直线运动

入门

运动学是物理学中描述运动、但不追问其原因的部分。要描述物体沿直线如何运动，我们需要三个概念。

位置告诉你物体在哪里，以米为单位，从某个起点量起。速度告诉你位置变化得多快以及朝哪个方向，单位是米每秒。速率只说明快慢，没有方向；速度则是速率加上方向。加速度告诉你速度变化得多快，单位是米每秒每秒（m/s²）。

如果一名骑车人 20 秒骑行 100 米，平均速率为 $100÷20=5m/s$。如果一辆汽车从静止加速到 20 m/s 用了 4 秒，它每秒增加 5 m/s，所以加速度为 5 m/s²。

一个常见的混淆是认为快速运动的物体必定在加速。在高速公路上以稳定的 30 m/s 行驶的汽车，加速度为零，因为它的速度没有变化。刹车的骑车人确实有加速度：减速同样是速度的变化，她的加速度指向后方。

在动画中，汽车每秒增加 6 m/s，灰点标出它每秒末的位置。间隔越来越大：这就是加速度的样子。

看金色间隔：3 m、9 m、15 m、21 m。它们像奇数 1、3、5、7 那样增长（每个数都乘以 3 m）。伽利略在 1600 年代初通过让小球沿斜面滚下并计时发现了这一规律，它正是从静止开始做匀加速运动的特征。

中级

测量什么，以及从哪里测量

要描述运动，首先需要参考系：一个原点、沿直线的正方向和一个时钟。位置 $x$ 是一个带符号的米数：$x=30\mathrm{m}$ 表示在原点正方向 30 米处，$x=-5\mathrm{m}$ 表示在另一侧 5 米处。选取不同的参考系，同一运动会得到不同的数值。

位置的变化称为位移，$\Delta x=x-x_0$，其中 $x_0$ 为起始位置。位移有正负，只取决于物体从哪里开始、在哪里结束。路程是整条路径的长度，永远不为负。向前走 10 m 再向后走 10 m：你走过了 20 m，但位移为零。

速度与加速度是变化率

速度衡量位置变化的快慢。在时间间隔 $\Delta t$ 内，平均速度为
$v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

它的符号给出运动方向。速率是速度的大小，不带符号。平均速率是路程除以时间；只有物体从不折返时，它才等于 $v_{\mathrm{avg}}$ 的大小。某一瞬间的速度，即速度计上的读数，是极短时间间隔内的平均速度。

加速度衡量速度变化的快慢：$a=\Delta v/\Delta t$，单位为米每秒每秒（m/s²）。6 m/s² 的加速度表示每秒速度增加 6 m/s。当 $v$ 与 $a$ 同号时，物体加速；异号时，物体减速。当 $a=0$ 时运动是匀速的：$x=x_0+vt$，即相同时间内经过相等的距离。

匀加速运动的公式

若 $a$ 恒定，速度每秒改变的量相同，因此它在任一时间段内的平均值恰好位于起始值与末值的中点，即 $\frac{1}{2}(v_0+v)$。该平均值乘以时间即得位移。由此可得四个方程：

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2=v_0^2+2a\Delta x$
• $\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

每个方程都联系 $\Delta x$、$v_0$、$v$、$a$ 和 $t$ 中的四个量，因此已知任意三个量即可求出另外两个。选择不含“既未知又不需要的量”的方程：若不涉及时间，用第三个；若加速度未知，用第四个。

例题：动画中的汽车

汽车从原点静止出发，$v_0=0$，$x_0=0$，并以 $a=6m/{\mathrm{s}}^2$ 加速。经过 $t=4\mathrm{s}$ 后：
$v=v_0+at=0+6\cdot 4=24m/s$
$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4^2=48\mathrm{m}$

这些即为 $v$ 和 $x$ 读数的末值。第三个方程不用时间即可验证：$v^2=2\cdot 6\cdot 48=576{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$，所以 $v=24m/s$。在 1、2、3 s 时汽车分别位于 3 m、12 m 和 27 m，因此灰点之间的间隔为 3、9、15、21 m，每个都比前一个多 6 m。平均速度为 $48/4=12m/s$，恰为末速度的一半，正如第四个方程对静止起步所预测的那样。

与此同时，蓝色 $v$ 箭头每秒增加相同的量，而绿色 $a$ 箭头长度保持不变：匀加速意味着相同时间内速度的增量相等，而不是距离相等。

例题：刹车距离

一名司机以 14 m/s（约 50 km/h）行驶，看到一个球滚上了马路。她需要约 1.0 s 的反应时间，然后以大小为 7 m/s² 的恒定加速度刹车。汽车在停止前行驶了多远？

在反应时间内，汽车以恒定速度行驶 $14\cdot 1.0=14\mathrm{m}$。刹车时，$v_0=14m/s$，$v=0$，$a=-7m/{\mathrm{s}}^2$，加速度为负，因为它与运动方向相反。题目未问时间，因此使用第三个方程：
$\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{0-14^2}{2\cdot (-7)}=14\mathrm{m}$

汽车在球出现后 28 m 处停下。若速度为 28 m/s（约 100 km/h），反应距离增至 28 m，而刹车距离变为 $28^2/(2\cdot 7)=56\mathrm{m}$，是原来的四倍：总计 84 m。刹车距离随速度的平方增长，这就是学校附近限速如此之低的原因。

读懂位置–时间与速度–时间图像

在位置–时间图像中，斜率即为速度：直线表示匀速运动，水平线表示静止，向下倾斜表示沿负方向运动，斜率不断增大的曲线表示加速。

在速度–时间图像中，斜率即为加速度，曲线下方的面积即为位移（时间轴以下的面积计为负）。对于汽车，$v$ 在 4 s 内从 0 沿直线升至 24 m/s：斜率为 $24/4=6m/{\mathrm{s}}^2$，线下三角形的面积为 $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 24=48\mathrm{m}$。当 $v_0$ 不为零时，面积为梯形 $\frac{1}{2}(v_0+v)t$，即第四个方程。

常见错误

• 速率不等于速度：两辆车以 20 m/s 的速率反向行驶，速率相同，但速度分别为 $+20$ 和 $-20m/s$。
• 速度为零，加速度不一定为零。以 15 m/s 竖直向上抛出的球，经 $15/9.81\approx 1.5\mathrm{s}$ 停止上升，上升约 11.5 m，然后落回；在最高点它的加速度仍为 $-g$。
• 负加速度不一定表示减速：沿负方向加速的汽车，$v<0$ 且 $a<0$。应比较 $v$ 与 $a$ 的符号。
• 四个方程要求 $a$ 恒定：应把变化的运动（如先匀速后刹车）分成若干阶段处理。
• 先将 km/h 换算为 m/s（除以 3.6），并保留 $\frac{1}{2}a{t}^2$ 中的 ½ 和平方：去掉它们会使汽车的 48 m 变成 96 m 或 12 m。

应用场景

刹车距离、以 10 m/s 平均速度跑完 100 m 的短跑运动员、为使乘客舒适而以约 1 m/s² 加速的电梯和列车：这些都属于直线运动学。它也是力学其余部分的基本词汇。自由落体就是 $a=-g$ 时的本课内容，抛体运动是同时进行的两个直线运动，而牛顿第二定律提供了这些方程转化为轨迹所需的加速度。

高级

从平均到瞬时

运动定律讲的是瞬时，而任何测得的速度都对应一段时间间隔。本节说明如何得到某一瞬间的速度：先求一段短时间间隔内的平均值，再看当间隔缩小时它趋于何值。

图例

$x$	汽车沿路径的位置；曲线为 $x(t)$。	$\mathrm{m}$
$t$	需要求取速度的时刻。	$\mathrm{s}$
$t+h$	稍晚的时刻，在 $t$ 之后时间 $h$。	$\mathrm{s}$
$h$	从 $t$ 到 $t+h$ 的时间区间长度。	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	从 $t$ 到 $t+h$ 的位置变化：弦的上升量。	$\mathrm{m}$
$\bar{v}$	区间内的平均速度：弦的斜率 $\Delta x/h$。	$m/s$
$v$	时刻 $t$ 的速度：切线的斜率，弦在 $h\to 0$ 时趋近于它。	$m/s$

图 1 绘制了动画中汽车的位置 $x(t)=3t^2$，其中 $x$ 以米为单位，$t$ 以秒为单位。取某一时刻 $t$ 及稍晚的时刻 $t+h$，其中 $h$ 为一小段时间。连接曲线上两点的直线称为弦。沿弦方向，位置变化了 $\Delta x$，而时间推进了 $h$，因此其斜率 $\Delta x/h$ 即为该区间内的平均速度 $\bar{v}$。展开 $(t+h{)}^2=t^2+2th+h^2$，得到
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{h}=\frac{3(t+h{)}^2-3t^2}{h}=\frac{6th+3h^2}{h}=6t+3h$

现在看虚线弦：它的远端沿曲线滑向 $t$ 处的点。随着 $h$ 缩小，弦发生转动并趋于标记为 $v$ 的直线，即恰好与曲线在 $t$ 处相切的切线。在上式中，项 $3h$ 趋于零，因此弦的斜率趋于 $6t$，即切线的斜率。在 $t=2\mathrm{s}$ 时，汽车的速度恰好为 12 m/s，尽管从该时刻开始的每个有限区间都会给出稍大一点的值 $12+3h$。

这种比值的极限就是 $x$ 对 $t$ 的导数，它定义了瞬时速度。对速度应用同样的步骤，就定义了加速度：
$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

由此可得两个推论。第一，任何单一瞬间的快照都无法显示速度，因为速度比较的是相邻时刻的位置。这回答了芝诺的飞矢悖论：在飞行的每一瞬间，箭似乎都是静止的；但在每一瞬间它都有位置，而其速度则体现在该位置在附近如何变化之中。第二，位置、速度和加速度构成一条导数链 $x\to v\to a$。牛顿的点记号可以简洁地将这两步写成 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$。

逆向积分：恒定加速度

沿着导数链向下是求导，向上则是积分。已知加速度，一次积分得到速度，再一次积分得到位置。本节处理最常见的情形——恒定加速度 $a$——并从图像中读出每一步。

图例

$v_0$	开始时的速度。	$m/s$
$v$	经过时间 $t$ 后的速度：$v=v_0+at$。	$m/s$
$\bar{v}$	平均速度 $\frac{1}{2}(v_0+v)$：位于 $v_0$ 与 $v$ 中点的虚线水平线。	$m/s$
$at$	时间 $t$ 内获得的速度：恒定加速度 $a$ 乘以时间。	$m/s$
$t$	自起点算起经过的时间。	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	时间 $t$ 内的位移：线下阴影部分的面积。	$\mathrm{m}$

图 2 绘制速度随时间的变化。速度从 $v_0$ 开始。由于加速度恒定，速度每秒增加相同的量，因此图像是斜率为 $a$ 的直线。经过时间 $t$ 后，速度上升了 $at$（右侧括号所示），达到 $v=v_0+at$。以积分表示，并将积分变量写作 $t^{\prime }$，以便与上限 $t$ 区分：
$v(t)=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }=v_0+at$

在极短时间内速度几乎不变，因此位移等于速度乘以该时间：即图像下方的一个窄条面积。将这些窄条相加，整个时间 $t$ 内的位移 $\Delta x=x-x_0$ 即为直线下方的阴影面积。将其拆分为高 $v_0$、宽 $t$ 的矩形（面积 $v_{0}t$），以及底为 $t$、高为 $at$ 的三角形（面积 $\frac{1}{2}a{t}^2$）：
$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t^{\prime })d{t}^{\prime }=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

同一面积也可以作为一块来计算。虚线水平线 $\bar{v}$ 位于 $v_0$ 与 $v$ 的中点。由于直线是直的，它恰好在区间中点 $t/2$ 处与该水平线相交。在左半段，直线位于水平线下方，留下一个三角形缺口；在右半段，直线位于其上方，增加一个三角形。这就是图中两个颜色较深的三角形，二者相等，底均为 $t/2$，高均为 $at/2$。将右侧三角形切下，移到左侧缺口处，则线下面积变成一个高为 $\bar{v}$、宽为 $t$ 的矩形：
$\Delta x=\bar{v}t=\frac{1}{2}(v_0+v)t$

每次积分都引入一个常数：第一次是 $v_0$，第二次是 $x_0$。它们并非装饰。加速度决定运动的形状；起始位置和速度则确定在该形状中实际发生的是哪一种运动。这就是为什么提供加速度的牛顿第二定律总是恰好需要两个初始条件。

另有一个不含时间的关系式，当时间既未给出也不需求解时很有用。它来自链式法则：由于 $dx/dt=v$，
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},\text{so}adx=vdv$
在 $a$ 恒定的条件下，左边从 $x_0$ 积分到 $x$，右边从 $v_0$ 积分到 $v$。得到 $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$，即
$v^2=v_0^2+2a\Delta x$

将 $a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2)$ 两边乘以质量 $m$，即得 $ma\Delta x=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$。由于 $ma$ 即为力，这说明：力乘以位移等于动能的变化，即动能定理，它已隐含在运动学之中。

在四个恒定加速度方程中，$\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ 是最古老的。牛津大学默顿学院的学者在 1335 年前后将其表述为平均速度定理，尼古拉·奥雷姆不久后便通过比较面积加以证明，方法与图 2 相似；这比伽利略用滚下斜面的小球进行检验早了约两个半世纪。伽利略的奇数法则同样由此推出。从静止开始，第 $n$ 秒内经过的距离为 $x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}a[n^2-(n-1{)}^2]=\frac{1}{2}a(2n-1)$，因此相继各秒内的距离按 1、3、5、7 增长。对于汽车，$a=6m/{\mathrm{s}}^2$，它们分别为 3、9、15 和 21 m。

斜率与面积

位置、速度和加速度的图像是读取运动最快捷的方式，而每一条读图规则都是关于导数（斜率）或积分（面积）的陈述。图 3 用一个例子展示了所有这些规则。

图例

$x$	位置；其图像（顶部）为抛物线。	$\mathrm{m}$
$v$	速度：中间图像的直线，也是 $x(t)$ 在 $t_1$ 处切线的斜率。	$m/s$
$a$	加速度：此处恒定，因此其图像（底部）为水平线。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$t$	时间，三张图像共用的水平轴。	$\mathrm{s}$
$t_1$	作切线、面积结束的时刻。	$\mathrm{s}$
$\Delta x$	从 0 到 $t_1$ 的位置变化：$x(t)$ 的上升量，等于 $v(t)$ 下方的面积。	$\mathrm{m}$
$\Delta v$	从 0 到 $t_1$ 的速度变化：$v(t)$ 的上升量，等于 $a(t)$ 下方的面积。	$m/s$

图 3 将动画中汽车的三张图像叠放在同一时间轴上：顶部为 $x(t)=3t^2$，中间为 $v(t)=6t$，底部为恒定的 $a=6m/{\mathrm{s}}^2$。先自上而下按斜率阅读。在时刻 $t_1=4\mathrm{s}$，抛物线 $x(t)$ 的切线斜率等于该时刻的速度 $v=6\cdot 4=24m/s$：即每秒上升 24 m。中间的图像 $v(t)$ 是一条直线，因为其斜率即加速度在每一时刻都相同。

$x(t)$ 的弯曲显示了加速度的符号，因为 $a$ 是斜率 $v$ 的变化率。向上弯曲的图像斜率在增大，因此 $a>0$；向下弯曲的则 $a<0$；直线段则 $a=0$。

现在自下而上按面积阅读。$v(t)$ 从 0 到 $t_1$ 下方的面积是一个三角形，$\frac{1}{2}\cdot 4\mathrm{s}\cdot 24m/s=48\mathrm{m}$，它等于同一时间内 $x(t)$ 的增量 $\Delta x$：事实上 $x(4)=3\cdot 16=48\mathrm{m}$。$a(t)$ 下方的面积是一个矩形，$6m/{\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{s}=24m/s$，它等于 $v(t)$ 的增量 $\Delta v$。在图中，每块面积的标注都与它所对应的增量相同。

有两点需要注意。第一，$v(t)$ 下方的面积在 $v<0$ 处计为负，因此它给出的是位移而非路程；路程为 $\int |v|dt$。第二，$v$ 和 $a$ 的图像并不能说明运动从何处开始：将 $x(t)$ 上下平移不会改变两者，因此 $x_0$ 必须单独给出。

加速度不恒定时

真实的加速度会发生变化：发动机的推力逐渐减弱，空气阻力随速度增大而增强，弹簧拉得越远拉力越大。方法取决于加速度是什么的函数，三种情形涵盖了大多数问题。

• 加速度为时间的函数 $a(t)$：积分两次，先 $v=v_0+{\int }_0^{t}ad{t}^{\prime }$，再 $x=x_0+{\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }$。下面的例题即属此类。
• 加速度依赖速度 $a(v)$，如阻力：由于 $a=dv/dt$，将变量分离为 $dt=dv/a(v)$ 再积分。对于线性阻力 $a=-kv$（$k$ 为常数），得到 $v=v_0{e}^{-kt}$ 和 $x=x_0+(v_0/k)(1-e^{-kt})$。物体永远不会真正停止，但它只经过有限距离 $v_0/k$。若动画中以 24 m/s 行驶的汽车仅受此类阻力作用，且 $k=0.5{\mathrm{s}}^{-1}$，它最多滑行 $24/0.5=48\mathrm{m}$。对于受二次阻力下落的物体（取向下为正），$a=g-b{v}^2$，当 $v$ 趋近终端速度 $\sqrt{g/b}$ 时加速度逐渐减小，在终端速度处 $a=0$。
• 加速度依赖位置 $a(x)$，如弹簧：由上面的 $adx=vdv$ 积分。对于 $a=-{\omega }^{2}x$，得到 $v^2=v_0^2-{\omega }^2(x^2-x_0^2)$。乘以 $\frac{1}{2}m$，即为振子的能量守恒，它甚至在引入能量概念之前就已得到。

逐步数值推进

实践中遇到的大多数加速度所得到的方程都无法用公式求解。于是运动被分解为若干小时间步，每一步都使用其起点处已知的加速度来推进。图 4 展示了最简单的此类方法——欧拉法——应用于一个精确解已知的情形，从而可以看到它的误差。

图例

$v$	滑行汽车的速度；蓝色曲线为精确的 $v(t)$，虚线折线为数值步进结果。	$m/s$
$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	一个时间步的长度。	$\mathrm{s}$
$a$	在每一步起点求得并在整步内保持的加速度 $a=-kv$：该步的斜率（为负，因为 $v$ 在下降）。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a\Delta t$	一步内的速度变化：此处为负，即减少量。	$m/s$

图 4 跟踪受阻力滑行的汽车，即 $a=-kv$，数值取上例中的 $k=0.5{\mathrm{s}}^{-1}$ 与 $v_0=24m/s$。蓝色曲线是精确解 $v(t)=v_0{e}^{-kt}$。黑色折线是数值估计，为便于看清误差，特意取了较大的步长 $\Delta t=1\mathrm{s}$。

每一步都遵循相同的规则。在每一步的起点，根据当前速度求出加速度 $a=-kv$。假定它在整个步长内保持该值，因此速度变化 $a\Delta t$：用 $v+a\Delta t$ 替换 $v$。以同样方式推进位置，用 $x+v\Delta t$ 替换 $x$，然后用新数值重复。高亮的步骤展示了一次迭代：其斜率为该步起点处求得的 $a$，因此在时间 $\Delta t$ 内速度下降 $a\Delta t$，不多也不少。

这里每一步都将速度乘以 $1-k\Delta t=0.5$。经过 1、2、3、4 s 后，各步给出 12、6、3 和 1.5 m/s，而精确值分别为 14.6、8.8、5.4 和 3.2 m/s。数值结果位于曲线下方，因为真实的减速度随 $v$ 减小而在该步内减弱，而数值步却保留了其起点的较强值。误差与 $\Delta t$ 成正比：当步长足够小时，将其减半大致可使误差减半，因此当 $\Delta t\to 0$ 时，各步收敛于精确运动。轨道计算、天气预报和电子游戏的物理模拟都采用这一思想的改进版本。

例题：逐渐减弱的推力

以下是一个随时间变化的加速度，通过两次积分求解。设汽车的推力稳步减弱，$a(t)=a_0(1-t/\tau )$，其中 $a_0=6m/{\mathrm{s}}^2$，$\tau =8\mathrm{s}$，从 $x=0$ 处静止出发。加速度从 $a_0$ 直线下降至 $t=\tau$ 时的零。推力消失时，汽车的速度有多大，行驶了多远？

积分一次，取 $v_0=0$：
$v(t)={\int }_0^t{a}_0\left(1-\frac{t^{\prime }}{\tau }\right)d{t}^{\prime }=a_0\left(t-\frac{t^2}{2\tau }\right)$
因此 $v(\tau )=a_0(\tau -\tau /2)=a_0\tau /2=24m/s$，与动画中的末速度相同。再积分一次，取 $x_0=0$：
$x(t)=a_0\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6\tau }\right),x(\tau )=\frac{a_0{\tau }^2}{3}=\frac{6\cdot 64}{3}=128\mathrm{m}$

与动画中的汽车相比（它在 4 s 后达到 24 m/s，行驶了 48 m），这辆车需要 8 s 并行驶 128 m。它的 $v(t)$ 现在是一条在 $t=\tau$（此时 $a=0$）处趋于平缓的抛物线，曲线下面积为 8 s × 24 m/s 矩形面积的三分之二，即 $\frac{2}{3}\cdot 192=128\mathrm{m}$。

一个诱人的捷径行不通。平均加速度为 $24/8=3m/{\mathrm{s}}^2$，若将其视为恒定，则得到 $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2=96\mathrm{m}$，少了 32 m。这辆车大部分速度是在前期获得的，因此它高速行驶的时间更长：其平均速度为 $128/8=16m/s$，而不是稳步加速时的 12 m/s。恒定加速度公式不能靠代入平均加速度来补救。

适用范围的限制

以上所有内容都建立在三个理想化假设之上，每一个都会在某处失效。第一，物体被视为具有单一位置的质点。对于汽车或行星，这意味着追踪其质心；自旋与形变则需要另外的描述。

第二，假定 $x(t)$ 足够光滑，可以两次求导。看似瞬间反转速度的碰撞，实际上是极短时间内的极大加速度。在原子尺度上，清晰路径 $x(t)$ 的概念完全失效，因为量子力学不允许粒子同时具有精确的位置和精确的速度。

第三，伽利略运动学假定所有观察者共用一个时钟。此时速度可以简单相加：在以恒定速度 $u$ 运动的参考系中，物体的速度为 $v^{\prime }=v-u$，而其加速度在所有此类参考系中相同。这就是牛顿定律在每一个惯性系中都成立的原因。

狭义相对论表明，共用时钟只是一种近似，仅在远低于光速 $c\approx 3.00\times 10^{8}m/s$ 的速度下才成立。对于以 24 m/s 行驶的汽车，修正量约为 $v^2/c^2\approx 6\times 10^{-15}$，远低于任何可测量的水平。GPS 卫星以约 3.9 km/s 运行，则是另一回事：仅这一效应就使其时钟每天慢约 7 微秒，若不加修正，其定位结果在一天之内就会偏离数公里。（引力通过广义相对论带来一个方向相反、且更大的效应。）

后续延伸

运动学描述运动，动力学解释运动。牛顿第二定律提供加速度 $a=F/m$，而运动学将该加速度转化为轨迹：这就是经典力学的全部纲领。本课涉及的各种情形会反复出现。自由落体是大小为 $g$、方向向下的恒定加速度。抛体运动是两个相互独立的直线运动，一个匀速，一个匀加速。在圆周运动中，速率可以保持不变而速度方向在转动，这需要指向圆心的加速度 $v^2/r$。简谐运动即 $a=-{\omega }^{2}x$，阻力提供 $a(v)$，而 $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ 则以动能定理的形式再次出现。相对速度与运动参考系将在“矢量与相对运动”中讨论。