $P(s+t)/P(s)=e^{-\lambda (s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(t)$，与新原子核完全相同。

需要区分两个层次的描述。衰变常数 $\lambda$ 属于单个原子核，只说明它衰变的可能性有多大。平滑的衰变曲线属于大量原子核组成的群体，只因为群体足够大，曲线才显得平滑。

求解衰变规律

现在取 $N$ 个相同的原子核组成样本。每个原子核在接下来的 $dt$ 内衰变的概率为 $\lambda dt$，因此期望衰变数为 $\lambda Ndt$。每次衰变减少一个原子核，所以 $N$ 的变化为 $dN=-\lambda Ndt$，即
$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

损失速率与剩余量成正比。为解此方程，把 $N$ 移到一边：$dN/N=-\lambda dt$。左边从起始数 $N_0$ 积分到 $N$，右边从 $0$ 积分到 $t$：$\ln (N/N_0)=-\lambda t$。两边取指数，得
$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

这正是 $N_0$ 乘以单个原子核的存活概率 $P(t)$，符合预期：平均而言，群体中占比 $P(t)$ 的部分会存活。指数规律在任意两段等长时间内损失的比例都相同，无论从哪里开始，这使放射性样本成为一个“时钟”。

半衰期与平均寿命

半衰期 $T_{1/2}$ 是 $N$ 降为其初值一半所需的时间。令 $N=N_0/2$，得 $e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$；两边取对数，$\lambda T_{1/2}=\ln 2$，因此
$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

代回去，$e^{-\lambda t}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}=(1/2{)}^{t/T_{1/2}}$：减半规律与指数规律是同一函数的两种写法。对于动画，$T_{1/2}=0.693/0.277=2.50\mathrm{s}$。

平均寿命 $\tau$ 是原子核的平均寿命。一个原子核若在 $t$ 到 $t+dt$ 之间衰变，则它必须先存活到 $t$（概率为 $e^{-\lambda t}$），再在 $dt$ 内衰变（概率为 $\lambda dt$）。以该概率对寿命 $t$ 加权并分部积分，得
$\tau ={\int }_0^{\infty }t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\approx 1.44T_{1/2}$

经过一个平均寿命后，剩下的原子核占 $1/e$。对于动画，$\tau =3.61\mathrm{s}$，此时应剩下 $N_0/e=36.8$ 个原子核；$N$ 读数显示 37。为什么 $\tau$ 比 $T_{1/2}$ 长？半衰期是寿命的中位数：一半原子核在它之前衰变。另一半则包括一条长尾的晚期存活者，有些能活很多个半衰期，它们把平均值拉高到了 $\tau$。

活度

探测器不计数剩下的原子核，它计数的是衰变。它测量的是衰变速率 $-dN/dt$，称为活度 $A$，单位为贝可勒尔（1 Bq 即每秒一次衰变）。由衰变规律，
$A=\lambda N$

由于 $A$ 与 $N$ 成正比，它也按同样的指数规律下降，$A=A_0{e}^{-\lambda t}$，其中 $A_0=\lambda N_0$，因此它同样是一个“时钟”。树木存活时会不断与空气交换碳，其碳-14 所占比例保持稳定；死亡后，其中的碳-14 衰变而不再补充。比较古老木材与活木中每克碳的活度，得到 $A/A_0$，解 $(1/2{)}^{t/T_{1/2}}=A/A_0$ 中的 $t$，即可得出木材的年龄。在动画的专家层中，$A$ 读数从 $A_0=27.7\mathrm{Bq}$ 开始，在 2.5 s（一个半衰期后）显示 13.9 Bq。

活度取决于两件事：原子核有多少，以及每个原子核有多不稳定。一克镭-226 为 $1/226$ 摩尔，因此含有 $N=6.02\times 10^{23}/226=2.66\times 10^{21}$ 个原子核。已知 $T_{1/2}=1600$ 年，$\lambda =\ln 2/T_{1/2}=1.37\times 10^{-11}{\mathrm{s}}^{-1}$，$A=\lambda N=3.7\times 10^{10}\mathrm{Bq}$，这正是曾经定义居里的活度。一克铀-238 所含的原子核数量差不多，但其半衰期 45 亿年约为前者的三百万倍，因此其活度也约为前者的三百万分之一。

读懂衰变曲线

$N$ 对 $t$ 的图像可以一目了然地显示半衰期、平均寿命和活度。图 1 以半衰期为单位计量时间，因此同一幅图适用于每一种核素，从微秒到数十亿年皆可。

图例

$N$	时刻 $t$ 时未衰变的原子核数。
$N_0$	$t=0$ 时未衰变的原子核数。
$N_0/2$	起始数的一半，经过一个半衰期后达到。
$N_0/4$	起始数的四分之一，经过两个半衰期后达到。
$t$	自计数开始以来的时间。	$\mathrm{s}$
$T_{1/2}$	半衰期：每隔此长度，$N$ 减半。	$\mathrm{s}$
$\tau$	平均寿命 $1/\lambda$，约为 $1.44T_{1/2}$：$t=0$ 处切线与时间轴的交点。	$\mathrm{s}$
$A_0$	$t=0$ 时的活度，$A_0=\lambda N_0$；该处切线斜率为 $-A_0$。	$\mathrm{Bq}$

先看那三个点。它们位于 $T_{1/2}$、$2T_{1/2}$ 和 $3T_{1/2}$ 处，沿时间轴等距排列，其高度 $N_0/2$、$N_0/4$ 和 $N_0/8$ 每一步都减少为原来的一半。这就是从图中读出的减半规律：等时间，等比例。

再看标记为 $-A_0$ 的直线，它是曲线在 $t=0$ 处的切线。其斜率为起始变化率 $dN/dt=-\lambda N_0=-A_0$。一条从高度 $N_0$ 出发、以速率 $A_0$ 下降的直线，将在 $N_0/A_0=1/\lambda =\tau$ 之后与时间轴相交。因此切线与时间轴交于平均寿命 $\tau$ 处，略超过第一个点，因为 $\tau \approx 1.44T_{1/2}$。换句话说：如果样本保持起始速率衰变，一个平均寿命后就会空掉。曲线上任意位置都可以这样构造：在时间 $t$ 处，切线斜率为 $-\lambda N=-A$，并与时间轴交于 $t+\tau$，即再过一个平均寿命。对于动画，$t=0$ 处的切线在 3.6 s 与时间轴相交。

动画的专家图显示了同样的特征：蓝色计数沿虚线 $N_0{e}^{-\lambda t}$ 变化，标记点位于 $T_{1/2}$、$2T_{1/2}$、$3T_{1/2}$ 和 $4T_{1/2}$ 处，间距相等，与图 1 相同。在实验室中，半衰期通常从另一种图中读出。对衰变规律取对数得 $\ln N=\ln N_0-\lambda t$，因此 $\ln N$ 对 $t$ 的图（或 $\ln A$，它仅相差常数 $\ln \lambda$）是斜率为 $-\lambda$ 的直线。

涨落：由偶然性产生的精确规律

衰变规律给出的是存活原子核的期望数。真实样本是一组独立的随机事件，其计数会围绕该期望值涨落。涨落有多大？既然如此，为什么对于大样本，规律看起来依然精确？

图例

$N$	一个样本中仍未衰变的原子核数。
$P$	样本中恰好剩下这么多原子核的概率。
$N_{0}p$	$N$ 的均值：起始数 $N_0$ 乘以单个原子核的存活概率 $p$，这里 $p=1/2$，因此为 50。
$\sigma$	$N$ 的标准差，$\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$，这里为 5：括号宽 $2\sigma$。

$N_0$ 个原子核中的每一个都在时间 $t$ 内独立存活，每个的概率都是 $p=e^{-\lambda t}$，类似于对一枚有偏硬币投掷 $N_0$ 次。因此剩余数服从二项分布，均值为 $N_{0}p$，标准差为 $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$。图 2 给出了观察 $N_0=100$ 个原子核一个半衰期时的精确概率，此时 $p=1/2$。每根柱子的高度给出概率 $P$，即样本中恰好剩下 $N$ 个原子核的概率。

柱子以均值 $N_{0}p=50$ 处的虚线为中心。标记为 $2\sigma$ 的括号从 45 延伸到 55，即均值两侧各一个标准差，因为 $\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$。括号内的绿色柱子合计为 73%。因此，一个真实的 100 个原子核样本经过一个半衰期后会剩下 $50\pm 5$ 个，约有四分之一的样本落在 45 至 55 的范围之外。

动画展示的是理想的、无噪声的情形：其第 $k$ 次衰变发生在期望衰变数达到 $k-\frac{1}{2}$ 时，因此它的阶梯图是把平滑规律取整到整数个原子核的结果。

计数实验处理的是衰变数而非存活数。在很短的时间间隔内，只有一小部分 $q$ 的原子核衰变。此时计数服从二项分布，且 $q\ll 1$，因此其方差 $N_{0}q(1-q)$ 几乎等于其均值 $\bar{n}=N_{0}q$。该极限即泊松分布，其标准差为 $\sqrt{\bar{n}}$。相对不确定度为 $\sqrt{\bar{n}}/\bar{n}=1/\sqrt{\bar{n}}$，因此 400 个计数的不确定度为 5%，而要达到 1% 则需要 10000 个计数。

同一个平方根也解释了为什么衰变规律看起来如此精确。存活原子核的相对涨落按 $1/\sqrt{N_0}$ 减小，对于 $10^{21}$ 个原子核，它约为 $3\times 10^{-11}$。一条精确的规律从纯粹的偶然中涌现，正如气体的稳定压强源于随机的分子碰撞。

守恒律决定什么可以发生

在询问原子核衰变得多快之前，先问它能否衰变。电荷数、核子数和轻子数在衰变前后必须各自相等。衰变还必须释放能量，能量来自质量：产物的总质量必须小于母核。释放的能量称为 Q 值，
$Q=\left(m_{\mathrm{parent}}-\sum m_{\mathrm{products}}\right)c^2>0$

对于 $\alpha$ 衰变 ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$，电荷守恒（$92=90+2$），核子数也守恒（$238=234+4$）。由原子质量得 $Q=4.27\mathrm{MeV}$，约为一个化学键能量的一百万倍。由于只有两个产物，动量守恒决定了 $Q$ 的分配方式。母核原先静止，因此两个产物以大小相等、方向相反的动量飞开。动能等于动量平方除以两倍质量，所以动量相等时，质量较轻的粒子获得较大的份额，份额与质量成反比。因此 $\alpha$ 粒子的份额是 $234/238$ 乘以 $Q$，即 4.20 MeV。这一衰变产生的每个 $\alpha$ 粒子都具有相同的能量，因此 $\alpha$ 谱是尖锐的谱线。

在 ${\beta }^{-}$ 衰变 $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$ 中，中子变成质子。电荷守恒（$0=+1-1+0$），轻子数要求出现反中微子：电子计 $+1$，反中微子计 $-1$，总数仍为 0。此时三个粒子分享 $Q$，它们可以以无穷多种方式分配。因此电子具有连续谱，从零一直到 $Q$（自由中子为 $0.78\mathrm{MeV}$）。这一连续谱起初似乎破坏了能量守恒，促使泡利于 1930 年提出了中微子。最后，$\gamma$ 射线来自原子核能级之间的跃迁，因此与 $\alpha$ 粒子一样，形成尖锐的谱线。

隧穿决定快慢

守恒律只说明衰变是否允许，而快慢取决于另一件事：$\alpha$ 粒子能否从原子核中逃出。经典物理中它不能；量子力学中它会以极慢的速度漏出，而这种漏出的速率决定了半衰期。

图例

$U$	$\alpha$ 粒子在距原子核中心 $r$ 处的势能。	$\mathrm{J}$
$r$	与原子核中心的距离。	$\mathrm{m}$
$R$	原子核的半径：核阱位于其内部，库仑势垒从此处开始。	$\mathrm{m}$
$r_2$	出口点 $r_2=R{U}_{\max }/E$，此处势垒已降回能量 $E$。	$\mathrm{m}$
$U_{\max }$	$r=R$ 处的势垒高度。	$\mathrm{J}$
$E$	$\alpha$ 粒子的能量，它在远离原子核后以动能带走。	$\mathrm{J}$
$\psi$	沿半径方向的 $\alpha$ 粒子波函数：它在内部振荡，穿过势垒后衰减，并在 $r_2$ 之外以较小的振幅重新出现。	${\mathrm{m}}^{-3/2}$

图 3 绘出了 $\alpha$ 粒子的势能 $U$ 随其与原子核中心距离 $r$ 的变化。在核半径 $R$ 以内，短程核吸引力把粒子束缚在一个深阱中。在 $R$ 以外，只有子核的静电斥力起作用，$U=C/r$，其中 $C$ 为正常数。因此势垒在 $r=R$ 处最高，达到 $U_{\max }$，并随距离增大而下降。

现在看高度为 $E$ 的水平线，它代表 $\alpha$ 粒子的能量。能量守恒，因此 $E$ 处处相同；在远处，$U$ 已降为零，全部能量都是动能。该直线在出口点 $r_2$ 与势垒相交，此处 $C/r_2=E$。由于 $C=R{U}_{\max }$，得 $r_2=R{U}_{\max }/E$。在 $R$ 与 $r_2$ 之间，动能 $E-U$ 为负，这是任何经典运动都不允许的：经典粒子将永远在阱内来回振荡。

波函数 $\psi$ 不会在壁前停止。沿图 3 从左向右看：它在阱内振荡，在 $R$ 与 $r_2$ 之间的禁区中指数衰减，并在 $r_2$ 之外再次振荡，但振幅较小。在势垒中，它局部地按 $e^{-\kappa r}$ 衰减，其中 $\kappa =\sqrt{2m_{\alpha }(U-E)}/\hslash$，$m_{\alpha }$ 为 $\alpha$ 粒子的质量，$\hslash$ 为约化普朗克常数：势垒越高越宽，衰减越多。每次尝试中逃逸的概率，等于势垒外振幅与势垒内振幅之比的平方。图中振幅只缩小了适度的倍数，以便让外部的振荡仍清晰可见；在真实原子核中，它缩小的幅度要大得多。

下面是铀-238 的真实数字。$\alpha$ 粒子的能量 $E$ 仅约 4.2 MeV，远低于库仑势垒的顶点 $U_{\max }\approx 28\mathrm{MeV}$，因此按经典理论它永远无法逃出。出口点距中心的距离是表面的 $r_2/R=28/4.2\approx 6.7$ 倍（图 3 不按比例绘制，示意为 4）。粒子在内部来回运动，每秒约 $10^{21}$ 次撞击势垒。然而铀-238 的平均寿命为 $2.0\times 10^{17}\mathrm{s}$，因此其衰变常数为 $\lambda =1/\tau =5\times 10^{-18}{\mathrm{s}}^{-1}$。将其除以每秒的尝试次数，每次尝试成功的概率约为 $5\times 10^{-39}$，接近 $e^{-88}$：即以 $e^{-44}$ 的比例漏出的波振幅的平方。

由于逃逸概率是指数形式，势垒的微小变化会引起半衰期的巨大变化。计算指数可知，它大致与 $Z/\sqrt{E}$ 成正比，其中 $Z$ 为子核的电荷数：电荷越大，势垒越高；能量越大，禁区越短。因此，发射 8.8 MeV $\alpha$ 粒子的钋-212 半衰期为 0.3 µs，而能量为 4.0 MeV 的钍-232 半衰期为 $1.4\times 10^{10}$ 年：能量大致减半，半衰期就延长约 $10^{24}$ 倍。

衰变链

通常，衰变的子核本身也具有放射性，于是形成衰变链。子核数先升后降，计数器同时记录两者的衰变。图 4 展示了最简单的链：母核 $N_1$（衰变常数 ${\lambda }_1$）衰变为具有放射性的子核 $N_2$（衰变常数 ${\lambda }_2$），后者再衰变为稳定核 $N_3$。

图例

$N$	时刻 $t$ 时各类原子核存在的数目。
$N_1$	仍未衰变的母核。
$N_2$	现存的放射性子核。
$N_3$	由子核形成的稳定核，$N_3=N_0-N_1-N_2$。
$t$	自开始以来的时间，开始时只有母核存在。	$\mathrm{s}$
$t_m$	子核数量最多的时刻。	$\mathrm{s}$

子核既有来源也有去路。它们由母核的衰变产生，速率为 ${\lambda }_1{N}_1$；又因自身的衰变而损失，速率为 ${\lambda }_2{N}_2$：
$\frac{d{N}_2}{dt}={\lambda }_1{N}_1-{\lambda }_2{N}_2$

结合这一方程阅读图 4。在 $t=0$ 时没有子核，因此去路为零，子核的增长速度恰好等于母核的减少速度。随着子核积累，其自身衰变速率 ${\lambda }_2{N}_2$ 增大，而供给 ${\lambda }_1{N}_1$ 随母核减少而减小。两者相等时 $d{N}_2/dt=0$：$N_2$ 的曲线在时刻 $t_m$ 达到峰值，然后下降。稳定核 $N_3$ 起初增长缓慢，因为起初几乎没有子核可供衰变，随后不断上升，直到所有原子核都转变为它。过程中没有原子核丢失，因此三者之和始终等于起始数 $N_0$。图中的例子对应下面的例题：100 个母核，且子核的半衰期是母核的两倍。在 $t_m$ 时，$N_1$ 与 $N_3$ 的曲线相交于 25。

例题：放射性子核

假设动画中的灰色子核衰变为一个稳定核，其 $T_{1/2}=5.0\mathrm{s}$，于是 ${\lambda }_2=0.693/5.0=0.139{\mathrm{s}}^{-1}={\lambda }_1/2$。从 100 个母核、没有子核开始：子核何时最多？有多少个？此时同时记录两种衰变的计数器读数是多少？

第 1 步：求 $N_2$。代入 $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$，并把 ${\lambda }_2{N}_2$ 移到左边：$d{N}_2/dt+{\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$。两边乘以 $e^{{\lambda }_{2}t}$，由乘积法则，左边变为单一导数 $d(N_2{e}^{{\lambda }_{2}t})/dt$。右边变为 ${\lambda }_1{N}_0{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}$，可直接积分。取 $N_2(0)=0$，得
$N_2=\frac{{\lambda }_1{N}_0}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(e^{-{\lambda }_{2}t}-e^{-{\lambda }_{1}t}\right)$

第 2 步：利用 ${\lambda }_1=2{\lambda }_2$。前置系数 ${\lambda }_1/({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ 此时为 2；令 $x=e^{-{\lambda }_{2}t}$，则第二个指数为 $e^{-{\lambda }_{1}t}=x^2$。于是
$N_2=2N_0\left(x-x^2\right),x=e^{-{\lambda }_{2}t}$

第 3 步：求最大值。当 $t$ 从 0 变到无穷大时，$x$ 从 1 降到 0，而 $x-x^2$ 在其导数 $1-2x$ 为零处最大，即 $x=\frac{1}{2}$。这发生在子核的一个半衰期时，即 $t_m=5.0\mathrm{s}$，此时 $N_2=2\cdot 100\cdot \frac{1}{4}=50$。

第 4 步：另外两个数。母核数为 $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}=N_0{x}^2$，稳定核数为 $N_3=N_0-N_1-N_2=N_0(1-x{)}^2$。因此图 4 中的三条曲线分别为 $N_0$ 乘以 $x^2$、$2(x-x^2)$ 和 $(1-x{)}^2$，在 $x=\frac{1}{2}$ 时分别为 25、50 和 25 个原子核。动画的 $N$ 读数统计的是母核，此时显示 25，因此已形成了 25 个稳定的孙代核。

第 5 步：计数器。在峰值处 $d{N}_2/dt=0$，因此两种活度相等：${\lambda }_1{N}_1=0.277\cdot 25$ 与 ${\lambda }_2{N}_2=0.139\cdot 50$ 均约为 6.93 Bq。同时记录两种衰变的计数器读数为两者之和，即 13.9 Bq，是只显示母核的 $A$ 读数的两倍。

之后母核几乎耗尽（$x^2$ 相对于 $x$ 可以忽略），$N_2\approx 2N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$：混合样本随子核的 5.0 s 半衰期衰减。对测量的启示是：衰变曲线的尾部属于衰变链中寿命最长的成员。

长寿命母核：长期平衡

当母核的寿命远长于子核，即 ${\lambda }_1\ll {\lambda }_2$ 时，子核积累期间母核几乎不变。经过若干个子核半衰期后，子核的衰变速率赶上了其供给，此后始终与之匹配：$d{N}_2/dt\approx 0$，因此 ${\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_1$。这就是长期平衡：子核的数量无论多少，其活度都与母核完全相同。由镭-226（1600 年）衰变生成的氡-222（半衰期 3.8 天），其原子数仅为镭原子数的 $N_2/N_1={\lambda }_1/{\lambda }_2=6.5\times 10^{-6}$，但活度却同样大。

适用范围的限制

$\lambda$ 的恒定性经过了极其充分的检验，但并非绝对。例外都与原子的电子有关，而电子是化学唯一能够作用的部分。在电子俘获中，原子核吸收原子自身的一个内层电子，因此衰变速率会随这些电子的排布略有不同：铍-7 的半衰期在不同化学环境中可相差约 1%。剥去所有电子则可能改变衰变方式。中性铼-187 的半衰期约为 $4\times 10^{10}$ 年，而裸核的半衰期为 33 年，因为其 $\beta$ 电子此时可以直接产生于空的内层轨道中。除此之外，温度、压强和化学作用都不会引起可测量的变化。

量子力学预言，在极短和极长的时间尺度上，指数规律会有微小偏离，但在原子核衰变中尚未观测到。最后，$\lambda$ 适用于衰变粒子的静止参考系。从实验室看去，快速运动粒子的时钟按狭义相对论因子 $\gamma$ 变慢：静止时平均寿命为 2.2 µs 的 μ 子，在 $\gamma =10$ 时，在实验室中的寿命为 22 µs。这正是高层大气中产生的宇宙射线 μ 子能够到达地面的原因。

延伸阅读

决定 $\alpha$ 半衰期的隧穿效应在《薛定谔方程与隧穿效应》中有详细推导，而 $Q=\Delta m{c}^2$ 的能量核算则是《裂变、聚变与 E = mc²》的主线。$\beta$ 衰变背后的弱相互作用属于《粒子与相互作用：标准模型》，快速粒子延长的寿命则属于《狭义相对论》。尖锐的 $\gamma$ 谱线是《原子模型：玻尔原子》中光谱线在原子核中的对应物。固定比例的衰减速率出现在通过电阻放电的电容器中，见《电容器》；而由随机事件构成的精确规律则是《气体分子动理论》的核心。