抛体运动

入门

抛体是指被投掷、踢出或发射、之后仅受重力作用而运动的物体：篮球、跳远运动员、花园水管喷出的水都是。它的轨迹是一条称为抛物线的曲线。

窍门是把运动分成两部分。水平方向上，球离开手后（若忽略空气）没有任何力推或拉它，所以水平速度保持不变。竖直方向上，重力的作用与自由下落的球完全相同：每秒使它的向下速度增加 9.81 m/s。

从悬崖顶以 10 m/s 水平抛出一块石头。1 s 后，它水平飞出 10 m，下降了约 4.9 m；2 s 后，它水平飞出 20 m，下降了约 19.6 m。

快速检验：2 s 后，它向前的速度多大，向下的速度多大？（向前仍为 10 m/s；向下约为 20 m/s。）

因为两个运动互不影响，所以从桌边弹出的硬币与从同一边缘同时释放的硬币会同时落到地面。

发射角度很重要。抛得太平，球很快落地；抛得太陡，球飞得高却不远。在水平地面上且没有空气时，45° 抛得最远，30° 和 60° 落在同一地点。

牛顿曾设想一门设在高山上的大炮，炮弹越射越快：每发炮弹落地的位置都更远，直到某一发下落的快慢恰好与圆形地球表面向下弯曲的快慢相同，于是它永远不落地。这就是轨道。

在动画中，观察灰点，每半秒一个：水平方向上它们的间距始终相同；竖直方向上，上升时间隔变小，下降时间隔变大。

中级

坐标轴、分量与符号

取抛出点为原点，$x$ 轴水平且沿投掷方向，$y$ 轴竖直向上。以速率 $v_0$、与水平方向成 $\theta$ 角抛出的小球，其速度是一个直角三角形的斜边，两条直角边即为分量
$v_x=v_0\cos \theta$
$v_{y0}=v_0\sin \theta$

两个分量都带符号，单位为米每秒：$v_y>0$ 表示上升，$v_y<0$ 表示下降。反过来，速率为 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$。取向上为正，竖直加速度为 $-g$，其中 $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$ 是自由落体加速度的大小。注意题目如何给出角度：若角度是从竖直方向量起的，正弦与余弦就要互换。

两个独立的直线运动

小球离手后，若忽略空气，唯一作用于它的力是竖直向下的重力。水平方向上没有任何力推它，所以它的水平速度不变：水平运动是匀速的。竖直方向上，小球的运动与以 $v_0\sin \theta$ 竖直上抛的小球完全相同，即《自由落体》一课中讨论的情形。两个运动只共用同一个时钟。

因此，经过时间 $t$ 后，
$x=v_0\cos \theta t$
$v_y=v_0\sin \theta -gt$
$y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

检验这种独立性很简单：从桌边水平弹出一枚硬币，同时从同一边缘松手让另一枚硬币下落。两者初始 $v_y=0$，下落高度相同，所以同时落地；被弹出的那枚只是落得更远。

飞行时间、高度与射程

在水平地面上，空中时间、高度和射程都可由竖直运动再加一次乘法得到。小球上升至 $v_y=0$，即 $t=v_0\sin \theta /g$，之后下降与上升对称，因此落地时间是上升时间的两倍。将上升时间代入 $y(t)$ 得到最大高度，而水平速度乘以飞行时间即为射程：

• $T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$
• $H=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}$
• $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$

飞行时间和高度只取决于竖直分量 $v_0\sin \theta$。射程则需要两个分量，$R=v_0\cos \theta \cdot 2v_0\sin \theta /g$，再利用恒等式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 化简。

哪个角度抛得最远？陡抛在空中停留很久，但水平方向上移动很慢；低抛在水平方向上很快，却几乎立刻落地。射程是两者的乘积，在中间某处最大：当 $2\theta =90^{\circ }$ 时 $\sin 2\theta$ 取最大值 1，因此在水平地面上 $\theta =45^{\circ }$ 最好，$R_{\max }=v_0^2/g$。与 45° 相差相同角度（一高一低）的两个角度给出相同的射程，因为 $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )$：30° 与 60° 落在同一地点，40° 与 50° 也是如此。

例题：动画中的抛掷

小球以 $v_0=20m/s$、$\theta =50^{\circ }$ 离开地面。其分量为
$v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12.9m/s$
$v_{y0}=20\sin 50^{\circ }\approx 15.3m/s$

这就是发射时 $v_x$ 与 $v_y$ 读数上的数值。小球在 $t=15.3/9.81\approx 1.56\mathrm{s}$ 时到达最高点，落地时间为其两倍，即 $T\approx 3.12\mathrm{s}$。于是
$H=\frac{15.32^2}{2\cdot 9.81}\approx 12.0\mathrm{m}$
$R=\frac{20^2\sin 100^{\circ }}{9.81}\approx 40.2\mathrm{m}$
作为校验，$v_{x}T=12.9\cdot 3.12\approx 40.2\mathrm{m}$。

飞行过程中，金色的 $v_x$ 读数保持在 12.9 m/s。绿色的 $v_y$ 读数每秒减少 9.81 m/s，在 1.56 s 时降为零，此时小球位于标有 $H$ 的虚线顶端；落地时达到 $-15.3m/s$。小球在离出发点 40.2 m 处以 20 m/s 的速率落地，速度与水平方向成 50° 向下：下降过程就是上升过程倒放。

若以 40° 抛出相同速率，小球同样落在 40.2 m 处，但只上升 8.4 m，并在 2.62 s 后落地。若以 45° 抛出，则落在 40.8 m 处，比 50° 远约 1.5%：在最佳角度附近，射程对角度并不敏感。

例题：推铅球

运动员在离地 2.0 m 处以 13 m/s 的速率、与水平方向成 40° 推出铅球。铅球水平方向上落在多远处？由于铅球落点低于出手点 2.0 m，水平地面的公式不再适用。

分量为 $v_x=13\cos 40^{\circ }\approx 9.96m/s$ 与 $v_{y0}=13\sin 40^{\circ }\approx 8.36m/s$。铅球在 $y=-2.0\mathrm{m}$ 时落地，即 $4.905t^2-8.36t-2.0=0$ 成立时，其中 $4.905$ 为 $\frac{1}{2}g$。取正根：
$t=\frac{8.36+\sqrt{8.36^2+4\cdot 4.905\cdot 2.0}}{2\cdot 4.905}\approx 1.92\mathrm{s}$
因此铅球落在 $x=9.96\cdot 1.92\approx 19.1\mathrm{m}$ 处。

若套用水平地面的公式，结果为 $13^2\sin 80^{\circ }/9.81\approx 17.0\mathrm{m}$：出手高度使射程多出 2.1 m。铅球上升高度为 $8.36^2/(2\cdot 9.81)\approx 3.6\mathrm{m}$（高于出手点），落地时速率为 14.4 m/s，比出手时还快，因为它落得更低。当落点低于出手点时，最佳角度略小于 45°，本例约为 42°；运动员实际上出手角度更平，因为手臂在较平的角度下能把铅球推得更快。

读懂频闪点与箭头

灰点每 0.5 s 标记一次小球位置。水平方向上，它们的间距始终为 $12.9\cdot 0.5\approx 6.4\mathrm{m}$：等时间间隔、等距离，这是匀速运动的特征。竖直方向上，从出手点算起，小球在相邻两个半秒标记之间依次上升 6.4 m、4.0 m、1.5 m，然后下降 0.9 m、3.4 m、5.8 m。每一步都比前一步少上升或多下降 2.45 m，因为 $g(0.5\mathrm{s}{)}^2=2.45\mathrm{m}$：这正是一个带初始上抛速度的下落物体的规律。

箭头讲述的是同一件事。蓝色的 $v$ 箭头总与虚线轨迹相切。金色的 $v_x$ 箭头从出手到落地长度不变，而绿色的 $v_y$ 箭头逐渐缩短，在最高点消失，之后向下增长。因此蓝色箭头在最高点最短，此时速率等于 $v_x$，即 12.9 m/s；落地时它的长度与出手时相同。

常见错误

• 最高点的速度不为零。只有 $v_y$ 为零；小球仍以 12.9 m/s 向水平方向运动，这是整个飞行中的最小速率。
• 最高点的加速度也不为零。它仍为竖直向下的 9.81 m/s²，所以最高点之后 0.1 s 时，$v_y$ 已经是 $-0.98m/s$。
• 水平抛得更快并不会让球停留更久。从 1.0 m 高的桌子上以 2 m/s 或 4 m/s 水平滚出，小球都在 0.45 s 后落地，分别落在 0.9 m 或 1.8 m 处。
• 射程公式用的是 $\sin 2\theta$，而不是 $\sin \theta$。若误用 $\sin 50^{\circ }$ 代替 $\sin 100^{\circ }$，动画中的抛掷会算成落在 31.2 m，而不是 40.2 m。
• 射程公式假定落点与出手点等高。对于铅球，它给出 17.0 m，而正确值是 19.1 m。

应用场合

球类运动、跳远、水管或喷泉的水柱（每滴水都沿各自的抛物线运动）、跳水运动员的跳板动作以及烟花，在空气影响较小时都遵循这些方程。对重的铅球而言，这一近似很好；对足球就不那么准确；对羽毛球则完全不适用，那属于《阻力与终端速度》一课的内容。

伽利略在 1638 年通过把水平匀速运动与匀加速下落相结合，证明了抛体的轨迹是抛物线。《牛顿运动定律》解释了两个运动为何相互独立。把同样的推理延伸下去，就会得到轨道：以约 7.9 km/s 的速率水平发射的物体，下落的快慢与地面向下弯曲的快慢相同，从而绕地球运行，这正是《万有引力与轨道》一课的主题。

高级

逐分量理解牛顿定律

本课的全部内容都建立在一个操作之上：把平面内的运动分解为沿两条直线方向的两个运动。取抛出点为原点，$x$ 水平，$y$ 竖直向上。小球以速率 $v_0$、与水平方向成 $\theta$ 角射出，因此其初速度 ${\vec{v}}_0$ 的分量为 $v_0\cos \theta$ 和 $v_0\sin \theta$。记 $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$ 为自由落体加速度的大小，于是 $\vec{g}=(0,-g)$ 竖直向下。

小球在飞行中，若忽略空气阻力，它唯一受到的力就是重力 $m\vec{g}$。牛顿第二定律写作 $m\vec{a}=m\vec{g}$。两个矢量相等，当且仅当它们的对应分量分别相等，因此这一方程分裂为两个，其中点表示对时间的导数：
$m\ddot{x}=0,m\ddot{y}=-mg$

由此立即得出两点。其一，两个方程互不耦合：$y$ 不出现在第一式中，$x$ 不出现在第二式中，因此每一个都是各自独立的直线问题。其二，质量相消，所以以相同速度抛出的弹珠与炮弹走过相同的轨迹。水平方向上小球做匀速运动；竖直方向上它做自由落体运动。

对每个方程积分一次得到速度，再积分一次得到位置。每次积分都会引入一个常数，由 $t=0$ 时的状态确定：小球从原点出发，具有上述速度分量。结果为
$\dot{x}=v_0\cos \theta ,x=v_0\cos \theta t$
$\dot{y}=v_0\sin \theta -gt,y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

这里共需要四个常数：两个起始坐标和两个起始速度分量。平面运动总需要四个初始数值，是直线运动所需数值的两倍。

下面的数值针对动画中的抛掷：$v_0=20m/s$，$\theta =50^{\circ }$。其水平分量 $v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12.9m/s$，初始竖直分量 $20\sin 50^{\circ }\approx 15.3m/s$。

位置的矢量和

两个分量的结果可以重新打包成一个矢量方程。这样做很有价值，因为矢量形式能一目了然地显示重力如何把小球拉离瞄准线。

图例

$\theta$	瞄准线与水平方向的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{0}t$	若没有重力，小球所在的位置：发射速度乘以时间，沿瞄准线方向。	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$	重力造成的下落量：竖直向下，与 $t^2$ 成正比增长。	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	小球的位置：从发射点指向小球的箭头。	$\mathrm{m}$
$M$	瞄准线上的一点，发射瞬间猴子悬挂于此。

图 1 画出了方程
$\vec{r}(t)={\vec{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$
可将其读作首尾相接的两个箭头。箭头 ${\vec{v}}_{0}t$ 从抛出点出发，沿瞄准线方向、与水平方向成 $\theta$ 角。它的末端是若没有重力时小球在时刻 $t$ 所在的位置。从这一末端出发，箭头 $\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$ 竖直向下：它表示小球低于瞄准线的距离。位置矢量 $\vec{r}$（从抛出点指向小球）即为两者之和，红色曲线即为目前为止的轨迹。

第一个箭头与 $t$ 成正比增长，第二个与 $t^2$ 成正比增长。飞行初期，下落量相比沿瞄准线的距离极小；之后下落量占据主导，小球越来越快地低于那条瞄准线。

这解释了一个经典难题。一只猴子挂在树枝上，位于瞄准线上的 $M$ 点，在发射的同一瞬间松手。小球是否会从下落的猴子上方飞过？不会。图 1 画出的正是 ${\vec{v}}_{0}t$ 恰好到达 $M$ 的时刻。此时小球位于瞄准线下方 $\frac{1}{2}g{t}^2$ 处，正在 $M$ 的正下方。猴子从静止开始，在同样的时间 $t$ 内下落了完全相同的距离。因此无论发射速度多大，只要在两者落地之前到达，小球就会击中猴子：重力使两者降低相同的量，所以直接瞄准猴子是完全正确的。

速度的结构相同：$\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+\vec{g}t$。其水平部分始终不变，竖直部分每秒减少 9.81 m/s。把各时刻的速度箭头都画在同一点上：它们的箭头末端沿竖直线笔直向下排列，每半秒相距 4.9 m/s。

消去时间：抛物线

前面的方程说明了小球在每一时刻的位置。要看清轨迹本身的形状，需要消去时间。

由于 $x$ 以恒定速率 $v_0\cos \theta$ 增长，小球到达某一 $x$ 的时刻为 $t=x/(v_0\cos \theta )$。代入 $y(t)$，即得高度随水平距离变化的函数：
$y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

逐项来看：第一项 $x\tan \theta$ 是瞄准线；第二项是图 1 中的下落量 $\frac{1}{2}g{t}^2$，只是现在用 $x$ 表示。由于下落量与 $x^2$ 成正比，轨迹是开口向下的抛物线。

由此得出两个特征点。小球回到出发高度时 $y=0$：即 $x=0$，以及射程
$R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$
其中用到了恒等式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$。弧线的顶点处轨迹水平，其斜率为 $dy/dx=\tan \theta -gx/(v_0^2{\cos }^2\theta )$，在 $x=v_0^2\sin \theta \cos \theta /g=R/2$ 时为零。因此顶点恰好位于射程的正中间，这符合抛物线的对称性，其高度为 $H=v_0^2{\sin }^2\theta /(2g)$。

对动画中的抛掷，轨迹为 $y=1.192x-0.02968x^2$（$x$、$y$ 以米为单位）。它在 40.2 m 处回到地面，并在 $x=20.1\mathrm{m}$ 处达到 12.0 m 的最高点。

瞄准目标：两个角度与可达范围的边界

前面的内容给定了发射条件，然后问小球落到哪里。投掷者面对的则是相反的问题：在速率固定的情况下，以什么角度出手才能击中给定的目标？同一轨迹方程可以回答这个问题。

图例

$v_0$	发射速率，两种抛法及虚线抛物线所用的速率相同。	$m/s$
${\theta }_1$	低抛的发射角。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	高抛的发射角。	$\mathrm{rad}$
$T$	目标。
$x$	从发射点到目标的水平距离。	$\mathrm{m}$
$y$	目标相对发射点的高度。	$\mathrm{m}$
$v_0^2/(2g)$	速率 $v_0$ 所能达到的最大高度，即竖直上抛的高度：虚线抛物线的顶点。	$\mathrm{m}$
$v_0^2/g$	水平地面上的最大射程，在 $45^{\circ }$ 时取得：虚线抛物线与地面相交之处。	$\mathrm{m}$

在图 2 中，小球以速率 $v_0$ 从抛出点出发，必须击中目标 $T$，目标位于水平距离 $x$ 处，高出抛出点 $y$。有两条轨迹可以做到，一条是角度为 ${\theta }_1$ 的低抛，另一条是角度为 ${\theta }_2$ 的高抛，两条轨迹在 $T$ 点相交。

要求出这两个角度，把 $\theta$ 作为未知数。轨迹方程同时包含 $\tan \theta$ 和 $1/{\cos }^2\theta$。恒等式 $1/{\cos }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$ 可将其化为只含 $u=\tan \theta$ 的方程：
$y=xu-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\left(1+u^2\right)$
量 $D=g{x}^2/(2v_0^2)$ 是一个长度：以 $v_0$ 水平发射的小球在水平距离 $x$ 内下落的高度。用它按 $u$ 的幂次整理，得到一个二次方程，即瞄准方程：
$D{u}^2-xu+(y+D)=0$

二次方程可以有两个、一个或没有实根，每种情形都有其意义。两个根：低抛与高抛都能击中目标，即图 2 中的两条轨迹。重根：目标恰好位于可达范围的边界上，只有一个角度能够到达。没有实根：在此速率下目标超出射程。

两根之积有一个简洁的结果。对任何二次方程，两根之积等于常数项除以 $u^2$ 的系数，这里为 $1+y/D$。在水平地面上 $y=0$，两根之积为 1，因此 $\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2=1$，${\theta }_2=90^{\circ }-{\theta }_1$：两个角度互余，30° 与 60° 的抛掷落在同一地点。对于高于抛出点的目标，如图 2 所示，两根之积大于 1。此时 $\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)=(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)/(1-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2)$ 为负，因此两角之和大于 $90^{\circ }$。

重根恰好描绘了可达范围的边界。它出现在判别式为零时，即 $x^2=4D(y+D)$。解出 $y$，并代回 $D=g{x}^2/(2v_0^2)$，得到可达范围的边界：
$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$

这条曲线常被称为安全抛物线，即图 2 中的虚线。以速率 $v_0$ 发射的每条轨迹都在一点与它相切，并且始终位于其内侧，因此它包围了小球能够到达的所有点。它高出抛出点 $v_0^2/(2g)$，即竖直上抛的高度，并在地面上延伸到 $v_0^2/g$。这正是水平地面上的最大射程，在 45° 时取得，此时 $\sin 2\theta =1$。对于 20 m/s，这两个长度分别为 20.4 m 与 40.8 m。在 45° 以上发射的轨迹会在飞行过程中接触这条曲线，如图 2 中高抛轨迹恰好在其顶点之后所示；较平的轨迹只有延伸到地面以下才会接触它。

速度图像，以及速率与高度的关系

还有两种工具可以描述飞行过程，无需额外求解：竖直速度的图像，以及一个不涉及时间的速率与高度关系。

动画的专家层展示了 $v_y(t)$ 图像。由于 ${\dot{v}}_y=-g$ 为常数，该图像是斜率为 $-g=-9.81m/{\mathrm{s}}^2$ 的直线，从 15.3 m/s 降到 $-15.3m/s$。它在 $t=15.3/9.81\approx 1.56\mathrm{s}$ 处与零轴相交，即顶点时刻。速度图像下的面积为位移，因此轴上方的三角形 $\frac{1}{2}\cdot 1.562\cdot 15.32\approx 12.0\mathrm{m}$ 即为高度 $H$。轴下方的等面积三角形则是返回地面的过程，小球在 3.12 s 时再次回到 $y=0$。

速率与高度之间的关系不涉及时间。从 ${\dot{v}}_y=-g$ 出发，两边同乘 $v_y=\dot{y}$。左边变为 $\frac{1}{2}d(v_y^2)/dt$，右边变为 $-gdy/dt$。两边现在都是时间的导数，从发射时刻起积分即得 $v_y^2=v_0^2{\sin }^2\theta -2gy$。水平分量始终不变，两边加上 $v_x^2=v_0^2{\cos }^2\theta$，得到
$v^2=v_0^2-2gy$

速率只取决于高度，而与时间或运动方向无关。小球上升与下降经过同一高度时速率相同，并以其出射速率 20 m/s 落地。在顶点处 $v^2=400-2\cdot 9.81\cdot 12.0\approx 165{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$，恰好是 $v_x^2$，这正是小球水平运动时应有的结果。两边乘以 $m/2$，关系式变为 $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2$：动能与势能之和保持不变。

轨迹的曲率

抛物线不是圆，但在每一点都有一个圆与它最为贴合，该圆的半径衡量了轨迹在该点弯曲的急剧程度。求出这个半径，可以看清重力所承担的两项不同工作：它使小球转弯，也改变它的速率。

图例

$P$	轨迹上速度与水平方向夹角为 $\alpha$ 的点。
$\vec{v}$	$P$ 点的速度，沿轨迹方向。	$m/s$
$\alpha$	$\vec{v}$ 与水平方向的夹角；$\vec{g}$ 与垂直于轨迹方向之间的夹角也是该角。	$\mathrm{rad}$
$\vec{g}$	重力加速度，竖直向下。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\sin \alpha$	$\vec{g}$ 沿轨迹的分量：小球上升时与 $\vec{v}$ 方向相反，只改变速率。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\cos \alpha$	$\vec{g}$ 垂直于轨迹的分量，指向 $C$：只改变方向。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\rho$	$P$ 点的曲率半径：$P$ 到 $C$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$C$	与 $P$ 点处轨迹贴合的圆的圆心。

在图 3 中，小球位于点 $P$，沿轨迹以速度 $\vec{v}$ 运动，其与水平方向成 $\alpha$ 角。把 $\vec{g}$ 分解为沿轨迹的分量和与 $\vec{v}$ 垂直的分量，$P$ 点的小方框标示出这一直角。沿轨迹方向与垂直方向，实际上就是水平与竖直方向各自旋转 $\alpha$ 角之后的结果。由于 $\vec{g}$ 竖直向下，它与垂直方向的夹角同样为 $\alpha$，如 $\vec{g}$ 与 $g\cos \alpha$ 之间的圆弧所示。因此沿轨迹的分量为 $g\sin \alpha$，小球上升时它与 $\vec{v}$ 方向相反；垂直分量为 $g\cos \alpha$。

两个分量承担不同的工作。沿速度方向的加速度只改变速率，与速度垂直的加速度只改变方向。因此只有 $g\cos \alpha$ 使轨迹弯曲。它指向与 $P$ 点处轨迹贴合的圆的圆心 $C$，两者相距 $\rho$。以速率 $v$ 沿半径为 $\rho$ 的圆周运动的物体，需要指向圆心的加速度 $v^2/\rho$，所以 $g\cos \alpha =v^2/\rho$。由于 $\cos \alpha =v_x/v$，曲率半径为
$\rho =\frac{v^2}{g\cos \alpha }=\frac{v^3}{g{v}_x}$

因为 $v_x$ 始终不变，$\rho$ 在速率最小处最小：即顶点。那里 $\alpha =0$，重力完全与轨迹垂直，$\rho =v_x^2/g=12.9^2/9.81\approx 17\mathrm{m}$。出手时 $\rho =20^3/(9.81\cdot 12.9)\approx 63\mathrm{m}$。弧线在顶点处最为尖锐。

另一分量 $g\sin \alpha$ 改变速率。小球上升时它与 $\vec{v}$ 方向相反，使小球减速。下降时 $\vec{v}$ 指向水平线以下，沿轨迹的分量与 $\vec{v}$ 同向，小球加速。

空气阻力与数值逐步计算

真实的球在空气中飞行。阻力会破坏前面的简洁公式，但计算机仍可以逐步跟踪运动，这种方法适用于任何力。

图例

$R$	有空气时的射程：从发射点到落点的距离。	$\mathrm{m}$
$R_0$	无空气时的射程：虚线轨迹的落点。	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	小球的速度，在发射和落地时分别画出。	$m/s$
${\vec{a}}_d$	阻力产生的加速度：沿轨迹方向，与 $\vec{v}$ 相反，大小为 $g(v/v_t{)}^2$。	$m/{\mathrm{s}}^2$

图 4 将动画中的抛掷在有空气时（红色）与无空气时（虚线）并排画出。阻力总与速度方向相反，对于日常速率的球，阻力大致与速率的平方成正比。记 $v_t$ 为终端速率：即阻力与重力相等时的速率，由从很高处落下的球达到。此时阻力产生的加速度大小为 $g(v/v_t{)}^2$，方向与 $\vec{v}$ 相反；写成矢量形式为 $-kv\vec{v}$，其中 $k=g/v_t^2$。在图 4 中，每个箭头 ${\vec{a}}_d$ 都沿轨迹指向后方，即与 $\vec{v}$ 相反；落地处的箭头较短，因为小球落地时比出手时慢。

加入重力后，运动方程变为
$\ddot{x}=-kv\dot{x},\ddot{y}=-g-kv\dot{y}$
其中 $v=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$。速率同时包含两个速度分量，因此每个方程都依赖于另一方向的运动：水平与竖直运动相互耦合，再也没有公式能给出轨迹。

不过仍然可以逐步跟踪。选取一个很小的时间步长 $\epsilon$。由当前位置和速度计算加速度 $\vec{a}$，然后前进一步，
$\vec{v}\to \vec{v}+\vec{a}\epsilon ,\vec{r}\to \vec{r}+\vec{v}\epsilon$
重复此过程直到小球落地。在一个很短的步长内，加速度和速度变化都很小，把它们当作常数只会引入很小的误差。在这种最简单的欧拉方法中，总误差与 $\epsilon$ 成正比：步长减半，误差也减半。取 0.01 s 的步长，即可把下面的射程算到约 0.2 m 以内。该方法不依赖于力的具体形式，因此适用于任何力的规律。

图 4 中的红色轨迹正是这样计算的，所用小球的终端速率为 30 m/s。阻力起初为重力的 $(20/30{)}^2\approx 0.44$ 倍，落地时降为 $(15.6/30{)}^2\approx 0.27$ 倍。射程 $R$ 从 $R_0=40.2\mathrm{m}$ 降至 30.0 m，最大高度从 12.0 m 降至 10.1 m。

轨迹不再对称。上升时阻力与重力一起减慢上升；下降时它阻碍下落。因此上升用时 1.39 s，下降用时 1.48 s。阻力还持续消耗水平速度，所以小球上升时水平移动的距离比下降时多：顶点位于 15.9 m 处，超过了中点。小球以 15.6 m/s 的速率落地，与水平方向成 57° 向下，比 50° 的出手角更陡。使射程最远的角度降至约 43°，因为抛得更高的球停留更久，因而因阻力损失更多。出手速率相对于 $v_t$ 越大，最佳角度就越低。

例题：两种击中目标的方式

将瞄准方程应用于图 2 中的目标，取动画中的出手速率 20 m/s。要击中距离 30 m、高于出手点 5.0 m 的目标，应以什么角度抛出？

先求下落量：$D=g{x}^2/(2v_0^2)=9.81\cdot 900/800\approx 11.04\mathrm{m}$，因此 $y+D\approx 16.04\mathrm{m}$。取 $x=30\mathrm{m}$，瞄准方程为
$11.04u^2-30u+16.04=0$
由求根公式得
$u=\frac{30\pm \sqrt{900-4\cdot 11.04\cdot 16.04}}{2\cdot 11.04}=\frac{30\pm 13.84}{22.08}$
于是 $u\approx 0.732$ 或 $u\approx 1.986$，即 $\theta \approx 36.2^{\circ }$ 或 $\theta \approx 63.3^{\circ }$。这就是图 2 中的 ${\theta }_1$ 与 ${\theta }_2$。两者之和为 99.5°，大于 $90^{\circ }$，这与目标位于出手点上方时的预期一致。

飞行时间由 $t=x/(v_0\cos \theta )$ 得出：低抛为 $30/(20\cos 36.2^{\circ })\approx 1.86\mathrm{s}$，高抛为 $30/(20\cos 63.3^{\circ })\approx 3.34\mathrm{s}$。两者到达目标时的速率相同，均为 $\sqrt{400-2\cdot 9.81\cdot 5.0}\approx 17.4m/s$，因为速率只取决于高度。不过它们的入射方向不同：低抛已越过 7.1 m 的顶点，以与水平方向成 22° 向下的角度到达；高抛则从 16.3 m 高的顶点俯冲而下，角度为 59°。这就是篮球运动员偏爱高抛弧线的原因：对于陡直下落的球，篮筐呈现出更大的开口。

同样的抛掷能否在该距离上击中高 10 m 的目标？在 $x=30\mathrm{m}$ 处，可达范围的边界位于 $20.39-11.04\approx 9.35\mathrm{m}$。目标高于边界，瞄准方程没有实根，任何角度都无法击中。恰好高 9.35 m 的目标只能被一次出手击中。重根为 $u=x/(2D)$，此处即 $\tan \theta =v_0^2/(gx)\approx 1.36$，即 $\theta \approx 53.7^{\circ }$：低抛与高抛两种解此时合并为一个。

适用范围的局限

以上所有内容都依赖于三个理想化假设：小球视为无自旋的质点、地面平坦、重力均匀。对于抛出的球，这些假设大体成立，但每一条都有已知的失效方式。

该模型把小球视为无自旋的质点。旋转的球还会受到垂直于速度方向的升力，即马格努斯效应，它使任意球弧线弯曲，并使带倒旋的高尔夫球得以在空中保持较长时间。当速率相当于终端速率的一个可观比例时，阻力就不可忽略，因为阻力与重力之比为 $(v/v_t{)}^2$。一个 7.26 kg 的铅球，其终端速率约为 150 m/s，所以在 13 m/s 时，它受到的阻力不到重力的 1%，抛物线近似非常精确。

平坦地面与均匀的 $\vec{g}$ 也只是近似。取地球半径 $R_E\approx 6371\mathrm{km}$，地面在动画中 40 m 的范围内只下弯 $x^2/(2R_E)\approx 0.1\mathrm{mm}$。重力与到地心距离的平方成反比，因此在 12 m 的顶点处，$g$ 减小的比例为 $2H/R_E\approx 4\times 10^{-6}$。这些效应随射程增大而增强。以 1 km/s、45° 发射的弹道，真空射程为 102 km，它会落在地面已下降 0.8 km 的位置，不过空气的影响早在此之前就已占主导。地球自转使 3.1 s 抛掷的落点偏移不到一厘米，但对于飞行一分钟的炮弹，偏移可达数十米。

严格说来，重力指向地心，而非某一固定方向，轨迹是以地心为一个焦点的椭圆的一段弧。在较短的距离内，指向地心的方向几乎平行，椭圆与抛物线无法区分。以 $\sqrt{g{R}_E}\approx 7.9km/s$ 水平发射，并忽略空气，物体下落的快慢与脚下地面向下弯曲的快慢完全相同，从而绕地球运行：抛体变成了卫星，被抛出的球与月球遵循同一定律。

后续内容

《牛顿运动定律》提供了分量方程。关系式 $v^2=v_0^2-2gy$ 就是能量守恒，将在《功、能与功率》中展开。在顶点处，重力所起的作用正是《圆周运动》中的向心加速度，即 $g=v_x^2/\rho$。耦合的阻力方程是《阻力与终端速度》的主题，而牛顿的大炮与椭圆则属于《万有引力与轨道》。

一只球从匀速行驶的火车窗口落下，对乘客而言它竖直下落，但对站台上的人来说它走出一条抛物线：同一运动，两个参考系，参见《矢量与相对运动》。在两块带电极板之间的均匀电场中，带电粒子沿同样的抛物线运动，只是 $g$ 换成了 $qE/m$；示波管和某些喷墨打印机正是利用这一原理控制电子与墨滴的方向（参见《电场与电势》）。