Sonoridad, intensidad y decibelios

Principiante

Acerca un espray de pintura a una pared y obtendrás una mancha pequeña y espesa. Aléjate al doble de distancia y la misma pintura cubrirá una mancha el doble de ancha y el doble de alta, cuatro veces mayor, así que la capa será cuatro veces más fina. El sonido de un altavoz se reparte igual, en todas direcciones, como una burbuja que crece. Los anillos azules de la animación son esa burbuja, y se desvanecen al crecer.

El altavoz emite cada segundo la misma energía sonora. La intensidad es cuánta de esa energía llega cada segundo a cada metro cuadrado, y se mide en vatios por metro cuadrado. Fíjate en los cuadrados dorados: el sonido que atraviesa un cuadrado cerca del altavoz se reparte entre cuatro cuadrados iguales al doble de distancia, y a cada uno le llega solo una cuarta parte.

Nuestros oídos abarcan un rango enorme, desde el sonido más débil que perciben hasta ruidos un billón de veces más intensos. Para manejar números sencillos se usan los decibelios (dB), que aparecen en la escala: cada escalón de 10 dB significa diez veces más intensidad. Así, 60 dB es cien veces más intenso que 40 dB. Alejarse al doble de distancia cuesta unos 6 dB.

Nuestra sensación de volumen es más modesta que los números: hace falta unas diez veces más intensidad, 10 dB más, para que un sonido parezca el doble de fuerte. Y el volumen no es el tono: agudo o grave depende de la frecuencia, de modo que un silbido suave puede ser agudo y un tambor potente, grave.

Cuida tu oído: pasar horas con sonidos de más de unos 85 dB puede dañarlo para siempre.

Ponte a prueba: una radio suena a 70 dB y otro sonido llega a 90 dB. ¿Cuántas veces más intenso es? (100 veces: dos escalones de 10 dB.)

Intermedio

Intensidad: potencia por cada metro cuadrado

La potencia acústica $P$ de una fuente es la energía sonora que emite cada segundo, en vatios. El sonido transporta poca energía: un altavoz típico convierte en sonido el 1 % o menos de su potencia eléctrica, y el de la animación irradia solo $P=10\mathrm{mW}$.

Tu oído recoge únicamente la parte de esa potencia que cae sobre su pequeña superficie. La intensidad es la potencia que atraviesa cada metro cuadrado de una superficie orientada hacia el sonido:
$I=\frac{P}{A}$

Se mide en W/m² y describe el sonido en un lugar, no la fuente. No la confundas con la sonoridad, lo fuerte que le parece el sonido a quien lo oye, ni con el tono, agudo o grave, que depende sobre todo de la frecuencia.

La ley de la inversa del cuadrado

Imagina una fuente pequeña que emite sonido por igual en todas direcciones. A una distancia $r$, la energía que emite cada segundo se reparte sobre una esfera de área $4\pi r^2$, así que la intensidad de una fuente puntual es
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Al duplicar la distancia, la esfera es cuatro veces mayor y la intensidad baja a la cuarta parte; al triplicarla, se divide entre 9. Si comparas dos distancias, $P$ y $4\pi$ se cancelan:
$\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$

La pirámide dorada de la animación muestra la geometría. Los rayos que pasan por las esquinas de un cuadrado a $r=2\mathrm{m}$ encierran, a 4 m, un cuadrado del doble de ancho y del doble de alto: cuatro cuadrados iguales, marcados con $I/4$. La energía que atravesaba un cuadrado se reparte entre cuatro: no se pierde nada, solo se extiende más fina.

La escala de decibelios

El oído maneja un rango enorme, desde unos $10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, el tono de 1 kHz más débil que oye una persona joven, hasta unos 10 W/m², donde el sonido resulta doloroso. En lugar de números repartidos en trece potencias de diez, contamos las potencias de diez. El nivel de intensidad sonora es
$\beta =10{\log }_{10}\frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$
en decibelios (dB). Un factor 10 en la intensidad suma 10 dB y un factor 100 suma 20 dB; como ${\log }_{10}2=0,301$, duplicar suma 3,0 dB y cuadruplicar, 6,0 dB.

De aquí salen dos reglas de trabajo. Como $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, el logaritmo convierte el cuadrado en un factor 2, y $10\cdot 2=20$: el nivel baja 20 dB cada vez que la distancia se multiplica por diez y 6 dB cada vez que se duplica. Como las fuentes independientes suman sus intensidades, $N$ fuentes iguales elevan el nivel en $10{\log }_{10}N$:

• ${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
• ${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ fuentes iguales incoherentes)}$

Ejemplo resuelto: el sonómetro de la animación

El altavoz irradia $P=10\mathrm{mW}=0,010\mathrm{W}$. Para el oyente cercano, a $r=2\mathrm{m}$:
$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=50,3{\mathrm{m}}^2$
$I=\frac{0,010\mathrm{W}}{50,3{\mathrm{m}}^2}=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$
así que $I/I_0=1,99\times 10^8$ y
$\beta =10{\log }_{10}\left(1,99\times 10^8\right)=10\cdot 8,30=83,0\mathrm{dB}$

El oyente lejano, a 4 m, recibe la cuarta parte de esa intensidad, $4,97\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, con un nivel de $83,0-20{\log }_{10}2=77,0\mathrm{dB}$. Son las lecturas de $I$ y $\beta$ cuando el sonómetro rojo llega a las distancias de los oyentes: unos 199 µW/m² y 83,0 dB, y después 49,7 µW/m² y 77,0 dB.

El sonómetro parte de 1 m (795,8 µW/m², 89,0 dB) y termina en 8 m (12,4 µW/m², 70,9 dB). Su distancia se duplica cada 2 s, así que cada paso divide la intensidad entre 4 y baja el nivel los mismos 6,0 dB, y el indicador desciende por la escala en pasos iguales. A lo largo de todo el recorrido la intensidad se reduce 64 veces, y sin embargo el nivel baja solo 18 dB.

Ejemplo resuelto: distancia segura a un martillo neumático

Un sonómetro a 2 m de un martillo neumático marca 100 dB. ¿A qué distancia debes estar para que el nivel baje a 85 dB, la marca de riesgo para el oído en la escala? A 2 m, $I=I_0\cdot 10^{100/10}=0,01W/{\mathrm{m}}^2$; si el martillo emitiera por igual en todas direcciones, su potencia acústica sería $P=4\pi \cdot 2^2\cdot 0,01\approx 0,50\mathrm{W}$. El nivel debe bajar 15 dB, así que
$20{\log }_{10}\left(\frac{r}{2\mathrm{m}}\right)=15$
$r=2\mathrm{m}\cdot 10^{15/20}=2\mathrm{m}\cdot 10^{0,75}=11,2\mathrm{m}$

Un segundo martillo idéntico sube el nivel a 2 m hasta $100+10{\log }_{10}2=103,0\mathrm{dB}$, y la distancia de 85 dB crece hasta $2\cdot 10^{18/20}=15,9\mathrm{m}$: $\sqrt{2}$ veces más lejos, no el doble. Un suelo duro añade más o menos los mismos 3 dB a cualquier distancia: reduce a la mitad la estimación de la potencia, pero deja intactas estas distancias.

Una recomendación laboral habitual permite 8 horas al día a 85 dB y reduce el tiempo a la mitad por cada 3 dB más. Un operario a 2 m de un martillo está 15 dB por encima, cinco reducciones a la mitad, así que su límite es $8\mathrm{h}/2^5=15\min$.

Cómo leer la escala de decibelios

La escala junto al altavoz es una regla en decibelios, de modo que distancias iguales en ella son factores iguales de intensidad: de un susurro de 30 dB a una conversación de 60 dB hay un factor 1000, y de 0 dB al umbral del dolor, a 130 dB, un factor $10^{13}$. Su barra de colores es verde hasta 70 dB, dorada hasta 85 dB y roja por encima, donde una exposición larga daña el oído. El indicador parte de la zona roja, a 89,0 dB, cruza los 85 dB cuando el sonómetro está a unos 1,6 m del altavoz y termina en 70,9 dB, justo por encima del verde.

La sonoridad crece mucho más despacio que la intensidad. Un sonido debe ganar unos 10 dB, diez veces la intensidad, para parecer el doble de fuerte. Así, un concierto de rock de 110 dB, 50 dB por encima de una conversación, tiene $10^5$ veces más intensidad, pero suena solo unas $2^5=32$ veces más fuerte.

Errores frecuentes

• Los decibelios no se suman. Dos máquinas iguales e independientes de 80 dB dan 83 dB, no 160 dB: se suman las intensidades, y duplicar la intensidad añade 3 dB. Para llegar a 86 dB hacen falta cuatro máquinas.
• Duplicar la distancia no reduce la intensidad a la mitad, sino a la cuarta parte, una bajada de 6 dB; solo una larga fila de fuentes, como una carretera con mucho tráfico, pierde apenas 3 dB por duplicación.
• 0 dB no es el silencio, sino la intensidad de referencia $I_0$, más o menos el sonido más débil que detecta un oído joven; los sonidos más débiles tienen niveles negativos, y $10^{-13}W/{\mathrm{m}}^2$ son −10 dB.
• Cuatro veces más intensidad no suena cuatro veces más fuerte: los 6 dB que se ganan al acercarte a la mitad de la distancia suenan solo unas 1,5 veces más fuertes, porque la sonoridad se duplica aproximadamente cada 10 dB.
• Los pequeños descuidos cuestan factores enteros: dividir entre $r^2$ en vez de entre $4\pi r^2$ da una intensidad 12,6 veces demasiado grande, y olvidar $I_0$ o el factor 10 convierte 70 dB, el nivel de $10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, en −50 dB o en 7 dB.

Dónde aparece

Los límites de ruido en el trabajo y cerca de los aeropuertos, la clasificación de los protectores auditivos (unas buenas orejeras restan de 20 a 30 dB, un factor de 100 a 1000 en la intensidad) y los mapas de ruido de las ciudades se basan en estas reglas. El decibelio sirve allí donde las razones abarcan muchas potencias de diez: la ganancia de los amplificadores, la luz que se pierde en las fibras ópticas, la intensidad de la señal del teléfono móvil.

La ley de la inversa del cuadrado no es exclusiva del sonido: la luz, la gravedad y el campo eléctrico de una carga puntual también se reparten sobre esferas, como muestran Gravitación y órbitas, Ley de Coulomb y Ondas electromagnéticas. Las fuentes coherentes, que suman amplitudes en vez de intensidades, llevan a Interferencia y superposición, y el sonido atrapado entre paredes, a Ondas estacionarias.

Avanzado

Qué mide la intensidad

La intensidad indica cuánta energía sonora fluye a través de una superficie: la potencia que atraviesa cada metro cuadrado colocado perpendicular al flujo, en vatios por metro cuadrado. Es a lo que responde un micrófono o un tímpano, y la conservación de la energía basta por sí sola para fijar cómo cambia con la distancia.

¿De dónde sale ese flujo? En una onda sonora, la presión del aire sube y baja en una pequeña sobrepresión $p$ en torno a su valor habitual, mientras el propio aire se mueve adelante y atrás con velocidad $u$. La presión empuja el aire en movimiento que tiene delante, así que realiza trabajo a razón de $pu$ por metro cuadrado: fuerza por unidad de área por velocidad, la forma acústica de fuerza por velocidad. Este producto oscila con la onda, así que la intensidad $\vec{I}$ se define como su promedio en un ciclo. Es un vector que apunta en el sentido en que fluye la energía.

Ahora rodea una fuente con una superficie cerrada cualquiera y córtala en pequeños elementos. Representa cada elemento con un vector $d\vec{A}$ cuya longitud es el área del elemento y que apunta hacia fuera. Solo la parte del flujo que atraviesa un elemento transporta energía a través de él, así que la potencia que sale por un elemento es $\vec{I}\cdot d\vec{A}$. Si la fuente funciona de forma estacionaria y nada absorbe el sonido, la energía no puede acumularse dentro, de modo que toda la potencia $P$ de la fuente tiene que salir por la superficie (el signo de integral con un círculo indica una suma sobre toda la superficie cerrada):
$\oint \vec{I}\cdot d\vec{A}=P$

Repartirse en un cono: la ley de la inversa del cuadrado

La forma más sencilla de ver lo que esa ecuación dice sobre la distancia es seguir un haz estrecho del flujo.

Leyenda

$\Delta P$	Potencia que transporta el cono: la parte de la potencia de la fuente que atraviesa cada elemento.	$\mathrm{W}$
$r_1$	Distancia de la fuente al primer elemento.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distancia de la fuente al segundo elemento, el doble de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$A_1$	Área del primer elemento, orientado hacia la fuente.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Área del segundo elemento: cuatro veces $A_1$, con un rayo en cada una de sus cuatro casillas.	${\mathrm{m}}^2$
$I_1$	Intensidad en el primer elemento: la potencia por metro cuadrado allí, $\Delta P/A_1$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensidad en el segundo elemento, $\Delta P/A_2$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figura 1 sigue la energía dentro de un cono estrecho con el vértice en la fuente. Sus cuatro rayos representan la potencia $\Delta P$ que transporta el cono. Atraviesan un elemento cuadrado de área $A_1$ a la distancia $r_1$ y luego un segundo elemento de área $A_2$ a $r_2=2r_1$; los dos están orientados hacia la fuente. Las aristas del cono son rectas que salen de su vértice, así que cada lado del cuadrado crece en proporción a la distancia: al doble de distancia, el elemento es el doble de ancho y el doble de alto, y $A_2=4A_1$. Las líneas que se cruzan sobre $A_2$ lo dividen en cuatro casillas, cada una del tamaño de $A_1$.

Fíjate ahora en los puntos por donde pasan los rayos. En $A_1$, los cuatro rayos atraviesan el área de una sola casilla; en $A_2$ hay un rayo en cada casilla. La misma potencia se reparte sobre cuatro veces más área, así que la potencia por metro cuadrado baja a la cuarta parte, $I_2=I_1/4$. En símbolos: entre los dos elementos no se pierde nada, así que $I_1{A}_1=I_2{A}_2=\Delta P$. A lo largo de un cono la sección crece como $r^2$, de modo que la intensidad cae como $1/r^2$ y el cono transporta la misma potencia a cualquier distancia.

Llena todas las direcciones con conos así. Para una fuente que emite por igual en todas direcciones, sobre una esfera de radio $r$ centrada en ella, $\vec{I}$ apunta directamente hacia fuera y tiene el mismo módulo $I$ en todas partes. Cada elemento deja pasar entonces $IdA$, y los elementos suman el área de la esfera, $4\pi r^2$. La ecuación de la superficie cerrada se convierte en $4\pi r^{2}I=P$, que es la ley de la inversa del cuadrado:
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$
La comprobación en directo situada sobre la primera gráfica experta lo muestra para el altavoz de 10 mW de la animación: de 1 m a 8 m, $I$ se desploma de 796 a 12,4 µW/m², y sin embargo $4\pi r^{2}I$ se queda en 10,0 mW.

Por qué la amplitud cae como uno entre r

La ley de la inversa del cuadrado trata de la energía. ¿Qué le pasa a la propia onda, a la oscilación de presión que registra un micrófono? También tiene que menguar; la pregunta es a qué ritmo.

Leyenda

$p$	Sobrepresión de la onda sonora en el instante representado.	$\mathrm{Pa}$
$r$	Distancia a la fuente a lo largo del rayo.	$\mathrm{m}$
$p_1$	Altura de la cresta en $r_1$: la amplitud de presión allí.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Altura de la cresta en $r_2$: la mitad de $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$r_1$	Distancia de la fuente a la primera cresta marcada.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distancia a la segunda cresta marcada, el doble de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\lambda$	Longitud de onda: la distancia entre crestas vecinas, la misma en cualquier $r$.	$\mathrm{m}$
$C/r$	Envolvente de la onda, con $C$ una constante que fija la fuente: las crestas tocan $+C/r$ y los valles $-C/r$.	$\mathrm{Pa}$

La figura 2 es una instantánea de la sobrepresión $p$ a lo largo de un rayo que sale de un altavoz situado en $r=0$. Fíjate primero en la separación: las crestas vecinas están siempre a una longitud de onda $\lambda$ una de otra, así que la distancia no cambia el tono. Fíjate después en la altura de las crestas. La cresta en $r_1$ llega a $p_1$; la cresta en $r_2=2r_1$ solo llega a $p_2=p_1/2$. Cada cresta toca la curva discontinua $+C/r$ y cada valle la curva $-C/r$, donde $C$ es una constante que depende de la potencia de la fuente. El doble de distancia, la mitad de amplitud: la amplitud de presión va como $1/r$.

La ecuación de onda lo confirma. Sea $c$ la velocidad del sonido. Cuando una fuente puntual emite sonido por igual en todas direcciones, $p$ depende solo de la distancia $r$ y del tiempo $t$. En ese caso la ecuación de onda tridimensional puede reescribirse, de forma exacta, como una ecuación de onda unidimensional para el producto $rp$:
$\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial t^2}$
Es la ecuación de una onda en una cuerda, cuyas soluciones son formas que viajan con velocidad $c$ sin cambiar. La saliente es $rp=f(t-r/c)$ para cualquier función $f$: lo que hace la fuente en un instante dado se repite a la distancia $r$ un tiempo $r/c$ más tarde. Dividiendo entre $r$,
$p(r,t)=\frac{f(t-r/c)}{r}$

Compáralo con la figura 2: la función $f$ dibuja las ondulaciones y el divisor $r$ dibuja su envolvente $\pm C/r$. Por eso también la animación dibuja los frentes de onda más finos y pálidos a medida que crecen.

¿Por qué una amplitud que cae como $1/r$ significa una intensidad que cae como $1/r^2$? Piensa en lo que recibe el sonido, un tímpano o la membrana de un micrófono. Un receptor así es lineal: forzado a una frecuencia dada, se mueve con una velocidad proporcional a la fuerza que recibe. La potencia que absorbe es fuerza por velocidad, así que va como el cuadrado de la amplitud. Una amplitud como $1/r$ y una potencia como el cuadrado de la amplitud dan una intensidad como $1/r^2$. La conservación de la energía y la ecuación de onda coinciden, y los mismos dos hechos valen para el campo eléctrico de la luz.

Presión e intensidad en una onda plana

Para pasar de una lectura de presión a una intensidad necesitamos la velocidad del aire $u$ que acompaña a una $p$ dada. Lejos de la fuente, un trozo pequeño de la onda esférica es prácticamente plano: una onda plana que viaja a lo largo de $x$. La segunda ley de Newton para una lámina fina de aire de densidad $\rho$ dice que su masa por unidad de volumen por su aceleración es igual al empuje neto, que se debe a que la presión es mayor en una cara que en la otra:
$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$
Para una onda que viaja hacia $+x$, $p=F(t-x/c)$ para alguna función $F$, así que el segundo miembro vale $F^{\prime }/c$. Integrando entonces respecto al tiempo se obtiene
$u=\frac{p}{\rho c}$
El aire se mueve exactamente en fase con la presión: donde la presión es alta, el aire avanza. La potencia por metro cuadrado $pu$ vale entonces $p^2/(\rho c)$. Para una onda sinusoidal de amplitud $p_0$, el promedio de $p^2$ en un ciclo es $p_0^2/2$, así que
$I=\frac{p_0^2}{2\rho c}$
El producto $\rho c$ es la impedancia acústica del medio: indica cuánta presión hace falta para que el aire se mueva a una velocidad dada. Para el aire a 20 °C, $\rho c\approx 413kg/({\mathrm{m}}^2\mathrm{s})$.

¿Qué tamaño tienen estas magnitudes? En el oyente cercano de la animación, a 2 m de la fuente, $I=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$. Entonces $p_0=\sqrt{2\cdot 413\cdot 1,99\times 10^{-4}}\approx 0,41\mathrm{Pa}$, y la amplitud de velocidad del aire, $p_0/(\rho c)$, es de cerca de 1 mm/s. Al dividir una amplitud de velocidad entre $2\pi$ por la frecuencia se obtiene el desplazamiento: a 1 kHz el aire se desplaza solo 0,16 µm de un lado a otro, y en el umbral de audición unos $10^{-11}\mathrm{m}$, una décima parte del diámetro de un átomo.

Dos escalas de decibelios

El oído abarca unas trece potencias de diez en intensidad, así que los niveles se dan en una escala logarítmica. El nivel de intensidad sonora es $\beta =10{\log }_{10}(I/I_0)$, con $I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, aproximadamente el sonido de 1 kHz más débil que puede oír un oído joven. Cada factor diez en intensidad suma 10 dB: los $1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$ del oyente cercano son 83,0 dB.

Sin embargo, un sonómetro detecta presión, no intensidad. Indica el nivel de presión sonora $L_p=20{\log }_{10}(p_{\mathrm{ef}}/p_{\mathrm{ref}})$, donde $p_{\mathrm{ef}}=p_0/\sqrt{2}$ es la presión eficaz (la media cuadrática de la presión) y $p_{\mathrm{ref}}=20\mu \mathrm{Pa}$. El factor es 20 y no 10 porque la intensidad va como la presión al cuadrado, y $20{\log }_{10}$ de un cociente es igual a $10{\log }_{10}$ de su cuadrado. Como $I=p_{\mathrm{ef}}^2/(\rho c)$, las dos escalas solo difieren en una constante, $L_p-\beta =10{\log }_{10}(\rho c{I}_0/p_{\mathrm{ref}}^2)\approx 0,14\mathrm{dB}$ en el aire, así que en la práctica son intercambiables: los 83,0 dB del oyente cercano se leen como 83,1 dB en un sonómetro.

Las presiones en juego son diminutas. Una conversación de 60 dB tiene $p_{\mathrm{ef}}=0,02\mathrm{Pa}$, dos diezmillonésimas de atmósfera, y unos dolorosos 120 dB son solo 20 Pa. Esa pequeñez es lo que hace que la ecuación de onda sea lineal con una precisión excelente, y la linealidad es lo que permite que las ondas de varias fuentes simplemente se sumen, como aprovecha una sección posterior.

Rectas en ejes logarítmicos

Los logaritmos hacen algo más que comprimir un rango enorme: convierten las leyes de potencias en rectas. Entre dos distancias a una fuente puntual, $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, y tomar $10{\log }_{10}$ en ambos miembros da
${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
Frente a $\log r$, por tanto, el nivel baja a lo largo de una recta: 20 dB por cada factor diez en la distancia (una década) y $20{\log }_{10}2=6,02$ dB por cada duplicación.

Las dos gráficas expertas muestran ambas vistas. En la primera, $I(r)$ baja de 796 µW/m² a 1 m hasta 199 a 2 m y después se acerca poco a poco a 12,4 µW/m² a 8 m, una curva en la que cuesta ver las razones iguales. En la segunda, dibujada frente a $\log r$, las distancias de 1, 2, 4 y 8 m quedan igualmente espaciadas y el nivel baja por una recta que pasa por 89,0; 83,0; 77,0 y 70,9 dB. El sonómetro, cuya distancia se duplica cada 2 s, recorre esa recta a ritmo constante.

La pendiente mide el exponente. Toda ley de potencias $I\propto r^{-n}$ da en estos ejes una recta de pendiente $-10n$ dB por década: −20 para una fuente puntual, −10 para una fuente lineal larga (el problema resuelto más abajo), 0 para una onda plana o para un sonido guiado por un tubo. Así se comprueban las cámaras anecoicas, cuyas paredes absorben casi todo el sonido: allí donde el nivel medido se aparta de la recta de −20 dB por década, se le están sumando reflexiones.

Suma de fuentes: decide la fase

Cuando dos fuentes suenan a la vez, los niveles en decibelios no se suman: dos máquinas de 80 dB no dan 160 dB. Como las ondas son pequeñas, se superponen, y en cada instante sus presiones se suman, $p=p_1+p_2$. La intensidad sigue a la media del cuadrado de la presión; con una barra para el promedio en el tiempo,
$\overline{p^2}=\overline{p_1^2}+\overline{p_2^2}+2\overline{p_1{p}_2}$
Los dos primeros términos son las contribuciones propias de cada fuente. El último, el término cruzado, depende de cómo se mantienen en fase las dos ondas, y es el que decide el resultado.

Leyenda

$p_1$	Amplitud de presión de la primera onda en el oyente: la longitud de su flecha.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Amplitud de presión de la segunda onda, aquí igual a $p_1$; su dirección indica su fase respecto a la primera.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Amplitud de la onda combinada: la suma de flechas $p_1+p_2$.	$\mathrm{Pa}$
$\phi$	Diferencia de fase: el ángulo que está girada $p_2$ respecto a la dirección de $p_1$; $0$ en fase, $\pi$ con medio ciclo de diferencia.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 calcula la suma en un oyente para dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia. A partir de aquí, $p_1$, $p_2$ y $p$ indican amplitudes. Cada onda se dibuja como una flecha cuya longitud es su amplitud de presión y cuya dirección es su fase, el punto de su ciclo al que ha llegado. La flecha $p_1$ está sobre el eje horizontal. La flecha $p_2$ empieza en su punta y está girada la diferencia de fase $\phi$, el ángulo que la segunda onda lleva de adelanto respecto a la primera. La onda combinada es la flecha $p$ que va desde el origen de $p_1$ hasta la punta de $p_2$ y cierra el triángulo. El ángulo del triángulo opuesto a $p$ es $\pi -\phi$, así que el teorema del coseno da
$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2\cos \phi$
y el último término es el término cruzado de la media del cuadrado, escrito ahora mediante la fase. En la figura las dos fuentes son iguales, $p_1=p_2$, así que al variar $\phi$ la punta de $p$ recorre la circunferencia discontinua centrada en la punta de $p_1$.

Las fuentes independientes, como dos máquinas o dos voces, no tienen una relación de fase fija. Su diferencia de fase deriva al azar, la punta de $p$ vaga por toda la circunferencia y el promedio de $\cos \phi$ es cero. El término cruzado desaparece y las intensidades simplemente se suman, así que $N$ fuentes iguales dan $N$ veces la intensidad de una:
${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ fuentes iguales incoherentes)}$

Dos fuentes suman 3,0 dB; diez, 10 dB. Si las fuentes son desiguales, domina la más fuerte: 80 dB y 70 dB son $10^8$ y $10^7$ veces $I_0$, así que juntas dan $10{\log }_{10}(10^8+10^7)=80,4\mathrm{dB}$. Aplicada al revés, la regla permite quitar el ruido de fondo de una medida: se restan intensidades, nunca decibelios.

Las fuentes coherentes, como dos altavoces alimentados con el mismo tono, mantienen una diferencia de fase fija, así que el término cruzado sobrevive. Su valor depende de dónde esté el oyente, porque $\phi$ depende de la diferencia entre las longitudes de los dos caminos. Donde las ondas llegan en fase, $\phi =0$ y la punta de $p$ está en el punto derecho de la circunferencia: las flechas se alinean, $p=2p_1$, y la intensidad es cuatro veces la de una sola fuente, +6,0 dB. Donde llegan con medio ciclo de diferencia, $\phi =\pi$ y la punta de $p$ está en el punto izquierdo, de vuelta en el origen de $p_1$: las ondas se anulan. Promediada sobre todo el patrón, la intensidad sigue siendo el doble que la de una fuente. La interferencia reparte la energía; no la crea.

Problema resuelto: el ruido de una carretera recta

El ruido cotidiano suele venir de muchas fuentes en fila. Modela una carretera larga y recta como una fila de fuentes independientes, cada una como el altavoz de la animación, $P=10\mathrm{mW}$, una cada $d=20\mathrm{m}$. ¿Qué marca un sonómetro a $r=40\mathrm{m}$ de la carretera y con qué rapidez baja el nivel a medida que te alejas?

Leyenda

$P$	Potencia acústica de cada fuente.	$\mathrm{W}$
$d$	Separación entre fuentes vecinas.	$\mathrm{m}$
$M$	El sonómetro.
$r$	Distancia del sonómetro a la carretera, que es también su distancia a la fuente más cercana.	$\mathrm{m}$
$x$	Posición de una fuente a lo largo de la carretera, medida desde el pie de la perpendicular trazada desde $M$.	$\mathrm{m}$
$s$	Distancia de esa fuente al sonómetro, $\sqrt{r^2+x^2}$.	$\mathrm{m}$
$dx$	Longitud de un tramo fino de carretera; contiene $dx/d$ fuentes.	$\mathrm{m}$

La figura 4 muestra la carretera vista desde arriba, dibujada con $r=2d$ como en los números. El sonómetro $M$ está a una distancia $r$ de la carretera, a la altura de la fuente más cercana. Otra fuente está a una distancia $x$ a lo largo de la carretera, medida desde el pie de la perpendicular trazada desde $M$. Por el teorema de Pitágoras está a $s=\sqrt{r^2+x^2}$ del sonómetro, así que por sí sola da allí $P/(4\pi s^2)$.

Las fuentes son independientes, así que, según la sección anterior, el sonómetro suma sus intensidades. En vez de sumarlas una a una, repártelas de manera uniforme a lo largo de la carretera: un tramo de longitud $dx$ contiene $dx/d$ fuentes. Sumar los tramos a lo largo de toda la carretera convierte la suma en una integral. Su paso intermedio usa
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{r^2+x^2}=\frac{\pi }{r}$
y el resultado es
$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P}{4\pi (r^2+x^2)}\frac{dx}{d}=\frac{P}{4\pi d}\cdot \frac{\pi }{r}=\frac{P}{4dr}$

A 40 m, $I=0,010/(4\cdot 20\cdot 40)=3,1\times 10^{-6}W/{\mathrm{m}}^2$, luego $\beta =64,9\mathrm{dB}$, mientras que la fuente más cercana por sí sola daría 57,0 dB. A 80 m el nivel es 61,9 dB y a 160 m, 58,9 dB: 3,0 dB por duplicación, la mitad de la caída de una fuente puntual, porque ahora $I\propto 1/r$. La razón se ve en la integral: la mitad del sonido procede del tramo de carretera situado a menos de $r$ del punto más cercano, a uno y otro lado. Duplicar $r$ reduce a la cuarta parte la aportación de cada fuente, pero duplica el número de fuentes de ese tramo, así que la intensidad solo se reduce a la mitad.

Dos comprobaciones del modelo. La integral coincide con la suma exacta sobre fuentes separadas con un error inferior al 0,4 % en cuanto $r\ge d$; más cerca domina la fuente más próxima y la carretera ya no parece continua. Y una carretera de longitud finita $L$ vuelve a parecer una fuente puntual desde mucho más allá de $L$, donde el nivel recupera los 6 dB por duplicación.

Una cuestión más sutil: ¿corresponden esos 64,9 dB a la energía que realmente fluye junto al sonómetro? Dibuja un cilindro de radio $r$ alrededor de la carretera. Las ondas de las fuentes lejanas lo atraviesan en oblicuo, y solo sale del cilindro la parte de su flujo que apunta directamente hacia fuera. Contar solo esa parte da $P/(2\pi dr)$ por metro cuadrado; multiplicado por el área del cilindro por metro de carretera, $2\pi r$, devuelve los $P/d$ que radia cada metro de carretera. Esto es $2/\pi$ del valor del sonómetro, unos 2 dB menos, porque el sonómetro suma las intensidades de todas las ondas sea cual sea su dirección. Por tanto, $p_0^2/(2\rho c)$ es igual al flujo de energía solo para una onda que viaja en un único sentido.

Límites de validez

La ley de la inversa del cuadrado se apoya en cuatro hipótesis: una fuente pequeña, un espacio abierto, un aire en calma que no absorbe nada y amplitudes pequeñas. Cada una falla en algún sitio.

Cerca de la fuente: a menos de una longitud de onda de una fuente real (3,4 m a 100 Hz), o de unas pocas veces su tamaño, la presión y la velocidad del aire aún no están en fase como en una onda plana, y la presión de una fuente extensa aún no cae como $1/r$. Las fuentes reales, además, concentran el sonido en un haz: un altavoz envía sobre todo hacia delante las longitudes de onda más cortas que su cono. Un factor de directividad $Q$ en $I=QP/(4\pi r^2)$ describe esto; una fuente sobre un suelo duro solo radia hacia medio espacio, así que $Q=2$ (+3 dB). Estos factores no dependen de la distancia, así que los 6 dB por duplicación se mantienen.

En interiores, el sonido se refleja en las paredes. Más allá de la distancia crítica, donde el sonido reflejado se vuelve tan fuerte como el directo (a menudo alrededor de un metro en un salón), dominan las reflexiones y alejarse apenas baja el nivel. Al aire libre, el aire absorbe un número fijo de decibelios por kilómetro además del reparto geométrico, y la pérdida crece con fuerza con la frecuencia: a 20 °C y 70 % de humedad, unos 0,3 dB por kilómetro a 125 Hz, 5 dB a 1 kHz y casi 80 dB a 8 kHz, frente a los 60 dB que cuesta el reparto geométrico de 1 m a 1 km. Los agudos se apagan primero; de ahí el sordo retumbar del trueno lejano.

La linealidad falla con amplitudes altas. A 150 dB, cerca de un motor a reacción, $p_{\mathrm{ef}}\approx 630\mathrm{Pa}$ es solo el 0,6 % de una atmósfera, pero las crestas viajan algo más deprisa que los valles, y una onda plana de 1 kHz se empinaría hasta formar una onda de choque en unos 7 m. Ninguna onda sinusoidal sin distorsión supera unos 191 dB al nivel del mar, donde su amplitud igualaría la presión atmosférica y sus valles llegarían al vacío. Por último, $\beta$ mide física, no sonoridad: el oído es mucho menos sensible a las bajas frecuencias, así que los sonómetros suelen aplicar una ponderación A, un filtro que atenúa las frecuencias que el oído percibe mal, y dan el resultado en dB(A).

Lo que viene después

El flujo a través de superficies cerradas hace también que la gravedad y el campo de una carga puntual caigan como $1/r^2$, en Gravitación y órbitas y en Ley de Coulomb; es la idea que hay detrás de la ley de Gauss. La luz sigue la misma aritmética: en Ondas electromagnéticas, su intensidad es $E_0^2/(2Z_0)$, y la impedancia del vacío, $Z_0\approx 377\Omega$, hace el papel de $\rho c$. Las fuentes coherentes y su término cruzado llevan a Interferencia y superposición; el sonido confinado entre paredes, a Ondas estacionarias; y el tímpano como receptor forzado, a Amortiguamiento y resonancia. La absorción de un número fijo de decibelios por kilómetro sigue el mismo decaimiento exponencial que aparece en Radiactividad y semivida.