电磁感应

入门

把一个线圈接到灵敏的电流表上。这里没有电池，因此指针停在零点。现在把条形磁铁推入线圈：指针向一侧摆动。让磁铁停在线圈内不动，指针回到零。把磁铁拉出，指针向另一侧摆动。

这就是电磁感应，由迈克尔·法拉第于1831年发现。规律很简单：只有穿过线圈的磁场在变化时才有电流。一块很大却静止不动的磁铁什么也不做；一块很小却快速移动的磁铁则会产生电流。动画展示了三个阶段：磁铁插入、磁铁静止、磁铁拔出。

你已经见过其中的原因：磁场会对运动的电荷施加侧向力。让导线穿过磁场运动，导线中的电荷随之被带动，于是被沿导线推动：这个推动就是感应电流。无论是磁铁运动还是导线运动，结果都一样。

感应电流总是阻碍产生它的变化。磁铁插入时，线圈变成一个小磁铁，把它推回去；磁铁离开时，线圈又试图把它拉住。因此移动磁铁必须做功，而这些功正是电路中电能的来源。

运动更快、使用更强的磁铁或绕更多匝，都会产生更大的电流。发电站的发电机、自行车发电机和无线充电器都依靠这一原理。

自我检验：一块磁铁静止放在与电表相连的线圈里，电表显示什么？（零：没有任何变化。）

中级

磁通量：穿过线圈的磁场有多少

感应现象的驱动因素并非磁场本身，而是穿过电路的磁场量的变化，即磁通量。对于均匀磁场 $B$ 中面积为 $A$ 的平面线圈，
$\Phi =BA\cos \theta$
其中 $\theta$ 是磁场与法线之间的夹角，法线即垂直于线圈平面的直线。磁场垂直穿过线圈时 $\theta =0$，且 $\Phi =BA$；磁场位于线圈平面内时 $\Phi =0$，因为没有磁感线穿过线圈。

磁通量的单位是韦伯，$1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$，并且它有正负：反转磁场或将线圈翻转，磁通量的符号就会改变。匝数为 $N$ 的线圈（如动画中的 200 匝）对应磁链 $N\Phi$，因为每一匝都穿过相同的磁通量。

法拉第定律：只有变化才起作用

法拉第定律指出：磁通量变化会在匝数为 $N$ 的线圈中感应出电动势（EMF）：
$\epsilon =-\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}$
电动势以伏特为单位，表示每库仑电荷绕电路一周所获得的能量，该公式给出的是时间间隔 $\Delta t$ 内的平均值。通过电阻为 $R$ 的电路时，它驱动电流 $I=\epsilon /R$。

磁通量 $\Phi =BA\cos \theta$ 可以通过三种方式改变，每一种都会感应出电动势：

• 改变磁场 $B$：移动磁铁，或接通、断开电磁铁。
• 改变面积 $A$：拉伸线圈，或沿导轨滑动导体棒。
• 改变夹角 $\theta$：转动线圈，这正是发电机的工作方式。

磁通量本身的大小并不起作用。磁铁在线圈内静止时（从 2.6 s 到 4.6 s），$\Phi$ 读数保持在 0.20 mWb，$\epsilon$ 读数显示 0 mV。

楞次定律：负号

负号体现的是楞次定律：感应电流总是阻碍产生它的磁通量变化。当北极靠近时，磁通量增加，电流产生方向相反的磁场：线圈面向磁铁的一端变成北极，把磁铁推开。磁铁离开时，磁通量减少，电流反向，该端变成南极，把磁铁拉回。右手定则给出方向：拇指指向电流所需产生的磁场方向，四指弯曲的方向即电流流动的方向。

楞次定律实际上是能量守恒的体现。由于线圈会把磁铁推回，你必须做功才能移动磁铁，这些功就转化为电路中的电能。如果线圈反而助推运动，轻轻一推磁铁就会自行远去：这等于凭空获得能量。

例题：动画中的线圈

磁铁完全插入时，磁场 $B=0.20\mathrm{T}$ 沿线圈轴线方向（$\theta =0$）穿过面积 $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$：
$\Phi =BA=0.20\cdot 1.0\times 10^{-3}=2.0\times 10^{-4}\mathrm{Wb}=0.20\mathrm{mWb}$
$\Phi$ 读数在 2.6 s 时达到该值。开始时它为 0.00，因为磁铁距离 125 mm 时，只有约 0.0025 mWb 的磁通量穿过线圈。

推入过程持续 2.0 s，从 0.6 s 到 2.6 s，因此该过程中电动势的平均值为
$|\epsilon |=\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{200\cdot 0.20\times 10^{-3}}{2.0}=0.020\mathrm{V}$
即 20 mV。然而 $\epsilon$ 读数在 $t\approx 2.2\mathrm{s}$ 时下降到约 $-89\mathrm{mV}$，因为磁通量并非匀速增加。1.7 s 时它仍只有约 0.02 mWb；随后北极端进入线圈，到 2.3 s 时升至约 0.18 mWb。在这 0.6 s 的时间窗口内，平均值为 $200\cdot 0.16\times 10^{-3}/0.6\approx 53\mathrm{mV}$，而平均值永远不会超过峰值。

符号遵循楞次定律：磁通量上升时读数为负，磁铁离开、磁通量下降时读数达到 $+89\mathrm{mV}$。

例题：在导轨上滑动的导体棒

两根平行导轨相距 25 cm，一端通过 0.50 Ω 的电阻相连，一根金属棒横跨在导轨上，置于与导轨平面垂直的 0.40 T 均匀磁场中。你以 2.0 m/s 的恒定速度沿导轨拉动金属棒。

在时间 $\Delta t$ 内，长度为 $L=0.25\mathrm{m}$（两导轨之间的部分）的金属棒使电路面积增加 $Lv\Delta t$，因此 $\Delta \Phi =BLv\Delta t$。取 $N=1$，由法拉第定律得
$\epsilon =BLv$
$\epsilon =0.40\cdot 0.25\cdot 2.0=0.20\mathrm{V}$
电流为 $I=\epsilon /R=0.20/0.50=0.40\mathrm{A}$。

作为磁场中的载流导体，金属棒受到的力为 $F=BIL=0.40\cdot 0.40\cdot 0.25=0.040\mathrm{N}$，根据楞次定律，该力指向后方，与运动方向相反。要保持 2.0 m/s 的速度，需要的功率为 $Fv=0.080\mathrm{W}$，恰好等于电阻将其转化为热量的功率 $I^{2}R=0.080\mathrm{W}$：每一焦耳都来自你的拉力。

读懂电表、箭头和图像

绿色的 $\Phi$ 读数从 0.00 呈 S 形上升到 0.20 mWb：先慢，然后快，磁铁稳定时又变慢。$\epsilon$ 读数、电表指针的偏角以及紫色箭头 $I$ 的长度都与电动势成正比。线圈左端旁边的 N 或 S，即感应电流形成的磁极。

在 $\Phi$ 对 $t$ 的图像上，电动势为 $-N$ 倍的斜率：上升段为负，平坦段为零（无论磁通量处于多高的水平），下降段为正。上升段最陡的点（约 2.2 s 附近）斜率约为 0.45 mWb/s，$200\cdot 0.45\approx 89\mathrm{mV}$ 即为峰值读数。

常见错误

• 磁场强不等于电动势大。磁铁静止在线圈内时，0.20 mWb 的磁通量穿过每一匝，电动势恰好为零。
• 感应电流阻碍的是磁通量的变化，而不是磁场本身。磁铁离开时，感应磁场与磁铁自身磁场方向相同，从而支撑正在减小的磁通量。
• 夹角 $\theta$ 从法线量起，而不是从平面量起。若线圈平面与磁场成 30°，则 $\theta =60^{\circ }$，因此按动画中的数据 $\Phi =BA\cos 60^{\circ }=0.10\mathrm{mWb}$，而不是 0.17 mWb。
• 不要漏掉因子 $N$，并用 $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ 换算单位。漏掉 $N$ 会把动画中 20 mV 的平均值变成 0.1 mV；把 10 cm² 当作 $10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ 则会得到 200 mV。
• 电动势不等于电流。开路线圈的两端有完整的电动势，但没有电流，因此不受任何制动作用。

应用实例

世界上的大部分电力来自发电机：磁铁掠过线圈，产生 50 或 60 Hz 的交流电。变压器通过感应改变电压；无线手机充电器以约 100–200 kHz 的频率跨越间隙传递能量；电磁炉通过涡流加热锅具；吉他拾音器和金属探测器则能感知运动或隐藏的金属。一些列车利用涡流制动，电动汽车则通过让电机充当发电机来回收能量。

这些机器是“电动机、发电机与变压器”的主题。法拉第定律也是光的机制的一半：变化的磁场与电场相互激发，并一同传播，形成“电磁波”。

高级

电动势与磁通量的精确定义

法拉第定律把两个量联系起来：沿回路的电动势，以及穿过回路的磁通量。因此在陈述定律之前，两者都需要精确的定义。沿闭合路径 $C$ 以小步长 $d\vec{l}$ 走完一圈。路径的电动势 $\epsilon$ 是在这一圈中，推动电荷前进的作用力对单位电荷所做的功。若电荷 $q$ 受到力 $\vec{F}$，则
$\epsilon =\oint (\vec{F}/q)\cdot d\vec{l}$
电动势不同于电势差。静止电荷的电场在电荷绕闭合回路一周后不做净功，因为电荷回到了出发时的电势：该电场的环流为零。因此，只要闭合路径上存在电动势，就一定有另一种推动力在起作用，而本课要讨论的正是这种推动力的来源。

图例

$C$	闭合路径，即电路，沿小步长绕行。
$S$	以 $C$ 为边界的曲面；每一个这样的曲面都携带相同的磁通量。
$d\vec{l}$	沿 $C$ 的一小步，方向由箭头表示。	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	$S$ 的一个小面元，作为矢量：长度为面元面积，垂直于面元，其一侧由右手定则选定。	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{B}$	面元处的磁场。	$\mathrm{T}$
$\theta$	$\vec{B}$ 与 $d\vec{A}$ 之间的夹角。	$\mathrm{rad}$

图 1 给出了几何关系。$C$ 上的箭头表示路径的绕行方向，图中画出了一小段 $d\vec{l}$。为了测量磁通量，我们需要一个以 $C$ 为边界的曲面 $S$；图中使用的是平面。把 $S$ 切成许多小面元，每个面元用矢量 $d\vec{A}$ 描述：其长度为面元的面积，方向垂直于面元。面元有两侧，右手定则选定其中一侧：右手四指沿 $d\vec{l}$ 弯曲，拇指所指即为 $d\vec{A}$ 的方向。这一规则把磁通量的正负与电动势的计数方向联系起来。

现在看面元本身。该处的磁场 $\vec{B}$ 与 $d\vec{A}$ 成夹角 $\theta$，因此只有其分量 $B\cos \theta$ 穿过面元，面元贡献的磁通量为 $BdA\cos \theta =\vec{B}\cdot d\vec{A}$。把所有面元相加，即得穿过 $C$ 的磁通量：
$\Phi =\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
为什么曲面的选择无关紧要？因为 $\nabla \cdot \vec{B}=0$：磁感线既不会起始也不会终止，因此每一条穿过平面的磁感线，也必然穿过立在同一边界上的一个圆顶。以 $C$ 为边界的每个曲面都携带相同的磁通量，所以 $\Phi$ 属于路径本身。

两个量都定义之后，法拉第定律指出：电动势等于磁通量变化率的负值。对于静止的路径，唯一的推动力是电场，定律写作
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
匝数为 $N$ 的线圈相当于 $N$ 条串联的这种路径，每一匝都穿过相同的磁通量，因此其电动势为
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}$
负号即楞次定律。正的电动势沿 $d\vec{l}$ 驱动电流，由右手定则，该电流产生的磁场沿 $d\vec{A}$ 穿过 $S$，从而增加正磁通量。因此，上升的磁通量产生负的电动势，其电流削弱磁通量，从而阻碍上升。

斯托克斯定理把 $\vec{E}$ 沿 $C$ 的环流化为 $\nabla \times \vec{E}$ 穿过 $S$ 的通量。由于该定律对每一个回路（无论多小）都成立，它也逐点成立：
$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$
变化的磁场周围存在涡旋状的电场，无论是否有导线去感受它。

运动电动势：稳定磁场中运动的回路

回路的磁通量可以因两种截然不同的原因而改变：回路在一个不变的场中运动，或者场在变化而回路保持不动。法拉第定律用同一个公式涵盖两者，但其背后的物理不同。先看运动回路，因为在那里，这个定律可由你已经熟知的力直接推出。

图例

$\vec{B}$	磁场，垂直纸面向里（叉号）。	$\mathrm{T}$
$\vec{v}$	导体棒的速度，向右。	$m/s$
$L$	导轨之间导体棒的长度。	$\mathrm{m}$
$\vec{v}dt$	时间 $dt$ 内导体棒移动的距离。	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	导体棒的一个小元段，指向回路的绕行方向：顺时针，即沿棒向下。	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	元段 $d\vec{l}$ 在时间 $dt$ 内扫过的狭条，以面积矢量 $\vec{v}dt\times d\vec{l}$ 表示；指向纸面内。	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	磁力 $q\vec{v}\times \vec{B}$ 作用于随棒运动的正电荷 $q$；它沿棒向上。	$\mathrm{N}$

图 2 展示了最简单的运动回路。长度为 $L$ 的导体棒横跨两根导轨，导轨左端相连，棒以速度 $\vec{v}$ 向右滑动。磁场 $\vec{B}$ 处处垂直纸面向里（叉号）。棒中的电荷随棒一起运动，因此每个电荷都受到磁力 $q\vec{v}\times \vec{B}$；对于正电荷，这就是力 $\vec{F}$，它沿棒向上。电动势就是这个磁力沿回路对单位电荷所做的功：
$\epsilon =\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
只有棒在运动，因此只有棒有贡献。沿棒方向，$\vec{v}\times \vec{B}$ 的大小为 $vB$，方向沿棒，因此电动势的大小为 $BLv$。

现在把它与磁通量联系起来。在短暂的时间 $dt$ 内，元段 $d\vec{l}$ 移动了 $\vec{v}dt$，扫过一条阴影狭条，其面积矢量为 $d\vec{A}=\vec{v}dt\times d\vec{l}$；整根棒扫过的面积为 $Lvdt$。由于 $\nabla \cdot \vec{B}=0$，回路中磁通量的增加恰好等于这些扫过狭条的磁通量。两边除以 $dt$：
$\frac{d\Phi }{dt}=\oint \vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=-\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
第二步用到了三重积的轮换性质 $\vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=d\vec{l}\cdot (\vec{B}\times \vec{v})$，以及 $\vec{B}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{B}$。右边等于电动势的负值，因此 $\epsilon =-d\Phi /dt$。对于在固定磁场中运动的回路，磁通量法则并非新的定律，而是运动电荷所受磁力的结果。

图 2 中的符号与此一致。元段 $d\vec{l}$ 沿棒向下，即回路绕行的方向（顺时针）。依右手定则，$d\vec{A}$ 则指向纸面内，即 $\vec{B}$ 的方向，因此磁通量为正且在增加。力 $\vec{F}$ 沿棒向上，与 $d\vec{l}$ 相反，因此电动势为负：磁通量上升而电动势为负，符合楞次定律的要求。

变化的磁场：感生电场

现在让回路保持不动，改为变化磁场，例如移动磁铁而非线圈。静止的电荷不受磁力，因此磁力不可能是推动力。推动来自一种全新的电场，其旋度不为零：$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$。磁力定律中并无此项的预言。它是一条独立的自然规律，由实验发现。

然而两种机制给出的电动势总是相同，因此只有磁铁与线圈的相对运动才重要。爱因斯坦1905年的相对论论文正是以这个例子开篇。在磁铁参考系中，线圈中的电荷在运动，并受到力 $q\vec{v}\times \vec{B}$；在线圈参考系中，电荷静止，受到的则是 $q\vec{E}$。相对论表明，这是同一个场在两个参考系中的不同表现：它如何分解为电场与磁场部分，取决于观察者。

电动势脉冲：其高度与面积

当动画中的磁铁被推入线圈时，电动势表现为单个脉冲。脉冲的两个特征蕴含着物理内容：其高度由磁通量变化的快慢决定，其面积由磁通量的总变化量决定。

图例

$t$	时间。	$\mathrm{s}$
$\Phi$	线圈一匝的磁通量。	$\mathrm{Wb}$
${\Phi }_{\max }$	磁铁静止于线圈内后达到的最大磁通量。	$\mathrm{Wb}$
$\Delta \Phi$	推入过程中磁通量的总上升量。	$\mathrm{Wb}$
$dt$	一段短时间间隔：斜率三角形的水平直角边。	$\mathrm{s}$
$d\Phi$	沿切线在 $dt$ 内 $\Phi$ 的变化量：竖直直角边。	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	整个 $N$ 匝线圈中感应的电动势。	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_{\max }$	脉冲的深度，即 $\Phi$ 最陡点下方的值；此处电动势本身为负。	$\mathrm{V}$
$N\Delta \Phi$	脉冲下方阴影面积的大小：$N$ 匝乘以上升量 $\Delta \Phi$。	$\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$

图 3 依据与动画相同的模型绘制。上方图像是磁铁被推入时，一匝线圈的磁通量 $\Phi (t)$：它上升了 $\Delta \Phi$，达到 ${\Phi }_{\max }$，然后保持平坦。下方图像是电动势 $\epsilon (t)$，由法拉第定律，它是上方图像斜率的 $-N$ 倍。看磁通量曲线上的圆点：那里切线最陡，其斜率三角形的两条直角边分别为 $dt$ 和 $d\Phi$。沿虚线竖直向下，电动势位于其脉冲的最低点，其深度为 ${\epsilon }_{\max }$。当 $\Phi$ 平坦时（磁铁到达之前，以及磁铁静止于线圈内之后），电动势为零，无论磁通量多大。

先看高度。在模型中，穿过一匝线圈的磁通量与磁铁和线圈中心之间的距离 $s$ 的关系为
$\Phi (s)={\Phi }_{\max }[1+(s/a{)}^2{]}^{-3/2}$
其中 ${\Phi }_{\max }=0.20\mathrm{mWb}$，$a=30\mathrm{mm}$。磁通量只通过 $s$ 依赖于时间，因此链式法则把电动势分解为两个因子：一个由场的形状决定，另一个由速度决定：
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{ds}\frac{ds}{dt}$
斜率 $d\Phi /ds$ 正比于 $(s/a)[1+(s/a{)}^2{]}^{-5/2}$。令其导数为零得 $1+(s/a{)}^2=5(s/a{)}^2$，因此斜率在 $s=\pm a/2$ 处最陡，其大小为 $0.86{\Phi }_{\max }/a$。磁铁进入时以稳定的 78 mm/s 运动，并在 $t\approx 2.2\mathrm{s}$ 时经过 $s=-15\mathrm{mm}$。因此脉冲深度为
${\epsilon }_{\max }=200\cdot 0.86\cdot (0.20\times 10^{-3}/0.030)\cdot 0.078\approx 0.089\mathrm{V}$
即图中 $-89\mathrm{mV}$ 的低谷。脉冲很尖锐：在 2 s 的推入过程中，它深于此值一半的时间仅有 0.37 s。

现在看面积。对整个脉冲积分法拉第定律，得
$\int \epsilon dt=-N\int d\Phi =-N\Delta \Phi$
面积只取决于磁通量的总变化，而与变化的快慢无关。这里磁通量从 0.0025 mWb（磁铁距离 125 mm 时）上升到 0.20 mWb，因此面积为 $-200\cdot (0.20-0.0025)\mathrm{mWb}\approx -39.5\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$（一伏秒即一韦伯）。将磁铁拉出时产生的脉冲面积相同，符号相反。推入速度快一倍，脉冲的高度就加倍，宽度减半，而面积不变。

这一面积有实际用途。通过电阻为 $R$ 的电路的电荷为 $Q=\int \epsilon dt/R$，因此 $Q=N|\Delta \Phi |/R$：在 20 Ω 电阻下，每个脉冲约为 2.0 mC。即使线圈自身的电感起作用，这一结论依然精确，因为脉冲前后电流都为零，所以感应电动势的积分为零。因此，连接到电荷计的探测线圈，无论移动它的手有多快，都能测量磁场。

旋转线圈：发电机

发电机通过转动来改变磁通量：线圈在固定的磁场中匀速转动。设线圈在均匀磁场 $B$ 中以角速度 $\omega$ 转动，使图 1 中 $\vec{B}$ 与线圈面积矢量之间的夹角 $\theta$ 按 $\theta =\omega t$ 增大。面积为 $A$ 的每一匝线圈此时携带 $\Phi =BA\cos \omega t$，由法拉第定律得
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=NBA\omega \sin \omega t$
当线圈正对磁场、磁通量最大时，电动势为零，因为余弦函数在其峰值处是平的。四分之一圈之后，线圈与磁场平行、磁通量经过零点且变化最快，此时电动势最大。磁通量与电动势相差四分之一周期，就像简谐运动中的位置与速度一样。

让动画中的线圈（$N=200$，$A=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$）在 0.20 T 的磁场中每秒转 50 圈，即 $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314rad/s$。峰值电动势为
$NBA\omega =200\cdot 0.20\cdot 1.0\times 10^{-3}\cdot 314\approx 12.6\mathrm{V}$
定律的平均形式可以验证这一结果。在每半圈中，磁通量从 $+0.20$ 变为 $-0.20\mathrm{mWb}$，耗时 0.010 s，因此电动势的平均值为 $200\cdot 0.40\times 10^{-3}/0.010=8.0\mathrm{V}$。这正是峰值的 $2/\pi$，即半个正弦波的平均值，与预期相符。峰值是手推磁铁所得 89 mV 的 140 倍，原因有二：磁通量现在完全反向，而不只是出现；并且每秒反向一百次。

感应电流反推

一旦感应电动势驱动电流，该电流便处于磁场之中，并受到力的作用。依楞次定律，这个力总是阻碍引起它的运动，因此电磁感应起着制动作用。导轨上的导体棒可以对此作定量分析。

推动导体棒后松手。在速度 $v$ 时，电动势 $BLv$ 驱动经过电路电阻 $R$ 的电流 $I=BLv/R$，而磁场以 $BIL=B^2{L}^{2}v/R$ 的力反推导体棒。对质量为 $m$ 的导体棒，牛顿第二定律为
$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v$
阻力与速度成正比，因此速度按指数衰减，$v=v_0{e}^{-t/\tau }$，时间常数 $\tau =mR/(B^2{L}^2)$。取中级例题中的导轨，$B=0.40\mathrm{T}$，$L=0.25\mathrm{m}$，$R=0.50\Omega$，导体棒质量为 20 g：$\tau =0.020\cdot 0.50/(0.40^2\cdot 0.25^2)=1.0\mathrm{s}$。以 2.0 m/s 发射后，导体棒滑行的距离为 $v_0\tau =2.0\mathrm{m}$（即 $v$ 对全部时间的积分），其 0.040 J 的动能全部以热量的形式进入电阻。

在实心金属中没有导线来引导电流：感应电场在金属内部沿闭合回路驱动涡流。涡流加热电磁炉中的锅具，使列车无磨损地制动，也使磁铁沿铜管缓慢下落。变压器铁芯由称为叠片的薄绝缘片构成，它们切断这些环路，从而降低损耗。线圈也会阻碍自身电流的变化，因为该电流的磁通量穿过线圈本身。这种自感现象正是切断大线圈的电流时会产生火花的原因。

例题：磁铁穿过线圈下落

让动画中的磁铁从静止开始竖直下落，轴线竖直，其中心位于线圈中心上方 20 cm 处，使其径直穿过线圈。先让线圈断开：没有电流流过，因此没有任何东西制动下落。进入与离开的脉冲相比如何？然后将线圈通过 20 Ω 闭合：这会增加多少制动？

峰值高度。每个脉冲在 $d\Phi /ds$ 的斜率最陡处最深，即 $s=\pm 15\mathrm{mm}$ 处，因此
$|{\epsilon }_{\max }|\approx N\cdot 0.86({\Phi }_{\max }/a)v=200\cdot 0.86\cdot (0.20\times 10^{-3}/0.030)v\approx 1.15v$
其中 $v$ 以 m/s 计，电动势以伏特计。磁铁中心下落 0.185 m 后到达 $s=-15\mathrm{mm}$，此时 $v=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 0.185}\approx 1.91m/s$；下落 0.215 m 后到达 $s=+15\mathrm{mm}$，速度约为 2.05 m/s。因此进入脉冲的峰值约为 $-2.2\mathrm{V}$，离开脉冲的峰值约为 $+2.35\mathrm{V}$，两者仅相隔 15 ms。

宽度。每个脉冲的面积为 $N{\Phi }_{\max }\approx 40\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$，因为磁通量先从几乎为零升至 ${\Phi }_{\max }$，然后再落回。面积相等时，较高的离开脉冲必定较窄：面积除以高度，进入脉冲约为 18 ms，离开脉冲约为 17 ms。两个脉冲都比动画中的高约 25 倍、窄约 25 倍，正是速度之比。

制动。现在将线圈通过 20 Ω 闭合。转化为热量的功率为 ${\epsilon }^2/R$，其在两个脉冲上的积分 $\int {\epsilon }^{2}dt/R$ 经数值计算约为 5.8 mJ。质量为 50 g 的磁铁到达时具有 $mgh=0.050\cdot 9.81\cdot 0.20\approx 0.098\mathrm{J}$ 的动能，因此它损失约 6% 的能量。其速度与能量的平方根成正比，所以速度只降低约 3%：第一部分中忽略制动是合理的。在铜管中，电阻极小，电流很大，制动足以使磁铁保持缓慢的终端速度。

有效性的限制：磁通量法则何时失效

当电流的路径随载流材料一起运动时，磁通量法则成立，正如导轨上的导体棒。旋转圆盘则展示了在路径不随材料运动时会出现什么问题，以及应改用什么。

图例

$\vec{B}$	沿轴线方向的磁场，垂直纸面向外（圆点）。	$\mathrm{T}$
$\omega$	圆盘的角速度。	$rad/s$
$r$	圆盘半径：轴到边缘的距离。	$\mathrm{m}$
$d\rho$	半径上的一小段，距轴 $\rho$ 处。	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	半径上某点处金属的速度，大小为 $\omega \rho$：与离轴距离成正比增长。	$m/s$
$\vec{F}$	金属中正电荷所受的磁力 $q\vec{v}\times \vec{B}$：沿半径，背离轴。	$\mathrm{N}$
$\epsilon$	电刷之间的电动势，由电表读出。	$\mathrm{V}$

图 4 展示一个半径为 $r$ 的铜盘，以角速度 $\omega$ 在沿其轴线方向的磁场 $\vec{B}$ 中转动，磁场垂直纸面向外（圆点）。一个电刷接触轴，另一个接触边缘，导线从两者引出至电表，电表读数为电动势 $\epsilon$。电流经过导线、电表以及两电刷之间的一条半径。盘转动时，该路径保持不动，因此穿过它的磁通量从不改变，磁通量法则预言电动势为零。然而电表读数不为零。

力的定律解释了这一读数。圆盘的金属在运动，因此其中的电荷受到 $q\vec{v}\times \vec{B}$ 的作用。在距轴 $\rho$ 处，金属以速度 $\omega \rho$ 运动，因此在图 4 中，沿半径的箭头 $\vec{v}$ 与 $\rho$ 成正比增长，其箭头末端位于一条穿过圆心的直虚线上。正电荷所受的力 $\vec{F}$ 沿半径方向，背离轴（图中画在左侧半径上）。因此半径上的一小段 $d\rho$ 给电动势增加 $B\omega \rho d\rho$，从轴到边缘的总和即为该直线之下的面积，一个三角形：
$\epsilon ={\int }_0^{r}B\omega \rho d\rho =\frac{1}{2}B\omega r^2$
对于半径为 10 cm、在 0.50 T 中每秒转 50 圈的圆盘，这一值为 0.79 V。永不失效的规则是力的定律本身，即沿电荷实际路径对单位电荷受力进行积分：
$\epsilon =\oint (\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$

电路图景也有其自身的局限。它假设电动势在整个回路中同时出现，这要求电路远小于变化场的波长 $c/f$：在 50 Hz 时为 6000 km，但在 1 GHz 时只有 30 cm，此时导线开始像天线一样辐射。我们还忽略了线圈自身的磁场。对于动画中长度为 $\ell =60\mathrm{mm}$ 的线圈，用长螺线管近似估算其电感 ${\mu }_0{N}^{2}A/\ell$，结果小于 1 mH；与 20 Ω 配合，时间常数约为 40 µs：相对于 0.4 s 的脉冲可以忽略，但在高频下则占主导。

$\vec{E}$ 与 $\vec{v}\times \vec{B}$ 之间推动力的分配取决于参考系。在低速下，以速度 $\vec{v}$ 运动的参考系所见的电场为 ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}$；在动画中的 78 mm/s 速度下，这一规则的偏差仅约为 $(v/c{)}^2\approx 7\times 10^{-20}$。

另一个极端是超导环。在电阻为零的回路中，总电动势必须为零，否则电流会无限增长，因此穿过圆环的磁通量（包括其自身电流的磁通量）根本不能改变。这一磁通量还只能取磁通量子 $h/2e\approx 2.07\times 10^{-15}\mathrm{Wb}$ 的整数倍。线圈的 0.20 mWb 约为 $10^{11}$ 个量子；超导量子干涉仪（SQUID）能分辨一个量子的一小部分，足以记录大脑的磁场。

延伸与联系

《运动电荷受到的磁场力》提供了本课中 $\vec{v}\times \vec{B}$ 的那一半。《电动机、发电机与变压器》把这一定律付诸应用：变压器是两个共享同一变化磁通量的线圈，而电动机就是倒转运行的发电机，带有楞次定律所预言的反电动势。《家庭中的电功率与电能》把这些能量送到插座，而涡流制动则在《阻尼与共振》中以线性阻尼器的形式重新出现。

再加入麦克斯韦的修正，即变化的电场同样产生磁场，两个场便在真空中相互再生，以 $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ 的速度传播：这便是《电磁波》的主题。而且由于只有磁铁与线圈的相对运动才重要，这条道路还将引向《狭义相对论》。