家庭中的电功率与电能

入门

每个电器都有一个以瓦特（W）为单位的额定功率。功率表示电器消耗能量的快慢：一瓦特即每秒一焦耳。LED 灯约消耗 10 W，电视机约 100 W，水壶约 2000 W，即 2 千瓦（kW）。

第 1 步：能量 = 功率 × 时间。这种能量以千瓦时（kWh）计：1 千瓦时是 1 kW 的电器工作一小时所用的能量，也就是 2 kW 的水壶工作半小时，或 10 W 的 LED 灯工作 100 小时所用的能量。

第 2 步：电费。电表累加千瓦时数，你为能量付费，而不是为功率付费：千瓦时数乘以每千瓦时的价格。一台 2 kW 的电暖器开 3 小时，耗电 $2\times 3=6\mathrm{kWh}$；每千瓦时 €0.20，需付 €1.20。

第 3 步：电流与安全。每接通一个电器，同一根电源导线中的电流就增大，而电流会使导线发热。如果一个电路上同时使用太多大功率电器，导线可能过热，因此保险丝（一根会熔断的细导线）或断路器（会跳开的开关）会先切断电源。

动画中，灯、水壶和电暖器依次接通。每接通一个，红色电流条就升高，电表的转盘转得更快。电暖器与水壶同时工作时，电流条越过限值线，断路器跳闸。

第 4 步：效率。旧式白炽灯把大部分能量转化为热；LED 灯发出同样的光，功率只需约六分之一。

自我检测：一盏 100 W 的灯开 10 小时，与一只 2000 W 的水壶开 15 分钟，哪个耗电更多？（答案：灯，1 kWh 对 0.5 kWh。）

中级

功率：每秒的能量

功率是能量转移的快慢，$P=E/t$，单位为瓦特：$1\mathrm{W}=1J/s$。2000 W 的水壶每秒从电网取走 2000 焦耳，10 W 的 LED 灯只取走 10 焦耳。

电器两端的电压 $V$ 是每库仑电荷通过该电器时放出的能量，$1\mathrm{V}=1J/C$；电流 $I$ 是每秒通过的电荷量，$1\mathrm{A}=1C/s$。二者的乘积就是每秒的焦耳数：
$P=VI$

欧姆定律 $V=IR$（见《直流电路与欧姆定律》）还可以给出另外两种形式：
$P=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$

市电的电压是固定的，所以由 $V^2/R$ 可知，电阻越小，功率越大：水壶的加热元件电阻仅为 $230^2/2000\approx 26\Omega$，而一盏发热的 100 W 灯丝电阻为 529 Ω。在电流固定的情况下，$I^{2}R$ 表明电阻越大，发热越多，这也是供电电缆要做得粗的原因。

市电上的并联电器

每个插座都接在同样的两根导线（火线与零线）之间，因此家用电器是并联的。无论其他电器是否工作，每个电器都获得完整的市电电压（欧洲为 230 V，北美为 120 V），各支路电流在供电电缆中相加：
$I=\frac{P_1+P_2+\dots }{V}$

因此，由 $I_{\max }$ 保护的电路最多只能供应 $V{I}_{\max }$：在 230 V 下 10 A 为 2300 W，16 A 为 3680 W。这就是厨房通常要有多条电路的原因。

能量、千瓦时与效率

电器消耗的能量等于其功率乘以运行时间：
$E=Pt$
$P$ 以瓦特、$t$ 以秒为单位时，结果为焦耳；供电公司使用较大的单位千瓦时，即 1 kW 工作一小时所消耗的能量：
$1\mathrm{kWh}=3.6\mathrm{MJ}$
因为 $1000\mathrm{W}\cdot 3600\mathrm{s}=3.6\times 10^6\mathrm{J}$。电表累加千瓦时数，你为这些能量付费，而不是为功率付费：2000 W 的水壶用 6 分钟，与 10 W 的 LED 灯开 20 小时，都消耗 0.2 kWh。

效率比较有用输出与输入：
$\eta =\frac{P_{\mathrm{useful}}}{P_{\mathrm{in}}}$
水壶把 80% 到 90% 的能量传给水，白炽灯只有约 5% 转化为可见光，这就是 LED 灯只需约六分之一的功率即可获得同样光亮的原因。

例题：动画中的电路

动画中 230 V 的电路由 10 A 的断路器保护。100 W 的灯取 $100/230=0.43\mathrm{A}$，2000 W 的水壶取 $2000/230=8.70\mathrm{A}$，因此两者合计
$I=\frac{100+2000}{230}=9.13\mathrm{A}$
略低于限值，还剩 $2300-2100=200\mathrm{W}$ 的余量。随后 2000 W 的电暖器使电流增至
$I=\frac{100+2000+2000}{230}=17.83\mathrm{A}$
几乎是额定值的两倍。

这些是 $I$ 读数上的值，而 $P$ 读数依次跳到 100、2100 和 4100 W，供电导线上的红色箭头 $I$ 也随之变长；支路标签显示 0.43、8.70 和 8.70 A。电流条中的红柱在接上水壶时仍低于 10 A 线，接上电暖器后则冲过该线。1.2 秒后断路器跳闸：$P$ 和 $I$ 降为零，$E$ 停止增长。

动画中 1 秒代表 1 分钟，到那时灯已运行 5.5 分钟，水壶 3.5 分钟，电暖器 1.2 分钟，因此以瓦时计
$E=\frac{100\cdot 5.5+2000\cdot 3.5+2000\cdot 1.2}{60}\mathrm{Wh}=165.8\mathrm{Wh}$
即 $E$ 读数中的 0.166 kWh（电表窗口中为 166 Wh）。按每千瓦时 €0.25 计，约花费 4 欧分。

例题：接在延长线盘上的电暖器

一台 1500 W 的暖风机接在一个 25 m 的延长线盘上，该线盘使用 1.0 mm² 的铜导线。其电流 $1500/230=6.52\mathrm{A}$ 经过往返共 50 m 的铜导线，铜的电阻率为 $1.7\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$。由《电流与电阻》一课中的 $R=\rho L/A$，
$R_c=\frac{\rho L}{A}=\frac{1.7\times 10^{-8}\cdot 50}{1.0\times 10^{-6}}=0.85\Omega$
$P_c=I^2{R}_c=6.52^2\cdot 0.85\approx 36\mathrm{W}$

沿展开的电缆分布时，36 W 无害；但缠在卷筒上时，同样的热量（约相当于一把小型烙铁的发热量）无法散出，可能使绝缘层过热，因此缠绕式线盘的额定功率较低。线盘还会降低电压 $I{R}_c\approx 5.5\mathrm{V}$：由 $P=V^2/R$，电压降低 2.4%，功率约减少 5%，只剩约 1430 W。

满负荷下，每晚使用 4 小时、连用 30 天，耗电 $E=1.5\cdot 4\cdot 30=180\mathrm{kWh}$，按每千瓦时 €0.25 计为 €45；经线盘后电表显示约 176 kWh，其中 4 kWh 在线盘上释放。

保险丝、断路器与电流条

导线的额定电流是指其焦耳热 $I^{2}R$ 仍能保证绝缘安全的最大电流，对 PVC 而言约为 70 °C。火线上的保险丝（会熔断的细导线）或断路器（可复位的开关）在电流超过额定值时切断电路：它保护的是导线，而不是电器。

发热与电流的平方成正比，因此中等程度的过载只有持续时才有危险，而短路则立即危险。断路器中的双金属片随导线一样受热，经过几秒到几分钟后跳闸；当短路使电流达到数百安培时，其电磁铁会在约 10 ms 内动作。

在动画中，红色条表示流过断路器的电流，线条表示其 10 A 的额定值：低于该值时，导线可以长时间运行。接上电暖器后达到 17.8 A，属于过载，所以断路器要等待 1.2 秒（相当于 1.2 分钟）后才断开。

常见错误

• 电器并不会消耗电流：经火线进入水壶的 8.70 A 电流，从零线流回。被消耗的是能量，即每秒 2000 焦耳。
• 千瓦时不是“每小时千瓦”，而是功率乘以时间，即 3.6 MJ 的能量：3 kW 的电暖器工作 20 分钟消耗 1 kWh。
• 并联接入更多电器时，总电阻不会增大，而是减小：灯单独工作为 529 Ω，加上水壶为 25.2 Ω，三个全部接入为 12.9 Ω，所以电流不断增大。
• 电阻大并不总是发热多：在电压固定时，$P=V^2/R$ 使 26 Ω 的水壶加热元件功率为 2000 W，而 529 Ω 的灯丝功率为 100 W。只有在电流相等的情况下，如串联时，$I^{2}R$ 才使较大的电阻发热更多。
• 保险丝越大并不越安全：一根额定 10 A 的电缆若配 30 A 的保险丝，可能承载其额定电流的三倍，发热速度为 $3^2=9$ 倍，而保险丝不会熔断。

应用实例

每一张电费账单都与本课有关。平均功率 40 W 的冰箱每年耗电约 350 kWh；待机功率为 1 W 的设备一年仍耗电 8.76 kWh；一辆电动汽车 60 kWh 的电池，用 7.4 kW 的家用充电桩约需 8 小时充满；一座 1 GW 的发电厂相当于约五十万只水壶同时烧开水。

每根电流周围的磁场（它能使断路器跳闸）是《磁体与电流的磁场》一课的内容。《电动机、发电机与变压器》一课解释了为何输电线路要以数百千伏运行，以减少 $I^{2}R$ 损耗；《半导体、二极管与发光二极管》一课则解释了 LED 为何优于灯丝灯。

高级

作为移动电荷所做功的功率

每个电器都标有以瓦特为单位的功率，本课的全部内容都建立在一个公式之上：$P=VI$。本节从电场对通过某元件的电荷所做的功出发推导这一公式，由此可以看出它对每一种器件都成立。

图例

$I$	从电势较高的一端流入的电流。	$\mathrm{A}$
$dq$	在短时间 $dt$ 内穿过导体某一截面的电荷：$dq=Idt$。	$\mathrm{C}$
$\vec{E}$	导体内部的电场，沿电流方向；其大小为 $V/L$。	$V/m$
$L$	导体的长度。	$\mathrm{m}$
$V_a$	电流流入一端的电势。	$\mathrm{V}$
$V_b$	电流流出一端的电势。	$\mathrm{V}$
$V$	沿导体的电势降，$V=V_a-V_b$。	$\mathrm{V}$

图 1 展示了最简单的元件：长度为 $L$ 的均匀导体。电流 $I$ 从左端流入，该处电势为 $V_a$，从右端流出，该处电势为 $V_b$。导体下方，在同一水平刻度上，电势被画成高度。看那条斜线：电势从 $V_a$ 均匀下降到 $V_b$，总降落为 $V=V_a-V_b$。内部电场 $\vec{E}$ 沿该斜坡向下，即与电流方向一致；由于下降是均匀的，它的大小处处相同：$E=V/L$。

现在看阴影的薄片 $dq$。它是在短时间 $dt$ 内穿过导体某一横截面的电荷。电流是单位时间的电荷量，因此 $dq=Idt$。在这段时间里，电荷 $dq$ 从左端进入，同样多的电荷从右端离开，因为电荷不会在导体内堆积。其净效果与薄片 $dq$ 从电势 $V_a$ 整段搬运到电势 $V_b$ 相同。

电势差就是单位电荷的功：当电荷 $q$ 通过降落 $V$ 时，电场对它做功 $qV$。因此在时间 $dt$ 内电场做功 $dW=Vdq=VIdt$，而功率即单位时间的功，为
$P=\frac{dW}{dt}=V\frac{dq}{dt}=VI$

论证中只用到了两端的电势。在非直导线的元件内部，电势可能不均匀下降，甚至在某些地方上升，但把电荷从一个端子搬到另一个端子所做的功仍只取决于两端的数值。能量的去向也不影响这一结论：电动机把它转化为机械功，充电的电池转化为化学能，LED 则部分转化为光。

符号需要约定。取 $V$ 为电流流入处的电势减去流出处的电势。于是 $P=VI>0$ 表示该元件从电路吸收能量。电源从其正极输出电流，因此电流以较低的电势流入电源，$V$ 为负，$P<0$：电源向电路输送能量。

在电阻中，所有的功都转化为热。两端的电流相同，因此电荷流出的速率与流入的速率相等，整体上不获得动能。电场传给它们的能量通过碰撞传给金属中振动的原子。

同样的结果也可以在金属内部逐点求得。设单位体积中有 $n$ 个载流子，每个电荷为 $q$，漂移速度为 $\vec{v}$。电场以力 $q\vec{E}$ 推动每个载流子，因此电场对它做功的速率为 $q\vec{E}\cdot \vec{v}$。单位体积上的功率为 $nq\vec{v}\cdot \vec{E}$，而 $nq\vec{v}$ 就是电流密度 $\vec{j}$，即单位横截面积上的电流。因此单位体积释放的功率为 $\vec{j}\cdot \vec{E}$。欧姆定律的微分形式 $\vec{j}=\sigma \vec{E}$（其中 $\sigma$ 为材料的电导率）把它化为 $j^2/\sigma$。长为 $L$、截面积为 $A$ 的导线中电流密度为 $j=I/A$，体积为 $AL$，电阻为 $R=L/(\sigma A)$，所以
$P=\frac{j^2}{\sigma }AL=I^2\frac{L}{\sigma A}=I^{2}R$

利用 $V=IR$，还可得到 $P=V^2/R$，这是电压固定时（如插座处）最方便的形式。

能量究竟在哪里流动

水壶从插座取用 2000 W。人们自然会设想这能量在铜导线内部，随电子一起传送。事实并非如此，看清能量真正流动的地方，有助于把场的概念具体化。电子的速度太慢，无法传送这些能量。铜中每立方米约有 $n=8.5\times 10^{28}$ 个自由电子，每个电荷量为 $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$，因此水壶的 8.70 A 电流在 1.5 mm² 的导线中只需要 $v=I/(neA)\approx 0.43mm/s$ 的漂移速度。对于交流电，电流每秒换向 100 次，电子只是前后晃动约 2 µm。然而，开关一闭合，发热元件便开始变热。能量是在导线周围的电场和磁场中传播的。

图例

$I$	沿轴线的电流；在端视图中，它朝向你（圆点）。	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	沿轴线的电场，在金属内部及其外侧紧邻处的大小为 $V/L$。	$V/m$
$L$	圆柱的长度。	$\mathrm{m}$
$a$	圆柱的半径。	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	电流的磁场，环绕圆柱；在表面其大小为 $I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$。	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	场的能流密度，即单位面积的功率：它从外侧指向电阻内部。	$W/{\mathrm{m}}^2$

图 2 将水壶的加热元件模拟为半径为 $a$、长为 $L$ 的圆柱形电阻，左侧为侧视图，右侧为端视图。图中画出三种场。第一种是电场 $\vec{E}$，沿轴线方向，与它驱动的电流 $I$ 同向。其内部大小为 $V/L$。电场中平行于表面的部分在表面两侧是相同的，因此金属外侧紧邻处沿轴线也有大小为 $V/L$ 的电场。

第二种是电流的磁场 $\vec{B}$，它环绕圆柱。在端视图中，电流朝向你（圆点），$\vec{B}$ 呈逆时针方向：右手拇指指向电流方向，四指弯曲的方向即 $\vec{B}$ 的方向。它在表面的大小由安培定律 $B\cdot 2\pi a=I/({\epsilon }_0{c}^2)$ 给出，因此 $B=I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$。（这里 ${\epsilon }_0{c}^2=1/{\mu }_0$，所以它就是熟悉的 $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$。）

第三种是能流密度 $\vec{S}$，即单位面积上穿过的功率，单位为瓦每平方米。只要电场与磁场同时存在，能量就以坡印廷矢量所描述的速率流动，该矢量以约翰·亨利·坡印廷的名字命名：
$\vec{S}={\epsilon }_0{c}^2\vec{E}\times \vec{B}$

它的方向由图给出。$\vec{E}$ 沿轴线，$\vec{B}$ 环绕轴线，所以二者互相垂直，它们的叉积与两者都垂直，沿半径方向。右手定则决定向内还是向外。在端视图顶部，$\vec{E}$ 指向你，$\vec{B}$ 指向左方，“指向你”叉乘“指向左”的结果朝下，即指向圆柱内部。四周皆是如此，因此侧面每一点的 $\vec{S}$ 都指向电阻内部，如两个视图中的 $\vec{S}$ 箭头所示。在平坦的端面上，径向的 $\vec{S}$ 沿着端面方向，因此能量不从那里进入。

由于 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 互相垂直，$\vec{S}$ 的大小就是二者大小之积：
$S={\epsilon }_0{c}^2\cdot \frac{V}{L}\cdot \frac{I}{2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a}=\frac{VI}{2\pi aL}$
侧面每一点都相同，侧面积为 $2\pi aL$，因此流入的总功率为 $S\cdot 2\pi aL=VI$：正好是电阻把能量转化为热的速率。

因此，能量是从电阻周围的空间经表面进入电阻的。沿供电电缆，电场跨越火线与零线之间的间隙，磁场环绕每根导线；在那里 $\vec{S}$ 主要平行于导线，穿过绝缘层和导线之间的空气，从插座流向水壶。只有很小的一部分朝内进入铜中，那正是电缆自身的 $I^{2}R$ 损耗。电流换向时，$\vec{E}$ 和 $\vec{B}$ 都反向，而它们的叉积方向保持不变，因此能量总是流向负载。导线是引导能量，而不是承载能量；能量守恒是局域的：任何区域内能量的变化，只等于穿过其表面的流量。

交流电：有效值

市电是交流电：电压和电流时刻在变化。本节说明标签上的 230 V 和 2000 W 究竟意味着什么。

电压是正弦式的，$v=V_0\sin \omega t$，振幅为 $V_0$，欧洲的 $\omega =2\pi \cdot 50{\mathrm{s}}^{-1}$。在电阻中，电流 $i=v/R$ 精确地跟随电压，$i=I_0\sin \omega t$，其中 $I_0=V_0/R$；二者同相。瞬时功率为 $p=vi$，利用 ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$，
$p(t)=V_0{I}_0{\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(1-\cos 2\omega t)$

逐项来看。功率从不为负：它以市电频率的两倍，即 100 Hz，在 0 与 $V_0{I}_0$ 之间脉动。余弦项在每个周期内平均为零，因此平均功率为 $P=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0$。

恒定电流 $I$ 会以 $I^{2}R$ 的速率加热同一电阻。当 $I^2$ 等于 $i^2$ 的平均值，即 $\frac{1}{2}{I}_0^2$（因为 ${\sin }^2$ 的平均值为二分之一）时，二者等效。这个恒定值，即平方的平均值的平方根，就是有效电流 $I_{\mathrm{rms}}=I_0/\sqrt{2}$；有效电压同样为 $V_{\mathrm{rms}}=V_0/\sqrt{2}$。于是 $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$，而且当使用有效值时，所有直流公式 $P=VI=I^{2}R=V^2/R$ 都适用于平均功率。这就是铭牌上给出有效值的原因：有效电流对电阻的加热效果与同样大小的恒定电流完全相同。

对于水壶，标签上的 230 V 是有效值，因此电压峰值为 $230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{V}$。其 8.70 A 的有效电流，峰值为 $8.70\sqrt{2}\approx 12.3\mathrm{A}$，而其功率在 0 与 $V_0{I}_0=4000\mathrm{W}$ 之间摆动，平均为 2000 W。

相位与功率因数

在水壶中，电流与电压同步升降。但在带线圈或电容器的设备中（如电动机和变压器），电流相对于电压有时间上的移位，此时 $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$ 会高估设备实际消耗的功率。图 3 说明如何求得真实功率。

图例

$V_0$	电压的振幅；其箭头为参考方向。	$\mathrm{V}$
$I_0$	电流的振幅。	$\mathrm{A}$
$\phi$	电流滞后于电压的相位角。	$\mathrm{rad}$
$I_0\cos \phi$	与电压同相的电流部分：平均而言是唯一输送功率的部分。	$\mathrm{A}$
$I_0\sin \phi$	比电压滞后四分之一周期的电流部分：其功率平均为零。	$\mathrm{A}$

将电流写为 $i=I_0\sin (\omega t-\phi )$，其中 $\phi$ 为相位角。线圈使电流滞后于电压（$\phi >0$，如图所示）；电容器使其超前（$\phi <0$）；下面的结果对两者都成立。图 3 用箭头表示每个量：箭头长度为其振幅，方向表示其相位。电压箭头 $V_0$ 作为参考，水平画出。电流箭头 $I_0$ 相对它转过角度 $\phi$，顺时针方向，因为电流滞后。两个长度的单位不同，分别是伏特和安培，因此只有两箭头之间的夹角才有意义。

现在将电流箭头分解为两部分，如图所示：沿电压方向的部分 $I_0\cos \phi$，以及与之垂直的部分 $I_0\sin \phi$。用公式表示，就是正弦差的恒等式：
$I_0\sin (\omega t-\phi )=I_0\cos \phi \sin \omega t-I_0\sin \phi \cos \omega t$

第一部分与电压完全同步地升降，其行为与电阻中的电流相同，因此按上一节，它输送的平均功率为 $\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\cos \phi$。第二部分与 $-\cos \omega t$ 成正比，比电压落后四分之一周期。它与 $v=V_0\sin \omega t$ 的乘积为 $-V_0{I}_0\sin \phi \sin \omega t\cos \omega t=-\frac{1}{2}{V}_0{I}_0\sin \phi \sin 2\omega t$。它有一半时间为正，另一半时间为负，因此平均为零。它只是在电源与设备之间来回传递能量：在四分之一周期内，设备将能量储存在线圈的磁场（或电容器的电场）中，在接下来的四分之一周期内再将其归还给电源。

将两个乘积相加，并利用 $\cos \phi \cos 2\omega t+\sin \phi \sin 2\omega t=\cos (2\omega t-\phi )$，得到
$p(t)=\frac{1}{2}{V}_0{I}_0(\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi ))$
在周期的一部分时间里它为负，这时设备正在归还储存的能量。它的平均值即常数部分：
$P=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \phi$

因子 $\cos \phi$ 称为功率因数，而乘积 $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$（单位为伏安，V·A）称为视在功率。一台电动机在 230 V 下取 5.0 A，$\cos \phi =0.8$，其视在功率为 1150 V·A，但只消耗 920 W。若负载的功率因数为 1，则同样的 920 W 只需 4.0 A，然而电缆和断路器仍要承载电动机的全部 5.0 A，并相应地以 $I^{2}R$ 发热。这就是供电公司对功率因数低的工业用户额外收费、工厂要加装电容器以抵消电动机滞后的原因。

能量图像是一个积分

电费计量的是能量，而不是功率。当功率随时间变化时，能量就是功率-时间图像下的面积，即其时间积分；而功率则是能量曲线的斜率：
$E=\int Pdt$

在高级别的动画中，$P(t)$ 是一个阶梯。灯在 0.5 s 时将它升到 100 W，水壶在 2.5 s 时升至 2100 W，电暖器在 4.8 s 时升至 4100 W。虚线标出 $V{I}_{\max }=230\cdot 10=2300\mathrm{W}$，即在断路器额定电流 $I_{\max }=10\mathrm{A}$ 下电路所能提供的最大功率。电暖器的阶跃越过了这条线，断路器在 6.0 s 时跳闸，功率降为零。

$E(t)$ 是阶梯下方的累计面积，动画中 1 s 代表 1 分钟。每一级都增加其高度乘以宽度：到 2.5 s 为止为 $100\mathrm{W}\cdot 2\min =200\mathrm{W}\min \approx 3.3\mathrm{Wh}$，然后 $2100\mathrm{W}\cdot 2.3\min =80.5\mathrm{Wh}$，到 4.8 s 时达到 83.8 Wh，再加 $4100\mathrm{W}\cdot 1.2\min =82\mathrm{Wh}$，到跳闸时达到 165.8 Wh。之后图像保持水平。因此 1.2 分钟的过载增加的能量，比它之前 2.3 分钟增加的还多。$E(t)$ 的每一段直线都以该时刻的功率为斜率上升，每个拐点标记着 $P(t)$ 的一次阶跃；若功率平滑变化，图像就会是曲线。

电表计算的正是这个积分。老式感应式电表使一个铝盘受到一个与平均 $vi$（即 $P$）成正比的转矩，同时受到与盘速成正比的磁阻尼制动。两者在速度与 $P$ 成正比时达到平衡，因此转盘圈数计量的是 $E$。电子式电表每秒对 $v$ 和 $i$ 采样数千次，把每对数值相乘再求和。两者都使用瞬时乘积 $vi$，因此功率因数自动计入：它们计量的是有功功率，而不是 $V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$。

合闸冲击电流与畸变电流

到目前为止，所有负载都是固定电阻。实际负载并非如此，有两种常见效应使电流大于 $P/V$ 所暗示的值，这对保险丝和电缆很重要。

钨丝的电阻在从室温加热到约 2700 K 时会增长十倍或更多。一盏 100 W 的灯热态时 $R=V^2/P=230^2/100=529\Omega$，但冷态时仅约 50 Ω。因此在接通瞬间它吸取 $230/50\approx 4.6\mathrm{A}$ 的电流，超过 1 kW，持续到灯丝加热为止，历时短暂。这种突发的应力正是此类灯泡常在接通瞬间烧坏的原因。

许多手机充电器只在电压峰值附近的短脉冲中取电，因此其电流根本不是正弦波。发热与 $i^2$ 成正比，这使高而窄的脉冲权重很大，因此即使没有相移，它们的 $I_{\mathrm{rms}}$ 也超过 $P/V_{\mathrm{rms}}$。

电缆发热与断路器

断路器保护的是电缆，因为电缆的绝缘在过热时会损坏。因此断路器何时必须跳闸，取决于电缆如何升温。

把电缆看作热容为 $C$ 的物体，其温度比周围高 $\Delta T$。电流以 $I^{2}R$ 的速率使其发热，它以与温升成正比的速率 $k\Delta T$ 向周围散热，其中 $k$ 为散热系数，单位为瓦每开尔文。其储热量的变化率 $Cd\Delta T/dt$ 即两者之差：
$C\frac{d\Delta T}{dt}=I^{2}R-k\Delta T$

开始时 $\Delta T$ 很小，热损失可忽略，温度以 $I^{2}R/C$ 的速率上升。随着温度升高，热损失逐渐追上，直到得失平衡，最终温升为 $\Delta T=I^{2}R/k$。解按 $1-e^{-t/\tau }$ 的形式趋近这一值，时间常数为 $\tau =C/k$，经过几个时间常数后基本达到，对于家庭布线通常为数分钟。

最终温升随 $I^2$ 增长。电缆的选型应使其额定电流能让它保持在绝缘材料的安全极限以下。动画中的过载为 $17.83/10=1.78$ 倍额定值，因此其温升为 $1.78^2\approx 3.2$ 倍，远远超过该极限。

断路器中的双金属片由同一电流加热，并有自身的热容和散热，因此它是电缆的一个小模型：当自身温度达到设定值时弯曲并使断路器跳闸。过载越大，其最终温度越高，它在升温过程中越早达到跳闸点，因此过载越大，延迟时间缩短得越快。在短路中，电流可能达到 300 A，加热速度是 10 A 时的 $(300/10{)}^2=900$ 倍。这太快，无法等待双金属片升温，因此由电流本身吸动的电磁铁会在约 10 ms 内（半个市电周期）断开触点。

例题：真实电缆中的过载

动画假定每个插座都有完整的 230 V，仿佛电缆没有电阻。现在设电路电缆往返共 15 m 加 15 m，使用 1.5 mm² 铜线。三个电器全部接通时，电流是多少？电缆取用多少功率？在跳闸前的 1.2 分钟内，它可能升温多少？

图例

$V$	电源电压（有效值）。	$\mathrm{V}$
$I$	电流，整个回路中相同。	$\mathrm{A}$
$R_w$	整条电缆（两根导线）的电阻，图中画为一根导线。	$\Omega$
$R_L$	三个电器的合成电阻。	$\Omega$
$P_w$	电缆中以热的形式释放的功率。	$\mathrm{W}$
$P_L$	电器取用的功率。	$\mathrm{W}$

图 4 将情况画为串联电路：电源 $V$ 驱动一个电流 $I$ 绕回路一周：经过电缆（两根导线合计电阻为 $R_w$，图中画成一根导线），再经过三个电器（它们共同作为一个电阻 $R_L$）。由于同一电流 $I$ 流过两者，它们释放的热量 $P_w=I^2{R}_w$ 与 $P_L=I^2{R}_L$ 之比等于它们的电阻之比。将每个电器视为其在额定 230 V 下数值的固定电阻，这对加热元件是很好的模型。

先求两个电阻。铜的电阻率 $\rho =1.7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$，电缆总长 30 m，截面积 $A=1.5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$，因此 $R_w=\rho L/A=1.7\times 10^{-8}\cdot 30/(1.5\times 10^{-6})=0.34\Omega$。电器在 230 V 下共取 4100 W，因此 $R_L=V^2/P=230^2/4100=12.90\Omega$。

两者串联，其电阻相加，于是电流及电缆的发热为
$I=\frac{V}{R_L+R_w}=\frac{230}{12.90+0.34}=17.37\mathrm{A}$
$P_w=I^2{R}_w=17.37^2\cdot 0.34\approx 103\mathrm{W}$

电缆分担了一部分电压，$17.37\cdot 0.34\approx 5.9\mathrm{V}$，因此插座处为 $230-5.9=224.1\mathrm{V}$，电器取得 $P_L=I^2{R}_L\approx 3890\mathrm{W}$，而非 4100 W。电缆的 103 W 即每米 3.4 W，是额定 10 A 时释放的 34 W 的三倍，因为 $(17.37/10{)}^2=3.0$。

现在计算升温。在跳闸前的 72 s 内，电缆释放 $103\cdot 72\approx 7.4\mathrm{kJ}$。其铜的体积为 $30\cdot 1.5\times 10^{-6}=4.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$；按 8960 kg/m³ 计，质量为 0.40 kg，按 385 J/(kg·K) 计，热容为 155 J/K。若没有热量散失，铜的温升将为
$\Delta T=\frac{7400}{155}\approx 48\mathrm{K}$

实际上，绝缘层和墙壁会吸收一部分热量，因此温升更小。但另一方面，铜的电阻每开尔文增加约 0.4%，在 48 K 的温升下最多增加约 19%，这会使发热略有增加。数量级才是关键：约一分钟内上升数十开尔文，且仍在上升，因此这样大的过载必须在数分钟内切断。

有效性的限制

上述内容都基于若干简化。本节说明它们在哪里成立。

电路理论把导线视为理想连接，它在任一瞬间都在其整个长度上通过相同的电流。这要求一端的变化能迅速（与一个周期相比）传到另一端。在一栋房屋内，这种变化大约需要十分之一微秒，而 50 Hz 的周期为 20 ms；换言之，电路必须远小于波长 $c/f$，在 50 Hz 时波长为 6000 km。在波长为数米的射频下，导线会辐射，场的图像就完全取代了它。

在 50 Hz 时，电流也不是均匀充满导体的。交变电流被推向导体表面，集中在一层称为趋肤深度的区域中，在 50 Hz 的铜中该深度为 9.2 mm，超过了 1.5 mm² 导线 0.7 mm 的半径。在 1 MHz 时它缩小到 65 µm，导线电阻随之上升。

供电也并非理想。欧洲市电可能偏离 230 V 达 10%，而由 $P=V^2/R$，在 207 V 下的水壶只给出 $2000\cdot 0.9^2=1620\mathrm{W}$。欧姆定律对灯丝不成立，因为其电阻取决于温度；对 LED 和电子设备也不成立。即使是铜，其电阻也随温度每开尔文增加约 0.4%；只有超导电缆（用液氮冷却至 77 K）才能完全无电阻损耗地输送直流电。

后续内容

环绕每个电流的磁场在《磁体与电流的磁场》一课中展开，《电磁感应》一课说明 50 Hz 的电压如何产生。《电动机、发电机与变压器》一课解释了为何电力以 400 kV 跨越国家：对于相同的功率，电压提高一千倍意味着电流减为千分之一，因此 $I^{2}R$ 损耗减为百万分之一。

坡印廷矢量在《电磁波》一课中再次出现，它携带着约 1 kW/m² 的太阳光能流。《黑体辐射与量子》一课解释了为何 2700 K 的灯丝主要辐射红外线，《半导体、二极管与发光二极管》一课解释了为何 LED 效率高得多，《热力学第一定律与热机》一课则解释了为何热泵每千瓦时可提供三到四倍于电暖器的热量。