L'œil, l'appareil photo et la lunette

Débutant

Étape 1, l'œil est un appareil photo. La lumière entre par la cornée transparente, passe par la pupille, l'ouverture que l'iris coloré élargit ou rétrécit comme le diaphragme d'un appareil, puis traverse le cristallin. Ensemble, cornée et cristallin dévient les rayons pour que la lumière issue de chaque point d'une scène se retrouve en un point de la rétine, l'écran sensible au fond de l'œil. L'image y est à l'envers ; le cerveau s'en arrange.

Étape 2, la mise au point. Un appareil photo fait la mise au point en déplaçant son objectif. L'œil ne le peut pas : il change la forme du cristallin. Pour un objet proche, de petits muscles laissent le cristallin s'arrondir et dévier davantage. C'est l'accommodation. Dans l'animation, regardez le cristallin se bomber quand la lampe approche. Avec l'âge il se rigidifie, et c'est pourquoi la plupart des gens ont besoin de lunettes de lecture après 45 ans.

Étape 3, myopie et hypermétropie. Dans un œil myope, le globe est un peu trop long : la lumière venue de loin se croise devant la rétine et s'y étale en flou, tandis que les objets proches restent nets. Une lentille divergente, plus mince au centre, écarte d'abord un peu la lumière et ramène le point de rencontre sur la rétine : regardez le disque flou redevenir un point net. Un œil hypermétrope est trop court, et une lentille convergente l'aide.

Étape 4, les instruments. Un microscope utilise deux lentilles : la première donne une image agrandie d'un objet minuscule, la seconde agrandit encore cette image, si bien que les deux grandissements se multiplient. Dans une lunette, la grande lentille avant recueille la lumière d'un objet faible et lointain, et l'oculaire grossit l'image qu'elle forme.

Testez-vous : une amie myope vous prête ses lunettes. Ses verres sont-ils plus épais au bord ou au centre ? (Au bord : ils sont divergents.)

Intermédiaire

Puissance en dioptries, et les chiffres de l'œil

Pour manier les instruments, il est plus commode de raisonner avec la puissance d'une lentille qu'avec sa distance focale. La puissance (ou vergence) d'une lentille est $V=1/f$ ; avec $f$ en mètres, elle s'exprime en dioptries ($\delta$), de sorte que $f=0,5\mathrm{m}$ donne $V=2\delta$. Une lentille convergente a une puissance positive, une lentille divergente une puissance négative, et des lentilles minces accolées additionnent simplement leurs puissances : $+3\delta$ et $-1\delta$ ensemble équivalent à $+2\delta$.

On traite ici la cornée et le cristallin comme une seule lentille mince convergente, l'œil réduit. La distance de l'objet $d_o$ et celle de l'image $d_i$ se mesurent depuis cette lentille. Un appareil photo modifie $d_i$ en déplaçant son objectif. L'œil, lui, ne le peut pas, car $d_i$ est la distance cristallin–rétine, $1/60\mathrm{m}\approx 1,67\mathrm{cm}$ dans ce modèle, et donc $1/d_i=60\delta$.

Mettre au point en changeant de puissance

Avec des puissances, la relation de conjugaison de l'œil s'écrit
$V=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(œil}:d_i\approx 1,67\mathrm{cm},V\approx 60\delta \text{)}$

Les 60 δ fixes font converger la lumière parallèle sur la rétine ; celle d'un point situé à la distance $d_o$ diverge davantage et exige $1/d_o$ de plus. Pour un objet lointain, $1/d_o\to 0$ : l'œil au repos se contente de 60 δ. Pour un livre à 25 cm, il lui faut $1/0,25+60=64\delta$. Ce supplément de puissance, c'est l'accommodation : le muscle ciliaire, en forme d'anneau, se contracte, les fibres qui retiennent le cristallin se détendent, et le cristallin élastique se bombe.

Le supplément maximal que l'œil peut ajouter, son amplitude d'accommodation, diminue avec l'âge à mesure que le cristallin se rigidifie : plus de 10 δ dans l'enfance, environ 4 δ vers 45 ans, 1 δ vers 60 ans. Le punctum remotum (PR) est la distance la plus grande à laquelle on voit net avec le cristallin au repos, le punctum proximum (PP) la plus petite, en accommodation maximale. Un jeune œil normal les a à l'infini et à 25 cm ou moins ; les instruments supposent 25 cm.

Comment les lunettes corrigent la vue

Les lunettes ne réparent pas l'œil : elles déplacent l'objet, optiquement, car elles en forment une image virtuelle là où l'œil peut faire la mise au point. En négligeant la distance verre–œil, on obtient deux formules de travail :

• $\text{Myopie}:V=-\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}$
• $\text{Lunettes de lecture}:V=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{PP}}}$

Dans la myopie, le PR se trouve à une distance finie $d_{\mathrm{PR}}$. Une lentille divergente de distance focale $f=-d_{\mathrm{PR}}$ fait diverger la lumière parallèle comme si elle venait du PR. Dans l'hypermétropie, le globe oculaire est trop court ; dans la presbytie, due au durcissement du cristallin avec l'âge, l'accommodation s'épuise ; dans les deux cas, le PP s'éloigne. Une lentille convergente forme alors de la page, tenue à 25 cm, une image virtuelle au PP : les 4 δ que demandent 25 cm, moins le $1/d_{\mathrm{PP}}$ que l'œil peut encore fournir.

Exemple résolu : l'œil de l'animation

L'animation commence par un œil normal, dont la rétine se trouve à $d_i=1/60\mathrm{m}$ derrière le cristallin : les affichages donnent $d_o\to \infty$, une rétine à 1,667 cm et une puissance de l'œil de 60,0 δ. Puis la lampe s'approche jusqu'à 25 cm :
$V=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}+60\delta =4+60=64\delta$

Le cristallin bleu se bombe à mesure que l'affichage de puissance monte à 64,0 δ, et les rayons dorés se rejoignent toujours sur la rétine.

Ensuite le globe oculaire s'allonge, et l'affichage violet passe de 1,667 à 1,724 cm, soit $1/58\mathrm{m}$. L'œil au repos a toujours 60 δ : la lumière parallèle se rejoint donc en $F^{\prime }$, 0,57 mm devant la nouvelle rétine, et y arrive sous la forme d'un disque flou. La lumière issue d'une distance $d_o$ n'est désormais nette que si $1/d_o+58=60$ :
$\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}=60-58=2\delta ,d_{\mathrm{PR}}=0,5\mathrm{m}$

C'est le PR de 50 cm de l'étiquette violette. L'affichage des lunettes descend alors jusqu'à $-1/(0,5\mathrm{m})=-2\delta$. Lunettes et œil réunis ont $60-2=58\delta$, exactement ce qu'il faut à la lumière parallèle pour se rejoindre à 1,724 cm derrière le cristallin, et le disque flou du panneau « ce que l'on voit » se resserre en un point net.

Exemple résolu : lunettes de lecture à cinquante ans

Une femme de 50 ans peut encore ajouter 1,5 δ d'accommodation : son PP est donc à $1/1,5\approx 0,67\mathrm{m}$. Quelles lunettes lui permettent de lire à 25 cm, et que voit-elle à travers ?

Les lunettes doivent placer l'image de la page à son PP :
$V=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-1,5\delta =4-1,5=+2,5\delta$

Avec l'œil au repos, les lunettes ajoutent 2,5 δ à ses 60 δ : elle voit donc net à $1/2,5=0,40\mathrm{m}$ ; en accommodation maximale, elle ajoute $2,5+1,5=4\delta$ et voit net à 25 cm. À travers ces lunettes, elle ne voit clair que de 25 à 40 cm, et le mur du fond est flou. C'est pourquoi on enlève les lunettes de lecture pour lever les yeux, et pourquoi les verres progressifs changent de puissance de haut en bas.

Les instruments qui agrandissent l'angle

La taille apparente d'un objet dépend de l'angle qu'il sous-tend à l'œil : à bout de bras, une pièce de monnaie peut cacher la Lune. À l'œil nu, le mieux que l'on puisse faire avec un petit objet est de l'amener au PP, à 25 cm. Les instruments agrandissent cet angle, et le grossissement angulaire $M={\theta }^{\prime }/\theta$ compare l'angle avec l'instrument, ${\theta }^{\prime }$, à l'angle sans instrument, $\theta$ :

• $\text{Loupe}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscope}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Lunette}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

Une loupe permet de placer l'objet à son foyer au lieu de 25 cm : $f=5\mathrm{cm}$ donne donc $M=5$. L'objectif d'un microscope forme une image réelle $L/f_o$ fois plus grande, $L\approx 16\mathrm{cm}$ étant la longueur optique du tube, puis l'oculaire grossit cette image : $f_o=4\mathrm{mm}$ et $f_e=25\mathrm{mm}$ donnent $40\cdot 10=400$. Dans une lunette, l'objectif forme dans son plan focal une petite image réelle de l'objet lointain, et l'oculaire l'observe de près : $f_o=1,2\mathrm{m}$ et $f_e=20\mathrm{mm}$ donnent 60.

L'encart de l'animation montre une lunette avec $f_o=3f_e$ : quand l'étoile s'écarte jusqu'à $\theta =3,5^{\circ }$, l'affichage de ${\theta }^{\prime }$ atteint $10,4^{\circ }$, soit environ trois fois plus.

Erreurs fréquentes

• Les yeux myopes ne sont pas trop faibles mais trop puissants pour leur longueur : l'œil allongé de l'animation a ses 60 δ normaux mais n'en demande que 58, si bien que la lentille correctrice a une puissance négative, $-2\delta$.
• Prenez l'inverse de la distance en mètres : un PR à 25 cm demande $-1/0,25=-4\delta$, et non $-0,25\delta$ ni $-0,04\delta$.
• Les lunettes de lecture retranchent le terme du PP. Pour un PP à 1,0 m, $V=4-1=+3\delta$ ; si l'on additionne les termes, on trouve +5 δ, ce qui ne garderait la page nette qu'entre 17 et 20 cm.
• Le grossissement multiplie des angles, non la taille des images. La lunette de grossissement 60 de l'exemple précédent ne forme de la Lune qu'une image de 11 mm de large ; ce qui grandit, c'est l'angle, de 0,52° à environ 30°.
• Grossir davantage ne montre pas plus de détails : ceux-ci sont limités par la largeur $D$ de l'objectif, par ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$, et au-delà d'un certain point une lunette n'agrandit plus que le flou.

Où on le rencontre

Lunettes et lentilles de contact se prescrivent par pas de 0,25 δ ; environ un tiers de la population mondiale est myope, et presque tout le monde a besoin de lunettes de lecture à 50 ans. Les appareils photo des téléphones font la mise au point en déplaçant une minuscule lentille. Des jumelles marquées 8×42 grossissent 8 fois, avec des objectifs de 42 mm, et émettent un faisceau de $42/8=5,25\mathrm{mm}$ de large, ce qui correspond à une pupille dilatée au crépuscule. La raison pour laquelle les détails finissent par disparaître est l'objet de la leçon Diffraction et fentes de Young, et les franges colorées des lentilles bon marché viennent de la dispersion, étudiée dans Prismes, dispersion et couleurs.

Avancé

Vergence : le langage des lentilles

Tous les instruments de cette leçon, des lunettes de vue à l'œil lui-même, puis à la lunette astronomique, sont des suites de lentilles. Le moyen le plus rapide de suivre la lumière à travers une telle suite est de garder un seul nombre en tête, la vergence : la courbure des fronts d'onde, mesurée en dioptries (δ, une dioptrie valant un par mètre). Avec elle, chaque lentille devient une simple addition.

Légende

$S$	Source ponctuelle de lumière.
$S^{\prime }$	Image de $S$ : le point où la lumière converge.
$d_o$	Distance de $S$ à la lentille : rayon des fronts d'onde incidents.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distance de la lentille à $S^{\prime }$ : rayon des fronts d'onde émergents.	$\mathrm{m}$
$V$	Vergence de la lumière incidente, $-1/d_o$ : négative parce que les fronts s'étalent.	$\delta$
$V^{\prime }$	Vergence de la lumière émergente, $+1/d_i$ : positive parce que les fronts se resserrent.	$\delta$
$P$	Puissance de la lentille : la vergence qu'elle ajoute, $V^{\prime }=V+P$.	$\delta$

La figure 1 montre la lumière d'une source ponctuelle $S$ qui traverse une lentille et forme l'image $S^{\prime }$. La lumière s'étale depuis $S$ en fronts d'onde sphériques, les arcs violets ; les fronts qui atteignent la lentille sont donc des arcs de rayon $d_o$ centrés sur $S$. Les rayons, les droites orange, coupent les fronts à angle droit ; c'est pourquoi les deux rayons extrêmes vont en ligne droite de $S$ au bord de la lentille.

La vergence est la courbure des fronts, l'inverse de leur rayon, affectée d'un signe qui dit dans quel sens ils se courbent. La lumière qui diverge, comme celle qui arrive de $S$, a $V=-1/d_o$, négative. La lumière parallèle, venue d'une source très lointaine, a $V=0$. La lumière qui converge vers un point situé à une distance $d$ devant elle a $V=+1/d$, positive.

Une lentille mince ne fait qu'une chose : elle ajoute sa puissance $P$ à la vergence. À droite de la figure 1, les fronts qui quittent la lentille sont des arcs centrés sur $S^{\prime }$, de rayon $d_i$ ; leur vergence est donc $V^{\prime }=+1/d_i$, et l'image réelle se forme là où ils se resserrent en un point :
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
Avec $V=-1/d_o$, c'est la relation de conjugaison bien connue des lentilles minces, $1/d_o+1/d_i=P$, écrite comme une seule addition.

Prenons un œil normal au repos : une seule lentille de 60 δ, avec la rétine à 1/60 m derrière elle (une distance réduite, expliquée dans la section suivante). Une lampe à 25 cm envoie dans l'œil une lumière de vergence $V=-1/(0,25\mathrm{m})=-4\delta$. Pour converger sur la rétine, la lumière doit en ressortir avec $V^{\prime }=60\delta$ ; l'œil doit donc porter sa puissance à $P=V^{\prime }-V=64\delta$, et les 4 δ supplémentaires sont son accommodation.

Entre deux lentilles, la vergence change aussi, simplement parce que la lumière se propage. Une lumière de vergence $V_1$ se dirige vers un point situé à la distance $1/V_1$ devant elle (ou provient d'un point situé derrière, si $V_1$ est négative : une source virtuelle). Après un intervalle $t$, ce point est $t$ plus proche, à $1/V_1-t$ devant, et la nouvelle vergence est l'inverse de cette distance :
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

Cela compte pour les lunettes de vue, placées à peu près à $t=12\mathrm{mm}$ devant la cornée. Une lumière parallèle quitte un verre de puissance $P$ avec la vergence $P$ et arrive à l'œil avec $P/(1-tP)$ : les lunettes agissent donc comme une lentille de contact de cette puissance. Un verre de $-8\delta$ donne $-8/(1+0,012\cdot 8)=-8/1,096=-7,3\delta$ à l'œil. Pour les $-2\delta$ de l'animation, l'écart n'est que de 0,05 δ, inférieur aux pas de 0,25 δ d'une ordonnance, et c'est pourquoi les affichages négligent cet intervalle.

D'où vient la puissance de l'œil

D'où viennent les 60 δ de l'œil ? Une frontière courbe entre deux milieux transparents dévie la lumière à elle seule, sans aucune lentille, et la première frontière de l'œil, la face avant de la cornée, fait l'essentiel du travail. Cette section établit la puissance d'une seule surface courbe et l'applique à l'œil.

Légende

$n$	Indice de réfraction devant la surface (air).
$n^{\prime }$	Indice de réfraction derrière la surface (tissu de la cornée).
$R$	Rayon de courbure de la surface.	$\mathrm{m}$
$C$	Centre de courbure : le centre de la sphère dont la surface fait partie.
$F^{\prime }$	Point où les rayons parallèles à l'axe se rejoignent après la surface.
$f^{\prime }$	Distance de la surface à $F^{\prime }$ : $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, où $P=(n^{\prime }-n)/R$ est la puissance de la surface.	$\mathrm{m}$

La figure 2 montre la face avant de la cornée, dessinée à l'échelle. La surface est une portion de sphère de rayon $R$ et de centre $C$. À sa gauche se trouve l'air, d'indice $n$ ; à sa droite, le tissu de la cornée, d'indice $n^{\prime }$. Observez les rayons : ils arrivent parallèlement à l'axe, sont déviés à la surface et coupent tous l'axe en un même point, $F^{\prime }$.

Suivons un rayon à la hauteur $h$ au-dessus de l'axe. La normale à la surface en ce point est le rayon de la sphère tracé depuis $C$, et, pour de petits angles, elle est inclinée de $h/R$ par rapport à l'axe. Le rayon est parallèle à l'axe : $h/R$ est donc aussi son angle d'incidence $\theta$. La loi de Snell-Descartes pour de petits angles, $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$, donne l'angle après la surface, ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$ : plus proche de la normale, car $n^{\prime }>n$. Le rayon a donc tourné vers l'axe de la différence des deux angles :
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

Un rayon à la hauteur $h$ qui s'incline vers l'axe de ce petit angle l'atteint après une distance égale à $h$ divisée par l'angle :
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
La hauteur $h$ a disparu : tous les rayons proches de l'axe se rejoignent donc au même point $F^{\prime }$, et c'est ce qui permet à la surface de former une image. En écrivant la puissance de la surface $P=(n^{\prime }-n)/R$, on obtient $f^{\prime }=n^{\prime }/P$ : dans un milieu d'indice $n^{\prime }$, la distance focale est $n^{\prime }$ fois plus longue que dans l'air. Une lentille mince est faite de deux telles surfaces rapprochées, et sa puissance est la somme de leurs puissances.

La puissance est la plus grande là où l'indice saute le plus, et, dans l'œil, le plus grand saut est celui de l'air à la cornée. Avec $R\approx 7,8\mathrm{mm}$ et $n^{\prime }=1,376$, la face avant a pour puissance $P=0,376/0,0078\mathrm{m}\approx 48\delta$ et pour distance focale $f^{\prime }=1,376/48\delta \approx 28,5\mathrm{mm}$, la distance dessinée sur la figure 2. La face arrière de la cornée donne sur un liquide d'indice 1,336, un saut d'indice vers le bas, et elle retire donc environ 6 δ. La cornée fournit ainsi quelque 42 δ, plus des deux tiers des 60 δ de l'œil ; le cristallin apporte le reste et règle la mise au point.

Sous l'eau, avec $n=1,333$ devant la cornée, la face avant ne garde que $(1,376-1,333)/0,0078\mathrm{m}\approx 5,5\delta$. L'œil perd plus de 40 δ, bien plus que ce que n'importe quelle accommodation peut remplacer, et tout devient flou. Un masque de plongée aide parce qu'il remet une couche d'air devant la cornée.

La même formule explique une convention utilisée dans toute cette leçon. L'image se forme dans un liquide d'indice 1,336 ; la vraie distance entre la lentille et la rétine est donc $n^{\prime }/P=1,336/60\delta \approx 22\mathrm{mm}$. Le 1/60 m du modèle, soit environ 17 mm, est la distance réduite : la distance dans l'air qui donne la même vergence. Avec les distances réduites, toutes les formules peuvent s'écrire comme si l'œil était rempli d'air.

Le graphe du flou : pourquoi un V

Le graphe du niveau expert de l'animation trace le flou d'une scène lointaine, vue par un œil myope, en fonction de la puissance de ses verres. Sa forme en V découle d'une seule paire de triangles semblables, et le même résultat explique pourquoi plisser les yeux aide et pourquoi les ordonnances progressent par pas d'un quart de dioptrie.

Légende

$A$	Largeur de la pupille, l'ouverture qui limite le cône de lumière.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distance derrière la lentille où le cône se referme : $d_i=1/V^{\prime }$, où $V^{\prime }$ est la vergence à la sortie de la lentille (une distance réduite).	$\mathrm{m}$
$L$	Distance de la lentille à la rétine (une distance réduite, ici $1/58\mathrm{m}$).	$\mathrm{m}$
$b$	Largeur du disque de flou sur la rétine.	$\mathrm{m}$
$P$	Puissance des verres, sur l'axe horizontal du graphe.	$\delta$
$P_0$	Puissance qui ne donne aucun flou, $-1/d_{\mathrm{PR}}$, où $d_{\mathrm{PR}}$ est le punctum remotum : le cône se referme alors exactement sur la rétine.	$\delta$
$AL$	Pente de chaque branche : le flou ajouté par une dioptrie d'erreur.	${\mathrm{m}}^2$

La moitié gauche de la figure 3 montre d'où vient le flou. L'œil est l'œil réduit de la section précédente, une lentille de 60 δ, mais ce globe oculaire est un peu trop long : la rétine se trouve à $L=1/58\mathrm{m}$ au lieu de 1/60 m. L'œil est myope. Au repos, il ne voit net que jusqu'à son punctum remotum, $d_{\mathrm{PR}}=0,5\mathrm{m}$, car la lumière qui diverge de ce point, de vergence $-2\delta$, ressort de la lentille avec $60-2=58\delta$ et se referme exactement sur la rétine. Ainsi $1/d_{\mathrm{PR}}=2\delta$.

Laissons maintenant la lumière parallèle d'un point lointain traverser des verres de puissance $P$. Elle en ressort avec la vergence $P$ (en négligeant l'intervalle, comme plus haut), et l'œil ajoute 60 δ : derrière la lentille, $V^{\prime }=60\delta +P$. La lumière entre dans l'œil sous forme d'un cône aussi large que la pupille, $A$, et le cône se referme en un point à $d_i=1/V^{\prime }$, une distance réduite comme $L$.

Regardons l'écart entre $d_i$ et $L$. Sur la figure, $d_i$ est plus court que $L$ : le cône s'est déjà croisé et s'ouvre de nouveau quand il atteint la rétine, où il éclaire un disque de largeur $b$. Des triangles semblables, l'un de base $A$ et de hauteur $d_i$, l'autre de base $b$ et de hauteur $L-d_i$, donnent
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}\right|$
La deuxième égalité utilise $d_i=1/V^{\prime }$ ; la dernière utilise $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\delta )=L(P+2\delta )$. Si $d_i$ était plus long que $L$, le cône serait encore en train de se refermer sur la rétine et la même formule vaudrait : c'est le rôle de la valeur absolue.

La grandeur $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{PR}}$ est l'erreur de vergence : l'écart entre la lumière qui entre dans l'œil et la vergence dont l'œil au repos a besoin. La moitié droite de la figure 3 trace $b$ en fonction de $P$. Comme $b$ est proportionnel à la valeur absolue d'une grandeur qui croît régulièrement avec $P$, le graphe est un V. Sa pointe se trouve en $P_0=-1/d_{\mathrm{PR}}=-2\delta$, où $d_i=L$ : le cône se referme exactement sur la rétine et le flou disparaît. Chaque branche est une droite de pente $AL$ : chaque dioptrie d'erreur ajoute $AL$ au flou, comme le marque la montée tracée sur la branche gauche.

L'axe vertical de $b$ se dresse en $P=0$, sans verres : l'œil non corrigé, celui dont le cône est dessiné à gauche, est donc le point où cet axe rencontre la branche de droite. Dans l'animation, le point monte d'abord tout droit en $P=0$ pendant que le globe s'allonge, puis glisse le long de la branche de droite tandis que la puissance des verres varie progressivement.

Sans verres, une pupille de 4 mm donne $b=0,004\cdot 0,01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0,14\mathrm{mm}$. Vu de la lentille, ce disque sous-tend l'angle $b/L=A|\Delta V|=0,004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$, soit environ 27′. Un œil à la vue nette résout 1′ : chaque point d'une scène lointaine est donc étalé sur quelque 27 fois le plus fin détail que l'œil pourrait voir autrement.

La branche de gauche correspond à la surcorrection. Avec des verres de $-3\delta$, la lumière converge derrière la rétine ; un jeune œil peut encore la ramener au point, mais seulement en accommodant de 1 δ toute la journée. La pente $AL$ est proportionnelle à la pupille : une pupille de 2 mm donne donc la moitié du flou d'une pupille de 4 mm, et c'est pourquoi plisser les yeux aide.

Près de la pointe, un peu de flou passe inaperçu, et la plage d'erreur de vergence que l'œil tolère est sa profondeur de champ. Si un flou de 3′, soit 0,87 mrad, passe inaperçu, une pupille de 3 mm tolère une erreur de $0,87\times 10^{-3}/0,003\approx 0,3\delta$, ce qui explique les pas de 0,25 δ des ordonnances.

Établir le grossissement angulaire

Une lunette ne peut pas faire paraître une étoile plus grosse ; ce qu'elle agrandit, c'est l'angle entre deux directions du ciel. Cette section montre que l'angle est multiplié par le rapport des deux distances focales, puis transpose l'idée au microscope.

Légende

$f_o$	Distance focale de l'objectif.	$\mathrm{m}$
$f_e$	Distance focale de l'oculaire, dont le plan focal est celui de l'objectif.	$\mathrm{m}$
$y$	Hauteur de l'image de l'étoile sous l'axe, dans le plan focal commun : $y=f_o\tan \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle entre la lumière incidente et l'axe : la direction de l'étoile.	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	Angle entre la lumière émergente et l'axe : la direction sous laquelle l'œil voit l'étoile.	$\mathrm{rad}$

La figure 4 suit deux rayons centraux, des rayons passant par le centre d'une lentille, qui la traversent sans déviation ; les angles sont exagérés. À gauche, la lumière d'une étoile, sous l'angle $\theta$ avec l'axe, atteint l'objectif, de distance focale $f_o$. L'objectif forme l'image de l'étoile dans son plan focal, et son rayon central montre où : à la hauteur $y=f_o\tan \theta$ sous l'axe, la barre violette.

L'oculaire, de distance focale $f_e$, est placé de sorte que son plan focal soit ce même plan. La lumière issue de n'importe quel point de ce plan ressort donc de l'oculaire en faisceau parallèle, et ce faisceau suit la direction du rayon central issu de ce point à travers le centre de l'oculaire. La lumière de l'étoile ressort ainsi sous l'angle ${\theta }^{\prime }$, avec $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$.

La barre $y$ est un côté des deux triangles rectangles de la figure, l'un de côté $f_o$, l'autre de côté $f_e$. En divisant les deux équations, on l'élimine :
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
Pour de petits angles, les tangentes sont égales aux angles, et le grossissement angulaire est $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$. Dans l'encart de l'animation, $f_o=3f_e$ : quand $\theta$ culmine à $3,5^{\circ }$, ${\theta }^{\prime }$ culmine à $10,4^{\circ }$ et non à $10,5^{\circ }$, parce que ce sont les tangentes qui sont multipliées par 3. Remarquez aussi que le rayon sortant s'incline en sens inverse du rayon entrant : la lunette montre le ciel à l'envers.

L'oculaire rétrécit aussi chaque faisceau dans le rapport $f_e/f_o$. La lumière qui remplissait un objectif de largeur $D$ ressort donc en un faisceau $M$ fois plus étroit, de largeur $D/M$ : la pupille de sortie, la tache de lumière derrière l'oculaire où l'on place l'œil.

Un microscope applique la même idée à un objet proche. L'objet se trouve juste au-delà du foyer de l'objectif, à une distance $x_o$ de celui-ci, et l'objectif en forme une image réelle agrandie, à une distance $x_i=f_o^2/x_o$ au-delà de son foyer image ; c'est la relation de conjugaison mesurée à partir des foyers, sa forme de Newton. L'image est $x_i/f_o$ fois plus haute que l'objet. Avec l'image à la distance habituelle $x_i=\ell$, la longueur optique du tube, cela fait $\ell /f_o$. L'oculaire fonctionne alors comme une loupe : une image de hauteur $y$ dans son plan focal est vue sous l'angle $y/f_e$ au lieu de $y/(0,25\mathrm{m})$, l'angle sous lequel elle serait vue à la distance de lecture habituelle. Au total,
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0,25\mathrm{m}}{f_e}$

Grossir n'est pas résoudre

Pourquoi un grossissement plus fort ne peut-il pas révéler des détails toujours plus fins ? Parce que toute ouverture étale la lumière d'un point en une petite tache, sur un angle fixé par la longueur d'onde et la largeur de l'ouverture. La seule durée des ondes montre d'où vient cet angle.

Imaginez une lentille parfaite comme un dispositif de synchronisation : elle amène la lumière d'une source ponctuelle jusqu'à son point image par des trajets qui durent tous le même temps, si bien que les ondes arrivent en phase et s'additionnent. Prenons maintenant une seconde source ponctuelle, sous un petit angle $\theta$ de la première, et suivons sa lumière jusqu'au même point image. Ses deux rayons extrêmes, passant par les bords opposés d'une ouverture de largeur $D$, diffèrent de $D\sin \theta \approx D\theta$ par la longueur du trajet, et donc de $D\theta /c$ par la durée du parcours.

Comparons ce retard à une période de l'onde, $\lambda /c$. S'il est beaucoup plus court, les ondes de la seconde source arrivent elles aussi presque en phase : son image tombe au même endroit et l'on ne peut pas distinguer les deux sources. Quand le retard atteint environ une période, chaque bande de l'ouverture peut être associée à une autre, située une demi-ouverture plus loin, dont les ondes arrivent une demi-période plus tard, et ces paires s'annulent. La seconde source n'envoie alors aucune lumière au premier point image, et les deux images se séparent. Donc ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$. Une ouverture circulaire a moins de surface près de ses bords qu'une ouverture carrée : elle se comporte comme une ouverture un peu plus étroite, et le facteur monte à 1,22 :
$\text{Reˊsolution}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1,22\lambda }{D}$

Pour une pupille de 3 mm et une lumière verte de 550 nm, cela donne $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/0,003\approx 2,2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, soit 0,8′. La rétine y est adaptée : les cônes du centre de la fovéa sont espacés d'environ 2,5 μm, soit 0,5′ vus du cristallin, si bien qu'un motif qui se répète tous les 1′ est échantillonné deux fois par période, juste assez pour l'enregistrer.

Les yeux composés des insectes rencontrent le même compromis sous une autre forme. Chaque facette, de largeur $D$, floute d'environ $\lambda /D$, alors que, sur un œil de rayon $r$, deux facettes voisines pointent dans des directions écartées de $D/r$. Les petites facettes diffractent davantage ; les grandes échantillonnent plus grossièrement. Les deux angles sont égaux pour $D=\sqrt{\lambda r}$, la meilleure largeur de facette : quelque 23 μm pour $r=1\mathrm{mm}$.

Le grossissement d'une lunette doit seulement porter son ${\theta }_{\min }$ à un angle que l'œil peut voir, et la pupille de sortie montre pourquoi aller plus loin n'aide pas. Au grossissement $M$, le faisceau qui entre dans l'œil a la largeur $D/M$ ; la diffraction propre de l'œil le floute donc de $1,22\lambda /(D/M)=M\cdot 1,22\lambda /D$ : exactement la limite de la lunette, multipliée par $M$. L'image et le flou grandissent ensemble. Au-delà d'un grossissement d'environ deux fois l'ouverture en millimètres, la pupille de sortie tombe sous 0,5 mm et ce flou dépasse environ 4,6′, nettement visible : l'image grandit, mais aucun détail ne s'ajoute.

Problème résolu : une lunette pour un œil myope

Ce problème réunit la règle des vergences, le graphe du flou et la lunette : que se passe-t-il quand une observatrice myope utilise une lunette sans ses verres ?

Construisons la lunette de l'encart avec $f_o=300\mathrm{mm}$ et $f_e=100\mathrm{mm}$, donc $M=3$ et un tube, de longueur $f_o+f_e$, de 400 mm. Confions-la à l'observatrice à $-2\delta$ de l'animation, sans ses verres, l'œil tout contre l'oculaire. Son œil au repos n'est net que pour une lumière de vergence $-2\delta$, qui diverge de son punctum remotum. L'oculaire de $+10\delta$ doit donc donner cette vergence à la lumière issue de l'image de l'objectif, située à une distance $s$ devant lui :
$-\frac{1}{s}+10\delta =-2\delta ,s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83,3\mathrm{mm}$

Elle fait glisser l'oculaire de 16,7 mm vers l'intérieur, ce qui raccourcit le tube de 400 à 383,3 mm. L'image de l'objectif garde la hauteur $y=f_o\theta$, mais elle se trouve maintenant à la distance $s$ de l'oculaire, et le rayon central issu de son sommet à travers le centre de l'oculaire, qui entre tout droit dans son œil, fait l'angle ${\theta }^{\prime }=y/s$ :
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}\right)=0,3\cdot 12=3,6$

Elle obtient un grossissement de 3,6 au lieu de 3. En fait, les 2 δ en excès de son œil s'ajoutent aux 10 δ de l'oculaire, ce qui donne un oculaire de 12 δ, de distance focale 83,3 mm. Un observateur hypermétrope, dont l'œil au repos demande $+2\delta$, se trouve dans le cas inverse : un oculaire effectif de 8 δ, tiré jusqu'à $s=125\mathrm{mm}$, et seulement $M=0,3\cdot 8=2,4$.

Si l'observatrice myope ne refait pas la mise au point, elle retrouve le graphe du flou. Son erreur de 2 δ et sa pupille de 4 mm donnent 27′ de flou à l'œil, comme dans la section sur le graphe du flou, soit environ 9′ dans le ciel après division par $M=3$. Cela suppose que la pupille de sortie remplisse sa pupille de 4 mm, ce qui demande un objectif d'au moins 12 mm de large.

Limites de validité

Tout ce qui précède relève de l'optique paraxiale des lentilles minces : rayons proches de l'axe, lentilles sans épaisseur, lumière d'une seule longueur d'onde. Les yeux et les instruments réels s'en écartent de trois façons qu'il vaut la peine de connaître.

D'abord, les aberrations. L'œil réel est un système épais, avec les défauts de toute lentille. L'aberration sphérique, les rayons éloignés de l'axe convergeant plus près que ceux qui en sont proches, croît vite avec la pupille et ajoute du flou la nuit, quand la pupille est large. L'aberration chromatique rend l'œil environ 2 δ plus puissant pour la lumière violette que pour la rouge. Une cornée plus courbée dans une direction que dans l'autre cause l'astigmatisme, qui demande une lentille cylindrique plutôt qu'un simple nombre $P$.

Ensuite, la diffraction. Elle met un plancher au V de la figure 3 : le flou se stabilise vers $1,22\lambda /A$, soit 0,8′ pour une pupille de 3 mm, et en dessous d'une pupille d'environ 2 à 3 mm, une pupille plus petite aggrave les choses au lieu de les améliorer.

Enfin, l'air. Pour les télescopes au sol, la turbulence étale les étoiles sur environ 1″, soit $4,85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$ : la limite de diffraction d'une ouverture large de seulement $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/(4,85\times 10^{-6})\approx 0,14\mathrm{m}$. Les grands télescopes recueillent tout de même davantage de lumière, mais des détails plus fins demandent l'optique adaptative, qui remodèle le front d'onde à son arrivée, ou un télescope dans l'espace, où le télescope Hubble de 2,4 m atteint 0,06″.

Ce qui vient ensuite

Le facteur 1,22 et les anneaux sombres autour des images d'étoiles sont établis dans Diffraction et fentes de Young, et l'argument de la mise en phase est celui d'Interférences et superposition. L'aberration chromatique et le doublet achromatique qui l'annule relèvent de Prismes, dispersion et couleurs ; la puissance de surface $(n^{\prime }-n)/R$ repose sur Réflexion et réfraction, et la vergence sur Lentilles et miroirs. La règle ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$ vaut pour toute onde : un radiotélescope de 100 m à 21 cm ne résout que 9′ environ, moins bien que l'œil nu, tandis que les microscopes électroniques, dont les électrons ont des longueurs d'onde de quelques picomètres (Dualité onde-corpuscule), forment des images d'atomes isolés. La lumière elle-même comme onde est le sujet d'Ondes électromagnétiques.