Le son et l'effet Doppler

Débutant

Regardez un canard traverser une mare tranquille. Il crée sans cesse de nouvelles rides, mais chacune s'étale à partir de l'endroit où il se trouvait en la créant. Devant le canard, les rides se serrent ; derrière lui, elles s'espacent. Le son d'une sirène en mouvement fait exactement la même chose dans l'air : c'est ce que montrent les anneaux bleus de l'animation.

L'oreille juge la hauteur d'un son à la fréquence d'arrivée des crêtes. L'auditeur placé devant reçoit des crêtes rapprochées, qui arrivent souvent : la sirène lui paraît plus aiguë. Celui placé derrière les reçoit espacées et plus rarement : elle lui paraît plus grave. La sirène, elle, ne change jamais de note : le conducteur l'entend toujours normalement. Ce changement de hauteur dû au mouvement s'appelle l'effet Doppler.

Cela marche aussi dans l'autre sens. Courez vers une cloche immobile : vous rencontrez ses crêtes plus tôt que si vous restiez sur place, et la note paraît un peu plus aiguë ; éloignez-vous, elle baisse.

Deux erreurs sont fréquentes. Le son ne monte pas de plus en plus à mesure que l'ambulance approche : il reste aigu pendant toute l'approche, grave pendant tout l'éloignement, et chute au moment du passage. Se rapprocher rend seulement le son plus fort, ce qui est un autre effet.

Et si la source va plus vite que ses propres ondes ? Elle laisse alors toutes ses crêtes derrière elle, et celles-ci s'empilent le long d'un V, comme le sillage d'un hors-bord. Pour le son dans l'air, cet empilement est le bang supersonique, entendu tant qu'un avion vole plus vite que le son, et pas seulement à l'instant où il atteint cette vitesse.

Testez-vous : une voiture klaxonne en s'éloignant de vous. La note que vous entendez est-elle plus aiguë ou plus grave que celle du conducteur ? (Plus grave.)

Intermédiaire

Ce que l'on mesure, et à partir d'où

Dans l'air, le son est une onde faite de compressions et de dilatations qui se propagent. Une source qui vibre $f$ fois par seconde, c'est sa fréquence en hertz (Hz), émet une crête à chaque période $T=1/f$. Les crêtes avancent à la vitesse du son $v$, fixée par l'air et non par la source : environ 343 m/s à 20 °C. Deux crêtes voisines sont séparées d'une longueur d'onde $\lambda =v/f$, soit 0,85 m pour une note de 400 Hz dans l'air à 340 m/s.

Un auditeur compte autre chose : les crêtes qui atteignent son oreille chaque seconde. Cette fréquence perçue $f^{\prime }$ est ce que l'oreille interprète comme la hauteur du son, et quand rien ne bouge, $f^{\prime }=f$. L'effet Doppler est la différence due au mouvement. Toutes les vitesses se mesurent par rapport à l'air : $v_s$ pour la source et $v_o$ pour l'observateur, c'est-à-dire l'auditeur, tous deux se déplaçant le long de la droite qui les joint.

Une source mobile change la longueur d'onde

Une fois qu'une crête a quitté la source, elle s'étale à la vitesse $v$ à partir du point d'émission, quoi que fasse ensuite la source. Faisons avancer la source vers un auditeur à la vitesse $v_s$. Pendant une période, la crête précédente parcourt $vT$ tandis que la source, qui la suit, avance de $v_{s}T$, si bien que devant la source les crêtes sont plus serrées :
${\lambda }^{\prime }=\frac{v-v_s}{f}\text{(devant la source)}$

Derrière la source, l'espacement vaut $(v+v_s)/f$. Les crêtes avancent toujours à $v$ : un auditeur immobile placé devant en reçoit donc $v/{\lambda }^{\prime }=fv/(v-v_s)$ par seconde, plus que $f$, et un auditeur placé derrière en reçoit $fv/(v+v_s)$, moins.

Le cas d'un auditeur mobile est différent. Une source au repos garde l'espacement ordinaire $\lambda =v/f$, et un auditeur qui marche vers elle à $v_o$ rencontre ses crêtes à la vitesse relative $v+v_o$, d'où $f^{\prime }=f(v+v_o)/v$. Le mouvement de la source change la longueur d'onde dans l'air ; celui de l'auditeur change seulement la fréquence à laquelle il rencontre les crêtes.

Les formules de l'effet Doppler

Pour un mouvement le long de la droite qui joint la source et l'auditeur, toutes les vitesses étant mesurées par rapport à l'air, les trois cas de base sont les suivants :

• $f^{\prime }=\frac{fv}{v-v_s}\text{(source qui approche)}$
• $f^{\prime }=\frac{fv}{v+v_s}\text{(source qui s’eˊloigne)}$
• $f^{\prime }=\frac{f(v+v_o)}{v}\text{(observateur qui approche)}$

Quand les deux se déplacent, les effets se multiplient : $f^{\prime }=f(v+v_o)/(v-v_s)$ pour un rapprochement, et il suffit de changer le signe d'une vitesse pour passer à l'éloignement. Vérifiez chaque résultat : le rapprochement élève la fréquence, l'éloignement l'abaisse, et si rien ne bouge par rapport à l'air, $f^{\prime }=f$. Une voiture qui roule juste devant une ambulance, à la même vitesse $u$ qu'elle, entend $f(v-u)/(v-u)=f$, comme le conducteur de l'ambulance.

Exemple résolu : la sirène de l'animation

L'animation exagère le mouvement pour que le tassement des crêtes se voie bien. La sirène émet $f=400\mathrm{Hz}$ et se déplace à $v_s=170m/s$, la moitié de $v=340m/s$. Au repos, ses crêtes seraient espacées de $\lambda =340/400=0,85\mathrm{m}$. Devant elle, puis derrière elle,
${\lambda }^{\prime }=\frac{340-170}{400}=0,425\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{0,425}=800\mathrm{Hz}$
$\frac{v+v_s}{f}=\frac{340+170}{400}=1,275\mathrm{m},f^{\prime }=\frac{340}{1,275}\approx 267\mathrm{Hz}$

Ce sont les valeurs affichées à l'écran. L'affichage violet donne 800 Hz pour l'auditeur violet placé devant, l'affichage vert 267 Hz pour l'auditeur vert placé derrière, et les étiquettes des coins inférieurs indiquent les longueurs d'onde, arrondies à 0,43 m et 1,28 m. Devant, l'écart entre les anneaux bleus vaut la moitié de celui d'une sirène immobile ; derrière, une fois et demie cet écart. La flèche $v_s$ rouge-orangé montre la vitesse de la sirène.

Chaque côté se vérifie de lui-même : $f^{\prime }{\lambda }^{\prime }=800\cdot 0,425=340m/s$ ; les crêtes gardent leur vitesse et seul leur espacement change. Un auditeur devant lequel cette sirène passe entend sa note baisser d'un facteur $(v+v_s)/(v-v_s)=3$, soit une octave et une quinte.

Exemple résolu : une ambulance qui passe

Une ambulance dont la sirène émet 700 Hz roule à 25 m/s (90 km/h) un jour où $v=343m/s$. Debout près de la route, vous entendez
$f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343-25}\approx 755\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot 343}{343+25}\approx 652\mathrm{Hz}$
avant, puis après son passage : une chute d'environ 103 Hz, un rapport de $368/318\approx 1,16$, soit plus qu'un ton entier (1,12).

Roulez maintenant vous-même vers l'ambulance à 20 m/s. Avant que vous vous croisiez, vous vous rapprochez tous les deux ; ensuite, vous vous éloignez tous les deux :
$f^{\prime }=\frac{700\cdot (343+20)}{343-25}\approx 799\mathrm{Hz},f^{\prime }=\frac{700\cdot (343-20)}{343+25}\approx 614\mathrm{Hz}$
La chute passe à environ 185 Hz, car les deux mouvements y contribuent maintenant.

Enfin, échangeons les rôles. En roulant à 25 m/s vers une alarme immobile de 700 Hz, vous entendez $700\cdot 368/343\approx 751\mathrm{Hz}$, soit environ 4 Hz de moins que ce que donnait l'ambulance en mouvement : c'est peu aux vitesses routières, mais bien réel, car seul le mouvement de la source modifie la longueur d'onde dans l'air.

Lire l'image des fronts d'onde

Chaque anneau bleu de l'animation est une crête, centrée sur le point où se trouvait la sirène quand elle l'a émise, et non là où elle se trouve maintenant. Les centres sont alignés le long de la route, l'anneau le plus récent et le plus petit étant le plus proche de la sirène. L'espacement est le plus petit droit devant, le plus grand droit derrière, et varie progressivement entre les deux.

Une auditrice au bord de la route entend ce motif défiler. Tant que la sirène est encore loin d'elle, avant le point de passage, les crêtes qui lui parviennent sont presque aussi serrées que celles qui sont droit devant ; quand la sirène s'est déjà bien éloignée, elles sont presque aussi étirées que celles qui sont derrière. Entre les deux, la hauteur glisse vers le grave, d'autant plus brusquement que l'auditrice est près de la route. Les anneaux montrent la hauteur, pas le volume sonore : le son devient aussi plus fort quand la sirène approche, car sa puissance se répartit sur des sphères plus petites.

Erreurs fréquentes

• La hauteur ne monte pas à mesure que la source se rapproche. Une sirène qui roule droit sur vous à 25 m/s constants reste à 755 Hz ; seul le volume sonore augmente, d'environ 6 dB chaque fois que la distance est divisée par deux.
• Les mouvements de la source et de l'observateur ne sont pas interchangeables. Dans l'air à 340 m/s, une sirène de 500 Hz qui approche à 30 m/s s'entend à 548 Hz ; un auditeur qui s'approche à 30 m/s d'une sirène immobile entend 544 Hz.
• Les vitesses se mesurent par rapport à l'air. Un vent de 10 m/s fait varier la vitesse du son le long de sa direction, à 353 m/s dans son sens et à 333 m/s dans le sens contraire, mais si la source et l'auditeur sont immobiles, toutes les crêtes mettent le même temps à arriver et la hauteur reste à $f$.
• Le mouvement ne modifie pas la source : le conducteur de l'ambulance, qui se déplace avec la sirène, entend sa vraie note, 400 Hz dans l'animation et 700 Hz dans l'ambulance.
• N'ajoutez pas la vitesse à la fréquence : une source de 500 Hz qui approche à 30 m/s donne 548 Hz, et non 530 Hz. Le rapprochement doit donner une valeur supérieure à $f$ et l'éloignement une valeur inférieure, ici 459 Hz.

Où on le rencontre

Les radars routiers mesurent le décalage Doppler d'un écho de micro-ondes, l'échographie Doppler montre le sang qui circule dans une artère, le radar météorologique cartographie les vents à l'intérieur des orages, et les chauves-souris suivent les insectes d'après la hauteur de leurs échos. Les astronomes lisent le mouvement des étoiles dans le décalage de leurs raies spectrales, vers le rouge pour celles qui s'éloignent et vers le bleu pour celles qui approchent, et découvrent des planètes autour d'autres étoiles grâce au balancement qu'elles provoquent.

La leçon suivante, Volume sonore, intensité et décibels, traite de l'autre changement que l'on entend quand une sirène approche, son volume qui augmente. La leçon Interférences et superposition explique les battements dont les instruments se servent pour mesurer de petits décalages, et la leçon Relativité restreinte montre comment l'effet Doppler fonctionne pour la lumière, qui n'a pas d'air par rapport auquel mesurer des vitesses.

Avancé

Compter les crêtes : une source mobile

Une sirène de fréquence $f$ roule à la vitesse $v_s$ dans l'air calme, où le son se propage à la vitesse $v$, et un auditeur $C$ se tient immobile. Pourquoi $C$ entend-il une hauteur $f^{\prime }$ différente de $f$ ? La réponse la plus nette vient d'un décompte des crêtes. Une hauteur, c'est le nombre de crêtes de pression qui arrivent par seconde ; il suffit donc de connaître le temps qui sépare les arrivées de deux crêtes voisines. La figure 1 prépare ce décompte.

Légende

$C$	Auditeur au repos dans l'air calme.
$S_n$	Position de la sirène quand elle émet la crête $n$.
$S_{n+1}$	Sa position quand elle émet la crête $n+1$, une période plus tard.
$T$	Période de la sirène, $T=1/f$.	$\mathrm{s}$
$v_{s}T$	Distance parcourue par la sirène en une période, dans le sens de sa vitesse.	$\mathrm{m}$
$r_n$	Longueur du trajet de la crête $n$, de $S_n$ à $C$.	$\mathrm{m}$
$r_{n+1}$	Longueur du trajet de la crête $n+1$, de $S_{n+1}$ à $C$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle entre la vitesse de la sirène et la droite qui mène à $C$, à l'instant de l'émission.	$\mathrm{rad}$
$v_{s}T\cos \theta$	Composante du pas $v_{s}T$ le long de la droite qui mène à $C$ : de combien le second trajet est plus court.	$\mathrm{m}$

Voyons la sirène comme une horloge qui émet une crête à chaque période $T=1/f$. La crête numéro $n$ part du point $S_n$ à l'instant $nT$. La crête $n+1$ part une période plus tard de $S_{n+1}$, car pendant cette période la sirène a parcouru la distance $v_{s}T$ le long de la route : c'est la flèche qui va de $S_n$ à $S_{n+1}$ sur la figure 1.

Une fois partie, une crête ne doit plus rien à la sirène : elle file dans l'air à la vitesse $v$, en ligne droite vers $C$. La crête $n$ parcourt le trajet $r_n$ et la crête $n+1$ le trajet $r_{n+1}$ ; elles arrivent donc aux instants
$t_n=nT+r_n/v,t_{n+1}=(n+1)T+r_{n+1}/v$
L'intervalle entre ces deux arrivées est la période que perçoit l'auditeur :
$T^{\prime }=t_{n+1}-t_n=T+\frac{r_{n+1}-r_n}{v}$

Tout dépend donc de l'écart entre le second trajet et le premier. Regardez le trait en pointillé de la figure 1, abaissé de $S_{n+1}$ perpendiculairement au premier trajet. Le pas $v_{s}T$ est minuscule devant la distance jusqu'à $C$ (une période dure quelques millisecondes), si bien que les deux trajets sont presque parallèles. Le second trajet est alors plus court que le premier de la portion du premier trajet comprise entre $S_n$ et le pied de ce trait en pointillé. Cette portion est la composante du pas le long de la droite qui mène à $C$, soit $v_{s}T\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle en $S_n$ entre la vitesse de la sirène et la droite qui mène à $C$. Ainsi
$r_{n+1}-r_n=-v_{s}T\cos \theta$

En reportant ce résultat dans $T^{\prime }$, on obtient $T^{\prime }=T(1-(v_s/v)\cos \theta )$. La fréquence est l'inverse de la période, donc
$f^{\prime }=\frac{f}{1-(v_s/v)\cos \theta }$

Trois directions montrent ce que dit la formule. Droit devant, $\theta =0$, elle donne $fv/(v-v_s)$ : les crêtes sont resserrées et le son devient plus aigu. Ce cas est exact à toute distance, car les deux trajets sont alors sur une même droite. Droit derrière, $\theta =180^{\circ }$, elle donne $fv/(v+v_s)$ : les crêtes sont écartées et le son devient plus grave. De côté, $\theta =90^{\circ }$, il n'y a aucun décalage, car un pas perpendiculaire à la ligne de visée ne change pas la distance à $C$ au premier ordre.

Deux points passent facilement inaperçus. D'abord, seule compte la composante radiale $v_s\cos \theta$, la partie de la vitesse dirigée le long de la droite qui mène à l'auditeur ; un mouvement transversal à cette droite ne change rien. Ensuite, $\theta$ est l'angle à l'instant de l'émission, et non à l'instant où l'on entend. La crête que vous entendez maintenant est partie un temps de parcours $r/v$ plus tôt, au temps dit retardé, quand la sirène se trouvait ailleurs. L'exemple du bord de route, plus bas, montre que ce retard s'entend facilement.

Compter la phase : un observateur mobile

Échangeons maintenant les rôles : la sirène est immobile et l'auditeur se déplace. L'air porte alors les mêmes crêtes, régulièrement espacées, que pour un auditeur au repos ; l'onde elle-même ne change en rien. Ce qui change, c'est la cadence à laquelle l'auditeur en mouvement rencontre les crêtes. Un diagramme d'espace-temps, la figure 2, rend ce décompte visible.

Légende

$x$	Position le long de la droite qui va de la source à l'auditeur ; la source est en $x=0$.	$\mathrm{m}$
$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$T$	Intervalle entre deux crêtes émises par la source : la période.	$\mathrm{s}$
$T^{\prime }$	Intervalle entre deux crêtes rencontrées par l'auditeur qui marche, ici $2T/3$.	$\mathrm{s}$
$\lambda$	Longueur d'onde : distance entre deux crêtes voisines, $\lambda =vT$.	$\mathrm{m}$
$v_o$	Vitesse de l'auditeur qui marche vers la source, ici $v/2$.	$m/s$

Sur la figure 2, la position $x$ est portée vers la droite et le temps $t$ vers le haut ; la source est en $x=0$, sur l'axe vertical. Elle émet une crête à chaque période $T$. Chaque crête se déplace vers la droite à la vitesse $v$ ; sur le diagramme, c'est donc une droite inclinée, qui avance d'une longueur d'onde $\lambda =vT$ par période. Voilà pourquoi les droites des crêtes sont parallèles et montent de $T$ pour chaque $\lambda$ parcouru.

Un auditeur au repos est une droite verticale sur ce diagramme, et il traverse une droite de crête toutes les $T$. L'auditeur de la figure 2 marche vers la source à la vitesse $v_o=v/2$ : sa trajectoire penche vers l'axe, à la rencontre des droites des crêtes, et il les coupe plus souvent. Lui et les crêtes se rapprochent à $v+v_o$, et les crêtes sont distantes de $\lambda$ ; l'intervalle entre deux crêtes devient donc $T^{\prime }=\lambda /(v+v_o)=T/(1+v_o/v)=2T/3$, noté $T^{\prime }$ sur la figure. Pendant la durée $4T$ où un auditeur au repos rencontre quatre crêtes, il en rencontre six.

En symboles, le même décompte passe par la phase de l'onde. Écrivons l'onde comme une fonction de $\omega t-kx$, avec la pulsation $\omega =2\pi f$ et le nombre d'onde $k=\omega /v=2\pi /\lambda$. La phase augmente de $2\pi$ d'une crête à la suivante : compter les radians de phase revient à compter les crêtes. Un auditeur qui part de $x_0$ et marche vers la source se trouve en $x=x_0-v_{o}t$ ; la phase qu'il perçoit est donc
$\omega t-k(x_0-v_{o}t)=(\omega +k{v}_o)t-k{x}_0$
Elle croît au rythme $\omega +k{v}_o$, d'où
${\omega }^{\prime }=\omega +k{v}_o,f^{\prime }=f\left(1+\frac{v_o}{v}\right)$
Les $k{v}_{o}t$ radians supplémentaires en un temps $t$ sont les crêtes supplémentaires qu'il rencontre en avançant : l'inclinaison de sa trajectoire sur la figure 2. S'il s'éloigne, $v_o$ change de signe et le son devient plus grave.

Source ou observateur : pas le même décalage

Les deux résultats se ressemblent, mais ils ne sont pas identiques. Donnons aux deux cas une même vitesse $u$ et posons $\beta =u/v$. Une source qui s'approche de vous à $u$ multiplie la fréquence par
$\frac{1}{1-\beta }=1+\beta +{\beta }^2+\dots$
tandis que si c'est vous qui vous approchez de la source à $u$, elle est multipliée par $1+\beta$. Les deux coïncident au premier ordre en $\beta$ et diffèrent de ${\beta }^2/(1-\beta )$ ; la différence ne compte donc que lorsque $u$ est une fraction notable de $v$.

Aux vitesses de la route, elle est faible mais mesurable. À 30 m/s, avec un son à 340 m/s, $\beta \approx 0,088$ et la différence vaut 0,85 % de $f$ : une sirène de 500 Hz est entendue à 548,4 Hz quand c'est elle qui se déplace et à 544,1 Hz quand c'est l'auditeur, soit 4,3 Hz d'écart. À Mach 0,5, valeur de l'animation, $u=v/2$, la différence est spectaculaire : un auditeur lancé à 170 m/s vers une sirène immobile de 400 Hz entend 600 Hz, tandis qu'une sirène lancée à 170 m/s vers un auditeur immobile est entendue à 800 Hz.

Pourquoi l'air choisit un référentiel

Cette asymétrie n'a rien d'un paradoxe. L'air est un milieu physique bien réel, et le référentiel dans lequel il est au repos est privilégié : dans ces formules, « en mouvement » veut toujours dire en mouvement par rapport à l'air.

Pour voir comment une fréquence change d'un référentiel à l'autre, décrivons la même onde depuis un référentiel qui se déplace à la vitesse $u$ selon $x$. Sa coordonnée de position est $x^{\prime }$, avec $x=x^{\prime }+ut$, et il garde la même horloge. La phase devient
$\omega t-kx=(\omega -ku)t-k{x}^{\prime }$
Le nombre d'onde reste $k$ : la longueur d'onde est donc la même pour tous les observateurs, et seule la fréquence change, pour devenir $\omega -ku$. Un auditeur qui marche vers la source a $u=-v_o$, ce qui redonne $\omega +k{v}_o$.

Une source mobile obéit à la même règle. Dans le référentiel propre de la source, l'air défile vers l'arrière à $v_s$, comme un vent, de sorte que le son qu'elle émet n'avance vers l'avant, par rapport à elle, qu'à $v-v_s$. Comme elle émet $f$ crêtes par seconde, celles-ci sont espacées de $\lambda =(v-v_s)/f$, et cette longueur d'onde est commune à tous les référentiels. Dans l'air, les crêtes se propagent à $v$ ; un auditeur au repos dans l'air entend donc $v/\lambda =fv/(v-v_s)$, exactement ce qu'avait donné le décompte des crêtes.

Quand les deux se déplacent, sous des angles quelconques, les deux facteurs se multiplient :
$f^{\prime }=f\frac{v+v_o\cos \phi }{v-v_s\cos \theta }$
Ici $\theta$ est l'angle à l'émission entre la vitesse de la source et la droite qui mène à l'observateur, comme sur la figure 1, et $\phi$ est l'angle entre la vitesse de l'observateur et la direction de la source.

La courbe de hauteur entendue au bord de la route

Une sirène qui passe ne saute pas de l'aigu au grave : sa hauteur glisse le long d'une courbe régulière. Le calcul de cette courbe met en jeu les deux remarques de la première section, l'angle d'émission et le retard de propagation. La figure 3 montre le résultat.

Légende

$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$f^{\prime }$	Fréquence entendue par $C$.	$\mathrm{Hz}$
$f$	Fréquence de la sirène (droite en pointillé).	$\mathrm{Hz}$
$t_1$	Instant où la sirène est à la hauteur de $C$.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instant où $f^{\prime }$ égale $f$ : arrivée de la crête émise de côté à $t_1$.	$\mathrm{s}$
$d/v$	Temps que met le son à franchir la distance $d$ de la route à $C$.	$\mathrm{s}$
$d{f}^{\prime }/dt$	Pente de la courbe à $t_1$ : la vitesse à laquelle baisse la fréquence entendue.	$Hz/s$

La figure 3 trace la fréquence $f^{\prime }$ qu'entend l'auditeur $C$ en fonction du temps $t$. Les nombres sont ceux de l'animation, réduits à l'échelle d'une petite figure : $C$ se tient à $d=50$ unités de longueur de la route, le son parcourt 70 unités par seconde et la sirène 35, d'où $v_s/v=0,5$, comme pour les 170 et 340 m/s de l'animation. La fréquence propre de la sirène est $f=400\mathrm{Hz}$, la droite en pointillé, et la sirène passe à la hauteur de $C$ à $t_1=4\mathrm{s}$.

Chaque point de la courbe s'obtient en deux étapes. Pour un instant d'écoute $t$, on cherche d'abord l'instant d'émission $t_e$ de la crête qui arrive à ce moment-là : celle pour laquelle la distance de la sirène à $C$ à l'instant $t_e$ égale la distance parcourue depuis par la crête, $v(t-t_e)$. On évalue ensuite $f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$ avec l'angle $\theta$ à l'instant $t_e$. La courbe part de 788 Hz à $t=0$, un peu en dessous des 800 Hz d'une approche de face, car cette crête est partie quand la droite menant à $C$ faisait déjà 10° avec la route. Elle descend jusqu'à 279 Hz à $t=8\mathrm{s}$.

Regardez maintenant le milieu de la courbe. La sirène est à la hauteur de $C$ à $t_1$, et pourtant la courbe ne croise la droite en pointillé $f^{\prime }=f$ que plus tard, à $t_2$. La fréquence entendue vaut $f$ pour la crête émise de côté, sous $\theta =90^{\circ }$ ; cette crête est partie à $t_1$ et devait encore franchir la distance $d$ jusqu'à l'auditeur. D'où
$t_2=t_1+d/v=4+50/70\approx 4,71\mathrm{s}$
c'est l'intervalle marqué $d/v$ sur la figure 3. Vous entendez la sirène passer un instant après qu'elle est passée.

À quelle vitesse la fréquence baisse-t-elle ? La fréquence entendue ne dépend de $t$ qu'à travers l'instant d'émission ; la dérivation des fonctions composées donne donc $d{f}^{\prime }/dt=(d{f}^{\prime }/d{t}_e)/(dt/d{t}_e)$, et les deux facteurs sont simples.

Pour l'instant d'arrivée, $t=t_e+r/v$, où $r$ est la distance de la sirène à $C$ à l'émission. Cette distance diminue à la vitesse radiale, $dr/d{t}_e=-v_s\cos \theta$, donc $dt/d{t}_e=1-(v_s/v)\cos \theta$.

Pour l'angle, notons $X=v_s(t_1-t_e)$ la distance qu'il reste à parcourir à la sirène pour arriver à la hauteur de $C$. Alors $\cos \theta =X/\sqrt{X^2+d^2}$, dont la dérivée par rapport à $X$ vaut $d^2/(X^2+d^2{)}^{3/2}={\sin }^3\theta /d$. Comme $dX/d{t}_e=-v_s$, il vient $d(\cos \theta )/d{t}_e=-(v_s/d){\sin }^3\theta$.

En dérivant $f^{\prime }=f/(1-(v_s/v)\cos \theta )$, on obtient $d{f}^{\prime }/d{t}_e=f(v_s/v)(d\cos \theta /d{t}_e)/(1-(v_s/v)\cos \theta {)}^2$. La division par $dt/d{t}_e$ ajoute une puissance de plus au dénominateur :
$\frac{d{f}^{\prime }}{dt}=-f\frac{v_s}{v}\frac{v_s}{d}\frac{{\sin }^3\theta }{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^3}$

Au croisement $t_2$, où $\theta =90^{\circ }$, cela vaut $-f(v_s/v)(v_s/d)=-400\cdot 0,5\cdot 35/50=-140Hz/s$. La tangente tracée à $t_1$, notée $d{f}^{\prime }/dt$, est plus raide encore : c'est la pente la plus forte de toute la courbe, comme le montre le problème résolu ci-dessous. La formule dit aussi comment la descente dépend de la distance. La pente varie comme $1/d$ : deux fois plus loin de la route, la même chute prend deux fois plus de temps ; sur la route elle-même, $d\to 0$, la descente devient un saut brusque de 800 à 267 Hz.

Problème résolu : l'instant où la sirène passe

Le moment le plus frappant est celui où la sirène arrive à votre hauteur. Quelle fréquence entendez-vous à cet instant, et est-ce alors qu'elle baisse le plus vite ? La figure 4 représente la géométrie de cet instant.

Légende

$C$	Auditeur au bord de la route.
$S_e$	Position de la sirène quand elle a émis la crête qui atteint maintenant $C$.
$S$	Position actuelle de la sirène, à la hauteur de $C$.
$d$	Distance de la route à $C$.	$\mathrm{m}$
$\tau$	Durée du trajet de la crête depuis son départ de $S_e$.	$\mathrm{s}$
$v\tau$	Distance parcourue par la crête, de $S_e$ à $C$.	$\mathrm{m}$
$v_s\tau$	Distance parcourue par la sirène pendant ce temps, de $S_e$ à $S$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle d'émission : entre la vitesse de la sirène et la droite de $S_e$ à $C$.	$\mathrm{rad}$

À $t_1=4\mathrm{s}$, la sirène est en $S$, à la hauteur de $C$. La crête qui atteint $C$ à cet instant, l'arc en pointillé, est partie de $S_e$ un temps $\tau$ plus tôt. Pendant ce temps, la crête a parcouru $v\tau$ de $S_e$ à $C$, l'hypoténuse du triangle, tandis que la sirène parcourait $v_s\tau$ le long de la route, de $S_e$ à $S$. Le troisième côté est la distance $d$ de la route à $C$, perpendiculaire à la route, et l'angle en $S_e$ est l'angle d'émission $\theta$.

Étape 1, la fréquence entendue. Dans ce triangle rectangle, le cosinus de $\theta$ est le rapport du côté le long de la route à l'hypoténuse :
$\cos \theta =\frac{v_s\tau }{v\tau }=\frac{v_s}{v}$
Le temps $\tau$ se simplifie, si bien que ce résultat vaut quelle que soit la distance de $C$ à la route. La formule de Doppler donne alors
$f^{\prime }=\frac{f}{1-v_s^2/v^2}$
ce qui, pour $v_s/v=0,5$, fait $400/0,75\approx 533\mathrm{Hz}$, la valeur marquée à $t_1$ sur la figure 3, pour une crête émise sous $\theta =60^{\circ }$. Le théorème de Pythagore dit depuis combien de temps elle est partie : $(v\tau {)}^2=(v_s\tau {)}^2+d^2$, donc $\tau =d/\sqrt{v^2-v_s^2}=50/\sqrt{70^2-35^2}\approx 0,82\mathrm{s}$.

Étape 2, la pente la plus forte. Dans la formule de la pente, seul l'angle varie, et il y entre par le cube du rapport $\sin \theta /(1-(v_s/v)\cos \theta )$ ; la pente est donc la plus forte là où ce rapport est maximal. La dérivée de ce rapport par rapport à $\theta$ vaut
$\frac{\cos \theta -v_s/v}{{\left(1-(v_s/v)\cos \theta \right)}^2}$
qui s'annule pour $\cos \theta =v_s/v$, l'angle même de l'étape 1. La fréquence baisse donc le plus vite à l'instant où la sirène est à votre hauteur. Là, $\sin \theta =\sqrt{1-v_s^2/v^2}$ et le rapport vaut $1/\sqrt{0,75}$, contre 1 pour $\theta =90^{\circ }$ ; la pente vaut donc $140/0,75^{3/2}\approx 216Hz/s$ : c'est la tangente de la figure 3.

Étape 3, une vraie ambulance. Pour l'ambulance du niveau intermédiaire (700 Hz, 25 m/s, $v=343m/s$), $v_s/v\approx 0,073$. À son passage, vous entendez $700/(1-0,073^2)\approx 703,7\mathrm{Hz}$, à peine plus que sa propre fréquence. Sa fréquence descend d'environ 755 Hz à l'approche à environ 652 Hz quand elle s'éloigne, une chute de 103 Hz. À 10 m de sa trajectoire, la pente maximale vaut environ $700\cdot 0,073\cdot 25/10\approx 128Hz/s$ (le facteur $(1-0,073^2{)}^{3/2}$ diffère de 1 de moins de 1 %), si bien que la chute prend à peu près 0,8 s. C'est de l'ordre de $2d/v_s$, le temps que met l'ambulance à parcourir deux fois votre distance à sa trajectoire, pendant lequel la droite qui vous relie à elle balaie la plupart de ses directions.

Plus vite que ses propres ondes : le cône de Mach

Que se passe-t-il quand la source rattrape son propre son ? Quand $v_s\to v$, les crêtes émises vers l'avant s'empilent en un seul front. Dès que $v_s>v$, la source devance toutes les crêtes qu'elle émet.

Représentons les crêtes à un instant donné. Une crête émise il y a un temps $\tau$ est une sphère de rayon $v\tau$, centrée là où se trouvait alors la source, à une distance $v_s\tau$ derrière sa position actuelle. Les crêtes plus anciennes sont des sphères plus grandes, centrées plus en arrière, et toutes touchent un même cône dont la pointe est sur la source. Une droite issue de la pointe qui touche tout juste une sphère est perpendiculaire au rayon au point de contact ; on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse $v_s\tau$, dont le côté opposé à la pointe vaut $v\tau$. Le demi-angle $\alpha$ du cône vérifie donc $\sin \alpha =v\tau /(v_s\tau )$ :
$\sin \alpha =\frac{v}{v_s}\text{(coˆne de Mach)}$

Le rapport $v_s/v$ est le nombre de Mach : à Mach 2, $\alpha =30^{\circ }$ ; à Mach 1,5, environ 42°. Plus la source est rapide, plus le cône est étroit.

Le cône se cache aussi dans la formule de Doppler. Son dénominateur $1-(v_s/v)\cos \theta$ s'annule pour $\cos \theta =v/v_s=\sin \alpha$, la direction perpendiculaire à la surface du cône : toutes les crêtes envoyées dans cette direction arrivent au même moment. Cet empilement est l'onde de choc, qui balaie le sol sous forme de bang supersonique tant que l'avion reste supersonique, et pas seulement au moment où il atteint la vitesse du son. Pour les directions plus proches de l'avant, le dénominateur devient négatif, ce qui signifie que les crêtes émises plus tard arrivent plus tôt. Après le passage du cône, un auditeur entend donc deux flux de son à la fois, dont l'un à l'envers.

Tout objet plus rapide que les ondes de son milieu traîne un tel cône, qu'il émette lui-même un son ou non : une balle ; un bateau en eau peu profonde, où les ondes longues se propagent toutes à $\sqrt{gh}$ pour une profondeur $h$ ; ou une particule chargée qui se déplace dans l'eau plus vite que la lumière n'y avance, $c/n\approx 0,75c$, et dont le rayonnement Tcherenkov fait briller en bleu l'eau des piscines de réacteurs.

Lumière, échos et radar

La lumière n'a besoin d'aucun milieu : il n'y a donc pas d'air pour choisir un référentiel, seule la vitesse relative de la source et de l'observateur peut compter, et les deux façons de compter doivent donner la même réponse. C'est le cas dès qu'on tient compte de la dilatation du temps : une horloge qui se déplace à la vitesse $\beta c$ bat plus lentement, d'un facteur $\sqrt{1-{\beta }^2}$, vue depuis le référentiel qu'elle traverse.

Comptons d'abord dans le référentiel de l'observateur, la source approchant à $\beta =u/c$. Son horloge ralentie émet à $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, et le facteur de la source mobile, $1/(1-\beta )$, s'applique en plus : $f\sqrt{1-{\beta }^2}/(1-\beta )$. Comptons maintenant dans le référentiel de la source, où c'est l'observateur qui approche. Il rencontre $f(1+\beta )$ crêtes par seconde du temps de la source, mais sa propre horloge retarde : par seconde de son temps à lui, il en compte $f(1+\beta )/\sqrt{1-{\beta }^2}$. Comme $1-{\beta }^2=(1-\beta )(1+\beta )$, les deux se ramènent à
$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$

Derrière cet accord se trouve la règle établie pour le son. La phase $\omega t-kx$ compte des crêtes, et tous les observateurs s'accordent sur un décompte ; $\omega$ et $k$ changent donc ensemble d'un référentiel à l'autre, exactement comme $t$ et $x$ : pour le son par le changement de référentiel galiléen, pour la lumière par la transformation de Lorentz. La dilatation du temps seule produit aussi un décalage sans équivalent pour le son, l'effet Doppler transversal : la lumière émise quand la source est à votre hauteur arrive à $f\sqrt{1-{\beta }^2}$, en dessous de $f$. Pour une source qui s'éloigne à $\beta =0,1$, $f^{\prime }/f=\sqrt{0,9/1,1}\approx 0,905$, et sa raie rouge de l'hydrogène à 656,3 nm est vue à 725,6 nm.

Un écho renvoyé par une cible mobile est décalé deux fois. La cible joue d'abord le rôle d'un observateur mobile et reçoit $f(v+u)/v$ ; puis elle renvoie ce son en tant que source mobile, ce qui multiplie par $v/(v-u)$. Pour une cible qui approche à $u$,
$f^{\prime \prime }=f\frac{v+u}{v-u}\approx f\left(1+\frac{2u}{v}\right)$
où l'approximation vaut pour $u$ très petit devant $v$. Le même double décalage s'applique quand c'est la source elle-même qui fonce sur un mur fixe : si la voiture à sirène de l'animation avait foncé à 170 m/s droit sur un mur, son conducteur aurait entendu l'écho à $400\cdot 510/170=1200\mathrm{Hz}$.

Le radar et l'échographie médicale utilisent l'approximation. Ils mélangent l'écho au signal émis et mesurent le battement entre les deux, $\Delta f=f^{\prime \prime }-f\approx 2fu/v$, qui donne la vitesse de la cible. Un radar routier à 24,125 GHz voit une voiture à 30 m/s avec $\Delta f=2fu/c\approx 4,8\mathrm{kHz}$, et une sonde à ultrasons de 5 MHz voit du sang qui circule à 0,5 m/s (le son se propage à 1540 m/s dans les tissus) avec environ 3,2 kHz.

Limites de validité

Les formules supposent un milieu uniforme et immobile, avec une seule vitesse des ondes. Dans l'air, $v$ augmente avec la température et se modifie avec le vent, et les gradients de l'un ou de l'autre écartent le son de la ligne de visée rectiligne. Elles supposent aussi que la vitesse et la direction de la source changent peu pendant une période, 2,5 ms pour une sirène de 400 Hz.

Elles sont de plus linéaires : elles traitent le son comme de petites variations de pression, environ 0,02 Pa au-dessus des 100 000 Pa de la pression atmosphérique pour la parole, qui s'additionnent sans changer la vitesse du son. Près de $v_s=v$, cette hypothèse tombe en défaut. Les crêtes empilées forment une forte compression qui se propage plus vite que le son ordinaire, et le $f^{\prime }$ infini de la formule devient un front de choc, courbé près du nez et se redressant en cône de Mach plus loin. Un bang supersonique porte quelques dizaines de pascals et s'entend le plus souvent comme une double détonation, venue du nez et de la queue. La dispersion, c'est-à-dire une vitesse des ondes qui dépend de la longueur d'onde, modifie aussi le cône : sur l'eau profonde, où les ondes longues dépassent les courtes, le sillage d'un bateau garde un demi-angle d'environ 19,5° sur une large plage de vitesses.

Pour le son, les corrections relativistes sont de l'ordre de $(v_s/c{)}^2$, soit environ $3\times 10^{-13}$ même à 170 m/s : les formules galiléennes sont donc exactes en pratique, alors que l'asymétrie entre source et observateur, de l'ordre de $(v_s/v{)}^2$, est bien réelle. Pour la lumière, l'approximation au premier ordre $\Delta f/f\approx 2u/c$ suffit largement aux radars, où $\beta \approx 10^{-7}$, mais à $\beta =0,5$ le facteur exact pour un trajet simple vaut $\sqrt{3}\approx 1,73$, ni le 2 de la formule de la source ni le 1,5 de celle de l'observateur.

Où cela mène

Dans la leçon Relativité restreinte, le casse-tête source–observateur devient une transformation de Lorentz des fréquences et des longueurs d'onde, et la leçon Ondes électromagnétiques traite des ondes radio et de la lumière qu'exploitent le radar et l'astronomie. Les battements entre l'écho et le signal relèvent de la leçon Interférences et superposition, le volume sonore d'une sirène qui approche de la leçon Volume sonore, intensité et décibels. L'agitation thermique des atomes élargit les raies spectrales de quelques millionièmes, ce qui relie Théorie cinétique des gaz à Modèles atomiques : l'atome de Bohr ; quant à La gravitation, courbure de l'espace-temps, elle décrit un autre décalage, celui des horloges dans un champ gravitationnel, à ne pas confondre avec l'effet Doppler.