眼睛、相机与望远镜

入门

第 1 步，眼睛就是一台相机。光线穿过透明的角膜，经过瞳孔（虹膜像相机光圈一样扩大或收缩的开口），再通过晶状体。角膜和晶状体共同使光线弯折，使景物上每一点发出的光线在视网膜（背面的感光屏幕）上重新汇聚于一点。视网膜上的像是倒立的，由大脑来校正。

第 2 步，对焦。相机通过移动镜头来对焦，而眼睛不能这样做，它通过改变晶状体的形状：看近处物体时，细小的肌肉使晶状体变得更圆、折光能力更强，这称为调节。在动画中，注意灯靠近时晶状体如何鼓起。随着年龄增长，晶状体变硬，这就是大多数人在 45 岁后需要老花镜的原因。

第 3 步，近视与远视。近视眼的眼球稍长，因此远处的光在视网膜前汇聚，并扩散成模糊的光斑，而近处的物体仍然清晰。中间薄、边缘厚的发散透镜会先让光线略微散开，把汇聚点移回视网膜上：注意模糊光斑如何缩小为一个清晰的小点。远视眼的眼球则太短，会聚透镜可以帮助矫正。

第 4 步，仪器。显微镜使用两块透镜：第一块把微小物体放大成像，第二块再次放大该像，因此两次放大倍数相乘。望远镜的大口径物镜收集来自远处暗弱天体的光，目镜再放大它所成的像。

自我检测：一位近视的朋友把她的眼镜借给你。这副镜片是边缘厚还是中间厚？（边缘更厚：它们是发散透镜。）

中级

屈光度中的光焦度与眼睛的数值

用透镜的光焦度而非焦距来处理仪器更为方便。光焦度为 $P=1/f$；当 $f$ 以米计时，单位为屈光度（D），因此 $f=0.5\mathrm{m}$ 给出 $P=2\mathrm{D}$。会聚透镜的光焦度为正，发散透镜为负，紧贴在一起的薄透镜直接把光焦度相加：$+3\mathrm{D}$ 与 $-1\mathrm{D}$ 合在一起相当于 $+2\mathrm{D}$。

这里把角膜和晶状体视为一块薄的会聚透镜，即简化眼。物距 $d_o$ 与像距 $d_i$ 均从它量起。相机通过移动镜头来改变 $d_i$，眼睛则不能，因为 $d_i$ 是晶状体到视网膜的距离，在这个模型中为 $1/60\mathrm{m}\approx 1.67\mathrm{cm}$，因此 $1/d_i=60\mathrm{D}$。

通过改变光焦度来对焦

用光焦度写出，眼睛的薄透镜方程为
$P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(eye}:d_i\approx 1.67\mathrm{cm},P\approx 60\mathrm{D}\text{)}$

固定的 60 D 使平行光汇聚于视网膜上；距离为 $d_o$ 的点发出的光扩散得更厉害，需要额外的 $1/d_o$。对于远处物体 $1/d_o\to 0$，因此放松的眼睛需要 60 D。对于 25 cm 处的书本，需要 $1/0.25+60=64\mathrm{D}$。这部分额外光焦度就是调节：环状的睫状肌收缩，悬挂晶状体的纤维松弛，有弹性的晶状体鼓起。

眼睛能增加的最大光焦度，即其调节幅度，随年龄增长而下降，因为晶状体变硬：儿童时超过 10 D，四十多岁时约 4 D，60 岁时仅 1 D。远点是放松的晶状体能清晰看到的最远距离，近点是充分调节时能清晰看到的最近距离。正常年轻人的远点在无穷远，近点在 25 cm 或更近；仪器假定为 25 cm。

眼镜如何矫正视力

眼镜并不修复眼睛，而是在光学上移动物体，形成一个虚像，使眼睛能在该处对焦。忽略眼镜与眼睛之间的间距，可得两个工作公式：

• $\text{Short sight}:P=-\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}$
• $\text{Reading glasses}:P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{near}}}$

近视时，远点位于有限距离 $d_{\mathrm{far}}$ 处。焦距 $f=-d_{\mathrm{far}}$ 的发散透镜使平行光发散，仿佛来自远点一般。远视时眼球过短；老花则是晶状体随年龄变硬、调节能力耗尽，两者都会使近点后移。这时会聚透镜把 25 cm 处书页的虚像成在近点处：25 cm 所需的 4 D，减去眼睛仍能提供的 $1/d_{\mathrm{near}}$。

例题：动画中的眼睛

动画从一只正常眼睛开始，其视网膜位于晶状体后 $d_i=1/60\mathrm{m}$ 处：读数显示 $d_o\to \infty$、视网膜在 1.667 cm 处、眼睛光焦度为 60.0 D。随后灯移近至 25 cm：
$P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}+60\mathrm{D}=4+60=64\mathrm{D}$

蓝色的透镜随着光焦度读数升至 64.0 D 而变厚，金色光线仍在视网膜上汇聚。

接着眼球变长，紫色读数从 1.667 cm 移至 1.724 cm，即 $1/58\mathrm{m}$。放松的眼睛仍有 60 D，因此平行光在 $F^{\prime }$ 处汇聚，位于新视网膜前方 0.57 mm 处，并以模糊光斑到达视网膜。来自距离 $d_o$ 的光只有在 $1/d_o+58=60$ 时才清晰：
$\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}=60-58=2\mathrm{D},d_{\mathrm{far}}=0.5\mathrm{m}$

这就是紫色标签上 50 cm 的远点。眼镜的读数随后逐渐升至 $-1/(0.5\mathrm{m})=-2\mathrm{D}$。眼镜加眼睛共 $60-2=58\mathrm{D}$，恰好使平行光在晶状体后 1.724 cm 处汇聚，“所见”面板中的模糊光斑缩小为一个清晰的点。

例题：五十岁时的老花镜

50 岁的她仍可增加 1.5 D 的调节，因此她的近点位于 $1/1.5\approx 0.67\mathrm{m}$ 处。哪副眼镜能让她在 25 cm 处阅读？透过它她看到什么？

眼镜必须使书页的像位于她的近点处：
$P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}-1.5\mathrm{D}=4-1.5=+2.5\mathrm{D}$

她的眼睛放松时，眼镜加上其 60 D 的光焦度，使她在 $1/2.5=0.40\mathrm{m}$ 处清晰看到；充分调节时，她增加 $2.5+1.5=4\mathrm{D}$，在 25 cm 处清晰。透过这副眼镜，她只能在 25 至 40 cm 之间看清，远处的墙壁则模糊。这就是为什么老花镜需要摘下来才能抬头看远处，也是为什么渐进多焦点镜片会从上到下改变光焦度。

放大角度的仪器

物体看起来有多大，取决于它在你眼中所张的角度：伸直手臂举起的硬币就能遮住月亮。不借助工具，观察小物体的最佳方式是将其移到近点，即 25 cm。仪器放大的正是这个角度，角放大率 $M={\theta }^{\prime }/\theta$ 比较的是有仪器时的角度 ${\theta }^{\prime }$ 与无仪器时的角度 $\theta$：

• $\text{Magnifier}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscope}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Telescope}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

放大镜让你把物体放在其焦点上，而非 25 cm 处，因此 $f=5\mathrm{cm}$ 给出 $M=5$。显微镜的物镜形成放大 $L/f_o$ 倍的实像，其中 $L\approx 16\mathrm{cm}$ 为镜筒长度，目镜再放大该像：$f_o=4\mathrm{mm}$ 与 $f_e=25\mathrm{mm}$ 给出 $40\cdot 10=400$。望远镜的物镜在其焦平面上形成远处物体的小实像，目镜从近处观看它：$f_o=1.2\mathrm{m}$ 与 $f_e=20\mathrm{mm}$ 给出 60。

动画中的小图是一台 $f_o=3f_e$ 的望远镜：当星体摆动至 $\theta =3.5^{\circ }$ 时，${\theta }^{\prime }$ 读数达到 $10.4^{\circ }$，约为三倍。

常见错误

• 近视眼并非太弱，而是相对于其长度而言太强：动画中的长眼睛具有正常的 60 D，却只需 58 D，因此矫正透镜的光焦度为负，即 $-2\mathrm{D}$。
• 要取以米为单位的距离的倒数：远点为 25 cm 时需要 $-1/0.25=-4\mathrm{D}$，而非 $-0.25\mathrm{D}$ 或 $-0.04\mathrm{D}$。
• 老花镜要减去近点项。近点为 1.0 m 时，$P=4-1=+3\mathrm{D}$；若把两项相加得到 +5 D，则书页只会在 17 至 20 cm 之间保持清晰。
• 放大倍数乘的是角度，而非像的尺寸。上面 60 倍的望远镜形成的月亮像仅宽 11 mm；增大的是角度，从 0.52° 增至约 30°。
• 更大的放大倍数并不能显示更多细节：细节受物镜宽度 $D$ 的限制，即 ${\theta }_{\min }\approx 1.22\lambda /D$，超过某一点后，望远镜只会放大模糊。

你在哪里遇到它

框架眼镜与隐形眼镜以 0.25 D 为级差开具处方；全世界约三分之一的人是近视，几乎所有人在 50 岁前都需要老花镜。手机相机通过移动一块微小的透镜来对焦。标有 8×42 的双筒望远镜放大 8 倍，物镜直径为 42 mm，并发出宽 $42/8=5.25\mathrm{mm}$ 的光束，与黄昏时张开的瞳孔相匹配。细节为何会耗尽，是《衍射与双缝》的主题；廉价透镜的彩色边缘则来自色散，见《棱镜、色散与颜色》。

高级

会聚度：透镜的语言

本课中的每一种仪器，从眼镜到眼睛本身再到望远镜，都是一排透镜。跟踪光线穿过这样一排透镜最快的方法，是追踪一个量：会聚度，即波前的弯曲程度，以屈光度（D，1 D 即 1 m⁻¹）计量。有了它，每一个透镜都变成一次简单的加法。

图例

$S$	光源点。
$S^{\prime }$	$S$ 的像：光汇聚的点。
$d_o$	$S$ 到透镜的距离：到达波前的半径。	$\mathrm{m}$
$d_i$	透镜到 $S^{\prime }$ 的距离：离开波前的半径。	$\mathrm{m}$
$V$	到达光线的会聚度，$-1/d_o$：为负，因为波前在扩散。	$\mathrm{D}$
$V^{\prime }$	离开光线的会聚度，$+1/d_i$：为正，因为波前在收拢。	$\mathrm{D}$
$P$	透镜的光焦度：它所增加的会聚度，$V^{\prime }=V+P$。	$\mathrm{D}$

图 1 显示来自点光源 $S$ 的光穿过透镜后成像于 $S^{\prime }$。光从 $S$ 向四周以球面波前扩散，即紫色圆弧，因此到达透镜的波前是以 $S$ 为圆心、半径为 $d_o$ 的圆弧。光线（橙色线）与波前成直角相交；这就是为什么两条边缘光线直接从 $S$ 伸向透镜边缘。

会聚度就是波前的曲率，即曲率半径的倒数，其符号表示波前弯曲的方向。像从 $S$ 发出的光那样扩散的光，$V=-1/d_o$，为负。来自极远光源的平行光，$V=0$。会聚在前方距离 $d$ 处一点的光，$V=+1/d$，为正。

薄透镜只做一件事：把它的光焦度 $P$ 加到会聚度上。在图 1 的右侧，离开透镜的波前是以 $S^{\prime }$ 为圆心、半径为 $d_i$ 的圆弧，因此其会聚度为 $V^{\prime }=+1/d_i$，当波前收缩为一点时，形成实像：
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
令 $V=-1/d_o$，即得熟悉的薄透镜方程 $1/d_o+1/d_i=P$，写成一个加法。

以放松的正常眼睛为例：一块 60 D 的透镜，视网膜位于其后 1/60 m 处（这是一个折合距离，将在下一节解释）。距离 25 cm 的灯发出的光，会聚度为 $V=-1/(0.25\mathrm{m})=-4\mathrm{D}$，进入眼睛。为了汇聚到视网膜上，光线离开时必须具有 $V^{\prime }=60\mathrm{D}$，因此眼睛必须把光焦度提高到 $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{D}$；多出的 4 D 即是它的调节。

在两块透镜之间，会聚度同样会变化，原因仅仅是光在传播。会聚度为 $V_1$ 的光，朝向前方距离 $1/V_1$ 处的一点（若 $V_1$ 为负，则是从后方一点发出，即虚光源）。经过间距 $t$ 后，该点近了 $t$，变为前方 $1/V_1-t$，新的会聚度即为此距离的倒数：
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

这对框架眼镜很重要，框架眼镜位于角膜前约 $t=12\mathrm{mm}$ 处。平行光通过光焦度为 $P$ 的框架眼镜后会聚度为 $P$，到达眼睛时为 $P/(1-tP)$，因此眼镜的作用相当于同等光焦度的隐形眼镜。$-8\mathrm{D}$ 的框架眼镜在眼睛处得到 $-8/(1+0.012\cdot 8)=-8/1.096=-7.3\mathrm{D}$。对于动画中的 $-2\mathrm{D}$，差异仅为 0.05 D，小于处方的 0.25 D 级差，这就是读数忽略间距的原因。

眼睛的光焦度从何而来

眼睛的 60 D 从何而来？两种透明介质之间的弯曲界面本身就能使光线弯折，无需任何透镜，而眼睛的第一个界面，即角膜前表面，承担了大部分工作。本节求出单个弯曲表面的光焦度，并将其应用于眼睛。

图例

$n$	表面前方（空气）的折射率。
$n^{\prime }$	表面后方（角膜组织）的折射率。
$R$	表面的曲率半径。	$\mathrm{m}$
$C$	曲率中心：该表面所属球面的中心。
$F^{\prime }$	平行于轴线的光线在表面之后相交的点。
$f^{\prime }$	表面到 $F^{\prime }$ 的距离：$f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$，其中 $P=(n^{\prime }-n)/R$ 为表面的光焦度。	$\mathrm{m}$

图 2 按比例绘出角膜前表面。该表面是圆心为 $C$、半径为 $R$ 的球面的一部分。其左侧是折射率为 $n$ 的空气，右侧是折射率为 $n^{\prime }$ 的角膜组织。观察光线：它们平行于轴线射入，在表面处弯折，并全部在轴上的一点 $F^{\prime }$ 相交。

跟随高度为 $h$ 的一条光线。该点处的法线是从 $C$ 引出的半径，对于小角度，它与轴线的夹角为 $h/R$。光线平行于轴线，因此 $h/R$ 也是其入射角 $\theta$。小角度下的斯涅尔定律 $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$ 给出表面后的角度 ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$：更靠近法线，因为 $n^{\prime }>n$。于是光线向轴线偏转了两角之差：
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

高度为 $h$、以此小角度斜向轴线的光线，经过距离 $h$ 除以该角度后到达轴线：
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
$h$ 被消去，因此所有接近轴线的光线都在同一点 $F^{\prime }$ 相交：这正是表面能够成像的原因。将表面光焦度写为 $P=(n^{\prime }-n)/R$，得 $f^{\prime }=n^{\prime }/P$，表明在折射率为 $n^{\prime }$ 的介质中，焦距是空气中的 $n^{\prime }$ 倍。薄透镜是两个紧靠的这样的表面，其光焦度为两者之和。

折射率跳变最大处光焦度最大，而在眼睛中，最大的跳变是从空气到角膜。取 $R\approx 7.8\mathrm{mm}$、$n^{\prime }=1.376$，则前表面的 $P=0.376/0.0078\mathrm{m}\approx 48\mathrm{D}$，$f^{\prime }=1.376/48\mathrm{D}\approx 28.5\mathrm{mm}$，即图 2 中标出的距离。角膜后表面面向折射率为 1.336 的液体，是折射率下降的界面，因此它会减去约 6 D。角膜因此提供约 42 D，超过眼睛 60 D 的三分之二；其余部分由晶状体提供，并负责调节。

在水下，前方折射率 $n=1.333$，前表面只保留 $(1.376-1.333)/0.0078\mathrm{m}\approx 5.5\mathrm{D}$。眼睛损失超过 40 D，远超任何调节所能弥补，一切都变得模糊。戴潜水镜有帮助，因为它在角膜前重新放置了一层空气。

同一公式也解释了本课中通用的一个约定。像在折射率为 1.336 的液体中形成，因此从透镜到视网膜的实际距离为 $n^{\prime }/P=1.336/60\mathrm{D}\approx 22\mathrm{mm}$。模型中的 1/60 m，约 17 mm，是折合距离：在空气中产生相同会聚度的距离。使用折合距离，每个公式都可以写成仿佛眼睛充满空气。

模糊图：为何是 V 形

动画中的专家图绘制了近视眼看远景时的模糊程度与眼镜光焦度的关系。其 V 形来自一对相似三角形，同一结果也解释了为什么眯眼会有帮助，以及为什么处方以四分之一屈光度为级差。

图例

$A$	瞳孔宽度，即限制光锥的开口。	$\mathrm{m}$
$d_i$	透镜后方到光锥汇聚处的距离：$d_i=1/V^{\prime }$，其中 $V^{\prime }$ 为离开透镜的会聚度（折合距离）。	$\mathrm{m}$
$L$	透镜到视网膜的距离（折合距离，此处为 $1/58\mathrm{m}$）。	$\mathrm{m}$
$b$	视网膜上模糊光斑的宽度。	$\mathrm{m}$
$P$	眼镜的光焦度，位于图的横轴上。	$\mathrm{D}$
$P_0$	无模糊的光焦度，即 $-1/d_{\mathrm{far}}$，其中 $d_{\mathrm{far}}$ 为远点：此时光锥恰好在视网膜上汇聚。	$\mathrm{D}$
$AL$	每一支的斜率：每一屈光度误差所增加的模糊。	${\mathrm{m}}^2$

图 3 的左半部分显示模糊的来源。眼睛是上一节的简化眼，即一块 60 D 的透镜，但这个眼球稍长：视网膜位于 $L=1/58\mathrm{m}$ 处，而非 1/60 m。眼睛是近视的。放松时，它只能清晰看到远点 $d_{\mathrm{far}}=0.5\mathrm{m}$ 以内的物体，因为从该处扩散而来、会聚度为 $-2\mathrm{D}$ 的光，离开透镜时为 $60-2=58\mathrm{D}$，并恰好汇聚于视网膜上。因此 $1/d_{\mathrm{far}}=2\mathrm{D}$。

现在让来自远处一点的平行光穿过光焦度为 $P$ 的眼镜。它离开眼镜时会聚度为 $P$（如上所述忽略间距），而眼睛再加上 60 D，因此透镜后方 $V^{\prime }=60\mathrm{D}+P$。光线以宽度等于瞳孔 $A$ 的光锥进入眼睛，该光锥在 $d_i=1/V^{\prime }$ 处汇聚为一点，这是与 $L$ 相似的折合距离。

观察 $d_i$ 与 $L$ 之间的间隙。图中 $d_i$ 比 $L$ 短：光锥在到达视网膜之前已经交叉并重新张开，并在视网膜上照亮一个宽度为 $b$ 的光斑。两个相似三角形，一个底边为 $A$、高为 $d_i$，另一个底边为 $b$、高为 $L-d_i$，给出
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right|$
中间一步使用 $d_i=1/V^{\prime }$；最后一步使用 $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{D})=L(P+2\mathrm{D})$。若 $d_i$ 比 $L$ 长，光锥在视网膜处仍在收缩，同一公式依然成立：这就是绝对值符号的作用。

量 $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{far}}$ 是会聚度误差：进入眼睛的光与放松的眼睛所需会聚度之差。图 3 的右半部分绘制了 $b$ 与 $P$ 的关系。由于 $b$ 与一个随 $P$ 稳定增长的量的绝对值成正比，图形呈 V 形。其顶点位于 $P_0=-1/d_{\mathrm{far}}=-2\mathrm{D}$，此时 $d_i=L$，光锥恰好在视网膜上汇聚，模糊消失。每一支都是斜率为 $AL$ 的直线：每一屈光度的误差增加 $AL$ 的模糊，即左支上标出的上升量。

$b$ 轴位于 $P=0$ 处，即没有眼镜，因此未矫正的眼睛（光锥画在左图中）是该轴与右侧分支的交点。在动画中，随着眼球变长，光点先在 $P=0$ 处直接上升，然后在眼镜光焦度逐渐变化时沿右侧分支下滑。

不戴眼镜时，4 mm 瞳孔给出 $b=0.004\cdot 0.01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0.14\mathrm{mm}$。从透镜处看，该光斑张成的角度为 $b/L=A|\Delta V|=0.004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$，约 27′。视力敏锐的眼睛能分辨 1′，因此远景中的每一点都被模糊扩散到眼睛原本能看清的最精细细节的约 27 倍。

左支是过矫正。戴 $-3\mathrm{D}$ 的眼镜时，光在视网膜后方会聚；年轻的眼睛仍能对焦，但必须整天持续调节 1 D。斜率 $AL$ 与瞳孔成正比，因此 2 mm 瞳孔的模糊量是 4 mm 瞳孔的一半：这就是眯眼有帮助的原因。

在顶点附近，少量模糊不易察觉，眼睛所能容忍的会聚度误差范围即其焦深。若 3′ 的模糊（0.87 mrad）不易察觉，则 3 mm 瞳孔可容忍的误差为 $0.87\times 10^{-3}/0.003\approx 0.3\mathrm{D}$，这就是处方以 0.25 D 为级差的原因。

角放大率的推导

望远镜不能使一颗星看起来更大；它放大的是天空中方向之间的夹角。本节证明该夹角按两个焦距之比增大，然后将这一思想推广到显微镜。

图例

$f_o$	物镜的焦距。	$\mathrm{m}$
$f_e$	目镜的焦距，其焦平面即为物镜的焦平面。	$\mathrm{m}$
$y$	星体的像在共享焦平面中位于轴下方的高度：$y=f_o\tan \theta$。	$\mathrm{m}$
$\theta$	入射光与轴线之间的夹角：星体的方向。	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	出射光与轴线之间的夹角：眼睛看到星体的方向。	$\mathrm{rad}$

图 4 追踪两条主光线，即通过透镜中心的光线，它们直线穿过透镜；图中角度经过夸大。在左侧，来自与轴成角 $\theta$ 的星体的光到达焦距为 $f_o$ 的物镜。物镜在其焦平面上形成星体的像，其主光线显示了位置：在轴下方高度 $y=f_o\tan \theta$ 处，即紫色条。

焦距为 $f_e$ 的目镜放置时，其焦平面与之重合。因此，来自该平面任意一点的光经目镜射出后成为平行光束，并沿该点经目镜中心的主光线方向传播。于是，来自星体的光以角 ${\theta }^{\prime }$ 射出，满足 $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$。

条的高度 $y$ 是图中两个直角三角形的一条边，一个边长为 $f_o$，另一个为 $f_e$。两式相除即消去它：
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
对于小角度，正切等于角度，角放大率为 $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$。在动画的小图中 $f_o=3f_e$：当 $\theta$ 达到峰值 $3.5^{\circ }$ 时，${\theta }^{\prime }$ 达到 $10.4^{\circ }$，而非 $10.5^{\circ }$，因为缩放的是正切值，倍数为 3。还要注意，射出光线的倾斜方向与入射光线相反：望远镜看到的天空是倒立的。

目镜还将每个光束按 $f_e/f_o$ 的比例收窄。充满宽度为 $D$ 的物镜的光，因此以宽度为 $D/M$、窄了 $M$ 倍的光束射出：即出瞳，目镜后方眼睛所放置的光斑。

显微镜将同样的思想应用于近处物体。物体恰位于物镜焦点之外，距离为 $x_o$，物镜在其远焦点之外距离 $x_i=f_o^2/x_o$ 处形成实像，且为放大像；这是以焦点为起点度量的透镜方程，即其牛顿形式。像高是物高的 $x_i/f_o$ 倍。若像位于标准距离 $x_i=\ell$（即光学镜筒长度），则为 $\ell /f_o$。目镜随后起放大镜的作用：位于其焦平面上高度为 $y$ 的像，以角度 $y/f_e$ 被看到，而非在通常阅读距离处所张的角度 $y/(0.25\mathrm{m})$。合起来，
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0.25\mathrm{m}}{f_e}$

放大倍数不等于分辨率

为什么更大的放大倍数无法揭示越来越精细的细节？因为每个孔径都会把一点的光扩散成一个小斑，其张角由波长和孔径宽度决定。仅从波的时间关系就能看出这个角度的来源。

设想一个理想透镜是一台计时装置：它把点光源的光沿所有时间相同的路径送往其像点，因此波同相到达并相加。现在取第二个点光源，与第一个成小角度 $\theta$，并追踪其光到达同一像点。其两条极端光线分别穿过宽度为 $D$ 的孔径的两端，路径差为 $D\sin \theta \approx D\theta$，因此传播时间差为 $D\theta /c$。

将此延迟与波的一个周期 $\lambda /c$ 相比。若它远小于一个周期，第二光源的波也几乎同相到达：其像落在同一位置，两个光源无法区分。一旦延迟达到约一个周期，孔径的每一条带都可以与相距半个孔径的另一条带配对，二者的波相差半个周期，于是互相抵消。此时第二光源不向第一个像点发出光，两个像便分开了。因此 ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$。圆形孔径边缘的面积比方形的少，因此它的作用像略窄的孔径，该因子升至 1.22：
$\text{Resolution}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1.22\lambda }{D}$

对于 3 mm 瞳孔和 550 nm 的绿光，这是 $1.22\cdot 550\times 10^{-9}/0.003\approx 2.2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$，即 0.8′。视网膜与之相匹配：中央凹中心的视锥细胞相距约 2.5 μm，从透镜处看为 0.5′，因此一个每 1′ 重复一次的图案，每个重复周期被采样两次，恰好足以记录它。

昆虫的复眼以另一种形式面临同样的权衡。每个小眼宽为 $D$，会因衍射模糊约 $\lambda /D$；而在半径为 $r$ 的眼睛上，相邻小眼间距为 $D/r$。小眼越小，衍射越强；越大，则采样越粗。当 $D=\sqrt{\lambda r}$ 时两个角度相等，即最佳小眼宽度：对于 $r=1\mathrm{mm}$，约为 23 μm。

望远镜的放大只需将其 ${\theta }_{\min }$ 提升到眼睛能看到的角度，而出瞳说明了为什么更大的放大倍数并无帮助。在放大倍数 $M$ 下，进入眼睛的光束宽为 $D/M$，因此眼睛自身的衍射使其模糊 $1.22\lambda /(D/M)=M\cdot 1.22\lambda /D$：恰好是望远镜的极限，放大了 $M$ 倍。图像与模糊一同增长。放大倍数超过以毫米计的口径数值的两倍左右后，出瞳将低于 0.5 mm，此时模糊超过约 4.6′，清晰可见：画面变大了，但并未增加任何细节。

例题：近视者用的望远镜

本题将会聚度规则、模糊图和望远镜联系起来：近视观察者不戴眼镜使用望远镜时会怎样？

按 $f_o=300\mathrm{mm}$、$f_e=100\mathrm{mm}$ 构造小图中的望远镜，因此 $M=3$，镜筒长 $f_o+f_e$，即 400 mm。将其交给动画中不戴眼镜、光焦度为 $-2\mathrm{D}$ 的观察者，其眼睛靠近目镜。她放松的眼睛只对会聚度为 $-2\mathrm{D}$、从其远点扩散而来的光清晰。因此 $+10\mathrm{D}$ 的目镜必须使来自物镜像的光具有该会聚度，而该像位于目镜前方距离 $s$ 处：
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{D}=-2\mathrm{D},s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83.3\mathrm{mm}$

她将目镜向内移动 16.7 mm，使镜筒从 400 mm 缩短为 383.3 mm。物镜的像高度仍为 $y=f_o\theta$，但它现在位于距目镜 $s$ 处。从其顶端经过目镜中心的主光线直线进入她的眼睛，其角度为 ${\theta }^{\prime }=y/s$：
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right)=0.3\cdot 12=3.6$

她得到的是 3.6 倍，而非 3 倍。实际上，她眼睛的 2 D 过量被加到目镜的 10 D 上，形成一个 12 D、焦距为 83.3 mm 的目镜。对于远视观察者，其放松的眼睛需要 $+2\mathrm{D}$，情况则相反：有效为 8 D 的目镜，拉出至 $s=125\mathrm{mm}$，放大仅为 $M=0.3\cdot 8=2.4$。

若近视的观察者不重新对焦，她会再次遇到模糊图。其 2 D 误差与 4 mm 瞳孔给出眼睛处 27′ 的模糊，如模糊一节所述，除以 $M=3$ 后，在天空中约为 9′。这假定出瞳充满她 4 mm 的瞳孔，因此物镜至少要有 12 mm 宽。

适用范围

以上所有内容都是近轴薄透镜光学：光线靠近轴线、透镜无厚度、光为单一波长。真实的眼睛与仪器在三个方面偏离这一模型，值得了解。

第一，像差。真实的眼睛是一个厚的系统，具有任何透镜都有的缺陷。球差，即远离轴线的光线比靠近轴线的光线聚焦得更近，随瞳孔增大而迅速增加，并在夜间瞳孔张大时增加模糊。色差使眼睛对紫光的光焦度比对红光约大 2 D。角膜在某一方向上的弯曲程度大于另一方向，会产生散光，这需要柱面透镜，而非单个数值 $P$。

第二，衍射。它为图 3 的 V 形设定了下限：模糊趋于 $1.22\lambda /A$ 附近，即 3 mm 瞳孔为 0.8′；瞳孔小于约 2 至 3 mm 时，瞳孔越小结果越差，而非越好。

第三，空气。对于地面望远镜，湍流会使星点模糊约 1″，即 $4.85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$：这正是口径仅为 $1.22\cdot 550\times 10^{-9}/(4.85\times 10^{-6})\approx 0.14\mathrm{m}$ 的望远镜的衍射极限。更大的望远镜仍能收集更多光，但更精细的细节需要自适应光学，即在波前到达时对其整形，或将望远镜置于太空，例如 2.4 m 的哈勃望远镜可达 0.06″。

延伸

因子 1.22 以及星像周围的暗环在《衍射与双缝》中推导，而同相的论证则来自《干涉与叠加》。色差以及用于消除它的消色差双合透镜属于《棱镜、色散与颜色》；表面光焦度 $(n^{\prime }-n)/R$ 基于《反射与折射》，会聚度则基于《透镜与面镜》。规则 ${\theta }_{\min }\approx 1.22\lambda /D$ 适用于所有波：一个 100 m 的射电天线在 21 cm 波长下只能分辨约 9′，比裸眼还粗；而电子显微镜的电子波长仅为几皮米（见《波粒二象性》），可以成像单个原子。作为波的光本身，是《电磁波》的主题。