电荷与静电

入门

在暗室里把羊毛衫套过头顶，你可能会看到细小的火花，还能听到噼啪声。这就是静电：积聚在物体上并保持不动的电荷。

第 1 步：两种电荷。万物都由原子组成。每个原子的中心是带正电（+）的质子，周围运动着质量轻得多、带负电（−）的电子。普通物体中的电子数恰好等于质子数，因此呈电中性。

第 2 步：游戏规则。同种电荷互相排斥；异种电荷互相吸引。

第 3 步：摩擦起电。有些材料比其他材料更牢固地束缚自己的电子。用橡胶气球在羊毛围巾上摩擦，电子就会从羊毛转移到气球上。气球多出了电子，所以带负电；羊毛缺少同样数量的电子，所以带正电。电荷既没有被创造，也没有消失，只是转移了，总量保持不变。

第 4 步：导体与绝缘体。在金属中，部分电子可以自由游动，因此多余的电荷会分布到整个物体上，这些是导体。在橡胶、塑料、纸和羊毛中，电子固定不动，电荷停留在放置的位置，这些是绝缘体。

第 5 步：吸引中性物体。带电气球会推动附近纸片内的电荷，使面向气球的一侧略带正电。这一侧距离更近，因此吸引力占上风，纸片就跳了起来。

自测：塑料梳子从你的头发上获得电子。梳子带正电还是负电？它会吸引还是排斥你的头发？（带负电；吸引，因为你的头发现在带正电。）

在动画中，蓝色电子从羊毛跳到气球上，留下红色的正号；随后纸屑跳起，飞向气球。

中级

电荷是什么，以及如何计量

电荷是构成原子的粒子所具有的一种性质。它分为两种，由本杰明·富兰克林命名为正和负：原子核中的质子带正电，质量轻得多、绕核运动的电子带负电，中子不带电。同种电荷相斥，异种电荷相吸。原子中的电子数与质子数相等，因此呈电中性：净电荷为零，但两种电荷都大量存在。

电荷以库仑（C）为单位计量，静电荷通常以纳库仑（1 nC 为 $10^{-9}\mathrm{C}$）或微库仑计。电荷总是最小单位即元电荷的整数倍：质子带 $+e$，电子带 $-e$，其中
$e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
因此任何物体的电荷为
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$

在固体中，原子核被固定不动，只有电子移动，因此 $n$ 表示得到（符号为 $-$）或失去（符号为 $+$）的电子数。一库仑等于 $6.24\times 10^{18}$ 个元电荷。

摩擦分离电荷；总电荷守恒

两种不同材料接触时，一部分表面电子会转移到束缚力更强的一方；摩擦则增加了接触点的数量。橡胶、聚氯乙烯和聚乙烯从羊毛、头发和皮肤上夺取电子，而玻璃则会把一部分电子让给丝绸。这种排序称为摩擦起电序列，只是粗略的参考：湿度和污垢都可能改变它。

摩擦并不会产生电荷，而是分离原本就存在的电荷。在孤立系统中（没有电荷进入或离开），总电荷永不改变：
$\sum q=\mathrm{const}\text{(isolated system)}$
求和时要计入符号：带负电的气球与带等量正电的围巾相加为零，与它们接触前一样。从未有任何实验发现这一定律被打破。

例题：动画中的气球

在动画中，气球经过四次上下摩擦，计数器升至 $n=6.0\times 10^{10}$ 个电子；每个跳过去的蓝色负号代表 $10^{10}$ 个电子。气球得到了电子，因此
$q=-ne=-6.0\times 10^{10}\cdot 1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$
$q=-9.6\times 10^{-9}\mathrm{C}=-9.6\mathrm{nC}$

羊毛恰好失去了这些电子，因此带有 $+9.6\mathrm{nC}$ 的电荷。这些是蓝色和红色读数上的最终值；摩擦过程中的任一时刻，二者都大小相等、符号相反，因为羊毛上留下的每个红色正号都对应气球上的一个蓝色负号。

这算多吗？一个 3 g 的气球约含 $10^{24}$ 个电子，因此只有 17 万亿分之一的电子是多出来的。电场力非常强，即使这么小的失衡也能把纸屑吸起来。

导体与绝缘体

在金属中，每个原子有一两个电子可以在整块金属中自由流动，因此多余的电荷会立即散开，并停留在外表面。这类材料是导体：金属、盐水和人体（后两者的载流子是离子）都是导体。

在橡胶、塑料、玻璃和干燥纸张等绝缘体中，电子被束缚在各自的原子上，因此电荷停留在放置的位置。这就是动画中气球被摩擦的一侧朝向纸片的原因。用赤手握着金属汤匙摩擦，无法使其带电：电荷会经由你的身体流入大地。

将导体与大地相连（大地可以提供或吸收任意多的电荷），称为接地。潮湿天气中，物体表面的水膜也会漏电，只是速度较慢，因此静电实验在干燥的日子效果最好。

例题：球体之间的电荷分配

两个导体接触时，电子会一直流动，直到没有任何力再推动它们为止。由对称性可知，相同的导体最终带有相等的电荷，而守恒定律则确定了总量：
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(identical conductors in contact)}$

三个相同的金属球放在绝缘支架上：A 带 $-12\mathrm{nC}$，B 不带电，C 带 $+4\mathrm{nC}$。A 先与 B 接触，然后 B 再与 C 接触。每个球最终带多少电荷？

第一次接触：总电荷为 $-12\mathrm{nC}$，因此 A 和 B 各带 $-6\mathrm{nC}$，此时有 $6\mathrm{nC}/e=3.7\times 10^{10}$ 个电子从 A 转移到了 B。第二次接触：总电荷为 $-6+4=-2\mathrm{nC}$，因此 B 和 C 各带 $-1\mathrm{nC}$。验算：$-6-1-1=-8\mathrm{nC}$，即起始总量 $-12+0+4$。第二次接触时，有 $5\mathrm{nC}/e=3.1\times 10^{10}$ 个电子从 B 转移到 C，抵消了 C 的 $+4\mathrm{nC}$，并使其略带负电；没有任何正电荷移动。

不接触也能吸引：极化与感应

带电物体无需接触就能吸引中性物体。将带负电的棒靠近金属球：球内的自由电子被推向远侧，使近侧带正电。这就是静电感应。金属球仍然呈电中性，但其带正电的一侧离棒更近，而电场力随距离减弱，因此吸引力占上风。

纸是绝缘体，电子无法移动；取而代之的是，每个分子会被轻微拉伸成一个微小的偶极子，即相距很小距离的一对等量异号电荷。纸片被极化：面向气球的一面带正电，远离气球的一面带负电，正如特写中 + 号与 − 号分开所示。

中间纸片上的箭头展示了这场较量。代表纸片重量的 $mg$ 箭头保持不变，而代表电场引力的绿色 $F$ 箭头随着气球下降越来越快地增长。当 $F$ 与 $mg$ 等长时，纸片起飞；位于气球正下方的中间纸片率先起飞。验电器也利用了感应：靠近其顶端的带电棒会把与棒同号的电荷驱赶到两片薄金属箔上，箔片因相斥而张开。

常见错误

• 摩擦并不产生电荷：气球的 $-9.6\mathrm{nC}$ 和羊毛的 $+9.6\mathrm{nC}$ 原本就存在于中性物质中，二者之和仍然为零。
• 带正电的物体是失去了电子，而不是得到了质子：羊毛的 $+9.6\mathrm{nC}$ 意味着缺少 $6.0\times 10^{10}$ 个电子。
• 呈中性并不等于不含电荷：一个中性的 3 g 气球，其电子携带约 160,000 C 的负电荷，恰好被原子核的正电荷抵消。
• 吸引并不能证明物体带电：中性纸屑会被任一符号的电荷吸引。只有排斥才能说明两个物体带有同号电荷。
• 应乘以 $e$，而不是除以它：$6.0\times 10^{10}$ 个电子携带 $9.6\times 10^{-9}\mathrm{C}$ 的电荷，而除法会得到荒谬的 $3.7\times 10^{29}\mathrm{C}$。

生活中的应用

静电用于激光打印机和复印机，其带电鼓按页面图案吸附碳粉；也用于静电喷涂，以及静电除尘器，后者能去除发电厂烟气中 99% 以上的灰分。静电也是一种危险：干燥的日子里走过地毯，身上可能积累约一微库仑的电荷，足以在门把手上产生火花；油罐车在卸油前要先接地。一次闪电放电携带约 5 至 30 C 的电荷。

下一课《库仑定律》将测量两个电荷之间的作用力。《电场与电势》、《电容器》和《电流与电阻》则分别讨论电荷周围的空间、电荷的存储以及电荷的运动。

高级

几乎自我抵消的力

本节解释：尽管大多数物质看起来不带电，电力为何仍主宰着日常世界。两个小电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 相距 $r$，二者之间以大小为
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
的力相互吸引或排斥（库仑定律），其中 $k=8.99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$。与引力一样，这一力与距离的平方成反比。但与引力不同，它强得无法相比。比较两个质子之间的两种力，每个质子电荷为 $e$、质量为 $m_p$，$G$ 为引力常量。两种力都含有相同的 $1/r^2$，因此 $r$ 相消，比值在任何距离上都相同：
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1.2\times 10^{36}$

那么，我们为何很少注意到它？因为电荷有两种符号，而物质中的正负电荷几乎完全平衡：原子或分子的电荷与零的偏差不超过 $10^{21}$ 分之一个 $e$。粗略估算可说明为何平衡必须精确到这种程度。1 g 水滴含有 $3.3\times 10^{23}$ 个电子，电荷约为 $5.4\times 10^4\mathrm{C}$，并由其原子核中同等数量的正电荷抵消。从两个这样的水滴中各取出百万分之一的电子，并将它们相距 1 m 放置。每个水滴将留下 $q=+0.054\mathrm{C}$，二者之间的斥力为
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2.6\times 10^7\mathrm{N}$
约相当于 2600 吨的重量。

我们实际感受到的是残余效应。相邻原子是中性的，但在原子尺度上，它们的正负电荷并不完全重合。这一微小的错位，正是桌子的支撑力、绳子的张力以及化学键的来源。

量子化、不变与守恒

三条实验事实界定了电荷的本质。任何物质理论都必须遵守这三条。

第一，电荷是量子化的：它只以元电荷 $e$ 的整数倍出现。1909 年至 1913 年间，罗伯特·密立根在电场中用微小带电油滴与重力相平衡，证明了这一点；他测得的每个电荷都是 $e$ 的整数倍。自 2019 年起，国际单位制精确规定 $e=1.602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$，并以此定义库仑。夸克带分数电荷 $+\frac{2}{3}e$ 或 $-\frac{1}{3}e$，但从未被单独发现。它们总是束缚成带整数电荷的粒子：质子（uud）带 $+e$，中子（udd）为零。

第二，电荷是不变的：它不依赖于带电粒子的运动速度。在氦原子核内，质子的运动速度是光速的相当大一部分；而在氢分子中，质子几乎静止。如果质子的电荷随速度而变，那么两种气体中的一种就会带有净电荷，然而二者都在约 $10^{20}$ 分之一的精度上呈电中性。能量、动量、长度和时间间隔都依赖于观察者；电荷却不依赖。

第三，电荷是守恒的：在每一个被观测到的过程中，过程后的总电荷都等于过程前的总电荷。掠过原子核附近的伽马射线可以转化为一个电子和一个正电子，$0\to (-e)+(+e)$。自由中子衰变为一个质子、一个电子和一个反中微子，$0\to (+e)+(-e)+0$。粒子会产生和消失，但净电荷不变。

局域守恒：连续性方程

图例

$S$	包围体积 $V$ 的闭合曲面。
$V$	$S$ 内的体积，保持固定。	${\mathrm{m}}^3$
$\rho$	$V$ 内单位体积的电荷（红点）。	$C/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{J}$	电流密度：单位面积的电流，指向正电荷的流动方向。	$A/{\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	$S$ 上的一个小面元，写成矢量：长度为该面元的面积 $dA$，指向 $V$ 外部。	${\mathrm{m}}^2$
$\theta$	$\vec{J}$ 与 $d\vec{A}$ 之间的夹角；电荷流入处大于 $90^{\circ }$。	$\mathrm{rad}$

守恒所说的不止是“总量保持不变”。电荷不可能在一处消失、在另一处重新出现；它必须移动到那里。本节将这一思想写成方程，图 1 则给出了计算的框架。

图 1 所示为一个固定体积 $V$，由闭合曲面 $S$ 围成。其内的电荷用电荷密度 $\rho$ 描述，即单位体积的电荷（红点）。运动的电荷用电流密度 $\vec{J}$ 描述，即单位面积的电流，指向正电荷的流动方向。箭头 $\vec{J}$ 以两个方向穿过 $S$：大部分离开 $V$，但左侧的两个箭头则进入其内。

为了计算穿过 $S$ 的电荷量，将其切割成许多小面元。右侧放大的面元面积为 $dA$，我们把它表示为矢量 $d\vec{A}$，其长度为 $dA$，并指向 $V$ 外部。只有 $\vec{J}$ 沿 $d\vec{A}$ 方向的分量才会携带电荷穿过该面元；与面元平行的分量则从其旁边滑过。因此通过该面元流出的电流为
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
其中 $\theta$ 是放大面元上两个箭头之间的夹角。电荷流出之处，$\theta$ 小于 $90^{\circ }$，该项为正；电荷流入之处，$\theta$ 大于 $90^{\circ }$，该项为负。对所有面元求和，${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$ 即为流出 $V$ 的净电流。

现在来看物理含义。由于 $V$ 固定，其内的电荷只能通过穿过 $S$ 而改变。因此，内部电荷减少的速率恰好等于净电流流出的速率：
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
这就是局域守恒的积分形式。要将其转化为关于单点的表述，需使用散度定理，它把闭合曲面的通量改写为散度的体积分：${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$。由于 $V$ 不随时间变化，时间导数可以移入左侧的积分号内，两边便成为同一体积上的积分：
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
对任意固定体积，无论多小，这一式都成立。若一个积分在每个小区域上都为零，那么只有被积函数在每一点都为零时才可能如此，因此
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
这就是连续性方程。用文字表述：哪里的电荷密度在下降，电流就从那一点向外散开。

既然整体守恒同样能保持总量不变，为何还要坚持局域定律？设想电荷在地球上消失，同时在月球上出现。总量仍然不变。但在相对论中，对一位观察者同时发生的两个相距遥远的事件，对另一位相对运动的观察者来说并不同时。第二位观察者会看到电荷暂时缺失，或同时出现在两处。只有连续地穿过边界流动的电荷，才会对每位观察者都守恒。

动画中的 $q(t)$ 图像展示了积分形式的作用。在气球周围画出 $S$。电荷只在气球与羊毛接触处穿过它，因此蓝色气球曲线的斜率就是流入气球的电流。红色羊毛曲线在每一时刻的斜率都与之相反：一方得到的，另一方失去。电荷在 3.2 s 内变化了 9.6 nC，平均电流为 3.0 nA。转移量随摩擦距离而变，因此电流在行程中段约为 4.7 nA 时达到峰值，而在每次行程两端（气球停止并反向之处）降为零。

为何中性物体会被拉动

图例

$Q$	正的场源电荷。	$\mathrm{C}$
$d$	$Q$ 到物体中心的距离。	$\mathrm{m}$
$q$	场将物体中分开的两个电荷中每一个的大小。	$\mathrm{C}$
$\vec{s}$	电荷的间距，由 $-q$ 指向 $+q$；偶极矩为 $\vec{p}=q\vec{s}$。	$\mathrm{m}$
$\vec{E}(\vec{r})$	$Q$ 在 $-q$ 端（较近的一端）处的电场，位置为距 $Q$ 的 $\vec{r}$。	$N/C$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	$Q$ 在 $+q$ 端处的电场：较弱，因为该端离 $Q$ 更远。	$N/C$
${\vec{F}}_{-}$	作用于 $-q$ 的力，指向 $Q$。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{+}$	作用于 $+q$ 的力，背离 $Q$ 且较小。	$\mathrm{N}$
$\vec{F}$	物体所受净力，${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$：指向 $Q$。	$\mathrm{N}$

带电气球能吸起不带净电荷的纸屑。本节解释其原理，并求出气球靠近时吸引力增长的速率。

图 2 所示为一个中性物体，它与正电荷之间的距离为 $d$，该正电荷的电荷量为 $Q$。物体内的电荷并非刚性固定，它们可以轻微移动。$Q$ 的电场方向背离 $Q$，因此它把正电荷推开，把负电荷吸近。电荷 $-q$ 聚集在近侧，$+q$ 聚集在远侧，二者被小矢量 $\vec{s}$ 分开，其方向由 $-q$ 指向 $+q$。物体已成为感应偶极子，其偶极矩为 $\vec{p}=q\vec{s}$。$\vec{p}$ 的大小取决于电荷移动的难易程度。在比原子内部电场弱得多的电场中，它与电场成正比，
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
其中常数 $\alpha$，即极化率，衡量这种难易程度。

现在考察作用力。偶极子的每一端都受到其所在位置的电场作用。设 $\vec{r}$ 为近端的位置，从 $Q$ 量起。$-q$ 端位于 $\vec{r}$ 处，处于电场 $\vec{E}(\vec{r})$ 中，被拉向 $Q$，受力 ${\vec{F}}_{-}$。$+q$ 端位于 $\vec{r}+\vec{s}$ 处，更靠外，处于较弱的电场 $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$ 中，受到较小的力 ${\vec{F}}_{+}$ 而被推离。两个电荷大小相等、符号相反，但它们所处的电场并不相等，因此这些力不会相互抵消。它们的和，即图中画在物体下方的净力 $\vec{F}$，指向 $Q$。

为求其大小，将两个力相加，并在短步长 $\vec{s}$ 上对电场作展开：$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$，其中 $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ 是该步长上 $\vec{E}$ 的变化量。于是
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
因此，只有当电场随位置变化时，偶极子才会受到净力。

接着代入 $\vec{p}=\alpha \vec{E}$。对任意电场，$(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$，而静电场无旋度，$\nabla \times \vec{E}=0$。因此
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
在点电荷附近，$E=kQ/r^2$，故 $E^2=k^2{Q}^2/r^4$。其梯度指向 $Q$，大小为 $4k^2{Q}^2/r^5$。在物体处，$r=d$，吸引力为
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(point charge)}$

由此得出三个推论。第一，无论场源的符号如何，吸引力总是指向场强更强的地方，因为 $E^2$ 不计符号。若将图 2 中的 $Q$ 改为负电荷：$\vec{E}$ 与 $\vec{p}$ 都反向，$+q$ 端变为较近的一端，但 $\vec{F}$ 仍指向 $Q$。第二，在均匀电场中 $E^2$ 处处相等，因此没有净力。细长的物体仍会转动，因为它沿长度方向最容易极化；这正是纸屑在飞行中会转动并以一端落下的原因。第三，吸引力变化非常陡峭：$d$ 减半，吸引力增大 $2^5=32$ 倍。

动画中中间纸片的 $F/mg$ 图像展示了这种陡峭程度。气球在 5.6 s 开始下降时，吸引力为纸片重量的 6%。在 7.0 s 时达到四分之一，在 7.4 s 时超过一半，并在约 7.6 s 时越过 1 处的虚线，此时纸片升起。与此同时，气球中心到纸片的距离从 80 个单位缩短到 52 个单位。若电荷位于中心，$1/d^5$ 定律会使吸引力增大 $(80/52{)}^5\approx 8.6$ 倍；实际上它增大了 17 倍。原因在于，电荷位于气球下表面，而该表面最近的部分距纸片的距离几乎缩小为原来的一半。纸片一旦升起，间距进一步缩小，吸引力便急速增大。

平衡状态下的导体

在导体中，部分电荷可以自由移动：在金属中即电子。只要有任何电场推动它们，它们就会持续运动，因此一切稳定后，材料内部的电场为零，$\vec{E}=0$。随后，《电场与电势》中所述的高斯定律表明，内部任何地方都不存在净电荷：所有多余电荷或感应电荷都位于表面。表面外侧的电场与表面垂直，因为任何沿表面的分量都会继续推动表面电荷。其大小为 $E=\sigma /{\epsilon }_0$，其中 $\sigma$ 是表面单位面积的电荷，${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ 为真空介电常数。

同样的可移动性也解释了感应起电。将带电棒靠近导体，异号电荷便聚集在面向棒的一侧。将导体接地：电荷通过接地线流动，直到导体带有与棒相反的净电荷，并被棒的吸引力保持在那里。先断开接地线，再移走棒，导体便保留住这些电荷。

电荷聚集于表面弯曲处

图例

$V$	导线和两球的电势：整个导体上处处相同。	$\mathrm{V}$
$R_1$	较大球的半径。	$\mathrm{m}$
$R_2$	较小球的半径。	$\mathrm{m}$
$q_1$	较大球的电荷。	$\mathrm{C}$
$q_2$	较小球的电荷。	$\mathrm{C}$
${\vec{E}}_1$	较大球外侧紧邻其表面的电场，垂直于表面。	$N/C$
${\vec{E}}_2$	较小球外侧紧邻其表面的电场：更强，因为 $E=V/R$。	$N/C$

带电导体上的电荷并非均匀分布：它会在表面弯曲最剧烈的地方堆积。图 3 展示了使这一点精确化的最简单情形。

图 3 展示两个导体球，半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，其中第一个较大，二者相距很远，并由一根细导线相连。它们共同构成一个导体，因此电荷通过导线流动，直到全部电荷（导线与两球）处于同一电势 $V$。由于两球相距很远，每个球的电势仅来自其自身电荷，而带电荷 $q$、半径为 $R$ 的球的电势为 $V=kq/R$。令两者电势相等，$k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$，于是
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
较大的球带有较多的电荷。现在看电场箭头。球表面的电场为
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
由于 $V$ 是共同的，$E$ 与 $1/R$ 成正比。因此，小球上的 ${\vec{E}}_2$ 比 ${\vec{E}}_1$ 长，比例为 $R_1:R_2$；图中箭头即按 $R_1=2R_2$ 绘制。球越小，其表面电场越强，并且由于 $E=\sigma /{\epsilon }_0$，其单位面积所带的电荷也越多。

同样的规律也适用于任意形状的单一导体：尖端的行为类似小球，平坦区域则类似大球。半径为 0.1 mm 的尖端位于半径为 10 cm 的物体上，其表面电场约为物体的一千倍。这就是火花和电晕放电微弱辉光都从尖端和棱边开始的原因。

例题：小珠何时跳起？

本题将感应偶极子的力应用于一个实际物体。将气球的电荷 $Q=9.6\mathrm{nC}$ 置于绝缘支架上的一个半径为 1 cm 的金属球上。球外部的电场恰好等于位于球心的点电荷 $Q$ 的电场。球下方有一个轻质导电小珠，由涂有石墨的聚苯乙烯泡沫制成，直径 2 mm，质量密度为 ${\rho }_m=20kg/{\mathrm{m}}^3$。金属球必须靠近到多近，小珠才会跳起？

第 1 步，吸引力。半径为 $a$ 的小导体球的极化率为 $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$。代入 $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$，得到
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
其中 $d$ 为金属球与小珠中心之间的距离。

第 2 步，重力。小珠的质量等于其体积乘以密度，因此 $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$。

第 3 步，条件。当 $F>mg$ 时小珠升起。两边都含有 $a^3$，将其消去：
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
解出 $d^5$：
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

第 4 步，代入数值。在国际单位制下 $3k{Q}^2=2.5\times 10^{-6}$，$2\pi {\rho }_{m}g=1.23\times 10^3$，因此 $d^5<2.0\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^5$，$d<1.8\mathrm{cm}$。当小珠中心与金属球中心的距离小于 1.8 cm 时，小珠跳起。扣除金属球半径 1 cm 与小珠半径 1 mm，两表面之间的间隙约为 7 mm。

升起距离如何随参数变化

图例

$d$	带电球中心到小珠中心的距离。	$\mathrm{m}$
$F$	小珠受到的向上吸引力，$F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$，其中 $a$ 为小珠的半径。	$\mathrm{N}$
$mg$	小珠的重力（虚线）。	$\mathrm{N}$
$Q$	球上的电荷；左侧曲线对应 $Q$，右侧对应 $2Q$。	$\mathrm{C}$
$d_Q$	对于电荷 $Q$，吸引力等于重力时的距离：1.8 cm。	$\mathrm{m}$
$d_{2Q}$	对于电荷 $2Q$，吸引力等于重力时的距离：2.4 cm。	$\mathrm{m}$

例题只给出一个数值。图 4 展示了当电荷或小珠发生变化时该数值如何变化，以及为何小珠的尺寸会被消去。

图 4 以小珠所受吸引力 $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$ 对金属球中心距离 $d$ 作图。随着 $d$ 减小，吸引力急剧上升。重力 $mg$ 与 $d$ 无关，因此它是虚线水平线。只要某条曲线位于该线之上，小珠就会升起，也就是说，在交点以内的任何距离都会升起。对于电荷 $Q$（左侧曲线），交点位于 $d_Q$，即上面求得的 1.8 cm。

现在将电荷加倍。吸引力与 $Q^2$ 成正比，因此在每个距离上都增大为 4 倍，对于 $2Q$ 的右侧曲线会在更远处与直线相交。在新的交点处，吸引力仍须等于 $mg$，因此 $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$，于是
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1.32d_Q$
即 2.4 cm。由于是五次方，电荷加倍只使距离增加约三分之一。

只要小珠相对于 $d$ 足够小，小珠的尺寸就无关紧要，只有密度有关，因为 $a^3$ 已被消去。若小珠密度增大 32 倍，虚线将升高 32 倍，交点处的距离则缩短为原来的一半（缩短因子 $32^{1/5}=2$），即 0.9 cm。这一距离位于半径为 1 cm 的金属球内部，因此这种小珠在接触之前永远无法升起。

接触时会发生什么？导电小珠会分得金属球的一部分电荷，其符号相同，因此随即被排斥并弹开。纸的导电性很差，充电非常缓慢，这就是为什么纸屑反而会粘在气球上。

适用范围的限制

本课中的每个模型都只在一定范围内成立。

空气仅在约 3 MV/m 以下才能保持绝缘。超过此值后，偶然存在的自由电子在与分子碰撞之间获得的能量足以击出更多电子，于是迅速增长的电子崩便形成火花。气球远未达到这一程度。其电荷分布在约 100 cm² 的摩擦区域上，产生的电场约为 $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\times 10^{4}V/m$，比击穿场强约弱 55 倍；因子 2 的出现是因为带电绝缘薄板的电场在两侧都指向外部。例题中的金属球则近得多：当 $R=1\mathrm{cm}$ 时，其表面电场 $kQ/R^2=8.6\times 10^{5}V/m$，与击穿场强相差不到四倍。在另一个极端，一次闪电携带 5 至 30 C 的电荷，即多达 $2\times 10^{20}$ 个电子，电压可达数百兆伏。

在气球的尺度上，量子化是不可见的：一个电子只能使电荷改变 $6\times 10^{10}$ 分之一。因此，可以像连续性方程中那样，把电荷视为密度为 $\rho$ 的连续流体。定律 $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ 要求电场远低于原子内部的电场，约为 $5\times 10^{11}V/m$，而 $1/d^5$ 定律要求物体相对于 $d$ 很小。摩擦起电序列是经验性的：摩擦表面之间究竟由电子、离子还是微小物质颗粒携带电荷，至今仍有争议。最后，经典静电学无法解释为何电子不会落到质子上。这需要量子力学，其起点见于《原子模型：玻尔原子》。

后续内容

《库仑定律》全面讨论点电荷之间的作用力。《电场与电势》把电场、高斯定律和等势导体变为有用的工具；《电容器》讨论分离电荷的储存；《电流与电阻》则直接研究电流密度 $\vec{J}$。运动电荷还受到磁力（《运动电荷受到的磁场力》），而连续性方程也包含在麦克斯韦方程组中（《电磁波》）。《半导体、二极管与发光二极管》把缺失的电子视为正载流子；《粒子与相互作用：标准模型》则从自然界的一种对称性推导出电荷守恒。