温度与热量

入门

第 1 步。东西有多热？温度计用一个数字回答：它的温度。在摄氏温标上，水在 0 °C 结冰，在 100 °C 沸腾。科学家还使用开尔文温标，它从绝对零度（约 −273 °C）开始，这是可能达到的最低温度；一开尔文与一摄氏度的间隔相同。

第 2 步。温度计真正测量的是什么？万物都由永不停止振动的微小粒子组成。温度表示每个粒子平均振动得有多剧烈：物体越热，粒子运动越快。

第 3 步。温度不等于能量的多少。一浴缸温水和一小勺同样的水温度相同，但浴缸里的水含有数千倍的粒子，因此所含的振动能量也多出数千倍。

第 4 步。热量是运动中的能量。热物体接触冷物体时，它快速运动的粒子会撞击较慢的粒子，并与之分享一部分运动。能量只会自发地从热流向冷，不会反向，直到两者温度相同，即达到热平衡。在动画中，热块的粒子起初振动得更剧烈；随着两个温度计示数趋于一致，热量箭头变短，并在两块物体温度相同时消失。

第 5 步。有些材料比其他材料难以升温。1 kg 水升高 1 度需要约 4200 焦耳；1 kg 铁只需约 450 焦耳。这就是为什么沙子能烫伤你的脚，而海水仍然凉爽。

想一想：仙女棒的火花温度超过 1000 °C，但落在手上时几乎不痛。为什么？（每一个火花都很小：温度很高，但携带的能量很少。）

中级

温度、热量及其单位

温度是温度计所示的数值。在摄氏温标上，水在 0 °C 结冰，在 100 °C 沸腾。开尔文温标（单位 K）的刻度大小相同，但它从绝对零度开始，即 −273.15 °C，这是可能达到的最低温度：
$T(\mathrm{K})=T({}^{\circ }\mathrm{C})+273.15$

因此，温度变化 $\Delta T$ 在两种温标下数值相同：从 20 °C 升到 30 °C 即变化 10 K。只有开尔文温标从真正的零点开始，所以当温度需要相乘、相除或乘方时，应使用开尔文。

热量 $Q$ 是能量，单位为焦耳（J），由于温度不同而从一个物体传递到另一个物体。物体本身并不含有热量：它含有内能 $U$，即其粒子无规则运动的能量以及粒子之间相互作用力的能量。热量与功一样，是正在传递中的能量：流入物体时为正，流出时为负。

比热容

只要没有熔化、沸腾或发生反应，改变物体温度所需的热量以及物体的热容为

• $Q=mc\Delta T$
• $C=mc$

这里 $m$ 是质量，$\Delta T$ 是末温减去初温，$c$ 是比热容：使 1 kg 该材料升高 1 K 所需的能量，单位为 J/(kg·K)。整个物体的热容 $C=mc$ 单位为 J/K。物体降温时，$\Delta T$ 和 $Q$ 均为负值。

典型值（单位 J/(kg·K)）：水 4180，冰 2100，铝 900，干沙约 800，铁 450，铜 385，铅 130。按每千克计算，水升高相同温度所需的能量约为铁的九倍。这就是为什么海洋升温和降温都很缓慢。

热平衡与末温

当一个热物体与一个冷物体在良好的绝热条件下接触时，热量会流动，直到两者达到共同温度 $T$；此时热物体放出的热量等于冷物体吸收的热量：
$m_1{c}_1(T_1-T)=m_2{c}_2(T-T_2)$
解出 $T$（即平衡温度）得到
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1{c}_1{T}_1+m_2{c}_2{T}_2}{m_1{c}_1+m_2{c}_2}$

这是以热容为权重对初始温度取的平均值：它介于两者之间，更靠近 $mc$ 较大的物体。加权平均与温标零点的位置无关，因此该公式在 °C 和开尔文中均适用。热容为两倍的物体，其温度变化只有一半。

例题：动画中的两块物体

一块 1 kg 的铁块（$c_1=450J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$，因此 $C_1=450J/K$）温度为 327 °C，与一块 1 kg 的铝块（$c_2=900J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$，$C_2=900J/K$）温度为 27 °C 接触。若无损失，则放出的热量等于吸收的热量：
$450(327-T)=900(T-27)$
$1350T=147150+24300=171450,T=127{}^{\circ }\mathrm{C}$

铁降温 200 K，而铝只升温 100 K，因为铝的热容是铁的两倍。穿过接触面的热量为 $Q=450\cdot 200=900\cdot 100=90000\mathrm{J}=90\mathrm{kJ}$。这些就是读数上的最终数值：$T_1$ 与 $T_2$ 在 127 °C 相遇，而 $Q$ 升至 90 kJ。

读数还显示热交换在变慢：1 s 后，读数约为 217 °C、82 °C 和 50 kJ，因此超过一半的热量在第一秒内就已传递。标有 $dQ/dt$ 的橙红色箭头表示以瓦特计的热流速率，其长度与 $T_1-T_2$ 成正比。当读数达到约 227 °C 和 77 °C 时，箭头长度减半；随着两个温度计示数趋于一致，箭头逐渐变淡。铁的液柱下降速度始终是铝的液柱上升速度的两倍。

例题：放一缸洗澡水

你想准备 80 kg、38 °C 的洗澡水，将 60 °C 的热水与 12 °C 的冷水混合。需要多少热水？热水器为加热它耗费了多少能量？忽略损失。

两者都是水，所以 $c$ 可以约去：$m_h(60-38)=m_c(38-12)$。由 $m_h+m_c=80\mathrm{kg}$ 得 $m_h=80\cdot 26/48\approx 43.3\mathrm{kg}$ 热水，以及 36.7 kg 冷水；热水比冷水多，因为 38 °C 更接近 60 °C。热水器将热水从 12 °C 加热到 60 °C：
$Q=mc\Delta T=43.3\cdot 4180\cdot 48\approx 8.7\times 10^6\mathrm{J}$

即 8.7 MJ，约 2.4 kWh（1 kWh 为 3.6 MJ），相当于一台 3 kW 加热器工作近 50 分钟。

热量传递有多快：缩短的箭头

热平衡给出的是终态，而不是所需的时间。在动画中，热量穿过接触面的速率为 $dQ/dt=k(T_1-T_2)$，热导 $k=240W/K$：起初为 72 kW，随后随着温差缩小而越来越小。由于热流与温差成正比，温差在相同时间内按相同比例缩小，大约每 0.87 s 减半，且永远不会恰好为零。

在大房间中、温度为 $T_{\mathrm{env}}$ 的环境里冷却的物体遵循同样的规律，即牛顿冷却定律：
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$
左边是温度的变化率，时间常数 $\tau$ 随物体热容的增大而增大。超出的温度按 $T-T_{\mathrm{env}}=(T_0-T_{\mathrm{env}})e^{-t/\tau }$ 衰减：80 °C 的茶放在 20 °C 的房间里，超出温度每 12 分钟减半，则 12、24、36 分钟后分别为 50 °C、35 °C 和 27.5 °C。

常见错误

• 热量不储存在物体中，冷也不会流动：动画中的 90 kJ 是从铁传到铝的能量。
• 应使用温度变化，而不是末温。将 0.5 kg 的铝锅从 20 °C 加热到 120 °C 需要 $0.5\cdot 900\cdot 100=45\mathrm{kJ}$，而不是 54 kJ。
• 热量相等并不意味着温度变化相等。同样的 90 kJ 使铁降温 200 K，却只使铝升温 100 K。
• 摄氏温度不能按倍数比较：54 °C 并不是 27 °C 的两倍热，因为 327 K 只比 300 K 多 9%。
• 同为 20 °C 的金属把手比木质把手摸起来更冷，原因仅在于金属的导热能力比木头强数百倍，它从皮肤吸热的速度快得多：皮肤感受到的是热量的流失，而不是温度。

应用场景

水的比热容大，使沿海城镇的冬季较温和、夏季较凉爽；海洋吸收了温室气体滞留的额外能量的约九成。发动机用水冷却，蓄热式暖炉利用致密的砖块保存热量，食物所含的能量则通过在量热计中燃烧食物来测量；一个食物大卡等于 4.18 kJ。

使物体熔化或沸腾而非升温的热量，是《物态变化与潜热》的内容；热量如何传播，则是《热传导、对流与热辐射》的内容。《热膨胀》说明升温对尺寸的影响，《气体分子动理论》将温度解释为分子运动，《热力学第一定律与热机》则将热与功统一在同一个能量平衡中。

高级

温度作为平衡的条件

温度在能够测量之前必须先被定义，而定义来自实验。把两个物体置于热接触中，使它们能交换能量但不交换物质，然后等待。一段时间内，它们的性质会变化：长度、压强和电阻都会漂移。之后变化停止。此时两个物体处于热平衡，按定义，我们说它们具有相同的温度。

热力学第零定律补充了一条事实：两个物体各自与第三个物体处于平衡，那么它们彼此也处于平衡。这正是温度计可靠的原因。温度计就是这第三个物体：如果它与 A 接触和与 B 接触时示数相同，那么 A 与 B 接触时也不会发生变化。要做到这一点，它的热容必须足够小，才不会扰动它所测量的温度。

这一定义说明了何时两个温度相等，但没有说明如何给温度编号。水银温度计、电阻温度计和热电偶温度计在标定点上一致，但在两点之间略有差异，因为每种温度计都依赖于其自身材料的某种性质。稀薄气体消除了这种依赖：在定容下，其压强与一个温度成正比，而在足够低的密度下，这个温度对所有气体都相同。这个温度就是开尔文温标。自 2019 年起，开尔文由给玻尔兹曼常数规定精确值来确定，从而把每个温度 $T$ 与能量 $k_{B}T$ 联系起来：
$k_B=1.380649\times 10^{-23}J/K$

碰撞如何分配能量

温度相等在分子尺度上也有含义：它是碰撞平均而言不再把能量从一个物体转移到另一个物体的条件。一个思想实验可以说明原因。

取盒中两种不同的气体，由一个可以自由滑动的活塞隔开。活塞很快会停在两侧压强平衡的位置，但它从不完全静止：它在单个分子碰撞下颤动。通过这种颤动，平均而言分子撞击更猛烈的一侧会把能量传给另一侧。只有当两侧每个分子的平均动能相同时，这种交换才会停止。在混合气体中，碰撞直接在分子之间完成同样的工作。因此在平衡时，重分子比轻分子运动得更慢，但它们的平均 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 都相同。

经典统计力学将其归结为能量均分定理。在平衡时，粒子能量中每一个对某一速度分量或某一坐标呈二次形式的项，例如 $\frac{1}{2}m{v}_x^2$，都具有相同的平均值 $\frac{1}{2}{k}_{B}T$。单原子气体的一个分子有三个这样的项，每个方向一个动能项，因此其平均动能为 $\frac{3}{2}{k}_{B}T$。固体中的一个原子既有三个动能项，也有三个势能项，因为它的化学键沿每个方向把它拉回平衡位置；因此其平均能量为 $3k_{B}T$。

对于一摩尔简单固体，含有 $N_A$ 个原子，且 $R=N_A{k}_B$，其能量为 $3RT$，因此摩尔热容对所有元素都相同：
$C_m=3R\approx 25J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$
这就是杜隆–珀蒂定律，于 1819 年由实验发现。将 $3R$ 除以铁和铝的摩尔质量 0.0558 和 0.0270 kg/mol，得到约 447 和 924 J/(kg·K) 的比热容，与动画中使用的 450 和 900 相近。铝的数值约为铁的两倍，因为其原子的质量约为铁原子的一半：每千克铝所含的原子数约为两倍，而每个原子存储的能量相同。

原子的抖动有多大

能量均分定理说明了一个原子的振动所具有的能量。图 1 将这一能量转换为距离，即原子抖动的幅度，并展示它如何随温度增长。

图例

$U$	一个原子在其化学键中的弹性能，$\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$，其中 $k_s$ 为化学键的劲度系数。	$\mathrm{J}$
$x$	原子相对其平衡位置、沿某一方向的位移。	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$	较高温度 $T_1$ 时，沿某一方向的平均弹性能，以水平线表示。	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$	较低温度 $T_2$ 时，沿某一方向的平均弹性能，以水平线表示。	$\mathrm{J}$
$x_1$	水平线 $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ 与势阱的交点：即 $T_1$ 时的均方根位移，也就是抖动的典型幅度。	$\mathrm{m}$
$x_2$	$T_2$ 时的同一量；当 $T_1=2T_2$ 时，它是 $x_1$ 的 $\sqrt{2}$ 分之一。	$\mathrm{m}$

图 1 追踪固体中一个原子沿某一方向的运动，其相对平衡位置的位移为 $x$。对于小位移，它的化学键作用类似于劲度为 $k_s$ 的弹簧，因此其弹性能为 $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$：即图中的抛物线势阱。（这里的 $U$ 是这一个原子在化学键中的能量，而不是整块物体的内能。）根据能量均分，$U$ 的平均值为 $\frac{1}{2}{k}_{B}T$。每条水平线都画在某一温度对应的平均值处：较高温度的线在上方，高度为 $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$；较低温度的线在下方，高度为 $\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$，且与动画中一样 $T_1=2T_2$。

现在看每条线与势阱的交点。在交点处 $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}{k}_{B}T$，因此该线在 $x=\pm \sqrt{k_{B}T/k_s}$ 处与势阱相交，中心两侧各一点。坐标轴下方的括号标出了交点到中心的距离：$x_1$ 对应 $T_1$，$x_2$ 对应 $T_2$。这些距离具有物理意义：由于 $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ 的平均值为 $\frac{1}{2}{k}_{B}T$，$x^2$ 的平均值便是 $k_{B}T/k_s$，因此每个交点恰好就是均方根位移：该温度下抖动的典型幅度。

势阱的形状决定了这一幅度如何增长。由于 $U$ 随 $x^2$ 上升，把线的高度提高到两倍，只会把交点推远 $\sqrt{2}$ 倍：图中 $x_1=\sqrt{2}{x}_2$。抖动幅度按 $\sqrt{T}$ 增长，而不是按 $T$ 增长。动画按此规则画出其粒子：600 K 时铁的粒子抖动幅度约为 300 K 时铝的 $\sqrt{2}\approx 1.4$ 倍。

热量、功与第一定律

温度说明能量将朝哪个方向流动；热量则是这种流动的名称。热量曾被想象为一种储存在物体中的流体，称为热质。1840 年代，焦耳证明，落下的重物带动水中的桨轮旋转，会像加热一样使水升温，且每卡路里约对应 4.2 J 的功。因此热量不是一种物质，而是正在传递的能量；包括热量在内的能量守恒，即热力学第一定律：
$\Delta U=Q-W$

这里 $U$ 是系统的内能，$Q$ 是它吸收的热量，$W$ 是它对外界所做的功，这是《热力学第一定律与热机》一课所采用的符号约定。如果 $W$ 改为计算外界对系统所做的功，则定律写成 $\Delta U=Q+W$。

两种传递方式的发生机制不同。功是由宏观力沿一段距离作用而传递的能量，例如活塞推动气体。热量是通过微观碰撞或辐射、由温度差驱动而传递的能量。只有 $U$ 是物体状态的性质。一个热的物块可能是被火焰加热（这是热量），也可能是被摩擦加热（这是功），而物块本身并不记录是哪一种；因此“物体所含的热量”这种说法没有意义。

对于固体和液体，它们膨胀时克服大气所做的功可以忽略，因此它们吸收的热量 $Q=C\Delta T$ 实际上就是其内能变化 $\Delta U$。气体则不同：理想气体在定压下受热时，膨胀也会做功，因此其定压摩尔热容比定容摩尔热容恰好大 $R$。

接触中的两个物块：指数式趋近

第一定律确定了交换的终点；要追踪其随时间的过程，我们需要一个模型来描述热量穿过接触面的速度。把每个物块都视为均匀的，内部处处温度相同：热的物块热容为 $C_1$，温度为 $T_1(t)$，冷的物块热容为 $C_2$，温度为 $T_2(t)$。设接触面传递的热流与温差成正比，即 $k(T_1-T_2)$，其中 $k$ 为接触面的热导，单位为 W/K。每个物块的能量只通过这一热流改变，因此
$C_1\frac{d{T}_1}{dt}=-k(T_1-T_2),C_2\frac{d{T}_2}{dt}=k(T_1-T_2)$

由此得到两个结果。第一，将两式相加得 $d(C_1{T}_1+C_2{T}_2)/dt=0$：一个物块失去的，另一个物块得到，因此 $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ 保持其初始值。最终两个温度相等，由此确定末温：
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1{T}_1(0)+C_2{T}_2(0)}{C_1+C_2}$

第二，将每个方程除以其热容，再用第二式减去第一式，便得到只关于温差 $\Delta T=T_1-T_2$ 的方程：
$\frac{d\Delta T}{dt}=-k\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\Delta T$
温差的缩小速率与其自身大小成正比，这正是指数衰减的特征。从 $\Delta T_0$ 出发，
$\Delta T=\Delta T_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{C_1{C}_2}{k(C_1+C_2)}$
当物块较大或接触不良时，时间常数 $\tau$ 较长。组合 $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$ 总是小于任一热容，因此较小的物块决定了快慢。

动画使用的是 600 K（327 °C）的 1 kg 铁，因此 $C_1=450J/K$；以及 300 K（27 °C）的 1 kg 铝，因此 $C_2=900J/K$。于是 $T_{\mathrm{eq}}=(450\cdot 600+900\cdot 300)/1350=400\mathrm{K}$，即 127 °C，铁向铝传递 $450\cdot 200=90\mathrm{kJ}$。由 $C_1{C}_2/(C_1+C_2)=300J/K$ 和 $k=240W/K$ 得时间常数 $\tau =300/240=1.25\mathrm{s}$（$1/\tau =0.8{\mathrm{s}}^{-1}$）。热流起始为 $k\Delta T_0=240\cdot 300=72\mathrm{kW}$，温差每 $\tau \ln 2\approx 0.87\mathrm{s}$ 减半，并在 $\tau \ln 300\approx 7.1\mathrm{s}$ 后降至 1 K。

读懂两条曲线

这个解用图像来理解最为容易。图 2 展示了两个温度最终趋向何处、起始变化有多快，以及 $\tau$ 在图上的含义。

图例

$T$	物块的温度。	$\mathrm{K}$
$t$	两物块接触后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$T_1$	热物块（铁）的温度；从其初始值下降。	$\mathrm{K}$
$T_2$	冷物块（铝）的温度；从其初始值上升。	$\mathrm{K}$
$T_{eq}$	共同的末温，即两条曲线趋近的水平线。	$\mathrm{K}$
$\Delta T_0$	起始温差 $T_1-T_2$；此后温差以 $e^{-t/\tau }$ 缩小。	$\mathrm{K}$
$\tau$	时间常数：两条起始切线都到达 $T_{\mathrm{eq}}$ 的时刻。	$\mathrm{s}$

图 2 绘制了动画专家图中的两条曲线及其数值。橙红色曲线 $T_1$ 从铁的 327 °C 开始下降；蓝色曲线 $T_2$ 从铝的 27 °C 开始上升。左侧的括号标出起始温差 $\Delta T_0$，即 300 K。

首先看它们走向何处。两条曲线都弯向绿色虚线 $T_{\mathrm{eq}}$，即 127 °C。该线将括号分成 2 : 1 的比例，并且始终以相同比例分割不断缩小的温差：因为 $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ 始终等于 $(C_1+C_2)T_{\mathrm{eq}}$，所以有 $C_1(T_1-T_{\mathrm{eq}})=C_2(T_{\mathrm{eq}}-T_2)$，因此热容为一半的铁始终比铝远离 $T_{\mathrm{eq}}$ 两倍的距离。在任何时刻 $T_1-T_{\mathrm{eq}}=\frac{2}{3}\Delta T$ 且 $T_{\mathrm{eq}}-T_2=\frac{1}{3}\Delta T$：铁的曲线就是铝的曲线关于虚线的镜像，并拉伸为两倍高度。

其次看它们如何开始。两条灰色虚线是 $t=0$ 时的切线，其斜率即起始变化率：铁为 $-k\Delta T_0/C_1=-160K/s$，铝为 $+k\Delta T_0/C_2=+80K/s$。两条切线都在同一时刻 $t=\tau$ 到达 $T_{\mathrm{eq}}$ 线，该时刻标在时间轴上：若铁保持其起始速率，则会在 1.25 s 内降低 200 K，铝则会升高 100 K。这就是 $\tau$ 的含义：温度若保持起始变化率，到达 $T_{\mathrm{eq}}$ 所需的时间。事实上，变化率与剩余温差成正比下降，因此在 $\tau$ 时刻约剩下 37% 的温差，在 $4\tau$ 时刻仅剩约 2%。

若第二个物体非常大（$C_2\to \infty$，如房间或湖泊），其温度几乎不偏离 $T_{\mathrm{env}}$，$\tau$ 变为 $C_1/k$，第一个方程便化为牛顿冷却定律：
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$

为什么热量从高温流向低温

第一定律并不决定流动的方向：如果 90 kJ 从铝回流到铁，能量同样守恒。方向来自热力学第二定律：孤立系统的总熵不会减少。温度为均匀 $T$ 的物体若获得微小热量 $\delta Q$，其熵增加 $\delta Q/T$。图 3 将这一规则应用于两个物块之间的一次微小传递。

图例

$T_1$	热物块的温度。	$\mathrm{K}$
$T_2$	冷物块的温度。	$\mathrm{K}$
$\delta Q$	从热物块传递到冷物块的一小份热量。	$\mathrm{J}$
$\delta Q/T_1$	热物块失去的熵。	$J/K$
$\delta Q/T_2$	冷物块获得的熵。	$J/K$
$dS$	传递所产生的熵：下方条的超出部分 $\delta Q(1/T_2-1/T_1)$。	$J/K$

图 3 追踪一小份热量 $\delta Q$ 从温度为 $T_1$ 的热物块流向温度为 $T_2$ 的冷物块；这份热量足够小，传递过程中两个温度都不变。热物块失去熵 $\delta Q/T_1$，即上方的条；冷物块获得 $\delta Q/T_2$，即下方的条。热量在两侧相同，但在冷侧它除以一个较小的温度，因此那一条更长：此处为两倍长，因为 $T_1=2T_2$。下方条超出上方条的部分 $dS$，就是该传递所产生的熵：
$dS=\delta Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$

当 $\delta Q>0$ 时，这一量恰好在 $T_1>T_2$ 时为正。因此热量从高温流向低温会增加总熵，而反向流动则会减少总熵，这是第二定律所禁止的。在分子层面，反向流动并不违反任何运动定律；对于日常尺度的物体而言，它只是极不可能发生。

对于动画中的整个交换过程，将这样的小步加总。每个物块的熵变为 $dS=CdT/T$（$T$ 以开尔文计），从初始温度积分到 $T_{\mathrm{eq}}=400\mathrm{K}$，得到
$\Delta S=C_1\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1(0)}+C_2\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2(0)}=450\ln \frac{400}{600}+900\ln \frac{400}{300}\approx 76J/K$
铁失去 182 J/K，但铝获得 259 J/K：它接收的是同样的 90 kJ，但温度更低，因此每焦耳带给它的熵更多。

第二定律也给出了温度最深刻的定义。考虑一台可逆热机，它从温度为 $T_h$ 的热源吸收热量 $Q_h$，并向温度为 $T_c$ 的热源放出热量 $Q_c$。无论其工作物质为何，都有 $Q_h/Q_c=T_h/T_c$，因此这一比值定义了一个不依赖任何材料的温标，它与理想气体开尔文温标重合。在统计物理中，同样的思想写作：体积恒定时 $1/T=\partial S/\partial U$，即温度的倒数等于物体每接收一焦耳所获得的熵。这正是热量流向较冷物体的原因：在那里，每焦耳带来更多熵。

例题：两个物块之间的热机

直接接触浪费了从温差中获取功的机会。本题求可以回收多少功。设两个物块不直接接触，而是驱动一台可逆热机：它从铁吸收热量，向铝放出热量并输出功，直到两者达到共同温度 $T_f$。铁初始温度为 $T_1=600\mathrm{K}$，铝初始温度为 $T_2=300\mathrm{K}$。求 $T_f$ 以及输出的功。

图例

$T$	物块的温度。	$\mathrm{K}$
$s$	迄今离开铁的熵；同样的量已进入铝。	$J/K$
$T_1$	铁的初始温度 600 K；铁沿橙红色曲线冷却。	$\mathrm{K}$
$T_2$	铝的初始温度 300 K；它沿蓝色曲线升温。	$\mathrm{K}$
$T_f$	共同末温，即两条曲线相交处。	$\mathrm{K}$
$W$	热机输出的功：即两曲线之间的面积。	$\mathrm{J}$

图 4 在温度–熵图上追踪这台热机。设 $s$ 为迄今离开铁的熵，它沿水平轴延伸。可逆热机不产生熵，因此相同的 $s$ 进入了铝。由于每个物块都满足 $dS=CdT/T$，失去 $s$ 的铁沿 $T_1{e}^{-s/C_1}$ 冷却，即橙红色曲线；获得 $s$ 的铝沿 $T_2{e}^{s/C_2}$ 升温，即蓝色曲线。两条曲线在虚线所示的水平线 $T_f$ 处相交；此时已无温差，热机停止。

现在读取所做的功。在一小步 $ds$ 中，铁放出的热量等于其自身温度乘以 $ds$，而铝吸收的热量等于其自身较低温度乘以 $ds$。热机将其差值转化为功，在图上即两曲线之间的一个细竖条。将这些竖条加总，功 $W$ 即两曲线之间的阴影面积，随着两温度趋于一致，该面积收缩为一点。

两曲线相交时，两个物块的熵变相互抵消，因为总熵不变：$C_1\ln (T_f/T_1)+C_2\ln (T_f/T_2)=0$。解出 $\ln T_f$ 得到
$T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}{T}_2^{C_2/(C_1+C_2)}=600^{1/3}\cdot 300^{2/3}=300\cdot 2^{1/3}\approx 378\mathrm{K}$
即约 105 °C。到那时，$s=C_1\ln (T_1/T_f)\approx 208J/K$ 已从一个物块转移到另一个物块。除通过热机之外，这一对物块不与外界交换热量，因此功就是两物块共同失去的内能：
$W=C_1(T_1-T_f)-C_2(T_f-T_2)\approx 99.9-70.2=29.7\mathrm{kJ}$

热机从铁吸收 99.9 kJ，比直接接触的 90 kJ 更多，并将其中约 30% 转化为功；其瞬时效率（按当前温度计算为 $1-T_2/T_1$）从起始的 50% 降至结束时的零。两个物块最终比直接接触时的 400 K 低 22 K，因为可逆过程的终点是初始温度的加权几何平均，而接触给出的是加权算术平均，后者总是更高。任何温差都能产生功；让热量直接穿过则会浪费这些功，并产生上面求得的 76 J/K 熵。

真实物块与模型的局限

两物块模型假设每个物块保持均匀，这要求热量在物块内部扩散的速度快于其穿过接触面的速度。在物体内部，热量沿温度梯度流动，遵循傅里叶导热定律：
$\vec{q}=-\kappa \nabla T$
这里 $\vec{q}$ 是以 W/m² 计的热流密度，$\kappa$ 是热导率，对铁约为 80 W/(m·K)。结合能量守恒，它给出扩散方程 $\partial T/\partial t=\alpha {\nabla }^{2}T$，其中铁的热扩散系数为 $\alpha =\kappa /(\rho c)\approx 2.3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$，$\rho$ 为密度。热量穿过距离 $L$ 所需的时间量级为 $L^2/\alpha$：对于边长 $L\approx 5\mathrm{cm}$ 的 1 kg 铁立方体，约为 110 s。这远长于动画中的 $\tau$（1.25 s），因此真实物块不会保持均匀，需要数分钟才能趋于稳定；动画对其进行了理想化。

热的物体也会辐射。面积为 $A$、发射率为 $\epsilon$ 的表面辐射出功率
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
其中 $\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$。它同时从温度为 $T_0$ 的周围环境吸收辐射，因此其净损失为 $\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$。铁块的自由表面面积为 0.013 m²，$\epsilon \approx 0.6$，在 600 K 时对 300 K 的环境净损失约 50 W，因此绝热只是近似的。对于微小温差，$T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$，辐射表现得像牛顿冷却定律；但在 600 K 与 300 K 之间，热流几乎是这一线性估计的四倍。

热容也不是常数：铁的 $c$ 在 300 K 到 600 K 之间上升了四分之一以上。在低温下，能量均分失效。振动能量是量子化的，一旦 $k_{B}T$ 与其能级间距相比很小，振动便“冻结”；此时其热容在绝对零度附近按 $T^3$ 下降。坚硬的金刚石即使在室温下也表现出这一点：约 510 J/(kg·K)，而杜隆–珀蒂值为 2080。最后，温度本身需要在平衡附近有大量粒子：单个分子有能量，却没有温度。

这将引向何处

《气体分子动理论》将 $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ 转化为压强与分子速率。《热力学第一定律与热机》在能量平衡的基础上建立热机，而《热力学第二定律与熵》则推广了此处求得的 76 J/K。《热传导、对流与热辐射》发展了傅里叶定律与辐射理论；《物态变化与潜热》研究改变状态而非温度的热量；《热膨胀》说明升温对尺寸的影响。能量均分的失效开启了量子时代，正如《黑体辐射与量子》所解释的那样。