棱镜、色散与颜色

入门

第 1 步，白光是混合光。阳光看起来无色，但它同时包含彩虹的所有颜色。1666 年，艾萨克·牛顿让一束阳光穿过玻璃棱镜，得到一条彩色光带，颜色顺序总是相同的：红、橙、黄、绿、蓝、紫。这条光带就是光谱。

第 2 步，每种颜色在玻璃中的速度不同。在真空中所有颜色传播得一样快，但玻璃对紫光的减速最大，对红光的减速最小。偏折来自减速，因此紫光偏折最大，红光偏折最小。这种按折射把颜色分开的现象称为色散。平板窗玻璃也会轻微地分开颜色，但它的第二个面与第一个面平行，会把这种效果抵消；棱镜倾斜的两个面则会把效果累加起来，因此光扇张得很开。

在动画中，手电筒把白光射入棱镜：看光束穿过玻璃并散开，在桌面上照出一条光谱。

第 3 步，彩虹。每个雨滴都像一个背面带镜子的小棱镜：阳光射入，在水滴背面反射，然后以分开的颜色射出，每种颜色都在接近 42° 的各自角度上。所以只有太阳在你身后、雨在你前方时才会出现彩虹，而且红色在外侧。

第 4 步，物体的颜色。熟透的番茄看起来是红色的，因为它吸收大部分颜色，主要反射红光。光则不同，它是相加的：红、绿、蓝混在一起看起来是白色，手机屏幕正是用三种微小的点组成各种颜色的。

自测：在纯蓝光下，熟透的番茄看起来是什么颜色？（几乎是黑色：它没有红光可以反射。）

中级

折射率、波长与色散

光在真空中以 $c=3.00\times 10^{8}m/s$ 传播，与颜色无关。在透明材料中它较慢，速度为 $v$，折射率表示慢了多少倍：
$n=\frac{c}{v}$

光穿过界面时，频率 $f$ 保持不变，因为另一侧是被到来的波以同样的速率驱动的；由于 $v=f\lambda$，缩短的是波长，缩短的倍数为 $n$。颜色与频率相对应，因此颜色用真空中的波长 $\lambda$ 来标记：红光约 700 nm（$f=4.3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$），紫光约 400 nm。

不同颜色的折射率略有不同，这种差异就是色散。在玻璃和水中，折射率随波长变短而升高，遵循一个经验规律：
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(Cauchy)}$
动画中的棱镜是重火石玻璃，$A=1.700$，$B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$，因此 $n_{\mathrm{red}}=1.700+16000/700^2=1.733$，$n_{\mathrm{violet}}=1.700+16000/400^2=1.800$。水的色散较小：红光为 1.3305，紫光为 1.3435。这些微小差别，0.067 和 0.013，就是区分各种颜色的全部依据。

棱镜中的两次折射

在每个界面上，斯涅耳定律都成立，所有角度都从该面的法线量起：
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
对于空气中顶角为 $\alpha$ 的棱镜，光线的路径可分三步追踪：

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

中间一步是几何关系：棱镜内的光线与两个面的法线构成一个三角形，其第三个角为 $180^{\circ }-\alpha$，所以 ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$。光线在第一个面上偏转 ${\theta }_1-{\theta }_2$，在第二个面上偏转 ${\theta }_4-{\theta }_3$，两次都朝向棱镜底边，因此总偏向角为
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(prism of apex angle }\alpha \text{)}$

对于小角度的薄棱镜，可以用角度本身代替正弦：${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$，于是
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(thin prism)}$
两种颜色因此分开约 $(n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}})\alpha$。窗玻璃的 $\alpha =0$：所有颜色都与入射光平行射出，颜色又重新重合。

例题：动画中的棱镜

白光在第一个面上的入射角为 ${\theta }_1=55^{\circ }$，$\sin 55^{\circ }=0.8192$。对于红光，$\sin {\theta }_2=0.8192/1.733=0.4727$，故 ${\theta }_2=28.2^{\circ }$；对于紫光，$\sin {\theta }_2=0.8192/1.800=0.4551$，${\theta }_2=27.1^{\circ }$。在玻璃内部，两条光路只相差 $1.1^{\circ }$，所以动画在那里只画一条白光束。

两条光线都以 ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$ 到达第二个面：红光为 $31.8^{\circ }$，紫光为 $32.9^{\circ }$。射出时，红光的 $\sin {\theta }_4=1.733\cdot 0.5267=0.9128$，得 ${\theta }_4=65.9^{\circ }$；紫光的 $1.800\cdot 0.5436=0.9785$，得 $78.1^{\circ }$。偏向角为 $\delta =55^{\circ }+65.9^{\circ }-60^{\circ }=60.9^{\circ }$ 和 $55^{\circ }+78.1^{\circ }-60^{\circ }=73.1^{\circ }$，即 $\delta$ 读数上的值。内部的 $1.1^{\circ }$ 间距已扩大到 $12.2^{\circ }$：紫光以接近掠射的角度射出，此时 $\sin {\theta }_4$ 的微小变化会引起角度的大幅变化。

速度读数在空气中为 $3.00\times 10^{8}m/s$，在玻璃内部红光为 $c/n=2.998\times 10^8/1.733=1.73\times 10^{8}m/s$，紫光为 $1.67\times 10^{8}m/s$。$\delta$ 的弧线张开在虚线所示的直射方向与红光射线之间，各色光按顺序落在桌面上，紫光离棱镜最近。

例题：薄玻璃棱镜

一个顶角为 10° 的冕牌玻璃棱镜（即透镜所用的普通玻璃），对红光的 $n=1.513$，对紫光的 $1.531$。一束细白光几乎垂直射入，落在 2.0 m 外的墙上。光谱有多宽？

用薄棱镜规则，
${\delta }_{\mathrm{red}}\approx 0.513\cdot 10^{\circ }=5.13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{violet}}\approx 0.531\cdot 10^{\circ }=5.31^{\circ }$
展宽为 $0.18^{\circ }$，即 $0.18\cdot \pi /180=3.1\times 10^{-3}\mathrm{rad}$，所以墙上的光谱约宽 $2.0\mathrm{m}\cdot 3.1\times 10^{-3}=6.3\mathrm{mm}$，而整个光斑移动约 $2.0\tan 5.2^{\circ }\approx 0.18\mathrm{m}$。在 $5^{\circ }$ 入射下用斯涅耳定律做精确计算，得到 $5.16^{\circ }$ 和 $5.35^{\circ }$：这一规则的精度优于 1 %。

若换成动画中的火石玻璃，同一棱镜给出红光 $0.733\cdot 10^{\circ }=7.3^{\circ }$，紫光 $8.0^{\circ }$：偏向角为原来的 1.4 倍，但展宽为 3.7 倍，即 $0.67^{\circ }$，光谱宽度达 23 mm。

雨滴与彩虹角

阳光以入射角 $\theta$ 射入球形雨滴，折射到 ${\theta }^{\prime }$，满足 $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$，在背面反射一次后再射出。雨滴是圆的，所以光线每次在内表面碰到的角都是同一个 ${\theta }^{\prime }$。光线入射时偏转 $\theta -{\theta }^{\prime }$，背面反射时偏转 $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$，射出时偏转 $\theta -{\theta }^{\prime }$，总共偏转 $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$。因此它返回时与太阳反方向的夹角为
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$

在动画中，白光以 $\theta =59.3^{\circ }$（$\sin \theta =0.86$）射入。对红光，$\sin {\theta }^{\prime }=0.86/1.3305=0.6464$，故 ${\theta }^{\prime }=40.27^{\circ }$，$\phi =4\cdot 40.27^{\circ }-2\cdot 59.32^{\circ }=42.4^{\circ }$。紫光的 $n=1.3435$，得 ${\theta }^{\prime }=39.80^{\circ }$，$\phi =40.6^{\circ }$：这就是两个 $\phi$ 读数。从更高或更低处射入的光线以更小的角度返回，因此光线集中在这一最大角附近。

与太阳反方向的点（即你头部的影子）成 $42.4^{\circ }$ 的雨滴向你送来红光，成 $40.6^{\circ }$ 的雨滴送来紫光：红色位于彩虹的外缘。太阳必须在你身后，且高度低于 42°，否则彩虹会落在地平线以下。

有色光相加，颜料相减

眼睛有三种颜色感受器（视锥细胞），分别对红光、绿光和蓝光最敏感。落在同一点上的光会相加：红光加绿光刺激视锥细胞的方式，与 580 nm 的光谱黄光相近，因此这一点看起来是黄色；红、绿、蓝混合则看起来是白色。屏幕正是用微小的红、绿、蓝点按这一方式组成颜色的。

颜料、墨水和滤光片则是相减的：每一种都会吸收部分光，眼睛接收到的是剩下的光。黄色颜料吸收蓝光，青色颜料吸收红光，因此它们混合后只反射绿光。物体的颜色还取决于照明光：在纯蓝光下，熟透的番茄没有红光可反射，看起来几乎是黑色。

常见错误

• 棱镜并不产生颜色：它只是把白光中已有的颜色分开，若再放一个方向相反的棱镜，就能把它们重新合成白光。
• 光在玻璃中不会改变颜色。红光保持 $4.3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 的频率；它的波长从 700 nm 缩短到 $700/1.733=404\mathrm{nm}$，但它仍然是红色的。
• 折射率越大，光越慢，而不是越快：$n=1.800$ 的紫光以 $1.67\times 10^{8}m/s$ 穿过玻璃，红光则以 $1.73\times 10^{8}m/s$。
• 薄棱镜规则只适用于薄棱镜。对动画中 60° 的棱镜，$(n-1)\alpha$ 给出红光 $44^{\circ }$，而不是 $60.9^{\circ }$；展宽为 $4.0^{\circ }$，而不是 $12.2^{\circ }$。而且 $n\alpha$ 对任何棱镜都是错的：只有 $n$ 超出 1 的部分才会使光线偏折。
• 混合光不等于混合颜料：红光与绿光混合成黄色，但红色颜料与绿色颜料混合成暗棕色，因为每种颜料都会吸收另一种所反射的大部分光。

应用

光谱仪把恒星、火焰和灯的光分散成光谱，从中可以得知光源的组成；切割后的钻石闪耀彩光，是因为钻石的折射率很大（2.42），色散也很强。在透镜中，色散是一个麻烦：简单透镜会把紫光聚焦得比红光更近；把冕牌玻璃透镜与较弱的发散火石玻璃透镜胶合在一起，可以抵消大部分误差，见《透镜与面镜》和《眼睛、相机与望远镜》。在光纤中，色散会把短脉冲展宽。光栅则借助干涉来分开颜色，见《衍射与双缝》，并且使红光偏折最大，与棱镜正好相反。

高级

光在玻璃中为何更慢

折射率 $n$ 表示光在某种材料中的传播速度比在真空中慢多少倍，而棱镜表明 $n$ 随颜色而变。要理解原因，先看玻璃的组成：原子核和束缚电子，电子之间是空隙，空隙中的电场都以恰好为 $c$ 的速度传播。因此玻璃中较慢的波必然是一种综合效应。入射波使电子振动，振动的电子又辐射，它们的辐射叠加到入射波上。本节建立这两部分，下一节再把它们相加。

在洛伦兹模型中，每个电子（电荷为 $q_e$、质量为 $m$）被类似弹簧的力固定在平衡位置，若任其自由，它会以固有频率 ${\omega }_0$ 振动。电子处的光电场为 $E_0{e}^{i\omega t}$，其中 $\omega$ 是光的角频率，物理场取其实部。牛顿第二定律及其稳态解为
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
求解时，设 $x\propto e^{i\omega t}$，从而 $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$，再解出振幅。电子以驱动频率振动，而不是以它自己的频率振动。低于共振时，$\omega <{\omega }_0$，因子 ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ 为正，偶极子 $q_{e}x$ 与场同相，其振幅随 $\omega$ 趋近 ${\omega }_0$ 而增大。

现在取材料的一个薄片，厚度为 $\Delta z$，垂直于光束，单位体积内有 $N$ 个电子。沿光束看去，它是一张平面薄层，单位面积携带电荷 $N{q}_e\Delta z$，所有电荷都在薄层平面内一起振动。这样的薄层会在两侧各辐射一列平面波，其场正比于电荷的速度（结论见《电磁波》一课；${\epsilon }_0$ 为真空介电常数）：
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
由于薄片很薄，$E_a$ 很小。最重要的是它的时间关系：它跟随速度 $\dot{x}$，而不是位移 $x$，因此相位滞后四分之一周期。

一个薄片使波延迟

两列相同频率的波像箭头一样相加。图 1 借此说明：一个落后四分之一周期的小波，如何变成整个波的延迟，而这正是速度变慢的含义。

图例

$E_0$	入射到薄片的波，画成一支箭头，其长度为振幅，方向为相位。	$V/m$
$E_a$	薄片中电子辐射的波：很小，并落后 $E_0$ 四分之一周期，因此画成顺时针的直角。	$V/m$
$E^{\prime }$	薄片之后的波：$E_0$ 与 $E_a$ 之和。	$V/m$
$\phi$	从 $E_0$ 到 $E^{\prime }$ 的夹角：薄片增加的相位延迟 $\omega (n-1)\Delta z/c$，等于 $|E_a|/|E_0|$。	$\mathrm{rad}$

在图 1 中，每个波都是复平面上的一支箭头：长度是振幅，方向是相位，公共因子 $e^{i\omega t}$ 略去不写。薄片之后两列波都以 $c$ 传播，它们途中获得的因子对两者也相同，同样略去。入射波 $E_0$ 为水平箭头。要找 $E_a$ 的方向，把电子的运动代入其表达式。由于 $\dot{x}=i\omega x$，
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
低于共振时该分数为正（$q_e$ 的符号消去，因为只出现 $q_e^2$），所以 $E_a$ 是 $E_0$ 乘以一个小的正数再乘以 $-i$。乘以 $-i=e^{-i\pi /2}$ 相当于把箭头顺时针转过一个直角，也等同于把 $t$ 换成 $t-T/4$，其中 $T$ 为周期：波晚了四分之一周期。这就是那支指向正下方的短箭头 $E_a$。

薄片之后两者相加，其和 $E^{\prime }$ 是对角线。看这个直角三角形：$E_a$ 与 $E_0$ 垂直且短得多，所以 $E^{\prime }$ 的长度在一阶近似下与 $E_0$ 相同（长度变化是 $|E_a|/|E_0|$ 的二阶量），但它顺时针转过一个小角度 $\phi =|E_a|/|E_0|$。顺时针转动意味着相位落后。图中为了看清各部分而把 $\phi$ 画得很大；对薄片来说它非常小。

现在与更慢的波比较。假设光真的以 $c/n$ 的速度穿过薄片，它需要 $n\Delta z/c$ 而不是 $\Delta z/c$，因此会晚到 $(n-1)\Delta z/c$，其箭头会被转回相位 $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$。当 $\phi$ 很小时，薄片后的波将乘以
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
也就是原来的波加上一小块落后四分之一周期的部分，其相对大小为 $\phi$：这正是图 1 中 $E_0+E_a$ 的形状。当两个小量相等时，两种描述一致。令 $\omega (n-1)\Delta z/c$ 等于上面 $E_a$ 中的分数，因子 $\omega$、$\Delta z$ 和 $c$ 相消，得到
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

这是稀薄材料的折射率。每一层都把相位拉回一点，拉回的量取决于电子响应的强弱，而这又依赖于 $\omega$：色散内建于这一机制之中。作为量级检验，取空气中每个分子有一个有效电子，$N=2.5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$，共振在 100 nm 附近。该公式给出 $n-1\approx 1\times 10^{-4}$，与实测的 $2.9\times 10^{-4}$ 数量级一致。

低于共振：柯西定律与蓝天

可见光位于这一公式的低频端，在这里展开即得到用于棱镜的简单定律。玻璃和水的强共振位于紫外，因此对可见光而言 $\omega$ 远低于 ${\omega }_0$（图 3 在后文一节中画出了完整曲线）。

先确定低频极限。当 $\omega =0$ 时公式给出 $n=A$，其中 $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$，因此对任意 $\omega$
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
其中用到了小量 $u$ 时的 $1/(1-u)\approx 1+u$。令 $\omega =2\pi c/\lambda$，共振波长 ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$，比值 ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ 就等于 ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$。结果即柯西定律 $n\approx A+B/{\lambda }^2$，其中 $B=(A-1){\lambda }_0^2$。反过来看，测得的 $A$ 与 $B$ 能说明共振位于何处。动画的拟合给出火石玻璃的 ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0.700}\approx 150\mathrm{nm}$（$A=1.700$，$B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$），水的 $\sqrt{3090/0.3242}\approx 100\mathrm{nm}$（$A=1.3242$，$B=3090\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$），二者都在紫外，与预期相符。

柯西定律也解释了为什么棱镜使光谱的紫端比红端展得更开。动画中第一幅专家图绘制了 400 到 700 nm 之间的 $n(\lambda )$，每种光束颜色对应一个点。它的斜率 $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$，在 700 nm 处为 $-9.3\times 10^{-5}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$，在 400 nm 处为 $-5.0\times 10^{-4}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$。由于三次方的缘故，紫端的曲线陡约 $(7/4{)}^3\approx 5.4$ 倍。

棱镜再把每一个折射率差转换为角度差。设其顶角为 $\alpha$（动画中为 60°）。光线以入射角 ${\theta }_1$（55°）射到第一个面并折射为 ${\theta }_2$；它在第二个面上的角为 ${\theta }_3$，最后以 ${\theta }_4$ 射出。两个面上的斯涅耳定律给出 $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ 和 $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$，而三角形给出 ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$。现在保持 ${\theta }_1$ 不变，稍微改变 $n$。第一个关系式给出 $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$，三角形给出 $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$。把两者代入第二个关系式的微分 $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$，并利用 $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$：
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
对红光，$n$ 每变化一个单位，出射角变化 2.4 rad。对紫光，其出射光线几乎掠射，因此 $\cos {\theta }_4$ 很小，结果为 4.7。两种效应都使紫端的展宽更大。以每纳米波长计，出射角在 700 nm 处变化 $2.4\cdot 9.3\times 10^{-5}\approx 2.2\times 10^{-4}$ rad，而在 400 nm 处变化 $4.7\cdot 5.0\times 10^{-4}\approx 2.4\times 10^{-3}$ rad，约为十倍：扇形的紫端被拉伸了。

同样的受迫电子也向侧面辐射，这就是天空颜色的来源。远低于共振时，振幅 $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ 几乎不随 $\omega$ 变化，因为 ${\omega }^2$ 与 ${\omega }_0^2$ 相比很小。振荡偶极子辐射的功率与其加速度的平方成正比，而加速度为 ${\omega }^{2}x$，因此辐射功率按 ${\omega }^4{x}^2$ 增长，即正比于 ${\omega }^4$。空气分子因此以正比于 ${\omega }^4$ 的方式散射阳光（瑞利散射）：450 nm 处的散射比 650 nm 处多 $(650/450{)}^4\approx 4.4$ 倍。从阳光束中散射出去的蓝光充满天空，而经过长途空气后剩下的光，如日落时，则是红色的。

相速度与群速度

棱镜在空间上分开颜色。在一段长玻璃中，色散还会在时间上分开颜色，因为脉冲的传播速度并不等于其内部波峰的速度。图 2 把两种速度并排展示。

图例

$t_1$	第一个时刻。	$\mathrm{s}$
$t_2$	较晚的时刻；$\Delta t=t_2-t_1$。	$\mathrm{s}$
$E$	脉冲的电场：蓝色曲线，其波峰以相速度运动，位于阴影包络之下。	$V/m$
$v\Delta t$	$t_1$ 与 $t_2$ 之间一个波峰所走的距离：相速度 $v=c/n$ 乘以 $\Delta t$。	$\mathrm{m}$
$v_g\Delta t$	同一时间内包络峰所走的距离：群速度 $v_g=c/n_g$ 乘以 $\Delta t$。	$\mathrm{m}$

图 2 追踪一个通过火石玻璃的紫光短脉冲，画在两个时刻 $t_1$ 和 $t_2$，相隔 $\Delta t$。蓝色曲线是电场 $E$：在平滑包络（阴影轮廓）下的一串波峰。波峰以相速度 $v=c/n$ 运动，即无限长单频波的波峰速度，因此被标记的波峰前进 $v\Delta t$，即较长的蓝色距离。包络以另一速度运动，即群速度 $v_g$，只前进 $v_g\Delta t$，即较短的紫色距离。注意包络的峰值：在 $t_1$ 时，被标记的波峰正好位于其上，而到 $t_2$ 时，该波峰已超前于它。

图中使用动画中玻璃在 400 nm 处的数据，此处 $n=1.800$，而群折射率 $n_g=c/v_g$ 经计算为 2.000。同样的时间内，波峰穿过五个波长，包络只穿过 $5\cdot 1.800/2.000=4.5$ 个。因此 $t_1$ 时位于峰上的那个波峰，到 $t_2$ 时已超前于峰半个波长，而峰现在落在一个波谷上。波峰不断在脉冲尾部出现，穿过脉冲向前移动，并在脉冲前端消失。

为什么包络有自己的速度？脉冲和任何信号一样，是波的一种变化，而变化的波是相邻频率的混合。取两个频率 $\omega \pm \delta \omega$，波数为 $k\pm \delta k$。它们之和是一个频率为 $\omega$、波数为 $k$ 的波，其振幅按 $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$ 变化，而这一图样以 $\delta \omega /\delta k$ 运动。对于窄带频率，这变为
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

在玻璃中 $k=n\omega /c$，而 $n$ 依赖于 $\omega$，故 $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$。由于 $\lambda =2\pi c/\omega$，微小变化给出 $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$，因此 $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$。群折射率于是为
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

在正常色散中，$n$ 随 $\lambda$ 增大而减小，$dn/d\lambda <0$，因此 $n_g>n$：脉冲比其内部的波峰移动得更慢。由柯西定律，$-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$，$n_g=A+3B/{\lambda }^2$。对动画中的玻璃，红光为 1.798，紫光为 2.000；而相折射率分别为 1.733 和 1.800。

接近共振：吸收与反常色散

柯西定律只是振子折射率的低频尾部。在 ${\omega }_0$ 附近，上面的折射率公式会发散，而真实材料不会如此。真实电子也会失去能量，通过碰撞和自身辐射。用运动方程中的摩擦项 $\gamma \dot{x}$ 来模拟这种损耗，其中 $\gamma$ 为阻尼率。于是因子 ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ 变为 ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$，折射率成为复数，写作 $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$，其中 $n^{\prime }$ 和 $n^{\prime \prime }$ 为实数：
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

图例

$n$	折射率，这里是复数 $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$；两条曲线是它的两部分。
$n^{\prime }$	折射率的实部：波峰以 $c/n^{\prime }$ 运动。
$n^{\prime \prime }$	折射率的虚部：它决定波被吸收的速度。
$\omega$	光的角频率。	$rad/s$
${\omega }_0$	电子的固有频率：即共振。	$rad/s$
$\gamma$	阻尼率；也是吸收峰在半高处的宽度。	$rad/s$
$A$	极低频率处的折射率，$n^{\prime }$ 由此开始：即柯西形式的常数项。
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	柯西形式（虚线）：在共振之下很好地跟随 $n^{\prime }$，在共振附近失效。

图 3 绘出 $n^{\prime }$ 和 $n^{\prime \prime }$ 随 $\omega$ 的变化。从左边开始看。$\omega =0$ 时，实部 $n^{\prime }$ 从 $A$ 开始并缓慢上升，而虚线所示的柯西形式 $A+B/{\lambda }^2$ 紧随其后：这一段是棱镜和彩虹所在之处。接近 ${\omega }_0$ 时，虚线形式失效。实部 $n^{\prime }$ 攀升到一个峰值，随后急剧下降，恰好在 $\omega ={\omega }_0$ 处穿过 1，降至低于 1 的谷底，然后从下方缓慢回升到 1。虚部 $n^{\prime \prime }$ 在远离共振处几乎为零，并在 ${\omega }_0$ 处形成一个峰，其半高全宽为 $\gamma$。

$n^{\prime \prime }$ 的意义是：波在材料中传播距离 $z$ 后，带有因子 $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$。当 $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ 时，它分解为 $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$（波峰以 $c/n^{\prime }$ 运动）乘以 $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$（振幅随距离衰减）。因此 $n^{\prime \prime }$ 即吸收。图 3 显示它只在宽约 $\gamma$ 的范围内（以 ${\omega }_0$ 为中心）显著：材料在共振附近不透明，远离共振则透明。

在吸收带中，$n^{\prime }$ 随频率升高而下降，即图 3 中的陡峭段。这就是反常色散：在该带内，棱镜给出的颜色顺序会颠倒。吸收与色散之间的联系并非模型的偶然特征。克拉默斯–克勒尼希关系仅由因果性（响应不能先于原因）导出，它使这一联系严格成立：折射率不等于 1 的材料，必然在光谱的某处有吸收。

在图 3 右侧，即所有共振之上，对 $n$ 的修正改变符号，$n^{\prime }$ 低于 1。对 X 射线而言，每个电子几乎都是自由的，玻璃在 0.1 nm 处的 $n\approx 1-3\times 10^{-6}$，因此波峰的传播速度比 $c$ 还快。但没有信号能这样传播。这里 $1-n$ 与 ${\lambda }^2$ 成正比，故 $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$，群折射率公式给出 $n_g=1+3\times 10^{-6}$。折射率低于 1 还意味着，以低于约 0.15° 的掠射角射到抛光表面的 X 射线会被全反射，这正是 X 射线望远镜反射镜的原理。

真实材料有多个共振。把它们的贡献相加，得到塞尔迈耶尔形式 $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$，其中每个 ${\lambda }_k$ 为共振波长，$B_k$ 为其强度。电子项位于紫外，而离子振动项位于红外。在两者之间，石英的群折射率在 1.3 µm 附近有一个最小值，在那里略有不同波长的脉冲以相同速度传播：这就是电信光纤的零色散波长。

自由电子，如等离子体中的电子，不受恢复力，因此 ${\omega }_0=0$。完整处理给出 $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$，其中等离子体频率 ${\omega }_p$ 由 ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$ 定义；取 ${\omega }_0=0$ 的稀薄公式给出其一阶形式 $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$。在 ${\omega }_p$ 以下，$n^2$ 为负，波无法穿行，而是被反射。对电离层中每立方米 $10^{12}$ 个电子，${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{MHz}$，因此垂直向上发射的较低频率无线电波会返回地面。

彩虹作为驻定角

水的折射率在可见光范围内只变化约 1%，从 700 nm 红光的 1.3305 到 400 nm 紫光的 1.3435，但彩虹却能清楚地分开颜色。原因在于几何：水滴内部反射一次的光大多朝一个方向射出，而该方向取决于 $n$。图 4 展示了这一优选方向的来源。

图例

$b$	光线的瞄准距离：它到水滴轴线的距离，以半径为单位，$b=\sin \theta$，其中 $\theta$ 为入射角。
$\phi$	返回光线与反太阳方向（背离太阳的方向）之间的夹角，$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$，其中 ${\theta }^{\prime }$ 为折射角。	$\mathrm{rad}$
${\phi }_{\max }$	最大出射角，位于曲线平坦的顶部：即彩虹角。	$\mathrm{rad}$
$\Delta \phi$	每个阴影带的高度：两者中相同的一小段出射角范围。	$\mathrm{rad}$
$\Delta b_1$	射入上方带的光线的 $b$ 范围：较宽，因为曲线在那里平坦。
$\Delta b_2$	射入下方带的光线在斜坡上的 $b$ 范围：较窄，因为曲线在那里陡峭。

图 4 针对红光，以及射入球形水滴、在内部反射一次后射出的光线。阳光均匀地落在水滴表面。以瞄准距离 $b$ 为每条光线标记：它是光线到通过水滴中心且与阳光平行的轴线的距离，以水滴半径为单位。在入射角为 $\theta$ 的表面上的光线有 $b=\sin \theta$，并以 ${\theta }^{\prime }$ 折射进入水滴，满足 $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$。两次折射各使光线偏转 $\theta -{\theta }^{\prime }$，反射使其偏转 $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$，因此总共偏转 $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$。纵轴是射出光线与反太阳方向（直接背离太阳的方向）之间的夹角 $\phi$，即 $180^{\circ }$ 减去总偏转：
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

现在沿曲线看。在 $b=0$（中心）时，角度从零开始上升，此时光线直进直出。它趋于平坦的最大值 ${\phi }_{\max }$，然后在边缘 $b=1$ 处降至约 15°，此处切线变为竖直。动画中的第二幅专家图显示了 $b$ 从 0.5 到 1 之间该曲线的顶部。

两个阴影带高度相同，都是 $\Delta \phi$：一个在上升的斜坡上，一个在顶部。沿每个带向下追到 $b$ 轴，即可看出哪些光线落入其中。在陡坡上，只有窄范围 $\Delta b_2$ 的光线落入该带，外加边缘附近一小片光线，即 $b=1$ 附近，那里曲线又陡然回落穿过该带。在平坦的顶部，宽约三倍的范围 $\Delta b_1$ 落入其中。光线还必须按面积计数：瞄准距离介于 $b$ 与 $b+db$ 之间的光线，打在水滴表面一个面积正比于 $bdb$ 的环带上，因此远离中心的光线数量更多。按此加权，上方的带收集了全部一次反射红光的约 40%，而下方的带只收集约 9%。这就是全部效应：在 $\phi$ 驻定之处，许多光线以几乎相同的方向射出，于是该方向看起来很亮。

要找顶点，令 $d\phi /d\theta =0$。由 $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$，这要求 $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$。对斯涅耳定律求微分得 $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$，因此在顶点处 $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$。两边平方，并代入 $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$。于是 $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$，得到
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(rainbow)}$

对红光，${\cos }^2\theta =(1.3305^2-1)/3=0.2567$，故 $\theta =59.6^{\circ }$（$b=0.862$），${\theta }^{\prime }=40.4^{\circ }$，${\phi }_{\max }=42.4^{\circ }$。对紫光，$n=1.3435$ 给出 $b=0.855$ 和 ${\phi }_{\max }=40.6^{\circ }$。因此红光最多以与反太阳点成 42.4° 的角度返回，而紫光只到 40.6°，所以红色位于彩虹外侧。动画中的光线，$b=0.86$，几乎正好位于两个最大值上，其虚线即标示了这一点。

彩虹边缘有多锐利？在其顶部附近，${\phi }_{\max }-\phi$ 随沿 $b$ 轴离顶部距离的平方增长。反过来看，落入顶部 $\delta$ 角度范围内的 $b$ 区间仅按 $\sqrt{\delta }$ 增长，因此当 $\phi$ 趋近 ${\phi }_{\max }$ 时，单位角度内的光线数按 $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$ 增长。数值上，约五分之一的一次反射红光在距最大值 1° 以内射出，比 20° 附近一个 1° 宽的带多约十五倍。超过 ${\phi }_{\max }$ 的地方根本没有光线到达，所以彩虹内侧的天空比外侧更亮。

在水滴内部反射两次的光线产生第二道彩虹。对它们而言 ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$，其驻定点是一个极小值，位于 ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$ 处：红光为 50.2°，紫光为 53.6°。这道副虹较暗，因为每次反射都会损失光，而且它的颜色是颠倒的，红色在内侧。在 42.4° 与 50.2° 之间，两种光线都不到达，因此两道彩虹之间的天空带更暗。

例题：穿过火石玻璃的闪光

假设棱镜所用的火石玻璃（$A=1.700$，$B=16000\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$）被拉成一根 1.00 km 长的光纤，并从一端射入一道短促的白光闪光。它的红光部分（700 nm）和紫光部分（400 nm）到达的时间相差多少？如果按普通的相折射率计算，会得出什么结果？

每种颜色都以脉冲的形式传播，因此以其群速度运动，应采用群折射率。由柯西定律，$dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$，故
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
这里 $B/{\lambda }^2$ 对红光为 $16000/700^2=0.03265$，对紫光为 $16000/400^2=0.1000$，得 $n_{g,\mathrm{red}}=1.700+3\cdot 0.03265=1.798$ 和 $n_{g,\mathrm{violet}}=1.700+3\cdot 0.1000=2.000$。每个部分需要 $t=L{n}_g/c$：红光为 $5.997\mu \mathrm{s}$，紫光为 $6.671\mu \mathrm{s}$。两者之间的延迟为
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{violet}}-n_{g,\mathrm{red}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0.202}{2.998\times 10^8}=674\mathrm{ns}$

若改用相折射率，$n_{\mathrm{violet}}-n_{\mathrm{red}}=0.1000-0.03265=0.06735$，$1000\cdot 0.06735/(2.998\times 10^8)=225\mathrm{ns}$，只有实际值的三分之一。拉伸脉冲的是 $n$ 随颜色变化的快慢，而不是 $n$ 本身的大小。因此一个 1 ns 的白光闪光离开光纤时，会变成一条约 0.67 µs 长的光带，红光在前。电信线路通过只发送宽 0.1 nm、在约 1.55 µm 处穿过石英光纤的激光来避免这一问题，那里的展宽约为每公里每纳米带宽 17 ps，因而每公里不到 2 ps。

适用范围的限制

振子模型是经典的。量子力学保留了它的形式，却改变了其含义：每个共振都是从基态（能量 $E_{\mathrm{g}}$）到激发态（能量 $E_k$）的原子跃迁，$\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{g}}$，每个跃迁以称为振子强度的权重进入。稀薄结果还忽略了邻近偶极子的场。在致密固体中，这一局域场使结果变为 $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$，当 $n$ 接近 1 时它还原为前面的结果。在吸收带内，群速度可能超过 $c$，甚至变为负值。脉冲于是被强烈地重塑，其峰值不再标示信号，而任何信号的前沿仍然永远不会超过 $c$。

彩虹的光线图景要求水滴远大于波长。在较小的水滴中，以相同角度经不同路径离开的光线会发生干涉，并在紫色内侧加上微弱的附加条纹。在雾中，直径约 $d=10$ µm 的小水滴会使每种颜色模糊约 $\lambda /d\approx 3^{\circ }$，这超过了红光与紫光之间近 2° 的间隔，因此雾虹几乎是白色的。

最后，颜色不等于波长。眼睛把任何光谱都归并为三路视锥信号，因此红光与绿光的混合可以精确匹配光谱黄光，而用三种基色的屏幕无法显示所有光谱颜色。

这将通向哪里

受迫振子就是《阻尼与共振》中的那一个，只是现在处于光频；辐射电荷的薄片则属于《电磁波》。彩虹的驻定角呼应《反射与折射》中的费马原理：那里传播时间是驻定的，这里是出射角；两种情形下，相邻光线都相互加强。透镜的颜色误差及其修正会在《透镜与面镜》和《眼睛、相机与望远镜》中再次出现；通过干涉分开颜色的光栅在《衍射与双缝》中；蓝天的部分偏振则在《光的偏振》中。共振频率本身来自原子能级，《原子模型：玻尔原子》开始对此做出解释。