Temperatura y calor

Principiante

Paso 1. ¿Muy caliente o poco? Un termómetro lo dice con un número: la temperatura.
En la escala Celsius, el agua se congela a 0 °C y hierve a 100 °C. Los científicos usan también la escala Kelvin, que empieza en el cero absoluto (unos −273 °C), la temperatura más baja posible; un kelvin es un paso del mismo tamaño que un grado Celsius.

Paso 2. ¿Qué mide en realidad el termómetro? Todo está hecho de partículas diminutas que nunca dejan de agitarse. La temperatura indica con qué fuerza, en promedio, se agita cada partícula: cuanto más caliente está el objeto, más deprisa se mueven sus partículas.

Paso 3. La temperatura no es la cantidad de energía. Una bañera de agua tibia y una cucharilla de la misma agua tienen la misma temperatura, pero la bañera guarda miles de veces más energía de agitación, sencillamente porque contiene miles de veces más partículas.

Paso 4. El calor es energía en movimiento. Cuando un objeto caliente toca uno frío, sus partículas rápidas chocan con las más lentas y les ceden parte de su movimiento. La energía pasa por sí sola de lo caliente a lo frío, nunca al revés, hasta que ambos alcanzan la misma temperatura: el equilibrio térmico. En la animación, las partículas del bloque caliente se agitan al principio con más fuerza; la flecha de calor se encoge a medida que los termómetros se igualan y desaparece cuando ambos bloques están igual de calientes.

Paso 5. Algunos materiales cuestan mucho más de calentar que otros. Un kilogramo de agua necesita unos 4200 julios para subir un grado; un kilogramo de hierro, solo unos 450. Por eso la arena puede quemarte los pies mientras el mar sigue fresco.

Ponte a prueba: las chispas de una bengala superan los 1000 °C y, sin embargo, apenas hacen daño al caer en la mano. ¿Por qué? (Cada chispa es diminuta: está muy caliente, pero lleva muy poca energía.)

Intermedio

Temperatura, calor y sus unidades

La temperatura es lo que indica un termómetro. En la escala Celsius, el agua se congela a 0 °C y hierve a 100 °C. La escala Kelvin (unidad K) tiene grados del mismo tamaño, pero empieza en el cero absoluto, −273,15 °C, la temperatura más baja posible:
$T(\mathrm{K})=T({}^{\circ }\mathrm{C})+273,15$

Por tanto, un cambio de temperatura $\Delta T$ tiene el mismo valor en las dos escalas: pasar de 20 °C a 30 °C es un cambio de 10 K. Solo la escala Kelvin parte de un cero verdadero, así que usa kelvin siempre que las temperaturas se multipliquen, se dividan o se eleven a una potencia.

El calor $Q$ es energía, en julios (J), que pasa de un cuerpo a otro porque sus temperaturas son distintas. Un cuerpo no contiene calor: contiene energía interna $U$, la energía del movimiento desordenado de sus partículas y de las fuerzas entre ellas. El calor, igual que el trabajo, es energía en tránsito: es positivo si entra en un cuerpo y negativo si sale.

Calor específico

Mientras nada se funda, hierva ni reaccione, el calor necesario para cambiar la temperatura de un cuerpo y la capacidad calorífica de ese cuerpo son

• $Q=mc\Delta T$
• $C=mc$

Aquí $m$ es la masa, $\Delta T$ la temperatura final menos la inicial y $c$ el calor específico: la energía que calienta 1 kg del material en 1 K, en J/(kg·K). La capacidad calorífica $C=mc$ del cuerpo entero se mide en J/K. Cuando un cuerpo se enfría, $\Delta T$ y $Q$ son ambos negativos.

Valores típicos, en J/(kg·K): 4180 para el agua, 2100 para el hielo, 900 para el aluminio, unos 800 para la arena seca, 450 para el hierro, 385 para el cobre y 130 para el plomo. Kilogramo por kilogramo, el agua necesita unas nueve veces más energía que el hierro para calentarse lo mismo. Por eso el mar se calienta y se enfría tan despacio.

Balance de calor y temperatura final

Cuando un cuerpo caliente y uno frío se tocan dentro de un buen aislante, el calor fluye hasta que ambos alcanzan una temperatura común $T$, y el calor que pierde el cuerpo caliente es igual al que gana el frío:
$m_1{c}_1(T_1-T)=m_2{c}_2(T-T_2)$
Al despejar $T$, la temperatura de equilibrio, resulta
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1{c}_1{T}_1+m_2{c}_2{T}_2}{m_1{c}_1+m_2{c}_2}$

Es un promedio de las temperaturas iniciales ponderado por la capacidad calorífica: queda entre ambas, más cerca de la del cuerpo con mayor $mc$. Un promedio ponderado no depende de dónde esté el cero de la escala, así que la fórmula sirve tanto en °C como en kelvin. Un cuerpo con el doble de capacidad calorífica cambia su temperatura la mitad.

Ejemplo resuelto: los bloques de la animación

Un bloque de hierro de 1 kg ($c_1=450J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, luego $C_1=450J/K$) a 327 °C toca un bloque de aluminio de 1 kg ($c_2=900J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, $C_2=900J/K$) a 27 °C. Sin pérdidas, el calor que pierde uno es igual al que gana el otro:
$450(327-T)=900(T-27)$
$1350T=147150+24300=171450,T=127{}^{\circ }\mathrm{C}$

El hierro se enfría 200 K, mientras que el aluminio se calienta solo 100 K, porque su capacidad calorífica es el doble. El calor que cruzó el contacto es $Q=450\cdot 200=900\cdot 100=90000\mathrm{J}=90\mathrm{kJ}$. Son los valores finales de las lecturas: $T_1$ y $T_2$ se encuentran en 127 °C mientras $Q$ sube hasta 90 kJ.

Las lecturas muestran también cómo se frena el intercambio: al cabo de 1 s marcan unos 217 °C, 82 °C y 50 kJ, de modo que más de la mitad del calor cruza en el primer segundo. La flecha rojo anaranjado $dQ/dt$, el ritmo de flujo de calor en vatios, tiene una longitud proporcional a $T_1-T_2$. Tiene la mitad de longitud cuando las lecturas llegan a unos 227 °C y 77 °C, y se desvanece a medida que los termómetros se igualan; la columna del hierro baja siempre el doble de deprisa de lo que sube la del aluminio.

Ejemplo resuelto: preparar un baño

Quieres preparar un baño con 80 kg de agua a 38 °C, mezclando agua caliente a 60 °C con agua fría a 12 °C. ¿Cuánta agua caliente necesitas y cuánta energía gastó la caldera en calentarla? Ignora todas las pérdidas.

Las dos son agua, así que $c$ se cancela: $m_1(60-38)=m_2(38-12)$, con el subíndice 1 para el agua caliente y el 2 para la fría. Como $m_1+m_2=80\mathrm{kg}$, resulta $m_1=80\cdot 26/48\approx 43,3\mathrm{kg}$ de agua caliente y 36,7 kg de fría; hay más caliente que fría porque 38 °C está más cerca de 60 °C. La caldera calentó el agua caliente de 12 °C a 60 °C:
$Q=mc\Delta T=43,3\cdot 4180\cdot 48\approx 8,7\times 10^6\mathrm{J}$

Son 8,7 MJ, unos 2,4 kWh (1 kWh son 3,6 MJ), o casi 50 minutos de un calentador de 3 kW.

A qué ritmo fluye el calor: la flecha que se encoge

El balance de calor da el estado final, no el tiempo que se tarda en alcanzarlo. En la animación el calor cruza el contacto a un ritmo $dQ/dt=k(T_1-T_2)$, con una conductancia térmica $k=240W/K$: 72 kW al principio y cada vez menos a medida que la diferencia se cierra. Como el flujo es proporcional a la diferencia, esta se reduce en la misma fracción en tiempos iguales: se reduce a la mitad aproximadamente cada 0,87 s y nunca llega del todo a cero.

Un cuerpo que se enfría en una habitación grande, a temperatura $T_{\mathrm{env}}$, sigue la misma regla, la ley de enfriamiento de Newton:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$
El lado izquierdo es el ritmo de cambio de la temperatura, y la constante de tiempo $\tau$ crece con la capacidad calorífica del cuerpo. El exceso decae como $T-T_{\mathrm{env}}=(T_0-T_{\mathrm{env}})e^{-t/\tau }$: un té a 80 °C en una habitación a 20 °C, cuyo exceso se reduce a la mitad cada 12 minutos, marca 50 °C, 35 °C y 27,5 °C a los 12, 24 y 36 minutos.

Errores frecuentes

• El calor no se almacena en un cuerpo, y el frío no fluye: los 90 kJ de la animación son energía que pasó del hierro al aluminio.
• Usa el cambio de temperatura, no la temperatura final. Calentar de 20 °C a 120 °C una sartén de aluminio de 0,5 kg requiere $0,5\cdot 900\cdot 100=45\mathrm{kJ}$, no 54 kJ.
• Un mismo calor no produce el mismo cambio de temperatura en cuerpos distintos. Los mismos 90 kJ enfrían el hierro 200 K, pero calientan el aluminio solo 100 K.
• Las temperaturas en grados Celsius no se pueden comparar como cocientes: 54 °C no es el doble de caliente que 27 °C, porque 327 K es solo un 9 % más que 300 K.
• Un asa de metal parece más fría que una de madera a los mismos 20 °C solo porque el metal, que conduce el calor cientos de veces mejor, extrae calor de tu piel mucho más deprisa: la piel percibe la pérdida de calor, no la temperatura.

Dónde aparece

El gran calor específico del agua da a las ciudades costeras inviernos más suaves y veranos más frescos, y los océanos han absorbido cerca de nueve décimas partes de la energía extra que atrapan los gases de efecto invernadero. Los motores se refrigeran con agua, los radiadores de acumulación guardan el calor en ladrillos densos, y la energía de los alimentos se mide quemándolos en un calorímetro; una Caloría alimentaria equivale a 4,18 kJ.

El calor que funde o hace hervir en lugar de calentar es el tema de la lección Cambios de estado y calor latente, y el modo en que viaja el calor, el de Conducción, convección y radiación. Dilatación térmica muestra qué le hace el calentamiento al tamaño, Teoría cinética de los gases explica la temperatura como movimiento molecular, y Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas reúne calor y trabajo en un único balance de energía.

Avanzado

La temperatura como condición de equilibrio

Antes de medir una temperatura hay que definirla, y la definición sale de un experimento. Pon dos cuerpos en contacto térmico, de modo que puedan intercambiar energía pero no materia, y espera. Durante un tiempo sus propiedades cambian: las longitudes, las presiones y las resistencias eléctricas van variando. Luego los cambios cesan. Los cuerpos están entonces en equilibrio térmico, y decimos, por definición, que tienen la misma temperatura.

El principio cero de la termodinámica añade un hecho: dos cuerpos que están cada uno en equilibrio con un tercero están en equilibrio entre sí. Eso es lo que hace fiable a un termómetro. El termómetro es el tercer cuerpo: si da la misma lectura en contacto con A y en contacto con B, entonces A y B no cambiarían si se tocaran. Para que funcione, su capacidad calorífica debe ser lo bastante pequeña como para no perturbar la temperatura que mide.

Esta definición dice cuándo dos temperaturas son iguales, pero no cómo numerarlas. Los termómetros de mercurio, de resistencia y de termopar coinciden en sus puntos de calibración pero difieren un poco entre ellos, porque cada uno se apoya en una propiedad de su propio material. Un gas diluido elimina esa dependencia: a volumen constante, su presión es proporcional a una temperatura que es la misma para todos los gases con densidad suficientemente baja. Esa temperatura es la escala kelvin. Desde 2019, el kelvin se fija dando a la constante de Boltzmann un valor exacto, lo que liga toda temperatura $T$ a una energía $k_{B}T$:
$k_B=1,380649\times 10^{-23}J/K$

Lo que reparten los choques

La igualdad de temperaturas también tiene sentido a escala molecular: es la condición en la que los choques dejan de pasar energía, en promedio, de un cuerpo a otro. Un experimento mental muestra por qué.

Toma dos gases distintos en una caja, separados por un pistón que se desliza libremente. El pistón se coloca enseguida donde se equilibran las presiones sobre sus dos caras, pero nunca está del todo quieto: tiembla bajo los impactos moleculares individuales. A través de ese temblor, el lado cuyas moléculas golpean más fuerte en promedio cede energía al otro. El intercambio solo se detiene cuando la energía cinética media por molécula es la misma a ambos lados. En una mezcla, los choques hacen directamente el mismo trabajo, de molécula a molécula. Por eso, en el equilibrio, las moléculas pesadas se mueven más despacio que las ligeras, pero todas tienen el mismo promedio de $\frac{1}{2}m{v}^2$.

La mecánica estadística clásica convierte esto en el teorema de equipartición. En el equilibrio, cada término de la energía de una partícula que es cuadrático en una componente de la velocidad o en una coordenada, como $\frac{1}{2}m{v}_x^2$, tiene el mismo promedio, $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Una molécula de gas monoatómico tiene tres términos de este tipo, uno cinético por cada dirección, así que su energía cinética media es $\frac{3}{2}{k}_{B}T$. Un átomo de un sólido tiene tres términos cinéticos y también tres potenciales, porque sus enlaces lo tiran de vuelta hacia su posición de reposo en cada dirección; su energía media es, por tanto, $3k_{B}T$.

Para un mol de un sólido simple, con $N_A$ átomos y $R=N_A{k}_B$, la energía es $3RT$, de modo que la capacidad calorífica molar es la misma para todos los elementos:
$C_m=3R\approx 25J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$
Es la ley de Dulong y Petit, hallada experimentalmente en 1819. Dividido entre las masas molares del hierro y del aluminio, 0,0558 y 0,0270 kg/mol, $3R$ da calores específicos de unos 447 y 924 J/(kg·K), cercanos a los 450 y 900 que usa la animación. El valor del aluminio es casi el doble que el del hierro porque sus átomos pesan aproximadamente la mitad: un kilogramo de aluminio contiene casi el doble de átomos, y cada uno almacena la misma energía.

Cuánto se agita un átomo

La equipartición dice cuánta energía guarda la vibración de un átomo. La figura 1 convierte esa energía en una distancia, el tamaño de la agitación del átomo, y muestra cómo crece con la temperatura.

Leyenda

$U$	Energía elástica de un átomo en sus enlaces, $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$, donde $k_s$ es la rigidez de los enlaces.	$\mathrm{J}$
$x$	Desplazamiento del átomo respecto de su posición de reposo, a lo largo de una dirección.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$	Energía elástica media a lo largo de una dirección a la temperatura más alta $T_1$, dibujada como un nivel.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$	Energía elástica media a lo largo de una dirección a la temperatura más baja $T_2$, dibujada como un nivel.	$\mathrm{J}$
$x_1$	Punto donde el nivel $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ corta el pozo: el desplazamiento cuadrático medio, el tamaño típico de la agitación, a $T_1$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Lo mismo a $T_2$; menor que $x_1$ en un factor $\sqrt{2}$ cuando $T_1=2T_2$.	$\mathrm{m}$

La figura 1 sigue a un átomo de un sólido que se mueve a lo largo de una sola dirección, con un desplazamiento $x$ respecto de su posición de reposo. Para desplazamientos pequeños, sus enlaces actúan como un muelle de rigidez $k_s$, así que su energía elástica es $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$: es el pozo parabólico de la figura. (Aquí $U$ es la energía de este átomo en sus enlaces, no la energía interna del bloque.) Por la equipartición, el promedio de $U$ es $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Cada línea horizontal está trazada en ese promedio para una temperatura: la de arriba en $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ para el cuerpo caliente, la de abajo en $\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$ para el frío, con $T_1=2T_2$ como en la animación.

Fíjate ahora en dónde corta cada línea al pozo. Allí $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, así que la línea corta el pozo en $x=\pm \sqrt{k_{B}T/k_s}$, un punto a cada lado del centro. Los corchetes bajo el eje miden ese corte desde el centro: $x_1$ para $T_1$ y $x_2$ para $T_2$. Estas distancias tienen un significado físico. Como el promedio de $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ es $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, el promedio de $x^2$ es $k_{B}T/k_s$, y cada corte es exactamente el desplazamiento cuadrático medio: el tamaño típico de la agitación a esa temperatura.

La forma del pozo decide cómo crece ese tamaño. Como $U$ crece como $x^2$, subir la línea al doble de altura aleja el corte solo un factor $\sqrt{2}$: en la figura, $x_1=\sqrt{2}{x}_2$. La agitación crece como $\sqrt{T}$, no como $T$. La animación dibuja sus partículas con esta regla: las del hierro, a 600 K, se agitan con una amplitud $\sqrt{2}\approx 1,4$ veces mayor que las del aluminio, a 300 K.

Calor, trabajo y el primer principio

La temperatura dice en qué sentido irá la energía; el calor es el nombre de ese flujo. En otro tiempo se imaginó el calor como un fluido, el calórico, almacenado en los cuerpos. En la década de 1840, James Joule demostró que unas pesas que caen y hacen girar una rueda de paletas en agua la calientan igual que si se le aportara calor, a razón de unos 4,2 J de trabajo por cada caloría. El calor no es, por tanto, una sustancia, sino energía en tránsito, y la conservación de la energía que lo incluye es el primer principio de la termodinámica:
$\Delta U=Q-W$

Aquí $U$ es la energía interna del sistema, $Q$ el calor que recibe y $W$ el trabajo que realiza sobre su entorno, el convenio de signos de la lección Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas. Si $W$ cuenta, en cambio, el trabajo realizado sobre el sistema, la ley se escribe $\Delta U=Q+W$.

Los dos tipos de transferencia difieren en cómo ocurren. El trabajo es energía transmitida por una fuerza macroscópica que actúa a lo largo de una distancia, como un pistón que empuja un gas. El calor es energía transmitida por choques microscópicos o por radiación, impulsada por una diferencia de temperatura. Solo $U$ es una propiedad del estado de un cuerpo. Un bloque caliente pudo calentarse con una llama, que es calor, o frotándolo, que es trabajo, y nada en el bloque registra cuál de los dos fue; por eso «el calor contenido en un cuerpo» no significa nada.

En sólidos y líquidos, el trabajo realizado contra la atmósfera al dilatarse es despreciable, así que el calor que reciben, $Q=C\Delta T$, es en la práctica su variación de energía interna $\Delta U$. Los gases son distintos: un gas ideal calentado a presión constante también realiza trabajo al expandirse, y por eso su capacidad calorífica molar a presión constante supera a la de volumen constante exactamente en $R$.

Dos bloques en contacto: un acercamiento exponencial

El primer principio fija dónde termina el intercambio; para seguirlo en el tiempo hace falta un modelo de la rapidez con que el calor atraviesa el contacto. Trata cada bloque como uniforme, con una sola temperatura en todo él: el bloque caliente tiene capacidad calorífica $C_1$ y temperatura $T_1(t)$, el frío $C_2$ y $T_2(t)$. Supón que el contacto transporta un flujo de calor proporcional a la diferencia de temperatura, $k(T_1-T_2)$, donde $k$ es la conductancia térmica del contacto, en W/K. La energía de cada bloque cambia solo por este flujo, así que
$C_1\frac{d{T}_1}{dt}=-k(T_1-T_2),C_2\frac{d{T}_2}{dt}=k(T_1-T_2)$

De aquí salen dos resultados. Primero, al sumar las ecuaciones queda $d(C_1{T}_1+C_2{T}_2)/dt=0$: lo que pierde un bloque lo gana el otro, y $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ conserva su valor inicial. Al final las dos temperaturas son iguales, y esto fija la temperatura final:
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1{T}_1(0)+C_2{T}_2(0)}{C_1+C_2}$

Segundo, al dividir cada ecuación entre su capacidad calorífica y restar la segunda de la primera, queda una ecuación solo para la diferencia $\Delta T=T_1-T_2$:
$\frac{d\Delta T}{dt}=-k\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\Delta T$
La diferencia disminuye a un ritmo proporcional a su propio tamaño, que es la marca de una caída exponencial. Partiendo de $\Delta T_0$,
$\Delta T=\Delta T_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{C_1{C}_2}{k(C_1+C_2)}$
La constante de tiempo $\tau$ es larga cuando los cuerpos son grandes o el contacto es malo. La combinación $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$ es siempre menor que cualquiera de las dos capacidades caloríficas, así que el cuerpo más pequeño marca el ritmo.

La animación usa 1 kg de hierro a 600 K (327 °C), con $C_1=450J/K$, y 1 kg de aluminio a 300 K (27 °C), con $C_2=900J/K$. Entonces $T_{\mathrm{eq}}=(450\cdot 600+900\cdot 300)/1350=400\mathrm{K}$, es decir, 127 °C, y el hierro cede $450\cdot 200=90\mathrm{kJ}$ al aluminio. Con $C_1{C}_2/(C_1+C_2)=300J/K$ y $k=240W/K$, la constante de tiempo es $\tau =300/240=1,25\mathrm{s}$ ($1/\tau =0,8{\mathrm{s}}^{-1}$). El flujo arranca en $k\Delta T_0=240\cdot 300=72\mathrm{kW}$, la diferencia se reduce a la mitad cada $\tau \ln 2\approx 0,87\mathrm{s}$, y baja a 1 K tras $\tau \ln 300\approx 7,1\mathrm{s}$.

Cómo leer las dos curvas

La solución se capta mejor con una imagen. La figura 2 muestra dónde terminan las dos temperaturas, con qué rapidez empiezan y qué significa $\tau$ en la gráfica.

Leyenda

$T$	Temperatura de un bloque.	$\mathrm{K}$
$t$	Tiempo transcurrido desde que se pusieron los bloques en contacto.	$\mathrm{s}$
$T_1$	Temperatura del bloque caliente, el hierro; disminuye desde su valor inicial.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Temperatura del bloque frío, el aluminio; aumenta desde su valor inicial.	$\mathrm{K}$
$T_{eq}$	Temperatura final común, el nivel al que se acercan las dos curvas.	$\mathrm{K}$
$\Delta T_0$	Diferencia de temperatura inicial $T_1-T_2$; después la diferencia disminuye como $e^{-t/\tau }$.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Constante de tiempo: el instante en que las dos tangentes iniciales llegan a $T_{\mathrm{eq}}$.	$\mathrm{s}$

La figura 2 dibuja las dos curvas de la gráfica avanzada de la animación, con sus valores. La curva naranja rojizo $T_1$ parte de los 327 °C del hierro y desciende; la curva azul $T_2$ parte de los 27 °C del aluminio y asciende. El corchete de la izquierda abarca la diferencia inicial $\Delta T_0$, de 300 K.

Primero, mira adónde van las curvas. Las dos se curvan hacia la línea verde discontinua $T_{\mathrm{eq}}$, a 127 °C. Esta línea divide el corchete en la proporción 2 : 1, y sigue dividiendo en esa misma proporción la diferencia que se encoge: como $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ es siempre igual a $(C_1+C_2)T_{\mathrm{eq}}$, se cumple $C_1(T_1-T_{\mathrm{eq}})=C_2(T_{\mathrm{eq}}-T_2)$, de modo que el hierro, con la mitad de capacidad calorífica, está siempre al doble de distancia de $T_{\mathrm{eq}}$. En cada instante $T_1-T_{\mathrm{eq}}=\frac{2}{3}\Delta T$ y $T_{\mathrm{eq}}-T_2=\frac{1}{3}\Delta T$: la curva del hierro es la del aluminio reflejada en la línea discontinua y estirada al doble de altura.

Después, mira cómo empiezan. Las dos líneas grises discontinuas son las tangentes en $t=0$, y sus pendientes son los ritmos iniciales: $-k\Delta T_0/C_1=-160K/s$ para el hierro y $+k\Delta T_0/C_2=+80K/s$ para el aluminio. Las dos tangentes llegan a la línea $T_{\mathrm{eq}}$ en el mismo instante, $t=\tau$, marcado en el eje del tiempo: el hierro bajaría sus 200 K, y el aluminio subiría sus 100 K, en 1,25 s. Esto es lo que significa $\tau$: el tiempo que necesitaría una temperatura para llegar a $T_{\mathrm{eq}}$ si conservara su ritmo inicial. En realidad el ritmo disminuye en proporción a la diferencia que queda, así que tras $\tau$ queda cerca del 37 % de la diferencia, y tras $4\tau$ solo cerca del 2 %.

Si el segundo cuerpo es enorme ($C_2\to \infty$, una habitación o un lago), su temperatura apenas se aparta de $T_{\mathrm{env}}$, $\tau$ pasa a ser $C_1/k$, y la primera ecuación se convierte en la ley de enfriamiento de Newton:
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$

Por qué el calor va del caliente al frío

Nada en el primer principio determina el sentido del flujo: la energía se conservaría igual de bien si los 90 kJ volvieran del aluminio al hierro. El sentido lo da el segundo principio de la termodinámica: la entropía total de un sistema aislado no puede disminuir. Un cuerpo a temperatura uniforme $T$ que recibe un calor pequeño $\delta Q$ gana la entropía $\delta Q/T$. La figura 3 aplica esta regla a una pequeña transferencia entre los bloques.

Leyenda

$T_1$	Temperatura del bloque caliente.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Temperatura del bloque frío.	$\mathrm{K}$
$\delta Q$	Pequeña cantidad de calor que pasa del bloque caliente al frío.	$\mathrm{J}$
$\delta Q/T_1$	Entropía perdida por el bloque caliente.	$J/K$
$\delta Q/T_2$	Entropía ganada por el bloque frío.	$J/K$
$dS$	Entropía creada por la transferencia: lo que sobresale la barra inferior, $\delta Q(1/T_2-1/T_1)$.	$J/K$

La figura 3 sigue una pequeña cantidad de calor $\delta Q$ que pasa del bloque caliente, a $T_1$, al frío, a $T_2$; es tan pequeña que ninguna de las dos temperaturas cambia durante la transferencia. El bloque caliente pierde la entropía $\delta Q/T_1$, la barra de arriba; el frío gana $\delta Q/T_2$, la barra de abajo. El calor es el mismo en ambos lados, pero en el lado frío se divide entre una temperatura menor, así que esa barra es más larga: aquí el doble, donde $T_1=2T_2$. La parte de la barra inferior que sobresale de la superior, $dS$, es la entropía que crea la transferencia:
$dS=\delta Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$

Para $\delta Q>0$ esta cantidad es positiva exactamente cuando $T_1>T_2$. Por tanto, el calor que fluye del caliente al frío aumenta la entropía total, y el flujo inverso la disminuiría, cosa que el segundo principio prohíbe. A escala molecular, el flujo inverso no rompe ninguna ley del movimiento; para cuerpos de tamaño cotidiano, simplemente es abrumadoramente improbable.

Para el intercambio completo de la animación, suma pasos como este. La entropía de cada bloque cambia en $dS=CdT/T$, con $T$ en kelvin, e integrando desde las temperaturas iniciales hasta $T_{\mathrm{eq}}=400\mathrm{K}$ resulta
$\Delta S=C_1\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1(0)}+C_2\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2(0)}=450\ln \frac{400}{600}+900\ln \frac{400}{300}\approx 76J/K$
El hierro pierde 182 J/K, pero el aluminio gana 259 J/K: recibe los mismos 90 kJ, pero a temperaturas más bajas, así que cada julio le aporta más entropía.

El segundo principio da además a la temperatura su definición más profunda. Toma una máquina reversible que absorbe un calor $Q_h$ de un foco a $T_h$ y cede un calor $Q_c$ a un foco a $T_c$. Sea cual sea su sustancia de trabajo, $Q_h/Q_c=T_h/T_c$, así que esta razón define una escala de temperatura que no depende de ningún material y que coincide con la escala kelvin del gas ideal. En física estadística, la misma idea se escribe $1/T=\partial S/\partial U$ a volumen fijo: la inversa de la temperatura es la entropía que gana un cuerpo por cada julio que recibe. Por eso el calor fluye hacia el cuerpo más frío: allí cada julio aporta más entropía.

Problema resuelto: una máquina entre los bloques

El contacto directo desperdicia la posibilidad de obtener trabajo de la diferencia de temperatura. Este problema pregunta cuánto trabajo se podría recuperar. Supón que, en lugar de tocarse, los dos bloques alimentan una máquina reversible que toma calor del hierro, cede calor al aluminio y entrega trabajo, hasta que ambos alcanzan una temperatura común $T_f$. El hierro parte de $T_1=600\mathrm{K}$ y el aluminio de $T_2=300\mathrm{K}$. ¿Cuánto vale $T_f$, y cuánto trabajo se entrega?

Leyenda

$T$	Temperatura de un bloque.	$\mathrm{K}$
$s$	Entropía que ha salido ya del hierro; la misma cantidad ha entrado en el aluminio.	$J/K$
$T_1$	Temperatura inicial del hierro, 600 K; el hierro se enfría a lo largo de la curva naranja rojizo.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Temperatura inicial del aluminio, 300 K; se calienta a lo largo de la curva azul.	$\mathrm{K}$
$T_f$	Temperatura final común, donde se encuentran las dos curvas.	$\mathrm{K}$
$W$	Trabajo entregado por la máquina: el área entre las curvas.	$\mathrm{J}$

La figura 4 sigue la máquina en un diagrama temperatura–entropía. Sea $s$ la entropía que ha salido ya del hierro; recorre el eje horizontal. Una máquina reversible no crea entropía, así que la misma $s$ ha entrado en el aluminio. Como $dS=CdT/T$ para cada bloque, el hierro, al perder $s$, se enfría a lo largo de $T_1{e}^{-s/C_1}$, la curva naranja rojizo, mientras que el aluminio, al ganar $s$, se calienta a lo largo de $T_2{e}^{s/C_2}$, la azul. Las curvas se encuentran en el nivel discontinuo $T_f$; allí ya no queda diferencia de temperatura y la máquina se detiene.

Ahora lee el trabajo. En un paso pequeño $ds$, el hierro cede un calor igual a su propia temperatura por $ds$, y el aluminio absorbe su propia temperatura, más baja, por $ds$. La máquina convierte la diferencia en trabajo, que en el diagrama es una fina franja vertical entre las curvas. Sumando las franjas, el trabajo $W$ es el área sombreada entre las curvas, que se estrecha hasta un punto a medida que las temperaturas se acercan.

Las curvas se encuentran cuando los cambios de entropía de los dos bloques se compensan, ya que la entropía total no cambia: $C_1\ln (T_f/T_1)+C_2\ln (T_f/T_2)=0$. Despejando $\ln T_f$ se obtiene
$T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}{T}_2^{C_2/(C_1+C_2)}=600^{1/3}\cdot 300^{2/3}=300\cdot 2^{1/3}\approx 378\mathrm{K}$
o unos 105 °C. Para entonces ha pasado de un bloque al otro una entropía $s=C_1\ln (T_1/T_f)\approx 208J/K$. Ningún calor sale del par salvo a través de la máquina, así que el trabajo es la energía interna que pierden los bloques en conjunto:
$W=C_1(T_1-T_f)-C_2(T_f-T_2)\approx 99,9-70,2=29,7\mathrm{kJ}$

La máquina toma 99,9 kJ del hierro, más que los 90 kJ del contacto directo, y convierte en trabajo cerca del 30 % de ellos; su rendimiento instantáneo, $1-T_2/T_1$ con las temperaturas de cada momento, baja del 50 % al principio a cero al final. Los bloques terminan 22 K por debajo de los 400 K del contacto directo, porque el punto final reversible es la media geométrica ponderada de las temperaturas iniciales, mientras que el contacto da la media aritmética ponderada, que siempre es mayor. Cualquier diferencia de temperatura puede dar trabajo; dejar que el calor se escape directamente a través del contacto lo desperdicia y crea los 76 J/K hallados antes.

Bloques reales y límites del modelo

El modelo de dos bloques supone que cada bloque permanece uniforme, lo que exige que el calor se reparta dentro de un bloque más deprisa de lo que atraviesa el contacto. Dentro de un cuerpo, el calor fluye en el sentido contrario al gradiente de temperatura, según la ley de Fourier de la conducción:
$\vec{q}=-\kappa \nabla T$
Aquí $\vec{q}$ es la densidad de flujo de calor en W/m² y $\kappa$ la conductividad térmica, de unos 80 W/(m·K) para el hierro. Combinada con la conservación de la energía, da la ecuación de difusión $\partial T/\partial t=\alpha {\nabla }^{2}T$, con la difusividad térmica $\alpha =\kappa /(\rho c)\approx 2,3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ para el hierro, donde $\rho$ es la densidad. El calor necesita un tiempo del orden de $L^2/\alpha$ para extenderse a una distancia $L$: unos 110 s a través de un cubo de hierro de 1 kg y lado $L\approx 5\mathrm{cm}$. Eso es mucho más que los 1,25 s de $\tau$ en la animación, así que los bloques reales no se mantendrían uniformes y tardarían minutos en asentarse; la animación los idealiza.

Los cuerpos calientes también radian. Una superficie de área $A$ y emisividad $\epsilon$ emite la potencia
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
con $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$, y a cambio absorbe la radiación de su entorno a $T_0$, de modo que su pérdida neta es $\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$. Las caras libres del hierro, de 0,013 m² con $\epsilon \approx 0,6$, pierden unos 50 W netos a 600 K en un entorno a 300 K, así que el aislamiento es solo aproximado. Para diferencias pequeñas, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, y la radiación se comporta como la ley de enfriamiento de Newton; pero entre 600 K y 300 K el flujo es casi cuatro veces mayor que esta estimación lineal.

Las capacidades caloríficas tampoco son constantes: el $c$ del hierro aumenta más de una cuarta parte entre 300 K y 600 K. A bajas temperaturas la equipartición falla. Las energías de vibración están cuantizadas, y cuando $k_{B}T$ es pequeño comparado con el espaciado de sus niveles, las vibraciones se congelan; su capacidad calorífica cae entonces como $T^3$ cerca del cero absoluto. El diamante, tan rígido, lo muestra incluso a temperatura ambiente, con unos 510 J/(kg·K) en lugar de los 2080 de Dulong y Petit. Por último, la propia temperatura necesita muchas partículas cerca del equilibrio: una sola molécula tiene una energía, no una temperatura.

Lo que viene después

La lección Teoría cinética de los gases convierte $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ en presión y velocidades moleculares. Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas construye motores sobre el balance de energía, y La segunda ley de la termodinámica y la entropía generaliza los 76 J/K hallados aquí. Conducción, convección y radiación desarrolla la ley de Fourier y la radiación, Cambios de estado y calor latente trata el calor que cambia el estado y no la temperatura, y Dilatación térmica muestra qué le hace el calentamiento al tamaño. El fallo de la equipartición abrió la era cuántica, como explica Radiación de cuerpo negro y cuantos.