Som e efeito Doppler

Iniciante

Observe um pato nadando em um lago parado. Ele cria ondulações novas o tempo todo, mas cada uma se espalha a partir do ponto onde o pato estava quando a criou. À frente do pato, as ondulações se juntam; atrás dele, ficam bem afastadas. O som de uma sirene em movimento faz exatamente o mesmo no ar, e é isso que os anéis azuis da animação mostram.

O seu ouvido percebe a altura pela frequência com que as cristas chegam. O ouvinte à frente recebe cristas bem juntas, chegando com frequência, então a sirene soa mais aguda. O ouvinte atrás recebe as cristas espaçadas e chegando raramente, então ela soa mais grave. A própria sirene nunca muda de nota: o motorista a ouve normalmente o tempo todo. Essa mudança de altura causada pelo movimento é o efeito Doppler.

Também funciona no sentido inverso. Se você corre em direção a um sino parado, encontra as cristas dele mais cedo do que se estivesse parado, então a nota soa um pouco mais aguda; se você corre para longe, ela fica mais grave.

Dois erros são comuns. A altura não continua subindo à medida que a ambulância se aproxima: ela fica aguda o tempo todo em que se aproxima, fica grave o tempo todo em que se afasta e cai no momento em que passa. Chegar mais perto só deixa o som mais forte, o que é outro efeito.

E se a fonte for mais rápida que as próprias ondas? Então ela deixa todas as cristas para trás, e elas se acumulam ao longo de um V, como a esteira de uma lancha. Para o som no ar, esse acúmulo é um estrondo supersônico, ouvido sempre que um avião voa mais rápido que o som, e não apenas no momento em que atinge essa velocidade.

Teste-se: um carro buzina enquanto se afasta de você. O som que você ouve é mais agudo ou mais grave do que o que o motorista ouve? (Mais grave.)

Intermediário

O que medimos e de onde

O som no ar é um padrão que se propaga de compressões e rarefações. Uma fonte que vibra $f$ vezes por segundo, sua frequência em hertz (Hz), envia uma crista a cada período $T=1/f$. As cristas viajam com a velocidade do som $v$, determinada pelo ar, não pela fonte: cerca de 343 m/s a 20 °C. Cristas vizinhas estão separadas por um comprimento de onda $\lambda =v/f$, 0,85 m para uma nota de 400 Hz no ar a 340 m/s.

Um ouvinte conta outra coisa: as cristas que atingem o ouvido a cada segundo. Essa frequência percebida $f^{\prime }$ é o que o ouvido interpreta como altura, e, quando nada se move, $f^{\prime }=f$. O efeito Doppler é a diferença causada pelo movimento. Todas as velocidades são medidas em relação ao ar: $v_s$ para a fonte e $v_o$ para o observador, o ouvinte, ambos se movendo ao longo da reta que os une.

Uma fonte em movimento muda o comprimento de onda

Depois que uma crista deixa a fonte, ela se espalha com $v$ a partir do ponto de emissão, independentemente do que a fonte faça em seguida. Suponha que a fonte se mova em direção a um ouvinte com $v_s$. Durante um período, a última crista avança $vT$ enquanto a fonte a acompanha por $v_{s}T$. Assim, à frente da fonte, as cristas ficam mais compactadas:
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(in front of the source)}$

Atrás da fonte, o espaçamento é $(v+v_s)/f$. As cristas continuam a viajar com $v$, então um ouvinte parado à frente recebe $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ cristas por segundo, mais do que $f$, e um ouvinte atrás recebe $fv/(v+v_s)$, menos.

Um ouvinte em movimento é outra história. Uma fonte parada mantém o espaçamento normal $\lambda =v/f$, e um ouvinte que caminha em sua direção com $v_o$ encontra suas cristas com a velocidade relativa $v+v_o$, logo $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$. O movimento da fonte muda o comprimento de onda no ar; o movimento do ouvinte muda apenas a frequência com que ele encontra as cristas.

As fórmulas do efeito Doppler

Para um movimento ao longo da reta que une a fonte e o ouvinte, com todas as velocidades medidas em relação ao ar, os três casos básicos são estes:

• $f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(source approaching)}$
• $f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(source receding)}$
• $f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(observer approaching)}$

Quando os dois se movem, os efeitos se multiplicam: $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$ para a aproximação, e uma velocidade apontando para longe troca de sinal. Confira cada resposta: aproximação eleva a frequência, afastamento a reduz, e, se nada se move em relação ao ar, $f^{\prime }=f$. Um carro que segue logo à frente de uma ambulância com a velocidade $u$ ouve $f(v-u)/(v-u)=f$, igual ao motorista da ambulância.

Exemplo resolvido: a sirene da animação

A animação exagera o movimento para que a compressão seja fácil de ver. A sirene emite $f=400\mathrm{Hz}$ e se move com $v_s=170m/s$, metade de $v=340m/s$. Parada, suas cristas estariam separadas por $\lambda =340/400=0,85\mathrm{m}$. À frente dela e atrás dela,
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0,425\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{0,425}=800\mathrm{Hz}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1,275\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{1,275}\approx 267\mathrm{Hz}$

Esses são os números na tela. O marcador roxo mostra 800 Hz para o ouvinte roxo à frente, o marcador verde mostra 267 Hz para o ouvinte verde atrás, e os rótulos nos cantos inferiores mostram os comprimentos de onda, arredondados para 0,43 m e 1,28 m. Os anéis azuis estão separados, à frente, por metade do espaço que haveria em repouso, e, atrás, por uma vez e meia esse espaço; a seta $v_s$ em laranja-avermelhado mostra a velocidade da sirene.

Cada lado se verifica: $f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0,425=340m/s$; as cristas mantêm sua velocidade e só o espaçamento muda. Um ouvinte por quem essa sirene passa ouve a nota cair pelo fator $(v+v_s)/(v-v_s)=3$, uma oitava e uma quinta.

Exemplo resolvido: uma ambulância passando

Uma ambulância com sirene de 700 Hz dirige a 25 m/s (90 km/h) em um dia em que $v=343m/s$. Parado perto da estrada, você ouve
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Hz}$
antes e depois de ela passar: uma queda de cerca de 103 Hz, uma razão de $368/318\approx 1,16$, mais do que um tom inteiro (1,12).

Agora dirija em direção à ambulância a 20 m/s. Antes do encontro, os dois se aproximam; depois, os dois se afastam:
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Hz}$
A queda aumenta para cerca de 185 Hz, porque agora os dois movimentos contribuem.

Por fim, inverta os papéis. Dirigindo a 25 m/s em direção a um alarme parado de 700 Hz, você ouve $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Hz}$, cerca de 4 Hz a menos do que a ambulância em movimento deu: pouco em velocidades de estrada, mas real, porque só o movimento da fonte muda o comprimento de onda no ar.

Lendo a imagem das frentes de onda

Cada anel azul na animação é uma crista, centrada no ponto onde a sirene estava quando a emitiu, e não onde ela está agora. Os centros ficam em fila ao longo da estrada, com o anel mais novo e menor mais perto da sirene. O espaçamento é menor bem à frente e maior bem atrás, e muda suavemente entre os dois.

Uma ouvinte ao lado da estrada escuta esse padrão passar. Enquanto a sirene ainda está longe, no início da estrada, as cristas que chegam a ela estão quase tão comprimidas quanto as da frente; quando a sirene já está longe, no fim da estrada, estão quase tão esticadas quanto as de trás. No meio, a altura desliza para baixo, e tanto mais bruscamente quanto mais perto da estrada ela estiver. Os anéis mostram a altura, não o volume: o som também fica mais forte quando a sirene se aproxima, porque sua potência se espalha por esferas menores.

Erros comuns

• A altura não sobe conforme a fonte se aproxima. Uma sirene que vem direto em sua direção a 25 m/s constante permanece em 755 Hz; só o volume cresce, cerca de 6 dB a cada vez que a distância se reduz à metade.
• O movimento da fonte e o do observador não são intercambiáveis. No ar a 340 m/s, uma sirene de 500 Hz se aproximando a 30 m/s é ouvida a 548 Hz; um ouvinte se aproximando de uma sirene parada a 30 m/s ouve 544 Hz.
• As velocidades são medidas em relação ao ar. Um vento de 10 m/s muda a velocidade do som ao longo dele para 353 ou 333 m/s, mas se a fonte e o ouvinte estiverem parados, cada crista leva o mesmo tempo para chegar, e a altura permanece em $f$.
• O movimento não muda a fonte: o motorista da ambulância, que se move junto com a sirene, ouve a nota verdadeira dela, 400 Hz na animação e 700 Hz na ambulância.
• Não some a velocidade à frequência: uma fonte de 500 Hz aproximando-se a 30 m/s dá 548 Hz, não 530 Hz. A aproximação deve ficar acima de $f$ e o afastamento abaixo dela, aqui em 459 Hz.

Onde ele aparece

Pistolas de velocidade medem o desvio Doppler de um eco de micro-ondas; o ultrassom Doppler mostra o sangue fluindo em uma artéria; o radar meteorológico mapeia os ventos dentro das tempestades, e morcegos rastreiam insetos pela altura de seus ecos. Astrônomos leem o movimento das estrelas pelos desvios de suas linhas espectrais, vermelhas para as que se afastam e azuis para as que se aproximam, e encontram planetas em torno de outras estrelas pela oscilação que eles provocam.

A próxima aula, Volume, intensidade e decibéis, trata da outra mudança que você ouve quando uma sirene se aproxima: o volume crescente. Interferência e superposição explica os batimentos que os instrumentos usam para medir pequenos desvios, e Relatividade restrita mostra como o efeito Doppler funciona para a luz, que não tem ar contra o qual medir velocidades.

Avançado

Contando cristas: uma fonte em movimento

Uma sirene de frequência $f$ se desloca com velocidade $v_s$ pelo ar parado, no qual o som viaja com velocidade $v$, e um ouvinte $C$ permanece parado. Por que $C$ ouve uma altura $f^{\prime }$ diferente de $f$? A resposta mais clara vem da contagem de cristas. Uma altura é o número de cristas de pressão que chegam por segundo, então basta o tempo entre as chegadas de duas cristas vizinhas. A Figura 1 monta essa contagem.

Legenda

$C$	Ouvinte parado em ar parado.
$S_n$	Onde a sirene está quando envia a crista $n$.
$S_{n+1}$	Onde ela está quando envia a crista $n+1$, um período depois.
$T$	Período da sirene, $T=1/f$.	$\mathrm{s}$
$v_{s}T$	Distância que a sirene percorre em um período, ao longo de sua velocidade.	$\mathrm{m}$
$r_n$	Comprimento do caminho da crista $n$, de $S_n$ até $C$.	$\mathrm{m}$
$r_{n+1}$	Comprimento do caminho da crista $n+1$, de $S_{n+1}$ até $C$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo entre a velocidade da sirene e a reta até $C$, no momento da emissão.	$\mathrm{rad}$
$v_{s}T\cos \theta$	Componente do passo $v_{s}T$ ao longo da reta até $C$: quanto o segundo caminho é mais curto.	$\mathrm{m}$

Pense na sirene como um relógio que envia uma crista a cada período $T=1/f$. A crista de número $n$ sai do ponto $S_n$ no instante $nT$. A crista $n+1$ sai de $S_{n+1}$ um período depois, porque, nesse período, a sirene percorreu uma distância $v_{s}T$ ao longo da estrada: a seta de $S_n$ até $S_{n+1}$ na Figura 1.

Depois que uma crista sai, a sirene não importa mais para ela: ela se propaga pelo ar com velocidade $v$, em linha reta até $C$. A crista $n$ percorre o caminho $r_n$ e a crista $n+1$ percorre $r_{n+1}$, então elas chegam em
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
O intervalo de tempo entre essas chegadas é o período que o ouvinte escuta:
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

Tudo depende de quanto o segundo caminho difere do primeiro. Observe a linha tracejada na Figura 1, traçada a partir de $S_{n+1}$ em ângulo reto sobre o primeiro caminho. O passo $v_{s}T$ é pequeno em comparação com a distância até $C$ (um período dura alguns milissegundos), então os dois caminhos são quase paralelos. O segundo caminho é então mais curto que o primeiro pelo trecho do primeiro caminho entre $S_n$ e o pé dessa linha tracejada. Esse trecho é a componente do passo na direção da reta até $C$, ou seja, $v_{s}T\cos \theta$, em que $\theta$ é o ângulo em $S_n$ entre a velocidade da sirene e a reta até $C$. Logo
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

Colocando isso em $T^{\prime }$ resulta em $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$. A frequência é o inverso do período, então
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

Três direções mostram o que a fórmula diz. Bem à frente, $\theta =0$, ela dá $fv/(v-v_s)$: as cristas são comprimidas e a altura sobe. Esse caso é exato a qualquer distância, porque então os dois caminhos estão na mesma reta. Bem atrás, $\theta =180^{\circ }$, ela dá $fv/(v+v_s)$: as cristas são esticadas e a altura cai. De lado, $\theta =90^{\circ }$, não há desvio, porque um passo perpendicular à linha de visada não altera a distância até $C$ em primeira ordem.

Dois pontos são fáceis de deixar passar. Primeiro, só conta a componente radial $v_s\cos \theta$, a parte da velocidade ao longo da reta até o ouvinte; o movimento transversal a essa reta não faz nada. Segundo, $\theta$ é o ângulo no instante da emissão, não no instante da escuta. A crista que você ouve agora partiu há um tempo de viagem $r/v$, no chamado tempo retardado, quando a sirene estava em outro lugar. O exemplo da estrada, abaixo, mostra que esse atraso é fácil de perceber.

Contando fase: um observador em movimento

Agora inverta os papéis: a sirene fica parada e o ouvinte se move. O ar carrega então as mesmas cristas igualmente espaçadas que levaria para um ouvinte em repouso; nada muda na onda. O que muda é a frequência com que o ouvinte em movimento encontra as cristas. Um diagrama espaço-tempo, a Figura 2, torna essa contagem visível.

Legenda

$x$	Posição ao longo da reta da fonte até o ouvinte; a fonte está em $x=0$.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Tempo entre duas cristas enviadas pela fonte: o período.	$\mathrm{s}$
$T^{\prime }$	Tempo entre duas cristas encontradas pelo ouvinte que caminha, aqui $2T/3$.	$\mathrm{s}$
$\lambda$	Comprimento de onda: distância entre cristas vizinhas, $\lambda =vT$.	$\mathrm{m}$
$v_o$	Velocidade do ouvinte que caminha em direção à fonte, aqui $v/2$.	$m/s$

Na Figura 2, a posição $x$ cresce para a direita e o tempo $t$ para cima, e a fonte está em $x=0$, sobre o eixo vertical. Ela envia uma crista a cada período $T$. Cada crista se move para a direita com velocidade $v$, então no diagrama ela é uma reta inclinada que avança um comprimento de onda $\lambda =vT$ por período. Por isso as linhas das cristas são paralelas e sobem $T$ para cada $\lambda$ que percorrem.

Um ouvinte em repouso é uma linha vertical nesse diagrama, e ele cruza uma linha de cristas a cada $T$. O ouvinte da Figura 2 caminha em direção à fonte com $v_o=v/2$; seu trajeto se inclina em direção ao eixo, para dentro das linhas de cristas, e ele as corta com mais frequência. Ele e as cristas se aproximam com velocidade $v+v_o$, e as cristas estão separadas por $\lambda$, então o tempo entre cristas se torna $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$, marcado como $T^{\prime }$ na figura. No tempo $4T$ em que um ouvinte em repouso encontra quatro cristas, ele encontra seis.

A mesma contagem em símbolos usa a fase da onda. Escreva a onda como função de $\omega t-kx$, com frequência angular $\omega =2\pi f$ e número de onda $k=\omega /v=2\pi /\lambda$. A fase cresce $2\pi$ de uma crista para a seguinte, então contar radianos de fase é contar cristas. Um ouvinte que começa em $x_0$ e caminha em direção à fonte está em $x=x_0-v_{o}t$, então a fase que ele experimenta é
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
Ela cresce à taxa $\omega +k{v}_o$, logo
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
Os $k{v}_{o}t$ radianos extras no tempo $t$ são as cristas extras em que ele entra: a inclinação do trajeto na Figura 2. Se ele caminha para longe, $v_o$ muda de sinal e a altura cai.

Fonte ou observador: não é o mesmo desvio

Os dois resultados se parecem, mas não são iguais. Dê às duas situações a mesma velocidade $u$ e escreva $\beta =u/v$. Uma fonte que se move em sua direção com $u$ multiplica a frequência por
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
enquanto você, caminhando em direção à fonte com $u$, multiplica por $1+\beta$. Os dois concordam em primeira ordem em $\beta$ e diferem por ${\beta }^2/(1-\beta )$, então a diferença só importa quando $u$ é uma fração considerável de $v$.

Em velocidades de estrada é pequena, mas mensurável. A 30 m/s, com o som a 340 m/s, $\beta \approx 0,088$, e a diferença é de 0,85 % de $f$: uma sirene de 500 Hz é ouvida a 548,4 Hz quando ela se move e a 544,1 Hz quando o ouvinte se move, separadas por 4,3 Hz. Com o Mach 0,5 da animação, $u=v/2$, a diferença é dramática: um ouvinte correndo a 170 m/s em direção a uma sirene parada de 400 Hz ouve 600 Hz, enquanto uma sirene correndo a 170 m/s em direção a um ouvinte parado é ouvida a 800 Hz.

Por que o ar escolhe um referencial

Essa assimetria não é um paradoxo. O ar é um meio físico real, e o referencial no qual ele está em repouso é especial: "em movimento" nessas fórmulas sempre significa em movimento em relação ao ar.

Para ver como uma frequência muda entre referenciais, descreva a mesma onda a partir de um referencial que se move com velocidade $u$ ao longo de $x$. Sua coordenada de posição é $x^{\prime }$, com $x=x^{\prime }+ut$, e ele mantém o mesmo relógio. A fase se torna
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
O número de onda continua sendo $k$, então o comprimento de onda é o mesmo para todos os observadores; só a frequência muda, para $\omega -ku$. Um ouvinte que caminha em direção à fonte tem $u=-v_o$, o que devolve $\omega +k{v}_o$.

Uma fonte em movimento segue a mesma regra. No referencial da própria fonte, o ar passa por ela para trás com $v_s$, como um vento, então o som dela se propaga para a frente em relação a ela com apenas $v-v_s$. Como ela envia $f$ cristas por segundo, elas estão separadas por $\lambda =(v-v_s)/f$, e esse comprimento de onda é compartilhado por todos os referenciais. No ar as cristas viajam com $v$, então um ouvinte em repouso no ar ouve $v/\lambda =fv/(v-v_s)$, exatamente como a contagem de cristas havia mostrado.

Quando os dois se movem, em quaisquer ângulos, os dois fatores se multiplicam:
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
Aqui $\theta$ é o ângulo na emissão entre a velocidade da fonte e a reta até o observador, como na Figura 1, e $\phi$ é o ângulo entre a velocidade do observador e a direção até a fonte.

A curva de altura ouvida ao lado da estrada

Uma sirene que passa não salta de alta para baixa: sua altura desliza por uma curva suave. Calcular essa curva põe em uso os dois pontos da primeira seção, o ângulo de emissão e o atraso de propagação. A Figura 3 mostra o resultado.

Legenda

$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$f^{\prime }$	Frequência ouvida por $C$.	$\mathrm{Hz}$
$f$	Frequência da sirene (linha tracejada).	$\mathrm{Hz}$
$t_1$	Instante em que a sirene está na mesma altura de $C$.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instante em que $f^{\prime }$ é igual a $f$: chega a crista emitida de lado em $t_1$.	$\mathrm{s}$
$d/v$	Tempo que o som leva para atravessar a distância $d$ da estrada até $C$.	$\mathrm{s}$
$d{f}^{\prime }/dt$	Inclinação da curva em $t_1$: quão depressa a altura ouvida cai.	$Hz/s$

A Figura 3 traça a altura $f^{\prime }$ que o ouvinte $C$ escuta contra o tempo $t$. Os números são os da animação, reduzidos para uma figura pequena: $C$ está a $d=50$ unidades de comprimento da estrada, o som percorre 70 unidades por segundo e a sirene 35, então $v_s/v=0,5$, como nos 170 e 340 m/s da animação. A frequência própria da sirene é $f=400\mathrm{Hz}$, a linha tracejada, e a sirene está na mesma altura de $C$ no instante $t_1=4\mathrm{s}$.

Cada ponto da curva exige dois passos. Para um instante de escuta $t$, primeiro encontre o instante de emissão $t_e$ da crista que chega então: aquele para o qual a distância da sirene até $C$ no instante $t_e$ é igual à distância que a crista percorreu desde então, $v(t-t_e)$. Depois avalie $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ com o ângulo $\theta$ em $t_e$. A curva começa em 788 Hz em $t=0$, um pouco abaixo dos 800 Hz de frente, porque essa crista saiu quando a reta até $C$ já estava 10° fora da estrada. Ela cai para 279 Hz em $t=8\mathrm{s}$.

Agora olhe o meio da curva. A sirene está na mesma altura de $C$ no instante $t_1$, mas a curva só cruza a linha tracejada $f^{\prime }=f$ mais tarde, em $t_2$. A altura ouvida é igual a $f$ para a crista emitida de lado, com $\theta =90^{\circ }$; essa crista saiu em $t_1$ e ainda precisava atravessar a distância $d$ até o ouvinte. Logo
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4,71\mathrm{s}$
que é o trecho $d/v$ da Figura 3. Você ouve a sirene passar um instante depois de ela ter passado.

Com que rapidez a altura cai? A altura ouvida depende de $t$ apenas pelo instante de emissão, então, pela regra da cadeia, $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$, e os dois fatores são simples.

Para o instante de chegada, $t=t_e+r/v$, em que $r$ é a distância da sirene até $C$ na emissão. Essa distância diminui com a velocidade radial, $dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$, então $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$.

Para o ângulo, seja $X=v_s(t_1-t_e)$ a distância que a sirene ainda tem de percorrer para ficar na mesma altura de $C$. Então $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$, cuja derivada em relação a $X$ é $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$. Como $dX/d{t}_e=-v_s$, segue que $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$.

Derivando $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$, obtemos $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$. Dividir por $dt/d{t}_e$ acrescenta mais uma potência do denominador:
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

No cruzamento $t_2$, onde $\theta =90^{\circ }$, isso vale $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0,5\cdot 35/50=-140Hz/s$. A tangente traçada em $t_1$, marcada como $d{f}^{\prime }/dt$, é ainda mais íngreme: é a inclinação mais forte de toda a curva, como mostra o problema resolvido abaixo. A fórmula também mostra como a queda escala com a distância. A inclinação é proporcional a $1/d$, então, duas vezes mais longe da estrada, a mesma queda leva o dobro do tempo. Na própria estrada, $d\to 0$, o deslizamento se torna um salto súbito de 800 para 267 Hz.

Exemplo resolvido: o instante em que a sirene passa

O momento mais impressionante é quando a sirene está na mesma altura que você. Que altura você ouve nesse instante, e a altura está caindo mais depressa nesse ponto? A Figura 4 desenha a geometria desse instante.

Legenda

$C$	Ouvinte ao lado da estrada.
$S_e$	Onde a sirene estava quando enviou a crista que agora chega a $C$.
$S$	Onde a sirene está agora, na mesma altura de $C$.
$d$	Distância da estrada até $C$.	$\mathrm{m}$
$\tau$	Tempo que a crista está viajando desde que partiu de $S_e$.	$\mathrm{s}$
$v\tau$	Distância que a crista percorreu, de $S_e$ até $C$.	$\mathrm{m}$
$v_s\tau$	Distância que a sirene se moveu nesse tempo, de $S_e$ até $S$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo de emissão: entre a velocidade da sirene e a reta de $S_e$ até $C$.	$\mathrm{rad}$

No instante $t_1=4\mathrm{s}$ a sirene está em $S$, na mesma altura de $C$. A crista que chega a $C$ naquele instante, o arco tracejado, partiu de $S_e$ um tempo $\tau$ antes. Nesse tempo, a crista percorreu $v\tau$ de $S_e$ até $C$, a hipotenusa do triângulo, enquanto a sirene se moveu $v_s\tau$ ao longo da estrada, de $S_e$ até $S$. O terceiro lado é a distância $d$ da estrada até $C$, perpendicular à estrada, e o ângulo em $S_e$ é o ângulo de emissão $\theta$.

Passo 1, a altura. Nesse triângulo retângulo, o cosseno de $\theta$ é o lado ao longo da estrada dividido pela hipotenusa:
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
O tempo $\tau$ se cancela, então isso vale qualquer que seja a distância de $C$ até a estrada. A fórmula Doppler então dá
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
que, para $v_s/v=0,5$, é cerca de $400/0,75\approx 533\mathrm{Hz}$, o valor marcado em $t_1$ na Figura 3, a partir de uma crista emitida com $\theta =60^{\circ }$. O teorema de Pitágoras diz há quanto tempo ela partiu: $(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$, logo $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0,82\mathrm{s}$.

Passo 2, a inclinação mais forte. Na fórmula da inclinação, só o ângulo varia, e ele entra como o cubo da razão $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$, então a inclinação é mais forte onde essa razão é maior. A derivada da razão em relação a $\theta$ é
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
que se anula em $\cos \theta =v_s/v$, exatamente o ângulo do Passo 1. Portanto, a altura cai mais depressa no instante em que a sirene está na mesma altura que você. Ali $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$, e a razão vale $1/\sqrt{0,75}$, contra 1 em $\theta =90^{\circ }$, então a inclinação é $140/0,75^{3/2}\approx 216Hz/s$: a tangente da Figura 3.

Passo 3, uma ambulância real. Para a ambulância do nível intermediário (700 Hz, 25 m/s, $v=343m/s$), $v_s/v\approx 0,073$. Ao passar, você ouve $700/(1-0,073^2)\approx 703,7\mathrm{Hz}$, pouco acima da própria altura dela. Sua altura cai de cerca de 755 Hz na aproximação para cerca de 652 Hz no afastamento, uma queda de 103 Hz. Parado a 10 m da trajetória dela, a inclinação mais forte é de cerca de $700\cdot 0,073\cdot 25/10\approx 128Hz/s$ (o fator $(1-0,073^2{)}^{3/2}$ difere de 1 em menos de 1 %), então a queda leva cerca de 0,8 s. Isso está na ordem de $2d/v_s$, o tempo que a ambulância leva para percorrer o dobro da sua distância da trajetória dela, durante o qual a reta até você gira por quase todos os seus ângulos.

Mais rápido que as próprias ondas: o cone de Mach

O que acontece quando a fonte alcança o próprio som? À medida que $v_s\to v$, as cristas enviadas à frente se acumulam em uma única frente. Quando $v_s>v$, a fonte ultrapassa cada crista que envia.

Imagine as cristas em um instante. Uma crista emitida um tempo $\tau$ atrás é uma esfera de raio $v\tau$, centrada onde a fonte estava então, a uma distância $v_s\tau$ atrás de sua posição atual. Cristas mais antigas são esferas maiores, centradas mais para trás, e todas elas tangenciam um único cone cuja ponta está na fonte. Uma reta a partir da ponta que apenas toca uma esfera é perpendicular ao raio no ponto de contato, o que forma um triângulo retângulo com hipotenusa $v_s\tau$ e cateto $v\tau$ oposto à ponta. O semiângulo $\alpha$ do cone obedece, portanto, a $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$:
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(Mach cone)}$

A razão $v_s/v$ é o número de Mach: em Mach 2, $\alpha =30^{\circ }$; em Mach 1,5, cerca de 42°. Quanto mais rápida a fonte, mais estreito o cone.

O cone também está escondido na fórmula Doppler. Seu denominador $1-(v_s/v)\cos \theta$ se anula quando $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$, a direção perpendicular à superfície do cone: todas as cristas emitidas nessa direção chegam no mesmo instante. Esse acúmulo é a onda de choque, e ela varre o solo como um estrondo supersônico enquanto a aeronave permanecer supersônica, não apenas no instante em que atinge a velocidade do som. Para direções mais próximas da frente, o denominador fica negativo, o que significa que cristas emitidas depois chegam antes. Depois que o cone passou, um ouvinte escuta dois fluxos de som ao mesmo tempo, um deles para trás.

Qualquer objeto mais rápido que as ondas de seu meio arrasta um cone desses, quer produza um som próprio, quer não: uma bala; um barco em água rasa, onde as ondas longas se propagam todas com $\sqrt{gh}$ para uma profundidade $h$; ou uma partícula carregada na água que se move mais rápido do que a luz se move ali, $c/n\approx 0,75c$, cuja radiação Cherenkov faz a água das piscinas de reatores brilhar em azul.

Luz, ecos e radar

A luz não precisa de meio, então não há ar para escolher um referencial: só a velocidade relativa entre fonte e observador pode importar, e as duas maneiras de contar devem dar a mesma resposta. Dão, quando se inclui a dilatação do tempo: um relógio que se move com velocidade $\beta c$ anda devagar pelo fator $\sqrt{1-{\beta }^2}$, visto do referencial pelo qual ele passa.

Primeiro conte no referencial do observador, com a fonte se aproximando com $\beta =u/c$. Seu relógio lento emite com $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, e o fator da fonte em movimento $1/(1-\beta )$ se soma: $f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$. Agora conte no referencial da fonte, onde o observador se aproxima. Ele encontra cristas à taxa de $f(1+\beta )$ por segundo de tempo da fonte, mas o relógio dele anda devagar, então, por segundo do tempo dele, conta $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$. Como $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$, ambos se reduzem a
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

Por trás dessa concordância está a regra que encontramos para o som. A fase $\omega t-kx$ conta cristas, e todos os observadores concordam em uma contagem; por isso $\omega$ e $k$ mudam entre referenciais juntos, assim como $t$ e $x$: para o som, pela mudança galileana de referencial; para a luz, pela transformação de Lorentz. Somente a dilatação do tempo causa também um desvio sem equivalente no som, o efeito Doppler transversal: a luz emitida quando a fonte está na mesma altura que você chega com $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, abaixo de $f$. Para uma fonte que se afasta com $\beta =0,1$, $f^{\prime }/f=\sqrt{0,9/1,1}\approx 0,905$, então sua linha vermelha do hidrogênio, de 656,3 nm, é vista em 725,6 nm.

Um eco de um alvo em movimento é deslocado duas vezes. Primeiro, o alvo age como um observador em movimento e recebe $f(v+u)/v$; depois ele devolve esse som como uma fonte em movimento, o que multiplica por $v/(v-u)$. Para um alvo que se aproxima com $u$,
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
em que a aproximação vale para $u$ muito menor que $v$. O mesmo duplo desvio se aplica quando a própria fonte dirige em direção a uma parede fixa: se o carro da sirene da animação dirigisse a 170 m/s direto contra uma parede, seu motorista ouviria o eco em $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Hz}$.

Radares e ultrassom médico usam a aproximação. Eles misturam o eco com o sinal emitido e medem o batimento entre os dois, $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$, o que dá a velocidade do alvo. Um radar de trânsito de 24,125 GHz vê um carro a 30 m/s com $\Delta f=2fu/c\approx 4,8\mathrm{kHz}$, e uma sonda de ultrassom de 5 MHz vê sangue que se move a 0,5 m/s (o som viaja a 1540 m/s nos tecidos) com cerca de 3,2 kHz.

Limites de validade

As fórmulas supõem um meio uniforme, em repouso, com uma única velocidade de onda. No ar, $v$ aumenta com a temperatura e se desloca com o vento, e gradientes de qualquer um dos dois desviam o som da reta de visada. Elas também supõem que a velocidade e a direção da fonte mudem pouco durante um período, 2,5 ms para uma sirene de 400 Hz.

Elas são lineares, além disso: tratam o som como pequenas oscilações de pressão, cerca de 0,02 Pa sobre 100 000 Pa de pressão atmosférica para a fala, que se somam sem alterar a velocidade do som. Perto de $v_s=v$ isso falha. As cristas acumuladas formam uma compressão forte que viaja mais rápido que o som comum, e o $f^{\prime }$ infinito da fórmula se torna uma frente de choque, curvada perto do nariz e se endireitando no cone de Mach mais adiante. Um estrondo supersônico carrega dezenas de pascals, geralmente ouvido como um duplo estrondo do nariz e da cauda. A dispersão, uma velocidade de onda que depende do comprimento de onda, também altera o cone: em águas profundas, onde as ondas longas ultrapassam as curtas, a esteira de um navio mantém um semiângulo de cerca de 19,5° numa ampla faixa de velocidades.

Para o som, as correções relativísticas são da ordem de $(v_s/c{)}^2$, cerca de $3\times 10^{-13}$ mesmo a 170 m/s, então as fórmulas galileanas são exatas na prática, enquanto a assimetria entre fonte e observador, de ordem $(v_s/v{)}^2$, é real. Para a luz, a aproximação de primeira ordem $\Delta f/f\approx 2u/c$ é mais que suficiente para o radar, onde $\beta \approx 10^{-7}$, mas com $\beta =0,5$ o fator exato em um sentido é $\sqrt{3}\approx 1,73$, nem o 2 da fórmula da fonte nem o 1,5 da fórmula do observador.

Para onde isso leva

A Relatividade restrita transforma o enigma fonte-observador na transformação de Lorentz da frequência e do comprimento de onda, e Ondas eletromagnéticas trata das ondas de rádio e da luz que o radar e a astronomia usam. Os batimentos entre eco e sinal pertencem a Interferência e superposição, e o volume de uma sirene que se aproxima pertence a Volume, intensidade e decibéis. O movimento térmico dos átomos alarga linhas espectrais em algumas partes por milhão, ligando a Teoria cinética dos gases aos Modelos atômicos: o átomo de Bohr, enquanto A gravidade como espaço-tempo curvo descreve outro desvio, o dos relógios em um campo gravitacional, que não deve ser confundido com o efeito Doppler.