Température et chaleur

Débutant

Étape 1. À quel point un objet est-il chaud ? Un thermomètre répond par un nombre : sa température. Sur l'échelle Celsius, l'eau gèle à 0 °C et bout à 100 °C. Les scientifiques utilisent aussi l'échelle Kelvin, qui part du zéro absolu (environ −273 °C), la température la plus basse possible ; un kelvin est un écart de même taille qu'un degré Celsius.

Étape 2. Que mesure vraiment le thermomètre ? Tout est fait de minuscules particules qui ne cessent jamais de s'agiter. La température indique avec quelle vigueur, en moyenne, chaque particule s'agite : plus l'objet est chaud, plus ses particules bougent vite.

Étape 3. La température n'est pas la quantité d'énergie. Une baignoire d'eau tiède et une petite cuillère de la même eau ont la même température, mais la baignoire contient des milliers de fois plus d'énergie d'agitation, tout simplement parce qu'elle contient des milliers de fois plus de particules.

Étape 4. La chaleur, c'est de l'énergie qui se déplace. Quand un objet chaud touche un objet froid, ses particules rapides heurtent les plus lentes et leur cèdent une partie de leur mouvement. L'énergie passe d'elle-même du chaud vers le froid, jamais l'inverse, jusqu'à ce que les deux aient la même température : c'est l'équilibre thermique. Dans l'animation, les particules du bloc chaud s'agitent d'abord plus fort ; la flèche de chaleur rétrécit à mesure que les thermomètres se rejoignent, puis disparaît quand les deux blocs sont aussi chauds l'un que l'autre.

Étape 5. Certains matériaux sont bien plus difficiles à réchauffer que d'autres. Un kilogramme d'eau demande environ 4200 joules pour gagner un degré ; un kilogramme de fer, seulement 450 environ. Voilà pourquoi le sable peut brûler les pieds alors que la mer reste fraîche.

Testez-vous : les étincelles d'un cierge magique dépassent 1000 °C, et pourtant elles brûlent à peine la main sur laquelle elles tombent. Pourquoi ? (Chaque étincelle est minuscule : très chaude, mais elle transporte très peu d'énergie.)

Intermédiaire

Température, chaleur et leurs unités

La température est ce qu'indique un thermomètre. Sur l'échelle Celsius, l'eau gèle à 0 °C et bout à 100 °C. L'échelle Kelvin (symbole K) a des graduations de même taille, mais elle part du zéro absolu, −273,15 °C, la température la plus basse possible :
$T(\mathrm{K})=T({}^{\circ }\mathrm{C})+273,15$

Une variation de température $\Delta T$ a donc la même valeur sur les deux échelles : passer de 20 °C à 30 °C, c'est une variation de 10 K. Seule l'échelle Kelvin part d'un véritable zéro ; utilisez donc les kelvins chaque fois que des températures sont multipliées, divisées ou élevées à une puissance.

La chaleur $Q$ est une énergie, en joules (J), qui passe d'un corps à un autre parce que leurs températures diffèrent. Un corps ne contient pas de chaleur : il contient de l'énergie interne $U$, celle du mouvement désordonné de ses particules et des forces qui s'exercent entre elles. Comme le travail, la chaleur est de l'énergie en transit, positive quand elle entre dans un corps et négative quand elle en sort.

Capacité thermique massique

Tant que rien ne fond, ne bout ni ne réagit, la chaleur qu'il faut fournir pour changer la température d'un corps, et la capacité thermique de ce corps, s'écrivent

• $Q=mc\Delta T$
• $C=mc$

Ici $m$ est la masse, $\Delta T$ la température finale moins la température initiale, et $c$ la capacité thermique massique : l'énergie qui réchauffe 1 kg du matériau de 1 K, en J/(kg·K). La capacité thermique $C=mc$ du corps entier s'exprime en J/K. Quand un corps se refroidit, $\Delta T$ et $Q$ sont tous deux négatifs.

Les valeurs courantes, en J/(kg·K), sont 4180 pour l'eau, 2100 pour la glace, 900 pour l'aluminium, environ 800 pour le sable sec, 450 pour le fer, 385 pour le cuivre et 130 pour le plomb. À masse égale, l'eau demande environ neuf fois plus d'énergie que le fer pour s'échauffer d'autant. C'est pourquoi la mer se réchauffe et se refroidit si lentement.

Bilan thermique et température finale

Quand un corps chaud et un corps froid se touchent à l'intérieur d'une bonne isolation, la chaleur passe jusqu'à ce que les deux atteignent une même température $T$ ; la chaleur cédée par le corps chaud est alors égale à celle que reçoit le corps froid :
$m_1{c}_1(T_1-T)=m_2{c}_2(T-T_2)$
En isolant $T$, la température d'équilibre, on obtient
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1{c}_1{T}_1+m_2{c}_2{T}_2}{m_1{c}_1+m_2{c}_2}$

C'est une moyenne des températures de départ, pondérée par les capacités thermiques : elle se situe entre elles, plus près de celle du corps dont le produit $mc$ est le plus grand. Une moyenne pondérée ne dépend pas de la position du zéro de l'échelle ; la formule vaut donc en °C comme en kelvins. Un corps dont la capacité thermique est deux fois plus grande change deux fois moins de température.

Exemple résolu : les blocs de l'animation

Un bloc de fer de 1 kg ($c_1=450J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, donc $C_1=450J/K$) à 327 °C touche un bloc d'aluminium de 1 kg ($c_2=900J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, $C_2=900J/K$) à 27 °C. Sans pertes, la chaleur cédée est égale à la chaleur reçue :
$450(327-T)=900(T-27)$
$1350T=147150+24300=171450,T=127{}^{\circ }\mathrm{C}$

Le fer se refroidit de 200 K, alors que l'aluminium ne se réchauffe que de 100 K, car sa capacité thermique est deux fois plus grande. La chaleur qui a traversé le contact vaut $Q=450\cdot 200=900\cdot 100=90000\mathrm{J}=90\mathrm{kJ}$. Ce sont les valeurs finales des affichages : $T_1$ et $T_2$ se rejoignent à 127 °C pendant que $Q$ grimpe jusqu'à 90 kJ.

Les affichages montrent aussi l'échange qui ralentit : au bout de 1 s, ils indiquent environ 217 °C, 82 °C et 50 kJ, si bien que plus de la moitié de la chaleur passe dès la première seconde. La flèche rouge-orangé marquée $dQ/dt$, le flux thermique en watts, a une longueur proportionnelle à $T_1-T_2$. Elle est deux fois plus courte quand les affichages atteignent environ 227 °C et 77 °C, puis elle s'efface à mesure que les thermomètres se rejoignent, la colonne du fer descendant toujours deux fois plus vite que celle de l'aluminium ne monte.

Exemple résolu : faire couler un bain

Vous voulez un bain de 80 kg à 38 °C, en mélangeant de l'eau chaude à 60 °C et de l'eau froide à 12 °C. De quelle masse d'eau chaude avez-vous besoin, et quelle énergie la chaudière a-t-elle dépensée pour la chauffer ? Négligez toutes les pertes.

Les deux sont de l'eau, donc $c$ se simplifie : $m_{\mathrm{ch}}(60-38)=m_{\mathrm{fr}}(38-12)$. Avec $m_{\mathrm{ch}}+m_{\mathrm{fr}}=80\mathrm{kg}$, on trouve $m_{\mathrm{ch}}=80\cdot 26/48\approx 43,3\mathrm{kg}$ d'eau chaude et 36,7 kg d'eau froide, plus d'eau chaude que d'eau froide parce que 38 °C est plus près de 60 °C. La chaudière a réchauffé l'eau chaude de 12 °C à 60 °C :
$Q=mc\Delta T=43,3\cdot 4180\cdot 48\approx 8,7\times 10^6\mathrm{J}$

Cela fait 8,7 MJ, soit environ 2,4 kWh (1 kWh vaut 3,6 MJ), ou presque 50 minutes d'un chauffage de 3 kW.

Le rythme de l'échange : la flèche qui rétrécit

Le bilan thermique donne l'état final, pas le temps qu'il faut pour l'atteindre. Dans l'animation, la chaleur traverse le contact au rythme $dQ/dt=k(T_1-T_2)$, avec une conductance thermique $k=240W/K$ : 72 kW au départ, puis de moins en moins à mesure que l'écart se réduit. Comme le flux est proportionnel à l'écart, celui-ci diminue de la même fraction en des durées égales : il est divisé par deux environ toutes les 0,87 s, sans jamais tout à fait s'annuler.

Un corps qui se refroidit dans une grande pièce à la température $T_{\mathrm{env}}$ obéit à la même règle, la loi de refroidissement de Newton :
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$
Le membre de gauche est le taux de variation de la température, et la constante de temps $\tau$ augmente avec la capacité thermique du corps. L'excès décroît selon $T-T_{\mathrm{env}}=(T_0-T_{\mathrm{env}})e^{-t/\tau }$ : un thé à 80 °C dans une pièce à 20 °C, dont l'excès est divisé par deux toutes les 12 minutes, affiche 50 °C, 35 °C et 27,5 °C au bout de 12, 24 et 36 minutes.

Erreurs fréquentes

• La chaleur n'est pas stockée dans un corps, et le froid ne circule pas : les 90 kJ de l'animation sont de l'énergie qui est passée du fer à l'aluminium.
• Utilisez la variation de température, pas la température finale. Réchauffer une casserole en aluminium de 0,5 kg de 20 °C à 120 °C demande $0,5\cdot 900\cdot 100=45\mathrm{kJ}$, et non 54 kJ.
• Une même chaleur ne donne pas une même variation de température. Les mêmes 90 kJ refroidissent le fer de 200 K, mais ne réchauffent l'aluminium que de 100 K.
• On ne compare pas des températures Celsius par un rapport : 54 °C n'est pas deux fois plus chaud que 27 °C, puisque 327 K ne dépasse 300 K que de 9 %.
• Une poignée en métal paraît plus froide qu'une poignée en bois à la même température de 20 °C uniquement parce que le métal, qui conduit la chaleur des centaines de fois mieux, en prélève beaucoup plus vite à votre peau : la peau ressent une perte de chaleur, pas une température.

Où on le rencontre

La grande capacité thermique massique de l'eau donne aux villes côtières des hivers plus doux et des étés plus frais, et les océans ont absorbé environ neuf dixièmes de l'énergie excédentaire piégée par les gaz à effet de serre. On refroidit les moteurs avec de l'eau, les radiateurs à accumulation conservent la chaleur dans des briques denses, et l'on mesure l'énergie des aliments en les brûlant dans un calorimètre ; une Calorie alimentaire vaut 4,18 kJ.

La chaleur qui fait fondre ou bouillir au lieu de réchauffer est l'objet de la leçon Changements d'état et chaleur latente, et la manière dont elle se propage celui de Conduction, convection et rayonnement. Dilatation thermique montre ce que fait le réchauffement à la taille d'un objet, Théorie cinétique des gaz explique la température comme un mouvement moléculaire, et Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques réunit chaleur et travail dans un même bilan d'énergie.

Avancé

La température, condition d'équilibre

Avant de mesurer une température, il faut la définir, et la définition vient d'une expérience. Mettez deux corps en contact thermique, de sorte qu'ils puissent échanger de l'énergie mais pas de matière, et attendez. Pendant un temps, leurs propriétés évoluent : les longueurs, les pressions et les résistances électriques dérivent. Puis les changements cessent. Les corps sont alors en équilibre thermique, et l'on dit, par définition, qu'ils ont la même température.

Le principe zéro de la thermodynamique ajoute un fait : deux corps qui sont chacun en équilibre avec un troisième sont en équilibre entre eux. C'est ce qui rend un thermomètre fiable. Le thermomètre est le troisième corps : s'il indique la même valeur au contact de A et au contact de B, alors A et B ne changeraient pas s'ils se touchaient. Pour que cela marche, sa capacité thermique doit être assez petite pour ne pas perturber la température qu'il mesure.

Cette définition dit quand deux températures sont égales, mais pas comment les numéroter. Les thermomètres à mercure, à résistance et à thermocouple concordent à leurs points d'étalonnage mais diffèrent légèrement entre ces points, car chacun repose sur une propriété de son propre matériau. Un gaz dilué supprime cette dépendance : à volume constant, sa pression est proportionnelle à une température qui est la même pour tous les gaz à densité assez faible. Cette température est l'échelle kelvin. Depuis 2019, le kelvin est fixé en donnant à la constante de Boltzmann une valeur exacte, ce qui relie toute température $T$ à une énergie $k_{B}T$ :
$k_B=1,380649\times 10^{-23}J/K$

Ce que les chocs répartissent

L'égalité des températures a aussi un sens à l'échelle des molécules : c'est la condition dans laquelle les collisions cessent, en moyenne, de déplacer de l'énergie d'un corps à l'autre. Une expérience de pensée montre pourquoi.

Prenez deux gaz différents dans une boîte, séparés par un piston qui coulisse librement. Le piston se place vite là où les pressions sur ses deux faces s'équilibrent, mais il ne reste jamais tout à fait immobile : il tremble sous les impacts moléculaires individuels. Par ce tremblement, le côté dont les molécules frappent en moyenne plus fort cède de l'énergie à l'autre. L'échange ne s'arrête que lorsque l'énergie cinétique moyenne par molécule est la même des deux côtés. Dans un mélange, les collisions font directement le même travail, de molécule à molécule. À l'équilibre, les molécules lourdes vont donc plus lentement que les légères, mais toutes ont la même moyenne de $\frac{1}{2}m{v}^2$.

La mécanique statistique classique en tire le théorème d'équipartition. À l'équilibre, chaque terme de l'énergie d'une particule qui est quadratique en une composante de la vitesse ou en une coordonnée, comme $\frac{1}{2}m{v}_x^2$, a la même moyenne, $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Une molécule de gaz monoatomique a trois termes de ce type, un terme cinétique par direction, et son énergie cinétique moyenne est donc $\frac{3}{2}{k}_{B}T$. Un atome d'un solide a trois termes cinétiques et aussi trois termes potentiels, parce que ses liaisons le rappellent vers sa position de repos dans chaque direction ; son énergie moyenne est donc $3k_{B}T$.

Pour une mole d'un solide simple, avec $N_A$ atomes et $R=N_A{k}_B$, l'énergie vaut $3RT$, si bien que la capacité thermique molaire est la même pour tous les éléments :
$C_m=3R\approx 25J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$
C'est la loi de Dulong et Petit, établie expérimentalement en 1819. Divisé par les masses molaires du fer et de l'aluminium, 0,0558 et 0,0270 kg/mol, $3R$ donne des capacités thermiques massiques d'environ 447 et 924 J/(kg·K), proches des 450 et 900 utilisés dans l'animation. La valeur de l'aluminium est environ le double de celle du fer parce que ses atomes sont environ deux fois plus légers : un kilogramme d'aluminium contient environ deux fois plus d'atomes, et chacun stocke la même énergie.

De combien un atome s'agite

L'équipartition dit quelle énergie contient la vibration d'un atome. La figure 1 transforme cette énergie en une distance, la taille de l'agitation de l'atome, et montre comment elle croît avec la température.

Légende

$U$	Énergie élastique d'un atome dans ses liaisons, $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$, où $k_s$ est la raideur des liaisons.	$\mathrm{J}$
$x$	Écart de l'atome par rapport à sa position de repos, selon une direction.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$	Énergie élastique moyenne selon une direction à la température la plus haute $T_1$, tracée comme un niveau.	$\mathrm{J}$
$\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$	Énergie élastique moyenne selon une direction à la température la plus basse $T_2$, tracée comme un niveau.	$\mathrm{J}$
$x_1$	Point où le niveau $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ rencontre le puits : l'écart quadratique moyen, la taille typique de l'agitation, à $T_1$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	La même chose à $T_2$ ; plus petit que $x_1$ d'un facteur $\sqrt{2}$ quand $T_1=2T_2$.	$\mathrm{m}$

La figure 1 suit un atome d'un solide qui se déplace selon une seule direction, avec un écart $x$ par rapport à sa position de repos. Pour de petits écarts, ses liaisons agissent comme un ressort de raideur $k_s$, si bien que son énergie élastique est $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ : c'est le puits parabolique de la figure. (Ici $U$ est l'énergie de cet atome dans ses liaisons, et non l'énergie interne du bloc.) D'après l'équipartition, la moyenne de $U$ est $\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Chaque droite horizontale est tracée à cette moyenne pour une température : la droite du haut à $\frac{1}{2}{k}_B{T}_1$ pour le corps chaud, celle du bas à $\frac{1}{2}{k}_B{T}_2$ pour le corps froid, avec $T_1=2T_2$ comme dans l'animation.

Regardez maintenant où chaque droite rencontre le puits. En ce point, $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, donc la droite coupe le puits en $x=\pm \sqrt{k_{B}T/k_s}$, un point de chaque côté du centre. Les crochets sous l'axe mesurent cette intersection à partir du centre : $x_1$ pour $T_1$ et $x_2$ pour $T_2$. Ces distances ont un sens physique. Puisque la moyenne de $\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$ est $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, la moyenne de $x^2$ est $k_{B}T/k_s$, et chaque intersection est donc exactement l'écart quadratique moyen : la taille typique de l'agitation à cette température.

La forme du puits décide de la façon dont cette taille croît. Comme $U$ augmente en $x^2$, monter la droite au double de la hauteur ne repousse l'intersection que d'un facteur $\sqrt{2}$ : sur la figure, $x_1=\sqrt{2}{x}_2$. L'agitation croît comme $\sqrt{T}$, et non comme $T$. L'animation dessine ses particules d'après cette règle : celles du fer, à 600 K, s'agitent avec une amplitude $\sqrt{2}\approx 1,4$ fois plus grande que celles de l'aluminium, à 300 K.

Chaleur, travail et premier principe

La température dit dans quel sens l'énergie ira ; la chaleur est le nom de ce flux. On a longtemps imaginé la chaleur comme un fluide, le calorique, stocké dans les corps. Dans les années 1840, James Joule a montré que des poids qui tombent en faisant tourner une roue à palettes dans l'eau la réchauffent exactement comme le fait un chauffage, à raison d'environ 4,2 J de travail par calorie. La chaleur n'est donc pas une substance mais de l'énergie en transit, et la conservation de l'énergie qui l'inclut est le premier principe de la thermodynamique :
$\Delta U=Q-W$

Ici $U$ est l'énergie interne du système, $Q$ la chaleur qu'il reçoit et $W$ le travail qu'il fournit au milieu extérieur, convention de signe de la leçon Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques. Si $W$ compte au contraire le travail reçu par le système, la loi s'écrit $\Delta U=Q+W$.

Les deux types de transfert diffèrent par leur mécanisme. Le travail est de l'énergie transmise par une force macroscopique qui s'exerce sur une distance, comme un piston qui pousse un gaz. La chaleur est de l'énergie transmise par des collisions microscopiques ou par rayonnement, sous l'effet d'une différence de température. Seule $U$ est une propriété de l'état d'un corps. Un bloc chaud a pu être réchauffé par une flamme, c'est-à-dire par de la chaleur, ou par frottement, c'est-à-dire par du travail, et rien dans le bloc n'enregistre lequel ; « la chaleur contenue dans un corps » ne veut donc rien dire.

Pour les solides et les liquides, le travail fourni contre l'atmosphère lors de leur dilatation est négligeable, si bien que la chaleur qu'ils reçoivent, $Q=C\Delta T$, est en pratique leur variation d'énergie interne $\Delta U$. Les gaz diffèrent : un gaz parfait chauffé à pression constante fournit aussi du travail en se dilatant, si bien que sa capacité thermique molaire à pression constante dépasse celle à volume constant d'exactement $R$.

Deux blocs en contact : une approche exponentielle

Le premier principe fixe où l'échange se termine ; pour le suivre dans le temps, il faut un modèle de la vitesse à laquelle la chaleur traverse le contact. Traitons chaque bloc comme uniforme, avec une seule température en tout point : le bloc chaud a la capacité thermique $C_1$ et la température $T_1(t)$, le froid $C_2$ et $T_2(t)$. Supposons que le contact transmette un flux thermique proportionnel à l'écart de température, $k(T_1-T_2)$, où $k$ est la conductance thermique du contact, en W/K. L'énergie de chaque bloc ne change que par ce flux, donc
$C_1\frac{d{T}_1}{dt}=-k(T_1-T_2),C_2\frac{d{T}_2}{dt}=k(T_1-T_2)$

Deux résultats en découlent. D'abord, en additionnant les équations on obtient $d(C_1{T}_1+C_2{T}_2)/dt=0$ : ce qu'un bloc perd, l'autre le gagne, et $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ garde sa valeur initiale. À la fin les deux températures sont égales, ce qui fixe la température finale :
$T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1{T}_1(0)+C_2{T}_2(0)}{C_1+C_2}$

Ensuite, en divisant chaque équation par sa capacité thermique puis en soustrayant la seconde de la première, on obtient une équation pour le seul écart $\Delta T=T_1-T_2$ :
$\frac{d\Delta T}{dt}=-k\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\Delta T$
L'écart diminue à un rythme proportionnel à sa propre valeur, ce qui est la marque d'une décroissance exponentielle. À partir de $\Delta T_0$,
$\Delta T=\Delta T_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{C_1{C}_2}{k(C_1+C_2)}$
La constante de temps $\tau$ est longue quand les corps sont gros ou que le contact est mauvais. La combinaison $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$ est toujours plus petite que chacune des capacités thermiques, donc c'est le plus petit corps qui donne le rythme.

L'animation utilise 1 kg de fer à 600 K (327 °C), donc $C_1=450J/K$, et 1 kg d'aluminium à 300 K (27 °C), donc $C_2=900J/K$. Alors $T_{\mathrm{eq}}=(450\cdot 600+900\cdot 300)/1350=400\mathrm{K}$, soit 127 °C, et le fer cède $450\cdot 200=90\mathrm{kJ}$ à l'aluminium. Avec $C_1{C}_2/(C_1+C_2)=300J/K$ et $k=240W/K$, la constante de temps est $\tau =300/240=1,25\mathrm{s}$ ($1/\tau =0,8{\mathrm{s}}^{-1}$). Le flux démarre à $k\Delta T_0=240\cdot 300=72\mathrm{kW}$, l'écart est divisé par deux toutes les $\tau \ln 2\approx 0,87\mathrm{s}$, et il tombe à 1 K au bout de $\tau \ln 300\approx 7,1\mathrm{s}$.

Lire les deux courbes

La solution se saisit mieux en image. La figure 2 montre où les deux températures aboutissent, à quelle vitesse elles démarrent et ce que $\tau$ représente sur le graphique.

Légende

$T$	Température d'un bloc.	$\mathrm{K}$
$t$	Temps écoulé depuis la mise en contact des blocs.	$\mathrm{s}$
$T_1$	Température du bloc chaud, le fer ; elle diminue à partir de sa valeur initiale.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Température du bloc froid, l'aluminium ; elle augmente à partir de sa valeur initiale.	$\mathrm{K}$
$T_{eq}$	Température finale commune, le niveau vers lequel tendent les deux courbes.	$\mathrm{K}$
$\Delta T_0$	Écart de température initial $T_1-T_2$ ; l'écart décroît ensuite comme $e^{-t/\tau }$.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Constante de temps : l'instant où les deux tangentes initiales atteignent $T_{\mathrm{eq}}$.	$\mathrm{s}$

La figure 2 reprend les deux courbes du graphique avancé de l'animation, avec ses valeurs. La courbe orange-rouge $T_1$ part des 327 °C du fer et descend ; la courbe bleue $T_2$ part des 27 °C de l'aluminium et monte. Le crochet de gauche couvre l'écart initial $\Delta T_0$, de 300 K.

D'abord, voyez où vont les courbes. Toutes deux s'infléchissent vers la droite verte en tirets $T_{\mathrm{eq}}$, à 127 °C. Cette droite partage le crochet dans le rapport 2 : 1, et elle partage l'écart qui se réduit toujours dans le même rapport : comme $C_1{T}_1+C_2{T}_2$ vaut toujours $(C_1+C_2)T_{\mathrm{eq}}$, on a $C_1(T_1-T_{\mathrm{eq}})=C_2(T_{\mathrm{eq}}-T_2)$, donc le fer, de capacité thermique deux fois moindre, est toujours deux fois plus loin de $T_{\mathrm{eq}}$. À chaque instant $T_1-T_{\mathrm{eq}}=\frac{2}{3}\Delta T$ et $T_{\mathrm{eq}}-T_2=\frac{1}{3}\Delta T$ : la courbe du fer est celle de l'aluminium, reflétée par rapport à la droite en tirets et étirée à deux fois la hauteur.

Ensuite, voyez comment elles démarrent. Les deux droites grises en tirets sont les tangentes en $t=0$, et leurs pentes sont les vitesses initiales : $-k\Delta T_0/C_1=-160K/s$ pour le fer et $+k\Delta T_0/C_2=+80K/s$ pour l'aluminium. Les deux tangentes atteignent la droite $T_{\mathrm{eq}}$ au même instant, $t=\tau$, marqué sur l'axe du temps : le fer descendrait de ses 200 K, et l'aluminium monterait de ses 100 K, en 1,25 s. Voilà ce que signifie $\tau$ : la durée dont une température aurait besoin pour atteindre $T_{\mathrm{eq}}$ si elle gardait sa vitesse initiale. En réalité, la vitesse diminue proportionnellement à l'écart restant, si bien qu'après $\tau$ il reste environ 37 % de l'écart, et après $4\tau$ environ 2 % seulement.

Si le second corps est énorme ($C_2\to \infty$, une pièce ou un lac), sa température s'écarte à peine de $T_{\mathrm{env}}$, $\tau$ devient $C_1/k$, et la première équation devient la loi de refroidissement de Newton :
$\frac{dT}{dt}=-\frac{T-T_{\mathrm{env}}}{\tau }$

Pourquoi la chaleur va du chaud vers le froid

Rien dans le premier principe ne fixe le sens du flux : l'énergie serait tout aussi bien conservée si les 90 kJ retournaient de l'aluminium vers le fer. Le sens vient du second principe de la thermodynamique : l'entropie totale d'un système isolé ne peut pas diminuer. Un corps à température uniforme $T$ qui reçoit une petite chaleur $\delta Q$ gagne l'entropie $\delta Q/T$. La figure 3 applique cette règle à un petit transfert entre les blocs.

Légende

$T_1$	Température du bloc chaud.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Température du bloc froid.	$\mathrm{K}$
$\delta Q$	Petite quantité de chaleur passant du bloc chaud au bloc froid.	$\mathrm{J}$
$\delta Q/T_1$	Entropie perdue par le bloc chaud.	$J/K$
$\delta Q/T_2$	Entropie gagnée par le bloc froid.	$J/K$
$dS$	Entropie créée par le transfert : le dépassement de la barre du bas, $\delta Q(1/T_2-1/T_1)$.	$J/K$

La figure 3 suit une petite quantité de chaleur $\delta Q$ qui passe du bloc chaud, à $T_1$, au bloc froid, à $T_2$ ; elle est assez petite pour qu'aucune des deux températures ne change pendant le transfert. Le bloc chaud perd l'entropie $\delta Q/T_1$, la barre du haut ; le bloc froid gagne $\delta Q/T_2$, la barre du bas. La chaleur est la même des deux côtés, mais du côté froid elle est divisée par une température plus petite, donc cette barre est plus longue : deux fois plus ici, où $T_1=2T_2$. La partie de la barre du bas qui dépasse celle du haut, $dS$, est l'entropie que le transfert crée :
$dS=\delta Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$

Pour $\delta Q>0$, cette quantité est positive exactement lorsque $T_1>T_2$. La chaleur qui passe du chaud au froid fait donc croître l'entropie totale, et le flux inverse la ferait décroître, ce que le second principe interdit. À l'échelle moléculaire, le flux inverse ne viole aucune loi du mouvement ; pour des corps de taille ordinaire, il est simplement d'une improbabilité écrasante.

Pour l'échange complet de l'animation, additionnons de tels pas. L'entropie de chaque bloc varie de $dS=CdT/T$, avec $T$ en kelvins, et l'intégration depuis les températures initiales jusqu'à $T_{\mathrm{eq}}=400\mathrm{K}$ donne
$\Delta S=C_1\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1(0)}+C_2\ln \frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2(0)}=450\ln \frac{400}{600}+900\ln \frac{400}{300}\approx 76J/K$
Le fer perd 182 J/K, mais l'aluminium gagne 259 J/K : il reçoit les mêmes 90 kJ, mais à des températures plus basses, si bien que chaque joule lui apporte davantage d'entropie.

Le second principe donne aussi à la température sa définition la plus profonde. Prenons une machine réversible qui prélève une chaleur $Q_h$ à un réservoir à $T_h$ et rejette une chaleur $Q_c$ vers un réservoir à $T_c$. Quelle que soit sa substance de travail, $Q_h/Q_c=T_h/T_c$ ; ce rapport définit donc une échelle de température qui ne dépend d'aucun matériau, et qui coïncide avec l'échelle kelvin du gaz parfait. En physique statistique, la même idée s'écrit $1/T=\partial S/\partial U$ à volume fixé : l'inverse de la température est l'entropie qu'un corps gagne par joule reçu. C'est pourquoi la chaleur va vers le corps le plus froid : là, chaque joule apporte plus d'entropie.

Problème résolu : une machine entre les blocs

Le contact direct gaspille la possibilité de tirer du travail de la différence de température. Ce problème demande quel travail on pourrait récupérer. Supposons qu'au lieu de se toucher, les deux blocs alimentent une machine réversible qui prélève de la chaleur au fer, en rejette vers l'aluminium et fournit du travail, jusqu'à ce que les deux atteignent une température commune $T_f$. Le fer part de $T_1=600\mathrm{K}$ et l'aluminium de $T_2=300\mathrm{K}$. Quelle est $T_f$, et quel travail est fourni ?

Légende

$T$	Température d'un bloc.	$\mathrm{K}$
$s$	Entropie déjà sortie du fer ; la même quantité est entrée dans l'aluminium.	$J/K$
$T_1$	Température initiale du fer, 600 K ; le fer se refroidit le long de la courbe orange-rouge.	$\mathrm{K}$
$T_2$	Température initiale de l'aluminium, 300 K ; il se réchauffe le long de la courbe bleue.	$\mathrm{K}$
$T_f$	Température finale commune, là où les deux courbes se rejoignent.	$\mathrm{K}$
$W$	Travail fourni par la machine : l'aire entre les courbes.	$\mathrm{J}$

La figure 4 suit la machine sur un diagramme température–entropie. Soit $s$ l'entropie qui a déjà quitté le fer ; elle court sur l'axe horizontal. Une machine réversible ne crée pas d'entropie, donc la même quantité $s$ est entrée dans l'aluminium. Comme $dS=CdT/T$ pour chaque bloc, le fer, en perdant $s$, se refroidit le long de $T_1{e}^{-s/C_1}$, la courbe orange-rouge, tandis que l'aluminium, en gagnant $s$, se réchauffe le long de $T_2{e}^{s/C_2}$, la bleue. Les courbes se rejoignent au niveau en tirets $T_f$ ; il ne reste alors plus de différence de température et la machine s'arrête.

Lisons maintenant le travail. Pendant un petit pas $ds$, le fer cède une chaleur égale à sa propre température multipliée par $ds$, et l'aluminium en absorbe une égale à sa propre température, plus basse, multipliée par $ds$. La machine transforme la différence en travail, qui est sur le diagramme une fine bande verticale entre les courbes. En additionnant les bandes, le travail $W$ est l'aire ombrée entre les courbes, qui se resserre en un point quand les températures se rapprochent.

Les courbes se rejoignent quand les variations d'entropie des deux blocs se compensent, puisque l'entropie totale ne change pas : $C_1\ln (T_f/T_1)+C_2\ln (T_f/T_2)=0$. En résolvant pour $\ln T_f$, on obtient
$T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}{T}_2^{C_2/(C_1+C_2)}=600^{1/3}\cdot 300^{2/3}=300\cdot 2^{1/3}\approx 378\mathrm{K}$
soit environ 105 °C. À ce moment, $s=C_1\ln (T_1/T_f)\approx 208J/K$ a été transféré d'un bloc à l'autre. Aucune chaleur ne quitte l'ensemble sauf par la machine, donc le travail est l'énergie interne que les blocs perdent ensemble :
$W=C_1(T_1-T_f)-C_2(T_f-T_2)\approx 99,9-70,2=29,7\mathrm{kJ}$

La machine prélève 99,9 kJ au fer, plus que les 90 kJ du contact direct, et en convertit environ 30 % en travail ; son rendement instantané, $1-T_2/T_1$ pour les températures du moment, tombe de 50 % au début à zéro à la fin. Les blocs finissent 22 K sous les 400 K du contact direct, parce que le point d'arrivée réversible est la moyenne géométrique pondérée des températures initiales, alors que le contact donne la moyenne arithmétique pondérée, toujours plus élevée. Toute différence de température peut fournir du travail ; laisser la chaleur fuir directement à travers le contact le gaspille et crée les 76 J/K trouvés plus haut.

Blocs réels et limites du modèle

Le modèle à deux blocs suppose que chaque bloc reste uniforme, ce qui exige que la chaleur se répartisse dans un bloc plus vite qu'elle ne traverse le contact. À l'intérieur d'un corps, la chaleur s'écoule dans le sens inverse du gradient de température, selon la loi de Fourier de la conduction :
$\vec{q}=-\kappa \nabla T$
Ici $\vec{q}$ est la densité de flux thermique en W/m² et $\kappa$ la conductivité thermique, environ 80 W/(m·K) pour le fer. Combinée à la conservation de l'énergie, elle donne l'équation de diffusion $\partial T/\partial t=\alpha {\nabla }^{2}T$, avec la diffusivité thermique $\alpha =\kappa /(\rho c)\approx 2,3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ pour le fer, où $\rho$ est la masse volumique. La chaleur met un temps de l'ordre de $L^2/\alpha$ pour se répandre sur une distance $L$ : environ 110 s à travers un cube de fer de 1 kg et de côté $L\approx 5\mathrm{cm}$. C'est bien plus long que le $\tau$ de 1,25 s de l'animation ; des blocs réels ne resteraient donc pas uniformes et mettraient des minutes à se stabiliser, et l'animation les idéalise.

Les corps chauds rayonnent aussi. Une surface d'aire $A$ et d'émissivité $\epsilon$ émet la puissance
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
avec $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$, et absorbe en retour le rayonnement de son environnement à $T_0$, de sorte que sa perte nette est $\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$. Les faces libres du fer, de 0,013 m² avec $\epsilon \approx 0,6$, perdent environ 50 W nets à 600 K dans un environnement à 300 K, si bien que l'isolation n'est qu'approximative. Pour de petits écarts, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, et le rayonnement se comporte comme la loi de refroidissement de Newton ; mais entre 600 K et 300 K le flux est presque quatre fois supérieur à cette estimation linéaire.

Les capacités thermiques ne sont pas constantes non plus : le $c$ du fer augmente de plus d'un quart entre 300 K et 600 K. À basse température, l'équipartition tombe en défaut. Les énergies de vibration sont quantifiées, et dès que $k_{B}T$ devient petit devant l'écart entre leurs niveaux, les vibrations se figent ; leur capacité thermique décroît alors comme $T^3$ près du zéro absolu. Le diamant, très rigide, le montre même à température ambiante, avec environ 510 J/(kg·K) au lieu des 2080 de Dulong et Petit. Enfin, la température elle-même suppose beaucoup de particules proches de l'équilibre : une molécule isolée a une énergie, pas une température.

Où cela mène

La leçon Théorie cinétique des gaz transforme $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ en pression et en vitesses moléculaires. Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques construit les moteurs sur le bilan d'énergie, et Le second principe de la thermodynamique et l'entropie généralise les 76 J/K trouvés ici. Conduction, convection et rayonnement développe la loi de Fourier et le rayonnement, Changements d'état et chaleur latente traite la chaleur qui change l'état plutôt que la température, et Dilatation thermique montre ce que le réchauffement fait à la taille des objets. La défaillance de l'équipartition a ouvert l'ère quantique, comme l'explique Rayonnement du corps noir et quanta.