Radiactividad y semivida

Principiante

Partamos de la imagen del átomo que ya conoces: un núcleo diminuto en el centro, formado por protones y neutrones, con electrones que se mueven a su alrededor. El número de protones es el carné de identidad del átomo. Seis protones siempre significan carbono; 92, siempre uranio. Las reacciones químicas solo reordenan los electrones exteriores, así que nunca pueden cambiar ese número. Solo puede hacerlo un cambio dentro del núcleo.

Algunos núcleos son inestables: tienen demasiada energía o una mezcla desequilibrada de protones y neutrones. Tarde o temprano, un núcleo así lanza una partícula diminuta o un destello de luz muy energética, y lo que queda es otro núcleo, a menudo de otro elemento. Eso es la desintegración radiactiva.

¿Cuándo ocurre? Por puro azar. Piensa en las estrellas que brillan en la oscuridad pegadas al techo de un dormitorio: al apagar la lámpara, sus átomos devuelven la luz almacenada de uno en uno, en instantes imprevisibles, y el brillo se apaga poco a poco. Los núcleos radiactivos hacen lo mismo, con una sorpresa: no envejecen. Un núcleo que lleva un millón de años esperando no está más cerca de desintegrarse que uno recién formado.

En la animación, cada disco dorado es un núcleo. Se vuelven grises uno a uno mientras escupen una partícula roja, y no hay forma de adivinar cuál será el siguiente. Sin embargo, la multitud es predecible: cada vez que la aguja del reloj da una vuelta completa, se desintegra la mitad de los núcleos que siguen dorados. Una vuelta, quedan 50; dos vueltas, 25; tres vueltas, unos 12. Una vuelta del reloj es la semivida.

Ponte a prueba: una muestra empieza con 800 núcleos radiactivos. ¿Cuántos quedan tras tres semividas? Respuesta: $800\to 400\to 200\to 100$, es decir, 100, no cero.

Las semividas van desde una fracción de segundo hasta miles de millones de años. La del carbono-14, unos 5700 años, permite fechar madera y huesos antiguos.

Intermedio

Qué se desintegra y qué contamos

Todo núcleo queda identificado por dos números enteros. El número atómico $Z$ cuenta sus protones y fija el elemento: $Z=6$ es el carbono, $Z=92$ el uranio. El número másico $A$ cuenta todos sus nucleones, protones más neutrones, así que el carbono-14, ${}_6^{14}\mathrm{C}$, tiene 6 protones y 8 neutrones. Los núcleos con el mismo $Z$ pero distinto $A$ son isótopos de un mismo elemento: el carbono-12 es estable y el carbono-14, radiactivo.

En una muestra seguimos $N$, el número de núcleos que todavía no se han desintegrado, que vale $N_0$ en $t=0$. Un detector registra desintegraciones, y el número de desintegraciones por segundo es la actividad, que se mide en becquerelios (1 Bq es una desintegración por segundo). La letra $A$ sirve tanto para el número másico como para la actividad, así que atiende al contexto; $N$ cuenta siempre núcleos sin desintegrar.

Mitades en tiempos iguales

Un núcleo radiactivo no se desgasta: sea cual sea su edad, su probabilidad de sobrevivir a la siguiente semivida $T_{1/2}$ es exactamente un medio. En una muestra grande, por tanto, queda la mitad de los núcleos tras una semivida, la mitad de esos tras la siguiente, y así sucesivamente. Tras $n=t/T_{1/2}$ semividas, sea $n$ entero o no,
$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

La probabilidad de desintegrarse por segundo es la constante de desintegración $\lambda$, y la actividad es esa probabilidad multiplicada por el número de núcleos presentes:

• $\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $A=\lambda N$

Así pues, la actividad también se reduce a la mitad en cada semivida. Para convertir una fracción medida en un tiempo, se cuentan las mitades: $n={\log }_2(N_0/N)$, de modo que una muestra que ha bajado a 1/16 de su valor inicial tiene cuatro semividas de edad. Con $T_{1/2}$ en segundos, $\lambda$ sale en ${\mathrm{s}}^{-1}$ y $A$ en becquerelios.

Tres maneras de desintegrarse

La leyenda de la animación nombra tres tipos de radiación:

• En la desintegración $\alpha$ el núcleo emite un núcleo de helio-4, de 2 protones y 2 neutrones, así que $A$ baja en 4 y $Z$ en 2. Una hoja de papel detiene estas partículas pesadas y con doble carga.
• En la desintegración ${\beta }^{-}$ un neutrón se convierte en protón y el núcleo emite un electrón y un antineutrino, de modo que $Z$ sube en 1 con el mismo $A$; en la desintegración ${\beta }^{+}$ un protón se convierte en neutrón y se emite un positrón, de modo que $Z$ baja en 1. Unos pocos milímetros de aluminio detienen las partículas $\beta$.
• En la emisión $\gamma$ un núcleo excitado, a menudo recién formado por una desintegración $\alpha$ o $\beta$, libera un fotón de alta energía, y $A$ y $Z$ no cambian. El plomo nunca detiene del todo los rayos $\gamma$: un centímetro de plomo reduce a la mitad un haz de fotones de 1 MeV.

Para la desintegración $\alpha$, contar nucleones y cargas da
$X(A,Z)\to Y(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}$
de modo que el uranio-238 ($Z=92$) se convierte en torio-234 ($Z=90$). La muestra de la animación es un emisor $\alpha$: cada núcleo padre $X$ dorado que se vuelve gris se ha convertido en un núcleo hijo $Y$, y el punto rojo que sale disparado es su partícula $\alpha$.

Ejemplo resuelto: la muestra de la animación

La animación empieza con $N_0=100$ núcleos y $T_{1/2}=2,5\mathrm{s}$, y la aguja del reloj da una vuelta por semivida. Tras una, dos, tres y cuatro vueltas, a los 2,5; 5; 7,5 y 10 s, la ley da 50; 25; 12,5 y 6,25 núcleos. La lectura de $N$ muestra 50, 25, 12 y 6, porque un recuento es un número entero; la lectura de $N/N_0$ muestra los mismos números en porcentaje.

La fórmula también vale entre una vuelta y otra. En $t=4,0\mathrm{s}$,
$t/T_{1/2}=4,0/2,5=1,6,N=100\cdot 0,5^{1,6}=33,0$
y la lectura marca 33. Recorrida al revés, la ley da el instante en que quedan 10 núcleos: $n={\log }_{2}10=3,32$ semividas, luego $t=8,3\mathrm{s}$.

Cincuenta núcleos se desintegran durante la primera vuelta, 25 durante la segunda y 13 durante la tercera: las desintegraciones se van espaciando porque quedan menos núcleos, no porque los supervivientes se hayan vuelto más estables. La animación reparte sus desintegraciones en el tiempo para que sigan la ley. Una muestra de 100 núcleos verdaderamente aleatoria se desviaría típicamente de 50 en unos 5 tras una semivida, mientras que un gramo de materia, con unos $10^{21}$ núcleos, sigue la ley casi con exactitud.

Ejemplo resuelto: el yodo-131 en medicina

El yodo-131, que se usa para tratar la glándula tiroides, tiene una semivida de 8,0 días. Una farmacia prepara una cápsula de 400 MBq, que el paciente toma 3,0 días después. ¿Cuánta actividad queda entonces, y cuándo cae una cápsula almacenada por debajo del 1 % de su actividad inicial?

La actividad es proporcional a $N$, así que sigue la misma ley:
$A=400\cdot 0,5^{3,0/8,0}=400\cdot 0,771=308\mathrm{MBq}$
La farmacia debe preparar, por tanto, alrededor de un 30 % más de la dosis que quiere administrar. Para bajar al 1 %, $n={\log }_{2}100=6,64$ semividas, es decir, 53 días. A los 24 días, tres semividas, queda $(1/2{)}^3=12,5$ %, y a los 20 días, 2,5 semividas, $0,5^{2,5}=17,7$ %.

Con $\lambda =\ln 2/(8,0\cdot 86400\mathrm{s})=1,00\times 10^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$, la cápsula recién preparada, de $4,0\times 10^8\mathrm{Bq}$, contiene $N=A/\lambda =4,0\times 10^{14}$ núcleos, menos de una décima de microgramo: una cantidad demasiado pequeña para pesarla y, sin embargo, fácil de detectar, razón por la que los trazadores radiactivos son tan útiles.

Cómo leer la curva de desintegración

Si se representan las lecturas, $N$ frente a $t$, la curva empieza empinada, se va aplanando y se acerca a cero sin llegar nunca a él. Una recta desde 100 núcleos en $t=0$ hasta cero en $t=2T_{1/2}$ es la imagen errónea clásica; en ese instante la curva real todavía conserva una cuarta parte.

La pendiente de la curva es el ritmo de desintegración, de modo que la actividad puede leerse en ella: en la animación, unos 28 núcleos por segundo al principio, 14 a los 2,5 s y 7 a los 5 s. Los recuentos reales se dispersan alrededor de la curva suave, relativamente más cuando los números son pequeños.

Errores frecuentes

• La semivida no es la mitad del tiempo necesario para que se desintegre todo. Cada semivida elimina la mitad de lo que queda, así que 6400 núcleos pasan a 3200, 1600, 800 y 400 a lo largo de cuatro semividas y nunca se acaban de golpe.
• La desintegración no es una pérdida fija por hora. Una muestra que pierde un 10 % en su primera hora pierde el 10 % de lo que queda en cada hora, así que a las 10 horas conserva $0,9^{10}=0,35$ de ella, el 35 %.
• Un núcleo viejo no está más cerca de desintegrarse. Uno que ha sobrevivido a diez semividas sigue teniendo exactamente un 50 % de probabilidad de sobrevivir a la siguiente.
• El calor, la presión y la química no cambian la semivida. Los enlaces químicos ponen en juego unos pocos electronvoltios y los cambios nucleares, millones de electronvoltios, de modo que quemar o disolver una sustancia radiactiva deja su $T_{1/2}$ prácticamente igual.

Dónde aparece

La datación por radiocarbono usa el carbono-14, con una semivida de 5730 años. Los rayos cósmicos lo fabrican sin cesar y los seres vivos lo incorporan hasta que mueren, de modo que una madera con la cuarta parte del carbono-14 de un árbol vivo tiene unos 11 500 años. El uranio-238, con una semivida de 4500 millones de años, se desintegra en una cadena que acaba en plomo-206 y sirve para datar las rocas más antiguas. La medicina elige semividas cortas: tecnecio-99m (6,0 horas) para obtener imágenes, flúor-18 (110 minutos) para las tomografías PET.

Los detectores de humo contienen americio-241, un emisor $\alpha$ con una semivida de 432 años, y el radón-222 (3,8 días) es la fuente que más contribuye a la dosis natural de la mayoría de las personas. La siguiente lección, Fisión, fusión y E = mc², explica de dónde viene la energía nuclear, mientras que el nivel experto de esta lección aclara por qué las semividas $\alpha$ van de microsegundos a miles de millones de años.

Avanzado

Una probabilidad constante por unidad de tiempo

La desintegración radiactiva descansa en una sola hipótesis: un núcleo no tiene memoria. Sea cual sea su edad, la probabilidad de que se desintegre en el siguiente intervalo corto $dt$ es $\lambda dt$, donde la constante de desintegración $\lambda$ es una probabilidad fija por unidad de tiempo para esa clase de núcleo. Un núcleo formado hace un instante y otro que lleva esperando mil millones de años tienen exactamente las mismas probabilidades. La muestra animada empieza con $N_0=100$ núcleos y tiene $\lambda =0,277{\mathrm{s}}^{-1}$, así que cada núcleo tiene un 0,28 % de probabilidad de desintegrarse en la siguiente centésima de segundo.

De esta única regla se deduce la probabilidad $P(t)$ de que un núcleo sobreviva durante todo un tiempo $t$. Divide $t$ en $m$ pasos iguales de duración $t/m$. En cada paso el núcleo se desintegra con probabilidad $\lambda t/m$, así que sobrevive a ese paso con probabilidad $1-\lambda t/m$. Los pasos son independientes, por lo que las probabilidades de sobrevivir a todos ellos se multiplican. Si se hacen los pasos cada vez más cortos, resulta
$P(t)={\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{\lambda t}{m}\right)}^m=e^{-\lambda t}$

La exponencial es la única ley de supervivencia continua sin memoria. Para comprobar que no tiene memoria: un núcleo que ya ha durado un tiempo $s$ sobrevive otro tiempo $t$ con probabilidad $P(s+t)/P(s)=e^{-\lambda (s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(t)$, exactamente como si fuera nuevo.

Mantén separados dos niveles de descripción. La constante de desintegración $\lambda$ pertenece a un solo núcleo y dice únicamente cuán probable es que se desintegre. La curva suave de desintegración pertenece a una gran multitud de núcleos, y solo es suave porque la multitud es grande.

Resolución de la ley de desintegración

Toma ahora una muestra de $N$ núcleos idénticos. Cada uno se desintegra en el siguiente $dt$ con probabilidad $\lambda dt$, así que el número esperado de desintegraciones es $\lambda Ndt$. Cada desintegración elimina un núcleo, de modo que $N$ cambia en $dN=-\lambda Ndt$, es decir,
$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

La velocidad de pérdida es proporcional a lo que queda. Para resolver la ecuación, junta $N$ en un lado: $dN/N=-\lambda dt$. Integra el miembro izquierdo desde el número inicial $N_0$ hasta $N$, y el derecho de $0$ a $t$: $\ln (N/N_0)=-\lambda t$. Tomando la exponencial de ambos miembros,
$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Esto es $N_0$ por la probabilidad de supervivencia $P(t)$ de un núcleo, como debe ser: por término medio, sobrevive una fracción $P(t)$ de la multitud. La exponencial pierde la misma fracción en dos intervalos cualesquiera de igual duración, empiecen donde empiecen, y eso es lo que convierte una muestra radiactiva en un reloj.

Semivida y vida media

La semivida $T_{1/2}$ es el tiempo en que $N$ se reduce a la mitad. Imponer $N=N_0/2$ da $e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$; tomando logaritmos, $\lambda T_{1/2}=\ln 2$, luego
$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Sustituyendo, $e^{-\lambda t}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}=(1/2{)}^{t/T_{1/2}}$: la ley de las mitades y la exponencial son una misma función escrita de dos maneras. Para la animación, $T_{1/2}=0,693/0,277=2,50\mathrm{s}$.

La vida media $\tau$ es la duración media de la vida de un núcleo. Un núcleo se desintegra entre $t$ y $t+dt$ si primero sobrevive hasta $t$, con probabilidad $e^{-\lambda t}$, y luego se desintegra dentro de $dt$, con probabilidad $\lambda dt$. Ponderando cada tiempo de vida $t$ con esta probabilidad e integrando por partes se obtiene
$\tau ={\int }_0^{\infty }t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\approx 1,44T_{1/2}$

Tras una vida media queda una fracción $1/e$ de los núcleos. Para la animación, $\tau =3,61\mathrm{s}$, instante en que deberían quedar $N_0/e=36,8$ núcleos; la lectura de $N$ muestra 37. ¿Por qué $\tau$ es mayor que $T_{1/2}$? La semivida es la mediana del tiempo de vida: la mitad de los núcleos se desintegra antes de ella. La otra mitad incluye una larga cola de supervivientes tardíos, algunos de los cuales duran muchas semividas, y ellos empujan la media hasta $\tau$.

La actividad

Un detector no cuenta los núcleos que quedan, sino las desintegraciones. Lo que mide es la velocidad de desintegración $-dN/dt$, llamada actividad $A$ y medida en becquerel (1 Bq es una desintegración por segundo). A partir de la ley de desintegración,
$A=\lambda N$

Como $A$ es proporcional a $N$, decae con la misma exponencial, $A=A_0{e}^{-\lambda t}$ con $A_0=\lambda N_0$, y por tanto también es un reloj. Mientras un árbol vive, intercambia carbono con el aire, así que su proporción de carbono-14 se mantiene constante; cuando muere, su carbono-14 se desintegra y no se repone. Comparando la actividad por gramo de carbono de madera vieja con la de madera viva se obtiene $A/A_0$, y al despejar $t$ en $(1/2{)}^{t/T_{1/2}}=A/A_0$ resulta la edad de la madera. En la animación, la lectura de $A$ del nivel experto empieza en $A_0=27,7\mathrm{Bq}$ y marca 13,9 Bq a los 2,5 s, una semivida después.

La actividad depende de dos cosas: cuántos núcleos hay y cuán inestable es cada uno. Un gramo de radio-226 es $1/226$ de mol, así que contiene $N=6,02\times 10^{23}/226=2,66\times 10^{21}$ núcleos. Con $T_{1/2}=1600$ años, $\lambda =\ln 2/T_{1/2}=1,37\times 10^{-11}{\mathrm{s}}^{-1}$ y $A=\lambda N=3,7\times 10^{10}\mathrm{Bq}$, la actividad que en su día definió el curio. Un gramo de uranio-238 contiene casi el mismo número de núcleos, pero su semivida de 4500 millones de años es unos tres millones de veces mayor, así que es unos tres millones de veces menos activo.

Lectura de la curva de desintegración

Una gráfica de $N$ frente a $t$ muestra de un vistazo la semivida, la vida media y la actividad. La figura 1 la dibuja con el tiempo contado en semividas, de modo que el mismo dibujo sirve para cualquier nucleido, desde microsegundos hasta miles de millones de años.

Leyenda

$N$	Número de núcleos sin desintegrar en el instante $t$.
$N_0$	Número de núcleos sin desintegrar en $t=0$.
$N_0/2$	La mitad del número inicial, que se alcanza tras una semivida.
$N_0/4$	Una cuarta parte del número inicial, que se alcanza tras dos semividas.
$t$	Tiempo transcurrido desde el comienzo del recuento.	$\mathrm{s}$
$T_{1/2}$	Semivida: cada paso de esta duración reduce $N$ a la mitad.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Vida media $1/\lambda$, de unos $1,44T_{1/2}$: el punto donde la tangente en $t=0$ corta el eje del tiempo.	$\mathrm{s}$
$A_0$	Actividad en $t=0$, $A_0=\lambda N_0$; la tangente en ese punto tiene pendiente $-A_0$.	$\mathrm{Bq}$

Fíjate primero en los tres puntos. Están en $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$ y $3T_{1/2}$, a distancias iguales a lo largo del eje del tiempo, y sus alturas $N_0/2$, $N_0/4$ y $N_0/8$ se reducen en el mismo factor de dos en cada paso. Es la ley de las mitades leída en la gráfica: tiempos iguales, fracciones iguales.

Fíjate después en la recta marcada $-A_0$, la tangente a la curva en $t=0$. Su pendiente es la tasa de variación inicial, $dN/dt=-\lambda N_0=-A_0$. Una recta que parte de la altura $N_0$ y baja con velocidad $A_0$ llega al eje del tiempo tras $N_0/A_0=1/\lambda =\tau$. Así pues, la tangente aterriza en la vida media $\tau$, un poco más allá del primer punto, porque $\tau \approx 1,44T_{1/2}$. Dicho de otro modo: si la muestra siguiera desintegrándose a su ritmo inicial, se vaciaría tras una vida media. La misma construcción vale en cualquier punto de la curva. En el instante $t$ la tangente tiene pendiente $-\lambda N=-A$ y corta el eje en $t+\tau$, una vida media después. En la animación, la tangente en $t=0$ corta el eje a los 3,6 s.

La gráfica del nivel experto de la animación muestra los mismos rasgos: el recuento azul sigue la curva discontinua $N_0{e}^{-\lambda t}$, con marcas en $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$ y $4T_{1/2}$, igualmente espaciadas que en la figura 1. En el laboratorio, las semividas se leen en otro tipo de gráfica. Al tomar logaritmos en la ley de desintegración se obtiene $\ln N=\ln N_0-\lambda t$, así que una gráfica de $\ln N$ frente a $t$ (o de $\ln A$, que solo difiere en la constante $\ln \lambda$) es una recta de pendiente $-\lambda$.

Fluctuaciones: una ley precisa nacida del azar

La ley de desintegración da el número esperado de supervivientes. Una muestra real es un conjunto de sucesos aleatorios independientes, así que su recuento se dispersa alrededor de ese valor. ¿Cuánta es la dispersión, y por qué la ley sigue pareciendo exacta para una muestra grande?

Leyenda

$N$	Número de núcleos aún sin desintegrar en una muestra.
$P$	Probabilidad de que una muestra tenga exactamente ese número de núcleos restantes.
$N_{0}p$	Media de $N$: el número inicial $N_0$ por la probabilidad de supervivencia $p$ de un núcleo, aquí $p=1/2$, es decir, 50.
$\sigma$	Desviación típica de $N$, $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$, aquí 5: la llave mide $2\sigma$ de ancho.

Cada uno de los $N_0$ núcleos sobrevive un tiempo $t$ de forma independiente, con la misma probabilidad $p=e^{-\lambda t}$, como $N_0$ lanzamientos de una moneda trucada. El número de núcleos que quedan sigue, por tanto, una distribución binomial, con media $N_{0}p$ y desviación típica $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$. La figura 2 representa las probabilidades exactas para $N_0=100$ núcleos observados durante una semivida, de modo que $p=1/2$. Cada barra da la probabilidad $P$ de que una muestra tenga exactamente $N$ núcleos sin desintegrar.

Las barras están centradas en la línea discontinua de la media, $N_{0}p=50$. La llave marcada $2\sigma$ va de 45 a 55, una desviación típica a cada lado de la media, porque $\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$. Las barras verdes que contiene suman un 73 %. Así, una muestra real de 100 núcleos conserva $50\pm 5$ tras una semivida, y aproximadamente una muestra de cada cuatro queda fuera del intervalo de 45 a 55.

La animación muestra en cambio el caso ideal, sin ruido: su $k$-ésima desintegración llega cuando el número esperado de desintegraciones alcanza $k-\frac{1}{2}$, de modo que su escalera es la ley suave redondeada a números enteros de núcleos.

Los experimentos de recuento tratan con desintegraciones, no con supervivientes. En un intervalo corto solo se desintegra una pequeña fracción $q$ de los núcleos. El número de cuentas es entonces binomial con $q\ll 1$, así que su varianza $N_{0}q(1-q)$ es casi igual a su media $\bar{n}=N_{0}q$. Este límite es la distribución de Poisson, cuya dispersión es $\sqrt{\bar{n}}$. La incertidumbre relativa es $\sqrt{\bar{n}}/\bar{n}=1/\sqrt{\bar{n}}$, de modo que 400 cuentas tienen una incertidumbre del 5 % y para un 1 % hacen falta 10 000 cuentas.

La misma raíz cuadrada explica por qué la ley de desintegración parece exacta. La dispersión relativa de los supervivientes disminuye como $1/\sqrt{N_0}$, y para $10^{21}$ núcleos es de unos $3\times 10^{-11}$. Una ley precisa surge del puro azar, igual que la presión constante de un gas surge de los choques aleatorios de las moléculas.

Las leyes de conservación deciden lo posible

Antes de preguntar con qué rapidez se desintegra un núcleo, pregunta si puede hacerlo. La carga, el número de nucleones y el número leptónico deben ser los mismos antes y después. Y la desintegración debe liberar energía, pagada con masa: los productos juntos deben tener menos masa que el padre. La energía liberada, llamada energía de desintegración $Q$, es
$Q=\left(m_{\mathrm{padre}}-\sum m_{\mathrm{productos}}\right)c^2>0$

En la desintegración $\alpha$ ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$, la carga se equilibra ($92=90+2$) y también el número de nucleones ($238=234+4$). Las masas atómicas dan $Q=4,27\mathrm{MeV}$, aproximadamente un millón de veces la energía de un enlace químico. Con solo dos productos, la conservación de la cantidad de movimiento fija cómo se reparte $Q$. El padre estaba en reposo, así que los dos productos salen despedidos con cantidades de movimiento del mismo módulo y sentido opuesto. La energía cinética es el cuadrado de la cantidad de movimiento dividido entre el doble de la masa, así que, para cantidades de movimiento iguales, la partícula más ligera se lleva la mayor parte, en proporción inversa a las masas. La partícula $\alpha$ se lleva, pues, $234/238$ de $Q$, es decir, 4,20 MeV. Todas las partículas $\alpha$ de esta desintegración tienen esa misma energía, por lo que los espectros $\alpha$ son líneas nítidas.

En la desintegración ${\beta }^{-}$, $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$, un neutrón se convierte en protón. La carga se equilibra ($0=+1-1+0$), y el número leptónico exige el antineutrino: el electrón cuenta $+1$ y el antineutrino $-1$, de modo que el total sigue siendo 0. Ahora tres cuerpos se reparten $Q$, y pueden hacerlo de infinitas maneras. Los electrones tienen, por tanto, un espectro continuo, desde cero hasta $Q$ ($0,78\mathrm{MeV}$ para un neutrón libre). Ese continuo, que al principio pareció romper la conservación de la energía, llevó a Pauli a proponer el neutrino en 1930. Por último, los rayos $\gamma$ proceden de saltos entre niveles de energía del núcleo, por lo que, como las partículas $\alpha$, forman líneas nítidas.

El efecto túnel decide la rapidez

Las leyes de conservación solo dicen si una desintegración está permitida. Su rapidez depende de otra cosa: de si la partícula $\alpha$ puede siquiera salir del núcleo. Clásicamente no puede; cuánticamente se filtra hacia fuera, muy despacio, y el ritmo de esa fuga fija la semivida.

Leyenda

$U$	Energía potencial de la partícula $\alpha$ a la distancia $r$ del centro del núcleo.	$\mathrm{J}$
$r$	Distancia al centro del núcleo.	$\mathrm{m}$
$R$	Radio del núcleo: dentro está el pozo nuclear y en $R$ empieza la barrera de Coulomb.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Punto de salida $r_2=R{U}_{\max }/E$, donde la barrera ha descendido hasta la energía $E$.	$\mathrm{m}$
$U_{\max }$	Altura de la barrera en $r=R$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía de la partícula $\alpha$, que se lleva como energía cinética cuando está lejos, en el exterior.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Función de onda de la partícula $\alpha$ a lo largo de un radio: oscila dentro, se amortigua a través de la barrera y reaparece, más pequeña, más allá de $r_2$.	${\mathrm{m}}^{-3/2}$

La figura 3 representa la energía potencial $U$ de la partícula $\alpha$ frente a su distancia $r$ al centro del núcleo. Dentro del radio nuclear $R$, la atracción nuclear, de corto alcance, mantiene a la partícula en un pozo profundo. Fuera de $R$ solo actúa la repulsión eléctrica del núcleo hijo, $U=C/r$, con $C$ una constante positiva. Así, la barrera es más alta en $r=R$, donde alcanza $U_{\max }$, y desciende con la distancia.

Fíjate ahora en la línea horizontal a la altura $E$, la energía de la partícula $\alpha$. La energía se conserva, así que $E$ es la misma en todas partes; lejos, donde $U$ ha bajado a cero, toda ella es energía cinética. La línea corta la barrera en el punto de salida $r_2$, donde $C/r_2=E$. Como $C=R{U}_{\max }$, resulta $r_2=R{U}_{\max }/E$. Entre $R$ y $r_2$ la energía cinética $E-U$ sería negativa, algo que ningún movimiento clásico permite: una partícula clásica iría y vendría dentro del pozo para siempre.

La función de onda $\psi$ no se detiene en la pared. Síguela de izquierda a derecha en la figura 3. Oscila dentro del pozo, se amortigua exponencialmente a través de la región prohibida entre $R$ y $r_2$ y, más allá de $r_2$, vuelve a oscilar, con menor amplitud. A través de la barrera decae localmente como $e^{-\kappa r}$, con $\kappa =\sqrt{2m_{\alpha }(U-E)}/\hslash$, donde $m_{\alpha }$ es la masa de la partícula $\alpha$ y $\hslash$ la constante de Planck reducida: cuanto más alta y ancha es la barrera, más decae. La probabilidad de escape en cada intento es el cuadrado del cociente entre la amplitud fuera y la amplitud dentro. En la figura la amplitud disminuye solo en un factor modesto, para que las ondulaciones exteriores sigan siendo visibles; en un núcleo real disminuye enormemente.

Estos son los números reales del uranio-238. La partícula $\alpha$ tiene una energía $E$ de solo unos 4,2 MeV, muy por debajo de la cima de la barrera de Coulomb, $U_{\max }\approx 28\mathrm{MeV}$, así que clásicamente no podría escapar nunca. El punto de salida queda $r_2/R=28/4,2\approx 6,7$ veces más lejos del centro que la superficie (la figura 3, que no está a escala, muestra 4). Rebotando de un lado a otro dentro del núcleo, la partícula golpea la barrera unas $10^{21}$ veces por segundo. Sin embargo, la vida media del uranio-238 es de $2,0\times 10^{17}\mathrm{s}$, de modo que su constante de desintegración es $\lambda =1/\tau =5\times 10^{-18}{\mathrm{s}}^{-1}$. Dividiendo entre el número de intentos por segundo, cada intento tiene éxito con una probabilidad de unos $5\times 10^{-39}$, cercana a $e^{-88}$: el cuadrado de una amplitud de onda que se filtra con un factor $e^{-44}$.

Como la probabilidad de escape es una exponencial, cambios modestos en la barrera producen cambios enormes en la semivida. Al calcular el exponente se ve que crece aproximadamente en proporción a $Z/\sqrt{E}$, donde $Z$ es el número atómico del núcleo hijo: una carga mayor hace la barrera más alta, y una energía mayor acorta la región prohibida. Así, el polonio-212, que emite partículas $\alpha$ de 8,8 MeV, tiene una semivida de 0,3 µs, mientras que el torio-232, con 4,0 MeV, tiene una de $1,4\times 10^{10}$ años: reducir la energía aproximadamente a la mitad alarga la semivida en un factor de unos $10^{24}$.

Cadenas de desintegración

A menudo el hijo de una desintegración es también radiactivo, y se forma una cadena de desintegración. El número de hijos sube entonces y baja, y un contador registra las desintegraciones de ambos. La figura 4 sigue la cadena más sencilla: los padres $N_1$, con constante de desintegración ${\lambda }_1$, se convierten en hijos radiactivos $N_2$, con constante de desintegración ${\lambda }_2$, que a su vez se desintegran en núcleos estables $N_3$.

Leyenda

$N$	Número de núcleos de cada clase presentes en el instante $t$.
$N_1$	Núcleos padre que aún no se han desintegrado.
$N_2$	Núcleos hijo radiactivos presentes.
$N_3$	Núcleos estables formados a partir de los hijos, $N_3=N_0-N_1-N_2$.
$t$	Tiempo transcurrido desde el comienzo, cuando solo había padres.	$\mathrm{s}$
$t_m$	Instante en que los hijos son más numerosos.	$\mathrm{s}$

Los hijos tienen una fuente y un sumidero. Los crean las desintegraciones de los padres, a razón de ${\lambda }_1{N}_1$, y los pierden sus propias desintegraciones, a razón de ${\lambda }_2{N}_2$:
$\frac{d{N}_2}{dt}={\lambda }_1{N}_1-{\lambda }_2{N}_2$

Lee las curvas de la figura 4 con esta ecuación en mente. En $t=0$ no hay hijos, así que el sumidero es nulo y los hijos aumentan exactamente tan deprisa como disminuyen los padres. A medida que se acumulan hijos, crece su propia velocidad de desintegración ${\lambda }_2{N}_2$, mientras que el suministro ${\lambda }_1{N}_1$ se reduce con los padres. Donde ambos son iguales, $d{N}_2/dt=0$: la curva de $N_2$ da la vuelta en el instante $t_m$ y luego decae. Los núcleos estables $N_3$ empiezan despacio, porque al principio apenas hay hijos que desintegrar, y suben hasta que todos los núcleos han acabado allí. No se pierde ningún núcleo por el camino, así que los tres números suman siempre el número inicial $N_0$. La figura está dibujada para la cadena del problema resuelto siguiente: 100 padres y un hijo que vive el doble que su padre. En $t_m$ las curvas de $N_1$ y de $N_3$ se cruzan en 25.

Problema resuelto: un núcleo hijo radiactivo

Supongamos que los núcleos hijos grises de la animación se desintegran en un núcleo estable con $T_{1/2}=5,0\mathrm{s}$, de modo que ${\lambda }_2=0,693/5,0=0,139{\mathrm{s}}^{-1}={\lambda }_1/2$. Partiendo de 100 padres y ningún hijo: ¿cuándo son más numerosos los hijos, cuántos hay entonces y qué marca un contador que registra ambas desintegraciones?

Paso 1: resolver para $N_2$. Sustituye $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$ y pasa ${\lambda }_2{N}_2$ al miembro izquierdo: $d{N}_2/dt+{\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$. Al multiplicar ambos miembros por $e^{{\lambda }_{2}t}$, el miembro izquierdo se convierte en una sola derivada, $d(N_2{e}^{{\lambda }_{2}t})/dt$, por la regla del producto. El miembro derecho pasa a ser ${\lambda }_1{N}_0{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}$, que se integra directamente. Con $N_2(0)=0$,
$N_2=\frac{{\lambda }_1{N}_0}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(e^{-{\lambda }_{2}t}-e^{-{\lambda }_{1}t}\right)$

Paso 2: usar ${\lambda }_1=2{\lambda }_2$. El factor ${\lambda }_1/({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ vale entonces 2 y, con $x=e^{-{\lambda }_{2}t}$, la segunda exponencial es $e^{-{\lambda }_{1}t}=x^2$. Por tanto,
$N_2=2N_0\left(x-x^2\right),x=e^{-{\lambda }_{2}t}$

Paso 3: hallar el máximo. Cuando $t$ va de 0 a infinito, $x$ baja de 1 a 0, y $x-x^2$ es máximo donde se anula su derivada $1-2x$, en $x=\frac{1}{2}$. Eso ocurre tras una semivida del hijo, en $t_m=5,0\mathrm{s}$, cuando $N_2=2\cdot 100\cdot \frac{1}{4}=50$.

Paso 4: las otras dos poblaciones. Los padres son $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}=N_0{x}^2$ y los núcleos estables, $N_3=N_0-N_1-N_2=N_0(1-x{)}^2$. Las tres curvas de la figura 4 son, pues, $x^2$, $2(x-x^2)$ y $(1-x{)}^2$ por $N_0$, y en $x=\frac{1}{2}$ valen 25, 50 y 25 núcleos. La lectura de $N$ de la animación, que cuenta los padres, marca 25 en ese momento, así que se han formado 25 nietos estables.

Paso 5: el contador. En el máximo, $d{N}_2/dt=0$, así que las dos actividades son iguales: ${\lambda }_1{N}_1=0,277\cdot 25$ y ${\lambda }_2{N}_2=0,139\cdot 50$ valen ambas 6,93 Bq. Un contador que registra ambas desintegraciones marca su suma, 13,9 Bq, el doble de la lectura de $A$, que muestra solo al padre.

Más tarde el padre se extingue ($x^2$ se vuelve despreciable frente a $x$) y $N_2\approx 2N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$: la muestra mixta se apaga con la semivida de 5,0 s del hijo. La lección para la medida es que la cola de una curva de desintegración pertenece al miembro de vida más larga de la cadena.

Padres longevos: el equilibrio secular

Cuando el padre vive mucho más que el hijo, ${\lambda }_1\ll {\lambda }_2$, el padre apenas cambia mientras el hijo se acumula. Tras unas pocas semividas del hijo, su velocidad de desintegración ha alcanzado a su suministro y desde entonces se mantiene igual a él: $d{N}_2/dt\approx 0$, así que ${\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_1$. Es el equilibrio secular: el hijo es exactamente tan activo como el padre, por pocos núcleos que tenga. El radón-222 (semivida de 3,8 días) que crece a partir del radio-226 (1600 años) es solo $N_2/N_1={\lambda }_1/{\lambda }_2=6,5\times 10^{-6}$ del número de átomos de radio y, sin embargo, es igual de activo.

Límites de validez

La constancia de $\lambda$ está comprobada con enorme precisión, pero no es absoluta. Todas las excepciones afectan a los electrones del átomo, la única parte del átomo que la química puede tocar. En la captura electrónica el núcleo absorbe uno de los electrones internos del propio átomo, de modo que la velocidad de desintegración depende ligeramente de cómo estén dispuestos esos electrones: la semivida del berilio-7 varía hasta un 1 % aproximadamente de un entorno químico a otro. Arrancar todos los electrones puede transformar una desintegración. El renio-187 neutro tiene una semivida de unos $4\times 10^{10}$ años; el núcleo desnudo, de 33 años, porque entonces su electrón $\beta$ puede crearse directamente en una órbita interna vacía. Fuera de eso, la temperatura, la presión y la química no cambian nada medible.

La mecánica cuántica predice ligeras desviaciones de la ley exponencial a tiempos extremadamente cortos y extremadamente largos, pero no se ha observado ninguna en una desintegración nuclear. Por último, $\lambda$ vale en el sistema de referencia en el que la partícula que se desintegra está en reposo. Visto desde el laboratorio, el reloj de una partícula rápida va más lento en el factor $\gamma$ de la relatividad especial: los muones, con una vida media de 2,2 µs en reposo, viven 22 µs en el laboratorio con $\gamma =10$. Así es como los muones de los rayos cósmicos nacidos en lo alto de la atmósfera llegan al suelo.

Lo que viene después

El efecto túnel que fija las semividas $\alpha$ se calcula en Ecuación de Schrödinger y efecto túnel, y la contabilidad $Q=\Delta m{c}^2$ es la base de Fisión, fusión y E = mc². La interacción débil que hay tras la desintegración $\beta$ se estudia en Partículas y fuerzas: el modelo estándar, y el alargamiento de la vida de las partículas rápidas, en Relatividad especial. Las líneas $\gamma$ nítidas son la versión nuclear de las líneas espectrales de Modelos atómicos: el átomo de Bohr. Un ritmo de disminución relativo constante reaparece en un condensador que se descarga a través de una resistencia, en Condensadores, y una ley precisa construida con sucesos aleatorios es el núcleo de Teoría cinética de los gases.