Volume, intensidade e decibéis

Iniciante

Segure uma lata de tinta spray perto de uma parede e você obtém uma mancha pequena e espessa. Afaste-se para o dobro da distância e a mesma tinta cobre uma mancha duas vezes mais larga e duas vezes mais alta, quatro vezes a área, então a camada fica quatro vezes mais fina. O som de um alto-falante se espalha do mesmo modo, em todas as direções, como uma bolha que cresce. Os anéis azuis na animação são essa bolha, e eles enfraquecem à medida que crescem.

O alto-falante envia a mesma energia sonora a cada segundo. A intensidade é quanto dela chega a cada metro quadrado a cada segundo, medida em watts por metro quadrado. Observe os quadrados dourados: o som que atravessa um quadrado perto do alto-falante é dividido entre quatro quadrados iguais, duas vezes mais distantes, então cada um recebe apenas um quarto.

Nossos ouvidos lidam com uma faixa enorme, desde o som mais fraco que conseguem detectar até um ruído um milhão de milhões de vezes mais intenso. Para manter os números simples, usamos decibéis (dB), mostrados no gráfico: cada degrau de 10 dB significa dez vezes a intensidade. Assim, 60 dB é cem vezes mais intenso que 40 dB. Afastar-se para o dobro da distância custa cerca de 6 dB.

Nossa percepção de sonoridade é mais modesta que os números: um som precisa de aproximadamente dez vezes a intensidade, ou seja 10 dB a mais, para parecer duas vezes mais forte. E sonoridade não é altura: agudo ou grave depende da frequência, então um assobio suave pode ser agudo e um tambor forte pode ser grave.

Cuide da sua audição: horas de som acima de cerca de 85 dB podem danificá-la para sempre.

Teste-se: um rádio toca a 70 dB e outro som chega a 90 dB. Quantas vezes mais intenso ele é? (100 vezes: dois degraus de 10 dB.)

Intermediário

Intensidade: potência por metro quadrado

A potência acústica $P$ de uma fonte é a energia sonora que ela emite a cada segundo, em watts. O som transporta pouca energia: um alto-falante típico converte 1 % ou menos de sua potência elétrica em som, e o da animação irradia apenas $P=10\mathrm{mW}$.

Seu ouvido capta apenas a parte dessa potência que incide sobre sua própria pequena área. A intensidade é a potência que atravessa cada metro quadrado de uma superfície voltada para o som:
$I=\frac{P}{A}$

Ela é medida em W/m² e descreve o som em um ponto, não a fonte. Não a confunda com a sonoridade, isto é, o quão forte o som parece para o ouvinte, e da altura, aguda ou grave, que é definida principalmente pela frequência.

A lei do inverso do quadrado

Imagine uma pequena fonte emitindo som igualmente em todas as direções. A uma distância $r$, a energia que ela emite a cada segundo se espalha por uma esfera de área $4\pi r^2$, então a intensidade de uma fonte pontual é
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Dobrar a distância torna a esfera quatro vezes maior, então a intensidade cai para um quarto; triplicá-la divide a intensidade por 9. Ao comparar duas distâncias, $P$ e $4\pi$ se cancelam:
$\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2$

A pirâmide dourada na animação mostra a geometria. Os raios que passam pelos cantos de um quadrado a $r=2\mathrm{m}$ delimitam, a 4 m, um quadrado duas vezes mais largo e duas vezes mais alto: quatro quadrados iguais, rotulados $I/4$. A energia que atravessou um quadrado é dividida entre quatro: nada se perde, ela apenas se espalha mais.

A escala de decibéis

O ouvido lida com uma faixa enorme, de cerca de $10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, o tom de 1 kHz mais fraco que um jovem consegue ouvir, até cerca de 10 W/m², onde o som se torna doloroso. Em vez de números espalhados por treze potências de dez, contamos as potências de dez. O nível de intensidade sonora é
$\beta =10{\log }_{10}\frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$
em decibéis (dB). Um fator 10 na intensidade soma 10 dB, e um fator 100 soma 20 dB; como ${\log }_{10}2=0,301$, dobrar soma 3,0 dB e quadruplicar soma 6,0 dB.

Duas regras práticas decorrem disso. Como $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, o logaritmo transforma o quadrado em um fator 2, e $10\cdot 2=20$: o nível cai 20 dB a cada distância dez vezes maior e 6 dB a cada duplicação. Como fontes independentes somam suas intensidades, $N$ fontes iguais elevam o nível em $10{\log }_{10}N$:

• ${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
• ${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ equal incoherent sources)}$

Exemplo resolvido: o medidor da animação

O alto-falante irradia $P=10\mathrm{mW}=0,010\mathrm{W}$. Para o ouvinte próximo, a $r=2\mathrm{m}$:
$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=50,3{\mathrm{m}}^2$
$I=\frac{0,010\mathrm{W}}{50,3{\mathrm{m}}^2}=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$
assim $I/I_0=1,99\times 10^8$ e
$\beta =10{\log }_{10}\left(1,99\times 10^8\right)=10\cdot 8,30=83,0\mathrm{dB}$

O ouvinte distante, a 4 m, recebe um quarto dessa intensidade, $4,97\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, a um nível de $83,0-20{\log }_{10}2=77,0\mathrm{dB}$. Estas são as leituras de $I$ e $\beta$ quando o medidor vermelho alcança as distâncias dos ouvintes: cerca de 199 µW/m² e 83,0 dB, depois 49,7 µW/m² e 77,0 dB.

O medidor começa a 1 m (795,8 µW/m², 89,0 dB) e termina a 8 m (12,4 µW/m², 70,9 dB). Sua distância dobra a cada 2 s, então cada passo divide a intensidade por 4 e reduz o nível os mesmos 6,0 dB, e o ponteiro desce pelo gráfico em passos iguais. Ao longo de todo o percurso, a intensidade diminui 64 vezes, mas o nível cai apenas 18 dB.

Exemplo resolvido: uma distância segura de uma perfuratriz

Um medidor a 2 m de uma perfuratriz pneumática marca 100 dB. A que distância você precisa estar para que o nível caia para 85 dB, a marca de risco auditivo no gráfico? A 2 m, $I=I_0\cdot 10^{100/10}=0,01W/{\mathrm{m}}^2$; se a perfuratriz irradiasse igualmente em todas as direções, sua potência acústica seria $P=4\pi \cdot 2^2\cdot 0,01\approx 0,50\mathrm{W}$. O nível deve cair 15 dB, então
$20{\log }_{10}\left(\frac{r}{2\mathrm{m}}\right)=15$
$r=2\mathrm{m}\cdot 10^{15/20}=2\mathrm{m}\cdot 10^{0,75}=11,2\mathrm{m}$

Uma segunda perfuratriz idêntica eleva o nível a 2 m para $100+10{\log }_{10}2=103,0\mathrm{dB}$, e a distância de 85 dB cresce para $2\cdot 10^{18/20}=15,9\mathrm{m}$: $\sqrt{2}$ vez mais longe, não o dobro. O solo duro acrescenta aproximadamente os mesmos 3 dB em qualquer distância: ele reduz à metade a estimativa de potência, mas não altera essas distâncias.

Uma diretriz ocupacional comum permite 8 horas por dia a 85 dB e reduz à metade o tempo a cada 3 dB a mais. Um trabalhador a 2 m de uma perfuratriz está 15 dB acima disso, cinco reduções pela metade, então o limite é $8\mathrm{h}/2^5=15\min$.

Lendo o gráfico de decibéis

O gráfico ao lado do alto-falante é uma régua em decibéis, então distâncias iguais nele são fatores iguais de intensidade: de um sussurro de 30 dB a uma conversa de 60 dB há um fator de 1000, e de 0 dB até o limiar da dor, em 130 dB, um fator de $10^{13}$. Sua barra colorida é verde até 70 dB, dourada até 85 dB e vermelha acima disso, onde a exposição prolongada prejudica a audição. O ponteiro começa no vermelho, em 89,0 dB, cruza 85 dB quando o medidor está a cerca de 1,6 m do alto-falante e termina em 70,9 dB, logo acima do verde.

A sonoridade cresce muito mais suavemente que a intensidade. Um som precisa ganhar cerca de 10 dB, ou seja dez vezes a intensidade, para parecer duas vezes mais forte. Assim, um show de rock de 110 dB, 50 dB acima de uma conversa, tem $10^5$ vezes a intensidade, mas soa apenas cerca de $2^5=32$ vezes mais forte.

Erros comuns

• Decibéis não se somam. Duas máquinas idênticas e independentes de 80 dB dão 83 dB, não 160 dB: as intensidades se somam, e dobrar a intensidade soma 3 dB. Chegar a 86 dB exige quatro máquinas.
• Dobrar a distância não reduz a intensidade pela metade, mas a reduz a um quarto, uma queda de 6 dB; só uma longa fila de fontes, como uma estrada movimentada, perde apenas 3 dB por duplicação.
• 0 dB não é silêncio, mas a intensidade de referência $I_0$, aproximadamente o som mais fraco que um ouvido jovem detecta; sons mais fracos têm níveis negativos, e $10^{-13}W/{\mathrm{m}}^2$ equivale a −10 dB.
• Quatro vezes a intensidade não soa quatro vezes mais forte: os 6 dB ganhos ao reduzir pela metade a distância soam apenas cerca de 1,5 vez mais fortes, pois a sonoridade dobra aproximadamente a cada 10 dB.
• Pequenos deslizes custam fatores inteiros: dividir por $r^2$ em vez de $4\pi r^2$ torna uma intensidade 12,6 vezes maior, e omitir $I_0$ ou o fator 10 transforma 70 dB, o nível de $10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$, em −50 dB ou 7 dB.

Onde você encontra isso

Limites de ruído no trabalho e perto de aeroportos, as classificações de protetores auriculares (bons abafadores reduzem de 20 a 30 dB, um fator de 100 a 1000 na intensidade) e os mapas de ruído das cidades se baseiam todos nessas regras. O decibel serve sempre que as razões abrangem muitas potências de dez: ganhos de amplificadores, a luz perdida em fibras ópticas, a intensidade dos sinais de celular.

A lei do inverso do quadrado não é exclusiva do som: a luz, a gravidade e o campo elétrico de uma carga pontual também se espalham por esferas, como mostram Gravitação e órbitas, Lei de Coulomb e Ondas eletromagnéticas. Fontes coerentes, que somam amplitudes em vez de intensidades, levam a Interferência e superposição, e o som preso entre paredes leva a Ondas estacionárias.

Avançado

O que a intensidade mede

A intensidade nos diz quanta energia sonora flui por uma superfície: a potência que atravessa cada metro quadrado perpendicular ao fluxo, em watts por metro quadrado. É isso a que reage um microfone ou um tímpano, e a conservação de energia sozinha determina como ela muda com a distância.

De onde vem o fluxo? Em uma onda sonora, a pressão do ar sobe e desce por um pequeno excesso de pressão $p$ em torno do seu valor usual, enquanto o próprio ar se move para frente e para trás com velocidade $u$. A pressão empurra o ar em movimento à sua frente, então realiza trabalho à taxa $pu$ por metro quadrado: força por área vezes velocidade, a forma acústica de força vezes velocidade. Esse produto oscila com a onda, por isso a intensidade $\vec{I}$ é definida como sua média em um ciclo. É um vetor que aponta no sentido em que a energia flui.

Agora cerque uma fonte com qualquer superfície fechada e divida a superfície em pequenos pedaços. Escreva cada pedaço como um vetor $d\vec{A}$ cujo comprimento é a área do pedaço e que aponta para fora. Apenas a parte do fluxo que atravessa um pedaço transporta energia por ele, então a potência que sai por um pedaço é $\vec{I}\cdot d\vec{A}$. Se a fonte funciona de modo constante e nada absorve o som, a energia não pode acumular-se dentro, logo toda a potência $P$ da fonte deve sair pela superfície (o sinal de integral circulado significa uma soma sobre toda a superfície fechada):
$\oint \vec{I}\cdot d\vec{A}=P$

Espalhamento por um cone: a lei do inverso do quadrado

A maneira mais fácil de ver o que essa equação diz sobre a distância é acompanhar um feixe estreito do fluxo.

Legenda

$\Delta P$	Potência carregada pelo cone: a parte da saída da fonte que atravessa cada área.	$\mathrm{W}$
$r_1$	Distância da fonte à primeira área.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distância da fonte à segunda área, o dobro de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$A_1$	Tamanho da primeira área, voltada para a fonte.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Tamanho da segunda área: quatro vezes $A_1$, com um raio em cada uma de suas quatro células.	${\mathrm{m}}^2$
$I_1$	Intensidade na primeira área: a potência por metro quadrado ali, $\Delta P/A_1$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensidade na segunda área, $\Delta P/A_2$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A Figura 1 acompanha a energia dentro de um cone estreito com vértice na fonte. Seus quatro raios representam a potência $\Delta P$ que o cone carrega. Eles atravessam uma área quadrada $A_1$ à distância $r_1$ e depois uma segunda área $A_2$ em $r_2=2r_1$; ambas estão voltadas para a fonte. Os lados do cone são retas a partir do vértice, então cada lado do quadrado cresce em proporção à distância: a duas vezes a distância, a área é duas vezes mais larga e duas vezes mais alta, e $A_2=4A_1$. As linhas transversais em $A_2$ a dividem em quatro células, cada uma do tamanho de $A_1$.

Agora observe os pontos onde os raios se cruzam. Em $A_1$, os quatro raios passam por uma célula de área; em $A_2$, há um raio em cada célula. A mesma potência se espalha por quatro vezes a área, então a potência por metro quadrado caiu para um quarto, $I_2=I_1/4$. Em símbolos: nada se perde entre as áreas, logo $I_1{A}_1=I_2{A}_2=\Delta P$. Ao longo de um cone, a seção transversal cresce com $r^2$, então a intensidade cai com $1/r^2$, e o cone carrega a mesma potência em qualquer distância.

Preencha todas as direções com tais cones. Para uma fonte que irradia igualmente, em uma esfera de raio $r$ centrada nela, $\vec{I}$ aponta diretamente para fora e tem o mesmo módulo $I$ em todos os pontos. Cada pedaço então deixa passar $IdA$, e os pedaços somam a área da esfera, $4\pi r^2$. A equação da superfície fechada torna-se $4\pi r^{2}I=P$, que é a lei do inverso do quadrado:
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$
A verificação ao vivo acima do primeiro gráfico avançado mostra isso para o alto-falante de 10 mW da animação: de 1 m a 8 m, $I$ despenca de 796 para 12,4 µW/m², e ainda assim $4\pi r^{2}I$ permanece em 10,0 mW.

Por que a amplitude cai com 1/r

A lei do inverso do quadrado trata da energia. O que acontece com a própria onda, a oscilação de pressão que um microfone registra? Ela também deve diminuir; a questão é com que rapidez.

Legenda

$p$	Excesso de pressão da onda sonora no instante mostrado.	$\mathrm{Pa}$
$r$	Distância da fonte ao longo do raio.	$\mathrm{m}$
$p_1$	Altura da crista em $r_1$: a amplitude de pressão ali.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Altura da crista em $r_2$: metade de $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$r_1$	Distância da fonte à primeira crista marcada.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distância à segunda crista marcada, o dobro de $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\lambda$	Comprimento de onda: a distância entre cristas vizinhas, igual em todo $r$.	$\mathrm{m}$
$C/r$	Envelope da onda, com $C$ uma constante definida pela fonte: cristas tocam $+C/r$, vales $-C/r$.	$\mathrm{Pa}$

A Figura 2 é um instantâneo do excesso de pressão $p$ ao longo de um raio que sai de um alto-falante em $r=0$. Observe primeiro o espaçamento: cristas vizinhas estão sempre a um comprimento de onda $\lambda$ de distância, então a distância não altera a altura do som. Depois observe as alturas. A crista em $r_1$ atinge $p_1$; a crista em $r_2=2r_1$ atinge apenas $p_2=p_1/2$. Cada crista toca a curva tracejada $+C/r$ e cada vale a curva $-C/r$, onde $C$ é uma constante definida pela potência da fonte. O dobro da distância, metade da amplitude: a amplitude de pressão varia com $1/r$.

A equação de onda confirma isso. Seja $c$ a velocidade do som. Quando uma fonte pontual emite som igualmente em todas as direções, $p$ depende apenas da distância $r$ e do tempo $t$. Nesse caso, a equação de onda tridimensional pode ser reescrita, exatamente, como uma equação de onda unidimensional para o produto $rp$:
$\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rp)}{\partial t^2}$
Esta é a equação de uma onda em uma corda, cujas soluções são formas que se propagam à velocidade $c$ sem mudar. A solução que se afasta da fonte é $rp=f(t-r/c)$ para qualquer função $f$: o que a fonte faz em um dado instante se repete à distância $r$ um tempo $r/c$ depois. Dividindo por $r$,
$p(r,t)=\frac{f(t-r/c)}{r}$

Leia isso junto com a Figura 2: a função $f$ desenha as oscilações e o divisor $r$ desenha o envelope $\pm C/r$. É também por isso que a animação desenha as frentes de onda mais finas e mais claras à medida que crescem.

Por que uma amplitude que cai com $1/r$ significa uma intensidade que cai com $1/r^2$? Pense no que recebe o som, um tímpano ou a membrana de um microfone. Tal receptor é linear: excitado em uma dada frequência, ele se move com uma velocidade proporcional à força sobre ele. A potência que ele absorve é força vezes velocidade, então varia com o quadrado da amplitude. Amplitude com $1/r$ e potência como quadrado da amplitude dão intensidade com $1/r^2$. A conservação de energia e a equação de onda concordam, e os mesmos dois fatos valem para o campo elétrico da luz.

Pressão e intensidade em uma onda plana

Para converter uma leitura de pressão em intensidade, precisamos da velocidade do ar $u$ que acompanha um dado $p$. Longe da fonte, um pequeno pedaço da onda esférica é praticamente plano: uma onda plana que se propaga ao longo de $x$. A segunda lei de Newton para uma fina camada de ar de densidade $\rho$ diz que sua massa por unidade de volume vezes sua aceleração é igual à força resultante, que vem da pressão maior em uma face do que na outra:
$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$
Para uma onda que se propaga em direção a $+x$, $p=F(t-x/c)$ para alguma função $F$, então o lado direito é $F^{\prime }/c$. Integrando no tempo, obtemos
$u=\frac{p}{\rho c}$
O ar se move exatamente em sincronia com a pressão: onde a pressão é alta, o ar avança com força. A potência por metro quadrado $pu$ é então $p^2/(\rho c)$. Para uma onda senoidal de amplitude $p_0$, a média de $p^2$ em um ciclo é $p_0^2/2$, logo
$I=\frac{p_0^2}{2\rho c}$
O produto $\rho c$ é a impedância acústica do meio: diz quanta pressão é necessária para fazer o ar se mover a uma dada velocidade. Para o ar a 20 °C, $\rho c\approx 413kg/({\mathrm{m}}^2\mathrm{s})$.

Quão grandes são essas grandezas? No ouvinte próximo da animação, a 2 m da fonte, $I=1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$. Então $p_0=\sqrt{2\cdot 413\cdot 1,99\times 10^{-4}}\approx 0,41\mathrm{Pa}$, e a amplitude de velocidade do ar, $p_0/(\rho c)$, é cerca de 1 mm/s. Dividindo uma amplitude de velocidade por $2\pi$ vezes a frequência obtém-se o deslocamento: a 1 kHz o ar se move apenas 0,16 µm para frente e para trás, e no limiar da audição cerca de $10^{-11}\mathrm{m}$, um décimo do diâmetro de um átomo.

Duas escalas de decibéis

A audição abrange cerca de treze potências de dez em intensidade, por isso os níveis são dados em uma escala logarítmica. O nível de intensidade sonora é $\beta =10{\log }_{10}(I/I_0)$, com $I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$, aproximadamente o som de 1 kHz mais fraco que um ouvido jovem consegue ouvir. Cada fator de dez na intensidade soma 10 dB: os $1,99\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$ do ouvinte próximo equivalem a 83,0 dB.

Um medidor, porém, percebe a pressão, não a intensidade. Ele indica o nível de pressão sonora $L_p=20{\log }_{10}(p_{\mathrm{rms}}/p_{\mathrm{ref}})$, onde $p_{\mathrm{rms}}=p_0/\sqrt{2}$ é a pressão eficaz (valor rms) e $p_{\mathrm{ref}}=20\mu \mathrm{Pa}$. O fator é 20, não 10, porque a intensidade varia com o quadrado da pressão, e $20{\log }_{10}$ de uma razão é igual a $10{\log }_{10}$ do seu quadrado. Como $I=p_{\mathrm{rms}}^2/(\rho c)$, as duas escalas diferem apenas por uma constante, $L_p-\beta =10{\log }_{10}(\rho c{I}_0/p_{\mathrm{ref}}^2)\approx 0,14\mathrm{dB}$ no ar, de modo que, na prática, são intercambiáveis: os 83,0 dB do ouvinte próximo aparecem como 83,1 dB em um medidor.

As pressões envolvidas são minúsculas. Uma conversa de 60 dB tem $p_{\mathrm{rms}}=0,02\mathrm{Pa}$, duas dez-milionésimas de uma atmosfera, e um doloroso 120 dB é de apenas 20 Pa. Essa pequenez é o que torna a equação de onda linear com excelente precisão, e a linearidade é o que permite que as ondas de várias fontes simplesmente se somem, como uma seção posterior usa.

Retas em eixos logarítmicos

Logaritmos fazem mais do que comprimir uma faixa enorme: eles transformam leis de potência em retas. Entre duas distâncias de uma fonte pontual, $I_2/I_1=(r_1/r_2{)}^2$, e tomando $10{\log }_{10}$ dos dois lados obtém-se
${\beta }_2={\beta }_1-20{\log }_{10}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
Em função de $\log r$, o nível, portanto, cai ao longo de uma reta: 20 dB para cada fator de dez na distância (uma década), e $20{\log }_{10}2=6,02$ dB para cada duplicação.

Os dois gráficos avançados mostram as duas visões. No primeiro, $I(r)$ cai de 796 µW/m² a 1 m para 199 a 2 m e depois se arrasta até 12,4 µW/m² a 8 m, uma curva na qual razões iguais são difíceis de perceber. No segundo, representado em função de $\log r$, as distâncias de 1, 2, 4 e 8 m estão igualmente espaçadas e o nível desce por uma reta passando por 89,0, 83,0, 77,0 e 70,9 dB. O medidor, cuja distância dobra a cada 2 s, percorre essa reta em ritmo constante.

A inclinação mede o expoente. Qualquer lei de potência $I\propto r^{-n}$ dá uma reta de inclinação $-10n$ dB por década nesses eixos: −20 para uma fonte pontual, −10 para uma fonte linear longa (o problema resolvido abaixo), 0 para uma onda plana ou para som guiado em um tubo. Câmaras anecoicas, cujas paredes absorvem quase todo o som, são testadas assim: sempre que o nível medido se afasta da reta de −20 dB por década, reflexões estão somando-se a ele.

Somando fontes: a fase decide

Quando duas fontes soam juntas, os níveis em decibéis não se somam: duas máquinas de 80 dB não produzem 160 dB. Como as ondas são pequenas, elas se superpõem, e a cada instante suas pressões se somam, $p=p_1+p_2$. A intensidade segue a média quadrática da pressão; com uma barra para a média no tempo,
$\overline{p^2}=\overline{p_1^2}+\overline{p_2^2}+2\overline{p_1{p}_2}$
Os dois primeiros termos são as contribuições próprias das duas fontes. O último, o termo cruzado, depende de quão em sincronia estão as duas ondas, e ele decide o resultado.

Legenda

$p_1$	Amplitude de pressão da primeira onda no ouvinte: o comprimento de sua seta.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Amplitude de pressão da segunda onda, aqui igual a $p_1$; sua direção mostra sua fase em relação à primeira.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Amplitude da onda combinada: a soma vetorial $p_1+p_2$.	$\mathrm{Pa}$
$\phi$	Diferença de fase: o ângulo pelo qual $p_2$ é girada em relação à direção de $p_1$; $0$ em fase, $\pi$ a meio ciclo de diferença.	$\mathrm{rad}$

A Figura 3 calcula a soma no ouvinte para duas ondas senoidais de mesma frequência. Daqui em diante, $p_1$, $p_2$ e $p$ denotam amplitudes. Cada onda é desenhada como uma seta cujo comprimento é sua amplitude de pressão e cuja direção é sua fase, o ponto que ela atingiu em seu ciclo. A seta $p_1$ fica ao longo do eixo horizontal. A seta $p_2$ começa na ponta dela e é girada pela diferença de fase $\phi$, o ângulo pelo qual a segunda onda está adiantada em relação à primeira. A onda resultante é a seta $p$ do início de $p_1$ até a ponta de $p_2$, que fecha o triângulo. O ângulo do triângulo oposto a $p$ é $\pi -\phi$, então a lei dos cossenos dá
$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2\cos \phi$
e o último termo é o termo cruzado da média quadrática, agora escrito pela fase. Na figura, as duas fontes são iguais, $p_1=p_2$, então, conforme $\phi$ muda, a ponta de $p$ percorre o círculo tracejado centrado na ponta de $p_1$.

Fontes independentes, como duas máquinas ou duas vozes, não têm relação de fase fixa. Sua diferença de fase varia ao acaso, a ponta de $p$ percorre todo o círculo, e $\cos \phi$ tem média zero. O termo cruzado desaparece e as intensidades simplesmente se somam, de modo que $N$ fontes iguais dão $N$ vezes a intensidade de uma:
${\beta }_N={\beta }_1+10{\log }_{10}N\text{(}N\text{ equal incoherent sources)}$

Duas fontes somam 3,0 dB, dez somam 10 dB. Fontes desiguais são dominadas pela mais forte: 80 dB e 70 dB correspondem a $10^8$ e $10^7$ vezes $I_0$, então juntas dão $10{\log }_{10}(10^8+10^7)=80,4\mathrm{dB}$. Aplicada ao contrário, a regra remove o ruído de fundo de uma medição: subtraem-se intensidades, nunca decibéis.

Fontes coerentes, como dois alto-falantes recebendo o mesmo tom, mantêm uma diferença de fase fixa, então o termo cruzado persiste. Seu valor depende do ponto em que o ouvinte está, porque $\phi$ depende da diferença entre os dois caminhos percorridos. Onde as ondas chegam em sincronia, $\phi =0$ e a ponta de $p$ fica no ponto da direita do círculo: as setas se alinham, $p=2p_1$, e a intensidade é quatro vezes a de uma fonte, +6,0 dB. Onde chegam com meio ciclo de diferença, $\phi =\pi$ e a ponta de $p$ fica no ponto da esquerda, de volta ao início de $p_1$: as ondas se cancelam. Na média sobre todo o padrão, a intensidade ainda é o dobro da de uma fonte. A interferência redistribui a energia; ela não a cria.

Problema resolvido: o ruído de uma estrada reta

O ruído cotidiano muitas vezes vem de muitas fontes em fila. Modele uma longa estrada reta como uma fila de fontes independentes, cada uma como o alto-falante da animação, $P=10\mathrm{mW}$, uma a cada $d=20\mathrm{m}$. O que um medidor marca a $r=40\mathrm{m}$ da estrada, e com que rapidez o nível cai conforme você se afasta?

Legenda

$P$	Potência acústica de cada fonte.	$\mathrm{W}$
$d$	Espaçamento entre fontes vizinhas.	$\mathrm{m}$
$M$	O medidor de nível sonoro.
$r$	Distância do medidor à estrada, que também é sua distância à fonte mais próxima.	$\mathrm{m}$
$x$	Posição de uma fonte ao longo da estrada, medida a partir do pé da perpendicular de $M$.	$\mathrm{m}$
$s$	Distância dessa fonte ao medidor, $\sqrt{r^2+x^2}$.	$\mathrm{m}$
$dx$	Comprimento de um trecho fino da estrada; ele contém $dx/d$ fontes.	$\mathrm{m}$

A Figura 4 mostra a estrada vista de cima, desenhada com $r=2d$ como nos números. O medidor $M$ fica a uma distância $r$ da estrada, na mesma altura da fonte mais próxima. Outra fonte está a uma distância $x$ ao longo da estrada, medida a partir do pé da perpendicular de $M$. Pelo teorema de Pitágoras, ela está a $s=\sqrt{r^2+x^2}$ do medidor, então, sozinha, daria ali $P/(4\pi s^2)$.

As fontes são independentes, então, pela seção anterior, o medidor soma suas intensidades. Em vez de somá-las uma a uma, espalhe-as uniformemente ao longo da estrada: um trecho de comprimento $dx$ contém $dx/d$ fontes. Somar os trechos ao longo de toda a estrada transforma a soma em uma integral. Seu passo intermediário usa
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{r^2+x^2}=\frac{\pi }{r}$
e o resultado é
$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P}{4\pi (r^2+x^2)}\frac{dx}{d}=\frac{P}{4\pi d}\cdot \frac{\pi }{r}=\frac{P}{4dr}$

A 40 m, $I=0,010/(4\cdot 20\cdot 40)=3,1\times 10^{-6}W/{\mathrm{m}}^2$, logo $\beta =64,9\mathrm{dB}$, enquanto a fonte mais próxima sozinha daria 57,0 dB. A 80 m o nível é 61,9 dB e a 160 m é 58,9 dB: 3,0 dB por duplicação, metade da queda de uma fonte pontual, porque agora $I\propto 1/r$. A razão aparece na integral: metade do som vem do trecho da estrada a menos de $r$ do ponto mais próximo de cada lado. Dobrar $r$ reduz a contribuição de cada fonte a um quarto, mas dobra o número de fontes nesse trecho, então a intensidade apenas cai à metade.

Duas verificações do modelo. A integral coincide com a soma exata sobre fontes separadas com erro de 0,4 % assim que $r\ge d$; mais perto, a fonte mais próxima domina e a estrada já não parece contínua. E uma estrada de comprimento finito $L$ parece novamente uma fonte pontual a partir de bem além de $L$, onde o nível volta a 6 dB por duplicação.

Um ponto mais sutil: 64,9 dB é de fato a energia que passa pelo medidor? Desenhe um cilindro de raio $r$ em torno da estrada. Ondas de fontes distantes o atravessam obliquamente, e só a parte do seu fluxo que aponta diretamente para fora deixa o cilindro. Contando apenas essa parte, obtém-se $P/(2\pi dr)$ por metro quadrado; multiplicado pela área do cilindro por metro de estrada, $2\pi r$, recupera-se o $P/d$ que cada metro de estrada irradia. Isso é $2/\pi$ do valor do medidor, cerca de 2 dB a menos, porque o medidor soma as intensidades de todas as ondas, qualquer que seja a direção. Assim, $p_0^2/(2\rho c)$ só iguala o fluxo de energia para uma onda que se propaga em um único sentido.

Limites de validade

A lei do inverso do quadrado repousa sobre quatro hipóteses: uma fonte pequena, espaço aberto, ar parado que não absorve nada e amplitudes pequenas. Cada uma falha em algum lugar.

Perto da fonte: a menos de cerca de um comprimento de onda de uma fonte real (3,4 m a 100 Hz), ou a menos de algumas vezes o seu tamanho, pressão e velocidade do ar ainda não estão em sincronia como numa onda plana, e a pressão de uma fonte extensa ainda não cai com $1/r$. Fontes reais também concentram o som em um feixe: um alto-falante envia comprimentos de onda menores que seu cone principalmente para frente. Um fator de diretividade $Q$ em $I=QP/(4\pi r^2)$ descreve isso; uma fonte sobre solo duro irradia apenas para metade do espaço, logo $Q=2$ (+3 dB). Tais fatores não dependem da distância, então os 6 dB por duplicação se mantêm.

Em ambientes fechados, o som reflete nas paredes. Além da distância crítica, onde o som refletido se torna tão forte quanto o direto (muitas vezes cerca de um metro numa sala de estar), as reflexões dominam e afastar-se quase não reduz o nível. Ao ar livre, o ar absorve um número fixo de decibéis por quilômetro além do espalhamento, e a perda cresce acentuadamente com a frequência: a 20 °C e 70 % de umidade, cerca de 0,3 dB por quilômetro a 125 Hz, 5 dB a 1 kHz e quase 80 dB a 8 kHz, contra os 60 dB que o espalhamento custa de 1 m a 1 km. Os sons agudos se extinguem primeiro, daí o ronco grave de trovões distantes.

A linearidade falha em alta amplitude. A 150 dB, perto de um motor a jato, $p_{\mathrm{rms}}\approx 630\mathrm{Pa}$ são apenas 0,6 % de uma atmosfera, mas as cristas viajam um pouco mais rápido que os vales, e uma onda plana de 1 kHz se transformaria em um choque em cerca de 7 m. Nenhuma onda senoidal não distorcida ultrapassa cerca de 191 dB ao nível do mar, pois sua amplitude seria igual à pressão atmosférica e seus vales atingiriam o vácuo. Por fim, $\beta$ mede a física, não a sonoridade: o ouvido é bem menos sensível em baixas frequências, então os medidores costumam aplicar uma ponderação A, um filtro que atenua as frequências que o ouvido percebe mal, e expressam o resultado em dB(A).

Aonde isso leva

O fluxo através de superfícies fechadas também faz a gravidade e o campo de uma carga pontual caírem com $1/r^2$, em Gravitação e órbitas e Lei de Coulomb; é a ideia por trás da lei de Gauss. A luz segue a mesma aritmética: em Ondas eletromagnéticas sua intensidade é $E_0^2/(2Z_0)$, com a impedância do espaço livre $Z_0\approx 377\Omega$ fazendo o papel de $\rho c$. Fontes coerentes e seu termo cruzado levam a Interferência e superposição, o som confinado entre paredes leva a Ondas estacionárias, e o tímpano como receptor excitado leva a Amortecimento e ressonância. A absorção com um número fixo de decibéis por quilômetro é o mesmo decaimento exponencial de Radioatividade e meia-vida.