电容器

入门

电容器是最简单的电学元件之一：两块金属极板隔着一层薄薄的空气或塑料相对放置。它储存分离的电荷，并由此储存能量，能在极短时间内释放出来。相机闪光灯、心脏除颤器以及手机中的电路都依赖电容器。

第 1 步：电子的移动。金属中含有可以自由移动的电子。把极板接到电池上，电池会把电子从一块极板拉出，通过导线推到另一块极板上。一块极板因此带正电，另一块带负电。电子既不会被创造，也不会被消灭：落到一块极板上的每个电子，都是从另一块极板上拿走的，因此两种电荷总是等量异号。

第 2 步：电荷不穿过间隙。间隙是绝缘体，电荷无法跨越它。相反，正极板与负极板通过间隙相互吸引，两极板之间的空间充满了电场。

第 3 步：逐渐充满。极板上已有的电荷越多，它们对电池的反推力就越大。因此充电起初很快，之后变慢，当电容器的电压与电池电压相等时停止，这就像由水塔供水的水箱，两边水位相同时便不再注水。

第 4 步：大小很重要。极板更大或间隙更窄，同一电池就能储存更多电荷。

在动画中，蓝色电子起初在导线中飞速穿行，然后减速并停止，同时电荷在极板上堆积，储电量计的读数增长越来越慢。

自测：充电后的电容器其中一块极板带有 +5 个单位的电荷。另一块带多少？（答案：−5 个单位；总电荷仍为零。）

中级

电荷、电压与电容

电容器是由绝缘体隔开的任意一对导体，最简单的就是间隔一小段距离的两块金属极板。电池通过导线把电荷从一块极板搬到另一块，一块带 $+Q$，另一块带 $-Q$，因此整个电容器保持电中性，其电荷量记为 $Q$。它的电压 $V$ 是两极板间的电势差，即把电荷从负极板搬到正极板时每库仑所做的功。

电荷加倍，两极板间的电场也处处加倍，每库仑所做的功同样加倍。因此电荷与电压成正比：
$Q=CV$

比例常数 $C$ 就是电容，即每伏特储存的电荷量，单位为法拉：$1\mathrm{F}=1C/V$。法拉是非常大的单位，因此大多数电容器以皮法（$10^{-12}\mathrm{F}$）、纳法或微法（µF，$10^{-6}\mathrm{F}$）为标称值。

决定电容的因素

对于面积为 $A$、相距为 $d$ 的两块平行极板，两板间的电场是均匀的，$E=V/d$，板外几乎为零。电容只取决于这种几何结构和绝缘体：
$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$

其中 ${\epsilon }_0\approx 8.85\times 10^{-12}F/m$ 是真空介电常数，${\epsilon }_r$ 是绝缘体的相对介电常数，也称介电常数：空气约为 1.0006，聚丙烯约为 2.2，水为 80。

单位面积上的电荷决定电场，$E=Q/({\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A)$，因此面积更大的极板会把同样的电荷铺得更稀，电场和电压 $V=Ed$ 都会变小。间隙更窄时，同样的电荷产生的电场不变，但穿过间隙的路径变短了。在电介质中，分子发生极化，负端转向正极板，部分抵消了电场。这三种情况都会使每库仑电荷对应的电压降低，因此同一电池能推动更多的电荷。

两块 1 cm² 的极板，间隔 0.5 mm 的空气，其 $C=8.85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/(5\times 10^{-4})\approx 1.77\mathrm{pF}$；压至 0.3 mm，例如电容式按键，则达到 2.95 pF。要让 1 法拉的电容器在 1 mm 空气间隙下实现，极板面积需要 113 km²。

通过电阻充电

动画中，电压为 $V_0$ 的电池通过电阻 $R$ 为电容器充电。电池电压在两者之间分配，$V_0=RI+V_C$，因此只有剩给电阻的那部分电压才能驱动电流：
$I=\frac{V_0-V_C}{R}$

开始时电容器是空的，$V_C=0$，电流最大，为 $V_0/R$，就好像电容器只是一根普通导线。每流入一点电荷，$V_C$ 就升高，留给电阻的电压变少，电流随之减小：电容器越满，充入它的推力就越弱。

充电快慢由时间常数 $\tau =RC$ 决定；欧姆乘以法拉得到秒。经过一个时间常数后，电容器达到最终电压的 63 %，再经过 $5\tau$ 后超过 99 %。在进阶水平中推导出的精确规律是指数形式：

• $\tau =RC$
• $V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
• $I=\left(\frac{V_0}{R}\right)e^{-t/RC}$

储存的能量与电压–电荷图像

充电需要做功：每一点电荷都必须克服已经建立起来的电压搬运，第一点电荷几乎不需要做功，最后一点电荷则要克服完整的 $V$。在电压对电荷的图像中，$V=Q/C$ 是一条过原点的直线，所做的功就是直线下方的面积，即底为 $Q$、高为 $V$ 的三角形面积：
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}QV$

因子 ½ 的来源是充电过程中的平均电压为最终电压的一半。若画成电荷对电压的图像，同一直线的斜率为 $C$，因此电容越大，直线越陡。由于 $W$ 与电压的平方成正比，电压加倍，储存的能量变为四倍，储存在极板之间的电场中。

例题：动画中的电路

取动画中的 $V_0=12\mathrm{V}$、$R=10\mathrm{k\Omega }$ 和 $C=100\mu \mathrm{F}$，初始电流、时间常数、最终电荷量和能量分别为
$I_0=\frac{V_0}{R}=\frac{12\mathrm{V}}{10^4\Omega }=1.2\mathrm{mA}$
$\tau =RC=10^4\Omega \cdot 10^{-4}\mathrm{F}=1\mathrm{s}$
$Q=C{V}_0=10^{-4}\mathrm{F}\cdot 12\mathrm{V}=1.2\mathrm{mC}$
$W=\frac{1}{2}C{V}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 12^2=7.2\mathrm{mJ}$

这些是读数的终点值：$I$ 从 1.20 mA 开始，充电结束后 $V_C$ 显示 12.0 V，$Q$ 为 1.20 mC，$I$ 为 0.00 mA。在 $t=\tau =1\mathrm{s}$ 时，读数显示 $V_C=7.6\mathrm{V}$（63 %），$Q=0.76\mathrm{mC}$，$I=0.44\mathrm{mA}$，回路定律也证实了这一点：$(12-7.6)\mathrm{V}/10\mathrm{k\Omega }=0.44\mathrm{mA}$。

蓝点代表电子。它们离开上极板流向电池的正极，同时等量的电子从电池的负极被推到下极板上，因此上极板变为 $+Q$（红橙色点），下极板变为 $-Q$（蓝色点）。金色箭头 $I$ 表示常规电流，方向与电子漂移方向相反，并随电流减弱而变短。两极板之间的紫色箭头 $E$ 与 $Q$ 成比例增长，没有任何一个点穿过间隙。

例题：相机闪光灯

相机闪光灯把能量储存在电容器中，设其为 150 µF，充电至 300 V。它所储存的为
$Q=CV=150\times 10^{-6}\cdot 300=0.045\mathrm{C}$
$W=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\cdot 150\times 10^{-6}\cdot 300^2=6.75\mathrm{J}$

假设充电器相当于一个 300 V 电源串联 8 kΩ 的电阻。则 $\tau =8000\cdot 150\times 10^{-6}=1.2\mathrm{s}$，电流一开始为 $300/8000=37.5\mathrm{mA}$。经过 $2\tau =2.4\mathrm{s}$ 后，电压为 $300(1-e^{-2})\approx 259\mathrm{V}$，即 86 %；但能量与 $V^2$ 成正比，只有最大值的 $0.865^2\approx 0.75$，约为 5.0 J。

随后，闪光管会在约一毫秒内将充满电的电容器放空，因此闪光灯的平均功率为 $6.75\mathrm{J}/10^{-3}\mathrm{s}\approx 7\mathrm{kW}$。放电时间常数为 1 ms 时，所需电阻仅为 $10^{-3}/(150\times 10^{-6})\approx 7\Omega$。同一个电容器充电慢、放电快：路径中的电阻决定了快慢。

常见错误

• 电流不会穿过间隙：一块极板上流入多少电荷，另一块极板上就流出等量电荷，因此两根导线中的电流相同，动画中开始时为 1.2 mA，充满后为零。电容器阻断稳恒电流。
• 充电后的电容器没有净电荷：动画中两块极板的电荷分别为 $+1.2\mathrm{mC}$ 和 $-1.2\mathrm{mC}$。
• 储存的能量是 $\frac{1}{2}QV$，而不是 $QV$：动画中为 7.2 mJ，而不是 14.4 mJ，因为在搬运电荷的过程中电压是从零开始上升的。
• 一个时间常数不能把电容器充满：它只能达到最终电压的 63 %，对应最终能量的 40 %。需要约 $5\tau$ 的时间。
• 千欧乘以微法得到的是毫秒：2.2 kΩ 与 47 µF 的乘积为 $\tau \approx 0.10\mathrm{s}$，而不是 103 s。

应用场合

相机闪光灯和除颤器缓慢积累能量，然后在毫秒内释放。电源中的滤波电容器在交流电压的峰值时充电，并在两峰之间供电。触摸屏通过感知手指靠近时电容的变化来工作，而计算机主存储器中的每一位都是一个微小的电容器，处于充电或放空两种状态之一。

电阻和回路定律在《电流与电阻》和《直流电路与欧姆定律》中有详细介绍。与线圈（《电磁感应》）相连后，电容器构成一个电荷振荡的电路，类似于《简谐运动》；加入电阻后，它就成为《阻尼与共振》中的一个例子。充电电容器间隙中变化的电场即位移电流，它补全了场方程，并预言了《电磁波》的存在。

高级

为什么电荷与电压成正比

下面的所有结果都基于一个事实：对于任意一对导体，电荷与电压成正比。在使用它之前，有必要先弄清其中的原因。

在一个导体上放 $+Q$，另一个导体上放 $-Q$，附近没有其他电荷。它们产生的电场满足线性方程：多个电荷的电场等于各自电场的矢量和。把每个电荷都乘以同一个因子，则每一点的电场也都乘以该因子。放大后的结构仍然满足金属内部电场为零、每个导体电势保持一致，因此它就是更大电荷量下的真实分布。电压是电场从正导体到负导体的线积分，$V=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$，所以它也按同一倍数增长。

因此电荷与电压总是以固定比例一同增长，$Q=CV$。电容 $C$ 只由导体的形状、间距以及它们之间的绝缘体决定，与 $Q$ 或 $V$ 无关。求电容的方法也由此直接得出：假设电荷为 $Q$，求出电场，对电场积分得到 $V$，再相除。

由高斯定律求平行板电场

最简单的情形是两块面积为 $A$、相距 $d$ 的平板。高斯定律能一步给出它们之间的电场，图 1 展示了具体做法。

图例

$Q$	每块极板上的电荷：左极板 $+Q$，右极板 $-Q$。	$\mathrm{C}$
$\sigma$	正极板内表面每平方米的电荷，对于面积为 $A$ 的极板，$\sigma =Q/A$。	$C/{\mathrm{m}}^2$
$dA$	高斯盒右面的面积，它是电场穿过的唯一一面。	${\mathrm{m}}^2$
$E$	间隙中的电场：均匀，由正极板指向负极板；金属内部为零。	$N/C$
$d$	极板之间间隙的宽度。	$\mathrm{m}$
$V$	两极板间的电压：电场从正极板到负极板的线积分，$V=Ed$。	$\mathrm{V}$

图 1 为极板的侧视图：左极板带 $+Q$，右极板带 $-Q$，两者间隔为 $d$。正电荷位于其极板的内表面，即面向负极板的一侧，每平方米的电荷为 $\sigma$；对于面积为 $A$ 的极板，$\sigma =Q/A$。画在该表面上的小盒子是高斯盒：应用高斯定律时所取的假想闭合曲面。

看看盒子的两个大面。左面位于金属内部，标注为 $E=0$。在静止的导体中，电场必须为零，否则其中的自由电荷仍会运动。右面是一小块面积为 $dA$ 的面，位于间隙中，电场 $E$ 与它垂直相交。其他各面要么与电场平行，要么位于金属内部，因此没有电场线穿过它们。所以从盒子穿出的通量为 $EdA$，盒内的电荷为 $\sigma dA$。

高斯定律规定：闭合曲面穿出的通量等于其内部电荷除以 ${\epsilon }_0$：
$EdA=\frac{\sigma dA}{{\epsilon }_0}$
面积 $dA$ 被约去，因此盒子的大小无关紧要，间隙中的电场为
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}A}$

由于大极板上各处的 $\sigma$ 相同，这个电场在间隙中处处取值相同，正如图中等间距的电场线所示。两块极板之外，它们的电场相互抵消。

再看电压。图中的箭头 $V$ 从正极板指向负极板，穿过间隙。沿着它，电场在每一步都取相同的值 $E$，因此线积分就是 $E$ 乘以长度 $d$：
$V=Ed=\frac{Qd}{{\epsilon }_{0}A},C=\frac{Q}{V}=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}$
正如所预示的，$Q$ 被消去了。面积越大，每伏特可容纳的电荷越多；间隙越宽，可容纳的电荷越少。若间隙中充满相对介电常数为 ${\epsilon }_r$ 的绝缘体，则 $C$ 增大为原来的 ${\epsilon }_r$ 倍，相关内容在电介质一节中有解释。

同样的方法也适用于其他形状。半径为 $a$ 的孤立球体外部的电场与点电荷相同，从表面积分到无穷远，得到 $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$。在内半径为 $a$、外半径为 $b$ 的同轴电缆中，导体之间的电场按 $1/r$ 衰减，因此从 $a$ 积分到 $b$ 会得到一个对数。对于球体，以及长度为 $\ell$、绝缘体相对介电常数为 ${\epsilon }_r$ 的电缆：
$C=4\pi {\epsilon }_{0}a,\frac{C}{\ell }=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}{\ln (b/a)}$
这些数字很有说服力。整个地球作为一个球体，电容仅约 0.71 mF，还不到一个普通的 1000 µF 电解电容器。聚乙烯绝缘（${\epsilon }_r=2.3$）且 $b/a=3.5$ 的电缆，每米约有 100 pF。

充电方程及其解

电容器从来不会瞬间充满电：电路中总有一些电阻限制电流。本节推导电荷随时间增长的规律，这是每一个由电阻和电容构成的定时电路背后的规律。

图例

$V_0$	电池电压：电池两端电势的升高量。	$\mathrm{V}$
$R$	电阻的阻值。	$\Omega$
$C$	电容器的电容。	$\mathrm{F}$
$I$	电流，回路各处相同：电荷到达上极板的速率，$I=dq/dt$。	$\mathrm{A}$
$q$	图示时刻电容器上的电荷：上极板 $+q$，下极板 $-q$。	$\mathrm{C}$
$V_R$	电阻两端的电势降落，$V_R=RI$。	$\mathrm{V}$
$V_C$	电容器两端的电势降落，$V_C=q/C$。	$\mathrm{V}$

图 2 展示了这个回路：电压为 $V_0$ 的电池、电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联。只有一条通路，因此每个元件中流过的都是同一电流 $I$。图示时刻，电容器上极板带 $+q$，下极板带 $-q$；随着电流输送电荷，$q$ 从零开始增长。

沿电流 $I$ 的方向绕回路一周，考察电势的变化。电池使电势升高 $V_0$。电阻使电势降低 $V_R=RI$（欧姆定律），电容器使电势降低 $V_C=q/C$。回到出发点时，电势必须恢复原值，因此升高量等于两个降低量之和：
$V_0=V_R+V_C$

电流是单位时间内到达上极板的电荷量，$I=dq/dt$。将 $V_R=Rdq/dt$ 和 $V_C=q/C$ 代入回路方程，就得到只关于电荷的方程：
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0$
它是一阶的，因为只出现一阶导数；它是线性的，因为 $q$ 只以一次幂出现。

求解时，两边乘以 $C$ 并整理：$RCdq/dt=C{V}_0-q$。右边是距离最终值 $C{V}_0$ 还缺少的电荷量。两边同除以它，就把含 $q$ 的项与含 $t$ 的项分置于等号两侧：
$\frac{dq}{C{V}_0-q}=\frac{dt}{RC}$
从空电容器开始积分，即开关在 $t=0$ 闭合时 $q=0$，一直积分到时刻 $t$ 时的电荷 $q$：
$-\ln \left(1-\frac{q}{C{V}_0}\right)=\frac{t}{RC}$

取指数消去对数，得 $q=C{V}_0(1-e^{-t/RC})$。除以 $C$ 得到电容器的电压，对 $q$ 求导得到电流：
$V_C=V_0(1-e^{-t/RC})$
$I=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/RC}$
乘积 $\tau =RC$ 的单位是时间，因为 $\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$。它称为时间常数，决定了此后一切过程的快慢。

一阶方程需要一个初始条件，这里是 $q(0)=0$。注意开关闭合时哪些量会发生跳变，哪些不会。电流会立即从零跳变到 $V_0/R$。电荷不能跳变，因为要在瞬间改变电荷，需要无穷大的电流；所以电容器的电压总是连续的。若从电压 $V_1$ 开始通过 $R$ 放电，则是同一方程令 $V_0=0$，得到 $V_C=V_1{e}^{-t/RC}$。

在这类电路中，所有量（电荷、电压和电流）都遵循同一规律。设某量 $x$ 从 $x_0$ 开始，趋向其最终值 $x_{\infty }$：
$x(t)=x_{\infty }+(x_0-x_{\infty })e^{-t/\tau }$
原因在于它的变化率与距离最终值的差距成正比，$dx/dt=(x_{\infty }-x)/\tau$。因此，每经过相等的时间，差距就缩小相同的倍数：每个时间常数缩小为 $e^{-1}\approx 0.37$，每 $\tau \ln 2\approx 0.69\tau$ 缩小一半。

解读指数曲线

把解画成图像最容易理解。这里针对动画中的电路作图：$V_0=12\mathrm{V}$，$R=10\mathrm{k\Omega }$，$C=100\mu \mathrm{F}$，因此 $\tau =RC=1\mathrm{s}$，初始电流为 $I_0=V_0/R=1.2\mathrm{mA}$。

图例

$t$	开关闭合后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$\tau$	时间常数，$\tau =RC$：完成 63 % 变化所需的时间。	$\mathrm{s}$
$V_C$	电容器的电压，从零向 $V_0$ 上升。	$\mathrm{V}$
$V_0$	电池电压，即 $V_C$ 的最终值。	$\mathrm{V}$
$I$	回路中的电流，从 $I_0$ 向零下降；$I=Cd{V}_C/dt$。	$\mathrm{A}$
$I_0$	初始电流，$I_0=V_0/R$。	$\mathrm{A}$
$Q$	输送的总电荷：$I(t)$ 曲线下的阴影面积，等于 $I_0\tau =C{V}_0$。	$\mathrm{C}$

图 3 在同一时间轴 $t$ 上画出两个解。上方的图是电容器的电压 $V_C$，从零向电池电压 $V_0$ 上升。下方的图是电流 $I$，从 $I_0$ 向零下降。两图中的虚线竖线都标出一个时间常数 $t=\tau$。动画中的专家图层以各自最大值的比例绘制相同的曲线：$V_C$ 为蓝色，$I$ 为金色。

先看 $t=\tau$ 处的点。在上方曲线上，电压已达到 $V_0$ 的 63 %；在下方曲线上，电流已降至 $I_0$ 的 37 %。两者相加为 100 %，而且在任意时刻都应如此，因为 $V_C+RI=V_0$：电容器尚未吸收的那部分电压，仍由电阻承担。按比例看，两条曲线互为镜像，并在 $t=\tau \ln 2\approx 0.69\mathrm{s}$ 时在 50 % 处相交。

接着看上方图中倾斜的虚线。它是 $V_C$ 在 $t=0$ 处的切线，斜率为 $V_0/\tau =12V/s$，表示如果电流始终保持初始值 $I_0$，电容器恰好在一个时间常数后充满。切线确实在 $t=\tau$ 时到达 $V_0$ 的高度。这一性质对曲线上的任意一点都成立，并不只限于起点：切线总会在再过一个 $\tau$ 时到达 $V_0$。实际曲线之所以越来越平缓，是因为剩余待充的差距在每个时间常数内缩小为原来的 $e$ 分之一，这里即每秒一次：在 $t$ = 0、1、2、3、4、5 s 时，差距分别为 12、4.4、1.6、0.60、0.22 和 0.08 V。约经过 $5\tau$ 后，电容器在实际意义上已经充满。

两张图通过 $I=Cd{V}_C/dt$ 相互联系：下方曲线就是上方曲线的斜率乘以 $C$。在电压陡峭上升的开始阶段，电流很大；电压趋于平稳时，电流逐渐消失。

最后看 $I(t)$ 曲线下方的阴影面积。电流是单位时间内的电荷量，因此电流曲线下的面积就是输送的总电荷：
$Q={\int }_0^{\infty }{I}_0{e}^{-t/\tau }dt=I_0\tau =1.2\mathrm{mA}\cdot 1\mathrm{s}=1.2\mathrm{mC}$
这正是动画中最终 $Q$ 的读数，它与 $C{V}_0$ 相等，也理应如此。它还等于高为 $I_0$、宽为 $\tau$ 的虚线矩形的面积：长长的指数尾部恰好包含了矩形所遗漏的那部分电荷。

储存的能量 $W=\frac{1}{2}C{V}_C^2$ 滞后于电压变化，因为它与 $V_C$ 的平方成正比。在 $t=\tau$ 时，电压为 63 %，但能量读数只有 2.88 mJ，即最终 7.2 mJ 的 40 %（也就是 $0.63^2$）。

能量去了哪里

用电池给电容器充电时，总会有能量被浪费，而且损失的比例始终相同。要弄清其中原因，可以比较电容器储存的能量与电池提供的能量。

先看储存的能量。把一小份电荷 $dq$ 从负极板移到正极板，需要克服已有的电压 $q/C$，所做的功为 $dW=(q/C)dq$。从零电荷累加到最终电荷 $Q$，得到
$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{V}^2$
因子 ½ 的来源是：早期的电荷只需克服较小的电压，只有最后的电荷要克服完整的 $V$。

相比之下，电池从一开始就以完整的电压 $V_0$ 推动全部 $Q=C{V}_0$ 的电荷，因此它提供的能量为 $Q{V}_0=C{V}_0^2$。在动画中，这是 14.4 mJ，是所储存的 7.2 mJ 的两倍。两者之差转化为电阻中的热量，对功率 $I^{2}R$ 积分即可验证：
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{V_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/RC}dt=\frac{1}{2}C{V}_0^2$

恰好损失一半，即 7.2 mJ，与 $R$ 的取值无关。电阻越小，电流越大，但持续时间越短，两种效应相互抵消。大部分热量产生于早期，此时电流较大：到 $t=\tau$ 时，电阻已将 6.2 mJ 转化为热量。下面的例题将说明如何减少损失。

电场的能量密度

电容器中的储能保存在哪里？平行板公式给出了一个答案。把 $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ 和 $V=Ed$ 代入 $\frac{1}{2}C{V}^2$：
$\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2\cdot Ad$
乘积 $Ad$ 正是间隙的体积，也就是电场所占据的区域。因此，能量可以理解为分布在电场中，其能量密度，即每立方米的能量为
$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$
这一结论对任意电场都成立，而不只限于极板之间。认真对待它会带来一个意外的结果。

能量如何进入间隙

如果能量储存在极板之间的电场中，那么充电时它必然要输送到那里。最直观的猜测是能量沿导线流动，但事实证明这是错误的。

图例

$I$	引线中的电流，向下流到上极板。	$\mathrm{A}$
$\vec{E}$	间隙中的电场，方向向下，随极板充电而增强。	$N/C$
$\vec{B}$	增强的 $\vec{E}$ 产生的磁场，从上方看绕轴顺时针方向。	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	能流（坡印廷矢量），$\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$：每秒每平方米的能量，在边缘各处指向内侧。	$W/{\mathrm{m}}^2$

图 4 展示了充电过程中圆形极板的空气电容器。引线中的电流 $I$ 流向上极板，使极板电荷增加，间隙中向下的电场 $\vec{E}$ 随之增强。

变化的电场同样会产生磁场，就像电流一样。麦克斯韦把项 ${\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$ 称为位移电流，其中 ${\Phi }_E$ 是穿过间隙的电通量。在两极板之间，它恰好等于导线中的电流 $I$，因为 ${\epsilon }_{0}AdE/dt=dQ/dt$。因此，间隙内会有一个磁场 $\vec{B}$ 绕轴线环绕，其方向与导线周围的磁场相同：从上方看为顺时针，这由向下电流的右手定则决定。

现在看间隙的边缘。那里 $\vec{E}$ 向下，$\vec{B}$ 沿圆周方向。能流密度，即坡印廷矢量 $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$，与两者都垂直，而按右手定则，它在边缘的每一点都指向径向内侧。电场能量从周围空间经间隙的敞开侧面流入，而不是沿导线流入。在整个边缘上对 $\vec{S}$ 求和，正好等于间隙内单位体积能量 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ 的增长速率。

由能量求作用力

利用能量还可以求出两极板之间的作用力，而无需知道电荷在极板上如何分布。这种方法称为虚功法：设想一个微小位移，并考察能量如何变化。

把带电电容器隔离，使 $Q$ 不变，然后将一块极板微移 $dz$。你所做的功 $Fdz$ 必须等于储能的增量 $Q^2/(2C)$。对于间距 $z$，$1/C=z/({\epsilon }_{0}A)$，因此储能为 $Q^{2}z/(2{\epsilon }_{0}A)$，与 $z$ 成正比。对 $z$ 求变化率即为作用力：
$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}A}=\frac{1}{2}QE$
为什么是 ½，而不是简单的 $QE$？因为每块极板只产生间隙中一半的电场，而一块极板受到的推力仅来自另一块极板产生的那一半。只要知道 $C$ 随位置的函数关系，这种方法对任意形状都适用。

一个数字能说明这个力有多弱。若将动画中的 100 µF 做成间隙为 1 mm 的空气电容器，所需极板面积为 $A=Cd/{\epsilon }_0\approx 1.1\times 10^4{\mathrm{m}}^2$，约为一个半足球场的面积。在 12 V 电压下，两极板间的吸引力为 $F=W/d=7.2\mathrm{N}$，压强仅为 $6.4\times 10^{-4}\mathrm{Pa}$。这一压强正好等于电场的能量密度 $u$：单位面积上的力与单位体积的能量具有相同的量纲，而且在这里数值也相同。

电介质

在间隙中放入绝缘体，会使电容增大为其相对介电常数 ${\epsilon }_r$ 倍。其原因是极化。在电场中，绝缘体的分子会伸长或转动，使其正负电荷略微分开。在材料内部，这些位移相互抵消，但会在其两个表面留下束缚电荷：靠近正极板的一面为负，靠近负极板的一面为正。这些束缚电荷产生的电场与极板上自由电荷的电场方向相反，从而部分抵消了后者。

在电荷 $Q$ 不变时，间隙中的电场以及电压随之降低为原来的 ${\epsilon }_r$ 分之一，因此 $C=Q/V$ 增大为原来的 ${\epsilon }_r$ 倍。若电压不变，则流到极板上的电荷增加为原来的 ${\epsilon }_r$ 倍。无论哪种情形，都有 $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$。

例题：分两步充电

损失一半能量是在固定电压下充电的代价，并非自然界的定律。以动画中的电容器和电阻为例，取 $C=100\mu \mathrm{F}$，$R=10\mathrm{k\Omega }$，因此 $\tau =1\mathrm{s}$，分两个阶段充到 12 V：先用 6 V 电源充满，再用 12 V 电池充电。总共会产生多少热量？

第一阶段就是电压减半的动画情形。电源以 6 V 的电压输送 $C\cdot 6\mathrm{V}=0.6\mathrm{mC}$ 的电荷，提供 3.6 mJ 的能量。其中 $\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 6^2=1.8\mathrm{mJ}$ 被储存，另外 1.8 mJ 变为热量：仍是一半。

第二阶段从 $V_C=6\mathrm{V}$ 开始，因此只有 6 V 的差值驱动电流通过电阻。在弛豫规律中取 $x_0=6$、$x_{\infty }=12$，电压以伏、电流以毫安计，得
$V_C=12-6e^{-t/\tau },I=0.6e^{-t/\tau }$
电流一开始仅为 0.6 mA，产生的热量为
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{(6\mathrm{V}{)}^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{36}{10^4}\cdot 0.5\mathrm{J}=1.8\mathrm{mJ}$

能量收支与此一致。在这一阶段，电池又以 12 V 的电压输送 0.6 mC 的电荷，提供 7.2 mJ 的能量，而储能从 1.8 mJ 增加到 7.2 mJ，增加了 5.4 mJ。两者之差再次是 1.8 mJ 的热量。

总计损失 3.6 mJ，而不是 7.2 mJ。一般规律是：每个大小为 $\Delta V$ 的阶段，都会把 $\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$ 转化为热量，与起始电压无关，因此 $N$ 个相等的阶段损失 $\frac{1}{2}C{V}_0^2/N$：若分为十二个 1 V 的阶段，只损失 0.6 mJ。若供电电压的升高相对于 $\tau$ 很缓慢，则损失几乎为零，这正是低功耗电子学中绝热充电的思想。代价是时间，因为每个阶段都需要约 $5\tau$ 才能完成。

简单模型的局限

公式 $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A/d$ 假设电场是均匀的，并在极板边缘急剧截止。实际上，电场在边缘处向外鼓出，这种边缘场会增加电容：对于直径 10 cm、间距 1 mm 的圆盘，约增加 4 %；间距为 0.1 mm 时，约增加 0.6 %。

实际的绝缘体也会漏过一点电流，而且每种绝缘体在超过某个称为介电强度的电场时都会击穿，突然导通并产生火花。对于干燥空气，这个值约为 3 MV/m，这使得空气间隙的能量密度上限为 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\approx 40J/{\mathrm{m}}^3$。聚合物薄膜能承受数百兆伏每米的电场，可储存几 MJ/m³，但仍只有锂离子电池的几百分之一。电容器的优势在于速度，而不在于储能。

电路模型还假设变化是准静态的：变化足够缓慢，使各处的电场都能跟上电荷的变化。高频时有两个效应会打破这一假设。第一，实际元件存在电感：一个小型陶瓷电容器的引线和极板约有 1 nH 的电感，因此 100 nF 的元件在约 16 MHz 附近谐振，高于该频率时就像一个线圈。第二，即使是理想极板也会失效，因为图 4 中变化的磁场会感应出它自己的电场，从而改变间隙中的 $\vec{E}$。在 1 GHz 时，半径为 1 cm 的极板边缘处的电场比中心弱约 1 %，而在 11 GHz 附近，这样的极板就成为一个谐振腔。

最后，电荷是不可无限细分的。多一个电子，会使 1 fF 电容器的电压升高仅 0.16 mV。但添加一个电子所需的能量随电容减小而增大，电容低于几 aF 时，这一能量就超过室温下的热能，约 0.026 eV。此时电子只能一个一个地进入，这种效应称为库仑阻塞，单电子晶体管正是利用了它。

延伸与联系

《电流与电阻》解释了决定 $\tau$ 的电阻，《直流电路与欧姆定律》则讲解了充电规律背后的回路定律。在《家庭中的电功率与电能》中，接在交流电压上的电容器每个周期都会储存并释放能量。《电磁感应》引入了电感：它与电容器一起满足 $L\ddot{q}+q/C=0$，这是《简谐运动》的方程，其中 $\omega =1/\sqrt{LC}$；而电阻会使它成为《阻尼与共振》中的一个例子。间隙中的位移电流是补全场方程的一项，并预言了《电磁波》的存在；而带有时间常数的指数规律，也会在《放射性与半衰期》中再次出现。