Volume sonore, intensité et décibels

Débutant

Tenez une bombe de peinture près d'un mur : vous obtenez une petite tache bien épaisse. Reculez deux fois plus loin : la même peinture couvre une tache deux fois plus large et deux fois plus haute, quatre fois plus grande, donc quatre fois plus mince. Le son d'un haut-parleur s'étale de la même manière, dans toutes les directions, comme une bulle qui grossit. Les anneaux bleus de l'animation représentent cette bulle, et ils pâlissent en grandissant.

Le haut-parleur émet chaque seconde la même quantité d'énergie sonore. L'intensité, c'est la part de cette énergie qui arrive chaque seconde sur un mètre carré ; elle se mesure en watts par mètre carré. Regardez les carrés dorés : le son qui traverse un carré près du haut-parleur se partage entre quatre carrés identiques deux fois plus loin, et chacun n'en reçoit qu'un quart.

Nos oreilles supportent une gamme énorme, du son le plus faible qu'elles perçoivent à des bruits mille milliards de fois plus intenses. Pour garder des nombres simples, on utilise les décibels (dB), visibles sur l'échelle : chaque palier de 10 dB correspond à une intensité dix fois plus grande. Ainsi, 60 dB, c'est cent fois plus intense que 40 dB. S'éloigner deux fois plus fait perdre environ 6 dB.

Notre impression de volume est plus modeste que les chiffres : il faut environ dix fois plus d'intensité, soit 10 dB de plus, pour qu'un son paraisse deux fois plus fort. Et le volume n'est pas la hauteur : aigu ou grave dépend de la fréquence, si bien qu'un sifflement doux peut être aigu et un tambour puissant, grave.

Protégez votre audition : des heures de son au-delà de 85 dB environ peuvent l'abîmer pour toujours.

Testez-vous : une radio joue à 70 dB, un autre son atteint 90 dB. Combien de fois est-il plus intense ? (100 fois : deux paliers de 10 dB.)

Intermédiaire

Intensité : la puissance par mètre carré

La puissance acoustique $P$ d'une source est l'énergie sonore qu'elle émet chaque seconde, en watts. Le son transporte peu d'énergie : un haut-parleur ordinaire convertit 1 % ou moins de sa puissance électrique en son, et celui de l'animation ne rayonne que $P=10\mathrm{mW}$.

Votre oreille ne recueille que la part de cette puissance qui tombe sur sa propre petite surface. L'intensité est la puissance qui traverse chaque mètre carré d'une surface tournée vers le son :
$I=\frac{P}{A}$

Elle se mesure en W/m² et décrit le son en un point, non la source. Ne la confondez ni avec le volume sonore, l'impression de force que le son produit sur un auditeur, ni avec la hauteur, aiguë ou grave, que fixe surtout la fréquence.

La loi en inverse du carré

Imaginez une petite source qui envoie le son de façon uniforme dans toutes les directions. À la distance $r$, l'énergie qu'elle émet chaque seconde est répartie sur une sphère d'aire $4\pi r^2$ ; l'intensité d'une source ponctuelle vaut donc
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Doubler la distance rend la sphère quatre fois plus grande, donc l'intensité tombe au quart ; la tripler divise l'intensité par 9. Quand on compare deux distances, $P$ et $4\pi$ se simplifient :
$\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$

La pyramide dorée de l'animation montre la géométrie. Les rayons qui passent par les coins d'un carré situé à $r=2\mathrm{m}$ délimitent, à 4 m, un carré deux fois plus large et deux fois plus haut : quatre carrés égaux, marqués $I/4$. L'énergie qui traversait un carré se partage entre quatre : rien n'est perdu, elle est seulement plus étalée.

L'échelle des décibels

L'oreille couvre une gamme énorme, depuis environ $10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, le son de 1 kHz le plus faible qu'un jeune auditeur perçoive, jusqu'à 10 W/m² environ, où le son devient douloureux. Plutôt que des nombres étalés sur treize puissances de dix, on compte les puissances de dix. Le niveau d'intensité acoustique est
$\beta =10{\log }_{10}\frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$
en décibels (dB). Multiplier l'intensité par 10 ajoute 10 dB, la multiplier par 100 en ajoute 20 ; comme ${\log }_{10}2=0,301$, la doubler ajoute 3,0 dB et la quadrupler 6,0 dB.

Deux règles pratiques en découlent. Comme $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, le logarithme transforme le carré en facteur 2, et $10\cdot 2=20$ : le niveau baisse de 20 dB chaque fois que la distance est multipliée par dix, et de 6 dB à chaque doublement. Comme des sources indépendantes additionnent leurs intensités, $N$ sources égales relèvent le niveau de $10{\log }_{10}N$ :

• ${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
• ${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ sources identiques incoheˊrentes)}$

Exemple résolu : le sonomètre de l'animation

Le haut-parleur rayonne $P=10\mathrm{mW}=0,010\mathrm{W}$. Pour l'auditeur proche, à $r=2\mathrm{m}$ :
$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=50,3{\mathrm{m}}^2$
$I=\frac{0,010\mathrm{W}}{50,3{\mathrm{m}}^2}=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$
donc $I/I_0=1,99\times 10^8$ et
$\beta =10{\log }_{10}\left(1,99\times 10^8\right)=10\cdot 8,30=83,0\mathrm{dB}$

L'auditeur éloigné, à 4 m, reçoit le quart de cette intensité, $4,97\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, à un niveau de $83,0-20{\log }_{10}2=77,0\mathrm{dB}$. Ce sont les valeurs de $I$ et de $\beta$ affichées quand le sonomètre rouge atteint les distances des auditeurs : environ 199 µW/m² et 83,0 dB, puis 49,7 µW/m² et 77,0 dB.

Le sonomètre part de 1 m (795,8 µW/m², 89,0 dB) et s'arrête à 8 m (12,4 µW/m², 70,9 dB). Sa distance double toutes les 2 s : chaque étape divise donc l'intensité par 4 et abaisse le niveau des mêmes 6,0 dB, et le curseur descend l'échelle par pas égaux. Sur l'ensemble du trajet, l'intensité est divisée par 64, mais le niveau ne baisse que de 18 dB.

Exemple résolu : à bonne distance d'un marteau-piqueur

Un sonomètre placé à 2 m d'un marteau-piqueur affiche 100 dB. À quelle distance faut-il se trouver pour que le niveau tombe à 85 dB, le repère de risque pour l'audition marqué sur l'échelle ? À 2 m, $I=I_0\cdot 10^{100/10}=0,01W/{\mathrm{m}}^2$ ; si le marteau-piqueur rayonnait de façon uniforme dans toutes les directions, sa puissance acoustique serait $P=4\pi \cdot 2^2\cdot 0,01\approx 0,50\mathrm{W}$. Le niveau doit baisser de 15 dB, donc
$20{\log }_{10}\left(\frac{r}{2\mathrm{m}}\right)=15$
$r=2\mathrm{m}\cdot 10^{15/20}=2\mathrm{m}\cdot 10^{0,75}=11,2\mathrm{m}$

Un second marteau-piqueur identique porte le niveau à 2 m à $100+10{\log }_{10}2=103,0\mathrm{dB}$, et la distance de 85 dB passe à $2\cdot 10^{18/20}=15,9\mathrm{m}$ : $\sqrt{2}$ fois plus loin, et non deux fois plus loin. Un sol dur ajoute à peu près les mêmes 3 dB à toutes les distances : il divise par deux l'estimation de la puissance, mais laisse ces distances inchangées.

Une recommandation professionnelle courante autorise 8 heures par jour à 85 dB et divise la durée par deux pour chaque tranche de 3 dB en plus. Un ouvrier placé à 2 m d'un marteau-piqueur se trouve 15 dB au-dessus de ce seuil, soit cinq divisions par deux : la limite vaut donc $8\mathrm{h}/2^5=15\min$.

Lire l'échelle graduée en décibels

L'échelle placée à côté du haut-parleur est une règle en décibels : des écarts égaux y correspondent à des facteurs d'intensité égaux. D'un murmure à 30 dB à une conversation à 60 dB, l'intensité est multipliée par 1000 ; de 0 dB jusqu'au seuil de douleur, à 130 dB, elle l'est par $10^{13}$. Sa barre colorée est verte jusqu'à 70 dB, dorée jusqu'à 85 dB et rouge au-delà, là où une exposition prolongée nuit à l'audition. Le curseur part dans le rouge, à 89,0 dB, passe 85 dB quand le sonomètre se trouve à environ 1,6 m du haut-parleur, et s'arrête à 70,9 dB, juste au-dessus du vert.

Le volume perçu croît bien plus doucement que l'intensité. Pour qu'un son paraisse deux fois plus fort, il doit gagner environ 10 dB, soit dix fois l'intensité. Un concert de rock à 110 dB, 50 dB au-dessus d'une conversation, a donc une intensité $10^5$ fois plus grande, mais ne paraît qu'environ $2^5=32$ fois plus fort.

Erreurs fréquentes

• Les décibels ne s'additionnent pas. Deux machines identiques et indépendantes de 80 dB donnent 83 dB, et non 160 dB : ce sont les intensités qui s'additionnent, et doubler l'intensité ajoute 3 dB. Pour atteindre 86 dB, il faut quatre machines.
• Doubler la distance ne divise pas l'intensité par deux mais par quatre, soit une baisse de 6 dB ; seule une longue file de sources, comme une route très fréquentée, ne perd que 3 dB par doublement.
• 0 dB n'est pas le silence, mais l'intensité de référence $I_0$, à peu près le son le plus faible qu'une oreille jeune puisse détecter ; les sons plus faibles ont des niveaux négatifs, et $10^{-13}W/{\mathrm{m}}^2$ correspond à −10 dB.
• Une intensité quatre fois plus grande ne paraît pas quatre fois plus forte : les 6 dB gagnés en divisant la distance par deux ne donnent qu'environ 1,5 fois plus de volume, puisque le volume double à peu près tous les 10 dB.
• De petites étourderies coûtent des facteurs entiers : diviser par $r^2$ au lieu de $4\pi r^2$ rend l'intensité 12,6 fois trop grande, et oublier $I_0$ ou le facteur 10 transforme 70 dB, le niveau de $10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, en −50 dB ou en 7 dB.

Où on le rencontre

Les limites de bruit au travail et près des aéroports, les performances annoncées des protections auditives (de bons casques antibruit atténuent de 20 à 30 dB, soit un facteur 100 à 1000 en intensité) et les cartes de bruit des villes reposent toutes sur ces règles. Le décibel sert partout où des rapports s'étendent sur de nombreuses puissances de dix : gains d'amplificateurs, lumière perdue dans les fibres optiques, force des signaux de téléphone.

La loi en inverse du carré n'est pas propre au son : la lumière, la gravitation et le champ électrique d'une charge ponctuelle s'étalent eux aussi sur des sphères, comme le montrent Gravitation et orbites, Loi de Coulomb et Ondes électromagnétiques. Les sources cohérentes, qui additionnent des amplitudes et non des intensités, mènent à Interférences et superposition, et le son piégé entre des parois à Ondes stationnaires.

Avancé

Ce que mesure l'intensité

L'intensité indique quelle quantité d'énergie sonore traverse une surface : la puissance qui franchit chaque mètre carré placé perpendiculairement à l'écoulement, en watts par mètre carré. C'est à elle que réagit un microphone ou un tympan, et la seule conservation de l'énergie fixe la façon dont elle varie avec la distance.

D'où vient cet écoulement ? Dans une onde sonore, la pression de l'air monte et descend d'une petite surpression $p$ autour de sa valeur habituelle, tandis que l'air lui-même va et vient à la vitesse $u$. La pression pousse l'air en mouvement devant elle : elle fournit donc un travail au rythme de $pu$ par mètre carré, une force par unité de surface multipliée par une vitesse, la forme acoustique de « force fois vitesse ». Ce produit oscille avec l'onde ; l'intensité $\vec{I}$ est donc définie comme sa moyenne sur une période. C'est un vecteur, dirigé dans le sens où l'énergie s'écoule.

Entourez maintenant une source d'une surface fermée quelconque et découpez cette surface en petits éléments. Représentez chaque élément par un vecteur $d\vec{A}$ dont la longueur est l'aire de l'élément et qui pointe vers l'extérieur. Seule la part de l'écoulement qui traverse un élément y transporte de l'énergie ; la puissance qui sort par un élément vaut donc $\vec{I}\cdot d\vec{A}$. Si la source fonctionne en régime permanent et que rien n'absorbe le son, l'énergie ne peut pas s'accumuler à l'intérieur : toute la puissance $P$ de la source doit sortir par la surface (le signe d'intégrale cerclé désigne une somme sur toute la surface fermée) :
$\oint \vec{I}\cdot d\vec{A}=P$

S'étaler dans un cône : la loi en inverse du carré

La façon la plus simple de voir ce que cette équation dit de la distance est de suivre un mince faisceau de l'écoulement.

Légende

$\Delta P$	Puissance transportée par le cône : la part de la puissance de la source qui traverse chaque élément.	$\mathrm{W}$
$r_1$	Distance de la source au premier élément.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distance de la source au second élément, le double de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$A_1$	Aire du premier élément, tourné vers la source.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Aire du second élément : quatre fois $A_1$, un rayon dans chacune de ses quatre cases.	${\mathrm{m}}^2$
$I_1$	Intensité au premier élément : la puissance par mètre carré à cet endroit, $\Delta P/A_1$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensité au second élément, $\Delta P/A_2$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figure 1 suit l'énergie à l'intérieur d'un cône étroit dont le sommet est sur la source. Ses quatre rayons représentent la puissance $\Delta P$ que transporte le cône. Ils traversent un élément carré d'aire $A_1$ à la distance $r_1$, puis un second élément d'aire $A_2$ à $r_2=2r_1$ ; les deux éléments font face à la source. Les arêtes du cône sont des droites issues de son sommet, si bien que chaque côté du carré grandit proportionnellement à la distance : à distance double, l'élément est deux fois plus large et deux fois plus haut, et $A_2=4A_1$. Les traits qui se croisent sur $A_2$ le partagent en quatre cases, chacune de la taille de $A_1$.

Regardez maintenant les points où passent les rayons. Sur $A_1$, les quatre rayons traversent l'aire d'une seule case ; sur $A_2$, il y a un rayon par case. La même puissance est répartie sur une aire quatre fois plus grande, donc la puissance par mètre carré tombe au quart, $I_2=I_1/4$. En symboles : rien ne se perd entre les deux éléments, donc $I_1{A}_1=I_2{A}_2=\Delta P$. Le long d'un cône, la section croît comme $r^2$ ; l'intensité décroît donc comme $1/r^2$, et le cône transporte la même puissance à toute distance.

Remplissez toutes les directions avec de tels cônes. Pour une source qui rayonne uniformément, sur une sphère de rayon $r$ centrée sur elle, $\vec{I}$ pointe droit vers l'extérieur et a partout la même valeur $I$. Chaque élément laisse alors passer $IdA$, et les éléments s'additionnent pour donner l'aire de la sphère, $4\pi r^2$. L'équation sur la surface fermée devient $4\pi r^{2}I=P$, c'est-à-dire la loi en inverse du carré :
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$
Le contrôle en direct au-dessus du premier graphique expert le montre pour le haut-parleur de 10 mW de l'animation : de 1 m à 8 m, $I$ s'effondre de 796 à 12,4 µW/m², alors que $4\pi r^{2}I$ reste à 10,0 mW.

Pourquoi l'amplitude décroît comme l'inverse de r

La loi en inverse du carré porte sur l'énergie. Qu'arrive-t-il à l'onde elle-même, à l'oscillation de pression qu'enregistre un microphone ? Elle doit diminuer elle aussi ; toute la question est de savoir à quel rythme.

Légende

$p$	Surpression de l'onde sonore à l'instant représenté.	$\mathrm{Pa}$
$r$	Distance à la source le long du rayon.	$\mathrm{m}$
$p_1$	Hauteur de la crête en $r_1$ : l'amplitude de pression à cet endroit.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Hauteur de la crête en $r_2$ : la moitié de $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$r_1$	Distance de la source à la première crête repérée.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distance à la seconde crête repérée, le double de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\lambda$	Longueur d'onde : la distance entre deux crêtes voisines, la même pour tout $r$.	$\mathrm{m}$
$C/r$	Enveloppe de l'onde, où $C$ est une constante fixée par la source : les crêtes touchent $+C/r$, les creux $-C/r$.	$\mathrm{Pa}$

La figure 2 est un instantané de la surpression $p$ le long d'un rayon issu d'un haut-parleur placé en $r=0$. Regardez d'abord l'espacement : deux crêtes voisines sont toujours séparées d'une longueur d'onde $\lambda$, donc la distance ne change pas la note entendue. Regardez ensuite la hauteur des crêtes. La crête en $r_1$ atteint $p_1$ ; celle en $r_2=2r_1$ n'atteint que $p_2=p_1/2$. Chaque crête touche la courbe en tirets $+C/r$ et chaque creux la courbe $-C/r$, où $C$ est une constante qui dépend de la puissance de la source. Distance double, amplitude moitié : l'amplitude de pression varie comme $1/r$.

L'équation d'onde le confirme. Notons $c$ la vitesse du son. Quand une source ponctuelle émet le son uniformément dans toutes les directions, $p$ ne dépend que de la distance $r$ et du temps $t$. Dans ce cas, l'équation d'onde à trois dimensions peut se réécrire, exactement, comme une équation d'onde à une dimension pour le produit $rp$ :
$\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial t^2}$
C'est l'équation d'une onde sur une corde, dont les solutions sont des formes qui se propagent à la vitesse $c$ sans se déformer. La solution sortante est $rp=f(t-r/c)$ pour une fonction $f$ quelconque : ce que fait la source à un instant donné se reproduit à la distance $r$ avec un retard $r/c$. En divisant par $r$,
$p(r,t)=\frac{f(t-r/c)}{r}$

Comparez avec la figure 2 : la fonction $f$ dessine les ondulations, et le diviseur $r$ dessine leur enveloppe $\pm C/r$. C'est aussi pourquoi l'animation dessine ses fronts d'onde de plus en plus minces et pâles à mesure qu'ils grandissent.

Pourquoi une amplitude en $1/r$ signifie-t-elle une intensité en $1/r^2$ ? Pensez à ce qui reçoit le son, un tympan ou la membrane d'un microphone. Un tel récepteur est linéaire : excité à une fréquence donnée, il se déplace avec une vitesse proportionnelle à la force qu'il subit. La puissance qu'il absorbe est la force multipliée par la vitesse ; elle varie donc comme le carré de l'amplitude. Une amplitude en $1/r$ et une puissance proportionnelle au carré de l'amplitude donnent une intensité en $1/r^2$. La conservation de l'énergie et l'équation d'onde s'accordent, et ces deux mêmes faits valent pour le champ électrique de la lumière.

Pression et intensité dans une onde plane

Pour passer d'une mesure de pression à une intensité, il faut connaître la vitesse $u$ de l'air qui accompagne une surpression $p$ donnée. Loin de la source, une petite portion de l'onde sphérique est pratiquement plane : c'est une onde plane qui se propage selon $x$. La deuxième loi de Newton appliquée à une mince tranche d'air de masse volumique $\rho$ dit que sa masse par unité de volume multipliée par son accélération est égale à la poussée nette, qui vient de ce que la pression est plus forte sur une face que sur l'autre :
$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$
Pour une onde qui se propage vers les $x$ croissants, $p=F(t-x/c)$ pour une certaine fonction $F$, donc le second membre vaut $F^{\prime }/c$. Une intégration par rapport au temps donne alors
$u=\frac{p}{\rho c}$
L'air se déplace exactement en phase avec la pression : là où la pression est forte, l'air avance. La puissance par mètre carré $pu$ vaut alors $p^2/(\rho c)$. Pour une onde sinusoïdale d'amplitude $p_0$, la moyenne de $p^2$ sur une période est $p_0^2/2$, donc
$I=\frac{p_0^2}{2\rho c}$
Le produit $\rho c$ est l'impédance acoustique du milieu : il indique quelle pression il faut pour faire bouger l'air à une vitesse donnée. Pour l'air à 20 °C, $\rho c\approx 413kg/({\mathrm{m}}^2\mathrm{s})$.

Quel est l'ordre de grandeur de ces quantités ? Chez l'auditeur proche de l'animation, à 2 m de la source, $I=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$. On en tire $p_0=\sqrt{2\cdot 413\cdot 1,99\times 10^{-4}}\approx 0,41\mathrm{Pa}$, et l'amplitude de vitesse de l'air, $p_0/(\rho c)$, vaut environ 1 mm/s. En divisant une amplitude de vitesse par $2\pi$ fois la fréquence, on obtient le déplacement : à 1 kHz, l'air ne s'écarte que de 0,16 µm de part et d'autre de sa position d'équilibre, et, au seuil d'audition, d'environ $10^{-11}\mathrm{m}$, le dixième du diamètre d'un atome.

Deux échelles de décibels

L'audition couvre environ treize puissances de dix en intensité ; on exprime donc les niveaux sur une échelle logarithmique. Le niveau d'intensité acoustique est $\beta =10{\log }_{10}(I/I_0)$, avec $I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, à peu près le son de 1 kHz le plus faible qu'une oreille jeune puisse entendre. Chaque facteur dix en intensité ajoute 10 dB : les $1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$ de l'auditeur proche font 83,0 dB.

Un sonomètre, pourtant, est sensible à la pression, pas à l'intensité. Il affiche le niveau de pression acoustique $L_p=20{\log }_{10}(p_{\mathrm{eff}}/p_{\mathrm{ref}})$, où $p_{\mathrm{eff}}=p_0/\sqrt{2}$ est la pression efficace (la moyenne quadratique de la pression) et $p_{\mathrm{ref}}=20\mu \mathrm{Pa}$. Le facteur est 20 et non 10 parce que l'intensité varie comme le carré de la pression, et que $20{\log }_{10}$ d'un rapport est égal à $10{\log }_{10}$ de son carré. Comme $I=p_{\mathrm{eff}}^2/(\rho c)$, les deux échelles ne diffèrent que d'une constante, $L_p-\beta =10{\log }_{10}(\rho c{I}_0/p_{\mathrm{ref}}^2)\approx 0,14\mathrm{dB}$ dans l'air ; en pratique, elles sont donc interchangeables : les 83,0 dB de l'auditeur proche s'affichent 83,1 dB sur un sonomètre.

Les pressions en jeu sont minuscules. Une conversation à 60 dB a une pression efficace $p_{\mathrm{eff}}=0,02\mathrm{Pa}$, deux dix-millionièmes d'atmosphère, et un douloureux 120 dB ne fait que 20 Pa. C'est cette petitesse qui rend l'équation d'onde linéaire avec une excellente précision, et c'est la linéarité qui permet aux ondes de plusieurs sources de simplement s'additionner, comme le met à profit une section plus loin.

Des droites sur des axes logarithmiques

Les logarithmes font plus que comprimer une plage énorme : ils transforment les lois de puissance en droites. Entre deux distances à une source ponctuelle, $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, et prendre $10{\log }_{10}$ des deux membres donne
${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
En fonction de $\log r$, le niveau baisse donc le long d'une droite : 20 dB pour chaque facteur dix sur la distance (une décade), et $20{\log }_{10}2=6,02$ dB pour chaque doublement.

Les deux graphiques experts montrent les deux points de vue. Sur le premier, $I(r)$ chute de 796 µW/m² à 1 m à 199 à 2 m, puis s'approche lentement de 12,4 µW/m² à 8 m : sur une telle courbe, des rapports égaux sont difficiles à voir. Sur le second, tracé en fonction de $\log r$, les distances 1, 2, 4 et 8 m sont régulièrement espacées et le niveau descend le long d'une droite qui passe par 89,0 dB, 83,0 dB, 77,0 dB et 70,9 dB. Le sonomètre, dont la distance double toutes les 2 s, parcourt cette droite à allure régulière.

La pente mesure l'exposant. Toute loi de puissance $I\propto r^{-n}$ donne sur ces axes une droite de pente $-10n$ dB par décade : −20 pour une source ponctuelle, −10 pour une longue source linéique (le problème résolu plus bas), 0 pour une onde plane ou pour un son guidé dans un tube. C'est ainsi qu'on teste les chambres sourdes, dont les parois absorbent presque tout le son : partout où le niveau mesuré s'écarte de la droite à −20 dB par décade, des réflexions viennent s'y ajouter.

Additionner des sources : la phase décide

Quand deux sources sonnent ensemble, les niveaux en décibels ne s'additionnent pas : deux machines de 80 dB ne font pas 160 dB. Comme les ondes sont petites, elles se superposent, et à chaque instant leurs pressions s'additionnent, $p=p_1+p_2$. L'intensité suit la moyenne du carré de la pression ; en notant d'une barre la moyenne dans le temps,
$\overline{p^2}=\overline{p_1^2}+\overline{p_2^2}+2\overline{p_1{p}_2}$
Les deux premiers termes sont les contributions propres des deux sources. Le dernier, le terme croisé, dépend de la relation de phase entre les deux ondes, et c'est lui qui décide du résultat.

Légende

$p_1$	Amplitude de pression de la première onde chez l'auditeur : la longueur de sa flèche.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Amplitude de pression de la seconde onde, ici égale à $p_1$ ; sa direction indique sa phase par rapport à la première.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Amplitude de l'onde résultante : la somme des flèches $p_1+p_2$.	$\mathrm{Pa}$
$\phi$	Différence de phase : l'angle dont $p_2$ est tournée par rapport à la direction de $p_1$ ; $0$ en phase, $\pi$ pour un décalage d'une demi-période.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 calcule la somme chez un auditeur pour deux ondes sinusoïdales de même fréquence. À partir d'ici, $p_1$, $p_2$ et $p$ désignent des amplitudes. Chaque onde est dessinée comme une flèche dont la longueur est son amplitude de pression et dont la direction est sa phase, le point qu'elle a atteint dans son cycle. La flèche $p_1$ est posée sur l'axe horizontal. La flèche $p_2$ part de sa pointe et est tournée de la différence de phase $\phi$, l'angle dont la seconde onde est en avance sur la première. L'onde résultante est la flèche $p$ qui va de l'origine de $p_1$ à la pointe de $p_2$ et ferme le triangle. L'angle du triangle opposé à $p$ vaut $\pi -\phi$ ; le théorème d'Al-Kashi (la loi des cosinus) donne donc
$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2\cos \phi$
et le dernier terme est le terme croisé de la moyenne du carré, écrit cette fois à l'aide de la phase. Sur la figure, les deux sources sont égales, $p_1=p_2$ ; quand $\phi$ varie, la pointe de $p$ parcourt donc le cercle en tirets centré sur la pointe de $p_1$.

Les sources indépendantes, comme deux machines ou deux voix, n'ont pas de relation de phase fixe. Leur différence de phase dérive au hasard, la pointe de $p$ erre tout autour du cercle, et $\cos \phi$ a une moyenne nulle. Le terme croisé disparaît et les intensités s'additionnent simplement : $N$ sources égales donnent $N$ fois l'intensité d'une seule.
${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ sources identiques incoheˊrentes)}$

Deux sources ajoutent 3,0 dB, dix en ajoutent 10. Des sources inégales sont dominées par la plus forte : 80 dB et 70 dB correspondent à $10^8$ et $10^7$ fois $I_0$, et ensemble elles donnent $10{\log }_{10}(10^8+10^7)=80,4\mathrm{dB}$. Lue à l'envers, la règle permet de retirer le bruit de fond d'une mesure : on soustrait des intensités, jamais des décibels.

Les sources cohérentes, comme deux haut-parleurs alimentés par la même note, gardent une différence de phase fixe : le terme croisé subsiste. Sa valeur dépend de l'endroit où se tient l'auditeur, car $\phi$ dépend de la différence entre les longueurs des deux trajets. Là où les ondes arrivent en phase, $\phi =0$ et la pointe de $p$ se trouve au point le plus à droite du cercle : les flèches sont alignées, $p=2p_1$, et l'intensité vaut quatre fois celle d'une seule source, +6,0 dB. Là où elles arrivent décalées d'une demi-période, $\phi =\pi$ et la pointe de $p$ se trouve au point le plus à gauche, revenue à l'origine de $p_1$ : les ondes s'annulent. En moyenne sur toute la figure d'interférence, l'intensité reste le double de celle d'une source. Les interférences déplacent l'énergie ; elles ne la créent pas.

Problème résolu : le bruit d'une route rectiligne

Le bruit de tous les jours vient souvent de nombreuses sources alignées. Modélisons une longue route rectiligne par une rangée de sources indépendantes, chacune semblable au haut-parleur de l'animation, $P=10\mathrm{mW}$, une tous les $d=20\mathrm{m}$. Que lit un sonomètre à $r=40\mathrm{m}$ de la route, et à quel rythme le niveau baisse-t-il quand vous vous éloignez ?

Légende

$P$	Puissance acoustique de chaque source.	$\mathrm{W}$
$d$	Écart entre deux sources voisines.	$\mathrm{m}$
$M$	Le sonomètre.
$r$	Distance du sonomètre à la route, qui est aussi sa distance à la source la plus proche.	$\mathrm{m}$
$x$	Position d'une source le long de la route, mesurée depuis le pied de la perpendiculaire issue de $M$.	$\mathrm{m}$
$s$	Distance de cette source au sonomètre, $\sqrt{r^2+x^2}$.	$\mathrm{m}$
$dx$	Longueur d'une mince tranche de route ; elle contient $dx/d$ sources.	$\mathrm{m}$

La figure 4 montre la route vue de dessus, dessinée avec $r=2d$ comme dans l'application numérique. Le sonomètre $M$ se trouve à la distance $r$ de la route, en face de la source la plus proche. Une autre source se trouve à une distance $x$ le long de la route, mesurée depuis le pied de la perpendiculaire issue de $M$. D'après le théorème de Pythagore, elle est à $s=\sqrt{r^2+x^2}$ du sonomètre ; seule, elle y produit donc $P/(4\pi s^2)$.

Les sources sont indépendantes ; d'après la section précédente, le sonomètre additionne donc leurs intensités. Plutôt que de les additionner une à une, répartissez-les uniformément le long de la route : une tranche de longueur $dx$ contient $dx/d$ sources. En sommant les tranches sur toute la route, la somme devient une intégrale. Son étape intermédiaire utilise
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{r^2+x^2}=\frac{\pi }{r}$
et le résultat est
$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P}{4\pi (r^2+x^2)}\frac{dx}{d}=\frac{P}{4\pi d}\cdot \frac{\pi }{r}=\frac{P}{4dr}$

À 40 m, $I=0,010/(4\cdot 20\cdot 40)=3,1\times 10^{-6}W/{\mathrm{m}}^2$, donc $\beta =64,9\mathrm{dB}$, alors que la source la plus proche seule donnerait 57,0 dB. À 80 m, le niveau est de 61,9 dB et à 160 m de 58,9 dB : 3,0 dB par doublement, la moitié de la baisse d'une source ponctuelle, parce qu'ici $I\propto 1/r$. La raison se lit dans l'intégrale : la moitié du son provient du tronçon de route situé à moins de $r$ du point le plus proche, de part et d'autre. Doubler $r$ divise par quatre la part de chaque source, mais double le nombre de sources de ce tronçon ; l'intensité n'est donc divisée que par deux.

Deux vérifications du modèle. L'intégrale coïncide à 0,4 % près avec la somme exacte sur des sources séparées dès que $r\ge d$ ; plus près, la source la plus proche domine et la route ne paraît plus continue. Et une route de longueur finie $L$ redevient une source ponctuelle vue de bien au-delà de $L$, où le niveau retrouve 6 dB par doublement.

Un point plus subtil : ces 64,9 dB représentent-ils l'énergie qui passe réellement devant le sonomètre ? Tracez un cylindre de rayon $r$ autour de la route. Les ondes des sources lointaines le traversent en biais, et seule la part de leur écoulement dirigée droit vers l'extérieur sort du cylindre. En ne comptant que cette part, on obtient $P/(2\pi dr)$ par mètre carré ; multiplié par l'aire du cylindre par mètre de route, $2\pi r$, cela redonne les $P/d$ que rayonne chaque mètre de route. C'est $2/\pi$ de la valeur du sonomètre, environ 2 dB de moins, parce que le sonomètre additionne les intensités de toutes les ondes quelle que soit leur direction. Ainsi $p_0^2/(2\rho c)$ n'est égal au flux d'énergie que pour une onde qui se propage dans un seul sens.

Limites de validité

La loi en inverse du carré repose sur quatre hypothèses : une petite source, un espace libre, un air immobile qui n'absorbe rien, et de petites amplitudes. Chacune est mise en défaut quelque part.

Près de la source : à moins d'environ une longueur d'onde d'une source réelle (3,4 m à 100 Hz), ou de quelques fois sa taille, la pression et la vitesse de l'air ne sont pas encore en phase comme dans une onde plane, et la pression d'une source étendue ne décroît pas encore en $1/r$. Les sources réelles sont aussi directives : un haut-parleur envoie surtout vers l'avant les longueurs d'onde plus courtes que sa membrane. Un facteur de directivité $Q$ dans $I=QP/(4\pi r^2)$ décrit cet effet ; une source posée sur un sol dur ne rayonne que dans un demi-espace, donc $Q=2$ (+3 dB). De tels facteurs ne dépendent pas de la distance : les 6 dB par doublement subsistent.

À l'intérieur, le son se réfléchit sur les murs. Au-delà de la distance critique, où le son réfléchi devient aussi fort que le son direct (souvent environ un mètre dans un salon), les réflexions dominent et s'éloigner abaisse à peine le niveau. À l'extérieur, l'air absorbe un nombre fixe de décibels par kilomètre en plus de l'étalement, et cette perte croît fortement avec la fréquence : à 20 °C et 70 % d'humidité, environ 0,3 dB par kilomètre à 125 Hz, 5 dB à 1 kHz et près de 80 dB à 8 kHz, contre les 60 dB que coûte l'étalement de 1 m à 1 km. Les sons aigus s'éteignent les premiers ; d'où le grondement sourd du tonnerre lointain.

La linéarité cesse aux grandes amplitudes. À 150 dB, près d'un réacteur d'avion, $p_{\mathrm{eff}}\approx 630\mathrm{Pa}$ ne représente que 0,6 % d'une atmosphère ; pourtant les crêtes se propagent un peu plus vite que les creux, et une onde plane de 1 kHz se raidirait en onde de choc en 7 m environ. Aucune sinusoïde non déformée ne dépasse environ 191 dB au niveau de la mer, où son amplitude égalerait la pression atmosphérique et où ses creux atteindraient le vide. Enfin, $\beta$ mesure une grandeur physique, pas une sensation : l'oreille est bien moins sensible aux basses fréquences ; les sonomètres appliquent donc en général une pondération A, un filtre qui atténue les fréquences que l'oreille perçoit mal, et donnent le résultat en dB(A).

Ce qui vient ensuite

Le flux à travers des surfaces fermées fait aussi décroître en $1/r^2$ la gravitation et le champ d'une charge ponctuelle, dans Gravitation et orbites et Loi de Coulomb ; c'est l'idée qui sous-tend le théorème de Gauss. La lumière suit la même arithmétique : dans Ondes électromagnétiques, son intensité est $E_0^2/(2Z_0)$, l'impédance du vide $Z_0\approx 377\Omega$ jouant le rôle de $\rho c$. Les sources cohérentes et leur terme croisé mènent à Interférences et superposition, le son confiné entre des parois à Ondes stationnaires, et le tympan comme récepteur forcé à Amortissement et résonance. L'absorption à raison d'un nombre fixe de décibels par kilomètre est la même décroissance exponentielle que dans Radioactivité et demi-vie.