O olho, câmeras e telescópios

Iniciante

Passo 1: o olho é uma câmera. A luz entra pela córnea transparente, passa pela pupila, a abertura que a íris colorida alarga ou estreita como o diafragma de uma câmera, e atravessa o cristalino. Córnea e cristalino juntos curvam os raios, de modo que a luz de cada ponto de uma cena volte a se encontrar num ponto da retina, a tela sensível à luz no fundo. A imagem ali está de cabeça para baixo; o cérebro resolve isso.

Passo 2: o foco. Uma câmera foca movendo a sua lente. O olho não consegue fazer isso, então muda a forma do cristalino: para um objeto próximo, pequenos músculos deixam o cristalino mais arredondado, desviando a luz com mais força. Isso é a acomodação. Na animação, observe o cristalino se abaular quando a lâmpada se aproxima. Com a idade, o cristalino endurece, por isso a maioria das pessoas precisa de óculos de leitura depois dos 45.

Passo 3: miopia e hipermetropia. Num olho míope, o globo ocular é um pouco longo demais: a luz de objetos distantes se encontra antes da retina e se espalha num borrão, enquanto as coisas próximas continuam nítidas. Uma lente divergente, mais fina no meio, espalha um pouco a luz primeiro e leva o ponto de encontro de volta à retina: observe o disco borrado encolher até virar um ponto nítido. Um olho hipermetrope é curto demais, e uma lente convergente ajuda.

Passo 4: os instrumentos. Um microscópio usa duas lentes: a primeira faz uma imagem ampliada de um objeto minúsculo, e a segunda amplia de novo essa imagem, então as duas ampliações se multiplicam. A grande lente da frente de um telescópio capta a luz de um objeto distante e fraco, e a ocular amplia a imagem que ela forma.

Teste você mesmo: uma amiga míope empresta os óculos dela a você. As lentes são mais grossas nas bordas ou no meio? (Nas bordas: elas são divergentes.)

Intermediário

Potência em dioptrias e os números do olho

Os instrumentos são mais fáceis de tratar com a potência de uma lente do que com a sua distância focal. A potência é $P=1/f$; com $f$ em metros, ela sai em dioptrias (D). Assim, $f=0,5\mathrm{m}$ dá $P=2\mathrm{D}$. Lentes convergentes têm potência positiva e lentes divergentes, potência negativa, e lentes delgadas encostadas simplesmente somam as suas potências: $+3\mathrm{D}$ e $-1\mathrm{D}$ juntas agem como $+2\mathrm{D}$.

Aqui a córnea e o cristalino são tratados como uma única lente convergente delgada, o olho reduzido. A distância do objeto $d_o$ e a distância da imagem $d_i$ são medidas a partir dela. Uma câmera muda $d_i$ movendo a sua lente. O olho não pode, porque $d_i$ é a distância lente–retina, $1/60\mathrm{m}\approx 1,67\mathrm{cm}$ neste modelo, então $1/d_i=60\mathrm{D}$.

Focalizar mudando a potência

Escrita com potências, a equação da lente delgada do olho fica
$P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(eye}:d_i\approx 1,67\mathrm{cm},P\approx 60\mathrm{D}\text{)}$

Os 60 D fixos focalizam a luz paralela na retina; a luz de um ponto à distância $d_o$ se espalha mais e precisa de mais $1/d_o$. Para um objeto distante, $1/d_o\to 0$, então o olho relaxado precisa de 60 D. Para um livro a 25 cm, ele precisa de $1/0,25+60=64\mathrm{D}$. Essa potência extra é a acomodação: o músculo ciliar, em forma de anel, se contrai, as fibras que seguram o cristalino afrouxam, e o cristalino elástico se abaula.

A potência extra máxima que o olho consegue somar, a sua amplitude de acomodação, cai com a idade, à medida que o cristalino endurece: mais de 10 D na infância, cerca de 4 D na metade dos quarenta anos, 1 D aos 60. O ponto remoto é a maior distância vista com nitidez com o cristalino relaxado, e o ponto próximo é a menor distância vista com acomodação total. Um olho jovem normal os tem no infinito e em 25 cm ou menos; os instrumentos usam 25 cm.

Como os óculos corrigem a visão

Os óculos não consertam o olho; eles deslocam opticamente o objeto, formando dele uma imagem virtual onde o olho consegue focalizar. Desprezando a distância entre os óculos e o olho, isso dá duas fórmulas de trabalho:

• $\text{Short sight}:P=-\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}$
• $\text{Reading glasses}:P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{near}}}$

Na miopia, o ponto remoto fica a uma distância finita $d_{\mathrm{far}}$. Uma lente divergente com $f=-d_{\mathrm{far}}$ faz a luz paralela se espalhar como se viesse do ponto remoto. Na hipermetropia o globo ocular é curto demais, e na presbiopia, o endurecimento do cristalino com a idade, a acomodação se esgota; de qualquer modo, o ponto próximo se afasta. Uma lente convergente então forma a imagem virtual de uma página a 25 cm, no ponto próximo: os 4 D que 25 cm exige, menos o $1/d_{\mathrm{near}}$ que o olho ainda consegue fornecer.

Exemplo resolvido: o olho na animação

A animação começa com um olho normal, cuja retina está $d_i=1/60\mathrm{m}$ atrás da lente: as leituras mostram $d_o\to \infty$, uma retina a 1,667 cm e uma potência do olho de 60,0 D. Depois, a lâmpada se aproxima a 25 cm:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}+60\mathrm{D}=4+60=64\mathrm{D}$

A lente azul fica mais grossa à medida que a leitura da potência sobe para 64,0 D, e os raios dourados continuam se encontrando na retina.

Em seguida, o globo ocular se alonga, e a leitura roxa passa de 1,667 para 1,724 cm, que é $1/58\mathrm{m}$. O olho relaxado ainda tem 60 D, então a luz paralela se encontra em $F^{\prime }$, 0,57 mm à frente da nova retina, e chega ali como um disco borrado. A luz de uma distância $d_o$ agora só fica nítida se $1/d_o+58=60$:
$\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}=60-58=2\mathrm{D},d_{\mathrm{far}}=0,5\mathrm{m}$

Esse é o ponto remoto de 50 cm na etiqueta roxa. A leitura dos óculos então sobe até $-1/(0,5\mathrm{m})=-2\mathrm{D}$. Óculos e olho juntos têm $60-2=58\mathrm{D}$, exatamente o que a luz paralela precisa para se encontrar a 1,724 cm atrás da lente, e o disco borrado no painel “O que você vê” encolhe até virar um ponto nítido.

Exemplo resolvido: óculos de leitura aos cinquenta

Uma pessoa de 50 anos ainda consegue somar 1,5 D de acomodação, então o seu ponto próximo está a $1/1,5\approx 0,67\mathrm{m}$. Quais óculos a deixam ler a 25 cm, e o que ela vê através deles?

Os óculos precisam colocar a imagem da página no seu ponto próximo:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-1,5\mathrm{D}=4-1,5=+2,5\mathrm{D}$

Com o olho relaxado, os óculos somam 2,5 D aos seus 60 D, então ela enxerga nitidamente a $1/2,5=0,40\mathrm{m}$; com acomodação total, ela soma $2,5+1,5=4\mathrm{D}$, nítida a 25 cm. Com esses óculos, ela enxerga com clareza apenas de 25 a 40 cm, e a parede ao longe fica borrada. Por isso os óculos de leitura são tirados para olhar para cima, e por isso as lentes multifocais mudam de potência de cima para baixo.

Instrumentos que ampliam o ângulo

O tamanho com que algo parece depende do ângulo que ocupa no seu olho: uma moeda à distância do braço pode esconder a Lua. Sem instrumento, o melhor que se pode fazer com um objeto pequeno é levá-lo ao ponto próximo, 25 cm. Os instrumentos ampliam esse ângulo, e a ampliação angular $M={\theta }^{\prime }/\theta$ compara o ângulo com o instrumento, ${\theta }^{\prime }$, ao ângulo sem ele, $\theta$:

• $\text{Magnifier}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscope}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Telescope}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

Uma lupa permite segurar o objeto no seu foco, em vez de a 25 cm, então $f=5\mathrm{cm}$ dá $M=5$. A objetiva de um microscópio faz uma imagem real $L/f_o$ vezes maior, sendo $L\approx 16\mathrm{cm}$ o comprimento do tubo, e a ocular amplia essa imagem: $f_o=4\mathrm{mm}$ e $f_e=25\mathrm{mm}$ dão $40\cdot 10=400$. A objetiva de um telescópio faz uma pequena imagem real de um objeto distante no seu plano focal, e a ocular a observa de perto: $f_o=1,2\mathrm{m}$ e $f_e=20\mathrm{mm}$ dão 60.

A janela da animação é um telescópio com $f_o=3f_e$: quando a estrela gira até $\theta =3,5^{\circ }$, a leitura de ${\theta }^{\prime }$ chega a $10,4^{\circ }$, cerca de três vezes mais.

Erros comuns

• Olhos míopes não são fracos demais, e sim fortes demais para o seu comprimento: o olho longo da animação tem os 60 D normais, mas precisa de apenas 58 D, então a lente corretora tem potência negativa, $-2\mathrm{D}$.
• Use o inverso da distância em metros: um ponto remoto de 25 cm exige $-1/0,25=-4\mathrm{D}$, e não $-0,25\mathrm{D}$ ou $-0,04\mathrm{D}$.
• Óculos de leitura subtraem o termo do ponto próximo. Para um ponto próximo de 1,0 m, $P=4-1=+3\mathrm{D}$; somar os termos dá +5 D, o que manteria a página nítida só entre 17 e 20 cm.
• A ampliação multiplica ângulos, não tamanhos de imagem. O telescópio de 60 vezes acima forma uma imagem da Lua com apenas 11 mm de diâmetro; o que cresce é o ângulo, de 0,52° para cerca de 30°.
• Mais ampliação não mostra mais detalhes: isso é limitado pela largura $D$ da objetiva, por meio de ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$, e, a partir de certo ponto, um telescópio apenas amplia o borrão.

Onde isso aparece

Óculos e lentes de contato são receitados em passos de 0,25 D; cerca de um terço das pessoas no mundo é míope, e quase todos precisam de óculos de leitura até os 50. Câmeras de celular focalizam movendo uma lente minúscula. Binóculos marcados 8×42 ampliam 8 vezes, com objetivas de 42 mm, e emitem um feixe de $42/8=5,25\mathrm{mm}$ de largura, compatível com uma pupila dilatada ao anoitecer. Por que os detalhes se esgotam é o assunto de Difração e fenda dupla, e as franjas coloridas de lentes baratas vêm da dispersão, em Prismas, dispersão e cor.

Avançado

Vergência: a linguagem das lentes

Todo instrumento desta lição, dos óculos ao próprio olho e a um telescópio, é uma sequência de lentes. A maneira mais rápida de acompanhar a luz por tal sequência é seguir um único número, a vergência: o quanto as frentes de onda estão curvadas, medida em dioptrias (D, sendo uma dioptria um por metro). Com ela, cada lente se torna uma simples soma.

Legenda

$S$	Fonte pontual de luz.
$S^{\prime }$	Imagem de $S$: o ponto onde a luz converge.
$d_o$	Distância de $S$ até a lente: o raio das frentes de onda que chegam.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distância da lente até $S^{\prime }$: o raio das frentes de onda que saem.	$\mathrm{m}$
$V$	Vergência da luz que chega, $-1/d_o$: negativa porque as frentes se espalham.	$\mathrm{D}$
$V^{\prime }$	Vergência da luz que sai, $+1/d_i$: positiva porque as frentes se aproximam.	$\mathrm{D}$
$P$	Potência da lente: a vergência que ela soma, $V^{\prime }=V+P$.	$\mathrm{D}$

A Figura 1 mostra a luz de uma fonte pontual $S$ passando por uma lente até a imagem $S^{\prime }$. A luz se espalha de $S$ como frentes de onda esféricas, os arcos roxos. Assim, as frentes que chegam à lente são arcos de raio $d_o$ centrados em $S$. Os raios, as linhas laranja, cruzam as frentes em ângulo reto; por isso os dois raios de borda seguem em linha reta de $S$ até a borda da lente.

A vergência é a curvatura das frentes, ou seja, o inverso do seu raio, com um sinal que indica para que lado elas se curvam. A luz divergente, como a que chega de $S$, tem $V=-1/d_o$, negativa. A luz paralela, de uma fonte muito distante, tem $V=0$. A luz que converge para um ponto a uma distância $d$ à frente tem $V=+1/d$, positiva.

Uma lente delgada faz exatamente uma coisa: ela soma a sua potência $P$ à vergência. À direita da Figura 1, as frentes que saem da lente são arcos centrados em $S^{\prime }$, de raio $d_i$. Então a vergência delas é $V^{\prime }=+1/d_i$, e a imagem real se forma onde elas se reduzem a um ponto:
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
Com $V=-1/d_o$, isso é a conhecida equação da lente delgada, $1/d_o+1/d_i=P$, escrita como uma única soma.

Tome um olho normal relaxado: uma única lente de 60 D com a retina a 1/60 m atrás dela (uma distância reduzida, explicada na próxima seção). Uma lâmpada a 25 cm envia luz de vergência $V=-1/(0,25\mathrm{m})=-4\mathrm{D}$ para dentro dela. Para convergir na retina, a luz deve sair com $V^{\prime }=60\mathrm{D}$. Então o olho precisa elevar a sua potência para $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{D}$; os 4 D extras são a sua acomodação.

Entre duas lentes a vergência também muda, simplesmente porque a luz se propaga. A luz de vergência $V_1$ se dirige a um ponto a uma distância $1/V_1$ à frente (ou vem de um ponto atrás, se $V_1$ for negativa: uma fonte virtual). Após um intervalo $t$, esse ponto está $t$ mais perto, a $1/V_1-t$ à frente, e a nova vergência é o inverso dessa distância:
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

Isso importa para os óculos, que ficam cerca de $t=12\mathrm{mm}$ à frente da córnea. A luz paralela sai de uma lente de óculos de potência $P$ com vergência $P$ e chega ao olho com $P/(1-tP)$. Assim, os óculos atuam como uma lente de contato dessa potência. Uma lente de óculos de $-8\mathrm{D}$ dá $-8/(1+0,012\cdot 8)=-8/1,096=-7,3\mathrm{D}$ no olho. Para os $-2\mathrm{D}$ da animação, a diferença é de apenas 0,05 D, menor que os passos de 0,25 D de uma receita. Por isso as leituras ignoram o intervalo.

De onde vem a potência do olho

De onde vêm os 60 D do olho? Uma fronteira curva entre dois meios transparentes já curva a luz por si só, sem nenhuma lente. A primeira fronteira do olho, a face anterior da córnea, faz a maior parte do trabalho. Esta seção encontra a potência de uma única superfície curva e a aplica ao olho.

Legenda

$n$	Índice de refração à frente da superfície (ar).
$n^{\prime }$	Índice de refração atrás da superfície (tecido da córnea).
$R$	Raio de curvatura da superfície.	$\mathrm{m}$
$C$	Centro de curvatura: o centro da esfera à qual a superfície pertence.
$F^{\prime }$	Ponto onde os raios paralelos ao eixo se encontram depois da superfície.
$f^{\prime }$	Distância da superfície até $F^{\prime }$: $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, com $P=(n^{\prime }-n)/R$ a potência da superfície.	$\mathrm{m}$

A Figura 2 mostra a face anterior da córnea, em escala. A superfície é parte de uma esfera de raio $R$ e centro $C$. À esquerda há ar, de índice de refração $n$; à direita, tecido da córnea, de índice $n^{\prime }$. Observe os raios: eles chegam paralelos ao eixo, se desviam na superfície e todos cruzam o eixo em um ponto, $F^{\prime }$.

Acompanhe um raio a uma altura $h$ acima do eixo. A normal à superfície nesse ponto é o raio traçado a partir de $C$, e, para ângulos pequenos, ela está inclinada em relação ao eixo de $h/R$. O raio é paralelo ao eixo, então $h/R$ também é o seu ângulo de incidência $\theta$. A lei de Snell para ângulos pequenos, $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$, dá o ângulo depois da superfície, ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$: mais próximo da normal, porque $n^{\prime }>n$. O raio foi, portanto, desviado em direção ao eixo pela diferença entre os dois ângulos:
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

Um raio à altura $h$ que se inclina em direção ao eixo com esse pequeno ângulo o alcança depois de uma distância igual a $h$ dividido pelo ângulo:
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
A altura $h$ se cancela, então todo raio próximo ao eixo se encontra no mesmo ponto $F^{\prime }$: isso permite que a superfície forme uma imagem. Escrevendo a potência da superfície como $P=(n^{\prime }-n)/R$, obtém-se $f^{\prime }=n^{\prime }/P$. Isso diz que, num meio de índice $n^{\prime }$, a distância focal é $n^{\prime }$ vezes maior do que no ar. Uma lente delgada é formada por duas dessas superfícies próximas uma da outra, e a sua potência é a soma das potências delas.

A potência é maior onde o índice salta mais, e no olho o maior salto é do ar para a córnea. Com $R\approx 7,8\mathrm{mm}$ e $n^{\prime }=1,376$, a superfície anterior tem $P=0,376/0,0078\mathrm{m}\approx 48\mathrm{D}$ e $f^{\prime }=1,376/48\mathrm{D}\approx 28,5\mathrm{mm}$, a distância desenhada na Figura 2. A face posterior da córnea é voltada para um fluido de índice 1,336, um degrau para baixo no índice, então ela tira cerca de 6 D. A córnea fornece assim cerca de 42 D, mais de dois terços dos 60 D do olho; o cristalino acrescenta o restante e faz o ajuste.

Debaixo d'água, com $n=1,333$ na frente, a superfície anterior mantém apenas $(1,376-1,333)/0,0078\mathrm{m}\approx 5,5\mathrm{D}$. O olho perde mais de 40 D, muito mais do que qualquer acomodação pode repor, e tudo fica borrado. Máscaras de mergulho ajudam porque colocam de novo uma camada de ar diante da córnea.

A mesma fórmula explica uma convenção usada em toda esta lição. A imagem se forma em um fluido de índice 1,336, então a distância real da lente à retina é $n^{\prime }/P=1,336/60\mathrm{D}\approx 22\mathrm{mm}$. O 1/60 m do modelo, cerca de 17 mm, é a distância reduzida: a distância no ar que dá a mesma vergência. Com distâncias reduzidas, toda fórmula pode ser escrita como se o olho fosse preenchido com ar.

O gráfico do borramento: por que é um V

O gráfico do nível avançado da animação traça quão borrada uma cena distante parece a um olho míope, em função da potência dos seus óculos. A sua forma de V decorre de um único par de triângulos semelhantes, e o mesmo resultado explica por que apertar os olhos ajuda e por que as receitas vêm em passos de um quarto de dioptria.

Legenda

$A$	Largura da pupila, a abertura que limita o cone de luz.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distância atrás da lente onde o cone se fecha: $d_i=1/V^{\prime }$, com $V^{\prime }$ a vergência que sai da lente (uma distância reduzida).	$\mathrm{m}$
$L$	Distância da lente à retina (uma distância reduzida, $1/58\mathrm{m}$ aqui).	$\mathrm{m}$
$b$	Largura do disco de borrão na retina.	$\mathrm{m}$
$P$	Potência dos óculos, no eixo horizontal do gráfico.	$\mathrm{D}$
$P_0$	Potência que não dá borrão, $-1/d_{\mathrm{far}}$, com $d_{\mathrm{far}}$ o ponto remoto: o cone então se fecha exatamente na retina.	$\mathrm{D}$
$AL$	Inclinação de cada ramo: o borrão acrescentado por uma dioptria de erro.	${\mathrm{m}}^2$

A metade esquerda da Figura 3 mostra de onde vem o borramento. O olho é o olho reduzido da última seção, uma lente de 60 D, mas este globo ocular é um pouco longo demais: a retina fica em $L=1/58\mathrm{m}$ em vez de 1/60 m. O olho é míope. Relaxado, ele só enxerga nitidamente até o seu ponto remoto, $d_{\mathrm{far}}=0,5\mathrm{m}$, porque a luz que se espalha de lá, com vergência $-2\mathrm{D}$, deixa a lente com $60-2=58\mathrm{D}$ e fecha exatamente na retina. Assim, $1/d_{\mathrm{far}}=2\mathrm{D}$.

Agora, deixe a luz paralela de um ponto distante atravessar óculos de potência $P$. Ela sai com vergência $P$ (desprezando o intervalo, como acima), e o olho soma 60 D. Então, atrás da lente, $V^{\prime }=60\mathrm{D}+P$. A luz entra no olho como um cone tão largo quanto a pupila, $A$, e o cone se fecha num ponto a $d_i=1/V^{\prime }$, uma distância reduzida como $L$.

Observe o intervalo entre $d_i$ e $L$. Na figura, $d_i$ é menor que $L$: o cone já cruzou e está se abrindo de novo quando chega à retina, onde ilumina um disco de largura $b$. Triângulos semelhantes, um com base $A$ e altura $d_i$, o outro com base $b$ e altura $L-d_i$, dão
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right|$
O passo do meio usa $d_i=1/V^{\prime }$; o último usa $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{D})=L(P+2\mathrm{D})$. Se $d_i$ fosse maior que $L$, o cone ainda estaria se fechando na retina, e a mesma fórmula valeria: é para isso que serve o valor absoluto.

A quantidade $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{far}}$ é o erro de vergência: o quanto a luz que entra no olho está distante da vergência que o olho relaxado precisa. A metade direita da Figura 3 traça $b$ contra $P$. Como $b$ é proporcional ao valor absoluto de uma quantidade que cresce de modo constante com $P$, o gráfico é um V. Sua ponta está em $P_0=-1/d_{\mathrm{far}}=-2\mathrm{D}$, onde $d_i=L$: o cone fecha exatamente na retina e o borramento desaparece. Cada ramo é uma reta de inclinação $AL$: cada dioptria de erro acrescenta $AL$ ao borramento, a subida marcada no ramo esquerdo.

O eixo vertical $b$ fica em $P=0$, sem óculos. Então o olho não corrigido, cujo cone está desenhado à esquerda, é o ponto onde esse eixo encontra o ramo direito. Na animação, o ponto primeiro sobe reto em $P=0$ enquanto o globo ocular se alonga, depois desliza pelo ramo direito enquanto a potência dos óculos aumenta.

Sem óculos, uma pupila de 4 mm dá $b=0,004\cdot 0,01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0,14\mathrm{mm}$. Vista da lente, esse disco abrange o ângulo $b/L=A|\Delta V|=0,004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$, cerca de 27′. Um olho nítido resolve 1′, então cada ponto de uma cena distante fica espalhado por cerca de 27 vezes o detalhe mais fino que o olho poderia ver de outro modo.

O ramo esquerdo é sobrecorreção. Com óculos de $-3\mathrm{D}$, a luz converge atrás da retina; um olho jovem ainda consegue focalizá-la, mas só acomodando 1 D o dia inteiro. A inclinação $AL$ é proporcional à pupila, então uma pupila de 2 mm dá metade do borramento de uma de 4 mm: por isso apertar os olhos ajuda.

Perto da ponta, um pouco de borramento passa despercebido, e a faixa de erro de vergência que o olho tolera é a sua profundidade de foco. Se 3′ de borramento, 0,87 mrad, passam despercebidos, uma pupila de 3 mm tolera um erro de $0,87\times 10^{-3}/0,003\approx 0,3\mathrm{D}$, por isso as receitas vêm em passos de 0,25 D.

Ampliação angular, deduzida

Um telescópio não faz uma estrela parecer maior; o que ele amplia é o ângulo entre direções no céu. Esta seção mostra que o ângulo cresce pela razão entre as duas distâncias focais, e depois leva a ideia ao microscópio.

Legenda

$f_o$	Distância focal da objetiva.	$\mathrm{m}$
$f_e$	Distância focal da ocular, cujo plano focal é o da objetiva.	$\mathrm{m}$
$y$	Altura da imagem da estrela abaixo do eixo, no plano focal comum: $y=f_o\tan \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo entre a luz que chega e o eixo: a direção da estrela.	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	Ângulo entre a luz que sai e o eixo: a direção em que o olho vê a estrela.	$\mathrm{rad}$

A Figura 4 acompanha dois raios principais, raios que passam pelo centro de uma lente e seguem em linha reta; os ângulos estão exagerados. À esquerda, a luz de uma estrela sob o ângulo $\theta$ em relação ao eixo chega à objetiva, de distância focal $f_o$. A objetiva forma a imagem da estrela no seu plano focal, e o raio principal dela mostra onde: à altura $y=f_o\tan \theta$ abaixo do eixo, a barra roxa.

A ocular, de distância focal $f_e$, é posicionada de modo que o seu plano focal seja o mesmo plano. A luz de qualquer ponto desse plano deixa a ocular, portanto, como um feixe paralelo, e o feixe segue na direção do raio principal desse ponto através do centro da ocular. Assim, a luz da estrela sai no ângulo ${\theta }^{\prime }$, com $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$.

A barra $y$ é um lado dos dois triângulos retângulos da figura, um com o lado $f_o$ e outro com $f_e$. Dividir as duas equações a elimina:
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
Para ângulos pequenos, as tangentes são iguais aos ângulos, e a ampliação angular é $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$. Na janela da animação, $f_o=3f_e$: quando $\theta$ chega ao máximo de $3,5^{\circ }$, ${\theta }^{\prime }$ chega a $10,4^{\circ }$, e não a $10,5^{\circ }$, porque são as tangentes que se multiplicam por 3. Note também que o raio que sai está inclinado no sentido oposto ao raio que entra: o telescópio mostra o céu de cabeça para baixo.

A ocular também estreita cada feixe na razão $f_e/f_o$. A luz que preencheu uma objetiva de largura $D$ sai, portanto, como um feixe $M$ vezes mais estreito, de largura $D/M$: a pupila de saída, o ponto de luz atrás da ocular onde se posiciona o olho.

Um microscópio aplica a mesma ideia a um objeto próximo. O objeto fica logo além do foco da objetiva, a uma distância $x_o$ dele. A objetiva forma uma imagem real e ampliada a uma distância $x_i=f_o^2/x_o$ além do seu foco distante. Essa é a equação das lentes medida a partir dos focos, em sua forma newtoniana. A imagem é $x_i/f_o$ vezes mais alta que o objeto. Com a imagem na distância padrão $x_i=\ell$, o comprimento óptico do tubo, isso dá $\ell /f_o$. A ocular então funciona como uma lupa: uma imagem de altura $y$ no seu plano focal é vista sob o ângulo $y/f_e$, em vez do $y/(0,25\mathrm{m})$ que ela subtenderia na distância usual de leitura. Juntos,
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0,25\mathrm{m}}{f_e}$

Ampliação não é resolução

Por que mais ampliação nunca revela detalhes cada vez mais finos? Porque cada abertura espalha a luz de um ponto em uma pequena mancha, sob um ângulo determinado pelo comprimento de onda e pela largura da abertura. Só a sincronia das ondas mostra de onde vem esse ângulo.

Imagine uma lente perfeita como um dispositivo de cronometragem: ela leva a luz de uma fonte pontual ao seu ponto de imagem por caminhos que levam todos o mesmo tempo, então as ondas chegam em fase e se somam. Agora tome uma segunda fonte pontual, a um pequeno ângulo $\theta$ da primeira, e acompanhe a sua luz até o mesmo ponto de imagem. Os seus dois raios extremos, por bordas opostas de uma abertura de largura $D$, diferem no caminho por $D\sin \theta \approx D\theta$, e assim no tempo de percurso por $D\theta /c$.

Compare esse atraso com um período da onda, $\lambda /c$. Se ele for bem menor, as ondas da segunda fonte também chegam quase em fase: a sua imagem cai no mesmo lugar, e as duas fontes não podem ser distinguidas. Quando o atraso chega a cerca de um período, cada faixa da abertura pode ser emparelhada com outra a meia abertura de distância, cujas ondas chegam meio período depois, e os pares se anulam. A segunda fonte então não envia luz ao primeiro ponto de imagem, e as duas imagens se separam. Assim, ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$. Uma abertura redonda tem menos área perto das bordas do que uma quadrada, então age como uma abertura um pouco mais estreita, e o fator sobe para 1,22:
$\text{Resolution}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1,22\lambda }{D}$

Para uma pupila de 3 mm e luz verde de 550 nm, isso dá $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/0,003\approx 2,2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, ou 0,8′. A retina está ajustada a isso: os cones no centro da fóvea estão a cerca de 2,5 μm uns dos outros, 0,5′ vistos da lente. Então um padrão que se repete a cada 1′ é amostrado duas vezes por repetição, o suficiente apenas para registrá-lo.

Os olhos compostos dos insetos enfrentam o mesmo compromisso de outra forma. Cada faceta, de largura $D$, borra cerca de $\lambda /D$, enquanto num olho de raio $r$ facetas vizinhas apontam a $D/r$ uma da outra. Facetas pequenas difratam mais; as grandes amostram de modo mais grosseiro. Os dois ângulos são iguais quando $D=\sqrt{\lambda r}$, a melhor largura de faceta: cerca de 23 μm para $r=1\mathrm{mm}$.

A ampliação de um telescópio só precisa elevar o seu ${\theta }_{\min }$ até um ângulo que o olho consiga ver, e a pupila de saída mostra por que mais não ajuda. Com ampliação $M$, o feixe que entra no olho tem largura $D/M$, então a difração do próprio olho o borra em $1,22\lambda /(D/M)=M\cdot 1,22\lambda /D$: exatamente o limite do telescópio, ampliado $M$ vezes. Imagem e borrão crescem juntos. Acima de uma ampliação de cerca do dobro da abertura em milímetros, a pupila de saída fica abaixo de 0,5 mm, e esse borrão passa de cerca de 4,6′, claramente visível: a imagem cresce, mas nenhum detalhe é acrescentado.

Problema: telescópio para olho míope

Este problema junta a regra da vergência, o gráfico do borramento e o telescópio: o que acontece quando um observador míope usa um telescópio sem os óculos?

Monte o telescópio da janela com $f_o=300\mathrm{mm}$ e $f_e=100\mathrm{mm}$, então $M=3$, e o tubo, $f_o+f_e$, tem 400 mm de comprimento. Entregue-o ao observador da animação, com $-2\mathrm{D}$, sem os óculos, com o olho junto à ocular. O olho relaxado dele só é nítido para a luz de vergência $-2\mathrm{D}$, que se espalha do seu ponto remoto. Assim, a ocular de $+10\mathrm{D}$ precisa dar essa vergência à luz da imagem da objetiva, a uma distância $s$ à sua frente:
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{D}=-2\mathrm{D},s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83,3\mathrm{mm}$

Ele empurra a ocular 16,7 mm para dentro, encurtando o tubo de 400 para 383,3 mm. A imagem da objetiva ainda tem a altura $y=f_o\theta$, mas agora está a $s$ da ocular. O raio principal que vai do seu topo ao centro da ocular, e segue reto para o olho dele, forma o ângulo ${\theta }^{\prime }=y/s$:
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right)=0,3\cdot 12=3,6$

Ele obtém 3,6 vezes em vez de 3. Na prática, o excesso de 2 D do olho é somado aos 10 D da ocular, formando uma ocular de 12 D com distância focal de 83,3 mm. Um observador hipermetrope, cujo olho relaxado precisa de $+2\mathrm{D}$, tem o oposto: uma ocular efetiva de 8 D, afastada até $s=125\mathrm{mm}$, e apenas $M=0,3\cdot 8=2,4$.

Se o observador míope não refocalizar, ele reencontra o gráfico do borramento. O seu erro de 2 D e a pupila de 4 mm dão 27′ de borramento no olho, como na seção do borramento, o que dá cerca de 9′ no céu depois de dividir por $M=3$. Isso supõe que a pupila de saída preencha a sua pupila de 4 mm, o que exige uma objetiva de pelo menos 12 mm de largura.

Limites de validade

Tudo acima é óptica paraxial de lentes delgadas: raios próximos ao eixo, lentes sem espessura, luz de um único comprimento de onda. Olhos e instrumentos reais se afastam disso de três maneiras que vale conhecer.

Primeiro, as aberrações. O olho real é um sistema espesso com os defeitos de qualquer lente. A aberração esférica, em que raios longe do eixo focalizam mais perto do que os próximos ao eixo, cresce rapidamente com a pupila e aumenta o borrão à noite, quando a pupila está dilatada. A aberração cromática torna o olho cerca de 2 D mais forte para a luz violeta do que para a vermelha. Uma córnea mais curvada em uma direção do que na outra causa astigmatismo, que exige uma lente cilíndrica, e não um único número $P$.

Segundo, a difração. Ela impõe um piso sob o V da Figura 3: o borrão se estabiliza perto de $1,22\lambda /A$, 0,8′ para uma pupila de 3 mm. Abaixo de uma pupila de cerca de 2 a 3 mm, uma pupila menor piora as coisas, em vez de melhorá-las.

Terceiro, o ar. Para telescópios no solo, a turbulência espalha as estrelas em cerca de 1″, ou seja, $4,85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$. Esse é o limite de difração de uma abertura de apenas $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/(4,85\times 10^{-6})\approx 0,14\mathrm{m}$ de largura. Telescópios maiores ainda captam mais luz, mas os detalhes mais finos exigem óptica adaptativa, que remodela a frente de onda ao chegar, ou um telescópio no espaço. No espaço, o Hubble, de 2,4 m, alcança 0,06″.

Para onde isso leva

O fator 1,22 e os anéis escuros em torno das imagens de estrelas são deduzidos em Difração e fenda dupla, e o argumento da sincronia é o de Interferência e superposição. A aberração cromática e o dubleto acromático que a cancela pertencem a Prismas, dispersão e cor. A potência de superfície $(n^{\prime }-n)/R$ se apoia em Reflexão e refração, e a vergência, em Lentes e espelhos. A regra ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$ vale para qualquer onda: uma antena de 100 m em 21 cm resolve apenas cerca de 9′, mais grosseiro que o olho nu. Já microscópios eletrônicos, cujos elétrons têm comprimentos de onda de alguns picômetros (Dualidade onda-partícula), formam imagens de átomos isolados. A própria luz como onda é o tema de Ondas eletromagnéticas.