Tiro parabólico

Principiante

Un proyectil es cualquier cosa lanzada, pateada o disparada que después se mueve solo bajo la gravedad: un balón de baloncesto, un saltador de longitud, el agua de una manguera. Su trayectoria es una curva llamada parábola.

El truco es partir el movimiento en dos. En horizontal, nada empuja ni tira de la pelota una vez que sale de la mano (si ignoramos el aire), así que conserva la misma rapidez horizontal. En vertical, la gravedad actúa exactamente igual que sobre una pelota que se deja caer: le añade 9,81 m/s de rapidez hacia abajo cada segundo.

Lanza una piedra horizontalmente a 10 m/s desde lo alto de un acantilado. Al cabo de 1 s está a 10 m del borde y ha bajado unos 4,9 m; al cabo de 2 s está a 20 m y ha bajado unos 19,6 m.

Comprueba: a los 2 s, ¿qué rapidez lleva hacia delante y hacia abajo? (Sigue con 10 m/s hacia delante; unos 20 m/s hacia abajo.)

Como los dos movimientos se ignoran, una moneda que sale de la mesa de un capirotazo y otra que se suelta desde el mismo borde llegan al suelo a la vez.

El ángulo de lanzamiento importa. Demasiado plano, la pelota cae pronto; demasiado empinado, sube mucho pero llega poco lejos. En terreno llano y sin aire, 45° da el lanzamiento más largo, y 30° y 60° caen en el mismo sitio.

Newton imaginó un cañón en lo alto de una montaña que dispara cada vez más rápido: cada bala cae más lejos, hasta que una cae justo tan deprisa como la Tierra redonda se curva bajo ella y nunca llega al suelo. Eso es una órbita.

En la animación, fíjate en los puntos grises, uno cada medio segundo: en horizontal siempre están a la misma distancia, mientras que en vertical los huecos se acortan al subir y se alargan al bajar.

Intermedio

Ejes, componentes y signos

Coloca el origen en el punto de lanzamiento, el eje $x$ en horizontal y en el sentido del lanzamiento, y el eje $y$ en vertical hacia arriba. Una pelota lanzada con rapidez $v_0$ y un ángulo $\theta$ sobre la horizontal tiene una velocidad que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las componentes
$v_x=v_0\cos \theta$
$v_{y0}=v_0\sin \theta$

Ambas tienen signo y se miden en metros por segundo: $v_y>0$ significa que la pelota sube y $v_y<0$, que baja. Para recuperar la rapidez a partir de ellas, $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Con el sentido hacia arriba como positivo, la aceleración vertical es $-g$, donde $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ es el valor de la aceleración de caída libre. Fíjate en cómo se da el ángulo: si se mide desde la vertical, el seno y el coseno intercambian sus papeles.

Dos movimientos rectilíneos independientes

Una vez que la pelota ha salido de la mano, la única fuerza que actúa sobre ella, si ignoramos el aire, es su peso, verticalmente hacia abajo. Nada la empuja hacia los lados, así que su velocidad horizontal no cambia nunca: el movimiento horizontal es uniforme. En vertical, la pelota se mueve exactamente igual que una lanzada hacia arriba con velocidad $v_0\sin \theta$, el caso que se trata en la lección Caída libre. Los dos movimientos solo comparten el reloj.

Pasado un tiempo $t$, por tanto,
$x=v_0\cos \theta t$
$v_y=v_0\sin \theta -gt$
$y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Una prueba rápida de esta independencia: da un capirotazo a una moneda para que salga de una mesa mientras sueltas otra desde el mismo borde. Las dos empiezan con $v_y=0$ y caen la misma altura, así que llegan juntas al suelo; la que salió con el capirotazo cae, simplemente, más lejos.

Tiempo de vuelo, altura y alcance

En terreno llano, el tiempo en el aire, la altura y el alcance se obtienen del movimiento vertical más una sola multiplicación. La pelota sube hasta que $v_y=0$, en $t=v_0\sin \theta /g$, y la bajada es la imagen especular de la subida, así que vuelve al suelo al cabo del doble de ese tiempo. Al sustituir el tiempo de subida en $y(t)$ se obtiene la altura máxima, y la velocidad horizontal por el tiempo de vuelo da el alcance:

• $T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$
• $H=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}$
• $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$

El tiempo de vuelo y la altura dependen solo de la componente vertical $v_0\sin \theta$. El alcance necesita las dos componentes, $R=v_0\cos \theta \cdot 2v_0\sin \theta /g$, y la identidad $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ lo simplifica.

¿Con qué ángulo se llega más lejos? Un lanzamiento muy empinado se mantiene mucho tiempo en el aire, pero avanza despacio hacia delante; uno plano avanza deprisa, pero cae casi enseguida. El alcance, que es el producto de ambos factores, es máximo en un punto intermedio: $\sin 2\theta$ alcanza su máximo, 1, cuando $2\theta =90^{\circ }$, así que en terreno llano lo mejor es $\theta =45^{\circ }$, con $R_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=v_0^2/g$. Dos ángulos que distan lo mismo de 45° por encima y por debajo dan el mismo alcance, porque $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )$: 30° y 60° caen en el mismo sitio, y también 40° y 50°.

Ejemplo resuelto: el lanzamiento de la animación

La pelota sale del suelo con $v_0=20m/s$ y $\theta =50^{\circ }$. Sus componentes son
$v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9m/s$
$v_{y0}=20\sin 50^{\circ }\approx 15,3m/s$

Son los valores de las lecturas de $v_x$ y $v_y$ en el lanzamiento. La pelota llega a lo más alto al cabo de $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{s}$ y vuelve al suelo tras el doble de ese tiempo, $T\approx 3,12\mathrm{s}$. Entonces
$H=\frac{15,32^2}{2\cdot 9,81}\approx 12,0\mathrm{m}$
$R=\frac{20^2\sin 100^{\circ }}{9,81}\approx 40,2\mathrm{m}$
y, como comprobación, $v_{x}T=12,9\cdot 3,12\approx 40,2\mathrm{m}$.

Durante el vuelo, la lectura dorada de $v_x$ se mantiene en 12,9 m/s. La lectura verde de $v_y$ disminuye 9,81 m/s cada segundo, pasa por cero a 1,56 s, cuando la pelota está en lo alto de la línea discontinua marcada con $H$, y llega a $-15,3m/s$ cuando la pelota cae al suelo. La pelota baja a 40,2 m de distancia, a 20 m/s y 50° por debajo de la horizontal: la bajada es la subida vista al revés.

A 40°, con la misma rapidez se llega a los mismos 40,2 m, pero la pelota sube solo 8,4 m y cae al suelo a los 2,62 s. A 45° cae a 40,8 m, apenas un 1,5 % más lejos que a 50°: cerca del mejor ángulo, el alcance cambia muy poco.

Ejemplo resuelto: un lanzamiento de peso

En el lanzamiento de peso, un atleta suelta la bala a 2,0 m del suelo, a 13 m/s y 40° sobre la horizontal. ¿A qué distancia horizontal cae? Las fórmulas de terreno llano no sirven, porque la bala toca el suelo 2,0 m por debajo de la altura desde la que salió.

Las componentes son $v_x=13\cos 40^{\circ }\approx 9,96m/s$ y $v_{y0}=13\sin 40^{\circ }\approx 8,36m/s$. La bala llega al suelo cuando $y=-2,0\mathrm{m}$, es decir, cuando $4,905t^2-8,36t-2,0=0$, donde $4,905$ es $\frac{1}{2}g$. La raíz positiva es
$t=\frac{8,36+\sqrt{8,36^2+4\cdot 4,905\cdot 2,0}}{2\cdot 4,905}\approx 1,92\mathrm{s}$
así que la bala cae a $x=9,96\cdot 1,92\approx 19,1\mathrm{m}$ de distancia.

La fórmula de terreno llano daría $13^2\sin 80^{\circ }/9,81\approx 17,0\mathrm{m}$: la altura de lanzamiento aporta 2,1 m de distancia. La bala sube $8,36^2/(2\cdot 9,81)\approx 3,6\mathrm{m}$ por encima de la mano y llega al suelo a 14,4 m/s, más deprisa de lo que salió, porque termina más abajo. Cuando el punto de llegada está por debajo del de lanzamiento, el mejor ángulo es algo inferior a 45°, unos 42° en este caso; los atletas la sueltan con un ángulo aún más plano, porque sus brazos pueden empujar la bala más deprisa en direcciones más cercanas a la horizontal.

Cómo leer los puntos estroboscópicos y las flechas

Los puntos grises marcan la posición de la pelota cada 0,5 s. En horizontal siempre distan $12,9\cdot 0,5\approx 6,4\mathrm{m}$: distancias iguales en tiempos iguales, la firma del movimiento uniforme. En vertical, contando desde el punto de lanzamiento, la pelota sube 6,4 m, 4,0 m y 1,5 m en cada medio segundo, y después baja 0,9 m, 3,4 m y 5,8 m. Cada paso tiene 2,45 m menos de subida, o más de bajada, que el anterior, porque $g(0,5\mathrm{s}{)}^2=2,45\mathrm{m}$: el patrón de una pelota soltada, a la que se ha dado un empujón inicial hacia arriba.

Las flechas cuentan lo mismo. La flecha azul de $v$ es siempre tangente al trazo discontinuo de la trayectoria. La flecha dorada de $v_x$ conserva su longitud desde el lanzamiento hasta la caída, mientras que la flecha verde de $v_y$ se acorta, desaparece en lo más alto y luego crece apuntando hacia abajo. Así, la flecha azul es más corta en el punto más alto, donde la rapidez es igual a $v_x$, 12,9 m/s, y al caer tiene la misma longitud que al salir.

Errores frecuentes

• La velocidad no es cero en lo más alto. Solo lo es $v_y$; la pelota sigue avanzando de lado a 12,9 m/s, su rapidez más baja de todo el vuelo.
• Tampoco es cero la aceleración en lo más alto. Sigue siendo de 9,81 m/s² hacia abajo, así que 0,1 s después del punto más alto $v_y$ ya vale $-0,98m/s$.
• Un lanzamiento horizontal más rápido no se mantiene más tiempo en el aire. Si una pelota sale rodando de una mesa de 1,0 m de altura a 2 m/s o a 4 m/s, llega al suelo a los 0,45 s en ambos casos, a 0,9 m o a 1,8 m del borde.
• El alcance necesita $\sin 2\theta$, no $\sin \theta$. Con $\sin 50^{\circ }$ en lugar de $\sin 100^{\circ }$, el lanzamiento de la animación parecería caer a 31,2 m, y no a 40,2 m.
• La fórmula del alcance supone que se cae a la altura del lanzamiento. Para el lanzamiento de peso da 17,0 m en lugar de 19,1 m.

Dónde aparece

Los juegos de pelota, el salto de longitud, el chorro de una manguera o de una fuente (cada gota sigue su propia parábola), los saltos de trampolín y los fuegos artificiales siguen estas ecuaciones mientras el aire influya poco. Eso se cumple bien para la bala de un lanzamiento de peso, peor para un balón de fútbol y nada para un volante de bádminton, un caso para la lección Fuerza de arrastre y velocidad terminal.

Galileo demostró en 1638 que la trayectoria de un proyectil es una parábola, al combinar un movimiento horizontal uniforme con una caída uniformemente acelerada. La lección Leyes de Newton explica por qué los dos movimientos son independientes. Llevado lo bastante lejos, el mismo razonamiento conduce a las órbitas: lanzado de lado a unos 7,9 km/s, un cuerpo cae alrededor de la Tierra tan deprisa como el suelo se curva y se aleja, que es el tema de Gravitación y órbitas.

Avanzado

La ley de Newton, componente a componente

Toda esta lección se apoya en un solo paso: descomponer un movimiento en el plano en dos movimientos a lo largo de rectas. Pon el punto de lanzamiento en el origen, con $x$ horizontal e $y$ hacia arriba. La pelota sale con rapidez $v_0$ formando el ángulo $\theta$ por encima de la horizontal, así que su velocidad de lanzamiento ${\vec{v}}_0$ tiene las componentes $v_0\cos \theta$ y $v_0\sin \theta$. Llama $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ al módulo de la aceleración de caída libre, de modo que $\vec{g}=(0,-g)$ apunta en vertical hacia abajo.

Una vez en vuelo, y mientras se desprecie la resistencia del aire, la única fuerza sobre la pelota es su peso $m\vec{g}$. La segunda ley de Newton dice $m\vec{a}=m\vec{g}$. Dos vectores son iguales solo si lo son sus componentes, así que esta única ecuación se separa en dos, donde un punto indica derivada respecto del tiempo:
$m\ddot{x}=0,m\ddot{y}=-mg$

De ahí se siguen dos cosas de inmediato. Las ecuaciones no se mezclan: $y$ no aparece nunca en la primera ni $x$ en la segunda, así que cada una es un problema rectilíneo por sí sola. Y la masa se cancela, de modo que una canica y una bala de cañón lanzadas con la misma velocidad siguen la misma trayectoria. En horizontal la pelota se mueve con velocidad constante; en vertical está en caída libre.

Integra cada ecuación una vez para obtener la velocidad y otra vez para obtener la posición. Cada integración introduce una constante, fijada por el estado en $t=0$: la pelota parte del origen con las componentes de velocidad de arriba. El resultado es
$\dot{x}=v_0\cos \theta ,x=v_0\cos \theta t$
$\dot{y}=v_0\sin \theta -gt,y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Han hecho falta cuatro constantes: dos coordenadas iniciales y dos componentes de la velocidad inicial. Un movimiento en el plano siempre necesita cuatro datos iniciales, el doble que un movimiento en una recta.

Los números que siguen se refieren al lanzamiento de la animación: $v_0=20m/s$ con $\theta =50^{\circ }$. Su componente horizontal es $v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9m/s$ y su componente vertical inicial, $20\sin 50^{\circ }\approx 15,3m/s$.

La posición como suma de vectores

Los dos resultados por componentes se pueden volver a reunir en una sola ecuación vectorial. Merece la pena, porque la forma vectorial muestra de un vistazo cómo la gravedad aparta la pelota de la recta hacia la que se apuntó.

Leyenda

$\theta$	Ángulo de la línea de puntería sobre la horizontal.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{0}t$	Dónde estaría la pelota sin gravedad: la velocidad de lanzamiento por el tiempo, a lo largo de la línea de puntería.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$	Caída debida a la gravedad: en vertical hacia abajo, crece como $t^2$.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Posición de la pelota: la flecha desde el punto de lanzamiento hasta la pelota.	$\mathrm{m}$
$M$	Punto de la línea de puntería donde cuelga un mono en el instante del lanzamiento.

La figura 1 dibuja la ecuación
$\vec{r}(t)={\vec{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$
Léela como dos flechas colocadas una a continuación de la otra. La flecha ${\vec{v}}_{0}t$ parte del punto de lanzamiento y sigue la línea de puntería, con el ángulo $\theta$ sobre la horizontal. Termina donde estaría la pelota en el instante $t$ si no hubiera gravedad. Desde su punta, la flecha $\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$ apunta en vertical hacia abajo: es lo que la pelota ha caído por debajo de la línea de puntería. El vector de posición $\vec{r}$, desde el punto de lanzamiento hasta la pelota, es la suma de las dos, y la curva roja es la trayectoria recorrida hasta ese momento.

La primera flecha crece en proporción a $t$, la segunda en proporción a $t^2$. Al principio del vuelo la caída es diminuta comparada con la distancia recorrida a lo largo de la línea de puntería; más tarde se impone, y la pelota se hunde cada vez más deprisa por debajo de esa línea.

Esto resuelve un acertijo clásico. Un mono cuelga de una rama en el punto $M$ de la línea de puntería y se suelta justo en el instante en que se le lanza la pelota directamente. ¿Pasa la pelota por encima del mono que cae? No. La figura 1 muestra el momento en que ${\vec{v}}_{0}t$ ha llegado a $M$. La pelota está entonces $\frac{1}{2}g{t}^2$ por debajo de la línea de puntería, justo debajo de $M$. El mono, que cae desde el reposo durante el mismo tiempo $t$, ha bajado exactamente lo mismo. Así que la pelota alcanza al mono sea cual sea la rapidez de lanzamiento, siempre que llegue antes de que ambos toquen el suelo: la gravedad baja a los dos la misma distancia, y apuntar directamente al mono es justo lo correcto.

La velocidad tiene la misma estructura, $\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+\vec{g}t$. Su parte horizontal no cambia nunca, y su parte vertical pierde 9,81 m/s cada segundo. Dibuja las flechas de velocidad de instantes sucesivos desde un mismo punto: sus puntas bajan por una recta vertical, 4,9 m/s cada medio segundo.

Eliminando el tiempo: la parábola

Las ecuaciones obtenidas hasta aquí dicen dónde está la pelota en cada instante. Para ver la forma de la propia trayectoria, elimina el tiempo.

Como $x$ crece al ritmo constante $v_0\cos \theta$, la pelota llega a un $x$ dado en el instante $t=x/(v_0\cos \theta )$. Al sustituirlo en $y(t)$ se obtiene la altura en función de la distancia horizontal:
$y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

Léela término a término. El primer término, $x\tan \theta$, es la línea de puntería. El segundo es la caída $\frac{1}{2}g{t}^2$ de la figura 1, escrita ahora en función de $x$. Como la caída crece como $x^2$, la trayectoria es una parábola abierta hacia abajo.

De ahí salen dos puntos de referencia. La pelota vuelve a la altura de lanzamiento donde $y=0$: en $x=0$ y en el alcance
$R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$
donde se ha usado la identidad $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$. La cima del arco está donde la trayectoria es horizontal. La pendiente es $dy/dx=\tan \theta -gx/(v_0^2{\cos }^2\theta )$, que se anula en $x=v_0^2\sin \theta \cos \theta /g=R/2$. Así que el punto más alto queda justo a medio camino, como exige la simetría de una parábola, a la altura $H=v_0^2{\sin }^2\theta /(2g)$.

Para el lanzamiento de la animación, la trayectoria es $y=1,192x-0,02968x^2$, con $x$ e $y$ en metros. Vuelve al suelo a 40,2 m y alcanza su máximo, 12,0 m, cuando $x=20,1\mathrm{m}$.

Apuntar a un blanco: dos ángulos y el límite del alcance

Hasta ahora el lanzamiento estaba dado y nos preguntábamos adónde va la pelota. Quien lanza se enfrenta a la pregunta inversa: con una rapidez fija, ¿con qué ángulo debe salir la pelota para dar en un blanco dado? La misma ecuación de la trayectoria lo responde.

Leyenda

$v_0$	Rapidez de lanzamiento, la misma para los dos tiros y para la parábola discontinua.	$m/s$
${\theta }_1$	Ángulo de lanzamiento del tiro tenso.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo de lanzamiento del tiro bombeado.	$\mathrm{rad}$
$T$	El blanco.
$x$	Distancia horizontal del punto de lanzamiento al blanco.	$\mathrm{m}$
$y$	Altura del blanco sobre el punto de lanzamiento.	$\mathrm{m}$
$v_0^2/(2g)$	Máxima altura alcanzable con rapidez $v_0$, con un lanzamiento vertical: la cima de la parábola discontinua.	$\mathrm{m}$
$v_0^2/g$	Máximo alcance en terreno llano, que se logra a $45^{\circ }$: donde la parábola discontinua corta el suelo.	$\mathrm{m}$

En la figura 2 la pelota sale del punto de lanzamiento con rapidez $v_0$ y debe dar en el blanco $T$, a una distancia horizontal $x$ y a una altura $y$ por encima del punto de lanzamiento. Lo consiguen dos trayectorias, un tiro tenso con el ángulo ${\theta }_1$ y un tiro bombeado con el ángulo ${\theta }_2$, que se cruzan en $T$.

Para hallar esos ángulos, toma $\theta$ como incógnita. La ecuación de la trayectoria contiene tanto $\tan \theta$ como $1/{\cos }^2\theta$. La identidad $1/{\cos }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$ la convierte en una ecuación solo para $u=\tan \theta$:
$y=xu-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\left(1+u^2\right)$
La cantidad $D=g{x}^2/(2v_0^2)$ es una longitud: lo que cae, a lo largo de la distancia $x$, una pelota lanzada en horizontal con rapidez $v_0$. Con ella, al agrupar las potencias de $u$, se obtiene una ecuación de segundo grado, la ecuación de puntería:
$D{u}^2-xu+(y+D)=0$

Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales, una o ninguna, y cada caso tiene un significado. Dos raíces: un tiro tenso y uno bombeado dan ambos en el blanco, las dos trayectorias de la figura 2. Una raíz doble: el blanco está justo en el límite del alcance, y solo un ángulo llega a él. Ninguna raíz real: con esa rapidez el blanco queda fuera de alcance.

El producto de las dos raíces encierra un resultado elegante. En cualquier ecuación de segundo grado es igual al término independiente dividido entre el coeficiente de $u^2$, aquí $1+y/D$. En terreno llano, $y=0$, el producto vale 1, así que $\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2=1$ y ${\theta }_2=90^{\circ }-{\theta }_1$: los dos ángulos son complementarios, y los lanzamientos a 30° y a 60° caen en el mismo sitio. Para un blanco por encima del punto de lanzamiento, como en la figura 2, el producto es mayor que 1. Entonces $\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)=(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)/(1-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2)$ es negativa, así que los dos ángulos suman más de $90^{\circ }$.

La raíz doble traza el propio límite del alcance. Aparece cuando el discriminante se anula, $x^2=4D(y+D)$. Al despejar $y$ y volver a poner $D=g{x}^2/(2v_0^2)$, se obtiene el límite del alcance:
$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$

Esta curva, que suele llamarse parábola de seguridad, es la curva discontinua de la figura 2. Toda trayectoria lanzada con rapidez $v_0$ la toca en un punto y se queda dentro de ella, así que encierra todos los puntos a los que puede llegar la pelota. Su cima está a $v_0^2/(2g)$ por encima del punto de lanzamiento, la altura de un lanzamiento vertical, y corta el suelo a $v_0^2/g$. Ese es el mayor alcance en terreno llano, que se logra a 45°, donde $\sin 2\theta =1$. A 20 m/s estas longitudes valen 20,4 m y 40,8 m. Las trayectorias lanzadas por encima de 45° tocan la curva durante el vuelo, como la trayectoria bombeada de la figura 2 justo después de su propio punto más alto; las más tensas solo la tocarían si se prolongaran por debajo del suelo.

La gráfica de la velocidad, y rapidez frente a altura

Dos herramientas más describen el vuelo sin resolver nada nuevo: la gráfica de la velocidad vertical y una relación entre la rapidez y la altura en la que no aparece el tiempo.

La vista experta de la animación dibuja $v_y(t)$. Como ${\dot{v}}_y=-g$ es constante, la gráfica es una recta de pendiente $-g=-9,81m/{\mathrm{s}}^2$, que aquí va de 15,3 m/s a $-15,3m/s$. Corta el cero en $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{s}$, el instante del punto más alto. El área bajo una gráfica de velocidad es el desplazamiento, así que el triángulo por encima del eje, $\frac{1}{2}\cdot 1,562\cdot 15,32\approx 12,0\mathrm{m}$, es la altura $H$. El triángulo igual por debajo del eje es el camino de vuelta, y la pelota está de nuevo en $y=0$ a los 3,12 s.

La rapidez y la altura están ligadas sin pasar por el tiempo. Parte de ${\dot{v}}_y=-g$ y multiplica los dos miembros por $v_y=\dot{y}$. El miembro izquierdo pasa a ser $\frac{1}{2}d(v_y^2)/dt$ y el derecho, $-gdy/dt$. Ahora los dos miembros son derivadas respecto del tiempo, así que al integrar desde el lanzamiento resulta $v_y^2=v_0^2{\sin }^2\theta -2gy$. La componente horizontal no cambia nunca, así que al sumar $v_x^2=v_0^2{\cos }^2\theta$ a ambos miembros queda
$v^2=v_0^2-2gy$

La rapidez depende solo de la altura, no del tiempo ni del sentido del movimiento. La pelota pasa por cada nivel con la misma rapidez al subir y al bajar, y llega al suelo a 20 m/s, su rapidez de lanzamiento. En el punto más alto, $v^2=400-2\cdot 9,81\cdot 12,0\approx 165{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, que es justo $v_x^2$, como debe ser cuando la pelota se mueve en horizontal. Multiplicada por $m/2$, la relación queda $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2$: la energía cinética más la potencial se mantiene constante.

Curvatura de la trayectoria

Una parábola no es una circunferencia, pero en cada punto hay una circunferencia que se le ajusta mejor que ninguna otra, y su radio mide lo cerrada que es la curva en ese punto. Calcularlo muestra las dos funciones distintas de la gravedad: hace girar la pelota y cambia su rapidez.

Leyenda

$P$	Punto de la trayectoria donde la velocidad forma el ángulo $\alpha$ con la horizontal.
$\vec{v}$	Velocidad en $P$, a lo largo de la trayectoria.	$m/s$
$\alpha$	Ángulo entre $\vec{v}$ y la horizontal; el mismo ángulo hay entre $\vec{g}$ y la dirección perpendicular a la trayectoria.	$\mathrm{rad}$
$\vec{g}$	Aceleración de la gravedad, en vertical hacia abajo.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\sin \alpha$	Parte de $\vec{g}$ a lo largo de la trayectoria: apunta en contra de $\vec{v}$ mientras la pelota sube y solo cambia la rapidez.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\cos \alpha$	Parte de $\vec{g}$ perpendicular a la trayectoria, hacia $C$: solo cambia la dirección.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\rho$	Radio de curvatura en $P$: la distancia de $P$ a $C$.	$\mathrm{m}$
$C$	Centro de la circunferencia que se ajusta a la trayectoria en $P$.

En la figura 3 la pelota está en el punto $P$ y se mueve con velocidad $\vec{v}$ a lo largo de la trayectoria, con el ángulo $\alpha$ sobre la horizontal. Descompón $\vec{g}$ en una parte a lo largo de la trayectoria y otra perpendicular a ella, es decir, a $\vec{v}$; el cuadradito en $P$ marca ese ángulo recto. Esas dos direcciones no son más que la horizontal y la vertical giradas un ángulo $\alpha$. Como $\vec{g}$ apunta según la vertical, forma el mismo ángulo $\alpha$ con la dirección perpendicular a la trayectoria, como muestra el arco entre $\vec{g}$ y $g\cos \alpha$. Así, la parte a lo largo de la trayectoria es $g\sin \alpha$, que apunta en contra de $\vec{v}$ mientras la pelota sube, y la parte perpendicular es $g\cos \alpha$.

Las dos partes cumplen funciones distintas. Una aceleración a lo largo de la velocidad solo cambia la rapidez; una perpendicular a la velocidad solo cambia la dirección. Por tanto, solo $g\cos \alpha$ curva la trayectoria. Apunta al centro $C$ de la circunferencia que se ajusta a la trayectoria en $P$, a la distancia $\rho$. Un cuerpo que recorre con rapidez $v$ una circunferencia de radio $\rho$ necesita la aceleración $v^2/\rho$ hacia el centro, así que $g\cos \alpha =v^2/\rho$. Con $\cos \alpha =v_x/v$, el radio de curvatura es
$\rho =\frac{v^2}{g\cos \alpha }=\frac{v^3}{g{v}_x}$

Como $v_x$ no cambia nunca, $\rho$ es mínimo donde la rapidez es mínima: en el punto más alto. Allí $\alpha =0$, la gravedad es del todo perpendicular a la trayectoria y $\rho =v_x^2/g=12,9^2/9,81\approx 17\mathrm{m}$. En el lanzamiento, $\rho =20^3/(9,81\cdot 12,9)\approx 63\mathrm{m}$. El arco es más cerrado en lo más alto.

La otra parte, $g\sin \alpha$, cambia la rapidez. Mientras la pelota sube, apunta en contra de $\vec{v}$ y la frena. Al bajar, $\vec{v}$ apunta por debajo de la horizontal, la parte a lo largo de la trayectoria apunta en el mismo sentido que $\vec{v}$, y la pelota se acelera.

Resistencia del aire y cálculo numérico paso a paso

Las pelotas de verdad vuelan en el aire. El arrastre estropea las bonitas fórmulas de arriba, pero un ordenador aún puede seguir el movimiento paso a paso, y el método sirve para cualquier fuerza.

Leyenda

$R$	Alcance con resistencia del aire: la distancia del punto de lanzamiento al punto de caída.	$\mathrm{m}$
$R_0$	Alcance sin aire: donde cae la trayectoria discontinua.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidad de la pelota, dibujada en el lanzamiento y en el aterrizaje.	$m/s$
${\vec{a}}_d$	Aceleración debida al arrastre: a lo largo de la trayectoria, en contra de $\vec{v}$, de módulo $g(v/v_t{)}^2$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

La figura 4 pone el lanzamiento de la animación en el aire (en rojo) junto al mismo lanzamiento sin aire (discontinuo). La fuerza de arrastre siempre se opone a la velocidad y, para una pelota a velocidades cotidianas, crece aproximadamente como el cuadrado de la rapidez. Llama $v_t$ a la velocidad terminal: la rapidez a la que el arrastre iguala al peso, la que alcanza una pelota que se suelta desde muy alto. La aceleración de arrastre tiene entonces módulo $g(v/v_t{)}^2$ y apunta en contra de $\vec{v}$; en forma vectorial es $-kv\vec{v}$, con $k=g/v_t^2$. En la figura 4 cada flecha ${\vec{a}}_d$ apunta hacia atrás a lo largo de la trayectoria, en contra de $\vec{v}$, y la del aterrizaje es la más corta, porque la pelota llega más despacio de lo que salió.

Añadiendo la gravedad, las ecuaciones del movimiento pasan a ser
$\ddot{x}=-kv\dot{x},\ddot{y}=-g-kv\dot{y}$
con $v=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$. La rapidez contiene las dos componentes de la velocidad, así que cada ecuación depende ahora del movimiento en el otro eje: los movimientos horizontal y vertical están acoplados, y ninguna fórmula da la trayectoria.

Aun así, se puede seguir paso a paso. Elige un intervalo de tiempo pequeño $\epsilon$. A partir de la posición y la velocidad actuales calcula la aceleración $\vec{a}$ y avanza un paso,
$\vec{v}\to \vec{v}+\vec{a}\epsilon ,\vec{r}\to \vec{r}+\vec{v}\epsilon$
y repite hasta que la pelota llegue al suelo. En un paso corto la aceleración y la velocidad apenas cambian, así que tratarlas como constantes solo introduce un error pequeño. En este esquema, el más sencillo de todos, llamado método de Euler, el error total disminuye en proporción a $\epsilon$: reducir el paso a la mitad reduce el error a la mitad. Con pasos de 0,01 s ya se obtiene el alcance de más abajo con un error de unos 0,2 m. Nada en el método depende de la forma de la fuerza, así que sirve para cualquier ley de fuerza.

La trayectoria roja de la figura 4 es un cálculo así, para una pelota cuya velocidad terminal es de 30 m/s. El arrastre empieza valiendo $(20/30{)}^2\approx 0,44$ del peso y se queda en $(15,6/30{)}^2\approx 0,27$ del peso al llegar al suelo. El alcance $R$ baja de $R_0=40,2\mathrm{m}$ a 30,0 m, y la altura máxima, de 12,0 m a 10,1 m.

El arco ya no es simétrico. Al subir, el arrastre se suma a la gravedad para frenar el ascenso; al bajar, se opone a la caída. Por eso la subida dura 1,39 s y la bajada 1,48 s. El arrastre también se va comiendo la velocidad horizontal, así que la pelota avanza más mientras sube que mientras cae: el punto más alto queda a 15,9 m, más allá de la mitad. La pelota llega al suelo a 15,6 m/s, 57° por debajo de la horizontal, más inclinada que en su lanzamiento a 50°. El ángulo que da el mayor alcance baja a unos 43°, porque un lanzamiento más alto se queda más tiempo en el aire y pierde más por el arrastre. Cuanto más rápido es el lanzamiento respecto de $v_t$, menor es el mejor ángulo.

Problema resuelto: dos formas de dar en el blanco

Pon a trabajar la ecuación de puntería con el blanco de la figura 2 y la rapidez de lanzamiento de la animación, 20 m/s. ¿Con qué ángulos tienes que lanzar para dar en un blanco situado a 30 m de distancia y 5,0 m por encima del punto de lanzamiento?

Primero la caída: $D=g{x}^2/(2v_0^2)=9,81\cdot 900/800\approx 11,04\mathrm{m}$, así que $y+D\approx 16,04\mathrm{m}$. Con $x=30\mathrm{m}$ la ecuación de puntería queda
$11,04u^2-30u+16,04=0$
y la fórmula de la ecuación de segundo grado da
$u=\frac{30\pm \sqrt{900-4\cdot 11,04\cdot 16,04}}{2\cdot 11,04}=\frac{30\pm 13,84}{22,08}$
así que $u\approx 0,732$ o $u\approx 1,986$, es decir, $\theta \approx 36,2^{\circ }$ o $\theta \approx 63,3^{\circ }$. Son los ángulos ${\theta }_1$ y ${\theta }_2$ de la figura 2. Suman 99,5°, más de $90^{\circ }$, como cabía esperar para un blanco por encima del punto de lanzamiento.

Los tiempos de vuelo salen de $t=x/(v_0\cos \theta )$: $30/(20\cos 36,2^{\circ })\approx 1,86\mathrm{s}$ para el tiro tenso y $30/(20\cos 63,3^{\circ })\approx 3,34\mathrm{s}$ para el bombeado. Los dos llegan con la misma rapidez, $\sqrt{400-2\cdot 9,81\cdot 5,0}\approx 17,4m/s$, porque la rapidez solo depende de la altura. Sin embargo, llegan desde direcciones distintas. El tiro tenso ya ha pasado su punto más alto, de 7,1 m, y llega 22° por debajo de la horizontal; el bombeado cae a 59° desde un punto más alto situado a 16,3 m. Por eso los jugadores de baloncesto prefieren los arcos empinados: para un balón que cae muy inclinado, el aro ofrece una abertura más ancha.

¿Podría el mismo lanzamiento llegar a un blanco situado a 10 m de altura a esa distancia? El límite del alcance en $x=30\mathrm{m}$ está a $20,39-11,04\approx 9,35\mathrm{m}$. El blanco queda por encima, la ecuación de puntería no tiene raíces reales y no sirve ningún ángulo. Un blanco situado exactamente a 9,35 m de altura se alcanza con un solo tiro. La raíz doble es $u=x/(2D)$, que aquí es $\tan \theta =v_0^2/(gx)\approx 1,36$, es decir, $\theta \approx 53,7^{\circ }$: las soluciones tensa y bombeada se han fundido en una.

Límites de validez

Todo lo anterior descansa en tres idealizaciones: una pelota que se comporta como un punto, un suelo plano y una atracción gravitatoria uniforme. Cada una se cumple bien para pelotas lanzadas, y cada una falla de una manera conocida.

El modelo trata la pelota como un punto sin giro. Una pelota que gira sufre además una fuerza de sustentación perpendicular a su velocidad, el efecto Magnus, que curva un tiro libre y mantiene en el aire una pelota de golf con efecto hacia atrás. El arrastre importa cuando la rapidez es una fracción apreciable de la velocidad terminal, ya que el cociente entre el arrastre y el peso es $(v/v_t{)}^2$. Una bola de lanzamiento de peso, de 7,26 kg, tiene una velocidad terminal de unos 150 m/s, de modo que a 13 m/s su arrastre es inferior al 1 % de su peso y la parábola es excelente.

El suelo plano y un $\vec{g}$ uniforme también son aproximaciones. Con un radio terrestre $R_T\approx 6371\mathrm{km}$, el suelo se curva hacia abajo, en los 40 m de la animación, solo $x^2/(2R_T)\approx 0,1\mathrm{mm}$. La gravedad se debilita con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de la Tierra, así que en el punto más alto, a 12 m, $g$ es menor en una fracción $2H/R_T\approx 4\times 10^{-6}$. Estos efectos crecen con el alcance. Un lanzamiento a 1 km/s y 45°, con un alcance en el vacío de 102 km, caería donde el suelo ha descendido 0,8 km, aunque el aire dominaría mucho antes. La rotación de la Tierra desplaza el punto de caída del lanzamiento de 3,1 s menos de un centímetro, pero el de un obús que vuela durante un minuto, decenas de metros.

En rigor, la gravedad apunta al centro de la Tierra y no en una dirección fija, y la trayectoria es un arco de elipse con un foco en ese centro. En un tramo corto, donde las direcciones hacia el centro son casi paralelas, la elipse no se distingue de la parábola. Lanzado en horizontal a $\sqrt{g{R}_T}\approx 7,9km/s$, y sin tener en cuenta el aire, un cuerpo cae alrededor de la Tierra exactamente tan deprisa como el suelo se curva bajo él: el proyectil se ha convertido en un satélite, y la pelota lanzada y la Luna obedecen una misma ley.

Lo que viene después

La lección Leyes de Newton aporta las ecuaciones por componentes. La relación $v^2=v_0^2-2gy$ es la conservación de la energía, que se desarrolla en Trabajo, energía y potencia. En el punto más alto, la gravedad hace el papel de aceleración centrípeta de la lección Movimiento circular, $g=v_x^2/\rho$. Las ecuaciones acopladas del arrastre son el tema de Fuerza de arrastre y velocidad terminal, y el cañón de Newton y la elipse pertenecen a Gravitación y órbitas.

Una pelota que se suelta desde la ventanilla de un tren que avanza con velocidad constante cae en vertical para un pasajero, pero describe una parábola para alguien en el andén: un mismo movimiento visto desde dos sistemas de referencia, como en Vectores y movimiento relativo. Y una partícula cargada en el campo uniforme entre dos placas cargadas sigue la misma parábola, con $g$ sustituida por $qE/m$; los tubos de los osciloscopios y algunas impresoras de chorro de tinta desvían así electrones y gotas de tinta (Campo y potencial eléctricos).