Radioatividade e meia-vida

Iniciante

Comece pela imagem do átomo que você já conhece: um núcleo minúsculo no centro, formado por prótons e nêutrons, com elétrons girando em volta. O número de prótons é a identidade do átomo. Seis prótons significam sempre carbono; 92, sempre urânio. As reações químicas só rearranjam os elétrons externos, então nunca conseguem mudar esse número. Só uma mudança dentro do núcleo consegue isso.

Alguns núcleos são instáveis: têm energia demais ou uma mistura desequilibrada de prótons e nêutrons. Mais cedo ou mais tarde, esse núcleo emite uma partícula minúscula ou um clarão de luz muito energética, deixando outro núcleo, muitas vezes de outro elemento. Isso é o decaimento radioativo.

Quando acontece? Por puro acaso. Pense em estrelas que brilham no escuro no teto de um quarto: depois que a lâmpada se apaga, os átomos devolvem a luz armazenada um de cada vez, em instantes imprevisíveis, e o brilho vai diminuindo. Os núcleos radioativos se comportam do mesmo jeito, com uma surpresa: eles nunca envelhecem. Um núcleo que esperou um milhão de anos não está mais perto de decair do que um recém-formado.

Na animação, cada disco dourado é um núcleo. Eles ficam cinza um a um, cada um soltando uma partícula vermelha, e você não consegue adivinhar qual será o próximo. Mesmo assim, o grupo é previsível: toda vez que o ponteiro dá uma volta completa, metade dos núcleos dourados que restam decai. Uma volta, 50 restam; duas voltas, 25; três voltas, cerca de 12. Uma volta do relógio é a meia-vida.

Teste você mesmo: uma amostra começa com 800 núcleos radioativos. Quantos sobram após três meias-vidas? Resposta: $800\to 400\to 200\to 100$, ou seja, 100, e não zero.

As meias-vidas vão de frações de segundo a bilhões de anos. A do carbono-14, cerca de 5700 anos, permite aos cientistas datar madeira e ossos antigos.

Intermediário

O que decai, e o que contamos

Cada núcleo é identificado por dois números inteiros. O número atômico $Z$ conta seus prótons e determina o elemento: $Z=6$ é carbono, $Z=92$ é urânio. O número de massa $A$ conta todos os seus núcleons, prótons mais nêutrons; assim, o carbono-14, ${}_6^{14}\mathrm{C}$, tem 6 prótons e 8 nêutrons. Núcleos com o mesmo $Z$, mas $A$ diferente, são isótopos de um elemento: o carbono-12 é estável; o carbono-14, radioativo.

Em uma amostra, acompanhamos $N$, o número de núcleos que ainda não decaíram, partindo de $N_0$ em $t=0$. Um detector registra decaimentos, e o número de decaimentos por segundo é a atividade, medida em becquerels (1 Bq é um decaimento por segundo). A letra $A$ serve tanto para o número de massa quanto para a atividade, então verifique o contexto; $N$ sempre conta núcleos não decaídos.

Reduções pela metade em tempos iguais

Um núcleo radioativo não se desgasta: não importa a idade, sua chance de sobreviver à próxima meia-vida $T_{1/2}$ é exatamente de um em dois. Em uma amostra grande, metade dos núcleos resta após uma meia-vida, metade desses resta após a seguinte, e assim por diante. Após $n=t/T_{1/2}$ meias-vidas, seja $n$ inteiro ou não,
$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

A chance de decair por segundo é a constante de decaimento $\lambda$, e a atividade é essa chance multiplicada pelo número de núcleos presentes:

• $\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $A=\lambda N$

Assim, a atividade também cai pela metade a cada meia-vida. Para transformar uma fração medida em tempo, conte as reduções pela metade: $n={\log }_2(N_0/N)$; uma amostra reduzida a 1/16 do início tem, portanto, quatro meias-vidas. Com $T_{1/2}$ em segundos, $\lambda$ sai em ${\mathrm{s}}^{-1}$ e $A$ em becquerels.

Três formas de decaimento

A legenda da animação indica três tipos de radiação:

• No decaimento $\alpha$, o núcleo emite um núcleo de hélio-4, com 2 prótons e 2 nêutrons, então $A$ cai 4 e $Z$ cai 2. Uma folha de papel barra essas partículas pesadas e com carga dupla.
• No decaimento ${\beta }^{-}$, um nêutron vira um próton, e o núcleo emite um elétron e um antineutrino; assim, $Z$ sobe 1 com o mesmo $A$. No decaimento ${\beta }^{+}$, um próton vira um nêutron e um pósitron é emitido, então $Z$ cai 1. Alguns milímetros de alumínio barram as partículas $\beta$.
• Na emissão $\gamma$, um núcleo excitado, muitas vezes recém-formado por decaimento $\alpha$ ou $\beta$, libera um fóton de alta energia, e $A$ e $Z$ permanecem iguais. O chumbo nunca barra totalmente os raios $\gamma$: um centímetro dele reduz à metade um feixe de fótons de 1 MeV.

Para o decaimento $\alpha$, contando núcleons e cargas, temos
$X(A,Z)\to Y(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}$
assim, o urânio-238 ($Z=92$) vira tório-234 ($Z=90$). A amostra da animação é um emissor $\alpha$: cada núcleo pai dourado $X$ que fica cinza se tornou um núcleo filho $Y$, e o ponto vermelho que se afasta é a sua partícula $\alpha$.

Exemplo resolvido: a amostra da animação

A animação começa com $N_0=100$ núcleos e $T_{1/2}=2,5\mathrm{s}$, e o ponteiro dá uma volta por meia-vida. Após uma, duas, três e quatro voltas, em 2,5, 5, 7,5 e 10 s, a lei dá 50, 25, 12,5 e 6,25 núcleos. O medidor $N$ mostra 50, 25, 12 e 6, já que uma contagem é um número inteiro; o medidor $N/N_0$ mostra os mesmos números em porcentagem.

A fórmula também vale entre as voltas. Em $t=4,0\mathrm{s}$,
$t/T_{1/2}=4,0/2,5=1,6,N=100\cdot 0,5^{1,6}=33,0$
e o medidor mostra 33. Invertendo a lei, obtemos o instante em que restam 10 núcleos: $n={\log }_{2}10=3,32$ meias-vidas, ou seja, $t=8,3\mathrm{s}$.

Na primeira volta decaem 50 núcleos, na segunda 25 e na terceira 13: os decaimentos rareiam porque sobram menos núcleos, não porque os restantes ficaram mais estáveis. A animação ajusta seus decaimentos para seguir a lei. Uma amostra realmente aleatória de 100 núcleos costumaria errar 50 em cerca de 5 após uma meia-vida, enquanto um grama de material, com cerca de $10^{21}$ núcleos, segue a lei quase exatamente.

Exemplo resolvido: iodo-131 na medicina

O iodo-131, usado no tratamento da glândula tireoide, tem meia-vida de 8,0 dias. Uma farmácia prepara uma cápsula de 400 MBq, que o paciente toma 3,0 dias depois. Quanta atividade resta então, e quando uma cápsula guardada cai abaixo de 1% da atividade inicial?

A atividade é proporcional a $N$, então segue a mesma lei:
$A=400\cdot 0,5^{3,0/8,0}=400\cdot 0,771=308\mathrm{MBq}$
A farmácia deve, portanto, preparar cerca de 30% a mais do que a dose que pretende entregar. Para a marca de 1%, $n={\log }_{2}100=6,64$ meias-vidas, ou seja, 53 dias. Após 24 dias, três meias-vidas, $(1/2{)}^3=12,5$ % restam; e após 20 dias, 2,5 meias-vidas, $0,5^{2,5}=17,7$ %.

Com $\lambda =\ln 2/(8,0\cdot 86400\mathrm{s})=1,00\times 10^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$, a cápsula nova, $4,0\times 10^8\mathrm{Bq}$, contém $N=A/\lambda =4,0\times 10^{14}$ núcleos, menos de um décimo de micrograma: muito pouco para pesar, mas fácil de detectar, e por isso os traçadores radioativos são tão úteis.

Lendo a curva de decaimento

Ao plotar os medidores, $N$ contra $t$, a curva começa íngreme, achata e se aproxima de zero sem nunca chegar a ele. Uma reta de 100 núcleos em $t=0$ até zero em $t=2T_{1/2}$ é a imagem errada clássica; nesse instante, a curva real ainda mantém um quarto.

A inclinação da curva é a taxa de decaimento, então a atividade pode ser lida pelo seu declive: na animação, cerca de 28 núcleos por segundo no início, 14 em 2,5 s e 7 em 5 s. Contagens reais se espalham em torno da curva suave, relativamente mais quando os números são pequenos.

Erros comuns

• A meia-vida não é o tempo necessário para tudo decair. Cada meia-vida remove metade do que restou; assim, 6400 núcleos viram 3200, 1600, 800 e 400 ao longo de quatro meias-vidas, e nunca acabam de repente.
• O decaimento não é uma perda fixa por hora. Uma amostra que perde 10% na primeira hora perde 10% do restante a cada hora; assim, $0,9^{10}=0,35$ dela, ou seja, 35%, resta após 10 horas.
• Núcleos antigos não estão atrasados. Um núcleo que sobreviveu a dez meias-vidas ainda tem exatamente 50% de chance de sobreviver à próxima.
• Calor, pressão e química não alteram a meia-vida. As ligações químicas envolvem alguns elétron-volts, e as mudanças nucleares, milhões; por isso, queimar ou dissolver uma substância radioativa deixa seu $T_{1/2}$ praticamente inalterado.

Onde isso aparece

A datação por radiocarbono usa o carbono-14, com meia-vida de 5730 anos. Os raios cósmicos continuam produzindo esse isótopo, e os seres vivos o absorvem até morrer; assim, uma madeira com um quarto do carbono-14 de uma árvore viva tem cerca de 11500 anos. O urânio-238, com meia-vida de 4,5 bilhões de anos, decai por uma cadeia até o chumbo-206 e data as rochas mais antigas. A medicina escolhe meias-vidas curtas: tecnécio-99m (6,0 horas) para imagens, flúor-18 (110 minutos) para exames de PET.

Detectores de fumaça contêm amerício-241, um emissor $\alpha$ com meia-vida de 432 anos, e o radônio-222 (3,8 dias) responde pela maior dose natural de radiação na maioria das pessoas. A próxima aula, “Fissão, fusão e E = mc²”, explica de onde vem a energia nuclear, e o nível avançado aqui mostra por que as meias-vidas $\alpha$ vão de microssegundos a bilhões de anos.

Avançado

Uma chance constante por unidade de tempo

O decaimento radioativo repousa sobre uma única suposição: um núcleo não tem memória. Qualquer que seja sua idade, a probabilidade de que ele decaia no próximo intervalo curto $dt$ é $\lambda dt$, em que a constante de decaimento $\lambda$ é uma probabilidade fixa por unidade de tempo para aquele tipo de núcleo. Um núcleo formado há pouco e outro que esperou um bilhão de anos têm exatamente as mesmas chances. A amostra animada começa com $N_0=100$ núcleos e tem $\lambda =0,277{\mathrm{s}}^{-1}$; assim, cada núcleo tem 0,28% de chance de decair no próximo centésimo de segundo.

A partir dessa única regra segue a probabilidade $P(t)$ de que um núcleo sobreviva a um tempo inteiro $t$. Divida $t$ em $m$ passos iguais de duração $t/m$. Em cada passo, o núcleo decai com probabilidade $\lambda t/m$, então sobrevive a esse passo com probabilidade $1-\lambda t/m$. Os passos são independentes, então as chances de sobreviver a todos eles se multiplicam. Tornando os passos cada vez menores, obtemos
$P(t)={\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{\lambda t}{m}\right)}^m=e^{-\lambda t}$

A exponencial é a única lei de sobrevivência contínua sem memória. Para verificar que não há memória: um núcleo que já sobreviveu a um tempo $s$ sobrevive a mais um tempo $t$ com probabilidade $P(s+t)/P(s)=e^{-\lambda (s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(t)$, exatamente como se fosse novo.

Mantenha separados dois níveis de descrição. A constante de decaimento $\lambda$ pertence a um único núcleo e diz apenas quão provável é o seu decaimento. A curva suave de decaimento pertence a um grande conjunto de núcleos, e só é suave porque o conjunto é grande.

Resolvendo a lei de decaimento

Agora considere uma amostra de $N$ núcleos idênticos. Cada um decai no próximo $dt$ com probabilidade $\lambda dt$, então o número esperado de decaimentos é $\lambda Ndt$. Cada decaimento remove um núcleo, então $N$ muda em $dN=-\lambda Ndt$, isto é
$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

A taxa de perda é proporcional ao que resta. Para resolver a equação, reúna $N$ de um lado: $dN/N=-\lambda dt$. Integre o lado esquerdo do número inicial $N_0$ até $N$, e o lado direito de $0$ até $t$: $\ln (N/N_0)=-\lambda t$. Tomando a exponencial dos dois lados,
$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Isso é $N_0$ vezes a probabilidade de sobrevivência $P(t)$ de um núcleo, como deve ser: em média, uma fração $P(t)$ do conjunto sobrevive. A exponencial perde a mesma fração em quaisquer dois intervalos de mesmo comprimento, onde quer que comecem, e é isso que transforma uma amostra radioativa em um relógio.

Meia-vida e vida média

A meia-vida $T_{1/2}$ é o tempo em que $N$ cai para a metade do seu valor. Fazendo $N=N_0/2$ obtemos $e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$; tomando logaritmos, $\lambda T_{1/2}=\ln 2$, logo
$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Substituindo de volta, $e^{-\lambda t}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}=(1/2{)}^{t/T_{1/2}}$: a lei da meia-vida e a exponencial são a mesma função escrita de duas formas. Para a animação, $T_{1/2}=0,693/0,277=2,50\mathrm{s}$.

A vida média $\tau$ é o tempo de vida médio de um núcleo. Um núcleo decai entre $t$ e $t+dt$ se primeiro sobrevive até $t$, com probabilidade $e^{-\lambda t}$, e depois decai dentro de $dt$, com probabilidade $\lambda dt$. Ponderando cada tempo de vida $t$ por essa probabilidade e integrando por partes, obtemos
$\tau ={\int }_0^{\infty }t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\approx 1,44T_{1/2}$

Após uma vida média, resta uma fração $1/e$ dos núcleos. Para a animação, $\tau =3,61\mathrm{s}$, quando deveriam restar $N_0/e=36,8$ núcleos; o medidor $N$ mostra 37. Por que $\tau$ é maior que $T_{1/2}$? A meia-vida é o tempo de vida mediano: metade dos núcleos decai antes dela. A outra metade inclui uma longa cauda de sobreviventes tardios, alguns durando muitas meias-vidas, e eles puxam a média para $\tau$.

Atividade

Um detector não conta os núcleos que restam; ele conta os decaimentos. O que ele mede é a taxa de decaimento $-dN/dt$, chamada atividade $A$ e medida em becquerels (1 Bq é um decaimento por segundo). Pela lei de decaimento,
$A=\lambda N$

Como $A$ é proporcional a $N$, ela cai com a mesma exponencial, $A=A_0{e}^{-\lambda t}$ com $A_0=\lambda N_0$, e portanto também é um relógio. Enquanto uma árvore vive, ela troca carbono com o ar, então sua proporção de carbono-14 permanece estável; depois que morre, seu carbono-14 decai e não é reposto. Comparando a atividade por grama de carbono na madeira antiga com a da madeira viva, obtemos $A/A_0$, e resolver $(1/2{)}^{t/T_{1/2}}=A/A_0$ para $t$ dá a idade da madeira. Na animação, a leitura de $A$ do nível avançado começa em $A_0=27,7\mathrm{Bq}$ e mostra 13,9 Bq em 2,5 s, uma meia-vida depois.

A atividade depende de duas coisas: de quantos núcleos existem e de quão instável é cada um. Um grama de rádio-226 é $1/226$ de um mol, então contém $N=6,02\times 10^{23}/226=2,66\times 10^{21}$ núcleos. Com $T_{1/2}=1600$ anos, $\lambda =\ln 2/T_{1/2}=1,37\times 10^{-11}{\mathrm{s}}^{-1}$ e $A=\lambda N=3,7\times 10^{10}\mathrm{Bq}$, a atividade que um dia definiu o curie. Um grama de urânio-238 contém cerca de tantos núcleos, mas sua meia-vida de 4,5 bilhões de anos é cerca de três milhões de vezes maior, então ele é cerca de três milhões de vezes menos ativo.

Lendo a curva de decaimento

Um gráfico de $N$ contra $t$ mostra a meia-vida, a vida média e a atividade de relance. A Figura 1 o desenha com o tempo contado em meias-vidas, de modo que a mesma imagem serve para cada nuclídeo, de microssegundos a bilhões de anos.

Legenda

$N$	Número de núcleos não decaídos no instante $t$.
$N_0$	Número de núcleos não decaídos em $t=0$.
$N_0/2$	Metade do número inicial, atingida após uma meia-vida.
$N_0/4$	Um quarto do número inicial, atingido após duas meias-vidas.
$t$	Tempo desde o início da contagem.	$\mathrm{s}$
$T_{1/2}$	Meia-vida: cada passo desse tamanho reduz $N$ à metade.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Vida média $1/\lambda$, cerca de $1,44T_{1/2}$: onde a tangente em $t=0$ encontra o eixo do tempo.	$\mathrm{s}$
$A_0$	Atividade em $t=0$, $A_0=\lambda N_0$; a tangente ali tem inclinação $-A_0$.	$\mathrm{Bq}$

Olhe primeiro para os três pontos. Eles estão em $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$ e $3T_{1/2}$, igualmente espaçados no eixo do tempo, e suas alturas $N_0/2$, $N_0/4$ e $N_0/8$ caem pelo mesmo fator de dois a cada passo. Essa é a lei da meia-vida lida no gráfico: tempos iguais, frações iguais.

Olhe em seguida para a reta marcada $-A_0$, a tangente à curva em $t=0$. Sua inclinação é a taxa inicial de variação $dN/dt=-\lambda N_0=-A_0$. Uma reta que começa na altura $N_0$ e cai à taxa $A_0$ atinge o eixo do tempo após $N_0/A_0=1/\lambda =\tau$. Assim, a tangente cai na vida média $\tau$, um pouco além do primeiro ponto, porque $\tau \approx 1,44T_{1/2}$. Dito de outra forma: se a amostra continuasse decaindo à sua taxa inicial, estaria vazia após uma vida média. A mesma construção vale em qualquer ponto da curva: no instante $t$, a tangente tem inclinação $-\lambda N=-A$ e encontra o eixo em $t+\tau$, uma vida média depois. Na animação, a tangente em $t=0$ encontra o eixo em 3,6 s.

O gráfico do nível avançado da animação mostra os mesmos traços: a contagem azul segue a curva tracejada $N_0{e}^{-\lambda t}$, com marcas em $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$ e $4T_{1/2}$, igualmente espaçadas como na Figura 1. No laboratório, as meias-vidas são lidas em outro gráfico. Tomando o logaritmo da lei de decaimento, $\ln N=\ln N_0-\lambda t$; assim, um gráfico de $\ln N$ contra $t$ (ou de $\ln A$, que difere apenas pela constante $\ln \lambda$) é uma reta de inclinação $-\lambda$.

Flutuações: uma lei precisa a partir do acaso

A lei de decaimento fornece o número esperado de sobreviventes. Uma amostra real é um conjunto de eventos aleatórios independentes, então sua contagem se dispersa em torno desse valor. Qual é o tamanho da dispersão, e por que a lei ainda parece exata para uma amostra grande?

Legenda

$N$	Número de núcleos ainda não decaídos em uma amostra.
$P$	Probabilidade de que uma amostra tenha exatamente esse número de núcleos restantes.
$N_{0}p$	Média de $N$: o número inicial $N_0$ vezes a probabilidade de sobrevivência $p$ de um núcleo, aqui $p=1/2$, logo 50.
$\sigma$	Desvio padrão de $N$, $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$, aqui 5: o colchete tem largura $2\sigma$.

Cada um dos $N_0$ núcleos sobrevive a um tempo $t$ independentemente dos outros, com a mesma probabilidade $p=e^{-\lambda t}$, como em $N_0$ lançamentos de uma moeda viciada. O número que resta é, portanto, binomialmente distribuído, com média $N_{0}p$ e desvio padrão $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$. A Figura 2 mostra as probabilidades exatas para $N_0=100$ núcleos observados durante uma meia-vida, de modo que $p=1/2$. Cada barra dá a probabilidade $P$ de que uma amostra tenha exatamente $N$ núcleos restantes.

As barras estão centradas na linha tracejada da média, $N_{0}p=50$. O colchete marcado $2\sigma$ vai de 45 a 55, um desvio padrão para cada lado da média, porque $\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$. As barras verdes dentro dele somam 73%. Assim, uma amostra real de 100 núcleos mantém $50\pm 5$ após uma meia-vida, e cerca de uma amostra em quatro termina fora do intervalo de 45 a 55.

A animação mostra, em vez disso, o caso ideal, sem ruído: seu $k$-ésimo decaimento ocorre quando o número esperado de decaimentos atinge $k-\frac{1}{2}$; assim, sua escada é a lei suave arredondada para núcleos inteiros.

Experimentos de contagem lidam com decaimentos, e não com sobreviventes. Em um intervalo curto, só uma pequena fração $q$ dos núcleos decai. O número de contagens é então binomial com $q\ll 1$, de modo que sua variância $N_{0}q(1-q)$ é quase igual à sua média $\bar{n}=N_{0}q$. Esse limite é a distribuição de Poisson, cuja dispersão é $\sqrt{\bar{n}}$. A incerteza relativa é $\sqrt{\bar{n}}/\bar{n}=1/\sqrt{\bar{n}}$; assim, 400 contagens têm incerteza de 5%, e 1% exige 10.000 contagens.

A mesma raiz quadrada explica por que a lei de decaimento parece exata. A dispersão relativa dos sobreviventes cai como $1/\sqrt{N_0}$, e para $10^{21}$ núcleos ela é de cerca de $3\times 10^{-11}$. Uma lei precisa surge do puro acaso, assim como a pressão constante de um gás surge de choques moleculares aleatórios.

Leis de conservação decidem o que pode acontecer

Antes de perguntar com que rapidez um núcleo decai, pergunte se ele pode decair. Carga, número de núcleons e número leptônico precisam ser iguais antes e depois. E o decaimento precisa liberar energia, paga com massa: os produtos juntos devem ter menos massa que o núcleo pai. A energia liberada, chamada valor Q, é
$Q=\left(m_{\mathrm{parent}}-\sum m_{\mathrm{products}}\right)c^2>0$

Para o decaimento $\alpha$ ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$, a carga se equilibra ($92=90+2$), e o mesmo ocorre com o número de núcleons ($238=234+4$). As massas atômicas dão $Q=4,27\mathrm{MeV}$, cerca de um milhão de vezes a energia de uma ligação química. Com apenas dois produtos, a conservação da quantidade de movimento fixa como $Q$ é dividido. O núcleo pai estava em repouso, então os dois produtos se afastam com quantidades de movimento de mesmo módulo e direções opostas. A energia cinética é o quadrado da quantidade de movimento dividido pelo dobro da massa; assim, para quantidades de movimento iguais, a partícula mais leve fica com a maior parte, em proporção inversa às massas. A partícula $\alpha$ fica, portanto, com $234/238$ de $Q$, ou seja, 4,20 MeV. Toda partícula $\alpha$ desse decaimento tem essa mesma energia, então os espectros $\alpha$ são linhas nítidas.

No decaimento ${\beta }^{-}$, $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$, um nêutron vira um próton. A carga se equilibra ($0=+1-1+0$), e o número leptônico exige o antineutrino: o elétron conta $+1$ e o antineutrino $-1$, então o total continua 0. Agora três corpos dividem $Q$, e podem fazê-lo de infinitas maneiras. Os elétrons têm, portanto, um espectro contínuo, de zero até $Q$ ($0,78\mathrm{MeV}$ para um nêutron livre). Esse contínuo, que a princípio parecia violar a conservação de energia, levou Pauli a propor o neutrino em 1930. Por fim, os raios $\gamma$ surgem de saltos entre níveis de energia do núcleo, então, como as partículas $\alpha$, formam linhas nítidas.

O tunelamento determina a velocidade

As leis de conservação dizem apenas se um decaimento é permitido. A rapidez com que ele ocorre depende de outra coisa: se a partícula $\alpha$ consegue escapar do núcleo. Classicamente, não consegue; pela mecânica quântica, ela vaza, muito lentamente, e a taxa desse vazamento define a meia-vida.

Legenda

$U$	Energia potencial da partícula $\alpha$ a uma distância $r$ do centro do núcleo.	$\mathrm{J}$
$r$	Distância ao centro do núcleo.	$\mathrm{m}$
$R$	Raio do núcleo: o poço nuclear fica dentro dele, e a barreira coulombiana começa ali.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Ponto de saída $r_2=R{U}_{\max }/E$, onde a barreira já caiu até a energia $E$.	$\mathrm{m}$
$U_{\max }$	Altura da barreira em $r=R$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia da partícula $\alpha$, que ela leva como energia cinética quando está bem afastada.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Função de onda da partícula $\alpha$ ao longo de um raio: oscila por dentro, se extingue na barreira e reaparece, menor, além de $r_2$.	${\mathrm{m}}^{-3/2}$

A Figura 3 mostra a energia potencial $U$ da partícula $\alpha$ em função de sua distância $r$ ao centro do núcleo. Dentro do raio nuclear $R$, a atração nuclear de curto alcance mantém a partícula em um poço profundo. Fora de $R$, atua apenas a repulsão elétrica do núcleo filho, $U=C/r$, com $C$ uma constante positiva. Assim, a barreira é mais alta em $r=R$, onde atinge $U_{\max }$, e cai com a distância.

Agora observe a linha horizontal na altura $E$, a energia da partícula $\alpha$. A energia se conserva, então $E$ é a mesma em toda parte; longe, onde $U$ caiu a zero, toda ela é energia cinética. A linha encontra a barreira no ponto de saída $r_2$, onde $C/r_2=E$. Como $C=R{U}_{\max }$, isso dá $r_2=R{U}_{\max }/E$. Entre $R$ e $r_2$, a energia cinética $E-U$ seria negativa, o que nenhum movimento clássico permite: uma partícula clássica ficaria oscilando dentro do poço para sempre.

A função de onda $\psi$ não para na parede. Acompanhe-a da esquerda para a direita na Figura 3. Ela oscila dentro do poço, se extingue exponencialmente pela região proibida entre $R$ e $r_2$ e, além de $r_2$, oscila de novo, com amplitude menor. Através da barreira, ela cai localmente como $e^{-\kappa r}$, com $\kappa =\sqrt{2m_{\alpha }(U-E)}/\hslash$, em que $m_{\alpha }$ é a massa da partícula $\alpha$ e $\hslash$ a constante de Planck reduzida: quanto mais alta e larga a barreira, mais forte a queda. A chance de escape em cada tentativa é o quadrado da razão entre a amplitude externa e a interna. Na figura, a amplitude diminui apenas por um fator modesto, para que as ondulações externas continuem visíveis; em um núcleo real, ela diminui enormemente.

Aqui estão os números reais para o urânio-238. A partícula $\alpha$ tem energia $E$ de apenas cerca de 4,2 MeV, bem abaixo do topo da barreira coulombiana, $U_{\max }\approx 28\mathrm{MeV}$; classicamente, ela nunca escaparia. O ponto de saída fica $r_2/R=28/4,2\approx 6,7$ vezes mais longe do centro do que a superfície (a Figura 3, fora de escala, mostra 4). Quicando de um lado para o outro dentro do núcleo, a partícula atinge a barreira cerca de $10^{21}$ vezes por segundo. No entanto, a vida média do urânio-238 é de $2,0\times 10^{17}\mathrm{s}$, então sua constante de decaimento é $\lambda =1/\tau =5\times 10^{-18}{\mathrm{s}}^{-1}$. Dividindo pelo número de tentativas por segundo, cada tentativa tem sucesso com probabilidade de cerca de $5\times 10^{-39}$, próxima de $e^{-88}$: o quadrado de uma amplitude de onda que vaza como $e^{-44}$.

Como a probabilidade de escape é exponencial, pequenas mudanças na barreira produzem grandes mudanças na meia-vida. Calculando o expoente, vê-se que ele cresce aproximadamente em proporção a $Z/\sqrt{E}$, em que $Z$ é o número de carga do núcleo filho: uma carga maior torna a barreira mais alta, e uma energia maior encurta a região proibida. Assim, o polônio-212, que emite partículas $\alpha$ de 8,8 MeV, tem meia-vida de 0,3 µs, enquanto o tório-232, com 4,0 MeV, tem uma de $1,4\times 10^{10}$ anos: reduzir a energia pela metade estica a meia-vida por um fator de cerca de $10^{24}$.

Cadeias de decaimento

Muitas vezes, o filho de um decaimento também é radioativo, e forma-se uma cadeia de decaimentos. O número de filhos então sobe e desce, e um contador registra os decaimentos de ambos. A Figura 4 acompanha a cadeia mais simples: pais $N_1$, com constante de decaimento ${\lambda }_1$, se transformam em filhos radioativos $N_2$, com constante de decaimento ${\lambda }_2$, que por sua vez decaem em núcleos estáveis $N_3$.

Legenda

$N$	Número de núcleos de cada tipo presentes no instante $t$.
$N_1$	Pais ainda não decaídos.
$N_2$	Filhos radioativos presentes.
$N_3$	Núcleos estáveis formados a partir dos filhos, $N_3=N_0-N_1-N_2$.
$t$	Tempo desde o início, quando só havia pais.	$\mathrm{s}$
$t_m$	Instante em que os filhos são mais numerosos.	$\mathrm{s}$

Os filhos têm uma fonte e um sumidouro. São criados pelos decaimentos dos pais, à taxa ${\lambda }_1{N}_1$, e perdidos pelos próprios decaimentos, à taxa ${\lambda }_2{N}_2$:
$\frac{d{N}_2}{dt}={\lambda }_1{N}_1-{\lambda }_2{N}_2$

Leia as curvas da Figura 4 com essa equação em mente. Em $t=0$ não há filhos, então o sumidouro é zero e os filhos sobem exatamente tão rápido quanto os pais caem. Conforme os filhos se acumulam, sua própria taxa de decaimento ${\lambda }_2{N}_2$ cresce, enquanto a oferta ${\lambda }_1{N}_1$ diminui com os pais. Onde as duas se igualam, $d{N}_2/dt=0$: a curva de $N_2$ atinge o máximo no instante $t_m$ e depois decai. Os núcleos estáveis $N_3$ começam devagar, porque no início quase não há filhos para decair, e sobem até que todos os núcleos tenham chegado lá. Nenhum núcleo se perde no caminho, então os três números sempre somam o número inicial $N_0$. A figura foi desenhada para a cadeia do problema resolvido abaixo: 100 pais, e um filho que vive o dobro do pai. Em $t_m$, as curvas de $N_1$ e $N_3$ se cruzam em 25.

Problema resolvido: um filho radioativo

Suponha que os filhos cinza da animação decaiam em um núcleo estável com $T_{1/2}=5,0\mathrm{s}$, de modo que ${\lambda }_2=0,693/5,0=0,139{\mathrm{s}}^{-1}={\lambda }_1/2$. Começando com 100 pais e nenhum filho: quando os filhos são mais numerosos, quantos são, e o que um contador que registra os dois decaimentos mostra então?

Passo 1: resolver para $N_2$. Substitua $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$ e passe ${\lambda }_2{N}_2$ para a esquerda: $d{N}_2/dt+{\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$. Multiplicando os dois lados por $e^{{\lambda }_{2}t}$, o lado esquerdo vira uma única derivada, $d(N_2{e}^{{\lambda }_{2}t})/dt$, pela regra do produto. O lado direito se torna ${\lambda }_1{N}_0{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}$, que se integra diretamente. Com $N_2(0)=0$,
$N_2=\frac{{\lambda }_1{N}_0}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(e^{-{\lambda }_{2}t}-e^{-{\lambda }_{1}t}\right)$

Passo 2: use ${\lambda }_1=2{\lambda }_2$. O fator ${\lambda }_1/({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ então vale 2, e com $x=e^{-{\lambda }_{2}t}$ a segunda exponencial é $e^{-{\lambda }_{1}t}=x^2$. Assim,
$N_2=2N_0\left(x-x^2\right),x=e^{-{\lambda }_{2}t}$

Passo 3: encontre o máximo. Conforme $t$ vai de 0 a infinito, $x$ cai de 1 para 0, e $x-x^2$ é maior onde sua derivada $1-2x$ se anula, em $x=\frac{1}{2}$. Isso acontece após uma meia-vida do filho, em $t_m=5,0\mathrm{s}$, quando $N_2=2\cdot 100\cdot \frac{1}{4}=50$.

Passo 4: as outras duas populações. Os pais somam $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}=N_0{x}^2$, e os núcleos estáveis $N_3=N_0-N_1-N_2=N_0(1-x{)}^2$. As três curvas da Figura 4 são, portanto, $x^2$, $2(x-x^2)$ e $(1-x{)}^2$ vezes $N_0$, e em $x=\frac{1}{2}$ elas valem 25, 50 e 25 núcleos. O medidor $N$ da animação, que conta os pais, mostra 25 nesse momento, então se formaram 25 netos estáveis.

Passo 5: o contador. No pico, $d{N}_2/dt=0$, então as duas atividades são iguais: ${\lambda }_1{N}_1=0,277\cdot 25$ e ${\lambda }_2{N}_2=0,139\cdot 50$ valem ambas 6,93 Bq. Um contador que registra os dois decaimentos lê a soma, 13,9 Bq, o dobro da leitura de $A$, que mostra apenas o pai.

Depois, o pai se extingue ($x^2$ torna-se desprezível frente a $x$), e $N_2\approx 2N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$: a amostra mista se apaga com a meia-vida de 5,0 s do filho. A lição para a medição é que a cauda de uma curva de decaimento pertence ao membro de vida mais longa da cadeia.

Pais de vida longa: equilíbrio secular

Quando o pai vive muito mais que o filho, ${\lambda }_1\ll {\lambda }_2$, o pai quase não muda enquanto o filho se acumula. Após algumas meias-vidas do filho, a taxa de decaimento dele alcança a oferta e depois permanece igualada a ela: $d{N}_2/dt\approx 0$, logo ${\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_1$. Esse é o equilíbrio secular: o filho é exatamente tão ativo quanto o pai, não importa quão poucos núcleos dele existam. O radônio-222 (meia-vida de 3,8 dias), que cresce a partir do rádio-226 (1600 anos), representa apenas $N_2/N_1={\lambda }_1/{\lambda }_2=6,5\times 10^{-6}$ dos átomos de rádio, mas é igualmente ativo.

Limites de validade

A constância de $\lambda$ foi testada de forma extremamente rigorosa, mas não é absoluta. As exceções envolvem todas os elétrons do átomo, a única parte do átomo que a química consegue tocar. Na captura eletrônica, o núcleo absorve um dos elétrons internos do próprio átomo, então a taxa de decaimento depende levemente de como esses elétrons estão dispostos: a meia-vida do berílio-7 difere em até cerca de 1% entre ambientes químicos. Remover todos os elétrons pode transformar um decaimento. O rênio-187 neutro tem meia-vida de cerca de $4\times 10^{10}$ anos; o núcleo nu, uma de 33 anos, porque seu elétron $\beta$ pode então ser criado diretamente em uma camada interna vazia. Fora isso, temperatura, pressão e química não alteram nada mensurável.

A mecânica quântica prevê leves desvios da lei exponencial em tempos extremamente curtos e extremamente longos, mas nenhum foi observado em um decaimento nuclear. Por fim, $\lambda$ vale no referencial de repouso da partícula que decai. Visto do laboratório, o relógio de uma partícula rápida anda devagar pelo fator $\gamma$ da relatividade restrita: os múons, com vida média de 2,2 µs em repouso, vivem 22 µs no laboratório com $\gamma =10$. É assim que múons de raios cósmicos, gerados no alto da atmosfera, chegam ao solo.

Para onde isso leva

O tunelamento que determina as meias-vidas $\alpha$ é desenvolvido em “Equação de Schrödinger e tunelamento”, e a contabilidade $Q=\Delta m{c}^2$ alimenta “Fissão, fusão e E = mc²”. A interação fraca por trás do decaimento $\beta$ pertence a “Partículas e forças: o Modelo Padrão”, e as vidas prolongadas de partículas rápidas, a “Relatividade restrita”. As linhas $\gamma$ nítidas são a contraparte nuclear das linhas espectrais de “Modelos atômicos: o átomo de Bohr”. Taxas relativas constantes voltam no descarregamento de um capacitor por um resistor, em “Capacitores”, e uma lei nítida construída a partir de eventos aleatórios é o cerne da “Teoria cinética dos gases”.