El ojo, la cámara y el telescopio

Principiante

Paso 1, el ojo es una cámara. La luz entra por la córnea transparente, pasa por la pupila, la abertura que el iris de color agranda o achica como el diafragma de una cámara, y atraviesa el cristalino. Córnea y cristalino desvían juntos los rayos para que la luz de cada punto de una escena vuelva a reunirse en un punto de la retina, la pantalla sensible del fondo del ojo. Allí la imagen está del revés; el cerebro lo arregla.

Paso 2, enfocar. Una cámara enfoca moviendo su objetivo. El ojo no puede, así que cambia la forma del cristalino: para un objeto cercano, unos músculos diminutos dejan que se redondee y desvíe más. Es la acomodación. En la animación, mira cómo se abomba el cristalino cuando se acerca la lámpara. Con la edad se endurece, y por eso casi todo el mundo necesita gafas de lectura pasados los 45.

Paso 3, miopía e hipermetropía. En un ojo miope el globo ocular es algo largo: la luz que viene de lejos se junta delante de la retina y llega a ella como una mancha, mientras que lo cercano se ve nítido. Una lente divergente, más delgada en el centro, abre un poco la luz antes y devuelve el punto de encuentro a la retina: mira cómo el disco borroso se encoge hasta un punto nítido. Un ojo hipermétrope es demasiado corto, y lo ayuda una lente convergente.

Paso 4, los instrumentos. Un microscopio usa dos lentes: la primera da una imagen ampliada de un objeto diminuto y la segunda vuelve a ampliar esa imagen, así que los aumentos se multiplican. La gran lente delantera de un telescopio recoge la luz de un objeto débil y lejano, y el ocular amplía la imagen que forma.

Ponte a prueba: una amiga miope te presta sus gafas. ¿Sus lentes son más gruesas en los bordes o en el centro? (En los bordes: son divergentes.)

Intermedio

La potencia en dioptrías y los números del ojo

Los instrumentos se manejan mejor con la potencia de una lente que con su distancia focal. La potencia es $P=1/f$; con $f$ en metros sale en dioptrías (D), así que $f=0,5\mathrm{m}$ da $P=2\mathrm{D}$. Las lentes convergentes tienen potencia positiva y las divergentes, negativa, y las lentes delgadas en contacto simplemente suman sus potencias: $+3\mathrm{D}$ y $-1\mathrm{D}$ juntas actúan como $+2\mathrm{D}$.

Aquí la córnea y el cristalino se tratan como una sola lente delgada convergente, el ojo reducido. La distancia al objeto $d_o$ y la distancia a la imagen $d_i$ se miden desde ella. Una cámara cambia $d_i$ moviendo su objetivo. El ojo no puede, porque $d_i$ es la distancia entre el cristalino y la retina, $1/60\mathrm{m}\approx 1,67\mathrm{cm}$ en este modelo, de modo que $1/d_i=60\mathrm{D}$.

Enfocar cambiando la potencia

Escrita con potencias, la ecuación de las lentes delgadas del ojo es
$P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(ojo}:d_i\approx 1,67\mathrm{cm},P\approx 60\mathrm{D}\text{)}$

Las 60 D fijas hacen converger la luz paralela sobre la retina; la luz de un punto a distancia $d_o$ se abre más y necesita $1/d_o$ adicionales. Para un objeto lejano $1/d_o\to 0$, así que el ojo relajado necesita 60 D. Para un libro a 25 cm necesita $1/0,25+60=64\mathrm{D}$. Esta potencia extra es la acomodación: el músculo ciliar, en forma de anillo, se contrae, las fibras que sujetan el cristalino se aflojan y el cristalino, elástico, se abomba.

Lo máximo que un ojo puede añadir, su amplitud de acomodación, baja con la edad a medida que el cristalino se endurece: más de 10 D en la infancia, unas 4 D hacia los 45 años, 1 D a los 60. El punto remoto es la distancia más lejana a la que se ve con nitidez con el cristalino relajado, y el punto próximo, la más cercana con la acomodación máxima. Un ojo joven normal los tiene en el infinito y a 25 cm o menos; los instrumentos suponen 25 cm.

Cómo corrigen la visión las gafas

Las gafas no reparan el ojo; mueven el objeto, ópticamente, formando una imagen virtual de él allí donde el ojo puede enfocar. Si se desprecia la separación entre las gafas y el ojo, resultan dos fórmulas de trabajo:

• $\text{Miopıˊa}:P=-\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}$
• $\text{Gafas de lectura}:P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{PP}}}$

En la miopía el punto remoto está a una distancia finita $d_{\mathrm{PR}}$. Una lente divergente con $f=-d_{\mathrm{PR}}$ hace que la luz paralela se abra como si viniera del punto remoto. En la hipermetropía el globo ocular es demasiado corto, y en la presbicia, el endurecimiento del cristalino con la edad, se agota la acomodación; en ambos casos el punto próximo se aleja. Una lente convergente forma entonces la imagen virtual de una página situada a 25 cm en el punto próximo: las 4 D que exigen los 25 cm, menos el término $1/d_{\mathrm{PP}}$ que el ojo todavía puede aportar.

Ejemplo resuelto: el ojo de la animación

La animación empieza con un ojo normal, con la retina a $d_i=1/60\mathrm{m}$ detrás del cristalino: los marcadores muestran $d_o\to \infty$, una retina a 1,667 cm y una potencia del ojo de 60,0 D. Después la lámpara se acerca a 25 cm:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}+60\mathrm{D}=4+60=64\mathrm{D}$

El cristalino azul se abomba mientras el marcador de potencia sube hasta 64,0 D, y los rayos dorados siguen reuniéndose en la retina.

A continuación el globo ocular se alarga, y el marcador morado pasa de 1,667 a 1,724 cm, que es $1/58\mathrm{m}$. El ojo relajado sigue teniendo 60 D, de modo que la luz paralela se reúne en $F^{\prime }$, 0,57 mm delante de la nueva retina, y llega a ella como un disco borroso. La luz de un objeto a distancia $d_o$ solo es nítida ahora si $1/d_o+58=60$:
$\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}=60-58=2\mathrm{D},d_{\mathrm{PR}}=0,5\mathrm{m}$

Es el punto remoto de 50 cm de la etiqueta morada. El marcador de las gafas baja entonces hasta $-1/(0,5\mathrm{m})=-2\mathrm{D}$. Gafas y ojo juntos tienen $60-2=58\mathrm{D}$, justo lo que necesita la luz paralela para reunirse a 1,724 cm detrás de la lente, y el disco borroso del panel «lo que ves» se encoge hasta un punto nítido.

Ejemplo resuelto: gafas de lectura a los cincuenta

Una mujer de 50 años todavía puede añadir 1,5 D de acomodación, así que su punto próximo está a $1/1,5\approx 0,67\mathrm{m}$. ¿Qué gafas le permiten leer a 25 cm, y qué ve a través de ellas?

Las gafas deben colocar la imagen de la página en su punto próximo:
$P=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}-1,5\mathrm{D}=4-1,5=+2,5\mathrm{D}$

Con el ojo relajado, las gafas suman 2,5 D a sus 60 D, así que ve con nitidez a $1/2,5=0,40\mathrm{m}$; con la acomodación máxima suma $2,5+1,5=4\mathrm{D}$ y ve nítido a 25 cm. A través de estas gafas solo ve con claridad entre 25 y 40 cm, y la pared del fondo es una mancha borrosa. Por eso las gafas de lectura se quitan para mirar a lo lejos, y por eso las lentes progresivas cambian de potencia de arriba abajo.

Instrumentos que agrandan el ángulo

Lo grande que se ve algo depende del ángulo que ocupa en tu ojo: una moneda con el brazo extendido puede tapar la Luna. Sin ayuda, lo mejor que puedes hacer con un objeto pequeño es acercarlo al punto próximo, a 25 cm. Los instrumentos agrandan ese ángulo, y el aumento angular $M={\theta }^{\prime }/\theta$ compara el ángulo con el instrumento, ${\theta }^{\prime }$, con el ángulo sin él, $\theta$:

• $\text{Lupa}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscopio}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Telescopio}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

Una lupa permite colocar el objeto en su foco en vez de a 25 cm, de modo que $f=5\mathrm{cm}$ da $M=5$. El objetivo de un microscopio forma una imagen real $L/f_o$ veces mayor, siendo $L\approx 16\mathrm{cm}$ la longitud del tubo, y el ocular amplía esa imagen: $f_o=4\mathrm{mm}$ y $f_e=25\mathrm{mm}$ dan $40\cdot 10=400$. El objetivo de un telescopio forma en su plano focal una pequeña imagen real de un objeto lejano, y el ocular la observa desde muy cerca: $f_o=1,2\mathrm{m}$ y $f_e=20\mathrm{mm}$ dan 60.

El recuadro de la animación es un telescopio con $f_o=3f_e$: cuando la estrella se aleja hasta $\theta =3,5^{\circ }$, el marcador de ${\theta }^{\prime }$ llega a $10,4^{\circ }$, unas tres veces más.

Errores frecuentes

• Los ojos miopes no son demasiado débiles, sino demasiado potentes para su longitud: el ojo alargado de la animación tiene las 60 D normales pero solo necesita 58 D, así que la lente correctora tiene potencia negativa, $-2\mathrm{D}$.
• Hay que tomar el inverso de la distancia en metros: un punto remoto a 25 cm exige $-1/0,25=-4\mathrm{D}$, y no $-0,25\mathrm{D}$ ni $-0,04\mathrm{D}$.
• Las gafas de lectura restan el término del punto próximo. Para un punto próximo a 1,0 m, $P=4-1=+3\mathrm{D}$; si se suman los términos sale +5 D, que mantendría nítida la página solo entre 17 y 20 cm.
• El aumento multiplica ángulos, no tamaños de imagen. El telescopio de 60 aumentos de arriba forma una imagen de la Luna de solo 11 mm; lo que crece es el ángulo, de 0,52° a unos 30°.
• Más aumento no muestra más detalle: este lo limita el ancho $D$ del objetivo, mediante ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$, y pasado cierto punto un telescopio solo agranda el desenfoque.

Dónde aparece

Las gafas y las lentillas se recetan en pasos de 0,25 D; cerca de un tercio de la población mundial es miope, y casi todo el mundo necesita gafas de lectura hacia los 50 años. Las cámaras de los móviles enfocan moviendo una lente diminuta. Los prismáticos marcados 8×42 aumentan 8 veces con objetivos de 42 mm y emiten un haz de $42/8=5,25\mathrm{mm}$ de ancho, que se ajusta a una pupila dilatada al anochecer. Por qué se acaba el detalle es el tema de Difracción y experimento de la doble rendija, y los bordes de color de las lentes baratas vienen de la dispersión, en Prismas, dispersión y color.

Avanzado

Vergencia: el lenguaje de las lentes

Todos los instrumentos de esta lección, desde las gafas hasta el propio ojo y el telescopio, son una fila de lentes. La forma más rápida de seguir la luz a través de una fila así es llevar la cuenta de un solo número, la vergencia: cuánto están curvados los frentes de onda, medida en dioptrías (D, una dioptría es uno por metro). Con ella, cada lente se convierte en una simple suma.

Leyenda

$S$	Fuente puntual de luz.
$S^{\prime }$	Imagen de $S$: el punto donde converge la luz.
$d_o$	Distancia de $S$ a la lente: el radio de los frentes de onda que llegan.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distancia de la lente a $S^{\prime }$: el radio de los frentes de onda que salen.	$\mathrm{m}$
$V$	Vergencia de la luz que llega, $-1/d_o$: negativa porque los frentes se abren.	$\mathrm{D}$
$V^{\prime }$	Vergencia de la luz que sale, $+1/d_i$: positiva porque los frentes se cierran.	$\mathrm{D}$
$P$	Potencia de la lente: la vergencia que añade, $V^{\prime }=V+P$.	$\mathrm{D}$

La figura 1 muestra la luz de una fuente puntual $S$ que atraviesa una lente hasta formar la imagen $S^{\prime }$. La luz se abre desde $S$ en frentes de onda esféricos, los arcos morados, así que los frentes que llegan a la lente son arcos de radio $d_o$ con centro en $S$. Los rayos, las líneas naranjas, cortan los frentes en ángulo recto; por eso los dos rayos de los bordes van en línea recta desde $S$ hasta el borde de la lente.

La vergencia es la curvatura de los frentes, la inversa de su radio, con un signo que indica hacia dónde se curvan. La luz que se abre, como la que llega de $S$, tiene $V=-1/d_o$, negativa. La luz paralela, de una fuente muy lejana, tiene $V=0$. La luz que converge hacia un punto situado a una distancia $d$ por delante tiene $V=+1/d$, positiva.

Una lente delgada hace exactamente una cosa: suma su potencia $P$ a la vergencia. A la derecha de la figura 1, los frentes que salen de la lente son arcos con centro en $S^{\prime }$, de radio $d_i$, así que su vergencia es $V^{\prime }=+1/d_i$, y la imagen real se forma donde se reducen a un punto:
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
Con $V=-1/d_o$ esta es la conocida ecuación de las lentes delgadas, $1/d_o+1/d_i=P$, escrita como una sola suma.

Tomemos un ojo normal relajado: una sola lente de 60 D con la retina a 1/60 m detrás de ella (una distancia reducida, que se explica en la sección siguiente). Una lámpara a 25 cm envía al ojo luz de vergencia $V=-1/(0,25\mathrm{m})=-4\mathrm{D}$. Para converger en la retina, la luz debe salir con $V^{\prime }=60\mathrm{D}$, así que el ojo tiene que subir su potencia hasta $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{D}$; las 4 D de más son su acomodación.

Entre dos lentes la vergencia también cambia, simplemente porque la luz viaja. La luz de vergencia $V_1$ se dirige hacia un punto situado a una distancia $1/V_1$ por delante (o viene de uno situado detrás, si $V_1$ es negativa: una fuente virtual). Tras un hueco $t$ ese punto está $t$ más cerca, a $1/V_1-t$ por delante, y la nueva vergencia es la inversa de esa distancia:
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

Esto importa para las gafas, que están a unos $t=12\mathrm{mm}$ delante de la córnea. La luz paralela sale de una lente de gafas de potencia $P$ con vergencia $P$ y llega al ojo con $P/(1-tP)$, así que las gafas actúan como una lentilla de esa potencia. Unas gafas de $-8\mathrm{D}$ dan $-8/(1+0,012\cdot 8)=-8/1,096=-7,3\mathrm{D}$ en el ojo. Para los $-2\mathrm{D}$ de la animación la diferencia es de solo 0,05 D, menos que los pasos de 0,25 D de una graduación, y por eso los marcadores ignoran el hueco.

De dónde sale la potencia del ojo

¿De dónde salen las 60 D del ojo? Una frontera curva entre dos medios transparentes desvía la luz por sí sola, sin ninguna lente, y la primera frontera del ojo, la cara anterior de la córnea, hace la mayor parte del trabajo. Esta sección halla la potencia de una única superficie curva y la aplica al ojo.

Leyenda

$n$	Índice de refracción delante de la superficie (aire).
$n^{\prime }$	Índice de refracción detrás de la superficie (tejido de la córnea).
$R$	Radio de curvatura de la superficie.	$\mathrm{m}$
$C$	Centro de curvatura: el centro de la esfera a la que pertenece la superficie.
$F^{\prime }$	Punto donde se encuentran, tras la superficie, los rayos paralelos al eje.
$f^{\prime }$	Distancia de la superficie a $F^{\prime }$: $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, con $P=(n^{\prime }-n)/R$ la potencia de la superficie.	$\mathrm{m}$

La figura 2 muestra la cara anterior de la córnea, dibujada a escala. La superficie es parte de una esfera de radio $R$ y centro $C$. A su izquierda está el aire, de índice de refracción $n$; a su derecha, el tejido de la córnea, de índice $n^{\prime }$. Fíjate en los rayos: llegan paralelos al eje, se desvían en la superficie y todos cortan el eje en un mismo punto, $F^{\prime }$.

Sigamos un rayo a una altura $h$ sobre el eje. La normal a la superficie en ese punto es el radio trazado desde $C$ y, para ángulos pequeños, está inclinada $h/R$ respecto al eje. El rayo va paralelo al eje, así que $h/R$ es también su ángulo de incidencia $\theta$. La ley de Snell para ángulos pequeños, $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$, da el ángulo tras la superficie, ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$: más cerca de la normal, porque $n^{\prime }>n$. El rayo ha girado, por tanto, hacia el eje la diferencia de los dos ángulos:
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

Un rayo a la altura $h$ que se inclina hacia el eje con este ángulo pequeño lo alcanza tras una distancia igual a $h$ dividida entre el ángulo:
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
La altura $h$ se ha cancelado, así que todos los rayos próximos al eje se encuentran en el mismo punto $F^{\prime }$: eso es lo que permite a la superficie formar una imagen. Al escribir la potencia de la superficie como $P=(n^{\prime }-n)/R$, resulta $f^{\prime }=n^{\prime }/P$, lo que significa que en un medio de índice $n^{\prime }$ la distancia focal es $n^{\prime }$ veces mayor que en el aire. Una lente delgada son dos superficies así, muy juntas, y su potencia es la suma de las potencias de ambas.

La potencia es mayor donde el índice da el mayor salto, y en el ojo el salto más grande es el del aire a la córnea. Con $R\approx 7,8\mathrm{mm}$ y $n^{\prime }=1,376$, la cara anterior tiene $P=0,376/0,0078\mathrm{m}\approx 48\mathrm{D}$ y $f^{\prime }=1,376/48\mathrm{D}\approx 28,5\mathrm{mm}$, la distancia dibujada en la figura 2. La cara posterior de la córnea da a un líquido de índice 1,336, un escalón hacia abajo en el índice, de modo que resta unas 6 D. La córnea aporta así unas 42 D, más de dos tercios de las 60 D del ojo; el cristalino añade el resto y es el que hace el ajuste.

Bajo el agua, con $n=1,333$ delante, la cara anterior se queda solo con $(1,376-1,333)/0,0078\mathrm{m}\approx 5,5\mathrm{D}$. El ojo pierde más de 40 D, mucho más de lo que puede reponer cualquier acomodación, y todo se ve borroso. Las gafas de buceo ayudan porque devuelven una capa de aire delante de la córnea.

La misma fórmula explica un convenio que se usa en toda esta lección. La imagen se forma en un líquido de índice 1,336, así que la distancia real de la lente a la retina es $n^{\prime }/P=1,336/60\mathrm{D}\approx 22\mathrm{mm}$. El 1/60 m del modelo, unos 17 mm, es la distancia reducida: la distancia en aire que da la misma vergencia. Con distancias reducidas, todas las fórmulas pueden escribirse como si el ojo estuviera lleno de aire.

La gráfica del desenfoque: por qué una V

La gráfica del nivel experto de la animación representa cuán borrosa ve una escena lejana un ojo miope en función de la potencia de sus gafas. Su forma de V sale de un único par de triángulos semejantes, y el mismo resultado explica por qué ayuda entrecerrar los ojos y por qué las graduaciones van de cuarto en cuarto de dioptría.

Leyenda

$A$	Ancho de la pupila, la abertura que limita el cono de luz.	$\mathrm{m}$
$d_i$	Distancia detrás de la lente donde se cierra el cono: $d_i=1/V^{\prime }$, con $V^{\prime }$ la vergencia a la salida de la lente (una distancia reducida).	$\mathrm{m}$
$L$	Distancia de la lente a la retina (una distancia reducida, aquí $1/58\mathrm{m}$).	$\mathrm{m}$
$b$	Ancho del disco de desenfoque en la retina.	$\mathrm{m}$
$P$	Potencia de las gafas, en el eje horizontal de la gráfica.	$\mathrm{D}$
$P_0$	Potencia que no da desenfoque, $-1/d_{\mathrm{PR}}$, con $d_{\mathrm{PR}}$ el punto remoto: el cono se cierra entonces justo en la retina.	$\mathrm{D}$
$AL$	Pendiente de cada rama: el desenfoque que añade una dioptría de error.	${\mathrm{m}}^2$

La mitad izquierda de la figura 3 muestra de dónde viene el desenfoque. El ojo es el ojo reducido de la sección anterior, una lente de 60 D, pero este globo ocular es algo más largo de lo normal: la retina está a $L=1/58\mathrm{m}$ en lugar de a 1/60 m. El ojo es miope. Relajado, solo ve nítido hasta su punto remoto, $d_{\mathrm{PR}}=0,5\mathrm{m}$, porque la luz que se abre desde allí, de vergencia $-2\mathrm{D}$, sale de la lente con $60-2=58\mathrm{D}$ y se cierra justo en la retina. Así, $1/d_{\mathrm{PR}}=2\mathrm{D}$.

Dejemos ahora que la luz paralela de un punto lejano atraviese unas gafas de potencia $P$. Sale de ellas con vergencia $P$ (despreciando el hueco, como antes) y el ojo suma 60 D, así que detrás de la lente $V^{\prime }=60\mathrm{D}+P$. La luz entra en el ojo como un cono tan ancho como la pupila, $A$, y el cono se cierra en un punto a $d_i=1/V^{\prime }$, una distancia reducida igual que $L$.

Fijémonos en la diferencia entre $d_i$ y $L$. En la figura, $d_i$ es menor que $L$: el cono ya se ha cruzado y vuelve a abrirse cuando llega a la retina, donde ilumina un disco de ancho $b$. Los triángulos semejantes, uno de base $A$ y altura $d_i$ y otro de base $b$ y altura $L-d_i$, dan
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}\right|$
El paso intermedio usa $d_i=1/V^{\prime }$; el último usa $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{D})=L(P+2\mathrm{D})$. Si $d_i$ fuera mayor que $L$, el cono aún se estaría cerrando en la retina y valdría la misma fórmula: para eso sirve el valor absoluto.

La magnitud $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{PR}}$ es el error de vergencia: cuánto se aleja la luz que entra en el ojo de la vergencia que necesita el ojo relajado. La mitad derecha de la figura 3 representa $b$ frente a $P$. Como $b$ es proporcional al valor absoluto de una magnitud que crece de forma continua con $P$, la gráfica es una V. Su vértice está en $P_0=-1/d_{\mathrm{PR}}=-2\mathrm{D}$, donde $d_i=L$: el cono se cierra justo en la retina y el desenfoque desaparece. Cada rama es una recta de pendiente $AL$: cada dioptría de error añade $AL$ al desenfoque, el ascenso marcado en la rama izquierda.

El eje vertical de $b$ está en $P=0$, sin gafas, así que el ojo sin corregir, el del cono dibujado a la izquierda, es el punto donde ese eje corta la rama derecha. En la animación, el punto primero sube en vertical en $P=0$ mientras el globo ocular se alarga, y luego baja deslizándose por la rama derecha mientras la potencia de las gafas va cambiando gradualmente.

Sin gafas, una pupila de 4 mm da $b=0,004\cdot 0,01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0,14\mathrm{mm}$. Visto desde la lente, este disco abarca el ángulo $b/L=A|\Delta V|=0,004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$, unos 27′. Un ojo agudo resuelve 1′, así que cada punto de una escena lejana se difumina sobre unas 27 veces el detalle más fino que el ojo podría ver de otro modo.

La rama izquierda es la sobrecorrección. Con gafas de $-3\mathrm{D}$ la luz converge detrás de la retina; un ojo joven aún puede enfocarla, pero solo acomodando 1 D todo el día. La pendiente $AL$ es proporcional a la pupila, así que una pupila de 2 mm da la mitad de desenfoque que una de 4 mm: por eso entrecerrar los ojos ayuda.

Cerca del vértice, un poco de desenfoque pasa inadvertido, y el margen de error de vergencia que el ojo tolera es su profundidad de foco. Si un desenfoque de 3′, 0,87 mrad, pasa inadvertido, una pupila de 3 mm tolera un error de $0,87\times 10^{-3}/0,003\approx 0,3\mathrm{D}$, y por eso las graduaciones van de 0,25 D en 0,25 D.

El aumento angular, deducido

Un telescopio no puede hacer que una estrella parezca más grande; lo que amplía es el ángulo entre direcciones del cielo. Esta sección muestra que el ángulo crece en la razón de las dos distancias focales y luego lleva la idea al microscopio.

Leyenda

$f_o$	Distancia focal del objetivo.	$\mathrm{m}$
$f_e$	Distancia focal del ocular, cuyo plano focal es el del objetivo.	$\mathrm{m}$
$y$	Altura de la imagen de la estrella por debajo del eje, en el plano focal común: $y=f_o\tan \theta$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo entre la luz entrante y el eje: la dirección de la estrella.	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	Ángulo entre la luz saliente y el eje: la dirección en la que el ojo ve la estrella.	$\mathrm{rad}$

La figura 4 sigue dos rayos centrales, rayos que pasan por el centro de una lente y la atraviesan sin desviarse; los ángulos están exagerados. A la izquierda, la luz de una estrella que forma el ángulo $\theta$ con el eje llega al objetivo, de distancia focal $f_o$. El objetivo forma la imagen de la estrella en su plano focal, y su rayo central indica dónde: a la altura $y=f_o\tan \theta$ por debajo del eje, la barra morada.

El ocular, de distancia focal $f_e$, está colocado de modo que su plano focal es ese mismo plano. La luz de cualquier punto de ese plano sale entonces del ocular como un haz paralelo, y ese haz viaja en la dirección del rayo central que va de ese punto al centro del ocular. Así, la luz de la estrella sale con el ángulo ${\theta }^{\prime }$, con $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$.

La barra $y$ es un lado de los dos triángulos rectángulos de la figura, uno con el lado $f_o$ y otro con $f_e$. Al dividir las dos ecuaciones desaparece:
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
Para ángulos pequeños las tangentes son iguales a los ángulos, y el aumento angular es $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$. En el recuadro de la animación $f_o=3f_e$: cuando $\theta$ alcanza su máximo de $3,5^{\circ }$, ${\theta }^{\prime }$ llega a $10,4^{\circ }$ y no a $10,5^{\circ }$, porque lo que se multiplica por 3 son las tangentes. Fíjate también en que el rayo saliente se inclina en sentido contrario al entrante: el telescopio muestra el cielo boca abajo.

El ocular también estrecha cada haz en la razón $f_e/f_o$. La luz que llenaba un objetivo de ancho $D$ sale, por tanto, en un haz $M$ veces más estrecho, de ancho $D/M$: la pupila de salida, el punto de luz detrás del ocular donde se coloca el ojo.

Un microscopio aplica la misma idea a un objeto cercano. El objeto está justo más allá del foco del objetivo, a una distancia $x_o$ de él, y el objetivo forma una imagen real y ampliada a una distancia $x_i=f_o^2/x_o$ más allá de su foco imagen; es la ecuación de las lentes medida desde los focos, su forma newtoniana. La imagen es $x_i/f_o$ veces más alta que el objeto. Con la imagen a la distancia estándar $x_i=\ell$, la longitud óptica del tubo, eso es $\ell /f_o$. El ocular actúa entonces como lupa: una imagen de altura $y$ en su plano focal se ve bajo el ángulo $y/f_e$ en lugar de $y/(0,25\mathrm{m})$, el que abarcaría a la distancia habitual de lectura. En conjunto,
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0,25\mathrm{m}}{f_e}$

Ampliar no es resolver

¿Por qué más aumento no puede revelar un detalle cada vez más fino? Porque toda abertura reparte la luz de un punto en una pequeña mancha, en un ángulo que fijan la longitud de onda y el ancho de la abertura. Basta fijarse en los tiempos de las ondas para ver de dónde sale ese ángulo.

Imagina una lente perfecta como un dispositivo de sincronización: lleva la luz de una fuente puntual hasta su punto imagen por caminos que tardan todos lo mismo, de modo que las ondas llegan en fase y se suman. Toma ahora una segunda fuente puntual, a un ángulo pequeño $\theta$ de la primera, y sigue su luz hasta el mismo punto imagen. Sus dos rayos extremos, por bordes opuestos de una abertura de ancho $D$, difieren en recorrido en $D\sin \theta \approx D\theta$, y por tanto en tiempo de viaje en $D\theta /c$.

Compara este retraso con un periodo de la onda, $\lambda /c$. Si es mucho menor, las ondas de la segunda fuente también llegan casi en fase: su imagen cae en el mismo punto y no se puede distinguir una fuente de la otra. Cuando el retraso alcanza más o menos un periodo, cada franja de la abertura puede emparejarse con otra situada media abertura más allá, cuyas ondas llegan medio periodo más tarde, y las parejas se cancelan. La segunda fuente no envía entonces luz al primer punto imagen, y las dos imágenes se separan. Así, ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$. Una abertura circular tiene menos área cerca de los bordes que una cuadrada, así que actúa como una abertura algo más estrecha, y el factor sube a 1,22:
$\text{Resolucioˊn}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1,22\lambda }{D}$

Para una pupila de 3 mm y luz verde de 550 nm esto da $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/0,003\approx 2,2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, o 0,8′. La retina está adaptada a ese valor: los conos del centro de la fóvea están separados unos 2,5 μm, 0,5′ vistos desde la lente, así que un patrón que se repite cada 1′ se muestrea dos veces por repetición, lo justo para registrarlo.

Los ojos compuestos de los insectos se enfrentan al mismo compromiso de otra forma. Cada faceta, de ancho $D$, difumina unos $\lambda /D$, mientras que en un ojo de radio $r$ las facetas vecinas apuntan en direcciones separadas $D/r$. Las facetas pequeñas difractan más; las grandes muestrean de forma más tosca. Los dos ángulos son iguales cuando $D=\sqrt{\lambda r}$, el ancho óptimo de faceta: unos 23 μm para $r=1\mathrm{mm}$.

El aumento de un telescopio solo tiene que elevar su ${\theta }_{\min }$ hasta un ángulo que el ojo pueda ver, y la pupila de salida muestra por qué más no ayuda. Con un aumento $M$, el haz que entra en el ojo mide $D/M$ de ancho, así que la propia difracción del ojo lo difumina en $1,22\lambda /(D/M)=M\cdot 1,22\lambda /D$: exactamente el límite del telescopio, multiplicado por $M$. Imagen y desenfoque crecen juntos. Pasado un aumento de unas dos veces la abertura en milímetros, la pupila de salida cae por debajo de 0,5 mm y este desenfoque supera unos 4,6′, claramente visible: la imagen crece, pero no se añade ningún detalle.

Problema resuelto: un telescopio para un ojo miope

Este problema reúne la regla de la vergencia, la gráfica del desenfoque y el telescopio: ¿qué ocurre cuando una observadora miope usa un telescopio sin sus gafas?

Construye el telescopio del recuadro con $f_o=300\mathrm{mm}$ y $f_e=100\mathrm{mm}$, de modo que $M=3$ y el tubo, de longitud $f_o+f_e$, mide 400 mm. Dáselo a la observadora de $-2\mathrm{D}$ de la animación sin sus gafas, con el ojo pegado al ocular. Su ojo relajado ve nítido solo con luz de vergencia $-2\mathrm{D}$, que se abre desde su punto remoto. Por tanto, el ocular de $+10\mathrm{D}$ debe dar esa vergencia a la luz de la imagen del objetivo, situada a una distancia $s$ delante de él:
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{D}=-2\mathrm{D},s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83,3\mathrm{mm}$

Ella desliza el ocular 16,7 mm hacia dentro y el tubo se acorta de 400 a 383,3 mm. La imagen del objetivo sigue teniendo la altura $y=f_o\theta$, pero ahora está a $s$ del ocular, y el rayo central desde su extremo superior a través del centro del ocular, que sigue recto hacia su ojo, forma el ángulo ${\theta }^{\prime }=y/s$:
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{PR}}}\right)=0,3\cdot 12=3,6$

Obtiene 3,6 aumentos en lugar de 3. En la práctica, las 2 D de más de su ojo se suman a las 10 D del ocular, y resulta un ocular de 12 D con una distancia focal de 83,3 mm. Un observador hipermétrope, cuyo ojo relajado necesita $+2\mathrm{D}$, tiene lo contrario: un ocular efectivo de 8 D, sacado hasta $s=125\mathrm{mm}$, y solo $M=0,3\cdot 8=2,4$.

Si la observadora miope no vuelve a enfocar, se encuentra de nuevo con la gráfica del desenfoque. Su error de 2 D y su pupila de 4 mm dan 27′ de desenfoque en el ojo, como en la sección del desenfoque, unos 9′ en el cielo tras dividir entre $M=3$. Esto supone que la pupila de salida llena su pupila de 4 mm, lo que exige un objetivo de al menos 12 mm de ancho.

Límites de validez

Todo lo anterior es óptica paraxial de lentes delgadas: rayos próximos al eje, lentes sin espesor, luz de una sola longitud de onda. Los ojos y los instrumentos reales se apartan de ella de tres maneras que conviene conocer.

Primero, las aberraciones. El ojo real es un sistema grueso con los defectos de cualquier lente. La aberración esférica, por la que los rayos lejanos al eje enfocan más cerca que los próximos a él, crece rápidamente con la pupila y añade desenfoque de noche, cuando la pupila está dilatada. La aberración cromática hace que el ojo sea unas 2 D más potente para la luz violeta que para la roja. Una córnea más curvada en una dirección que en otra causa astigmatismo, que requiere una lente cilíndrica y no un único número $P$.

Segundo, la difracción. Pone un suelo a la V de la figura 3: el desenfoque se estabiliza cerca de $1,22\lambda /A$, 0,8′ para una pupila de 3 mm, y por debajo de una pupila de unos 2 o 3 mm, una pupila menor empeora las cosas en lugar de mejorarlas.

Tercero, el aire. En los telescopios terrestres, la turbulencia esparce las estrellas en torno a 1″, que son $4,85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$: el límite de difracción de una abertura de solo $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/(4,85\times 10^{-6})\approx 0,14\mathrm{m}$ de ancho. Los telescopios mayores siguen captando más luz, pero un detalle más fino exige óptica adaptativa, que remodela el frente de onda a medida que llega, o un telescopio en el espacio, donde el telescopio Hubble, de 2,4 m, llega a 0,06″.

Lo que viene después

El factor 1,22 y los anillos oscuros que rodean las imágenes de las estrellas se calculan en Difracción y experimento de la doble rendija, y el argumento de las ondas en fase es el de Interferencia y superposición. La aberración cromática y el doblete acromático que la cancela pertenecen a Prismas, dispersión y color; la potencia de superficie $(n^{\prime }-n)/R$ se apoya en Reflexión y refracción, y la vergencia, en Lentes y espejos. La regla ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$ vale para cualquier onda: un radiotelescopio de 100 m a 21 cm resuelve solo unos 9′, peor que el ojo sin ayuda, mientras que los microscopios electrónicos, cuyos electrones tienen longitudes de onda de unos pocos picómetros (Dualidad onda-corpúsculo), obtienen imágenes de átomos sueltos. La luz como onda es el tema de Ondas electromagnéticas.