摩擦力与斜面

入门

摩擦力是阻碍一个表面在另一个表面上滑动的力。它沿接触面作用，与滑动方向相反，或与物体即将发生的滑动方向相反。

轻轻推一张沉重的沙发，它不动：地面通过静摩擦力以同样大小的力反推回来。推得越来越用力，到某一刻，静摩擦力达到极限，沙发开始滑动。一旦动起来，就由动摩擦力接替；动摩擦力通常略小一些，这就是为什么让沙发开始动比让它继续动更费力。

快速检验：你推着箱子使它匀速滑动。你的推力与摩擦力相比如何？（两者相等：匀速意味着合力为零。）

摩擦力有多大？它随两表面压紧的程度增大，这个力称为法向力 $N$，并取决于材料，通过摩擦因数 $\mu$ 来表示。滑动时，$f=\mu N$。一个 10 kg 的箱子（重约 98 N）在 $\mu =0.3$ 的地面上滑动，受到约 29 N 的摩擦力；若在上面再叠一个箱子，摩擦力就加倍。

快速检验：干燥路面上的橡胶 $\mu$ 接近 0.8，冰面上钢制冰刀约为 0.02。哪一个需要更长的距离才能停下？（冰刀。）

在斜面上，部分重力会把物体拉向下方。动画中，一个物块沿 30° 斜面下滑并越来越快。重力箭头竖直向下，支持力箭头（即法向力）垂直于表面向外，小的摩擦力箭头沿斜面向上。摩擦力拖住物块，但在这样陡的斜面上，它无法使物块停住。

中级

法向力与两条摩擦定律

两个表面接触时，它们之间的力有两个分量。法向力 $N$ 垂直于表面，大小恰好足以阻止物体陷入表面。摩擦力 $f$ 沿表面作用，阻碍滑动。两者都以牛顿为单位。给定法向力时，摩擦力能达到多大由摩擦因数 $\mu$ 决定，它是一个无量纲数，取决于两种材料。

只要表面不发生相对滑动，摩擦力就是静摩擦：它的大小和方向由阻止滑动所需决定，但有一个上限：
$f_s\le {\mu }_{s}N$
放在水平地面上、没有人推的箱子不受任何摩擦力。用 50 N 的力推它，摩擦力也以 50 N 与之抗衡；只有超过上限的推力才能使它挣脱。

表面一旦滑动，摩擦力就是动摩擦。它与滑动方向相反，大小确定：
$f_k={\mu }_{k}N$
通常 ${\mu }_k$ 略小于 ${\mu }_s$，这就是为什么让沙发开始动比让它继续动更难。典型值为：干燥路面上的橡胶约 0.8，木头对木头约 0.3，冰面上的冰刀约 0.02；两条定律与接触面积或速度的关系都不大。

斜面上重力的分解

在倾角为 $\theta$ 的斜面上，取一个沿斜面（向下为正）的坐标轴，再取一个与之垂直的坐标轴。这样，$N$ 和 $f$ 都位于坐标轴上，只需分解重力 $mg$。将表面倾斜 $\theta$ 时，其法线也倾斜同样的角度，因此重力与法线的夹角为 $\theta$。沿斜面的分量拉动物块向下，垂直斜面的分量把物块压向表面，并被法向力平衡：

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

检验极端情况：在水平地面上，$\theta =0$，沿表面方向没有任何力拉动物块；在竖直墙面上，$\theta =90^{\circ }$，没有任何力压在墙上。对于动画中 30° 的斜面，$\sin 30^{\circ }=0.5$，$\cos 30^{\circ }\approx 0.866$：重力的一半沿斜面拉向下方，而 $N$ 是重力的 87%，而不是全部。

沿斜面方向的牛顿第二定律

对于下滑的物块，动摩擦力 ${\mu }_{k}mg\cos \theta$ 沿斜面向上。沿斜面的牛顿第二定律 $ma=mg\sin \theta -{\mu }_{k}mg\cos \theta$ 中每一项都含有质量，因此质量消去：
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
所以同种材料制成的轻重两个物块会并排滑下。对于上滑的物块，摩擦力沿斜面向下，物块以 $g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$ 的加速度减速。

静止的物块在拉力 $mg\sin \theta$ 超过静摩擦所能提供的最大值 ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ 时开始滑动。两边同除以 $mg\cos \theta$，得到
$\tan \theta >{\mu }_s$
质量再次消去。满足 $\tan {\theta }_0={\mu }_s$ 的临界角称为休止角。

例题：动画中的物块

物块从静止开始沿 30° 斜面下滑，${\mu }_k=0.2$。不需要质量即可求解，但为了以牛顿为单位看清各个力，取 $m=2\mathrm{kg}$。重力为 $mg=2\cdot 9.81=19.62\mathrm{N}$，因此
$F_{\parallel }=19.62\cdot 0.5=9.81\mathrm{N},N=19.62\cdot 0.866\approx 16.99\mathrm{N}$
$f_k=0.2\cdot 16.99\approx 3.40\mathrm{N},a=\frac{9.81-3.40}{2}\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$
不含质量的公式给出相同结果：$a=9.81(0.5-0.2\cdot 0.866)\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$，即动画中显示的数值；若无摩擦，则为 $g\sin 30^{\circ }\approx 4.91m/{\mathrm{s}}^2$。

$a$ 为常量，因此可用匀变速直线运动的公式。1 s 后物块速度为 3.21 m/s，已滑过 $\frac{1}{2}\cdot 3.21\cdot 1^2\approx 1.60\mathrm{m}$；2 s 后速度为 6.41 m/s，已滑过 6.41 m。这些就是灰色轮廓。滑行全长 7.8 m，持续约 2.2 s，读数最终约为 $v=7.1m/s$ 与 $s=7.8\mathrm{m}$，与 $v^2=2as$ 的预测一致。若无摩擦，物块将以 8.7 m/s 的速度离开同一斜面。

例题：装货斜坡上的箱子

一个 30 kg 的箱子静止在倾角为 20° 的斜坡上，${\mu }_s=0.5$，${\mu }_k=0.4$。箱子会留在原地吗？沿斜坡向上施加多大推力，才能使它匀速上升？

它的重力为 $30\cdot 9.81=294.3\mathrm{N}$，因此 $F_{\parallel }=294.3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100.7\mathrm{N}$，$N=294.3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276.6\mathrm{N}$。由于 $\tan 20^{\circ }\approx 0.36$ 小于 0.5，箱子保持静止，静摩擦力与下滑的拉力相等：沿斜坡向上为 100.7 N，而不是上限 ${\mu }_{s}N\approx 138.3\mathrm{N}$。

匀速沿斜坡上升时，合力为零。此时摩擦力阻碍向上滑动，因此沿斜坡向下，与下滑拉力方向相同：
$F=mg(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=100.7+0.4\cdot 276.6\approx 211.3\mathrm{N}$
若将箱子直接竖直提起，需要其全部 294 N 的重力；若斜坡无摩擦，只需 100.7 N，而摩擦力使其增至 211 N。

读懂受力图

动画中的每个力箭头都使用相同的比例，因此该图可以按数值读取。绿色的 $mg$ 箭头是一个矩形的对角线，矩形的两条边是两个细的绿色分量：沿斜面的分量恰好是 $mg$ 的一半，垂直压向斜面的分量为其 87%，而蓝色的 $N$ 箭头与之抵消。金色的小箭头 $f$ 为 $N$ 的五分之一，抵消了约三分之一的下滑拉力，剩下 $0.5mg-0.173mg\approx 0.327mg$ 作为合力。

$N$ 和 $f$ 合起来给出斜面对物块的全部作用力。静止的物块需要它竖直向上，以抵消重力；对于滑动的物块，摩擦力不足，剩余部分指向下方。读数显示了结果：$v$ 每秒增加 3.21 m/s，而 $s$ 在第一秒增加 1.60 m，在下一秒增加 4.81 m。

常见错误

• 法向力并不总等于重力：在 30° 斜面上，2 kg 物块的 $N\approx 16.99\mathrm{N}$，而不是 19.62 N。
• 静摩擦力默认并不等于 ${\mu }_{s}N$：静止在 20° 斜坡上的箱子受到 100.7 N 的摩擦力，而不是 138.3 N 的最大值；水平地面上没有施力的箱子不受摩擦力。
• 摩擦力并非总是沿斜面向上。它阻碍滑动或即将发生的滑动：对于沿斜坡向上推的箱子，它沿斜坡向下，因此需要 211.3 N 的推力。
• 较重的物块并不滑得更快：质量消去，因此同种材料的 20 kg 物块在动画的斜面上同样以 3.21 m/s² 加速。
• 若对下滑的物块把摩擦力加到下滑拉力上，得到 $9.81(0.5+0.2\cdot 0.866)\approx 6.60m/{\mathrm{s}}^2$，这正是沿斜面上滑的物块减速的加速度。用 $\theta =0$ 检验正弦与余弦：水平地面上，沿表面没有任何力拉动物块。

生活中的应用

滚动的轮胎依靠静摩擦抓地，因为其接触区域不在路面上滑动；防抱死制动系统使车轮持续转动，从而使较弱的动摩擦不会介入。轮椅坡道的坡度控制在约 1:12（不到 5°），以使所需推力较小。沙子或砾石堆停留在其休止角，约 30–40°，而大多数雪崩始于 30–45° 的斜坡。接下来，《功、能与功率》一课将说明摩擦力所耗的能量去了哪里，《圆周运动》一课将说明摩擦力如何使汽车保持在弯道上，而《简单机械：杠杆、滑轮与齿轮》一课则把斜面、楔子与螺纹视为机械。

高级

光滑斜面

先忽略摩擦，因为光滑斜面决定了后续所有方程都会用到的重力两个分量。质量为 $m$ 的物块放在倾角为 $\theta$（与水平面的夹角）的斜面上，其重力 $m\vec{g}$ 竖直向下。将它分解为沿斜面的分量和垂直于斜面的分量，后者沿法线方向（与表面垂直的直线）。重力与法线的夹角为 $\theta$，因此沿斜面的分量为 $mg\sin \theta$，压向表面的分量为 $mg\cos \theta$。物块既不陷入斜面，也不离开斜面，因此斜面以法向力 $N=mg\cos \theta$ 支撑物块。

沿斜面的分量也可仅由能量推出。把重为 $W$ 的物体缓慢推上长为 $L$、高为 $h$ 的光滑斜面。推力 $F$ 做功 $FL$，这些功全部转化为重力势能 $Wh$，因此 $F=Wh/L=W\sin \theta$。

西蒙·斯蒂文在 1586 年用一个思想实验得到了同样的结果：一串闭合的珠链搭在三角形楔子上，下方自由垂挂。这串珠子不会自行转动，否则就成了永动机；而其垂挂的部分是对称的，恰好自身平衡。因此，长而缓的那一面上的众多珠子，沿其斜面的拉力必须与短而陡的那一面上的少数珠子相等。一面上的珠子数目与其长度 $L$ 成正比，因此每颗珠子的拉力与 $1/L$ 成正比。两面升高的高度相同，都是 $h$，因此该拉力与 $h/L$ 成正比，即 $\sin \theta$。

两类摩擦

现在使表面变粗糙。摩擦力是接触力中沿表面方向的部分，它分为两类，遵循不同的规律。区分二者是解决下文所有问题的关键。

当表面相互滑动时，动摩擦力是一个确定的力。其大小为 ${\mu }_{k}N$，其中动摩擦因数 ${\mu }_k$ 是由这对材料决定的无量纲数，并且在一阶近似下不取决于滑动的快慢。它与一个表面相对另一个表面的速度 $\vec{v}$ 方向相反。将 $\vec{v}$ 除以其长度 $|\vec{v}|$，得到沿运动方向的单位矢量，因此
${\vec{f}}_k=-{\mu }_{k}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

当表面不滑动时，静摩擦力是约束力，与法向力相似。它在接触平面内的大小和方向，由阻止表面打滑所需的值决定。唯一的规律是一个上限，由静摩擦因数 ${\mu }_s$ 决定：
$|{\vec{f}}_s|\le {\mu }_{s}N$

对大多数材料组合而言 ${\mu }_s>{\mu }_k$。因此摩擦力并非速度的函数：在 $v=0$ 时，它可以取到 ${\mu }_{s}N$ 以内的任意值，而滑动一开始，它就跳变为 ${\mu }_{k}N$。

在斜面上，沿斜面向下测量 $x$，使 $\ddot{x}$ 为沿斜面向下的加速度。下滑的物块受到沿斜面向上的摩擦力，沿斜面的牛顿第二定律除以 $m$，得到
$\ddot{x}=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
上滑的物块受到沿斜面向下的摩擦力，与重力分量相加：
$\ddot{x}=g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$
当速度 $\dot{x}$ 为负时，这个 $\ddot{x}$ 为正，因此它使物块减速。静止的物块需要沿斜面向上的静摩擦力 $mg\sin \theta$，当且仅当 $\tan \theta \le {\mu }_s$ 时，该值不超过上限 ${\mu }_{s}mg\cos \theta$；此时物块保持静止。

一个容易忽略的推论是：若 $\tan \theta <{\mu }_k$，第一个方程给出负的 $\ddot{x}$，因此沿斜面向下发射的物块会减速并停止。此后它便由静摩擦力保持静止：摩擦力可以停止运动，但它从不会把物块推回斜面上方。

静摩擦随拉力调整

图例

$f$	沿斜面的摩擦力，沿斜面向上为正。	$\mathrm{N}$
$F$	沿斜面的拉力，沿斜面向上为正；负值表示沿斜面向下拉。	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	可能达到的最大静摩擦力：图线不能越过的虚线上限。	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	物块滑动后动摩擦力的大小。	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	重力沿斜面的分量：摩擦力为零时的拉力。	$\mathrm{N}$
$F_1$	物块保持静止的最小拉力，$mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$；此处为负值。	$\mathrm{N}$
$F_2$	物块保持静止的最大拉力，$mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$。	$\mathrm{N}$
$f_s$	静摩擦力：平衡其他力所需的值，$mg\sin \theta -F$。	$\mathrm{N}$
$f_k$	动摩擦力，总是与滑动方向相反：此处为 $-{\mu }_{k}N$，即物块沿斜面向上滑动。	$\mathrm{N}$

本节展示静摩擦规律的作用：静摩擦的大小和方向由其他力决定，而非由它自己的公式决定。图 1 描绘了一个在较缓斜面上、$\tan \theta <{\mu }_s$、自行静止的物块所受的摩擦力 $f$，同时沿斜面的拉力 $F$ 被缓慢增大。$F$ 与 $f$ 都以沿斜面向上为正。

物块保持静止时 $\ddot{x}=0$，因此沿斜面的各力平衡：沿斜面向上的力 $f+F$ 等于沿斜面向下的分量 $mg\sin \theta$。因此物块所需的摩擦力为
$f=mg\sin \theta -F$
这就是图 1 中下降的直线 $f_s$。自左向右读：$F=0$ 时，摩擦力承担全部分量 $mg\sin \theta$，并沿斜面向上。随着拉力接手这一工作，摩擦力减小；直线与横轴相交于 $F=mg\sin \theta$（绿点）处时摩擦力为零；超过该点后它为负：此时摩擦力沿斜面向下，阻碍物块在拉力作用下向上运动。

直线只允许位于虚线标出的 $+{\mu }_{s}N$ 与 $-{\mu }_{s}N$ 两个水平之间。令 $f=+{\mu }_{s}N$ 和 $f=-{\mu }_{s}N$，其中 $N=mg\cos \theta$，即可得到允许区间的两个端点：
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$
对于从 $F_1$ 到 $F_2$ 的每一个拉力，物块都保持静止，即阴影范围。此处 $F_1$ 为负：即便是沿斜面向下的拉力，也会受到阻力，直到其大小超过 $|F_1|$。（在更陡的斜面上，$\tan \theta >{\mu }_s$，$F_1$ 将为正：物块至少需要沿斜面向上的这么大的拉力，才能被保持住。）

在阴影范围之外，物块滑动，摩擦力从 ${\mu }_{s}N$ 跌落到 ${\mu }_{k}N$，即空心圆点处。对于小于 $F_1$ 的拉力，物块向下滑动，因此摩擦力 $+{\mu }_{k}N$ 沿斜面向上。对于大于 $F_2$ 的拉力，物块向上滑动，因此摩擦力 $f_k=-{\mu }_{k}N$ 沿斜面向下。由此得到解题规则：在把摩擦力的方向写入方程之前，先判断物块运动的方向，或即将运动的方向。

动画中的滑动

本节以动画为例，为滑动方程代入数值：物块从 30° 斜面上静止释放，${\mu }_k=0.2$。它沿斜面向下的加速度为
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )=9.81(0.5-0.2\cdot 0.866)\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$
在动画的专家图上，$v(t)$ 因此是一条斜率为 3.21 m/s² 的实线。其上方是无摩擦斜面的虚线，其斜率为 $g\sin \theta \approx 4.91m/{\mathrm{s}}^2$。两条线之间的差距即摩擦项 $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1.70m/s$（每秒）。滑动持续 2.2 s，因此物块终速为 7.1 m/s，而不是 10.8 m/s。实线之下的面积即行进距离 $\frac{1}{2}\cdot 2.2\cdot 7.06\approx 7.8\mathrm{m}$，也就是滑行的长度。

能量去向何方

图例

$s$	物块沿斜面滑过的距离。	$\mathrm{m}$
$h$	物块下降的高度：$h=s\sin \theta$。	$\mathrm{m}$
$\theta$	斜面与水平面的夹角。	$\mathrm{rad}$
$W_g$	重力所做的功 $mgh=mgs\sin \theta$：释放的能量。	$\mathrm{J}$
$Q$	摩擦生热 $f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$。	$\mathrm{J}$
$K$	获得的动能 $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$。	$\mathrm{J}$

同一次滑动也可以通过能量而非力来分析。这里说明重力释放的能量最终去了哪里，并且无需时间即可得出终速。

在图 2 中，物块从浅色位置静止出发，滑过距离 $s$，到达实心位置。读取左侧的下降高度：$h=s\sin \theta$。重力做功 $W_g=mgh=mgs\sin \theta$，即绿色柱，其绘制比例与 $h$ 相同，使二者相符。摩擦力在同一距离 $s$ 上的大小恒为 $f_k={\mu }_{k}N={\mu }_{k}mg\cos \theta$，因此它将能量 $Q=f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$ 转化为热，即第二个柱子中的金色部分。其余部分，即紫色部分，是动能 $K=\frac{1}{2}m{v}^2$。这就是动能定理 $K=W_g-Q$：
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$

将 $Q$ 除以 $W_g$，$m$、$g$ 与 $s$ 全部消去：摩擦力占释放能量的份额为 $Q/W_g={\mu }_k\cos \theta /\sin \theta ={\mu }_k\cot \theta$。此处为 $0.2\cdot 1.732\approx 0.35$，即第二个柱子中金色的三分之一。对于动画中 7.78 m 的滑行，每千克物块，重力释放 $9.81\cdot 0.5\cdot 7.78\approx 38.2\mathrm{J}$；其中 13.2 J 转化为热，24.9 J 为动能，因此 $v=\sqrt{2\cdot 24.9}\approx 7.06m/s$，与速度图给出的速度相同。

产生的热随路径长度增加，而不只取决于路径的起点与终点。这正是摩擦力无法定义势能的原因。

摩擦锥

图例

$\vec{R}$	斜面对物块的接触力：$\vec{N}+\vec{f}$。	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	法向力：$\vec{R}$ 中垂直于斜面的部分。	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	摩擦力：$\vec{R}$ 中沿斜面的部分，此处沿斜面向上。	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	重力，静止时 $\vec{R}$ 必须将其抵消。	$\mathrm{N}$
$\theta$	斜面的倾角，也是 $\vec{R}$ 与法线之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	静摩擦锥的半顶角：$\tan {\phi }_s={\mu }_s$。	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	动摩擦锥的半顶角：$\tan {\phi }_k={\mu }_k$。	$\mathrm{rad}$

两条摩擦定律具有几何形式，可将滑动转化为角度的比较。图 3 没有分别处理 $N$ 与 $f$，而是把静止物块所受斜面的总作用力画成一个矢量，即接触力 $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$。它垂直于斜面的部分是法向力 $\vec{N}$，沿斜面的部分是摩擦力 $\vec{f}$；虚线用于完成该矢量和。$\vec{R}$ 偏离法线的角度 $\phi$ 满足 $\tan \phi =f/N$。

因此静摩擦定律 $f\le {\mu }_{s}N$ 可写为 $\tan \phi \le {\mu }_s$：$\vec{R}$ 必须位于摩擦锥之内，该锥的半顶角为 ${\phi }_s$，且 $\tan {\phi }_s={\mu }_s$，即围绕法线的宽阴影区域。现在看静止的物块。只有两个力作用在它上面，即 $\vec{R}$ 与重力 $m\vec{g}$，因此 $\vec{R}$ 必须竖直向上。在倾角为 $\theta$ 的斜面上，竖直线与法线的夹角为 $\theta$，即图中 $\vec{N}$ 与 $\vec{R}$ 之间标出的角。因此物块只有在 $\theta \le {\phi }_s$ 时才能保持静止。

能够保持物块静止的最陡斜面，即休止角 ${\theta }_0$，正是摩擦角：$\tan {\theta }_0={\mu }_s$。当 ${\mu }_s=0.5$ 时，它为 26.6°。这提供了一个测量 ${\mu }_s$ 的简单方法：将木板倾斜，直到其上的物块开始滑落。质量不出现在其中，因此载重的物块在同一角度滑落。

一旦物块滑动，$f={\mu }_{k}N$ 严格成立，因此 $\vec{R}$ 位于较窄的动摩擦锥的边缘上，该锥的半顶角为 ${\phi }_k$，且 $\tan {\phi }_k={\mu }_k$，即位于第一个锥之内的较深阴影区域。在图 3 中，斜面角位于两者之间：${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$。竖直的 $\vec{R}$ 落在静摩擦锥之内，因此静止的物块保持静止；它落在动摩擦锥之外，因此滑动物块所受的接触力不可能竖直，也无法平衡重力：该物块加速。在 $\theta <{\phi }_k$ 的斜面上则相反：摩擦力超过重力沿斜面的分量，滑动的物块会减速直至停止。

拉动的最佳角度

图例

$\vec{F}$	绳子的拉力；图中为平衡另外两个力的最短拉力。	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	箱子的重力。	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	地面对箱子的作用力：法向力加摩擦力。	$\mathrm{N}$
$\phi$	$\vec{R}$ 与竖直方向之间的摩擦角：$\tan \phi ={\mu }_k$。	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	绳子与水平方向的夹角。	$\mathrm{rad}$

摩擦角还能回答一个实际问题：用绳子拖动一个重箱子时，拉绳应处于什么角度，才能用最小的力？图 4 左侧，一个 30 kg 的箱子在水平地面上以 ${\mu }_k=0.4$ 匀速滑动，绳子与水平方向成角度 $\alpha$ 向上拉。

匀速滑动意味着合力为零。三个力作用其上：拉力 $\vec{F}$、重力 $m\vec{g}$ 以及地面的作用力 $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$。它们的和为零，$\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$，因此首尾相接画出时恰好构成一个三角形，即图 4 右侧。

三角形中有两条边是固定的。重力 $m\vec{g}$ 的大小和方向都固定。$\vec{R}$ 的方向也固定：箱子在滑动，因此 $f={\mu }_{k}N$，$\vec{R}$ 从竖直方向向后（与运动相反）倾斜摩擦角 $\phi$，满足 $\tan \phi ={\mu }_k$。只有 $\vec{F}$ 是自由的：它必须从 $\vec{R}$ 所在的直线上开始，并终止于 $m\vec{g}$ 的尾端。图中虚线表示其他同样能平衡的拉力，各对应其自身的 $\alpha$。从一点到直线的最短线段与该直线垂直，因此最小的拉力与 $\vec{R}$ 垂直。由于 $\vec{R}$ 偏离竖直方向 $\phi$，该拉力便偏离水平方向 $\phi$：最佳的绳子角度为 $\alpha =\phi$，此时 $F=mg\sin \phi$。

代数结果与此一致。绳子分担了部分重量，因此地面向上的支持力只有 $N=mg-F\sin \alpha$。匀速滑动需要拉力的水平分量等于摩擦力，即 $F\cos \alpha ={\mu }_k(mg-F\sin \alpha )$，由此得到
$F=\frac{{\mu }_{k}mg}{\cos \alpha +{\mu }_k\sin \alpha }$
当分母最大时拉力最小，此时其导数 $-\sin \alpha +{\mu }_k\cos \alpha$ 为零，即 $\tan \alpha ={\mu }_k$，此处 $\alpha =21.8^{\circ }$。此时 $F=109.3\mathrm{N}$，而水平拉动需要 117.7 N；三角形给出的结果相同，即 $mg\sin \phi =294.3\cdot \sin 21.8^{\circ }\approx 109.3\mathrm{N}$。摩擦角决定了最佳的拉动角度。

摩擦力为何与载荷成正比

摩擦定律是经验规律，而非像万有引力那样的基本定律。本节解释它们从何而来。约在 1500 年，达·芬奇注意到摩擦力与接触面积无关；纪尧姆·阿蒙顿于 1699 年指出它与载荷成正比；夏尔－奥古斯丹·库仑于 1781 年补充指出，动摩擦力几乎不取决于速度。

关键事实是：即使是抛光表面，也只在最高凸起的尖端处接触。这些尖端会被压扁，直至共同承受载荷；被压扁的尖端所承受的压强约等于较软材料的硬度 $H$。因此真实接触面积约为 $A_{\mathrm{real}}\approx N/H$。质量为 2 kg 的钢块放在钢面上，$N\approx 20\mathrm{N}$，$H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$，其真实接触面积仅约 $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$，约为 10 cm × 10 cm 表面的百万分之一。这就是表观面积不重要的原因：在较大的表面上，每个尖端受到的压力较小，但真实接触的总面积仍由 $N$ 决定。

在尖端处，两个表面的原子会结合。滑动必须剪断这些结合点，这需要 $\tau A_{\mathrm{real}}$ 的力，其中 $\tau$ 为较软材料的剪切强度。两步合并，得到
$f\approx \tau A_{\mathrm{real}}\approx \frac{\tau }{H}N$
这是一个 $\mu \approx \tau /H$ 的摩擦定律。对金属而言，$\tau /H$ 约为 1/6，即约 0.2。实测值从约 0.1 到 1 不等，因为结合点在被剪切时会增长，而较硬的凸起会在较软的表面上犁出沟槽。所做的功最终变为晶格中原子的振动，即热。把滑块抬过凸起并不是原因，因为爬上一个凸起所消耗的能量，会在其另一侧滑下时全部回收。

粘滑与滚动

两种日常现象由此而来：一种源于两个摩擦因数之间的差距，另一种源于完全避免滑动。

由于 ${\mu }_s>{\mu }_k$，被某种弹性部件驱动的滑块往往以跳动的方式运动。在弹簧的拉力积累到 ${\mu }_{s}N$ 的过程中，滑块一直粘住不动。随后它滑脱，摩擦力降到 ${\mu }_{k}N$，滑块猛然向前冲，使弹簧松弛，直到它再次粘住。这种粘滑运动使门发出吱嘎声，使被琴弓拉动的小提琴弦持续振动，并使地壳中的断层锁定数百年，随后在地震中突然错动。

滚动的车轮避免了滑动。其接触点在地面上瞬间静止，因此静摩擦力作用于此处，但不做功。剩下的只有滚动阻力，其系数对火车车轮约为 0.001，对汽车轮胎约为 0.01。

例题：被弹回的物块

在动画斜面的底部，物块以 7.06 m/s 运动。那里有一个弹簧挡板，会以相同的速率把它弹回斜面上方；取 ${\mu }_k=0.2$，${\mu }_s=0.3$。它会上升多远？返回时速度多大？

向上运动时，重力与摩擦力都沿斜面向下，因此物块以
$g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=9.81(0.5+0.2\cdot 0.866)\approx 6.60m/{\mathrm{s}}^2$
的加速度减速。在匀减速下，速度经 $t=v/a=7.06/6.60\approx 1.07\mathrm{s}$ 降为零；由 $v^2=2ad$，物块沿斜面上升的距离为 $d=7.06^2/(2\cdot 6.60)\approx 3.78\mathrm{m}$。

它不能停留在那里：$\tan 30^{\circ }\approx 0.577$ 超过 ${\mu }_s$，因此静摩擦力无法将其保持住。它以动画中的 3.21 m/s² 滑回，经过 $\sqrt{2\cdot 3.78/3.21}\approx 1.53\mathrm{s}$ 到达挡板，速度为 $\sqrt{2\cdot 3.21\cdot 3.78}\approx 4.9m/s$。

下滑比上升耗时更长，因为其加速度较小。两段行程覆盖的距离相同，都是 $d$，因此 $v^2=2ad$ 使返回速度为发射速度的 $\sqrt{3.21/6.60}\approx 0.70$ 倍，动能为 0.49 倍。其余的能量在行经的 7.55 m 中转化为热：每千克物块，摩擦力 $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1.70\mathrm{N}$ 作用于 7.55 m，所做的功为 12.8 J，与损失的动能相符。

以沿斜面向下为正，$v(t)$ 是两段直线，在 $v=0$ 处相交，斜率分别为 6.60 与 3.21 m/s²。速度是连续的，但加速度发生跳变，因为摩擦力随运动方向反转。每一次弹回都使因子 0.70 重复一次，而每段行程的时间与其发射速度成正比，因此每个往返的时长都是前一个的 0.70 倍。第一次往返耗时 $1.07+1.53=2.60\mathrm{s}$，因此越来越短的往返构成一个等比级数，总时长为 $2.60/(1-0.697)\approx 8.6\mathrm{s}$。

适用范围的限制

牛顿力学在接近光速或原子尺度时失效。摩擦定律并没有这样单一的界限：只要表面不再像一般的干燥材料组合那样表现，它就会失效。真空中的洁净金属，若两者之间没有氧化层，会结合成一体：$\mu$ 超过 1，部件可能冷焊在一起，这在航天器上是实际问题。钢对钢的 $\mu$ 表，实际上描述的是氧化膜与油脂。

橡胶会流入路面的粗糙处，因此其抓地力取决于接触面积、速度与温度，而赛车轮胎可超过 $\mu =1$。非常平整的表面，例如抛光玻璃，即使没有载荷也会因附着而粘在一起。冰上的冰刀 ${\mu }_k\approx 0.02$，是因为一层薄薄的类液体层起到了润滑作用。在高速滑动时，接触尖端会瞬间升温至数百摄氏度，$\mu$ 随之下降。

质点模型本身也有局限：真实的物块可能倾倒而非滑动。在斜面上，当 $\tan \theta$ 超过其沿斜面的长度与高度之比时，它会绕较低的边缘翻倒；而当 $\tan \theta$ 超过 ${\mu }_s$ 时，它会滑动。因此，高度超过其长度 $1/{\mu }_s$ 倍的物块（对于 ${\mu }_s=0.5$ 即为两倍）会先翻倒，后滑动。

由此引出

在《功、能与功率》中，动摩擦力是标准的非保守力，其做功 $-{\mu }_{k}Ns$ 转化为热。在《圆周运动》中，静摩擦力使汽车在平坦弯道上的速度不超过 $v=\sqrt{{\mu }_{s}gr}$，而倾斜弯道则沿用本课的各个分量。《转动动力学与力矩》解释了滚动：一个实心球以 $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3.50m/{\mathrm{s}}^2$ 沿 30° 斜面滚下，比滑动的物块更快，且不因摩擦而损失能量。《静力平衡与杠杆》处理梯子与倾倒问题；《简单机械：杠杆、滑轮与齿轮》把斜面化为楔子与螺旋，螺纹的倾角小于摩擦角，因此螺旋能保持其负载；《阻力与终端速度》则讨论流体摩擦，它随速度增大而增大。