Mouvement d'un projectile

Débutant

Un projectile est un objet lancé, frappé ou tiré qui se déplace ensuite sous l'effet de la seule pesanteur : un ballon de basket, un sauteur en longueur, l'eau d'un tuyau d'arrosage. Sa trajectoire est une courbe appelée parabole.

L'astuce consiste à couper le mouvement en deux. Horizontalement, plus rien ne pousse ni ne tire la balle une fois lâchée (si l'on néglige l'air) : elle garde la même vitesse horizontale. Verticalement, la pesanteur agit exactement comme sur une balle lâchée : elle ajoute 9,81 m/s de vitesse vers le bas chaque seconde.

Lancez une pierre horizontalement à 10 m/s du haut d'une falaise. Au bout de 1 s, elle est à 10 m du bord et a chuté d'environ 4,9 m ; au bout de 2 s, elle est à 20 m et a chuté d'environ 19,6 m.

Petit test : au bout de 2 s, quelle est sa vitesse vers l'avant, et vers le bas ? (Toujours 10 m/s vers l'avant ; environ 20 m/s vers le bas.)

Comme les deux mouvements s'ignorent, une pièce chassée d'une pichenette hors d'une table et une pièce lâchée du même bord touchent le sol ensemble.

L'angle de tir compte. Trop tendu, le tir retombe vite ; trop redressé, il monte haut mais ne va pas loin. Sur un sol horizontal et sans air, 45° donne le plus long tir, et 30° et 60° retombent au même endroit.

Newton imaginait un canon au sommet d'une montagne tirant de plus en plus vite : chaque boulet tombe plus loin, jusqu'à celui qui tombe exactement aussi vite que la Terre ronde se dérobe sous lui et ne retombe jamais. C'est une orbite.

Dans l'animation, observez les points gris, un par demi-seconde : horizontalement, ils sont toujours également espacés, alors que verticalement les écarts diminuent à la montée et augmentent à la descente.

Intermédiaire

Axes, composantes et signes

Placez l'origine au point de lancement, l'axe $x$ à l'horizontale dans le sens du lancer et l'axe $y$ à la verticale, vers le haut. Une balle lancée à la vitesse $v_0$ sous un angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale a pour vecteur vitesse l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les composantes
$v_x=v_0\cos \theta$
$v_{y0}=v_0\sin \theta$

Toutes deux sont algébriques, en mètres par seconde : $v_y>0$ signifie que la balle monte, $v_y<0$ qu'elle descend. Inversement, la valeur de la vitesse est $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Avec le haut pris comme sens positif, l'accélération verticale vaut $-g$, où $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ est la valeur de l'accélération de la chute libre. Vérifiez comment l'angle est donné : s'il est mesuré à partir de la verticale, le sinus et le cosinus échangent leurs rôles.

Deux mouvements rectilignes indépendants

Dès que la balle a quitté la main, la seule force qui s'exerce sur elle, si l'on néglige l'air, est son poids, dirigé vers le bas. Rien ne la pousse latéralement : sa vitesse horizontale ne change donc jamais, et le mouvement horizontal est uniforme. À la verticale, la balle se comporte exactement comme une balle lancée droit vers le haut à $v_0\sin \theta$, le cas traité dans Chute libre. Les deux mouvements ne partagent que l'horloge.

Au bout d'une durée $t$, on a donc
$x=v_0\cos \theta t$
$v_y=v_0\sin \theta -gt$
$y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Un test rapide de cette indépendance : chassez d'une pichenette une pièce hors d'une table en lâchant une autre pièce du même bord. Les deux partent avec $v_y=0$ et tombent de la même hauteur, elles touchent donc le sol ensemble ; celle qui a reçu la pichenette atterrit simplement plus loin.

Durée de vol, hauteur et portée

Sur un sol horizontal, la durée du vol, la hauteur maximale et la portée découlent toutes du mouvement vertical, plus une multiplication. La balle monte jusqu'à ce que $v_y=0$, à $t=v_0\sin \theta /g$ ; la descente est l'image de la montée, et la balle retombe donc au bout d'une durée double. En reportant la durée de la montée dans $y(t)$, on obtient la hauteur maximale, et la vitesse horizontale multipliée par la durée du vol donne la portée :

• $T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$
• $H=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}$
• $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$

La durée du vol et la hauteur ne dépendent que de la composante verticale $v_0\sin \theta$. La portée exige les deux composantes, $R=v_0\cos \theta \cdot 2v_0\sin \theta /g$, et l'identité $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ la met en forme.

Quel angle donne le lancer le plus long ? Un tir redressé reste longtemps en l'air mais avance lentement de côté ; un tir tendu va vite à l'horizontale mais retombe presque aussitôt. La portée, leur produit, est la plus grande entre les deux : $\sin 2\theta$ atteint son maximum, 1, pour $2\theta =90^{\circ }$, donc sur sol horizontal $\theta =45^{\circ }$ est le meilleur angle, avec $R_{\max }=v_0^2/g$. Deux angles également éloignés de 45°, l'un au-dessus et l'autre en dessous, donnent la même portée, car $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )$ : 30° et 60° retombent au même endroit, de même que 40° et 50°.

Exemple résolu : le lancer de l'animation

La balle quitte le sol à $v_0=20m/s$ sous $\theta =50^{\circ }$. Ses composantes valent
$v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9m/s$
$v_{y0}=20\sin 50^{\circ }\approx 15,3m/s$

Ce sont les valeurs affichées pour $v_x$ et $v_y$ au départ. La balle atteint le sommet au bout de $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{s}$ et retombe après une durée double, $T\approx 3,12\mathrm{s}$. Alors
$H=\frac{15,32^2}{2\cdot 9,81}\approx 12,0\mathrm{m}$
$R=\frac{20^2\sin 100^{\circ }}{9,81}\approx 40,2\mathrm{m}$
et, pour vérifier, $v_{x}T=12,9\cdot 3,12\approx 40,2\mathrm{m}$.

Pendant le vol, l'affichage doré de $v_x$ reste à 12,9 m/s. L'affichage vert de $v_y$ diminue de 9,81 m/s chaque seconde, passe par zéro à 1,56 s, quand la balle est au sommet de la ligne en pointillés marquée $H$, et atteint $-15,3m/s$ à l'atterrissage. La balle retombe à 40,2 m du départ, à 20 m/s, sous un angle de 50° au-dessous de l'horizontale : la descente est la montée vue à l'envers.

À 40°, la même vitesse mène aux mêmes 40,2 m, mais la balle ne s'élève que de 8,4 m et retombe après 2,62 s. À 45°, elle retombe à 40,8 m, soit seulement 1,5 % plus loin qu'à 50° : près du meilleur angle, la portée varie peu.

Exemple résolu : un lancer du poids

Un athlète lâche la boule du lancer du poids à 2,0 m au-dessus du sol, à 13 m/s et sous un angle de 40° au-dessus de l'horizontale. À quelle distance, mesurée horizontalement, retombe-t-elle ? Les formules du sol horizontal ne s'appliquent pas, car la boule retombe 2,0 m plus bas que sa hauteur de départ.

Les composantes sont $v_x=13\cos 40^{\circ }\approx 9,96m/s$ et $v_{y0}=13\sin 40^{\circ }\approx 8,36m/s$. La boule retombe quand $y=-2,0\mathrm{m}$, c'est-à-dire quand $4,905t^2-8,36t-2,0=0$, où $4,905$ vaut $\frac{1}{2}g$. La racine positive est
$t=\frac{8,36+\sqrt{8,36^2+4\cdot 4,905\cdot 2,0}}{2\cdot 4,905}\approx 1,92\mathrm{s}$
donc la boule retombe à $x=9,96\cdot 1,92\approx 19,1\mathrm{m}$ du lanceur.

La formule du sol horizontal donnerait $13^2\sin 80^{\circ }/9,81\approx 17,0\mathrm{m}$ : la hauteur de lâcher rapporte 2,1 m de portée. La boule s'élève de $8,36^2/(2\cdot 9,81)\approx 3,6\mathrm{m}$ au-dessus de la main et retombe à 14,4 m/s, plus vite qu'au départ, puisqu'elle finit plus bas. Quand le point d'arrivée est plus bas que le point de lancement, le meilleur angle est un peu inférieur à 45°, environ 42° ici ; les athlètes lâchent la boule sous un angle plus faible encore, car leurs bras lui communiquent plus de vitesse sous un angle plus faible.

Lire les points stroboscopiques et les flèches

Les points gris marquent la position de la balle toutes les 0,5 s. À l'horizontale, ils sont toujours espacés de $12,9\cdot 0,5\approx 6,4\mathrm{m}$ : des distances égales en des durées égales, signature du mouvement uniforme. À la verticale, en partant du point de lancement, la balle monte de 6,4 m, puis de 4,0 m, puis de 1,5 m d'une demi-seconde à la suivante, avant de descendre de 0,9 m, de 3,4 m et de 5,8 m. D'un pas au suivant, l'écart varie toujours de 2,45 m (moins de montée, puis plus de descente), car $g(0,5\mathrm{s}{)}^2=2,45\mathrm{m}$ : c'est le schéma d'une balle lâchée, simplement lancée au départ par une poussée vers le haut.

Les flèches racontent la même histoire. La flèche bleue $v$ est toujours tangente à la trace en pointillés. La flèche dorée $v_x$ garde sa longueur du départ à l'arrivée, tandis que la flèche verte $v_y$ rétrécit, s'annule au sommet puis grandit en pointant vers le bas. La flèche bleue est donc la plus courte au sommet, où la valeur de la vitesse est égale à $v_x$, soit 12,9 m/s, et elle a la même longueur à l'arrivée qu'au départ.

Erreurs fréquentes

• La vitesse n'est pas nulle au sommet. Seule $v_y$ l'est ; la balle avance toujours de côté à 12,9 m/s, sa vitesse la plus faible de tout le vol.
• L'accélération n'est pas nulle non plus au sommet. Elle vaut toujours 9,81 m/s² vers le bas : 0,1 s après le sommet, $v_y$ vaut déjà $-0,98m/s$.
• Un lancer plus rapide à l'horizontale ne reste pas plus longtemps en l'air. Une balle qui quitte une table de 1,0 m de haut à 2 m/s ou à 4 m/s retombe dans les deux cas au bout de 0,45 s, à 0,9 m ou à 1,8 m du pied de la table.
• La portée fait intervenir $\sin 2\theta$ et non $\sin \theta$. Avec $\sin 50^{\circ }$ au lieu de $\sin 100^{\circ }$, le lancer de l'animation semblerait retomber à 31,2 m et non à 40,2 m.
• La formule de la portée suppose un atterrissage à la hauteur du lancement. Pour le lancer du poids, elle donne 17,0 m au lieu de 19,1 m.

Où on le rencontre

Les jeux de balle, le saut en longueur, le jet d'un tuyau d'arrosage ou d'une fontaine (chaque goutte suit sa propre parabole), les plongeons depuis un tremplin et les feux d'artifice suivent toutes ces équations tant que l'air compte peu. C'est très vrai pour une boule de lancer du poids, moins pour un ballon de football et pas du tout pour un volant de badminton, cas qui relève de Traînée et vitesse limite.

Galilée a montré en 1638 que la trajectoire d'un projectile est une parabole, en combinant un mouvement horizontal uniforme et une chute uniformément accélérée. Les lois de Newton expliquent pourquoi les deux mouvements sont indépendants. En poussant le même raisonnement assez loin, on aboutit aux orbites : lancé à l'horizontale à environ 7,9 km/s, un corps tombe autour de la Terre aussi vite que le sol s'incurve, ce dont traite Gravitation et orbites.

Avancé

La loi de Newton, composante par composante

Toute la leçon repose sur une seule idée : décomposer un mouvement dans un plan en deux mouvements rectilignes. Placez le point de lancement à l'origine, avec $x$ à l'horizontale et $y$ vers le haut. La balle part à la vitesse $v_0$ sous l'angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale ; sa vitesse de lancement ${\vec{v}}_0$ a donc pour composantes $v_0\cos \theta$ et $v_0\sin \theta$. Notez $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ la valeur de l'accélération de la pesanteur, de sorte que $\vec{g}=(0,-g)$ pointe verticalement vers le bas.

Une fois la balle en vol, et tant qu'on néglige la résistance de l'air, la seule force qui s'exerce sur elle est son poids $m\vec{g}$. La deuxième loi de Newton s'écrit $m\vec{a}=m\vec{g}$. Deux vecteurs ne sont égaux que si leurs composantes le sont ; cette équation unique se scinde donc en deux, où un point désigne une dérivée par rapport au temps :
$m\ddot{x}=0,m\ddot{y}=-mg$

Deux conséquences en découlent aussitôt. Les équations ne se mélangent pas : $y$ n'apparaît jamais dans la première, ni $x$ dans la seconde, si bien que chacune est un problème rectiligne à part entière. Et la masse se simplifie : une bille et un boulet de canon lancés avec la même vitesse suivent la même trajectoire. À l'horizontale, la balle avance à vitesse constante ; à la verticale, elle est en chute libre.

Intégrez chaque équation une fois pour obtenir la vitesse, puis une seconde fois pour obtenir la position. Chaque intégration fait apparaître une constante, fixée par l'état à $t=0$ : la balle part de l'origine avec les composantes de vitesse ci-dessus. On obtient
$\dot{x}=v_0\cos \theta ,x=v_0\cos \theta t$
$\dot{y}=v_0\sin \theta -gt,y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Il a fallu quatre constantes : deux coordonnées de départ et deux composantes de la vitesse initiale. Un mouvement dans un plan exige toujours quatre nombres de départ, deux fois plus qu'un mouvement sur une droite.

Les valeurs numériques qui suivent se rapportent au lancer de l'animation : $v_0=20m/s$ sous $\theta =50^{\circ }$. Sa composante horizontale vaut $v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9m/s$ et sa composante verticale initiale $20\sin 50^{\circ }\approx 15,3m/s$.

La position comme somme de vecteurs

On peut regrouper les deux résultats par composante en une seule équation vectorielle. Cela en vaut la peine, car la forme vectorielle montre d'un coup d'œil comment la pesanteur écarte la balle de la droite selon laquelle on l'a visée.

Légende

$\theta$	Angle de la ligne de visée au-dessus de l'horizontale.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{0}t$	Position de la balle sans pesanteur : la vitesse de lancement multipliée par le temps, le long de la ligne de visée.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$	Chute due à la pesanteur : verticale vers le bas, elle croît comme $t^2$.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Position de la balle : la flèche qui va du point de lancement à la balle.	$\mathrm{m}$
$M$	Point de la ligne de visée où un singe est suspendu à l'instant du lancement.

La figure 1 représente l'équation
$\vec{r}(t)={\vec{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$
Lisez-la comme deux flèches mises bout à bout. La flèche ${\vec{v}}_{0}t$ part du point de lancement et suit la ligne de visée, sous l'angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale. Elle s'arrête là où serait la balle à l'instant $t$ s'il n'y avait pas de pesanteur. De sa pointe, la flèche $\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$ descend à la verticale : c'est la hauteur dont la balle est tombée sous la ligne de visée. Le vecteur position $\vec{r}$, du point de lancement à la balle, est la somme des deux, et la courbe rouge est la trajectoire parcourue jusque-là.

La première flèche croît proportionnellement à $t$, la seconde proportionnellement à $t^2$. Au début du vol, la chute est minuscule devant la distance parcourue le long de la ligne de visée ; plus tard, elle l'emporte, et la balle s'enfonce de plus en plus vite sous cette ligne.

Cela règle une énigme classique. Un singe est suspendu à une branche au point $M$ de la ligne de visée, et il lâche prise à l'instant même où l'on tire la balle droit sur lui. La balle passe-t-elle au-dessus du singe qui tombe ? Non. La figure 1 montre l'instant où ${\vec{v}}_{0}t$ atteint $M$. La balle se trouve alors $\frac{1}{2}g{t}^2$ sous la ligne de visée, juste à la verticale de $M$. Le singe, qui tombe sans vitesse initiale pendant le même temps $t$, est descendu exactement de la même hauteur. La balle atteint donc le singe quelle que soit la vitesse de lancement, pourvu qu'elle arrive avant que tous deux touchent le sol : la pesanteur les abaisse de la même quantité, et viser droit sur le singe est exactement ce qu'il faut faire.

La vitesse a la même structure, $\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+\vec{g}t$. Sa partie horizontale ne change jamais, et sa partie verticale perd 9,81 m/s chaque seconde. Tracez les vecteurs vitesse d'instants successifs à partir d'un même point : leurs pointes descendent le long d'une verticale, de 4,9 m/s toutes les demi-secondes.

Éliminer le temps : la parabole

Les équations obtenues jusqu'ici disent où se trouve la balle à chaque instant. Pour voir la forme de la trajectoire elle-même, éliminez le temps.

Comme $x$ croît au rythme constant $v_0\cos \theta$, la balle atteint une abscisse $x$ donnée à l'instant $t=x/(v_0\cos \theta )$. En reportant cette expression dans $y(t)$, on obtient la hauteur en fonction de la distance horizontale :
$y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

Lisez-la terme à terme. Le premier terme, $x\tan \theta$, est la ligne de visée. Le second est la chute $\frac{1}{2}g{t}^2$ de la figure 1, écrite maintenant en fonction de $x$. Comme cette chute croît comme $x^2$, la trajectoire est une parabole tournée vers le bas.

Deux repères en découlent. La balle revient à sa hauteur de départ là où $y=0$ : en $x=0$, et à la portée
$R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$
où l'on a utilisé l'identité $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$. Le sommet de l'arc est l'endroit où la trajectoire est horizontale. La pente vaut $dy/dx=\tan \theta -gx/(v_0^2{\cos }^2\theta )$ et s'annule en $x=v_0^2\sin \theta \cos \theta /g=R/2$. Le sommet se trouve donc exactement à mi-chemin, comme l'exige la symétrie d'une parabole, à la hauteur $H=v_0^2{\sin }^2\theta /(2g)$.

Pour le lancer de l'animation, la trajectoire est $y=1,192x-0,02968x^2$, avec $x$ et $y$ en mètres. Elle revient au sol à 40,2 m et culmine à 12,0 m, pour $x=20,1\mathrm{m}$.

Viser une cible : deux angles et la limite de portée

Jusqu'ici, le lancement était donné et l'on cherchait où va la balle. Un lanceur se pose la question inverse : à vitesse fixée, sous quel angle la balle doit-elle partir pour atteindre une cible donnée ? La même équation de la trajectoire y répond.

Légende

$v_0$	Vitesse de lancement, la même pour les deux tirs et pour la parabole en pointillés.	$m/s$
${\theta }_1$	Angle de lancement du tir tendu.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle de lancement du tir en cloche.	$\mathrm{rad}$
$T$	La cible.
$x$	Distance horizontale du point de lancement à la cible.	$\mathrm{m}$
$y$	Hauteur de la cible au-dessus du point de lancement.	$\mathrm{m}$
$v_0^2/(2g)$	Plus grande hauteur accessible à la vitesse $v_0$, par un lancer vertical : le sommet de la parabole en pointillés.	$\mathrm{m}$
$v_0^2/g$	Plus grande portée sur sol horizontal, obtenue à $45^{\circ }$ : là où la parabole en pointillés rencontre le sol.	$\mathrm{m}$

Sur la figure 2, la balle quitte le point de lancement à la vitesse $v_0$ et doit atteindre la cible $T$, située à la distance horizontale $x$ et à la hauteur $y$ au-dessus du point de lancement. Deux trajectoires y parviennent, un tir tendu sous l'angle ${\theta }_1$ et un tir en cloche sous l'angle ${\theta }_2$, et elles se croisent en $T$.

Pour trouver ces angles, prenez $\theta$ comme inconnue. L'équation de la trajectoire contient à la fois $\tan \theta$ et $1/{\cos }^2\theta$. L'identité $1/{\cos }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$ la transforme en une équation portant sur la seule variable $u=\tan \theta$ :
$y=xu-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\left(1+u^2\right)$
La quantité $D=g{x}^2/(2v_0^2)$ est une longueur : la chute, sur la distance $x$, d'une balle lancée horizontalement à la vitesse $v_0$. Avec elle, en regroupant les puissances de $u$, on obtient une équation du second degré, l'équation de visée :
$D{u}^2-xu+(y+D)=0$

Une équation du second degré a deux racines réelles, une seule ou aucune, et chaque cas a un sens. Deux racines : un tir tendu et un tir en cloche atteignent tous deux la cible, ce sont les deux trajectoires de la figure 2. Une racine double : la cible se trouve exactement à la limite de portée, et un seul angle l'atteint. Aucune racine réelle : la cible est hors d'atteinte à cette vitesse.

Le produit des deux racines donne un joli résultat. Pour toute équation du second degré, il est égal au terme constant divisé par le coefficient de $u^2$, ici $1+y/D$. Sur sol horizontal, $y=0$, le produit vaut 1, donc $\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2=1$ et ${\theta }_2=90^{\circ }-{\theta }_1$ : les deux angles sont complémentaires, et des lancers à 30° et à 60° retombent au même endroit. Pour une cible au-dessus du point de lancement, comme sur la figure 2, le produit est supérieur à 1. Alors $\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)=(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)/(1-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2)$ est négatif, et la somme des deux angles dépasse $90^{\circ }$.

La racine double trace la limite de portée elle-même. Elle apparaît quand le discriminant s'annule, $x^2=4D(y+D)$. En résolvant pour $y$ et en remplaçant $D$ par $g{x}^2/(2v_0^2)$, on obtient la limite de portée :
$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$

Cette courbe, souvent appelée parabole de sûreté, est la courbe en pointillés de la figure 2. Toute trajectoire lancée à la vitesse $v_0$ la touche en un point et reste à l'intérieur ; elle renferme donc tous les points que la balle peut atteindre. Elle culmine à $v_0^2/(2g)$ au-dessus du point de lancement, la hauteur d'un lancer vertical, et rencontre le sol à $v_0^2/g$. C'est la plus grande portée sur sol horizontal, obtenue à 45°, où $\sin 2\theta =1$. À 20 m/s, ces longueurs valent 20,4 m et 40,8 m. Les trajectoires lancées au-dessus de 45° touchent la courbe pendant le vol, comme le tir en cloche de la figure 2 juste après son propre sommet ; les trajectoires plus tendues ne la toucheraient que si on les prolongeait sous le sol.

Le graphique de la vitesse, puis vitesse et hauteur

Deux outils de plus décrivent le vol sans rien résoudre de nouveau : le graphique de la vitesse verticale, et une relation entre la valeur de la vitesse et la hauteur où le temps n'intervient pas.

La vue experte de l'animation trace $v_y(t)$. Comme ${\dot{v}}_y=-g$ est constant, ce graphique est une droite de pente $-g=-9,81m/{\mathrm{s}}^2$, qui va ici de 15,3 m/s à $-15,3m/s$. Elle coupe zéro à $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{s}$, l'instant du sommet. L'aire sous un graphique de vitesse est le déplacement ; le triangle au-dessus de l'axe, $\frac{1}{2}\cdot 1,562\cdot 15,32\approx 12,0\mathrm{m}$, est donc la hauteur $H$. Le triangle égal sous l'axe correspond à la redescente, et la balle se retrouve en $y=0$ à 3,12 s.

La vitesse et la hauteur sont liées sans passer par le temps. Partez de ${\dot{v}}_y=-g$ et multipliez les deux membres par $v_y=\dot{y}$. Le membre de gauche devient $\frac{1}{2}d(v_y^2)/dt$ et celui de droite $-gdy/dt$. Les deux membres sont maintenant des dérivées par rapport au temps ; en intégrant depuis le lancement, on obtient $v_y^2=v_0^2{\sin }^2\theta -2gy$. La composante horizontale ne change jamais ; en ajoutant $v_x^2=v_0^2{\cos }^2\theta$ aux deux membres, on obtient
$v^2=v_0^2-2gy$

La valeur de la vitesse ne dépend que de la hauteur, ni du temps ni du sens du mouvement. La balle passe à chaque niveau à la même vitesse en montant et en descendant, et elle retombe à 20 m/s, sa vitesse de lancement. Au sommet, $v^2=400-2\cdot 9,81\cdot 12,0\approx 165{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, ce qui est exactement $v_x^2$, comme il se doit quand la balle se déplace horizontalement. Multipliée par $m/2$, la relation s'écrit $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2$ : l'énergie cinétique plus l'énergie potentielle reste constante.

Courbure de la trajectoire

Une parabole n'est pas un cercle, mais en chaque point un cercle l'épouse mieux que tous les autres, et son rayon mesure à quel point la trajectoire s'incurve à cet endroit. Le calculer fait apparaître les deux rôles distincts de la pesanteur : elle fait tourner la balle et elle modifie la valeur de sa vitesse.

Légende

$P$	Point de la trajectoire où la vitesse fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale.
$\vec{v}$	Vitesse en $P$, tangente à la trajectoire.	$m/s$
$\alpha$	Angle entre $\vec{v}$ et l'horizontale ; c'est aussi l'angle entre $\vec{g}$ et la direction perpendiculaire à la trajectoire.	$\mathrm{rad}$
$\vec{g}$	Accélération de la pesanteur, verticale vers le bas.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\sin \alpha$	Partie de $\vec{g}$ le long de la trajectoire : dirigée contre $\vec{v}$ pendant la montée, elle ne change que la valeur de la vitesse.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$g\cos \alpha$	Partie de $\vec{g}$ perpendiculaire à la trajectoire, vers $C$ : elle ne change que la direction.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\rho$	Rayon de courbure en $P$ : la distance de $P$ à $C$.	$\mathrm{m}$
$C$	Centre du cercle qui épouse la trajectoire en $P$.

Sur la figure 3, la balle est au point $P$ et se déplace avec la vitesse $\vec{v}$ le long de la trajectoire, sous l'angle $\alpha$ au-dessus de l'horizontale. Décomposez $\vec{g}$ en une partie le long de la trajectoire et une partie perpendiculaire à celle-ci, donc à $\vec{v}$ ; le petit carré en $P$ marque cet angle droit. Ces deux directions ne sont autres que l'horizontale et la verticale tournées de l'angle $\alpha$. Comme $\vec{g}$ est dirigé selon la verticale, il fait le même angle $\alpha$ avec la direction perpendiculaire à la trajectoire, comme le montre l'arc entre $\vec{g}$ et $g\cos \alpha$. La partie le long de la trajectoire vaut donc $g\sin \alpha$, dirigée contre $\vec{v}$ pendant la montée, et la partie perpendiculaire vaut $g\cos \alpha$.

Les deux parties jouent des rôles différents. Une accélération dirigée le long de la vitesse ne change que sa valeur ; une accélération perpendiculaire ne change que sa direction. Seule $g\cos \alpha$ courbe donc la trajectoire. Elle est dirigée vers le centre $C$ du cercle qui épouse la trajectoire en $P$, à la distance $\rho$. Un corps qui parcourt un cercle de rayon $\rho$ à la vitesse $v$ a besoin de l'accélération $v^2/\rho$ vers le centre ; donc $g\cos \alpha =v^2/\rho$. Avec $\cos \alpha =v_x/v$, le rayon de courbure vaut
$\rho =\frac{v^2}{g\cos \alpha }=\frac{v^3}{g{v}_x}$

Comme $v_x$ ne change jamais, $\rho$ est le plus petit là où la vitesse est la plus faible : au sommet. Là, $\alpha =0$, la pesanteur est entièrement perpendiculaire à la trajectoire, et $\rho =v_x^2/g=12,9^2/9,81\approx 17\mathrm{m}$. Au lancement, $\rho =20^3/(9,81\cdot 12,9)\approx 63\mathrm{m}$. L'arc est le plus serré au sommet.

L'autre partie, $g\sin \alpha$, modifie la valeur de la vitesse. Pendant la montée, elle est dirigée contre $\vec{v}$ et ralentit la balle. À la descente, $\vec{v}$ pointe sous l'horizontale, la partie le long de la trajectoire est dans le même sens que $\vec{v}$, et la balle accélère.

Résistance de l'air et calcul pas à pas

Les vraies balles volent dans l'air. La traînée ruine les belles formules précédentes, mais un ordinateur peut encore suivre le mouvement pas à pas, et la méthode vaut pour n'importe quelle force.

Légende

$R$	Portée avec résistance de l'air : la distance du point de lancement au point d'impact.	$\mathrm{m}$
$R_0$	Portée sans air : là où retombe la trajectoire en pointillés.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Vitesse de la balle, représentée au lancement et à l'arrivée.	$m/s$
${\vec{a}}_d$	Accélération due à la traînée : le long de la trajectoire, contre $\vec{v}$, de valeur $g(v/v_t{)}^2$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

La figure 4 place le lancer de l'animation dans l'air (en rouge) à côté du même lancer sans air (en pointillés). La force de traînée s'oppose toujours à la vitesse et, pour une balle aux vitesses de la vie courante, elle croît à peu près comme le carré de la valeur de la vitesse. Appelez $v_t$ la vitesse limite : la vitesse à laquelle la traînée égale le poids, atteinte par une balle lâchée de très haut. L'accélération due à la traînée a alors pour valeur $g(v/v_t{)}^2$ et s'oppose à $\vec{v}$ ; sous forme vectorielle, elle vaut $-kv\vec{v}$, avec $k=g/v_t^2$. Sur la figure 4, chaque flèche ${\vec{a}}_d$ pointe vers l'arrière le long de la trajectoire, contre $\vec{v}$, et celle de l'arrivée est la plus courte, car la balle retombe moins vite qu'elle n'est partie.

Avec la pesanteur, les équations du mouvement deviennent
$\ddot{x}=-kv\dot{x},\ddot{y}=-g-kv\dot{y}$
avec $v=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$. La valeur de la vitesse contient les deux composantes ; chaque équation dépend donc désormais du mouvement selon l'autre axe : les mouvements horizontal et vertical sont couplés, et aucune formule ne donne la trajectoire.

On peut pourtant la suivre pas à pas. Choisissez un petit pas de temps $\epsilon$. À partir de la position et de la vitesse du moment, calculez l'accélération $\vec{a}$, puis avancez d'un pas,
$\vec{v}\to \vec{v}+\vec{a}\epsilon ,\vec{r}\to \vec{r}+\vec{v}\epsilon$
et recommencez jusqu'à ce que la balle touche le sol. Sur un pas court, l'accélération et la vitesse varient à peine ; les traiter comme constantes ne commet donc qu'une petite erreur. Dans ce schéma, le plus simple de tous, appelé méthode d'Euler, l'erreur totale diminue proportionnellement à $\epsilon$ : diviser le pas par deux divise l'erreur par deux. Des pas de 0,01 s donnent déjà la portée indiquée ci-dessous à environ 0,2 m près. Rien dans la méthode ne dépend de la forme de la force ; elle vaut donc pour n'importe quelle loi de force.

La trajectoire rouge de la figure 4 est le résultat d'un tel calcul, pour une balle dont la vitesse limite est de 30 m/s. La traînée vaut au départ $(20/30{)}^2\approx 0,44$ du poids et n'en vaut plus que $(15,6/30{)}^2\approx 0,27$ à l'arrivée. La portée $R$ tombe de $R_0=40,2\mathrm{m}$ à 30,0 m, et la hauteur maximale de 12,0 m à 10,1 m.

L'arc n'est plus symétrique. À la montée, la traînée s'ajoute à la pesanteur pour freiner l'ascension ; à la descente, elle s'oppose à la chute. La montée dure donc 1,39 s et la descente 1,48 s. La traînée grignote aussi sans cesse la vitesse horizontale, si bien que la balle parcourt plus de terrain en montant qu'en descendant : le sommet se trouve à 15,9 m du départ, au-delà du milieu. La balle retombe à 15,6 m/s, 57° sous l'horizontale, plus raide que son lancement à 50°. L'angle qui donne la plus grande portée descend à environ 43°, car un lancer plus haut reste plus longtemps en l'air et perd donc davantage à cause de la traînée. Plus le lancement est rapide par rapport à $v_t$, plus le meilleur angle est bas.

Problème résolu : deux façons d'atteindre une cible

Mettez l'équation de visée à l'œuvre sur la cible de la figure 2, avec la vitesse de lancement de l'animation, 20 m/s. Sous quels angles faut-il lancer pour atteindre une cible située à 30 m et 5,0 m au-dessus du point de lancement ?

D'abord la chute : $D=g{x}^2/(2v_0^2)=9,81\cdot 900/800\approx 11,04\mathrm{m}$, donc $y+D\approx 16,04\mathrm{m}$. Avec $x=30\mathrm{m}$, l'équation de visée s'écrit
$11,04u^2-30u+16,04=0$
et la formule des racines donne
$u=\frac{30\pm \sqrt{900-4\cdot 11,04\cdot 16,04}}{2\cdot 11,04}=\frac{30\pm 13,84}{22,08}$
d'où $u\approx 0,732$ ou $u\approx 1,986$, c'est-à-dire $\theta \approx 36,2^{\circ }$ ou $\theta \approx 63,3^{\circ }$. Ce sont les angles ${\theta }_1$ et ${\theta }_2$ de la figure 2. Leur somme vaut 99,5°, plus de $90^{\circ }$, comme prévu pour une cible au-dessus du point de lancement.

Les durées de vol se déduisent de $t=x/(v_0\cos \theta )$ : $30/(20\cos 36,2^{\circ })\approx 1,86\mathrm{s}$ pour le tir tendu et $30/(20\cos 63,3^{\circ })\approx 3,34\mathrm{s}$ pour le tir en cloche. Les deux arrivent à la même vitesse, $\sqrt{400-2\cdot 9,81\cdot 5,0}\approx 17,4m/s$, parce que la valeur de la vitesse ne dépend que de la hauteur. Ils arrivent pourtant de directions différentes. Le tir tendu a déjà dépassé son sommet, à 7,1 m, et arrive à 22° sous l'horizontale ; le tir en cloche plonge à 59° depuis un sommet situé à 16,3 m. Voilà pourquoi les basketteurs préfèrent les arcs hauts : pour un ballon qui tombe en plongeant, le panier offre une ouverture plus large.

Le même lancer pourrait-il atteindre une cible située à 10 m de hauteur à cette distance ? En $x=30\mathrm{m}$, la limite de portée se trouve à $20,39-11,04\approx 9,35\mathrm{m}$. La cible est au-dessus, l'équation de visée n'a aucune racine réelle, et aucun angle ne convient. Une cible située exactement à 9,35 m de hauteur est atteinte par un seul tir. La racine double est $u=x/(2D)$, c'est-à-dire ici $\tan \theta =v_0^2/(gx)\approx 1,36$, soit $\theta \approx 53,7^{\circ }$ : les solutions tendue et en cloche ont fusionné en une seule.

Limites de validité

Tout ce qui précède repose sur trois idéalisations : une balle qui se comporte comme un point, un sol plat et une pesanteur uniforme. Chacune tient bien pour des balles lancées, et chacune cesse de valoir d'une manière connue.

Le modèle traite la balle comme un point qui ne tourne pas. Une balle en rotation subit aussi une force de portance perpendiculaire à sa vitesse, l'effet Magnus, qui fait dévier un coup franc et maintient en l'air une balle de golf frappée avec un effet rétro. La traînée compte quand la vitesse atteint une fraction notable de la vitesse limite, puisque le rapport de la traînée au poids vaut $(v/v_t{)}^2$. Une boule de lancer du poids de 7,26 kg a une vitesse limite d'environ 150 m/s ; à 13 m/s, sa traînée est donc inférieure à 1 % de son poids, et la parabole est excellente.

Le sol plat et un $\vec{g}$ uniforme sont aussi des approximations. Avec un rayon terrestre $R_T\approx 6371\mathrm{km}$, le sol ne s'incurve vers le bas, sur les 40 m de l'animation, que de $x^2/(2R_T)\approx 0,1\mathrm{mm}$. La pesanteur diminue comme l'inverse du carré de la distance au centre de la Terre ; au sommet, à 12 m, $g$ est donc plus faible d'une fraction $2H/R_T\approx 4\times 10^{-6}$. Ces effets croissent avec la portée. Un lancer à 1 km/s et 45°, de portée 102 km dans le vide, retomberait là où le sol s'est abaissé de 0,8 km, même si l'air l'emporterait bien avant. La rotation de la Terre décale de moins d'un centimètre le point d'impact du lancer de 3,1 s, mais de quelques dizaines de mètres celui d'un obus qui vole pendant une minute.

À proprement parler, la pesanteur est dirigée vers le centre de la Terre plutôt que selon une direction fixe, et la trajectoire est un arc d'ellipse dont ce centre est un foyer. Sur un court tronçon, où les directions vers le centre sont presque parallèles, on ne peut pas distinguer l'ellipse de la parabole. Lancé à l'horizontale à $\sqrt{g{R}_T}\approx 7,9km/s$, et sans tenir compte de l'air, un corps tombe autour de la Terre exactement aussi vite que le sol s'incurve sous lui : le projectile est devenu un satellite, et la balle lancée comme la Lune obéissent à une seule loi.

Ce qui vient ensuite

Les lois de Newton fournissent les équations par composante. La relation $v^2=v_0^2-2gy$ est la conservation de l'énergie, développée dans Travail, énergie et puissance. Au sommet, la pesanteur joue le rôle de l'accélération centripète étudiée dans Mouvement circulaire, $g=v_x^2/\rho$. Les équations couplées de la traînée sont l'objet de Traînée et vitesse limite, et le canon de Newton comme l'ellipse relèvent de Gravitation et orbites.

Une balle lâchée par la fenêtre d'un train qui roule à vitesse constante tombe droit pour le voyageur, mais décrit une parabole pour quelqu'un sur le quai : un seul mouvement vu depuis deux référentiels, comme dans Vecteurs et mouvement relatif. Et une particule chargée, dans le champ uniforme entre deux plaques chargées, suit la même parabole, avec $g$ remplacé par $qE/m$ ; les tubes d'oscilloscope et certaines imprimantes à jet d'encre dévient ainsi des électrons et des gouttelettes d'encre (Champ et potentiel électriques).