El sonido y el efecto Doppler

Principiante

Mira cómo un pato cruza nadando un estanque en calma. Hace ondas nuevas sin parar, pero cada una se extiende desde el punto donde estaba el pato al crearla. Delante del pato las ondas se amontonan; detrás quedan muy separadas. El sonido de una sirena en movimiento hace exactamente lo mismo en el aire, y eso muestran los anillos azules de la animación.

El oído juzga la altura de un sonido por la frecuencia con que llegan las crestas. Al oyente de delante le llegan crestas juntas y a menudo, así que la sirena le suena más aguda. Al de detrás le llegan separadas y con menos frecuencia, así que le suena más grave. La sirena nunca cambia su nota: el conductor la oye siempre igual. Este cambio de tono causado por el movimiento es el efecto Doppler.

También funciona al revés. Si corres hacia una campana quieta, te encuentras con sus crestas antes que si te quedaras parado y oyes una nota algo más aguda; si te alejas, la nota baja.

Hay dos errores frecuentes. El tono no sube cada vez más mientras la ambulancia se acerca: se mantiene agudo todo el tiempo que se acerca, grave todo el tiempo que se aleja, y cae justo al pasar. Acercarse solo hace que suene más fuerte, que es otro efecto.

¿Y si la fuente va más rápido que sus propias ondas? Entonces deja atrás todas sus crestas, que se apilan a lo largo de una V, como la estela de una lancha. En el aire, ese apilamiento es el estampido sónico, que se oye mientras un avión vuela más rápido que el sonido, no solo en el instante en que alcanza esa velocidad.

Ponte a prueba: un coche toca el claxon mientras se aleja de ti. ¿La nota que oyes es más aguda o más grave que la que oye el conductor? (Más grave.)

Intermedio

Qué medimos y desde dónde

El sonido en el aire es un patrón viajero de compresiones y rarefacciones. Una fuente que vibra $f$ veces por segundo, su frecuencia en hercios (Hz), emite una cresta cada periodo $T=1/f$. Las crestas viajan a la velocidad del sonido $v$, que depende del aire y no de la fuente: unos 343 m/s a 20 °C. Dos crestas vecinas están separadas una longitud de onda $\lambda =v/f$, es decir, 0,85 m para una nota de 400 Hz en aire a 340 m/s.

Quien escucha cuenta otra cosa: las crestas que llegan a su oído cada segundo. Esta frecuencia oída $f^{\prime }$ es lo que el oído percibe como tono, y cuando nada se mueve, $f^{\prime }=f$. El efecto Doppler es la diferencia que causa el movimiento. Todas las velocidades se miden respecto del aire: $v_s$ para la fuente y $v_o$ para el observador, el oyente, y los dos se mueven a lo largo de la recta que los une.

Una fuente en movimiento cambia la longitud de onda

Una vez que una cresta ha salido de la fuente, se expande a $v$ desde el punto de emisión, haga lo que haga la fuente después. Supón que la fuente se mueve hacia un oyente a $v_s$. Durante un periodo, la cresta anterior avanza $vT$ y la fuente la persigue $v_{s}T$, así que delante de la fuente las crestas quedan más juntas:
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(delante de la fuente)}$

Detrás de la fuente la separación es $(v+v_s)/f$. Las crestas siguen viajando a $v$, así que un oyente quieto situado delante recibe $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ crestas por segundo, más que $f$, y uno situado detrás recibe $fv/(v+v_s)$, menos.

Un oyente en movimiento es otra historia. Una fuente en reposo mantiene la separación habitual $\lambda =v/f$, y un oyente que camina hacia ella a $v_o$ se cruza con sus crestas a la velocidad relativa $v+v_o$, así que $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$. El movimiento de la fuente cambia la longitud de onda en el aire; el del oyente solo cambia la frecuencia con que se encuentran las crestas.

Las fórmulas de Doppler

Para un movimiento a lo largo de la recta que une fuente y oyente, con todas las velocidades medidas respecto del aire, los tres casos básicos son estos:

• $f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(fuente que se acerca)}$
• $f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(fuente que se aleja)}$
• $f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(observador que se acerca)}$

Cuando se mueven los dos, los efectos se multiplican: $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$ al acercarse, y una velocidad en sentido contrario cambia de signo. Comprueba siempre el resultado: acercarse sube la frecuencia, alejarse la baja, y si nada se mueve respecto del aire, $f^{\prime }=f$. Un coche que circula justo delante de una ambulancia, a su misma velocidad $u$, oye $f(v-u)/(v-u)=f$, igual que el conductor de la ambulancia.

Ejemplo resuelto: la sirena de la animación

La animación exagera el movimiento para que el apiñamiento se vea bien. La sirena emite $f=400\mathrm{Hz}$ y se mueve a $v_s=170m/s$, la mitad de $v=340m/s$. En reposo, sus crestas estarían separadas $\lambda =340/400=0,85\mathrm{m}$. Delante y detrás de ella,
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0,425\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{0,425}=800\mathrm{Hz}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1,275\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{1,275}\approx 267\mathrm{Hz}$

Son los números de la pantalla. El indicador morado da 800 Hz para el oyente morado de delante, el indicador verde 267 Hz para el oyente verde de detrás, y las etiquetas de las esquinas inferiores muestran las longitudes de onda, redondeadas a 0,43 m y 1,28 m. Los anillos azules están, por delante, a la mitad de la separación que tendrían con la sirena parada y, por detrás, a una vez y media esa separación, y la flecha $v_s$ rojo anaranjado muestra la velocidad de la sirena.

Cada lado se comprueba solo: $f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0,425=340m/s$; las crestas conservan su velocidad y solo cambia su separación. Para un oyente junto al que pasa esta sirena, la nota cae en un factor $(v+v_s)/(v-v_s)=3$, una octava y una quinta.

Ejemplo resuelto: una ambulancia que pasa

Una ambulancia con una sirena de 700 Hz circula a 25 m/s (90 km/h) un día en que $v=343m/s$. Si estás de pie junto a la carretera, oyes
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Hz}$
antes y después de que pase: una caída de unos 103 Hz, una razón de $368/318\approx 1,16$, más que un intervalo de un tono (1,12).

Ahora conduce tú hacia la ambulancia a 20 m/s. Antes del cruce, los dos se acercan; después, los dos se alejan:
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Hz}$
La caída aumenta hasta unos 185 Hz, porque ahora contribuyen los dos movimientos.

Por último, cambia los papeles. Si conduces a 25 m/s hacia una alarma quieta de 700 Hz, oyes $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Hz}$, unos 4 Hz menos de lo que daba la ambulancia en movimiento: poco a velocidades de carretera, pero real, porque solo el movimiento de la fuente cambia la longitud de onda en el aire.

Cómo leer el dibujo de los frentes de onda

Cada anillo azul de la animación es una cresta, centrada en el punto donde estaba la sirena cuando la emitió, no donde está ahora. Los centros quedan alineados a lo largo de la carretera, con el anillo más joven y pequeño más cerca de la sirena. La separación es mínima justo delante, máxima justo detrás, y cambia suavemente entre ambos extremos.

Para quien escucha junto a la carretera, este patrón pasa de largo. Mientras la sirena aún está lejos, antes de llegar, las crestas que le llegan están casi tan apretadas como las de justo delante; cuando ya está muy lejos, tras haber pasado, casi tan estiradas como las de detrás. Entre medias el tono baja, y lo hace de forma más brusca cuanto más cerca de la carretera se encuentre. Los anillos muestran el tono, no el volumen: el sonido también se hace más fuerte al acercarse la sirena, porque su potencia se reparte sobre esferas más pequeñas.

Errores frecuentes

• El tono no sube a medida que la fuente se acerca. Una sirena que viene directa hacia ti a 25 m/s constantes se mantiene en 755 Hz; solo crece el volumen, unos 6 dB cada vez que la distancia se reduce a la mitad.
• El movimiento de la fuente y el del observador no son intercambiables. En aire a 340 m/s, una sirena de 500 Hz que se acerca a 30 m/s se oye a 548 Hz; un oyente que se acerca a 30 m/s a una sirena quieta oye 544 Hz.
• Las velocidades se miden respecto del aire. Un viento de 10 m/s hace que el sonido viaje a 353 m/s a favor de él y a 333 m/s en contra, pero si fuente y oyente están quietos, cada cresta tarda lo mismo en llegar y el tono sigue siendo $f$.
• El movimiento no cambia la fuente: el conductor de la ambulancia, que se mueve con la sirena, oye su nota verdadera, 400 Hz en la animación y 700 Hz en la ambulancia.
• No sumes la velocidad a la frecuencia: una fuente de 500 Hz que se acerca a 30 m/s da 548 Hz, no 530 Hz. Acercarse debe dar más que $f$ y alejarse menos, aquí 459 Hz.

Dónde aparece

Los radares de velocidad miden el desplazamiento Doppler de un eco de microondas, la ecografía Doppler muestra la sangre que circula por una arteria, los radares meteorológicos trazan los vientos dentro de las tormentas y los murciélagos siguen a los insectos por el tono de sus ecos. Los astrónomos leen el movimiento de las estrellas en el desplazamiento de sus líneas espectrales, hacia el rojo si se alejan y hacia el azul si se acercan, y descubren planetas alrededor de otras estrellas por el bamboleo que provocan.

La siguiente lección, Sonoridad, intensidad y decibelios, trata el otro cambio que oyes cuando una sirena se acerca, su volumen creciente. Interferencia y superposición explica los batidos que usan los instrumentos para medir desplazamientos pequeños, y Relatividad especial muestra cómo funciona el efecto Doppler para la luz, que no tiene aire respecto del cual medir velocidades.

Avanzado

Contar crestas: una fuente en movimiento

Una sirena de frecuencia $f$ circula a velocidad $v_s$ por aire en calma, en el que el sonido viaja a velocidad $v$, y un oyente $C$ está quieto. ¿Por qué $C$ oye un tono $f^{\prime }$ distinto de $f$? La respuesta más limpia sale de contar crestas. Un tono es el número de crestas de presión que llegan por segundo, así que basta con conocer el tiempo que pasa entre las llegadas de dos crestas vecinas. La figura 1 prepara esa cuenta.

Leyenda

$C$	Oyente en reposo en aire en calma.
$S_n$	Posición de la sirena cuando emite la cresta $n$.
$S_{n+1}$	Su posición cuando emite la cresta $n+1$, un periodo después.
$T$	Periodo de la sirena, $T=1/f$.	$\mathrm{s}$
$v_{s}T$	Distancia que recorre la sirena en un periodo, en la dirección de su velocidad.	$\mathrm{m}$
$r_n$	Longitud del camino de la cresta $n$, de $S_n$ a $C$.	$\mathrm{m}$
$r_{n+1}$	Longitud del camino de la cresta $n+1$, de $S_{n+1}$ a $C$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo entre la velocidad de la sirena y la recta hacia $C$, en el instante de la emisión.	$\mathrm{rad}$
$v_{s}T\cos \theta$	Componente del paso $v_{s}T$ a lo largo de la recta hacia $C$: cuánto más corto es el segundo camino.	$\mathrm{m}$

Piensa en la sirena como en un reloj que emite una cresta cada periodo $T=1/f$. La cresta número $n$ sale del punto $S_n$ en el instante $nT$. La cresta $n+1$ sale un periodo después desde $S_{n+1}$, porque en ese periodo la sirena ha recorrido una distancia $v_{s}T$ por la carretera: la flecha de $S_n$ a $S_{n+1}$ en la figura 1.

Una vez que una cresta ha salido, la sirena ya no influye en ella: corre por el aire a velocidad $v$, en línea recta hacia $C$. La cresta $n$ recorre el camino $r_n$ y la cresta $n+1$ el camino $r_{n+1}$, así que llegan en
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
El tiempo entre estas llegadas es el periodo que percibe el oyente:
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

Así que todo depende de cuánto difiere el segundo camino del primero. Fíjate en la línea discontinua de la figura 1, trazada desde $S_{n+1}$ perpendicular al primer camino. El paso $v_{s}T$ es diminuto comparado con la distancia hasta $C$ (un periodo dura unos pocos milisegundos), así que los dos caminos son casi paralelos. Entonces el segundo camino es más corto que el primero en el tramo del primer camino comprendido entre $S_n$ y el pie de esa línea discontinua. Ese tramo es la componente del paso a lo largo de la recta hacia $C$, es decir, $v_{s}T\cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo en $S_n$ entre la velocidad de la sirena y la recta hacia $C$. Por tanto
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

Llevando esto a $T^{\prime }$ se obtiene $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$. La frecuencia es la inversa del periodo, así que
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

Tres direcciones muestran lo que dice la fórmula. Justo delante, $\theta =0$, da $fv/(v-v_s)$: las crestas se apretujan y el tono sube. Este caso es exacto a cualquier distancia, porque entonces los dos caminos están sobre la misma recta. Justo detrás, $\theta =180^{\circ }$, da $fv/(v+v_s)$: las crestas se separan y el tono baja. De lado, $\theta =90^{\circ }$, no hay desplazamiento, porque un paso perpendicular a la línea de visión no cambia la distancia a $C$ en primer orden.

Hay dos detalles fáciles de pasar por alto. Primero, solo cuenta la componente radial $v_s\cos \theta$, la parte de la velocidad a lo largo de la recta hacia el oyente; el movimiento transversal a esa recta no hace nada. Segundo, $\theta$ es el ángulo en el momento de la emisión, no en el momento en que se oye. La cresta que oyes ahora salió un tiempo de viaje $r/v$ antes, en el llamado tiempo retardado, cuando la sirena estaba en otro sitio. El ejemplo junto a la carretera, más abajo, muestra que este retraso se oye con facilidad.

Contar fase: un observador en movimiento

Ahora intercambia los papeles: la sirena está quieta y el oyente se mueve. El aire lleva entonces las mismas crestas igualmente espaciadas que para un oyente en reposo; la onda no cambia en nada. Lo que cambia es con qué frecuencia el oyente en movimiento se topa con las crestas. Un diagrama espacio-tiempo, la figura 2, hace visible esta cuenta.

Leyenda

$x$	Posición a lo largo de la recta que va de la fuente al oyente; la fuente está en $x=0$.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Tiempo entre dos crestas emitidas por la fuente: el periodo.	$\mathrm{s}$
$T^{\prime }$	Tiempo entre dos crestas que encuentra el oyente que camina, aquí $2T/3$.	$\mathrm{s}$
$\lambda$	Longitud de onda: distancia entre crestas vecinas, $\lambda =vT$.	$\mathrm{m}$
$v_o$	Velocidad del oyente que camina hacia la fuente, aquí $v/2$.	$m/s$

En la figura 2 la posición $x$ crece hacia la derecha y el tiempo $t$ hacia arriba, y la fuente está en $x=0$, sobre el eje vertical. Emite una cresta cada periodo $T$. Cada cresta se mueve hacia la derecha a velocidad $v$, así que en el diagrama es una recta inclinada que avanza una longitud de onda $\lambda =vT$ por periodo. Por eso las rectas de las crestas son paralelas y suben $T$ por cada $\lambda$ que recorren.

Un oyente en reposo es una recta vertical en este diagrama, y cruza una recta de cresta cada $T$. El oyente de la figura 2 camina hacia la fuente a $v_o=v/2$, así que su trayectoria se inclina hacia el eje, al encuentro de las rectas de las crestas, y las corta más a menudo. Él y las crestas se acercan a $v+v_o$, y las crestas están separadas $\lambda$, así que el tiempo entre crestas pasa a ser $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$, marcado $T^{\prime }$ en la figura. En el tiempo $4T$ en que un oyente en reposo encuentra cuatro crestas, él encuentra seis.

En símbolos, la misma cuenta usa la fase de la onda. Escribe la onda como función de $\omega t-kx$, con la frecuencia angular $\omega =2\pi f$ y el número de onda $k=\omega /v=2\pi /\lambda$. La fase crece $2\pi$ de una cresta a la siguiente, así que contar radianes de fase es contar crestas. Un oyente que parte de $x_0$ y camina hacia la fuente está en $x=x_0-v_{o}t$, así que la fase que percibe es
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
Crece al ritmo $\omega +k{v}_o$, de modo que
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
Los $k{v}_{o}t$ radianes extra en un tiempo $t$ son las crestas extra con las que se encuentra al avanzar: la inclinación de su trayectoria en la figura 2. Si se aleja, $v_o$ cambia de signo y el tono baja.

Fuente u observador: no es el mismo desplazamiento

Los dos resultados se parecen, pero no son iguales. Da a los dos casos una misma velocidad $u$ y escribe $\beta =u/v$. Una fuente que se acerca a ti a $u$ multiplica la frecuencia por
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
mientras que si eres tú quien se acerca a la fuente a $u$, la frecuencia se multiplica por $1+\beta$. Los dos factores coinciden a primer orden en $\beta$ y se diferencian en ${\beta }^2/(1-\beta )$, así que la diferencia solo importa cuando $u$ es una fracción apreciable de $v$.

A velocidades de carretera es pequeña pero medible. A 30 m/s, con el sonido a 340 m/s, $\beta \approx 0,088$ y la diferencia es un 0,85 % de $f$: una sirena de 500 Hz se oye a 548,4 Hz cuando se mueve ella y a 544,1 Hz cuando se mueve el oyente, 4,3 Hz de diferencia. Con el Mach 0,5 de la animación, $u=v/2$, la diferencia es enorme: un oyente que corre a 170 m/s hacia una sirena quieta de 400 Hz oye 600 Hz, mientras que una sirena que corre a 170 m/s hacia un oyente quieto se oye a 800 Hz.

Por qué el aire elige un sistema de referencia

Esta asimetría no es ninguna paradoja. El aire es un medio físico real, y el sistema de referencia en el que está en reposo es especial: en estas fórmulas, «en movimiento» significa siempre en movimiento respecto al aire.

Para ver cómo cambia una frecuencia de un sistema a otro, describe la misma onda desde un sistema que se mueve a velocidad $u$ a lo largo de $x$. Su coordenada de posición es $x^{\prime }$, con $x=x^{\prime }+ut$, y conserva el mismo reloj. La fase pasa a ser
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
El número de onda sigue siendo $k$, así que la longitud de onda es la misma para todos los observadores; solo cambia la frecuencia, que pasa a ser $\omega -ku$. Un oyente que camina hacia la fuente tiene $u=-v_o$, lo que devuelve $\omega +k{v}_o$.

Una fuente en movimiento encaja en la misma regla. En el sistema propio de la fuente, el aire fluye hacia atrás a su lado a $v_s$, como un viento, de modo que su sonido avanza, respecto a ella, a solo $v-v_s$. Como emite $f$ crestas por segundo, quedan separadas $\lambda =(v-v_s)/f$, y esa longitud de onda la comparten todos los sistemas. En el aire las crestas viajan a $v$, así que un oyente en reposo respecto al aire oye $v/\lambda =fv/(v-v_s)$, exactamente lo que dio la cuenta de crestas.

Cuando se mueven los dos, con ángulos cualesquiera, los dos factores se multiplican:
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
Aquí $\theta$ es el ángulo en la emisión entre la velocidad de la fuente y la recta hacia el observador, como en la figura 1, y $\phi$ es el ángulo entre la velocidad del observador y la dirección hacia la fuente.

La curva de tono que se oye junto a la carretera

Una sirena que pasa no salta de agudo a grave: su tono se desliza hacia abajo por una curva suave. Calcular esa curva pone a trabajar los dos detalles de la primera sección, el ángulo de emisión y el retraso del viaje. La figura 3 muestra el resultado.

Leyenda

$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$f^{\prime }$	Frecuencia que oye $C$.	$\mathrm{Hz}$
$f$	Frecuencia de la sirena (línea discontinua).	$\mathrm{Hz}$
$t_1$	Instante en que la sirena está a la altura de $C$.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instante en que $f^{\prime }$ es igual a $f$: llega la cresta emitida de lado en $t_1$.	$\mathrm{s}$
$d/v$	Tiempo que tarda el sonido en cruzar la distancia $d$ de la carretera a $C$.	$\mathrm{s}$
$d{f}^{\prime }/dt$	Pendiente de la curva en $t_1$: lo deprisa que baja el tono oído.	$Hz/s$

La figura 3 representa el tono $f^{\prime }$ que oye el oyente $C$ frente al tiempo $t$. Los números son los de la animación, reducidos para un dibujo pequeño: $C$ está a $d=50$ unidades de longitud de la carretera, el sonido recorre 70 unidades por segundo y la sirena 35, así que $v_s/v=0,5$, como con los 170 y 340 m/s de la animación. La frecuencia propia de la sirena es $f=400\mathrm{Hz}$, la línea discontinua, y la sirena pasa a la altura de $C$ en $t_1=4\mathrm{s}$.

Cada punto de la curva requiere dos pasos. Para un instante de escucha $t$, primero se busca el instante de emisión $t_e$ de la cresta que llega entonces: aquella para la que la distancia de la sirena a $C$ en $t_e$ es igual a la distancia que ha recorrido la cresta desde entonces, $v(t-t_e)$. Después se evalúa $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ con el ángulo $\theta$ en $t_e$. La curva empieza en 788 Hz en $t=0$, algo por debajo de los 800 Hz de una aproximación de frente, porque esa cresta salió cuando la recta hacia $C$ ya formaba 10° con la carretera. Cae hasta 279 Hz en $t=8\mathrm{s}$.

Fíjate ahora en el centro de la curva. La sirena está a la altura de $C$ en $t_1$, pero la curva cruza la línea discontinua $f^{\prime }=f$ solo más tarde, en $t_2$. El tono oído es igual a $f$ para la cresta emitida de lado, con $\theta =90^{\circ }$; esa cresta salió en $t_1$ y aún tenía que cruzar la distancia $d$ hasta el oyente. Por tanto
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4,71\mathrm{s}$
que es el intervalo marcado $d/v$ en la figura 3. Oyes pasar la sirena un momento después de que haya pasado.

¿Con qué rapidez baja el tono? El tono oído depende de $t$ solo a través del instante de emisión, así que por la regla de la cadena $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$, y los dos factores son sencillos.

Para el instante de llegada, $t=t_e+r/v$, donde $r$ es la distancia de la sirena a $C$ en la emisión. Esa distancia disminuye a la velocidad radial, $dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$, así que $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$.

Para el ángulo, sea $X=v_s(t_1-t_e)$ la distancia que aún le queda a la sirena para ponerse a la altura de $C$. Entonces $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$, cuya derivada respecto a $X$ es $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$. Como $dX/d{t}_e=-v_s$, resulta $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$.

Derivando $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ se obtiene $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$. Al dividir por $dt/d{t}_e$ se añade una potencia más del denominador:
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

En el cruce $t_2$, donde $\theta =90^{\circ }$, esto vale $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0,5\cdot 35/50=-140Hz/s$. La tangente trazada en $t_1$, rotulada $d{f}^{\prime }/dt$, es todavía más empinada: es la pendiente máxima de toda la curva, como muestra el problema resuelto de más abajo. La fórmula dice también cómo cambia el deslizamiento con la distancia. La pendiente va como $1/d$, así que al doble de distancia de la carretera la misma caída dura el doble; sobre la propia carretera, $d\to 0$, el deslizamiento se convierte en un salto brusco de 800 a 267 Hz.

Problema resuelto: el instante en que pasa la sirena

El momento más llamativo es cuando la sirena está a tu altura. ¿Qué tono oyes en ese instante, y es entonces cuando el tono baja más deprisa? La figura 4 dibuja la geometría de ese instante.

Leyenda

$C$	Oyente junto a la carretera.
$S_e$	Posición de la sirena cuando emitió la cresta que ahora llega a $C$.
$S$	Posición actual de la sirena, a la altura de $C$.
$d$	Distancia de la carretera a $C$.	$\mathrm{m}$
$\tau$	Tiempo que lleva viajando la cresta desde que salió de $S_e$.	$\mathrm{s}$
$v\tau$	Distancia recorrida por la cresta, de $S_e$ a $C$.	$\mathrm{m}$
$v_s\tau$	Distancia recorrida por la sirena en ese tiempo, de $S_e$ a $S$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo de emisión: entre la velocidad de la sirena y la recta de $S_e$ a $C$.	$\mathrm{rad}$

En $t_1=4\mathrm{s}$ la sirena está en $S$, a la altura de $C$. La cresta que llega a $C$ en ese instante, el arco discontinuo, salió de $S_e$ un tiempo $\tau$ antes. En ese tiempo la cresta recorrió $v\tau$ de $S_e$ a $C$, la hipotenusa del triángulo, mientras la sirena avanzaba $v_s\tau$ por la carretera, de $S_e$ a $S$. El tercer lado es la distancia $d$ de la carretera a $C$, perpendicular a la carretera, y el ángulo en $S_e$ es el ángulo de emisión $\theta$.

Paso 1, el tono. En este triángulo rectángulo, el coseno de $\theta$ es el cateto a lo largo de la carretera dividido por la hipotenusa:
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
El tiempo $\tau$ se cancela, así que esto vale sea cual sea la distancia de $C$ a la carretera. La fórmula de Doppler da entonces
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
que para $v_s/v=0,5$ es $400/0,75\approx 533\mathrm{Hz}$, el valor marcado en $t_1$ en la figura 3, de una cresta emitida a $\theta =60^{\circ }$. El teorema de Pitágoras dice cuánto hace que salió: $(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$, así que $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0,82\mathrm{s}$.

Paso 2, la pendiente máxima. En la fórmula de la pendiente solo varía el ángulo, que entra como el cubo del cociente $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$, así que la pendiente es máxima donde ese cociente es mayor. La derivada del cociente respecto a $\theta$ es
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
que se anula en $\cos \theta =v_s/v$, justo el ángulo del paso 1. Así que el tono baja más deprisa en el instante en que la sirena está a tu altura. Ahí $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$ y el cociente vale $1/\sqrt{0,75}$, frente a 1 con $\theta =90^{\circ }$, así que la pendiente es $140/0,75^{3/2}\approx 216Hz/s$: la tangente de la figura 3.

Paso 3, una ambulancia de verdad. Para la ambulancia del nivel intermedio (700 Hz, 25 m/s, $v=343m/s$), $v_s/v\approx 0,073$. Al pasar oyes $700/(1-0,073^2)\approx 703,7\mathrm{Hz}$, apenas por encima de su propio tono. Su tono baja de unos 755 Hz al acercarse a unos 652 Hz al alejarse, una caída de 103 Hz. A 10 m de su trayectoria, la pendiente máxima es de unos $700\cdot 0,073\cdot 25/10\approx 128Hz/s$ (el factor $(1-0,073^2{)}^{3/2}$ difiere de 1 en menos de un 1 %), así que la caída dura aproximadamente 0,8 s. Es del orden de $2d/v_s$, el tiempo que tarda la ambulancia en recorrer el doble de tu distancia a su trayectoria, durante el cual la recta hacia ti barre la mayor parte de sus direcciones.

Más rápido que sus propias ondas: el cono de Mach

¿Qué ocurre cuando la fuente alcanza su propio sonido? Cuando $v_s\to v$, las crestas emitidas hacia delante se apilan en un único frente. En cuanto $v_s>v$, la fuente deja atrás todas las crestas que emite.

Imagina las crestas en un instante dado. Una cresta emitida hace un tiempo $\tau$ es una esfera de radio $v\tau$, centrada donde estaba entonces la fuente, a una distancia $v_s\tau$ por detrás de su posición actual. Las crestas más antiguas son esferas mayores centradas más atrás, y todas son tangentes a un mismo cono con el vértice en la fuente. Una recta desde el vértice que toca justo una esfera es perpendicular al radio en el punto de contacto, lo que forma un triángulo rectángulo de hipotenusa $v_s\tau$ y cateto $v\tau$ opuesto al vértice. El semiángulo $\alpha$ del cono cumple, por tanto, $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$:
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(cono de Mach)}$

El cociente $v_s/v$ es el número de Mach: a Mach 2, $\alpha =30^{\circ }$; a Mach 1,5, unos 42°. Cuanto más rápida es la fuente, más estrecho es el cono.

El cono también se esconde en la fórmula de Doppler. Su denominador $1-(v_s/v)\cos \theta$ se anula cuando $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$, la dirección perpendicular a la superficie del cono: todas las crestas enviadas en esa dirección llegan en el mismo instante. Ese apilamiento es la onda de choque, que barre el suelo como un estampido sónico mientras el avión siga siendo supersónico, no solo en el momento en que alcanza la velocidad del sonido. En direcciones más cercanas a la de avance, el denominador se vuelve negativo, lo que significa que las crestas emitidas más tarde llegan antes. Así que, cuando el cono ya ha pasado, un oyente oye a la vez dos flujos de sonido, uno de ellos al revés.

Todo objeto más rápido que las ondas de su medio arrastra un cono así, emita o no un sonido propio: una bala; un barco en aguas poco profundas, donde todas las ondas largas viajan a $\sqrt{gh}$ para una profundidad $h$; o una partícula cargada que va por el agua más deprisa que la luz en ella, $c/n\approx 0,75c$, cuya radiación de Cherenkov hace brillar en azul el agua de las piscinas de los reactores.

Luz, ecos y radar

La luz no necesita medio, así que no hay aire que elija un sistema de referencia: solo puede importar la velocidad relativa de fuente y observador, y las dos maneras de contar tienen que dar la misma respuesta. La dan, en cuanto se incluye la dilatación del tiempo: un reloj que se mueve a velocidad $\beta c$ marca el tiempo más despacio, en el factor $\sqrt{1-{\beta }^2}$, visto desde el sistema por el que se mueve.

Cuenta primero en el sistema del observador, con la fuente acercándose a $\beta =u/c$. Su reloj ralentizado emite a $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, y encima se aplica el factor de la fuente en movimiento, $1/(1-\beta )$: $f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$. Cuenta ahora en el sistema de la fuente, donde es el observador quien se acerca. Encuentra $f(1+\beta )$ crestas por segundo del tiempo de la fuente, pero su propio reloj va lento, así que por cada segundo de su tiempo cuenta $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$. Como $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$, las dos cuentas se reducen a
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

Detrás de esta coincidencia está la regla hallada para el sonido. La fase $\omega t-kx$ cuenta crestas, y todos los observadores coinciden en una cuenta, así que $\omega$ y $k$ cambian juntos de un sistema a otro, igual que $t$ y $x$: para el sonido, con el cambio de sistema de Galileo; para la luz, con la transformación de Lorentz. La dilatación del tiempo por sí sola causa también un desplazamiento sin equivalente en el sonido, el efecto Doppler transversal: la luz emitida cuando la fuente está a tu altura llega con frecuencia $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, por debajo de $f$. Para una fuente que se aleja a $\beta =0,1$, $f^{\prime }/f=\sqrt{0,9/1,1}\approx 0,905$, de modo que su línea roja del hidrógeno, de 656,3 nm, se ve en 725,6 nm.

Un eco de un blanco en movimiento se desplaza dos veces. Primero el blanco actúa como observador en movimiento y recibe $f(v+u)/v$; después devuelve ese sonido como fuente en movimiento, lo que multiplica por $v/(v-u)$. Para un blanco que se acerca a $u$,
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
donde la aproximación vale para $u$ mucho menor que $v$. El mismo doble desplazamiento se aplica cuando es la propia fuente la que va hacia un muro fijo: si el coche de la sirena de la animación hubiera ido a 170 m/s directo hacia un muro, su conductor habría oído el eco a $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Hz}$.

El radar y la ecografía médica usan la aproximación. Mezclan el eco con la señal emitida y miden el batido entre ambos, $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$, que da la velocidad del blanco. Un radar de tráfico de 24,125 GHz ve un coche a 30 m/s con $\Delta f=2fu/c\approx 4,8\mathrm{kHz}$, y una sonda de ultrasonidos de 5 MHz ve la sangre que se mueve a 0,5 m/s (el sonido viaja a 1540 m/s en el tejido) con unos 3,2 kHz.

Límites de validez

Las fórmulas suponen un medio uniforme y en calma, con una única velocidad de onda. En el aire $v$ crece con la temperatura y cambia con el viento, y los gradientes de cualquiera de los dos desvían el sonido de la línea recta de visión. También suponen que la velocidad y la dirección de la fuente cambian poco durante un periodo, 2,5 ms para una sirena de 400 Hz.

Además son lineales: tratan el sonido como pequeñas variaciones de presión, de unos 0,02 Pa sobre los 100 000 Pa de la presión atmosférica en el habla, que se suman sin cambiar la velocidad del sonido. Cerca de $v_s=v$ esto falla. Las crestas apiladas forman una compresión intensa que viaja más deprisa que el sonido ordinario, y la $f^{\prime }$ infinita de la fórmula se convierte en un frente de choque, curvo cerca del morro y cada vez más recto, hasta quedar en el cono de Mach, más lejos. Un estampido sónico supone decenas de pascales y suele oírse como un doble estallido, del morro y de la cola. La dispersión, es decir, una velocidad de onda que depende de la longitud de onda, también cambia el cono: en aguas profundas, donde las ondas largas adelantan a las cortas, la estela de un barco conserva un semiángulo de unos 19,5° en un amplio intervalo de velocidades.

Para el sonido, las correcciones relativistas son del orden de $(v_s/c{)}^2$, unos $3\times 10^{-13}$ incluso a 170 m/s, así que las fórmulas galileanas son exactas en la práctica, mientras que la asimetría entre fuente y observador, del orden de $(v_s/v{)}^2$, es real. Para la luz, la aproximación de primer orden $\Delta f/f\approx 2u/c$ basta de sobra para el radar, donde $\beta \approx 10^{-7}$, pero a $\beta =0,5$ el factor exacto para un solo trayecto es $\sqrt{3}\approx 1,73$, ni el 2 de la fórmula de la fuente ni el 1,5 de la del observador.

Lo que viene después

Relatividad especial convierte el enigma fuente–observador en la transformación de Lorentz de la frecuencia y la longitud de onda, y Ondas electromagnéticas trata las ondas de radio y la luz que usan el radar y la astronomía. Los batidos entre el eco y la señal pertenecen a Interferencia y superposición, y el volumen de una sirena que se acerca, a Sonoridad, intensidad y decibelios. La agitación térmica de los átomos ensancha las líneas espectrales unas pocas partes por millón, lo que enlaza Teoría cinética de los gases con Modelos atómicos: el átomo de Bohr, mientras que La gravedad como curvatura del espacio-tiempo describe un desplazamiento distinto, el de los relojes en un campo gravitatorio, que no hay que confundir con el efecto Doppler.